Нулевое кольцо

В теории колец , разделе математики , нулевое кольцо ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] или тривиальное кольцо — это единственное кольцо (с точностью до изоморфизма ), состоящее из одного элемента. (Реже термин «нулевое кольцо» используется для обозначения любого кольца квадратного нуля , т. е. кольца , в котором xy = 0 для всех x и y . В этой статье говорится об одноэлементном кольце.)

В категории колец нулевое кольцо является конечным объектом , тогда как кольцо целых чисел Z является исходным объектом .

Определение

Нулевое кольцо, обозначаемое {0} или просто 0 , состоит из одноэлементного множества {0} с операциями + и ·, определенными так, что 0 + 0 = 0 и 0 · 0 = 0.

Характеристики

Нулевое кольцо — это единственное кольцо, в котором совпадают аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1. ^[1]^[6] (Доказательство: если 1 = 0 в кольце R , то для всех r в R имеем r = 1 r = 0 r = 0 . Доказательство последнего равенства можно найти здесь.)
Нулевое кольцо коммутативно.
Элемент 0 в нулевом кольце является единицей , служащей его собственным мультипликативным обратным .
Единичной группой нулевого кольца является тривиальная группа {0}.
Элемент 0 в кольце нулей не является делителем нуля .
Единственный идеал в нулевом кольце — это нулевой идеал {0}, который также является единичным идеалом, равным всему кольцу. Этот идеал не является ни максимальным , ни простым .
Нулевое кольцо обычно исключается из полей , хотя иногда его называют тривиальным полем . Его исключение согласуется с тем, что его нулевой идеал не является максимальным. (Когда математики говорят о « поле с одним элементом », они имеют в виду несуществующий объект, и их намерение состоит в том, чтобы определить категорию, которая была бы категорией схем над этим объектом, если бы он существовал.)
Нулевое кольцо обычно исключается из областей целостности . ^[7] Вопрос о том, считается ли нулевое кольцо доменом вообще , является вопросом соглашения, но есть два преимущества в том, чтобы считать его не доменом. Во-первых, это согласуется с определением, что домен — это кольцо, в котором 0 — единственный делитель нуля (в частности, 0 должен быть делителем нуля, что неверно в кольце нулей). Во-вторых, таким образом, для натурального числа n кольцо Z / n Z является областью определения тогда и только тогда, когда n простое, но 1 не является простым.
Для каждого кольца A существует единственный гомоморфизм колец из A в нулевое кольцо. Таким образом, нулевое кольцо является терминальным объектом в категории колец . ^[8]
Если A — ненулевое кольцо, то не существует гомоморфизма колец нулевого кольца в A . В частности, нулевое кольцо не является подкольцом ни одного ненулевого кольца. ^[8]
Нулевое кольцо — единственное кольцо характеристики 1.
Единственным модулем нулевого кольца является нулевой модуль. Оно не имеет ранга א для любого кардинального числа א.
Нулевое кольцо не является локальным . Однако это полулокальное кольцо .
Нулевое кольцо артиново и (следовательно) нётерово .
Спектр нулевого кольца есть пустая схема . ^[8]
Размерность Крулля нулевого кольца равна −∞.
Нулевое кольцо полупростое , но не простое .
Нулевое кольцо не является центральной простой алгеброй над каким-либо полем.
Полное факторкольцо нулевого кольца — это оно само.

Конструкции

Для любого кольца A и идеала I кольца A фактор A / I является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда I = A , т. е. тогда и только тогда, когда I — единичный идеал .
Для любого коммутативного кольца A и мультипликативного множества S в A локализация S ⁻¹A является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда S содержит 0.
Если A — любое кольцо, то кольцо M ₀ ( A ) матриц размера 0 × 0 над A является нулевым кольцом.
Прямым произведением пустого набора колец является нулевое кольцо.
Кольцо эндоморфизмов тривиальной группы — это нулевое кольцо.
Кольцо непрерывных вещественных функций на пустом топологическом пространстве является нулевым кольцом.

Цитаты

^ аб Артин 1991, с. 347
^ Атья и Макдональд 1969, стр. 1
^ Бош 2012, с. 10
^ Бурбаки, с. 101
^ Лам 2003, с. 1
^ Ланг 2002, с. 83
^ Лам 2003, с. 3
^ abc Хартсхорн 1977, с. 80

Нулевое кольцо

Определение

Характеристики

Конструкции

Цитаты

Рекомендации