В математике бутылка Клейна ( / ˈ k l aɪ n / ) является примером неориентируемой поверхности ; то есть, неформально, односторонней поверхности, по которой, если путешествовать, можно проследить обратно к точке начала координат, перевернув путешественника вверх дном. Более формально, бутылка Клейна является двумерным многообразием , на котором нельзя определить нормальный вектор в каждой точке, который непрерывно меняется по всему многообразию. Другие связанные неориентируемые поверхности включают ленту Мёбиуса и действительную проективную плоскость . В то время как лента Мёбиуса является поверхностью с границей , бутылка Клейна не имеет границы. Для сравнения, сфера является ориентируемой поверхностью без границы.
Бутылка Клейна была впервые описана в 1882 году математиком Феликсом Клейном . [1]
Следующий квадрат — фундаментальный многоугольник бутылки Клейна. Идея состоит в том, чтобы «склеить» соответствующие красные и синие края с соответствующими стрелками, как на диаграммах ниже. Обратите внимание, что это «абстрактное» склеивание в том смысле, что попытка реализовать это в трех измерениях приводит к самопересекающейся бутылке Клейна. [2]
Чтобы построить бутылку Клейна, склейте красные стрелки квадрата вместе (левую и правую стороны), получив в результате цилиндр. Чтобы склеить концы цилиндра вместе так, чтобы стрелки на кругах совпали, нужно пропустить один конец через сторону цилиндра. Это создаст кривую самопересечения; таким образом, это погружение бутылки Клейна в трехмерное пространство .
Это погружение полезно для визуализации многих свойств бутылки Клейна. Например, бутылка Клейна не имеет границы , где поверхность резко обрывается, и она неориентируема , что отражается в односторонности погружения.
Распространенная физическая модель бутылки Клейна имеет схожую конструкцию. В Музее науки в Лондоне выставлена коллекция бутылок Клейна из выдувного стекла, демонстрирующая множество вариаций на эту топологическую тему. Бутылки датируются 1995 годом и были изготовлены для музея Аланом Беннеттом. [3]
Бутылка Клейна, собственно, не самопересекается. Тем не менее, есть способ визуализировать бутылку Клейна как содержащуюся в четырех измерениях. Добавив четвертое измерение к трехмерному пространству, можно устранить самопересечение. Осторожно вытолкните часть трубки, содержащую пересечение вдоль четвертого измерения, из исходного трехмерного пространства. Полезной аналогией является рассмотрение самопересекающейся кривой на плоскости; самопересечения можно устранить, подняв одну нить с плоскости. [4]
Предположим для ясности, что мы принимаем время как четвертое измерение. Рассмотрим, как фигура может быть построена в xyzt -пространстве. Сопроводительная иллюстрация («Эволюция времени...») показывает одну полезную эволюцию фигуры. При t = 0 стена прорастает из почки где-то около точки «пересечения». После того, как фигура растет некоторое время, самая ранняя часть стены начинает отступать, исчезая, как Чеширский кот , но оставляя свою постоянно расширяющуюся улыбку позади. К тому времени, когда фронт роста достигает того места, где была почка, там уже не с чем пересекаться, и рост завершается, не пронзая существующую структуру. 4-фигуру, как она определена, не может существовать в 3-пространстве, но легко понимается в 4-пространстве. [4]
Более формально бутылка Клейна — это факторпространство , описываемое как квадрат [0,1] × [0,1] со сторонами, определяемыми соотношениями (0, y ) ~ (1, y ) для 0 ≤ y ≤ 1 и ( x , 0) ~ (1 − x , 1) для 0 ≤ x ≤ 1 .
Как и лента Мёбиуса , бутылка Клейна — это двумерное многообразие , которое не является ориентируемым . В отличие от ленты Мёбиуса, это замкнутое многообразие, то есть компактное многообразие без границы. В то время как лента Мёбиуса может быть вложена в трехмерное евклидово пространство R3 , бутылка Клейна не может. Однако она может быть вложена в R4 . [ 4 ]
Продолжение этой последовательности, например, создание 3-многообразия, которое не может быть вложено в R 4 , но может быть вложено в R 5 , возможно; в этом случае соединение двух концов сфероида друг с другом таким же образом, как два конца цилиндра для бутылки Клейна, создает фигуру, называемую «сфероидом бутылки Клейна», которая не может быть полностью вложена в R 4 . [5]
Бутылку Клейна можно рассматривать как расслоение волокон над окружностью S 1 со волокном S 1 следующим образом: берется квадрат (по модулю отношения эквивалентности, идентифицирующего ребро) сверху, который равен E , общему пространству, в то время как базовое пространство B задается единичным интервалом в y , по модулю 1~0 . Проекция π: E → B тогда задается как π([ x , y ]) = [ y ] .
Бутылку Клейна можно построить (в четырехмерном пространстве, поскольку в трехмерном пространстве это невозможно сделать, не допуская пересечения поверхности с самой собой) путем соединения краев двух лент Мёбиуса, как описано в следующем лимерике Лео Мозера : [6]
Математик по имени Клейн
Считал ленту Мёбиуса божественной.
Он сказал: «Если склеить
края двух,
Получится странная бутылка, как у меня».
Первоначальное построение бутылки Клейна путем идентификации противоположных граней квадрата показывает, что бутылке Клейна можно задать комплексную структуру CW с одной 0-клеткой P , двумя 1-клетками C 1 , C 2 и одной 2-клеткой D . Таким образом, ее эйлерова характеристика равна 1 − 2 + 1 = 0 . Граничный гомоморфизм задается соотношениями ∂ D = 2 C 1 и ∂ C 1 = ∂ C 2 = 0 , что дает группы гомологии бутылки Клейна K следующим образом: H 0 ( K , Z ) = Z , H 1 ( K , Z ) = Z ×( Z /2 Z ) и H n ( K , Z ) = 0 для n > 1 .
Существует 2-1 покрывающая карта из тора в бутылку Клейна, поскольку две копии фундаментальной области бутылки Клейна, одна из которых помещена рядом с зеркальным отображением другой, дают фундаментальную область тора. Универсальным покрытием как тора, так и бутылки Клейна является плоскость R 2 .
Фундаментальная группа бутылки Клейна может быть определена как группа преобразований палубы универсального покрытия и имеет представление ⟨ a , b | ab = b −1 a ⟩ . Отсюда следует, что она изоморфна , единственному нетривиальному полупрямому произведению аддитивной группы целых чисел с собой.
Шести цветов достаточно, чтобы раскрасить любую карту на поверхности бутылки Клейна; это единственное исключение из гипотезы Хивуда , обобщения теоремы о четырех красках , для которой потребовалось бы семь цветов.
Бутылка Клейна гомеоморфна связной сумме двух проективных плоскостей . [7] Она также гомеоморфна сфере плюс две крестообразные крышки .
При вложении в евклидово пространство бутылка Клейна является односторонней. Однако существуют и другие топологические 3-пространства, и в некоторых неориентируемых примерах бутылка Клейна может быть вложена так, что она будет двухсторонней, хотя из-за природы пространства она остается неориентируемой. [2]
Разрезание бутылки Клейна пополам вдоль ее плоскости симметрии приводит к двум зеркальным отражениям лент Мёбиуса , т. е. одна с левым полуповоротом, а другая с правым полуповоротом (одна из них изображена справа). Помните, что изображенное пересечение на самом деле не существует. [8]
Одно из описаний типов простых замкнутых кривых, которые могут появляться на поверхности бутылки Клейна, дается с использованием первой группы гомологии бутылки Клейна, вычисленной с целыми коэффициентами. Эта группа изоморфна Z × Z 2 . С точностью до изменения ориентации единственными классами гомологии, которые содержат простые замкнутые кривые, являются следующие: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). С точностью до изменения ориентации простой замкнутой кривой, если она лежит внутри одной из двух поперечных крышек, составляющих бутылку Клейна, то она находится в классе гомологии (1,0) или (1,1); если она разрезает бутылку Клейна на две ленты Мёбиуса, то она находится в классе гомологии (2,0); если она разрезает бутылку Клейна на кольцо, то она находится в классе гомологии (0,1); и если ограничивает диск, то он находится в классе гомологии (0,0). [4]
Чтобы сделать погружение "восьмерки" или "бублика" бутылки Клейна, можно начать с ленты Мёбиуса и свернуть ее так, чтобы край оказался на средней линии; поскольку край только один, он встретится там, пройдя через среднюю линию. Он имеет особенно простую параметризацию как тор "восьмерки" с полуповоротом: [4]
для 0 ⩽ θ < 2π, 0 ⩽ v < 2π и r > 2.
В этом погружении самопересечение окружности (где sin( v ) равен нулю) является геометрической окружностью в плоскости xy . Положительная константа r является радиусом этой окружности. Параметр θ задает угол в плоскости xy , а также поворот восьмерки, а v определяет положение вокруг поперечного сечения в форме восьмерки. С указанной выше параметризацией поперечное сечение представляет собой кривую Лиссажу 2:1 .
Непересекающуюся 4-мерную параметризацию можно смоделировать по образцу плоского тора :
где R и P — константы, определяющие соотношение сторон, θ и v аналогичны тем, что определены выше. v определяет положение вокруг восьмерки, а также положение в плоскости xy. θ определяет угол поворота восьмерки и положение вокруг плоскости zw. ε — любая малая константа, а ε sin v — небольшой зависящий от v выступ в пространстве zw , позволяющий избежать самопересечения. Выступ v заставляет самопересекающуюся двумерную/плоскую восьмерку растягиваться в трехмерную стилизованную форму «картофельных чипсов» или седла в пространстве xyw и xyz, рассматриваемом с ребра. Когда ε=0, самопересечение представляет собой окружность в плоскости zw <0, 0, cos θ , sin θ >. [4]
Защемленный тор, возможно, является простейшей параметризацией бутылки Клейна как в трех, так и в четырех измерениях. Это тор, который в трех измерениях сплющивается и проходит через себя с одной стороны. К сожалению, в трех измерениях эта параметризация имеет две точки защемления , что делает ее нежелательной для некоторых приложений. В четырех измерениях амплитуда z вращается в амплитуду w , и нет никаких самопересечений или точек защемления. [4]
Можно рассматривать это как трубку или цилиндр, который оборачивается вокруг, как в торе, но его круглое поперечное сечение переворачивается в четырех измерениях, представляя свою «заднюю сторону», когда оно снова соединяется, так же, как поперечное сечение ленты Мёбиуса вращается перед тем, как снова соединиться. Трехмерная ортогональная проекция этого — защемленный тор, показанный выше. Так же, как лента Мёбиуса является подмножеством сплошного тора, трубка Мёбиуса является подмножеством тороидально замкнутого сфериндера (сплошного сферитора).
Параметризация трехмерного погружения самой бутылки гораздо сложнее.
для 0 ≤ u < π и 0 ≤ v < 2π. [4]
Регулярные 3D-погружения бутылки Клейна делятся на три регулярных гомотопических класса. [9] Эти три класса представлены следующим образом:
Традиционное погружение в бутылку Клейна является ахиральным . Погружение в виде восьмерки является хиральным. (Погружение в виде защемленного тора выше не является регулярным, поскольку имеет точки защемления, поэтому оно не имеет отношения к этому разделу.)
Если традиционную бутылку Клейна разрезать в плоскости симметрии, она распадается на две ленты Мёбиуса противоположной хиральности. Восьмерку бутылку Клейна можно разрезать на две ленты Мёбиуса той же хиральности, и ее нельзя регулярно деформировать в ее зеркальное отражение. [4]
Обобщение бутылки Клейна на более высокий род дано в статье о фундаментальном многоугольнике . [10]
В другом порядке идей, построении 3-многообразий , известно, что сплошная бутылка Клейна гомеоморфна декартову произведению ленты Мёбиуса и замкнутого интервала. Сплошная бутылка Клейна является неориентируемой версией сплошного тора , эквивалентной
Поверхность Клейна , как и римановы поверхности , представляет собой поверхность с атласом, позволяющим составлять переходные карты с использованием комплексного сопряжения . Можно получить так называемую дианалитическую структуру пространства и имеет только одну сторону. [11]
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}\right.-\\&60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-\\&\left.80\cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]z(u,v)=&{\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5d921d40ba9c619980533c34235fd121d6e557)
