Брахмагупта

Индийский математик и астроном (598–668)

Брахмагупта ( ок.  598 – ок.  668 н. э. ) был индийским математиком и астрономом . Он является автором двух ранних работ по математике и астрономии : « Брахмаспхутасиддханта» (БСС, «правильно установленное учение о Брахме », датируется 628 годом), теоретический трактат, и « Кхандакхадьяка» («съедобный укус», датируется 665 годом), более практический текст.

В 628 году н. э. Брахмагупта впервые описал гравитацию как силу притяжения и использовал термин «gurutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)» на санскрите, чтобы описать ее. ^{[1] [2] [3] [4]} Ему также приписывают первое четкое описание квадратной формулы (решение квадратного уравнения) ^[5] в его главном труде, « Брахма-спхута-сиддханта» . ^[6]

Жизнь и карьера

Брахмагупта, согласно его собственному утверждению, родился в 598 году н. э. Родился в Бхилламале в Гурджарадеше ^[7] (современный Бхинмал в Раджастхане , Индия) во время правления правителя династии Чавда Вьяграхамукхи. Он был сыном Джишнугупты и был индуистом по религии, в частности, шиваитом ^[8] . Он жил и работал там большую часть своей жизни. Притхудака Свами , более поздний комментатор, называл его Бхилламалачарья , учитель из Бхилламалы ^{[9] .}

Бхилламала была столицей Гурджарадеши , второго по величине королевства Западной Индии, включавшего южный Раджастхан и северный Гуджарат в современной Индии. Это был также центр обучения математике и астрономии. Он стал астрономом школы Брахмапакша , одной из четырех основных школ индийской астрономии в этот период. Он изучал пять традиционных сиддхант по индийской астрономии, а также работы других астрономов, включая Арьябхату I , Латадеву, Прадьюмну, Варахамихиру , Симху, Шрисену, Виджаянандина и Вишнучандру. ^[9]

В 628 году, в возрасте 30 лет, он составил Brāhmasphuṭasiddhānta («улучшенный трактат Брахмы»), который, как полагают, является пересмотренной версией полученной Siddhanta школы астрономии Брахмапакши . Ученые утверждают, что он включил в свою редакцию много оригинального, добавив значительное количество нового материала. Книга состоит из 24 глав с 1008 стихами в размере арья . Значительная ее часть посвящена астрономии, но она также содержит ключевые главы по математике, включая алгебру, геометрию, тригонометрию и алгоритмику, которые, как полагают, содержат новые идеи, полученные благодаря самому Брахмагупте. ^{[9] [10] [11]}

Позже Брахмагупта переехал в Удджайни , Аванти , ^[12] крупный центр астрономии в центральной Индии. В возрасте 67 лет он написал свою следующую известную работу «Кханда-кхадьяка » , практическое руководство по индийской астрономии в категории карана , предназначенное для использования студентами. ^[12]

Брахмагупта умер в 668 году н. э., предположительно в Удджайне.

Работы

Брахмагупта составил следующие трактаты:

• «Брахмаспхутасиддханта» ^[13], составленнаяв 628 году н. э.
• Кхандакхадьяка ^[13] ,составленная в 665 году н. э.
• Граханаркаджняна , ^[13] (приписывается в одной рукописи)

Прием

Математические достижения Брахмагупты были продолжены далее Бхаскарой II , прямым потомком в Удджайне, который описал Брахмагупту как ганака-чакра-чудамани (жемчужину круга математиков). Притхудака Свами написал комментарии к обеим его работам, переложив сложные стихи на более простой язык и добавив иллюстрации. Лалла и Бхаттотпала в 8-м и 9-м веках написали комментарии к Кханда-кхадьяке . ^[14] Дальнейшие комментарии продолжали писать в 12-м веке. ^[12]

Через несколько десятилетий после смерти Брахмагупты Синд попал под власть Арабского халифата в 712 году н. э. Были отправлены экспедиции в Гурджарадесу (« Аль-Байламан ин Джурз », согласно арабским историкам). Королевство Бхилламала, по-видимому, было уничтожено, но Удджайн отразил атаки . Двор халифа Аль-Мансура (754–775) принял посольство из Синда, включая астролога по имени Канака, который привез (возможно, заученные наизусть) астрономические тексты, в том числе тексты Брахмагупты. Тексты Брахмагупты были переведены на арабский язык Мухаммадом ибн Ибрагимом аль-Фазари , астрономом при дворе Аль-Мансура, под именами Синдхинд и Аракханд . Непосредственным результатом стало распространение десятичной системы счисления, используемой в текстах. Математик Аль-Хорезми (800–850 гг. н. э.) написал текст под названием al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Сложение и вычитание в индийской арифметике), который был переведен на латынь в 13 веке как Algorithmi de numero indorum . Благодаря этим текстам десятичная система счисления и алгоритмы Брахмагупты для арифметики распространились по всему миру. Аль-Хорезми также написал свою собственную версию Sindhind , опираясь на версию Аль-Фазари и включив элементы Птолемея. Индийский астрономический материал широко распространялся на протяжении столетий, даже попав в средневековые латинские тексты. ^{[15] [16] [17]}

Историк науки Джордж Сартон назвал Брахмагупту «одним из величайших ученых своей расы и величайшим ученым своего времени» ^{[12] .}

Математика

Алгебра

Брахмагупта дал решение общего линейного уравнения в восемнадцатой главе «Брахмаспутасиддханты» ,

Разница между рупами , инвертированная и разделенная на разницу [коэффициентов] [неизвестных], является неизвестным в уравнении. Рупы [ вычитаются со стороны] ниже той, из которой вычитаются квадрат и неизвестное. ^[18]

что является решением уравнения bx + c = dx + e , где rupas относится к константам c и e . Приведенное решение эквивалентно x = ⁠е − с/б − г⁠ .

Далее он дал два эквивалентных решения общего квадратного уравнения

18.44. Уменьши на среднее [число] квадратный корень из руп, умноженный на четыре квадрата и увеличенный на квадрат среднего [числа]; раздели остаток на удвоенный квадрат. [Результат —] среднее [число].
18.45. Что бы ни было квадратным корнем из руп, умноженным на квадрат [и] увеличенным на квадрат половины неизвестного, уменьши это на половину неизвестного [и] раздели [остаток] на его квадрат. [Результат —] неизвестное. ^[18]

которые являются, соответственно, решениями уравнения ax ² + bx = c , эквивалентными,

${\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

и

${\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}}$

Он продолжил решать системы одновременных неопределенных уравнений , заявив, что искомая переменная должна быть сначала изолирована, а затем уравнение должно быть разделено на коэффициент искомой переменной . В частности, он рекомендовал использовать «пульверизатор» для решения уравнений с несколькими неизвестными.

18.51. Вычтите цвета, отличные от первого цвета. [Остаток], деленный на первый [коэффициент цвета], есть мера первого. [Слагаемые] два на два [рассматриваются] [при сведении к] подобным делителям, [и так далее] многократно. Если есть много [цветов], [следует использовать] пульверизатор. ^[18]

Подобно алгебре Диофанта , алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание — размещением точки над вычитаемым, а деление — размещением делителя под делимым, аналогично нашей нотации, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины обозначались сокращениями соответствующих терминов. ^[19] Степень греческого влияния на эту синкопу , если таковая имеется, неизвестна, и возможно, что как греческая, так и индийская синкопа могут быть получены из общего вавилонского источника. ^[19]

Арифметика

Четыре основные операции (сложение, вычитание, умножение и деление) были известны многим культурам до Брахмагупты. Эта современная система основана на индуистско-арабской системе счисления и впервые появилась в Brāhmasphuṭasiddhānta . Брахмагупта описывает умножение следующим образом:

Множимое повторяется как строка для скота, столько раз, сколько в множителе есть интегрантных частей, и многократно умножается на них, а продукты складываются. Это умножение. Или множимое повторяется столько раз, сколько в множителе есть составных частей. ^[20]

Индийская арифметика была известна в средневековой Европе как modus Indorum , что означает «метод индийцев». В Brāhmasphuṭasiddhānta были описаны четыре метода умножения, включая gomūtrikā , который, как говорят, близок к современным методам. ^[21] В начале двенадцатой главы своей Brāhmasphuṭasiddhānta , озаглавленной «Вычисление», он также подробно описывает операции с дробями. Ожидается, что читатель будет знать основные арифметические операции вплоть до извлечения квадратного корня, хотя он объясняет, как найти куб и кубический корень целого числа, а затем дает правила, облегчающие вычисление квадратов и квадратных корней. Затем он дает правила для работы с пятью типами комбинаций дробей: ⁠а/с⁠ + ⁠б/с⁠ ; ⁠а/с⁠ × ⁠б/г⁠ ; ⁠а/1⁠ + ⁠б/г⁠ ; ⁠а/с⁠ + ⁠б/г⁠ × ⁠а/с⁠ = ⁠а ( г + б )/компакт-диск⁠ ; и ⁠а/с⁠ − ⁠б/г⁠ × ⁠а/с⁠ = ⁠а ( г − б )/компакт-диск⁠ . ^[22]

Квадраты и кубы

Затем Брахмагупта переходит к сумме квадратов и кубов первых n целых чисел.

12.20. Сумма квадратов — это [сумма], умноженная на удвоенное [число] шагов, увеличенное на один [и] разделенное на три. Сумма кубов — это квадрат этой [суммы] Кучки этих с одинаковыми шарами [также могут быть вычислены]. ^[23]

Здесь Брахмагупта нашел результат в терминах суммы первых n целых чисел, а не в терминах n, как это принято в современной практике. ^[24]

Он дает сумму квадратов первых n натуральных чисел как ⁠н ( н + 1)(2 н + 1)/6⁠ и сумма кубов первых n натуральных чисел как ( ⁠н ( н + 1)/2⁠ )²
.

Ноль

Brahmasphuṭasiddhānta Брахмагупты — первая книга, в которой приводятся правила арифметических действий, применяемых к нулю и отрицательным числам . ^[25] Brāhmasphuṭasiddhānta — самый ранний из известных текстов, в котором ноль рассматривается как число само по себе, а не просто как цифра-заполнитель для представления другого числа, как это делали вавилоняне , или как символ отсутствия количества, как это делали Птолемей и римляне . В восемнадцатой главе своей Brāhmasphuṭasiddhānta Брахмагупта описывает операции с отрицательными числами. Сначала он описывает сложение и вычитание,

18.30. [Сумма] двух положительных чисел — положительное, двух отрицательных — отрицательное; положительного и отрицательного — их разность; если они равны, то это ноль. Сумма отрицательного и нуля — отрицательное, положительного и нуля — положительное, двух нулей — ноль.

[...]

18.32. Отрицательное минус ноль есть отрицательное, положительное [минус ноль] есть положительное; ноль [минус ноль] есть ноль. Когда положительное должно быть вычтено из отрицательного или отрицательное из положительного, то оно должно быть добавлено. ^[18]

Далее он описывает умножение:

18.33. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно, двух отрицательных чисел положительно, а положительных чисел положительно; произведение нуля и отрицательного числа, нуля и положительного числа или двух нулей равно нулю. ^[18]

Но его описание деления на ноль отличается от нашего современного понимания:

18.34. Положительное число, деленное на положительное, или отрицательное число, деленное на отрицательное, есть положительное число; ноль, деленное на ноль, есть ноль; положительное число, деленное на отрицательное, есть отрицательное число; отрицательное число, деленное на положительное, есть [также] отрицательное число.
18.35. Отрицательное число, деленное на ноль, имеет этот [ноль] в качестве своего делителя, или ноль, деленное на отрицательное или положительное, [имеет этот отрицательный или положительный делитель]. Квадрат отрицательного или положительного числа есть положительное число; [квадрат] нуля есть ноль. То, из чего [квадрат] является квадратом, есть [его] квадратный корень. ^[18]

Здесь Брахмагупта утверждает, что ⁠0/0⁠ = 0 и что касается вопроса ⁠а/0⁠ где a ≠ 0, он не брал на себя никаких обязательств. ^[26] Его правила арифметики для отрицательных чисел и нуля довольно близки к современному пониманию, за исключением того, что в современной математике деление на ноль остается неопределенным .

Диофантов анализ

Пифагоровы тройки

В двенадцатой главе своей «Брахмаспхутасиддханты» Брахмагупта приводит формулу, полезную для создания пифагорейских троек :

12.39. Высота горы, умноженная на данный множитель, есть расстояние до города; оно не стирается. Когда оно делится на множитель, умноженный на два, оно есть прыжок одного из двоих, совершающих одно и то же путешествие. ^[27]

Или, другими словами, если d = ⁠мх/х + 2⁠ , то путешественник, который «прыгает» вертикально вверх на расстояние d с вершины горы высотой m , а затем путешествует по прямой линии к городу на горизонтальном расстоянии mx от подножия горы, путешествует на то же расстояние, что и тот, кто спускается вертикально вниз с горы, а затем путешествует по горизонтали к городу. ^[27] Геометрически это гласит, что если прямоугольный треугольник имеет основание длиной a = mx и высоту длиной b = m + d , то длина его гипотенузы c дается формулой c = m (1 + x ) − d . И, действительно, элементарная алгебраическая манипуляция показывает, что a ² + b ² = c ² всякий раз, когда d имеет указанное значение. Кроме того, если m и x рациональны, то рациональны и d , a , b и c . Таким образом, пифагорову тройку можно получить из чисел a , b и c, умножив каждое из них на наименьшее общее кратное их знаменателей .

Уравнение Пелля

Брахмагупта продолжил, дав рекуррентное соотношение для генерации решений некоторых примеров диофантовых уравнений второй степени, таких как Nx ² + 1 = y ² (называемых уравнением Пелля ), используя алгоритм Евклида . Алгоритм Евклида был известен ему как «измельчитель», поскольку он разбивает числа на все более мелкие части. ^[28]

Природа квадратов:
18.64. [Запишите] дважды квадратный корень данного квадрата на множитель и увеличенный или уменьшенный на произвольное [число]. Произведение первой [пары], умноженное на множитель, с произведением последней [пары], есть последнее вычисленное.
18.65. Сумма произведений молний есть первое. Аддитив равен произведению аддитивов. Два квадратных корня, разделенные на аддитив или вычитающий, есть аддитивные рупы . ^[18]

Ключом к его решению была личность, ^[29]

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}$

что является обобщением тождества, открытого Диофантом ,

${\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}$

Используя свое тождество и тот факт, что если ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) являются решениями уравнений x ² − Ny ² = k ₁ и x ² − Ny ² = k ₂ соответственно, то ( x ₁ x ₂ + Ny ₁ y ₂ , x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁ ) является решением x ² − Ny ² = k ₁ k ₂ , он смог найти интегральные решения уравнения Пелля с помощью ряда уравнений вида x ² − Ny ² = k _i . Брахмагупта не смог применить свое решение единообразно для всех возможных значений N , вместо этого он смог показать только, что если x ² − Ny ² = k имеет целочисленное решение для k = ±1, ±2 или ±4, то x ² − Ny ² = 1 имеет решение. Решение общего уравнения Пелля пришлось бы ждать до Бхаскары II в  1150 г. н. э . [ ^29]

Геометрия

Формула Брахмагупты

Диаграмма для справки

Самый известный результат Брахмагупты в геометрии — его формула для вписанных четырехугольников . Зная длины сторон любого вписанного четырехугольника, Брахмагупта дал приближенную и точную формулу для площади фигуры,

12.21. Приблизительная площадь есть произведение половин сумм сторон и противолежащих сторон треугольника и четырехугольника. Точная [площадь] есть квадратный корень из произведения половин сумм сторон, уменьшенных на [каждую] сторону четырехугольника. ^[23]

Итак, если даны длины p , q , r и s вписанного четырехугольника, приблизительная площадь равна ⁠п + р/2⁠ · ⁠д + с/2⁠ в то время как, положив t = ⁠п + д + р + с/2⁠ , точная площадь составляет

√ ( t − p )( t − q )( t − r )( t − s ) .

Хотя Брахмагупта прямо не утверждает, что эти четырехугольники являются вписанными, из его правил очевидно, что это так. ^[30] Формула Герона является частным случаем этой формулы, и ее можно вывести, положив одну из сторон равной нулю.

Треугольники

Брахмагупта посвятил значительную часть своей работы геометрии. Одна теорема дает длины двух сегментов, на которые основание треугольника делится его высотой:

12.22. Основание уменьшилось и увеличилось на разность квадратов сторон, деленных на основание; при делении на два они являются истинными отрезками. Перпендикуляр [высота] есть квадратный корень из квадрата стороны, уменьшенного на квадрат ее отрезка. ^[23]

Таким образом, длины двух сегментов равны ⁠1/2⁠ ( б ± ⁠с ² − а ²/б⁠ ) ​​.

Далее он приводит теорему о рациональных треугольниках . Треугольник с рациональными сторонами a , b , c и рациональной площадью имеет вид:

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\ \ c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\right)}$

для некоторых рациональных чисел u , v , и w . ^[31]

Теорема Брахмагупты

Теорема Брахмагупты утверждает, что AF = FD .

Брахмагупта продолжает:

12.23. Квадратный корень из суммы двух произведений сторон и противолежащих сторон неравного четырехугольника есть диагональ. Квадрат диагонали уменьшается на квадрат половины суммы основания и вершины; квадратный корень есть перпендикуляр [высоты]. ^[23]

Итак, в «неравнобедренном» вписанном четырехугольнике (то есть равнобедренной трапеции ) длина каждой диагонали равна √ pr + qs .

Он продолжает давать формулы для длин и площадей геометрических фигур, таких как радиус описанной окружности равнобедренной трапеции и разностороннего четырехугольника, а также длины диагоналей разностороннего вписанного четырехугольника. Это приводит к знаменитой теореме Брахмагупты ,

12.30–31. Представляя два треугольника внутри [вписанного четырехугольника] с неравными сторонами, две диагонали являются двумя основаниями. Их два сегмента являются по отдельности верхним и нижним сегментами [образованными] на пересечении диагоналей. Два [нижних сегмента] двух диагоналей являются двумя сторонами в треугольнике; основание [четырехугольника является основанием треугольника]. Его перпендикуляр является нижней частью [центрального] перпендикуляра; верхняя часть [центрального] перпендикуляра является половиной суммы перпендикуляров [к сторонам], уменьшенной на нижнюю [часть центрального перпендикуляра]. ^[23]

Пи

В стихе 40 он приводит значения π ,

12.40. Диаметр и квадрат радиуса [каждый], умноженные на 3, [соответственно] являются практической окружностью и площадью [круга]. Точные [значения] являются квадратными корнями из квадратов этих двух, умноженных на десять. ^[23]

Поэтому Брахмагупта использует 3 как «практическое» значение числа π и как «точное» значение числа π с погрешностью менее 1%. ${\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3.1622\ldots }$

Измерения и конструкции

В некоторых стихах до стиха 40 Брахмагупта приводит конструкции различных фигур с произвольными сторонами. По сути, он манипулировал прямоугольными треугольниками, чтобы получить равнобедренные треугольники, разносторонние треугольники, прямоугольники, равнобедренные трапеции, равнобедренные трапеции с тремя равными сторонами и разносторонний вписанный четырехугольник.

После того, как он дал значение числа π, он занялся геометрией плоских фигур и тел, например, нашел объемы и площади поверхности (или пустые пространства, вырытые из тел). Он нашел объем прямоугольных призм, пирамид и усеченной пирамиды. Он также нашел среднюю глубину ряда ям. Для объема усеченной пирамиды он дал «прагматическое» значение как глубину, умноженную на квадрат среднего значения ребер верхней и нижней граней, и он дал «поверхностный» объем как глубину, умноженную на их среднюю площадь. ^[32]

Тригонометрия

Таблица синусов

Во второй главе своего труда «Брахмаспхутасиддханта» , озаглавленного «Истинные долготы планет» , Брахмагупта представляет таблицу синусов:

2.2–5. Синусы: Прародители, близнецы; Большая Медведица, близнецы, Веды; боги, огни, шесть; вкусы, игральные кости, боги; луна, пять, небо, луна; луна, стрелы, солнца [...] ^[33]

Здесь Брахмагупта использует названия объектов для представления цифр позиционных числительных, как это было принято с числовыми данными в санскритских трактатах. Прародители представляют 14 Прародителей («Ману») в индийской космологии или 14, «близнецы» означает 2, «Большая Медведица» представляет семь звезд Большой Медведицы или 7, «Веды» относятся к 4 Ведам или 4, игральные кости представляют количество сторон традиционной игральной кости или 6 и т. д. Эту информацию можно перевести в список синусов: 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 и 3270, с радиусом 3270 (эти числа представляют для ). ^[34] ${\displaystyle 3270\sin {\frac {\pi n}{48}}}$ ${\displaystyle n=1,\dots ,24}$

Формула интерполяции

В 665 году Брахмагупта разработал и использовал особый случай интерполяционной формулы Ньютона-Стерлинга второго порядка для интерполяции новых значений синусоидальной функции из других значений, уже табулированных. ^[35] Формула дает оценку значения функции f при значении a + xh ее аргумента (при h > 0 и −1 ≤ x ≤ 1 ), когда ее значение уже известно при a − h , a и a + h .

Формула оценки:

${\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2}}.}$

где Δ — оператор прямой разности первого порядка , т.е.

${\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).}$

Ранняя концепция гравитации

Брахмагупта в 628 году впервые описал гравитацию как силу притяжения, используя для ее описания термин «гурутвакаршанам (गुरुत्वाकर्षणम्)»: ^{[1] [2] [3] [4]}

Земля со всех сторон одинакова; все люди на земле стоят прямо, и все тяжелые вещи падают на землю по закону природы, ибо в природе земли притягивать и удерживать вещи, как в природе воды течь... Если что-то хочет уйти глубже земли, пусть попробует. Земля — единственная низкая вещь, и семена всегда возвращаются к ней, в какую бы сторону вы их ни бросали, и никогда не поднимаются из земли. ^{[36] [37] [a]}

Астрономия

Брахмагупта направил много критики в сторону работы соперничающих астрономов, и его Brāhmasphuṭasiddhānta демонстрирует один из самых ранних расколов среди индийских математиков. Разделение было в первую очередь о применении математики к физическому миру, а не о самой математике. В случае Брахмагупты разногласия в основном возникали из-за выбора астрономических параметров и теорий. ^[38] Критика соперничающих теорий появляется на протяжении первых десяти астрономических глав, а одиннадцатая глава полностью посвящена критике этих теорий, хотя в двенадцатой и восемнадцатой главах никакой критики не появляется. ^[38]

В седьмой главе своей «Брахмаспхутасиддханты» , озаглавленной «Лунный полумесяц» , Брахмагупта опровергает идею о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце. ^{[ необходимо разъяснение ]} Он делает это, объясняя освещение Луны Солнцем ^{. [39]}

1. Если бы луна была выше солнца, как бы сила прибывающих и убывающих и т. д. получалась из расчета долготы луны? Ближняя половина всегда была бы яркой.

2. Подобно тому, как видимая солнцем половина горшка, стоящего на солнце, ярка, а невидимая половина темна, так и [освещение] луны, [если она] находится под солнцем.

3. Яркость увеличивается в направлении солнца. В конце яркой [т.е. растущей] половины месяца ближняя половина яркая, а дальняя темная. Следовательно, высота рогов [полумесяца может быть получена] из расчета. [...] ^[40]

Он объясняет, что поскольку Луна находится ближе к Земле, чем Солнце, степень освещенности части Луны зависит от относительного положения Солнца и Луны, и это можно вычислить по величине угла между двумя телами. ^[39]

Дальнейшие исследования долгот планет, суточного вращения, лунных и солнечных затмений, восходов и заходов, полумесяца Луны и соединений планет обсуждаются в его трактате «Кхандакхадьяка» .

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты–Фибоначчи
• Формула Брахмагупты
• Теорема Брахмагупты
• Треугольник Брахмагупты
• Метод Чакравала
• Список индийских математиков
• История науки и техники на индийском субконтиненте

Ссылки

Примечания

1. Источником этой цитаты является «Индия» Аль-Бируни (ок. 1030 г.). ^[36]

Цитаты

1. Pickover, Clifford (2008). От Архимеда до Хокинга: законы науки и великие умы, стоящие за ними. Oxford University Press. стр. 105. ISBN 978-0-19-979268-9.
2. Бозе, Майнак Кумар (1988). Поздняя классическая Индия. А. Мукерджи и Ко.^{[ нужна страница ]}
3. Sen, Amartya (2005). The Argumentative Indian . Allen Lane. стр. 29. ISBN 978-0-7139-9687-6.
4. Thurston, Hugh (1993). Ранняя астрономия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94107-3.^{[ нужная страница ] [ проверка не пройдена ]}
5. Брэдли, Майкл. Рождение математики: Древние времена до 1300 г. , стр. 86 (Infobase Publishing 2006)
6. Маккензи, Дана. Вселенная без слов: история математики, рассказанная через уравнения , стр. 61 (Princeton University Press, 2012).
7. Sachau, Edward C. (1910), Alberuni's India, том I, Лондон: Kegan Paul, Trench and Trubner, стр. 153 – через archive.org, Brahma-siddhānta , так называемая от Brahman, составленная Brahmagupta, сыном Jishnu, из города Bhillamāla между Multān и Anhilwāra, в 16 йоджанах от последнего места (?)
8. Bhattacharyya 2011, стр. 185: «Брахмагупта, один из самых знаменитых математиков Востока, да и мира, родился в 598 году н. э. в городе Бхилламала во время правления царя Вьягхрамукха из династии Чапа».
9. Gupta 2008, стр. 162.
10. Бхаттачарья 2011, стр. 185–186.
11. Бозе, Сен и Суббараяппа 1971.
12. Гупта 2008, стр. 163.
13. Pingree, David E. (1970–1994). Перепись точных наук на санскрите Пингри. APS. стр. A4, 256 и далее, A5, 239–240 и т. д.
14. Бхаттачарья 2011, стр. 185.
15. Авари 2013, стр. 32.
16. Янг, М. Дж. Л.; Лэтэм, Дж. Д.; Серджент, Р. Б. (2 ноября 2006 г.), Религия, обучение и наука в период Аббасидов, Cambridge University Press, стр. 302–303, ISBN 978-0-521-02887-5
17. ван Блейдел, Кевин (28 ноября 2014 г.), «Индийская астрономия восьмого века в двух городах мира», в Асад К. Ахмед; Бенхам Садеги; Роберт Г. Хойланд (ред.), Исламские культуры, исламские контексты: эссе в честь профессора Патрисии Крон , BRILL, стр. 257–294, ISBN 978-90-04-28171-4
18. Плофкер (2007, стр. 428–434)
19. Boyer (1991, "China and India" p. 221) "он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения ax + by = c , где a , b , и c являются целыми числами. [...] В значительной степени заслугой Брахмагупты является то, что он дал все целые решения линейного диофантова уравнения, тогда как сам Диофант был удовлетворен тем, чтобы дать одно частное решение неопределенного уравнения. Поскольку Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, мы снова видим вероятность греческого влияния в Индии - или возможность того, что они оба использовали общий источник, возможно, из Вавилонии. Интересно также отметить, что алгебра Брахмагупты, как и алгебра Диофанта, была синкопированной. Сложение обозначалось сопоставлением, вычитание - размещением точки над вычитаемым, а деление - размещением делителя под делимым, как в нашем дробном нотация, но без черты. Операции умножения и эволюции (извлечение корней), а также неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих слов.
20. Брахмагупта; Бхаскара II (1817). Алгебра с арифметикой и измерением с санскрита Брахмегупты и Бхаскары. Перевод Генри Томаса Колбрука . Джон Мюррей . стр. 319.
21. Тивари, Сарджу (1992), Математика в истории, культуре, философии и науке: от древних времен до современности, Mittal Publications, стр. 91–, ISBN 978-81-7099-404-6
22. Plofker (2007, стр. 422) Читатель, по-видимому, должен быть знаком с основными арифметическими операциями вплоть до квадратного корня; Брахмагупта просто отмечает некоторые моменты о применении их к дробям. Однако процедуры нахождения куба и кубического корня целого числа описаны (по сравнению с очень похожей формулировкой Арьябхаты). За ними следуют правила для пяти типов комбинаций: [...]
23. Плофкер (2007, стр. 421–427)
24. Плофкер (2007, стр. 423) Здесь суммы квадратов и кубов первых n целых чисел определяются через сумму самих n целых чисел;
25. Каплан, Роберт (1999). Ничто, что есть: естественная история нуля . Лондон: Allen Lane/The Penguin Press. С. 68–75. Bibcode : 2000tnti.book.....K.
26. Бойер (1991, стр. 220): Однако здесь Брахмагупта снова несколько испортил дело, заявив, что 0 ÷ 0 = 0, а в щекотливом вопросе a ÷ 0 он не взял на себя никаких обязательств.
27. Plofker (2007, стр. 426)
28. Stillwell (2004, стр. 44–46): В седьмом веке нашей эры индийский математик Брахмагупта дал рекуррентное соотношение для генерации решений x ² − Dy ² = 1, как мы увидим в Главе 5. Индийцы называли алгоритм Евклида «пульверизатором», потому что он разбивает числа на все более мелкие части. Чтобы получить рекуррентность, нужно знать, что прямоугольник, пропорциональный исходному, в конечном итоге рекуррентен, факт, который был строго доказан только в 1768 году Лагранжем.
29. Stillwell (2004, стр. 72–74)
30. Плофкер (2007, стр. 424) Брахмагупта не утверждает прямо, что он обсуждает только фигуры, вписанные в окружности, но это подразумевается правилами вычисления их радиуса описанной окружности.
31. Стиллвелл (2004, стр. 77)
32. Plofker (2007, стр. 427) После геометрии плоских фигур Брахмагупта обсуждает вычисление объемов и площадей поверхностей твердых тел (или пустых пространств, вырытых из твердых тел). За его простыми правилами для объемов прямоугольной призмы и пирамиды следует более неоднозначное, которое может относиться к нахождению средней глубины последовательности пут с различной глубиной. Следующая формула, по-видимому, имеет дело с объемом усеченной пирамиды квадратной, где «прагматический» объем — это глубина, умноженная на квадрат среднего значения ребер верхней и нижней граней, в то время как «поверхностный» объем — это глубина, умноженная на их среднюю площадь.
33. Плофкер (2007, стр. 419)
34. Plofker (2007, стр. 419–420) Таблица синусов Брахмагупты, как и многие другие числовые данные в санскритских трактатах, закодирована в основном в конкретной числовой нотации, которая использует названия объектов для представления цифр разрядных числительных, начиная с наименее значимого. [...]
    В индийской космологии существует четырнадцать Прародителей («Ману»); «близнецы», конечно, обозначают 2; семь звезд Большой Медведицы («Мудрецы») обозначают 7, четыре Веды и четыре стороны традиционных игральных костей, используемых в азартных играх, обозначают 6 и т. д. Таким образом, Брахмагупта перечисляет свои первые шесть значений синуса как 214, 427, 638, 846, 1051, 1251. (Его оставшиеся восемнадцать синусов — 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, 3270). Однако Paitamahasiddhanta указывает начальное значение синуса 225 (хотя остальная часть таблицы синусов утеряна), что подразумевает тригонометрический радиус R = 3438 приблизительно = C(')/2π: традиция, которой, как мы видели, следовал Арьябхата. Никто не знает, почему Брахмагупта вместо этого решил нормализовать эти значения до R = 3270.
35. Джозеф (2000, стр. 285–86).
36. Alberuni's India. Лондон: Kegan Paul, Trench, Trübner & Co., 1910. Электронная репродукция. Том 1 и 2. Нью-Йорк: Columbia University Libraries, 2006. стр. 272. Получено 3 июня 2014 г.
37. Китаб аль-Джавхаратайн аль-'атикатайн аль-ма'и'атайн мин аль-шафра' ва-аль-байда': аль-захаб ва-аль-фида Информационный бюллетень, созданный в рамках проекта: الذهب والفضة. Каир: Матбаат Дар аль-Кутуб ва-аль-Васаик аль-Кавмия би-аль-Кахира. 2004. стр. 43–44, 87. OCLC  607846741.
38. Plofker (2007, стр. 418–419)
39. Plofker (2007, стр. 419–420) Брахмагупта обсуждает освещение Луны Солнцем, опровергая идею, поддерживаемую в писаниях: а именно, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце. Фактически, как он объясняет, поскольку Луна находится ближе, протяженность освещенной части Луны зависит от относительного положения Луны и Солнца и может быть вычислена из размера углового разделения α между ними.
40. Плофкер (2007, стр. 420)

Библиография

• Цай, Тяньсинь (25 июля 2023 г.). Краткая история математики: прогулка по цивилизациям нашего мира. Springer Nature. ISBN 978-3-031-26841-0.
• Авари, Бурджор (2013), Исламская цивилизация в Южной Азии: история мусульманской власти и присутствия на Индийском субконтиненте , Routledge, ISBN 978-0-415-58061-8
• Бозе, Д.М.; Сен, С.Н.; Суббараянпа, Б.В. (1971), Краткая история науки в Индии, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук, стр. 95–97, архивировано с оригинала 8 декабря 2015 г.
• Бхаттачарья, РК (2011), «Брахмагупта: древнеиндийский математик», в BS Yadav; Ман Мохан (ред.), Древнеиндийские прыжки в математику, Springer Science & Business Media, стр. 185–192, ISBN 978-0-8176-4695-0
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики, John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-54397-7
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-18082-3
• Гупта, Радха Чаран (2008), «Брахмагупта», в Селин, Хелайн (ред.), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , Springer, стр. 162–163, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Джозеф, Джордж Г. (2000), «Хребет павлина», Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
• О'Лири, Де Лейси (2001) [впервые опубликовано в 1948 году], Как греческая наука передалась арабам (2-е изд.), Goodword Books, ISBN 8187570245
• Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии», в книге Виктора Каца (ред.), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (второе издание), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 0-387-95336-1
• Хоккей, Томас, ред. (2007), «Брахмагупта», Биографическая энциклопедия астрономов , Springer Science & Business Media, стр. 165, ISBN 978-0387304007

Дальнейшее чтение

• Сетсуро Икеяма (2003). Brāhmasphuṭasiddhānta (глава 21) Брахмагупты с комментариями Притхудхакасвамина, критически отредактированная с английским переводом и примечаниями . INSA.
• Дэвид Пингри. Перепись точных наук на санскрите (CESS) . Американское философское общество. A4, стр. 254.
• Шаши С. Шарма. Математика и астрономы Древней Индии. Pitambar Publishing. ISBN 9788120914216.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Брахмагупта», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс

Внешние ссылки

• «Брахма-спхута-сиддханта» Брахмагупты под редакцией Рама Сварупа Шармы, Индийский институт астрономических и санскритских исследований, 1966 г. Введение на английском языке, текст на санскрите, комментарии на санскрите и хинди (PDF)
• Алгебра с арифметикой и измерением из санскрита Брахмегупты и Бхаскары в Архиве Интернета , переведенная Генри Томасом Колбруком . [1]