Вариационное исчисление

Дифференциальное исчисление на функциональных пространствах

Вариационное исчисление ( или вариационное исчисление ) — это область математического анализа , которая использует вариации, представляющие собой небольшие изменения функций и функционалов , для нахождения максимумов и минимумов функционалов: отображений из набора функций в действительные числа . ^[a] Функционалы часто выражаются как определенные интегралы, включающие функции и их производные . Функции, которые максимизируют или минимизируют функционалы, могут быть найдены с помощью уравнения Эйлера–Лагранжа вариационного исчисления.

Простым примером такой задачи является нахождение кривой наименьшей длины, соединяющей две точки. Если ограничений нет, решением является прямая линия между точками. Однако, если кривая ограничена тем, что лежит на поверхности в пространстве, то решение менее очевидно, и, возможно, может существовать много решений. Такие решения известны как геодезические . Связанная задача ставится принципом Ферма : свет следует по пути наименьшей оптической длины , соединяющему две точки, который зависит от материала среды. Одной из соответствующих концепций в механике является принцип наименьшего/стационарного действия .

Многие важные проблемы включают функции нескольких переменных. Решения краевых задач для уравнения Лапласа удовлетворяют принципу Дирихле . Задача Плато требует нахождения поверхности минимальной площади, охватывающей заданный контур в пространстве: решение часто можно найти, окунув рамку в мыльную воду. Хотя такие эксперименты относительно легко выполнить, их математическая формулировка далека от простоты: может быть более одной локально минимизирующей поверхности, и они могут иметь нетривиальную топологию .

История

Можно сказать, что вариационное исчисление началось с задачи Ньютона о минимальном сопротивлении в 1687 году, за которой последовала задача о кривой брахистохроны , поднятая Иоганном Бернулли (1696). ^[2] Она сразу же привлекла внимание Якоба Бернулли и маркиза де Лопиталя , но Леонард Эйлер первым разработал этот предмет, начиная с 1733 года. Лагранж находился под влиянием работы Эйлера и внес значительный вклад в теорию. После того, как Эйлер увидел работу 1755 года 19-летнего Лагранжа, Эйлер отказался от своего частично геометрического подхода в пользу чисто аналитического подхода Лагранжа и переименовал предмет в вариационное исчисление в своей лекции 1756 года Elementa Calculi Variationum . ^{[3] [4] [b]}

Лежандр (1786) изложил метод, не совсем удовлетворительный, для различения максимумов и минимумов. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц также уделили некоторое внимание этому предмету на раннем этапе. ^[5] Винченцо Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Пуассон (1831), Михаил Остроградский (1834) и Карл Якоби (1837) были среди участников этого различения . Важной общей работой является работа Сарруса (1842), которая была сжата и улучшена Коши (1844). Другие ценные трактаты и мемуары были написаны Штраухом (1849), Джеллеттом (1850), Отто Гессе (1857), Альфредом Клебшем (1858) и Льюисом Баффетом Карлом (1885), но, возможно, самая важная работа века — это работа Вейерштрасса . Его знаменитый курс по теории является эпохальным, и можно утверждать, что он был первым, кто поместил ее на прочную и неоспоримую основу. 20-я и 23-я проблема Гильберта, опубликованные в 1900 году, стимулировали дальнейшее развитие. ^[5]

В 20 веке Дэвид Гильберт , Оскар Больца , Гилберт Эймс Блисс , Эмми Нётер , Леонида Тонелли , Анри Лебег и Жак Адамар среди прочих внесли значительный вклад. ^[5] Марстон Морзе применил вариационное исчисление в том, что сейчас называется теорией Морса . ^[6] Лев Понтрягин , Ральф Рокафеллар и Ф. Х. Кларк разработали новые математические инструменты для вариационного исчисления в теории оптимального управления . ^[6] Динамическое программирование Ричарда Беллмана является альтернативой вариационному исчислению. ^{[7] [8] [9] [c]}

Экстремумы

Вариационное исчисление занимается максимумами или минимумами (совместно называемыми экстремумами ) функционалов. Функционал отображает функции в скаляры , поэтому функционалы были описаны как «функции функций». Функционалы имеют экстремумы относительно элементов заданного функционального пространства , определенного над заданной областью . Говорят, что функционал имеет экстремум в функции, если имеет тот же знак для всех в сколь угодно малой окрестности ^[d] Функция называется экстремальной функцией или экстремалью. ^[e] Экстремум называется локальным максимумом, если всюду в сколь угодно малой окрестности и локальным минимумом, если там. Для функционального пространства непрерывных функций экстремумы соответствующих функционалов называются сильными экстремумами или слабыми экстремумами , в зависимости от того, являются ли первые производные непрерывных функций соответственно все непрерывными или нет. ^[11] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta J=J[y]-J[f]}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J[f]}$ ${\displaystyle \Delta J\leq 0}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \Delta J\geq 0}$

Как сильные, так и слабые экстремумы функционалов существуют для пространства непрерывных функций, но сильные экстремумы имеют дополнительное требование, чтобы первые производные функций в пространстве были непрерывными. Таким образом, сильный экстремум также является слабым экстремумом, но обратное может быть неверным. Нахождение сильных экстремумов сложнее, чем нахождение слабых экстремумов. ^[12] Примером необходимого условия , которое используется для нахождения слабых экстремумов, является уравнение Эйлера–Лагранжа . ^{[13] [f]}

Уравнение Эйлера–Лагранжа

Нахождение экстремумов функционалов похоже на нахождение максимумов и минимумов функций. Максимумы и минимумы функции можно найти, найдя точки, в которых ее производная обращается в нуль (т.е. равна нулю). Экстремумы функционалов можно получить, найдя функции, для которых функциональная производная равна нулю . Это приводит к решению соответствующего уравнения Эйлера–Лагранжа . ^[g]

Рассмотрим функционал , где $${\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L\left(x,y(x),y'(x)\right)\,dx\,.}$$

• ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$являются константами ,
• ${\displaystyle y(x)}$дважды непрерывно дифференцируема,
• ${\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}},}$
• ${\displaystyle L\left(x,y(x),y'(x)\right)}$дважды непрерывно дифференцируема по своим аргументам и ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle y'.}$

Если функционал достигает локального минимума при и является произвольной функцией, которая имеет по крайней мере одну производную и обращается в нуль в конечных точках , а затем для любого числа, близкого к 0, ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \eta (x)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2},}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$$

Этот член называется вариацией функции и обозначается ^{[1] [h]} ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta f.}$

Подставляя в функционал, получаем результат в виде функции ${\displaystyle f+\varepsilon \eta }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle J[y],}$ ${\displaystyle \varepsilon ,}$

$${\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$$Так как функционал имеет минимум при , то функция имеет минимум при и, таким образом, ^[i] ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle y=f}$ ${\displaystyle \Phi (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ $${\displaystyle \Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.}$$

Взяв полную производную от , где и рассматриваются как функции , а не как урожаи и , поскольку и ${\displaystyle L\left[x,y,y'\right],}$ ${\displaystyle y=f+\varepsilon \eta }$ ${\displaystyle y'=f'+\varepsilon \eta '}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle {\frac {dy}{d\varepsilon }}=\eta }$ ${\displaystyle {\frac {dy'}{d\varepsilon }}=\eta ',}$ $${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.}$$

Следовательно, где при и мы использовали интегрирование по частям на втором члене. Второй член во второй строке исчезает, потому что при и по определению. Также, как уже упоминалось ранее, левая часть уравнения равна нулю, так что $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta '\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L\left[x,y,y'\right]\to L\left[x,f,f'\right]}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.}$$

Согласно основной лемме вариационного исчисления , часть подынтегральной функции в скобках равна нулю, т.е. что называется уравнением Эйлера–Лагранжа . Левая часть этого уравнения называется функциональной производной и обозначается $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$$ ${\displaystyle J[f]}$ ${\displaystyle \delta J/\delta f(x).}$

В общем случае это дает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка , которое можно решить для получения экстремальной функции. Уравнение Эйлера–Лагранжа является необходимым , но не достаточным условием экстремума. Достаточное условие минимума приведено в разделе Вариации и достаточное условие минимума. ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle J[f].}$

Пример

Чтобы проиллюстрировать этот процесс, рассмотрим задачу поиска экстремальной функции , которая является кратчайшей кривой, соединяющей две точки и Длина дуги кривой определяется как с Обратите внимание, что предположение, что y является функцией x , теряет общность; в идеале оба должны быть функцией некоторого другого параметра. Этот подход хорош исключительно для обучающих целей. ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right).}$ $${\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}$$ $${\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.}$$

Теперь уравнение Эйлера–Лагранжа будет использоваться для нахождения экстремальной функции, которая минимизирует функционал при ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle A[y].}$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$$ $${\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}$$

Так как не появляется явно в первом члене уравнения Эйлера–Лагранжа, то обращается в нуль для всех и, таким образом, подставляя и взяв производную, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}$$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}$$

Таким образом, для некоторой константы Тогда где Решая, мы получаем что подразумевает, что является константой и, следовательно, что кратчайшая кривая, которая соединяет две точки и есть и мы таким образом нашли экстремальную функцию , которая минимизирует функционал, так что есть минимум. Уравнение для прямой линии Другими словами, кратчайшее расстояние между двумя точками является прямой линией. ^[j] $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}$$ ${\displaystyle c.}$ $${\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}$$ $${\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}$$ $${\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}$$ $${\displaystyle f'(x)=m}$$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$ $${\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle A[y]}$ ${\displaystyle A[f]}$ ${\displaystyle y=f(x).}$

Личность Бельтрами

В физических задачах может быть так, что значение подынтегральной функции является функцией и , но не появляется отдельно. В этом случае уравнение Эйлера–Лагранжа можно упростить до тождества Бельтрами ^[16] , где — константа. Левая часть — это преобразование Лежандра относительно ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f'(x).}$

Интуиция, стоящая за этим результатом, заключается в том, что если переменная на самом деле является временем, то утверждение подразумевает, что лагранжиан не зависит от времени. По теореме Нётер существует связанная сохраняющаяся величина. В этом случае эта величина является гамильтонианом, преобразованием Лежандра лагранжиана, которое (часто) совпадает с энергией системы. Это (минус) константа в тождестве Бельтрами. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

Уравнение Эйлера–Пуассона

Если зависит от высших производных , то есть, если то должно удовлетворять уравнению Эйлера– Пуассона , ^[17] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle y(x),}$ $${\displaystyle S=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))dx,}$$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+\dots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}$$

Теорема Дюбуа-Реймона

До сих пор обсуждение предполагало, что экстремальные функции обладают двумя непрерывными производными, хотя существование интеграла требует только первых производных пробных функций. Условие, что первая вариация обращается в нуль на экстремали, можно рассматривать как слабую форму уравнения Эйлера–Лагранжа. Теорема Дюбуа-Реймона утверждает, что эта слабая форма влечет сильную форму. Если имеет непрерывные первые и вторые производные по всем своим аргументам, и если то имеет две непрерывные производные, и удовлетворяет уравнению Эйлера–Лагранжа. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,}$$ ${\displaystyle f}$

феномен Лаврентьева

Гильберт был первым, кто дал хорошие условия для того, чтобы уравнения Эйлера–Лагранжа давали стационарное решение. В пределах выпуклой области и положительного трижды дифференцируемого лагранжиана решения состоят из счетного набора сечений, которые либо идут вдоль границы, либо удовлетворяют уравнениям Эйлера–Лагранжа внутри.

Однако Лаврентьев в 1926 году показал, что существуют обстоятельства, при которых оптимального решения нет, но к нему можно приблизиться произвольно близко, увеличивая число сечений. Феномен Лаврентьева определяет разницу в нижней грани задачи минимизации для разных классов допустимых функций. Например, следующая задача, представленная Манией в 1934 году: ^[18] $${\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},}$$ $${\displaystyle {A}=\{x\in W^{1,1}(0,1):x(0)=0,\ x(1)=1\}.}$$

Очевидно, минимизирует функционал, но мы обнаруживаем, что любая функция дает значение, удаленное от инфимума. ${\displaystyle x(t)=t^{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle x\in W^{1,\infty }}$

Примеры (в одном измерении) традиционно проявляются через и , но Болл и Мизель ^[19] получили первый функционал, который отображает явление Лаврентьева через и для Существует несколько результатов, которые дают критерии, при которых явление не происходит, например, «стандартный рост», лагранжиан без зависимости от второй переменной или аппроксимирующая последовательность, удовлетворяющая условию Чезари (D), — но результаты часто являются частными и применимы к небольшому классу функционалов. ${\displaystyle W^{1,1}}$ ${\displaystyle W^{1,\infty },}$ ${\displaystyle W^{1,p}}$ ${\displaystyle W^{1,q}}$ ${\displaystyle 1\leq p<q<\infty .}$

С явлением Лаврентьева связано свойство отталкивания: любой функционал, проявляющий явление Лаврентьева, будет проявлять свойство слабого отталкивания. ^[20]

Функции многих переменных

Например, если обозначает смещение мембраны над доменом в плоскости, то ее потенциальная энергия пропорциональна ее площади поверхности: Задача Плато состоит в нахождении функции, которая минимизирует площадь поверхности, принимая заданные значения на границе ; решения называются минимальными поверхностями . Уравнение Эйлера–Лагранжа для этой задачи нелинейно: Подробности см. в Courant (1950). ${\displaystyle \varphi (x,y)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x,y}$ $${\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.}$$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle \varphi _{xx}(1+\varphi _{y}^{2})+\varphi _{yy}(1+\varphi _{x}^{2})-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}$$

принцип Дирихле

Часто бывает достаточно рассмотреть только малые смещения мембраны, разность энергий которых при отсутствии смещения аппроксимируется выражением Функционал должен быть минимизирован среди всех пробных функций , которые принимают заданные значения на границе Если - минимизирующая функция и - произвольная гладкая функция, которая обращается в нуль на границе , то первая вариация должна исчезнуть: При условии, что u имеет две производные, мы можем применить теорему о расходимости, чтобы получить где - граница - длина дуги вдоль и - нормальная производная от на Поскольку обращается в нуль на и первая вариация обращается в нуль, результат равен для всех гладких функций , которые обращаются в нуль на границе Доказательство для случая одномерных интегралов можно адаптировать к этому случаю, чтобы показать, что в $${\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$ $${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.}$$ $${\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \partial u/\partial n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D.}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0}$$ ${\displaystyle D.}$

Трудность этого рассуждения заключается в предположении, что минимизирующая функция должна иметь две производные. Риман утверждал, что существование гладкой минимизирующей функции гарантируется связью с физической проблемой: мембраны действительно принимают конфигурации с минимальной потенциальной энергией. Риман назвал эту идею принципом Дирихле в честь своего учителя Петера Густава Лежена Дирихле . Однако Вейерштрасс привел пример вариационной задачи без решения: минимизировать среди всех функций , которые удовлетворяют и могут быть сделаны произвольно малыми, выбирая кусочно-линейные функции, которые совершают переход между −1 и 1 в малой окрестности начала координат. Однако не существует функции, которая делает ^[k] В конце концов было показано, что принцип Дирихле верен, но он требует сложного применения теории регулярности для эллиптических уравнений в частных производных ; см. Jost и Li–Jost (1998). ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (-1)=-1}$ ${\displaystyle \varphi (1)=1.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W=0.}$

Обобщение на другие краевые задачи

Более общее выражение для потенциальной энергии мембраны имеет вид Это соответствует внешней плотности силы во внешней силе на границе и упругих силах с модулем, действующих на Функция, которая минимизирует потенциальную энергию без ограничения на ее граничные значения, будет обозначаться как При условии, что и непрерывны, теория регулярности подразумевает, что минимизирующая функция будет иметь две производные. При взятии первой вариации не нужно накладывать граничное условие на приращение Первая вариация задается как Если мы применим теорему о расходимости, результат будет Если мы сначала положим на границе интеграл обращается в нуль, и мы приходим к выводу, как и прежде, что в Тогда, если мы позволим предполагать произвольные граничные значения, это означает, что должно удовлетворять граничному условию на Это граничное условие является следствием минимизирующего свойства : оно не наложено заранее. Такие условия называются естественными граничными условиями . $${\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}$$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \sigma (s)}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle u.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$ $${\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.}$$ $${\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.}$$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle C,}$ $${\displaystyle -\nabla \cdot \nabla u+f=0}$$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,}$$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle u}$

Предыдущее рассуждение недействительно, если тождественно исчезает на В таком случае мы могли бы разрешить пробную функцию, где — константа. Для такой пробной функции, При соответствующем выборе может принимать любое значение, если только величина внутри скобок не обращается в нуль. Следовательно, вариационная задача бессмысленна, если Это условие не подразумевает, что чистые внешние силы, действующие на систему, находятся в равновесии. Если эти силы находятся в равновесии, то вариационная задача имеет решение, но оно не единственное, поскольку может быть добавлена ​​произвольная константа. Дополнительные подробности и примеры можно найти в работе Куранта и Гильберта (1953). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \varphi \equiv c,}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}$$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.}$$

Задачи на собственные значения

Как одномерные, так и многомерные задачи на собственные значения могут быть сформулированы как вариационные задачи.

Задачи Штурма–Лиувилля

Задача о собственных значениях Штурма–Лиувилля включает в себя общую квадратичную форму , где ограничена функциями, которые удовлетворяют граничным условиям Пусть будет нормировочным интегралом Функции и должны быть всюду положительными и отделенными от нуля. Основная вариационная задача состоит в минимизации отношения среди всех удовлетворяющих условиям конечной точки, что эквивалентно минимизации при ограничении, которое является постоянным. Ниже показано, что уравнение Эйлера–Лагранжа для минимизации имеет вид где — частное Можно показать (см. Гельфанд и Фомин 1963), что минимизация имеет две производные и удовлетворяет уравнению Эйлера–Лагранжа. Ассоциированное будет обозначаться как ; это наименьшее собственное значение для этого уравнения и граничных условий. Соответствующая минимизирующая функция будет обозначаться как Эта вариационная характеристика собственных значений приводит к методу Рэлея–Ритца : выбрать аппроксимацию как линейную комбинацию базисных функций (например, тригонометрических функций) и провести конечномерную минимизацию среди таких линейных комбинаций. Этот метод часто оказывается на удивление точным. $${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx,}$$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y(x_{1})=0,\quad y(x_{2})=0.}$$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle R[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)y(x)^{2}\,dx.}$$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle r(x)}$ ${\displaystyle Q/R}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Q[y]}$ ${\displaystyle R[y]}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle u_{1}(x).}$ ${\displaystyle u}$

Следующее наименьшее собственное значение и собственную функцию можно получить путем минимизации при дополнительном ограничении. Эту процедуру можно расширить для получения полной последовательности собственных значений и собственных функций для задачи. ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)y(x)\,dx=0.}$$

Вариационная задача также применима к более общим граничным условиям. Вместо того чтобы требовать, чтобы обращались в нуль на конечных точках, мы можем не накладывать никаких условий на конечных точках и задать , где и являются произвольными. Если мы зададим , первая вариация для отношения будет , где λ задается отношением, как и ранее. После интегрирования по частям, Если мы сначала потребуем, чтобы обращались в нуль на конечных точках, первая вариация исчезнет для всех таких только в том случае, если Если удовлетворяет этому условию, то первая вариация исчезнет для произвольных только в том случае, если Эти последние условия являются естественными граничными условиями для этой задачи, поскольку они не налагаются на пробные функции для минимизации, а вместо этого являются следствием минимизации. ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx+a_{1}y(x_{1})^{2}+a_{2}y(x_{2})^{2},}$$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle y=u+\varepsilon v}$ ${\displaystyle Q/R}$ $${\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),}$$ ${\displaystyle Q[u]/R[u]}$ $${\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle -p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.}$$

Задачи на собственные значения в нескольких измерениях

Задачи на собственные значения в более высоких размерностях определяются по аналогии с одномерным случаем. Например, для заданной области с границей в трех измерениях мы можем определить и Пусть будет функцией, которая минимизирует частное без каких-либо условий, предписанных на границе Уравнение Эйлера–Лагранжа, которому удовлетворяет, равно где Минимизация также должна удовлетворять естественному граничному условию на границе Этот результат зависит от теории регулярности для эллиптических уравнений в частных производных; подробности см. в Jost и Li–Jost (1998). Многие расширения, включая результаты о полноте, асимптотические свойства собственных значений и результаты, касающиеся узлов собственных функций, содержатся в Courant и Hilbert (1953). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,}$$ $${\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ],}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle -\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,}$$ $${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,}$$ ${\displaystyle B.}$

Приложения

Оптика

Принцип Ферма гласит, что свет идет по пути, который (локально) минимизирует оптическую длину между его конечными точками. Если -координата выбрана как параметр вдоль пути, и вдоль пути, то оптическая длина определяется как где показатель преломления зависит от материала. Если мы попробуем, то первая вариация ( производная по ε) равна ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ $${\displaystyle A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,}$$ ${\displaystyle n(x,y)}$ ${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}$$

После интегрирования по частям первого члена в скобках получаем уравнение Эйлера–Лагранжа $${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.}$$

Световые лучи могут быть определены путем интегрирования этого уравнения. Этот формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики .

Закон Снеллиуса

При входе и выходе света из линзы происходит разрыв показателя преломления. Пусть где и являются константами. Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа справедливо, как и прежде, в области, где или и фактически путь там представляет собой прямую линию, поскольку показатель преломления постоянен. При должен быть непрерывным, но может быть и разрывным. После интегрирования по частям в отдельных областях и использования уравнений Эйлера–Лагранжа первая вариация принимает вид $${\displaystyle n(x,y)={\begin{cases}n_{(-)}&{\text{if}}\quad x<0,\\n_{(+)}&{\text{if}}\quad x>0,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle n_{(-)}}$ ${\displaystyle n_{(+)}}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x>0,}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ $${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].}$$

Множитель — это синус угла падающего луча с осью, а множитель — это синус угла преломленного луча с осью. Закон Снеллиуса для преломления требует, чтобы эти члены были равны. Как показывает этот расчет, закон Снеллиуса эквивалентен исчезновению первой вариации оптической длины пути. ${\displaystyle n_{(-)}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{(+)}}$ ${\displaystyle x}$

Принцип Ферма в трех измерениях

Целесообразно использовать векторную запись: пусть — параметр, пусть — параметрическое представление кривой , а — ее касательный вектор. Оптическая длина кривой определяется выражением ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}),}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle {\dot {X}}(t)}$ $${\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.}$$

Отметим, что этот интеграл инвариантен относительно изменений в параметрическом представлении Уравнения Эйлера–Лагранжа для минимизирующей кривой имеют симметричный вид , где ${\displaystyle C.}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,\nabla n,}$$ $${\displaystyle P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}.}$$

Из определения следует, что удовлетворяет ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}.}$$

Поэтому интеграл можно также записать в виде $${\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.}$$

Эта форма предполагает, что если мы можем найти функцию , градиент которой задан как , то интеграл будет задан разностью в конечных точках интервала интегрирования. Таким образом, проблема изучения кривых, которые делают интеграл стационарным, может быть связана с изучением поверхностей уровня Чтобы найти такую ​​функцию, мы обратимся к волновому уравнению, которое управляет распространением света. Этот формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi .}$

Связь с волновым уравнением

Волновое уравнение для неоднородной среды имеет вид где - скорость, которая в общем случае зависит от Волновые фронты для света являются характерными поверхностями для этого частного дифференциального уравнения: они удовлетворяют $${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .}$$

Мы можем искать решения в форме $${\displaystyle \varphi (t,X)=t-\psi (X).}$$

В этом случае удовлетворяет , где Согласно теории уравнений в частных производных первого порядка , если тогда удовлетворяет вдоль системы кривых ( световых лучей ), которые задаются соотношением ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2},}$$ ${\displaystyle n=1/c.}$ ${\displaystyle P=\nabla \psi ,}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {dP}{ds}}=n\,\nabla n,}$$ $${\displaystyle {\frac {dX}{ds}}=P.}$$

Эти уравнения для решения уравнения в частных производных первого порядка идентичны уравнениям Эйлера–Лагранжа, если мы сделаем отождествление $${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}.}$$

Мы приходим к выводу, что функция представляет собой значение минимизирующего интеграла как функцию верхней конечной точки. То есть, когда построено семейство минимизирующих кривых, значения оптической длины удовлетворяют характеристическому уравнению, соответствующему волновому уравнению. Следовательно, решение связанного частного дифференциального уравнения первого порядка эквивалентно нахождению семейств решений вариационной задачи. Это существенное содержание теории Гамильтона –Якоби , которая применяется к более общим вариационным задачам. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$

Механика

В классической механике действие определяется как временной интеграл лагранжиана, Лагранжиан представляет собой разность энергий, где — кинетическая энергия механической системы и ее потенциальная энергия . Принцип Гамильтона (или принцип действия) утверждает, что движение консервативной голономной (интегрируемые связи) механической системы таково, что интеграл действия является стационарным относительно изменений пути. Уравнения Эйлера–Лагранжа для этой системы известны как уравнения Лагранжа: и они эквивалентны уравнениям движения Ньютона (для таких систем). ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle L.}$ $${\displaystyle L=T-U,}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt}$$ ${\displaystyle x(t).}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},}$$

Сопряженные импульсы определяются следующим образом : Например, если то гамильтонова механика получается, если вместо сопряженных импульсов ввести преобразование Лежандра лагранжиана в гамильтониан , определяемый следующим образом. Гамильтониан представляет собой полную энергию системы: Аналогия с принципом Ферма предполагает, что решения уравнений Лагранжа (траектории частиц) могут быть описаны в терминах поверхностей уровня некоторой функции от Эта функция является решением уравнения Гамильтона–Якоби : ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.}$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},}$$ $${\displaystyle p=m{\dot {x}}.}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).}$$ ${\displaystyle H=T+U.}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.}$$

Дальнейшие приложения

Дальнейшие приложения вариационного исчисления включают следующее:

• Вывод формы цепной линии
• Решение задачи Ньютона о минимальном сопротивлении
• Решение проблемы брахистохроны
• Решение проблемы таутохрона
• Решение изопериметрических задач
• Расчет геодезических линий
• Нахождение минимальных поверхностей и решение проблемы Плато
• Оптимальное управление
• Аналитическая механика , или переформулировки законов движения Ньютона, в частности, механика Лагранжа и Гамильтона ;
• Геометрическая оптика, особенно лагранжева и гамильтонова оптика ;
• Вариационный метод (квантовая механика) , один из способов нахождения приближений к собственному состоянию с наименьшей энергией или основному состоянию, а также некоторым возбужденным состояниям;
• Вариационные байесовские методы — семейство методов аппроксимации трудноразрешимых интегралов, возникающих в байесовском выводе и машинном обучении;
• Вариационные методы в общей теории относительности — семейство методов, использующих вариационное исчисление для решения задач общей теории относительности Эйнштейна;
• Метод конечных элементов — вариационный метод нахождения численных решений краевых задач в дифференциальных уравнениях;
• Полное вариационное шумоподавление — метод обработки изображений для фильтрации сигналов с высокой дисперсией или шумов.

Вариации и достаточное условие минимума

Вариационное исчисление занимается вариациями функционалов, которые являются небольшими изменениями значения функционала из-за небольших изменений функции, которая является его аргументом. Первая вариация ^[l] определяется как линейная часть изменения функционала, а вторая вариация ^[m] определяется как квадратичная часть. ^[22]

Например, если — функционал с функцией в качестве аргумента, и есть небольшое изменение его аргумента от до , где — функция в том же функциональном пространстве, что и , то соответствующее изменение функционала равно ^[n] ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y+h,}$ ${\displaystyle h=h(x)}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle \Delta J[h]=J[y+h]-J[y].}$$

Функционал называется дифференцируемым, если где — линейный функционал, ^[o] — норма ^[p] и так как Линейный функционал является первой вариацией и обозначается как ^[26] ${\displaystyle J[y]}$ $${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \|h\|,}$$ ${\displaystyle \varphi [h]}$ ${\displaystyle \|h\|}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle \|h\|\to 0.}$ ${\displaystyle \varphi [h]}$ ${\displaystyle J[y]}$ $${\displaystyle \delta J[h]=\varphi [h].}$$

Говорят, что функционал дважды дифференцируем, если где — линейный функционал (первая вариация), — квадратичный функционал, ^[q] и так как Квадратичный функционал является второй вариацией и обозначается как, ^[28] ${\displaystyle J[y]}$ $${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2}[h]+\varepsilon \|h\|^{2},}$$ ${\displaystyle \varphi _{1}[h]}$ ${\displaystyle \varphi _{2}[h]}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle \|h\|\to 0.}$ ${\displaystyle \varphi _{2}[h]}$ ${\displaystyle J[y]}$ $${\displaystyle \delta ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h].}$$

Вторая вариация называется строго положительной, если для всех и для некоторой константы . ^[29] ${\displaystyle \delta ^{2}J[h]}$ $${\displaystyle \delta ^{2}J[h]\geq k\|h\|^{2},}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k>0}$

Используя приведенные выше определения, особенно определения первой вариации, второй вариации и строго положительной, можно сформулировать следующее достаточное условие минимума функционала.

Достаточное условие минимума:

Функционал имеет минимум при , если его первая вариация при , а вторая вариация строго положительна при ^{[30] [r] [s]} ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle y={\hat {y}}}$ ${\displaystyle \delta J[h]=0}$ ${\displaystyle y={\hat {y}}}$ ${\displaystyle \delta ^{2}J[h]}$ ${\displaystyle y={\hat {y}}.}$

Смотрите также

• Первая вариация
• Изопериметрическое неравенство
• Вариационный принцип
• Вариационный бикомплекс
• принцип Ферма
• Принцип наименьшего действия
• Бесконечномерная оптимизация
• Метод конечных элементов
• Функциональный анализ
• Вариационный принцип Экланда
• Обратная задача для механики Лагранжа
• Проблема с препятствием
• Методы возмущения
• Молодая мера
• Оптимальное управление
• Прямой метод в вариационном исчислении
• Теорема Нётер
• Теория Де Дондера–Вейля
• Вариационные байесовские методы
• Задача Чаплыгина
• Нехари коллектор
• Принцип Ху-Вашизу
• Вариационный принцип Люка
• Теорема о горном перевале
• Категория:Вариационные аналитики
• Меры центральной тенденции как решения вариационных задач
• Медаль Стампаккиа
• Премия Ферма
• Удобное векторное пространство
• Вариационное векторное поле

Примечания

1. В то время как элементарное исчисление занимается бесконечно малыми изменениями значений функций без изменения самой функции, вариационное исчисление занимается бесконечно малыми изменениями самой функции, которые называются вариациями. ^[1]
2. "Эйлер ждал, пока Лагранж не опубликовал свою работу по этой теме в 1762 году... прежде чем он решил напечатать свою лекцию... чтобы не лишать Лагранжа его славы. Действительно, только метод Лагранжа Эйлер назвал вариационным исчислением". ^[3]
3. См. Гарольд Дж. Кушнер (2004) : относительно динамического программирования: «Вариационное исчисление имело родственные идеи (например, работа Каратеодори, уравнение Гамильтона-Якоби). Это привело к конфликтам с сообществом вариационного исчисления».
4. Окрестность — это часть заданного функционального пространства, где на всей области определения функций положительное число указывает размер окрестности. ^[10] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |y-f|<h}$ ${\displaystyle h}$
5. Обратите внимание на разницу между терминами экстремаль и экстремум. Экстремаль — это функция, которая делает функционал экстремумом.
6. Достаточное условие см. в разделе Вариации и достаточное условие минимума.
7. Следующий вывод уравнения Эйлера–Лагранжа соответствует выводу на стр. 184–185 Куранта и Гильберта (1953). ^[14]
8. Обратите внимание, что и оцениваются при тех же значениях, что недопустимо в более общем случае в вариационном исчислении с неголономными ограничениями. ${\displaystyle \eta (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x,}$
9. Произведение называется первой вариацией функционала и обозначается как Некоторые источники определяют первую вариацию иначе, опуская множитель . ${\displaystyle \varepsilon \Phi '(0)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \delta J.}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
10. В качестве исторической справки, это аксиома Архимеда . См., например, Келланд (1843). ^[15]
11. Возникший в результате спор о справедливости принципа Дирихле объясняется Тернбуллом. ^[21]
12. Первую вариацию также называют вариацией, дифференциалом или первым дифференциалом.
13. Второй вариант также называется вторым дифференциалом.
14. Обратите внимание, что и вариации ниже зависят от обоих и Аргумент был опущен для упрощения обозначений. Например, можно было бы записать ^[23] ${\displaystyle \Delta J[h]}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle h.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Delta J[h]}$ ${\displaystyle \Delta J[y;h].}$
15. Функционал называется линейным, если и   где   — функции, а — действительное число. ^[24] ${\displaystyle \varphi [h]}$ ${\displaystyle \varphi [\alpha h]=\alpha \varphi [h]}$ ${\displaystyle \varphi \left[h+h_{2}\right]=\varphi [h]+\varphi \left[h_{2}\right],}$ ${\displaystyle h,h_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$
16. Для функции , которая определена для где и являются действительными числами, норма является ее максимальным абсолютным значением, т.е. ^[25] ${\displaystyle h=h(x)}$ ${\displaystyle a\leq x\leq b,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \|h\|=\displaystyle \max _{a\leq x\leq b}|h(x)|.}$
17. Функционал называется квадратичным, если он является билинейным функционалом с двумя равными функциями аргументов. Билинейный функционал — это функционал, который зависит от двух функций аргументов и является линейным, когда каждая функция аргумента поочередно фиксирована, а другая функция аргумента является переменной. ^[27]
18. О других достаточных условиях см. в Gelfand & Fomin 2000,
    • Глава  5: «Вторая вариация. Достаточные условия слабого экстремума» – Достаточные условия слабого минимума даются теоремой на стр.  116.
    • Глава  6: «Поля. Достаточные условия сильного экстремума» – Достаточные условия сильного минимума даются теоремой на стр.  148.
19. Можно отметить сходство с достаточным условием минимума функции, где первая производная равна нулю, а вторая производная положительна.

Ссылки

1. Курант и Гильберт 1953, стр. 184
2. Гельфанд, И. М .; Фомин, С. В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (несокращенное переиздание). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 3. ISBN 978-0486414485.
3. Thiele, Rüdiger (2007). "Эйлер и вариационное исчисление". В Брэдли, Роберт Э.; Сандифер, К. Эдвард (ред.). Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие . Elsevier. стр. 249. ISBN 9780080471297.
4. Голдстайн, Герман Х. (2012). История вариационного исчисления с 17 по 19 век. Springer Science & Business Media. стр. 110. ISBN 9781461381068.
5. van Brunt, Bruce (2004). Вариационное исчисление . Springer. ISBN 978-0-387-40247-5.
6. Фергюсон, Джеймс (2004). «Краткий обзор истории вариационного исчисления и его приложений». arXiv : math/0402357 .
7. Димитрий Берцекас . Динамическое программирование и оптимальное управление. Athena Scientific, 2005.
8. Беллман, Ричард Э. (1954). «Динамическое программирование и новый формализм в вариационном исчислении». Proc. Natl. Acad. Sci . 40 (4): 231–235. Bibcode :1954PNAS...40..231B. doi : 10.1073/pnas.40.4.231 . PMC 527981 . PMID  16589462. 
9. "Richard E. Bellman Control Heritage Award". Американский совет по автоматическому управлению . 2004. Архивировано из оригинала 2018-10-01 . Получено 2013-07-28 .
10. Курант, Р .; Гильберт, Д. (1953). Методы математической физики . Т. I (Первое английское издание). Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc. стр. 169. ISBN 978-0471504474.
11. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 12–13.
12. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 13
13. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 14–15.
14. Курант, Р.; Гильберт , Д. (1953). Методы математической физики . Том I (Первое английское издание). Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
15. Келланд, Филип (1843). Лекции о принципах доказательной математики. стр. 58 – через Google Books.
16. Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Эйлера – Лагранжа». mathworld.wolfram.com . Вольфрам. уравнение (5).
17. Кот, Марк (2014). "Глава 4: Основные обобщения". Первый курс вариационного исчисления . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1495-5.
18. Мания, Бернар (1934). «Сопра инсценарий Лаврентьева». Болленттино дель Юнион Математика Итальяна . 13 : 147–153.
19. Ball & Mizel (1985). "Одномерные вариационные задачи, минимизаторы которых не удовлетворяют уравнению Эйлера-Лагранжа". Архив для Rational Mechanics and Analysis . 90 (4): 325–388. Bibcode : 1985ArRMA..90..325B. doi : 10.1007/BF00276295. S2CID  55005550.
20. Ферриеро, Алессандро (2007). «Свойство слабого отталкивания». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 88 (4): 378–388. дои : 10.1016/j.matpur.2007.06.002.
21. Тернбулл. «Биография Римана». Великобритания: U. St. Andrew.
22. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 11–12, 99
23. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 12, сноска 6
24. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 8
25. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 6
26. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 11–12.
27. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 97–98.
28. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 99
29. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 100
30. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 100, Теорема 2

Дальнейшее чтение

• Бенешова, Б. и Кружик, М.: «Слабая нижняя полунепрерывность интегральных функционалов и ее применение». SIAM Review 59(4) (2017), 703–766.
• Больца, О .: Лекции по вариационному исчислению. Chelsea Publishing Company, 1904, доступно в библиотеке Digital Mathematics. 2-е издание переиздано в 1961 г., мягкая обложка в 2005 г., ISBN 978-1-4181-8201-4 . 
• Кассель, Кевин В.: Вариационные методы и их применение в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.
• Клегг, Дж. К.: Вариационное исчисление, Interscience Publishers Inc., 1968.
• Курант, Р.: Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Interscience, 1950.
• Дакоронья, Бернард : «Введение» Введение в вариационное исчисление , 3-е издание. 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-1-78326-551-0 . 
• Элсголк, Л. Э.: Вариационное исчисление, Pergamon Press Ltd., 1962.
• Форсайт, АР: Вариационное исчисление, Довер, 1960.
• Фокс, Чарльз: Введение в вариационное исчисление, Dover Publ., 1987.
• Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан: Вариационное исчисление I и II, Springer-Verlag, ISBN 978-3-662-03278-7 и ISBN 978-3-662-06201-2  
• Йост, Дж. и Ли-Йост X.: Вариационное исчисление. Cambridge University Press, 1998.
• Лебедев, Л.П. и Клауд, М.Дж.: Вариационное исчисление и функциональный анализ с оптимальным управлением и их приложения в механике, World Scientific, 2003, стр. 1–98.
• Логан, Дж. Дэвид: Прикладная математика, 3-е издание. Wiley-Interscience, 2006
• Пайк, Ральф В. "Глава 8: Вариационное исчисление". Оптимизация для инженерных систем. Университет штата Луизиана . Архивировано из оригинала 2007-07-05.
• Рубичек, Т.: «Вариационное исчисление». Гл. 17 в: Математические инструменты для физиков . (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , стр. 551–588. 
• Саган, Ганс: Введение в вариационное исчисление, Довер, 1992.
• Вайншток, Роберт: Вариационное исчисление и его приложения к физике и технике, Довер, 1974 (переиздание издания 1952 года).

Внешние ссылки

• Вариационное исчисление. Энциклопедия математики .
• вариационное исчисление. PlanetMath .
• Вариационное исчисление. MathWorld .
• Вариационное исчисление. Примеры задач.
• Математика - Вариационное исчисление и интегральные уравнения. Лекции на YouTube .
• Избранные статьи по геодезическим полям. Часть I, Часть II.