Полигон

Плоская фигура, ограниченная отрезками прямых

Некоторые многоугольники разных видов: открытые (исключая границу), имеющие только границу (исключая внутреннюю часть), замкнутые (включая как границу, так и внутреннюю часть) и самопересекающиеся.

В геометрии многоугольник ( / ˈ p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) — это плоская фигура, состоящая из отрезков прямых , соединенных в замкнутую многоугольную цепь .

Сегменты замкнутой многоугольной цепи называются ее ребрами или сторонами . Точки, где встречаются два ребра, являются вершинами или углами многоугольника . N -угольник — это многоугольник с n сторонами; например, треугольник — это 3-угольник.

Простой многоугольник — это тот, который не пересекает сам себя. Точнее, единственными допустимыми пересечениями между отрезками линий, которые составляют многоугольник, являются общие конечные точки последовательных отрезков в многоугольной цепи. Простой многоугольник — это граница области плоскости, которая называется сплошным многоугольником . Внутренняя часть сплошного многоугольника — это его тело , также известное как многоугольная область или многоугольная область . В контекстах, где речь идет только о простых и сплошных многоугольниках, многоугольник может относиться только к простому многоугольнику или к сплошному многоугольнику.

Полигональная цепь может пересекать сама себя, создавая звездчатые многоугольники и другие самопересекающиеся многоугольники . Некоторые источники также считают замкнутые полигональные цепи в евклидовом пространстве типом многоугольника ( косой многоугольник ), даже если цепь не лежит в одной плоскости.

Полигон — это двумерный пример более общего многогранника в любом количестве измерений. Существует множество других обобщений полигонов, определенных для различных целей.

Этимология

Слово polygon происходит от греческого прилагательного πολύς ( polús ) 'много', 'много' и γωνία ( gōnía ) 'угол' или 'колен'. Было высказано предположение, что γόνυ ( gónu ) 'колено' может быть источником gon . ^[1]

Классификация

Некоторые различные типы полигонов

Количество сторон

Многоугольники в первую очередь классифицируются по количеству сторон.

Выпуклость и пересечение

Многоугольники можно охарактеризовать по типу их выпуклости или невыпуклости:

• Выпуклый : любая линия, проведенная через многоугольник (и не касательная к ребру или углу), пересекает его границу ровно дважды. Как следствие, все его внутренние углы меньше 180°. Эквивалентно, любой отрезок прямой с конечными точками на границе проходит только через внутренние точки между его конечными точками. Это условие справедливо для многоугольников в любой геометрии, а не только евклидовой. ^[2]
• Невыпуклый: может быть найдена линия, которая пересекает свою границу более двух раз. Эквивалентно, существует отрезок линии между двумя граничными точками, который выходит за пределы многоугольника.
• Простой : граница многоугольника не пересекает саму себя. Все выпуклые многоугольники являются простыми.
• Вогнутый : Невыпуклый и простой. Есть по крайней мере один внутренний угол больше 180°.
• Звездообразный : вся внутренняя часть видна как минимум из одной точки, не пересекая ни одного края. Многоугольник должен быть простым и может быть выпуклым или вогнутым. Все выпуклые многоугольники имеют звездообразную форму.
• Самопересекающийся : граница многоугольника пересекает саму себя. Термин «комплексный» иногда используется в противопоставлении « простой» , но такое использование рискует спутать с идеей сложного многоугольника как того, который существует в комплексной плоскости Гильберта , состоящей из двух комплексных измерений.
• Звездчатый многоугольник : многоугольник, который самопересекается правильным образом. Многоугольник не может быть одновременно звездой и иметь форму звезды.

Равенство и симметрия

• Равноугольный : все углы равны.
• Равносторонний : все ребра имеют одинаковую длину.
• Правильный : как равносторонний, так и равноугольный.
• Циклический : все углы лежат на одной окружности , называемой описанной окружностью .
• Тангенциальный : все стороны касаются вписанной окружности .
• Изогональный или вершинно-транзитивный : все углы лежат в пределах одной и той же орбиты симметрии . Многоугольник также является вписанным и равноугольным.
• Изотоксальный или транзитивный по ребру : все стороны лежат в пределах одной и той же орбиты симметрии . Многоугольник также равносторонний и касательный.

Свойство регулярности можно определить и другими способами: многоугольник является правильным тогда и только тогда, когда он является одновременно изогональным и изотоксальным, или, что эквивалентно, он является одновременно вписанным и равносторонним. Невыпуклый правильный многоугольник называется правильным звездчатым многоугольником .

Разнообразный

• Прямолинейный : стороны многоугольника пересекаются под прямым углом, т.е. все его внутренние углы равны 90 или 270 градусов.
• Монотонно относительно заданной прямой L : каждая прямая, ортогональная L, пересекает многоугольник не более двух раз.

Свойства и формулы

Разбиение n -угольника на n − 2 треугольника

Везде предполагается евклидова геометрия .

Углы

У любого многоугольника столько же углов, сколько и сторон. Каждый угол имеет несколько углов. Два самых важных из них:

• Внутренний угол – Сумма внутренних углов простого n -угольника равна ( n − 2) × π радиан или ( n − 2) × 180 градусов . Это связано с тем, что любой простой n -угольник (имеющий n сторон) можно считать составленным из ( n − 2) треугольников, каждый из которых имеет сумму углов π радиан или 180 градусов. Мера любого внутреннего угла выпуклого правильного n -угольника равнарадианам илиградусам. Внутренние углы правильных звездчатых многоугольников были впервые изучены Пуансо в той же статье, в которой он описал четыре правильных звездчатых многогранника : для правильного-угольника ( p -угольника с центральной плотностью q ) каждый внутренний угол равенрадианам илиградусам. ^[3] ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi }$ ${\displaystyle 180-{\tfrac {360}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {180(p-2q)}{p}}}$
• Внешний угол – внешний угол является дополнительным углом к ​​внутреннему углу. При обходе выпуклого n -угольника угол, «повернутый» на углу, является внешним или внешним углом. Обход всего многоугольника делает один полный оборот , поэтому сумма внешних углов должна быть 360°. Этот аргумент можно обобщить для вогнутых простых многоугольников, если внешние углы, которые поворачиваются в противоположном направлении, вычесть из общего поворота. При обходе n -угольника в общем случае сумма внешних углов (общая величина, на которую один поворот совершается в вершинах) может быть любым целым числом, кратным d 360°, например, 720° для пентаграммы и 0° для угловой «восьмерки» или антипараллелограмма , где d — плотность или число поворотов многоугольника.

Область

Координаты невыпуклого пятиугольника

В этом разделе вершины рассматриваемого многоугольника считаются упорядоченными. Для удобства в некоторых формулах также будет использоваться обозначение ( x _n , y _n ) = ( x ₀ , y ₀ ) . ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$

Простые многоугольники

Если многоугольник не является самопересекающимся (то есть простым ), то площадь со знаком равна

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},}$

или, используя определители

${\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}$

где — квадрат расстояния между и ^{[4] [5]} ${\displaystyle Q_{i,j}}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle (x_{j},y_{j}).}$

Площадь со знаком зависит от порядка вершин и ориентации плоскости . Обычно положительная ориентация определяется вращением (против часовой стрелки), которое отображает положительную ось x в положительную ось y . Если вершины упорядочены против часовой стрелки (то есть в соответствии с положительной ориентацией), площадь со знаком положительна; в противном случае она отрицательна. В любом случае формула площади верна по абсолютной величине . Это обычно называется формулой шнурка или формулой геодезиста . ^[6]

Площадь A простого многоугольника также можно вычислить _, если известны длины сторон a ₁ , a ₂ , ..., a _n и внешние углы θ 1 , θ ₂ , ..., θ _{n , из:}

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}$

Формула была описана Лопшицем в 1963 году. ^[7]

Если многоугольник можно нарисовать на равноотстоящей сетке так, чтобы все его вершины были точками сетки, теорема Пика дает простую формулу для площади многоугольника на основе количества внутренних и граничных точек сетки: первое число плюс половина второго числа, минус 1.

В каждом многоугольнике с периметром p и площадью A выполняется изопериметрическое неравенство . ^[8] ${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$

Для любых двух простых многоугольников равной площади теорема Бойяи–Гервина утверждает, что первый можно разрезать на многоугольные части, которые затем можно собрать во второй многоугольник.

Длины сторон многоугольника в общем случае не определяют его площадь. ^[9] Однако, если многоугольник простой и вписанный, то стороны определяют площадь. ^[10] Из всех n -угольников с заданными длинами сторон, тот, у которого наибольшая площадь, является вписанным. Из всех n -угольников с заданным периметром, тот, у которого наибольшая площадь, является правильным (и, следовательно, вписанным). ^[11]

Правильные многоугольники

Для вычисления площадей правильных многоугольников применимо множество специальных формул .

Площадь правильного многоугольника определяется через радиус r вписанной в него окружности и его периметр p по формуле

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$

Этот радиус также называется апофемой и часто обозначается как .

Площадь правильного n -угольника через радиус R описанной окружности можно выразить тригонометрически как: ^{[12] [13]}

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$

Площадь правильного n- угольника, вписанного в окружность единичного радиуса со стороной s и внутренним углом, можно также выразить тригонометрически как: ${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.}$

Самопересекающийся

Площадь самопересекающегося многоугольника можно определить двумя способами, дающими разные ответы:

• Используя формулы для простых многоугольников, мы допускаем, что отдельные области внутри многоугольника могут иметь свою площадь, умноженную на коэффициент, который мы называем плотностью области . Например, центральный выпуклый пятиугольник в центре пентаграммы имеет плотность 2. Две треугольные области крестообразного четырехугольника (например, цифры 8) имеют противоположные знаки плотности, и сложение их площадей может дать общую площадь, равную нулю, для всей фигуры. ^[14]
• Рассматривая замкнутые области как множества точек, мы можем найти площадь замкнутого множества точек. Это соответствует площади плоскости, охватываемой многоугольником, или площади одного или нескольких простых многоугольников, имеющих тот же контур, что и самопересекающийся. В случае перекрестного четырехугольника он рассматривается как два простых треугольника. ^{[ необходима цитата ]}

Центроид

Используя то же соглашение для координат вершин, что и в предыдущем разделе, координаты центра тяжести сплошного простого многоугольника равны

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$

В этих формулах необходимо использовать знаковое значение площади . ${\displaystyle A}$

Для треугольников ( n = 3 ) центры тяжести вершин и объемной фигуры совпадают, но, в общем случае, это неверно для n > 3. Центр тяжести множества вершин многоугольника с n вершинами имеет координаты

${\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}$

${\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}$

Обобщения

Идея многоугольника была обобщена различными способами. Вот некоторые из наиболее важных:

• Сферический многоугольник — это контур дуг больших окружностей (сторон) и вершин на поверхности сферы. Он допускает двуугольник , многоугольник, имеющий только две стороны и два угла, что невозможно на плоскости. Сферические многоугольники играют важную роль в картографии (составлении карт) и в построении Витхоффом однородных многогранников .
• Косой многоугольник не лежит в плоскости, а зигзагообразен в трех (или более) измерениях. Многоугольники Петри правильных многогранников являются хорошо известными примерами.
• Апейрогон — это бесконечная последовательность сторон и углов, которая не замкнута, но и не имеет концов, поскольку простирается бесконечно в обоих направлениях.
• Косой апейрогон — это бесконечная последовательность сторон и углов, которые не лежат в одной плоскости.
• Многоугольник с отверстиями — это связный по площади или многосвязный плоский многоугольник с одной внешней границей и одной или несколькими внутренними границами (отверстиями).
• Сложный многоугольник — это конфигурация, аналогичная обычному многоугольнику, которая существует в комплексной плоскости двух действительных и двух мнимых измерений.
• Абстрактный многоугольник — это алгебраическое частично упорядоченное множество , представляющее различные элементы (стороны, вершины и т. д.) и их связность. Реальный геометрический многоугольник называется реализацией соответствующего абстрактного многоугольника. В зависимости от отображения все описанные здесь обобщения могут быть реализованы.
• Многогранник — это трехмерное тело, ограниченное плоскими многоугольными гранями, аналогично многоугольнику в двух измерениях. Соответствующие формы в четырех или более измерениях называются многогранниками . ^[15] (В других соглашениях слова многогранник и многогранник используются в любом измерении, с тем различием между ними, что многогранник обязательно ограничен. ^[16] )

Нейминг

Слово polygon происходит от позднелатинского polygōnum (существительное), от греческого πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ), существительного, использующего средний род от πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos , прилагательное мужского рода), что означает «многоугольный». Отдельные многоугольники называются (и иногда классифицируются) в соответствии с числом сторон, комбинируя греческий -производный числовой префикс с суффиксом -gon , например, pentagon , dodecagon . Треугольник , четырехугольник и девятиугольник являются исключениями.

Помимо декагонов (10-угольников) и додекагонов (12-угольников), математики обычно используют числовые обозначения, например, 17-угольник и 257-угольник. ^[17]

Исключения существуют для количества сторон, которые легко выразить в словесной форме (например, 20 и 30), или которые используются нематематиками. Некоторые специальные многоугольники также имеют свои собственные названия; например, правильный звездный пятиугольник также известен как пентаграмма .

Чтобы составить имя многоугольника с более чем 20 и менее чем 100 ребрами, объедините префиксы следующим образом. ^[21] Термин «kai» применяется к 13-угольникам и выше и использовался Кеплером , а также пропагандировался Джоном Х. Конвеем для ясности конкатенированных префиксных чисел в именовании квазиправильных многогранников , ^[25] хотя не все источники используют его.

История

Историческое изображение многоугольников (1699)

Многоугольники известны с древних времен. Правильные многоугольники были известны древним грекам, с пентаграммой , невыпуклым правильным многоугольником ( звездчатым многоугольником ), появившимся еще в VII веке до н. э. на кратере Аристофана , найденном в Цере и ныне находящемся в Капитолийском музее . ^{[40] [41} ]

Первое известное систематическое исследование невыпуклых многоугольников в целом было проведено Томасом Брэдвардином в 14 веке. ^[42]

В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил идею многоугольников на комплексную плоскость, где каждое действительное измерение сопровождается мнимым , чтобы создать сложные многоугольники . ^[43]

В природе

Дорога гигантов в Северной Ирландии

Многоугольники встречаются в горных породах, чаще всего в виде плоских граней кристаллов , где углы между сторонами зависят от типа минерала, из которого сделан кристалл.

Правильные шестиугольники могут образовываться, когда при охлаждении лавы образуются области плотно упакованных базальтовых колонн , которые можно увидеть на Тропе гигантов в Северной Ирландии или на Столбах дьявола в Калифорнии .

В биологии поверхность восковых сот, созданных пчелами, представляет собой массив шестиугольников , а стороны и основание каждой ячейки также являются многоугольниками.

Компьютерная графика

В компьютерной графике полигон — это примитив, используемый в моделировании и рендеринге. Они определяются в базе данных, содержащей массивы вершин (координаты геометрических вершин , а также другие атрибуты полигона, такие как цвет, затенение и текстура), информацию о связях и материалы. ^{[44] [45]}

Любая поверхность моделируется как тесселяция, называемая полигональной сеткой . Если квадратная сетка имеет n + 1 точек (вершин) на сторону, то в сетке есть n квадратных квадратов или 2 n квадратных треугольников, поскольку в квадрате два треугольника. На треугольник приходится ( n + 1) ² / 2( n ² ) вершин. Когда n велико, это приближается к половине. Или каждая вершина внутри квадратной сетки соединяет четыре ребра (линии).

Система визуализации вызывает из базы данных структуру полигонов, необходимых для создания сцены. Она передается в активную память и, наконец, в систему отображения (экран, телевизионные мониторы и т. д.), чтобы сцену можно было просматривать. Во время этого процесса система визуализации визуализирует полигоны в правильной перспективе, готовой к передаче обработанных данных в систему отображения. Хотя полигоны являются двумерными, через системный компьютер они размещаются в визуальной сцене в правильной трехмерной ориентации.

В компьютерной графике и вычислительной геометрии часто необходимо определить, лежит ли заданная точка внутри простого многоугольника, заданного последовательностью отрезков. Это называется тестом точки в многоугольнике . ^[46] ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$

Смотрите также

• Булевы операции над многоугольниками
• Полный график
• Конструируемый многоугольник
• Циклический многоугольник
• Геометрическая форма
• Голигон
• Список полигонов
• Полиформ
• Полигональный суп
• Триангуляция полигона
• Точный полигон
• Спиролатеральный
• Синтетическая геометрия
• Плиточный
• Пазл-головоломка

Ссылки

Библиография

• Коксетер, HSM ; Правильные многогранники , Метуэн и Ко., 1948 (3-е издание, Дувр, 1973).
• Кромвель, П.; Многогранники , CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Грюнбаум, Б.; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретная и вычислительная геометрия: сборник Гудмена-Поллака , под ред. Аронова и др. Springer (2003) стр. 461–488. (pdf)

Примечания

1. Крейг, Джон (1849). Новый универсальный этимологический, технологический и орфоэпический словарь английского языка. Оксфордский университет. С. 404.Выдержка из стр. 404
2. Магнус, Вильгельм (1974). Неевклидовы мозаики и их группы. Чистая и прикладная математика. Т. 61. Academic Press. С. 37.
3. Каппрафф, Джей (2002). За пределами меры: экскурсия по природе, мифу и числу. World Scientific. стр. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
4. Б.Сз. Надь, Л. Редей: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Опубл. Математика. Дебрецен 1, 42–50 (1949)
5. Бурк, Пол (июль 1988 г.). "Вычисление площади и центра масс многоугольника" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 сентября 2012 г. . Получено 6 февраля 2013 г. .
6. Барт Брейден (1986). «Формула площади геодезиста» (PDF) . The College Mathematics Journal . 17 (4): 326–337. doi :10.2307/2686282. JSTOR  2686282. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-11-07.
7. AM Лопшиц (1963). Вычисление площадей ориентированных фигур . переводчики: J Massalski и C Mills Jr. DC Heath and Company: Boston, MA.
8. «Дергиадес, Николаос, «Элементарное доказательство изопериметрического неравенства», Forum Mathematicorum 2, 2002, 129–130» (PDF) .
9. Роббинс, «Многоугольники, вписанные в окружность», American Mathematical Monthly 102, июнь–июль 1995 г.
10. Пак, Игорь (2005). «Площадь циклических многоугольников: недавний прогресс в гипотезах Роббинса». Advances in Applied Mathematics . 34 (4): 690–696. arXiv : math/0408104 . doi :10.1016/j.aam.2004.08.006. MR  2128993. S2CID  6756387.
11. Чакериан, ГД «Искаженный взгляд на геометрию». Гл. 7 в Mathematical Plums (редактор Р. Хонсбергер). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
12. Площадь правильного многоугольника – вывод из Math Open Reference.
13. Правильный многоугольник с бесконечным числом сторон — это окружность: . ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=\pi \cdot R^{2}}$
14. Де Вильерс, Майкл (январь 2015 г.). «Уничтожение геометрического «монстра»: нахождение площади пересеченного четырехугольника» (PDF) . Изучение и преподавание математики . 2015 (18): 23–28.
15. Коксетер (3-е изд. 1973 г.)
16. Гюнтер Циглер (1995). «Лекции о многогранниках». Springer Graduate Texts in Mathematics , ISBN 978-0-387-94365-7 . стр. 4. 
17. Mathworld
18. Грюнбаум, Б.; «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники», Дискретная и вычислительная геометрия: сборник Гудмена-Поллака , под ред. Аронова и др., Springer (2003), стр. 464.
19. Хасс, Джоэл; Морган, Фрэнк (1996). «Геодезические сети на 2-сфере». Труды Американского математического общества . 124 (12): 3843–3850. doi : 10.1090/S0002-9939-96-03492-2 . JSTOR  2161556. MR  1343696.
20. Коксетер, HSM; Правильные многогранники , Dover Edition (1973), стр. 4.
21. Саломон, Дэвид (2011). Руководство по компьютерной графике. Springer Science & Business Media. С. 88–90. ISBN 978-0-85729-886-7.
22. Бенджамин, Эллиот; Снайдер, К. Математические труды Кембриджского философского общества 156.3 (май 2014 г.): 409–424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
23. Артур Барагар (2002) Построения с использованием циркуля и линейки с двумя зазубринами, The American Mathematical Monthly, 109:2, 151–164, doi :10.1080/00029890.2002.11919848
24. Новые элементы математики: алгебра и геометрия Чарльза Сандерса Пирса (1976), стр.298
25. "Именование многоугольников и многогранников". Спросите доктора Математики . Математический форум – Университет Дрекселя . Получено 3 мая 2015 г.
26. Сепкоски, Дэвид (2005). «Номинализм и конструктивизм в математической философии семнадцатого века». Historia Mathematica . 32 : 33–59. doi : 10.1016/j.hm.2003.09.002 .
27. Готфрид Мартин (1955), Метафизика и теория науки Канта , Manchester University Press, стр. 22.
28. Дэвид Юм, Философские труды Дэвида Юма , том 1, Black and Tait, 1826, стр. 101.
29. Гибилиско, Стэн (2003). Геометрия демистифицирована (Online-Ausg. Ed.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-141650-4.
30. Дарлинг, Дэвид Дж., Универсальная книга математики: от Абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, 2004. стр. 249. ISBN 0-471-27047-4 . 
31. Дугопольски, Марк, Колледж алгебры и тригонометрии , 2-е изд., Addison-Wesley, 1999. стр. 505. ISBN 0-201-34712-1 . 
32. Маккормик, Джон Фрэнсис, Схоластическая метафизика , Издательство университета Лойолы, 1928, стр. 18.
33. Меррилл, Джон Кэлхун и Оделл, С. Джек, Философия и журналистика , Longman, 1983, стр. 47, ISBN 0-582-28157-1 . 
34. Хосперс, Джон, Введение в философский анализ , 4-е изд., Routledge, 1997, стр. 56, ISBN 0-415-15792-7 . 
35. Мандик, Пит, Ключевые термины в философии разума , Continuum International Publishing Group, 2010, стр. 26, ISBN 1-84706-349-7 . 
36. Кенни, Энтони, Расцвет современной философии , Oxford University Press, 2006, стр. 124, ISBN 0-19-875277-6 . 
37. Балмс, Джеймс, «Фундаментальная философия», т. II , Sadlier and Co., Бостон, 1856, стр. 27.
38. Поттер, Винсент Г., О понимании понимания: философия знания , 2-е изд., Fordham University Press, 1993, стр. 86, ISBN 0-8232-1486-9 . 
39. Рассел, Бертран, История западной философии , переиздание, Routledge, 2004, стр. 202, ISBN 0-415-32505-6 . 
40. Хит, сэр Томас Литтл (1981). История греческой математики, том 1. Courier Dover Publications. стр. 162. ISBN 978-0-486-24073-2.Перепечатка оригинальной публикации 1921 года с исправленными опечатками. Хит использует латинизированное написание имени художника по вазам «Aristophonus».
41. Кратер с ослеплением Полифема и морским сражением Архивировано 2013-11-12 в Wayback Machine , Залы Кастеллани, Капитолийский музей, доступ 2013-11-11. Две пентаграммы видны около центра изображения,
42. Коксетер, HSM; Регулярные многогранники , 3-е изд., Дувр (PBK), 1973, стр. 114
43. Шепард, GC; "Правильные комплексные многогранники", Труды Лондонского Математического Общества, Серия 3, Том 2, 1952, стр. 82–97
44. "спецификация вершин OpenGL".
45. "Direct3D-рендеринг на основе вершин и треугольников". 6 января 2021 г.
46. Ширра, Стефан (2008). «Насколько надежны практические стратегии «точка в многоугольнике»?». В Гальперин, Дэн; Мельхорн, Курт (ред.). Алгоритмы — ESA 2008: 16-й ежегодный европейский симпозиум, Карлсруэ, Германия, 15–17 сентября 2008 г., Труды . Конспект лекций по информатике. Том 5193. Springer. стр. 744–755. doi :10.1007/978-3-540-87744-8_62. ISBN 978-3-540-87743-1.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольник». MathWorld .
• Что такое многогранники?, с греческими числовыми префиксами
• Полигоны, типы полигонов и свойства полигонов с интерактивной анимацией
• Как рисовать монохромные ортогональные многоугольники на экранах, Герберт Гларнер
• comp.graphics.algorithms Часто задаваемые вопросы, решения математических задач по вычислению 2D и 3D полигонов
• Сравнение различных алгоритмов для операций с булевыми значениями полигонов, сравнение возможностей, скорости и численной надежности.
• Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула. Предоставляет интерактивное исследование Java, которое расширяет формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников, включая в нее пересекающиеся (сложные) многоугольники.