stringtranslate.com

Элементы Евклида

« Начала » ( греч . Στοιχεῖα Stoikheîa ) — математический трактат , состоящий из 13 книг, приписываемых древнегреческому математику Евклиду около 300 г. до н. э. Это сборник определений, постулатов , предложений ( теорем и конструкций ) и математических доказательств предложений. Книги охватывают плоскую и объемную евклидову геометрию , элементарную теорию чисел и несоизмеримые прямые. «Начала» — старейшее из сохранившихся крупномасштабных дедуктивных изложений математики. Оно сыграло важную роль в развитии логики и современной науки , и его логическая строгость не была превзойдена до 19 века [ требуется ссылка ] .

«Начала» Евклида называют самым успешным [a] [b] и влиятельным [c] учебником из когда-либо написанных. Это был один из самых ранних математических трудов, напечатанных после изобретения печатного станка , и, по оценкам, он уступает только Библии по количеству изданий, опубликованных с момента первого издания в 1482 году, [1] число которых значительно превысило тысячу. [d] В течение столетий, когда квадривиум был включен в учебную программу всех студентов университетов, знание по крайней мере части «Начал» Евклида требовалось от всех студентов. Только в 20 веке, когда его содержание повсеместно преподавалось через другие школьные учебники, он перестал считаться чем-то, что прочитали все образованные люди. [ необходима цитата ]

История

Фрагмент «Начал» Евклида на части папирусов Оксиринха
Двойная страница из арабского перевода « Начал » Исхака ибн Хунайна . Ирак , 1270. Библиотека Честера Битти

Основа в более ранней работе

Иллюстрации к рукописи, основанной на переводе « Начал » Аделарда Батского , ок. 1309–1316 гг.; перевод Аделарда — старейший сохранившийся перевод « Начал» на латынь, выполненный в XII веке и переведенный с арабского. [2]

Ученые полагают, что «Начала» в значительной степени представляют собой сборник положений, основанных на книгах более ранних греческих математиков. [3]

Прокл (412–485 гг. н. э.), греческий математик, живший примерно через семь столетий после Евклида, писал в своих комментариях к «Началам» : «Евклид, который составил « Начала» , собрал многие теоремы Евдокса , усовершенствовал многие теоремы Теэтета , а также довел до неопровержимого доказательства то, что было лишь несколько вольно доказано его предшественниками».

Пифагор ( ок. 570–495 до н. э.) был, вероятно, источником для большинства книг I и II, Гиппократ Хиосский ( ок. 470–410 до н. э., а не более известный Гиппократ Косский ) для книги III, и Евдокс Книдский ( ок. 408–355 до н. э.) для книги V, в то время как книги IV, VI, XI и XII, вероятно, были написаны другими пифагорейскими или афинскими математиками. [4] « Начала» , возможно, были основаны на более раннем учебнике Гиппократа Хиосского, который также мог быть инициатором использования букв для обозначения фигур. [5] Сообщается также, что другие подобные работы были написаны Тевдием Магнезийским , Леоном и Гермотимом Колофонским. [6] [7]

Передача текста

В IV веке нашей эры Теон Александрийский создал издание Евклида, которое использовалось так широко, что оно стало единственным сохранившимся источником до тех пор, пока Франсуа Пейрар в 1808 году не обнаружил в Ватикане рукопись, не происходящую от Теона. Эта рукопись, рукопись Гейберга , была создана в византийской мастерской около 900 года и является основой современных изданий. [8] Папирус Оксиринх 29 представляет собой крошечный фрагмент еще более древней рукописи, но содержит только утверждение одного предложения.

Хотя Евклид был известен Цицерону , например, не существует никаких записей о том, что текст был переведен на латынь до Боэция в пятом или шестом веке. [2] Арабы получили «Начала» от византийцев около 760 года; эта версия была переведена на арабский язык при Харуне ар-Рашиде ( ок. 800). [2] Византийский ученый Арефа заказал копирование одной из сохранившихся греческих рукописей Евклида в конце девятого века. [9] Хотя «Начала» были известны в Византии, для Западной Европы они были утеряны примерно до 1120 года, когда английский монах Аделард из Бата перевел их на латынь с арабского перевода. [e] Сравнительно недавно был обнаружен перевод с греческого на латынь XII века в Палермо, Сицилия. Имя переводчика неизвестно, за исключением того, что он был анонимным студентом-медиком из Салерно, который посетил Палермо, чтобы перевести « Альмагест» на латынь. Рукопись Евклида сохранилась и является вполне полной. [11]

После перевода Аделарда Батского (известного как Аделард I) последовал шквал переводов с арабского. Известными переводчиками этого периода являются Герман Каринтийский , написавший издание около 1140 года, Роберт Честерский (его рукописи упоминаются как Аделард II, написанные в 1251 году или ранее), Иоганнес де Тинемю [12] , возможно, также известный как Иоанн Тайнмутский (его рукописи упоминаются как Аделард III), конец 12 века, и Герард Кремонский (где-то после 1120 года, но до 1187 года). Точные детали, касающиеся этих переводов, все еще являются активной областью исследований. [13] [ нужна страница ] Кампанус из Новары в значительной степени опирался на эти арабские переводы, чтобы создать свое издание (где-то до 1260 года), которое в конечном итоге стало доминировать над латинскими изданиями до появления греческих рукописей в 16 веке. На сегодняшний день доступно более 100 рукописей Кампануса, датированных до 1482 года. [14] [15]

Евклид - Elementorum libri XV Париж, Иероним де Марнеф и Гийом Кавела, 1573 г. (второе издание после изд. 1557 г.); в 8:350, (2)с. ТОМАС-СТЭНФОРД, Ранние издания « Элементов Евклида» , № 32. Упоминается в переводе Т.Л. Хита. Частное собрание Гектор Зенил.

Первое печатное издание появилось в 1482 году (на основе перевода Кампануса), [16] и с тех пор оно было переведено на многие языки и опубликовано примерно в тысяче различных изданий. Греческое издание Теона было восстановлено и опубликовано в 1533 году [17] на основе Paris gr. 2343 и Venetus Marcianus 301. [18] В 1570 году Джон Ди предоставил широко уважаемое «Математическое предисловие», вместе с обширными примечаниями и дополнительным материалом, к первому английскому изданию Генри Биллингсли .

Копии греческого текста все еще существуют, некоторые из них можно найти в Ватиканской библиотеке и Бодлеанской библиотеке в Оксфорде. Доступные рукописи имеют разное качество и неизменно неполны. Тщательный анализ переводов и оригиналов позволил выдвинуть гипотезы о содержании оригинального текста (копии которого больше не доступны).

Древние тексты, которые ссылаются на сами «Начала» и на другие математические теории, которые были актуальны во время их написания, также важны в этом процессе. Такие анализы проводятся Дж. Л. Хейбергом и сэром Томасом Литтл Хитом в их изданиях текста.

Также важны схолии , или примечания к тексту. Эти дополнения, которые часто отличались от основного текста (в зависимости от рукописи), постепенно накапливались с течением времени, поскольку мнения о том, что было достойно объяснения или дальнейшего изучения, менялись.

Влияние

Страница с заметками на полях из первого печатного издания «Начал» , напечатанного Эрхардом Ратдольтом в 1482 году.

« Начала» по-прежнему считаются шедевром в применении логики к математике . В историческом контексте они оказали огромное влияние на многие области науки . Ученые Николай Коперник , Иоганн Кеплер , Галилео Галилей , Альберт Эйнштейн и сэр Исаак Ньютон находились под влиянием «Начал» и применяли свои знания в своей работе. [19] [20] Математики и философы, такие как Томас Гоббс , Барух Спиноза , Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , пытались создать свои собственные основополагающие «Начала» для своих соответствующих дисциплин, принимая аксиоматизированные дедуктивные структуры, которые представила работа Евклида.

Строгая красота евклидовой геометрии воспринималась многими представителями западной культуры как проблеск потусторонней системы совершенства и определенности. Авраам Линкольн держал копию Евклида в своей седельной сумке и изучал ее поздно ночью при свете лампы; он рассказывал, что сказал себе: «Вы никогда не сможете стать юристом, если не понимаете, что означает «доказывать»; и я оставил свое положение в Спрингфилде , отправился домой в дом моего отца и оставался там до тех пор, пока не смог дать какое-либо предложение из шести книг Евклида с листа». [21] [22] Эдна Сент-Винсент Миллей написала в своем сонете «Евклид один взглянул на Красотку обнаженную», «О ослепительный час, о святой, ужасный день, / Когда впервые в его видение засияла стрела / Анатомированного света!». Альберт Эйнштейн вспоминал копию «Начал» и магнитный компас как два подарка, которые оказали на него большое влияние в детстве, называя Евклида «святой маленькой геометрической книгой». [23] [24]

Успех «Начал» обусловлен прежде всего логическим изложением большинства математических знаний, доступных Евклиду. Большая часть материала не является его оригинальной, хотя многие доказательства принадлежат ему. Однако систематическое развитие Евклидом своего предмета, от небольшого набора аксиом до глубоких результатов, и последовательность его подхода на протяжении «Начал» , способствовали использованию его в качестве учебника в течение примерно 2000 лет. « Начала» по-прежнему оказывают влияние на современные книги по геометрии. Более того, его логический, аксиоматический подход и строгие доказательства остаются краеугольным камнем математики.

В современной математике

Одним из наиболее заметных влияний Евклида на современную математику является обсуждение постулата о параллельных прямых . В книге I Евклид перечисляет пять постулатов, пятый из которых предусматривает

Если отрезок пересекает две прямые линии , образуя два внутренних угла с одной стороны, сумма которых меньше двух прямых углов , то эти две линии, если их продолжить до бесконечности, встретятся с той стороны, сумма которых меньше двух прямых углов.

Различные версии постулата параллельности приводят к различным геометриям.

Этот постулат мучил математиков на протяжении столетий из-за его кажущейся сложности по сравнению с четырьмя другими постулатами. Было сделано много попыток доказать пятый постулат на основе остальных четырех, но они никогда не увенчались успехом. В конце концов, в 1829 году математик Николай Лобачевский опубликовал описание острой геометрии (или гиперболической геометрии ), геометрии, которая предполагала другую форму постулата параллельности. На самом деле возможно создать правильную геометрию без пятого постулата вообще или с другими версиями пятого постулата ( эллиптическая геометрия ). Если принять пятый постулат как данность, результатом будет евклидова геометрия . [ требуется цитата ]

Содержание

Метод и стиль изложения Евклида

• «Провести прямую линию из любой точки в любую точку».
• «Описать окружность с любым центром и расстоянием».

Евклид, Элементы , Книга I, Постулаты 1 и 3. [26]

Анимация, показывающая, как Евклид построил шестиугольник (Книга IV, Предложение 15). Каждая двумерная фигура в Элементах может быть построена с использованием только циркуля и линейки. [26]
Ватиканский кодекс 190

Аксиоматический подход и конструктивные методы Евклида оказали огромное влияние.

Многие из предложений Евклида были конструктивными, демонстрируя существование некоторой фигуры, подробно описывая шаги, которые он использовал для построения объекта с помощью циркуля и линейки . Его конструктивный подход проявляется даже в постулатах его геометрии, поскольку первый и третий постулаты, утверждающие существование линии и окружности, являются конструктивными. Вместо того чтобы утверждать, что линии и окружности существуют согласно его предыдущим определениям, он утверждает, что возможно «построить» линию и окружность. Также кажется, что для того, чтобы использовать фигуру в одном из своих доказательств, ему нужно построить ее в более раннем предложении. Например, он доказывает теорему Пифагора, сначала вписывая квадрат на стороны прямоугольного треугольника, но только после построения квадрата на данной линии одним предложением ранее. [27]

Как было принято в древних математических текстах, когда предложение требовало доказательства в нескольких различных случаях, Евклид часто доказывал только один из них (часто самый сложный), оставляя остальные читателю. Более поздние редакторы, такие как Теон, часто интерполировали свои собственные доказательства этих случаев.

Представление Евклида было ограничено математическими идеями и обозначениями, принятыми в его эпоху, и это приводит к тому, что трактовка кажется современному читателю в некоторых местах неудобной. Например, не было понятия угла, большего двух прямых углов, [28] число 1 иногда рассматривалось отдельно от других положительных целых чисел, и поскольку умножение рассматривалось геометрически, он не использовал произведение более чем 3 различных чисел. Геометрическая трактовка теории чисел могла быть связана с тем, что альтернативой была бы крайне неудобная александрийская система цифр . [29]

Представление каждого результата дается в стилизованной форме, которая, хотя и не была изобретена Евклидом, признается типично классической. Она состоит из шести различных частей: сначала идет «изложение», в котором результат излагается в общих чертах (т. е. утверждение предложения). Затем следует «изложение», в котором дается фигура и обозначаются конкретные геометрические объекты буквами. Затем следует «определение» или «спецификация», в которых изложение переформулируется в терминах конкретной фигуры. Затем следует «конструкция» или «машина». Здесь исходная фигура расширяется, чтобы продвинуть доказательство. Затем следует само «доказательство». Наконец, «заключение» связывает доказательство с изложением, излагая конкретные выводы, сделанные в доказательстве, в общих чертах изложения. [30]

Не дано никаких указаний на метод рассуждения, который привел к результату, хотя «Данные» содержат инструкции о том, как подходить к типам проблем, встречающимся в первых четырех книгах « Начал» . [4] Некоторые ученые пытались найти ошибку в использовании Евклидом фигур в своих доказательствах, обвиняя его в написании доказательств, которые зависели от конкретных нарисованных фигур, а не от общей базовой логики, особенно в отношении Предложения II Книги I. Однако первоначальное доказательство Евклида этого предложения является общим, действительным и не зависит от фигуры, используемой в качестве примера для иллюстрации одной заданной конфигурации. [31]

Критика

Список аксиом Евклида в «Началах» не был исчерпывающим, но представлял принципы, которые были наиболее важными. Его доказательства часто ссылаются на аксиоматические понятия, которые изначально не были представлены в его списке аксиом. Более поздние редакторы интерполировали неявные аксиоматические предположения Евклида в список формальных аксиом. [32]

Например, в первом построении Книги 1 Евклид использовал предпосылку, которая не была ни постулирована, ни доказана: что две окружности с центрами на расстоянии их радиуса пересекутся в двух точках. [33] Позже, в четвертом построении, он использовал суперпозицию (перемещение треугольников друг на друга), чтобы доказать, что если две стороны и их углы равны, то они конгруэнтны ; во время этих рассуждений он использует некоторые свойства суперпозиции, но эти свойства не описаны явно в трактате. Если суперпозицию следует считать допустимым методом геометрического доказательства, то вся геометрия будет полна таких доказательств. Например, предложения I.2 и I.3 можно доказать тривиально с помощью суперпозиции. [34]

Математик и историк У. В. Рауз Болл рассмотрел критику в перспективе, отметив, что «тот факт, что в течение двух тысяч лет [ «Начала» ] были обычным учебником по этому предмету, дает веские основания предполагать, что они не являются непригодными для этой цели». [28]

Апокрифы

В древности не было редкостью приписывать знаменитым авторам работы, которые не были написаны ими. Именно таким образом апокрифические книги XIV и XV «Начал» иногда включались в сборник. [35] Поддельная книга XIV, вероятно, была написана Гипсиклом на основе трактата Аполлония . Книга продолжает сравнение Евклида правильных тел, вписанных в сферы, причем главным результатом является то, что отношение поверхностей додекаэдра и икосаэдра , вписанных в одну и ту же сферу, такое же, как отношение их объемов, причем это отношение равно

Поддельная Книга XV, вероятно, была написана, по крайней мере частично, Исидором Милетским . Эта книга охватывает такие темы, как подсчет числа ребер и телесных углов в правильных телах, а также нахождение меры двугранных углов граней, которые сходятся на ребре. [f]

Издания

Итальянский иезуит Маттео Риччи (слева) и китайский математик Сюй Гуанци (справа) опубликовали первое китайское издание « Начал» Евклида ( Jīhé yuánběn幾何原本) в 1607 году.
Доказательство теоремы Пифагора в «Началах Евклида » Бирна , опубликованное в цветном варианте в 1847 году.

Переводы

Английский

  1. 1570, Генри Биллингсли
  2. 1651, Томас Радд
  3. 1660, Исаак Барроу
  4. 1661, Джон Лик и Джо. Серл
  5. 1685, Уильям Галлифакс
  6. 1705, Чарльз Скарборо
  7. 1708, Джон Кейлл
  8. 1714, У. Уистон
  9. 1756, Роберт Симсон
  10. 1781, 1788 Джеймс Уильямсон
  11. 1781, Уильям Остин
  12. 1795, Джон Плейфэр
  13. 1826, Джордж Филлипс
  14. 1828, Дионисий Ларднер
  15. 1833, Томас Перронет Томпсон
  16. 1862, Айзек Тодхантер
  17. 1908, Томас Литтл Хит (переработано в 1926) по изданию Йохана Людвига Хейберга
  18. 1939, Р. Кейтсби Талиаферро

Другие языки

Издания книги I

Избранные издания, находящиеся в настоящее время в печати

Избранные издания, основанные на издании Оливера Бирна

Бесплатные версии

Смотрите также

Ссылки

Примечания

  1. ^ Уилсон 2006, стр. 278 утверждает: «Начала Евклида впоследствии стали основой всего математического образования не только в римский и византийский периоды, но и вплоть до середины 20-го века, и можно утверждать, что это самый успешный учебник из когда-либо написанных».
  2. ↑ Boyer 1991, стр. 100 отмечает: «В качестве учителей в школе он собрал группу ведущих учёных, среди которых был автор самого невероятно успешного учебника по математике из когда-либо написанных — « Начала» ( Stoichia ) Евклида».
  3. ^ Boyer 1991, стр. 119 отмечает: « Начала Евклида были не только самым ранним крупным греческим математическим трудом, дошедшим до нас, но и самым влиятельным учебником всех времен. [...] Первые печатные версии «Начал» появились в Венеции в 1482 году, это была одна из самых ранних математических книг, напечатанных на машинке; подсчитано, что с тех пор было опубликовано не менее тысячи изданий. Возможно, ни одна книга, кроме Библии, не может похвастаться таким количеством изданий, и уж точно ни одна математическая работа не имела влияния, сравнимого с влиянием « Начал» Евклида ».
  4. ^ Bunt, Jones & Bedient 1988, стр. 142 утверждают: « Начала стали известны в Западной Европе через арабов и мавров. Там «Начала» стали основой математического образования. Известно более 1000 изданий «Начал» . По всей вероятности, это, после Библии , самая распространенная книга в цивилизации западного мира».
  5. ^ В одной из старых работ утверждается, что Аделард выдал себя за мусульманского студента, чтобы получить копию в мусульманской Кордове. [10] Однако более поздние биографические работы не обнаружили четких документов, подтверждающих, что Аделард когда-либо посещал управляемую мусульманами Испанию , хотя он провел некоторое время в управляемой норманнами Сицилии и управляемой крестоносцами Антиохии, в обеих из которых проживало арабоязычное население. Charles Burnett, Adelard of Bath: Conversations with his Nephew (Кембридж, 1999); Charles Burnett, Adelard of Bath (Лондонский университет, 1987).
  6. ^ Boyer 1991, стр. 118–119 пишет: «В древние времена было не редкостью приписывать знаменитому автору работы, которые не были им написаны; так, некоторые версии « Начал » Евклида включают четырнадцатую и даже пятнадцатую книгу, обе из которых, как показали более поздние ученые, являются апокрифическими. Так называемая Книга XIV продолжает сравнение Евклидом правильных тел, вписанных в сферу, главным результатом чего является то, что отношение поверхностей додекаэдра и икосаэдра, вписанных в ту же сферу, такое же, как отношение их объемов, причем отношение равно отношению ребра куба к ребру икосаэдра, то есть . Считается, что эта книга могла быть составлена ​​Гипсиклом на основе трактата (ныне утерянного) Аполлония, сравнивающего додекаэдр и икосаэдр. [...] Поддельная Книга XV, которая является неполной, как полагают, были (по крайней мере частично) работой Исидора Милетского (ок. 532 г. н. э.), архитектора собора Святой Мудрости (Айя-София) в Константинополе. В этой книге также рассматриваются правильные тела, подсчет количества ребер и телесных углов в телах и нахождение мер двугранных углов граней, сходящихся на ребре.

Цитаты

  1. ↑ Бойер 1991, стр. 100.
  2. ^ abc Russell 2013, стр. 177.
  3. ^ Ван дер Варден 1975, с. 197.
  4. ^ ab Ball 1915, стр. 54.
  5. ↑ Болл 1915, стр. 38.
  6. ^ Унгуру, С. (1985). Поиски структуры в элементах: Евклид, Гильберт и Мюллер. Historia Mathematica 12, 176
  7. ^ Жмуд, Л. (1998). Платон как «Архитектор науки». Phonesis 43, 211
  8. ^ Самая ранняя сохранившаяся рукопись, наиболее близкая к оригинальному тексту Евклида (около 850 г.); изображение, заархивированное 20 декабря 2009 г. на Wayback Machine , одна страница
  9. ^ Рейнольдс и Уилсон 1991, стр. 57.
  10. ↑ Болл 1915, стр. 165.
  11. ^ Мердок, Джон Э. (1967). «Euclides Graeco-Latinus: неизвестный до сих пор средневековый латинский перевод элементов, сделанный непосредственно с греческого». Гарвардские исследования по классической филологии . 71 : 249–302. doi :10.2307/310767. JSTOR  310767.
  12. ^ Кнорр, Уилбур Р. (1990). «Джон Тайнмутский, он же Джон Лондонский: новый портрет выдающегося средневекового математика». Британский журнал истории науки . 23 (3): 293–330. doi :10.1017/S0007087400044009. ISSN  0007-0874. JSTOR  4026757. S2CID  144172844.
  13. ^ Бусард 2005.
  14. ^ Менсо, Фолкертс (1989). Евклид в средневековой Европе (PDF) . Каталог Беньямина.
  15. ^ Кампанус, Pal.lat.1348. «ДигиВатЛиб». digi.vatlib.it . Проверено 20 ноября 2023 г.{{cite web}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
  16. ^ Бусард 2005, стр. 1.
  17. ^ «Математические сокровища — греческое издание «Начал» Евклида | Математическая ассоциация Америки». maa.org .
  18. ^ Томас, Хит (1956). Тринадцать книг «Начал» Евклида. Том 1: Введение и книги I, II (Второе исправленное с дополнениями изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60088-8.
  19. ^ Эндрю., Липтак (2 сентября 2017 г.). «Один из самых влиятельных в мире математических текстов получает красивое, минималистичное издание». The Verge .
  20. ^ Грабинер., Джудит. «Как Эвклид когда-то правил миром». Plus Magazine .
  21. ↑ Кетчем 1901.
  22. ^ Евклид как отец-основатель
  23. ^ Хершбах, Дадли . «Эйнштейн как студент» (PDF) . Кафедра химии и химической биологии, Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс. стр. 3. Архивировано из оригинала (PDF) 2009-02-26.: о Максе Талмуде, который посещал по четвергам в течение шести лет.
  24. ^ Prindle, Joseph. «Albert Einstein – Young Einstein». www.alberteinsteinsite.com . Архивировано из оригинала 10 июня 2017 года . Получено 29 апреля 2018 года .
  25. ↑ Джойс, Д.Э. (июнь 1997 г.), «Книга X, Предложение XXIX», «Начала» Евклида , Университет Кларка
  26. ^ ab Hartshorne 2000, стр. 18.
  27. ↑ Хартшорн 2000, стр. 18–20.
  28. ^ ab Ball 1915, стр. 55.
  29. ↑ Болл 1915, стр. 54, 58, 127 .
  30. ↑ Хит 1963, стр. 216.
  31. ^ Туссен 1993, стр. 12–23.
  32. ↑ Хит 1956а, стр. 62.
  33. ↑ Хит 1956а, стр. 242.
  34. ↑ Хит 1956а, стр. 249.
  35. ↑ Бойер 1991, стр. 118–119.
  36. ^ Александерсон и Гринвальт 2012, с. 163
  37. ^ «Editio Princeps of Euclid's Elements, самый известный учебник из когда-либо опубликованных: история информации». www.historyofinformation.com . Получено 28.07.2023 .
  38. ^ «Первое печатное издание греческого текста Евклида также является первым изданием, включающим диаграммы в текст: История информации». historyofinformation.com . Получено 28.07.2023 .
  39. ↑ Насир ад-Дин ат-Туси 1594.
  40. ^ Сарма 1997, стр. 460–461.
  41. ^ "JNUL Digitized Book Repository". huji.ac.il . 22 июня 2009 г. Архивировано из оригинала 22 июня 2009 г. Получено 29 апреля 2018 г.
  42. ↑ Сервит 1907.
  43. ^ Евклид 1999.
  44. ^ Сертоз 2019.
  45. ^ ab Каллахан и Кейси 2015.

Источники

Внешние ссылки

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с «Началами» Евклида .
В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:
Элементы Евклида
На Викискладе есть медиафайлы по теме «Начала Евклида» .