Лемнискатные эллиптические функции

Математические функции

Лемнискатный синус (красный) и лемнискатный косинус (фиолетовый), примененные к действительному аргументу, в сравнении с тригонометрическим синусом y = sin( πx / ϖ ) (бледно-красный пунктир).

В математике , лемнискатные эллиптические функции являются эллиптическими функциями, связанными с длиной дуги лемнискаты Бернулли . Они были впервые изучены Джулио Фаньяно в 1718 году и позднее Леонардом Эйлером и Карлом Фридрихом Гауссом , среди прочих. ^[1]

Функции лемниската синус и лемниската косинус , обычно записываемые символами sl и cl (иногда вместо них используются символы sinlem и coslem или sin lemn и cos lemn ), ^[2] аналогичны тригонометрическим функциям синус и косинус. В то время как тригонометрический синус связывает длину дуги с длиной хорды в окружности единичного диаметра ^[3], лемниската синус связывает длину дуги с длиной хорды лемнискаты ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x,}$ ${\displaystyle {\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.}$

Функции лемнискаты имеют периоды, связанные с числом 2,622057..., называемым константой лемнискаты , отношением периметра лемнискаты к ее диаметру. Это число является четверичным аналогом ( квадратичного ) 3,141592... , отношения периметра к диаметру окружности . ${\displaystyle \varpi =}$ ${\displaystyle \pi =}$

Как комплексные функции , sl и cl имеют квадратную решетку периодов (кратную гауссовым целым числам ) с фундаментальными периодами ^[4] и являются частным случаем двух эллиптических функций Якоби на этой решетке, . ${\displaystyle \{(1+i)\varpi ,(1-i)\varpi \},}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)}$

Аналогично, гиперболический лемниската синус slh и гиперболический лемниската косинус clh имеют квадратную решетку периодов с основными периодами ${\displaystyle {\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi i{\bigr \}}.}$

Лемнискатные функции и гиперболические лемнискатные функции связаны с эллиптической функцией Вейерштрасса . ${\displaystyle \wp (z;a,0)}$

Лемнискатные функции синуса и косинуса

Определения

Лемнискатные функции sl и cl можно определить как решение задачи начального значения : ^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z,\ \operatorname {sl} 0=0,\ \operatorname {cl} 0=1,}$

или, что эквивалентно, как обратные эллиптического интеграла , отображения Шварца–Кристоффеля из комплексного единичного круга в квадрат с углами ^[6] ${\displaystyle {\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi i,-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi i{\big \}}\colon }$

${\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

За пределами этого квадрата функции можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость с помощью серии отражений .

Для сравнения, круговой синус и косинус можно определить как решение задачи начального значения:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\sin z=\cos z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\cos z=-\sin z,\ \sin 0=0,\ \cos 0=1,}$

или как обратные отображения из верхней полуплоскости в полубесконечную полосу с действительной частью между и положительной мнимой частью: ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.}$

Связь с константой лемнискаты

Функция лемниската синуса и гиперболическая лемниската синуса определяются как обратные эллиптические интегралы. Полные интегралы связаны с константой лемнискаты ϖ .

Функции лемнискаты имеют минимальный действительный период 2 ϖ , минимальный мнимый период 2 ϖ i и фундаментальные комплексные периоды и для константы ϖ, называемой константой лемнискаты , ^[7] ${\displaystyle (1+i)\varpi }$ ${\displaystyle (1-i)\varpi }$

${\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2.62205\ldots }$

Функции лемнискаты удовлетворяют основному соотношению, аналогичному соотношению ${\displaystyle \operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )},}$ ${\displaystyle \cos z={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -z{\bigr )}.}$

Константа лемнискаты ϖ является близким аналогом константы окружности π , и многие тождества, включающие π, имеют аналоги, включающие ϖ , как тождества, включающие тригонометрические функции, имеют аналоги, включающие функции лемнискаты. Например, формула Виета для π может быть записана:

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

Аналогичная формула для ϖ : ^[8]

$${\displaystyle {\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$$

Формула Мачина для π имеет вид и несколько подобных формул для π могут быть разработаны с использованием тригонометрических тождеств суммы углов, например, формула Эйлера . Аналогичные формулы могут быть разработаны для ϖ , включая следующую, найденную Гауссом: ^[9] ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.}$

Гаусс обнаружил, что константы лемнискаты и окружности связаны друг с другом средним арифметико-геометрическим M : ^[10]

$${\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}=M{\left(1,{\sqrt {2}}\!~\right)}}$$

Аргумент тождественности

Нули, полюса и симметрии

${\displaystyle \operatorname {sl} }$в комплексной плоскости. ^[11] На рисунке видно, что основные периоды и являются «минимальными» в том смысле, что они имеют наименьшее абсолютное значение среди всех периодов, действительная часть которых неотрицательна. ${\displaystyle (1+i)\varpi }$ ${\displaystyle (1-i)\varpi }$

Лемнискатные функции cl и sl являются четными и нечетными функциями соответственно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (-z)&=\operatorname {cl} z\\[6mu]\operatorname {sl} (-z)&=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

При переводах cl и sl меняются местами, а при переводах они дополнительно поворачиваются и совершают возвратно-поступательные движения : ^[12] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}i\varpi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\mp \operatorname {sl} z,&{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\mp i}{\operatorname {sl} z}}\\[6mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\pm \operatorname {cl} z,&{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\pm i}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}}$

Удвоение этих значений до значений , кратных единице (то есть, или ), отрицает каждую функцию, инволюцию : ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle \pm \varpi }$ ${\displaystyle \pm i\varpi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )&=\operatorname {cl} (z+i\varpi )=-\operatorname {cl} z\\[4mu]\operatorname {sl} (z+\varpi )&=\operatorname {sl} (z+i\varpi )=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

В результате обе функции инвариантны относительно сдвига на четное гауссово целое число, кратное . ^[13] То есть, смещение на для целых чисел a , b и k . ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle (a+bi)\varpi ,}$ ${\displaystyle a+b=2k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z\\[4mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

Это делает их эллиптическими функциями (дважды периодическими мероморфными функциями в комплексной плоскости) с диагональной квадратной решеткой периодов основных периодов и . ^[14] Эллиптические функции с квадратной решеткой периодов более симметричны, чем произвольные эллиптические функции, следуя симметриям квадрата. ${\displaystyle (1+i)\varpi }$ ${\displaystyle (1-i)\varpi }$

Отражения и повороты на четверть оборота аргументов функции лемнискаты имеют простые выражения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sl} z}}\\[4mu]\operatorname {cl} iz&={\frac {1}{\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} iz&=i\operatorname {sl} z\end{aligned}}}$

Функция sl имеет простые нули в гауссовых целых числах, кратных ϖ , комплексных числах вида для целых чисел a и b . Она имеет простые полюса в гауссовых полуцелых числах, кратных ϖ , комплексных числах вида , с остатками . Функция cl отражается и смещается относительно функции sl , . Она имеет нули для аргументов и полюса для аргументов с остатками ${\displaystyle a\varpi +b\varpi i}$ ${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i}$ ${\displaystyle (-1)^{a-b+1}i}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi i}$ ${\displaystyle a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i,}$ ${\displaystyle (-1)^{a-b}i.}$

Также

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sl} w\leftrightarrow z=(-1)^{m+n}w+(m+ni)\varpi }$

для некоторых и ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} ((1\pm i)z)=(1\pm i){\frac {\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} 'z}}.}$

Последняя формула является частным случаем комплексного умножения . Аналогичные формулы можно привести для , где есть любое гауссово целое число – функция имеет комплексное умножение на . ^[15] ${\displaystyle \operatorname {sl} ((n+mi)z)}$ ${\displaystyle n+mi}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

Существуют также бесконечные ряды, отражающие распределение нулей и полюсов sl : ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi i}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=-i\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi i}}.}$

Пифагорейская идентичность

Кривые x ² ​​⊕ y ² = a для различных значений a . Отрицательное a показано зеленым цветом, положительное a — синим, a = ±1 — красным, a = ∞ — черным.

Функции лемнискаты удовлетворяют пифагорейскому тождеству:

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z+\operatorname {sl^{2}} z+\operatorname {cl^{2}} z\,\operatorname {sl^{2}} z=1}$

В результате параметрическое уравнение параметризует четвертую кривую ${\displaystyle (x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1.}$

Эту идентичность можно переписать по-другому: ^[18]

${\displaystyle {\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}=2}$

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {sl^{2}} z}{1+\operatorname {sl^{2}} z}},\quad \operatorname {sl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {cl^{2}} z}{1+\operatorname {cl^{2}} z}}}$

Определение оператора тангенса-суммы следующим образом : ${\displaystyle a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)={\frac {a+b}{1-ab}},}$

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z\oplus \operatorname {sl^{2}} z=1.}$

Функции и удовлетворяют другому пифагорейскому тождеству: ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {cl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}+\left(1-\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {sl} }}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}=1.}$

Производные и интегралы

Производные следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl'} z&=-{\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {cl'^{2}} z&=1-\operatorname {cl^{4}} z\\[5mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl'} z&={\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {sl'^{2}} z&=1-\operatorname {sl^{4}} z\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z&=-2\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z&=2\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}}$

Вторые производные лемнискатного синуса и лемнискатного косинуса являются их отрицательными удвоенными кубами:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl^{3}} z}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl^{3}} z}$

Функции лемнискаты можно интегрировать с помощью функции арктангенса:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {cl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=\arctan \operatorname {sl} z+C\\\int \operatorname {sl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=-\arctan \operatorname {cl} z+C\\\int {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\mathrm {d} z&={\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\\\int {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\mathrm {d} z&=-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\end{aligned}}}$

Сумма аргументов и множественные тождества

Подобно тригонометрическим функциям, функции лемнискаты удовлетворяют тождествам суммы и разности аргументов. Оригинальное тождество, использованное Фаньяно для деления лемнискаты пополам, было: ^[19]

${\displaystyle \operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl'} v+\operatorname {sl} v\,\operatorname {sl'} u}{1+\operatorname {sl^{2}} u\,\operatorname {sl^{2}} v}}}$

Производная и пифагорейские тождества могут быть использованы для переработки тождества, использованного Фагано в терминах sl и cl . Определяя оператор тангенса-суммы и оператор тангенса-разности, тождества суммы и разности аргументов можно выразить как: ^[20] ${\displaystyle a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)}$ ${\displaystyle a\ominus b\mathrel {:=} a\oplus (-b),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (u+v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {cl} (u-v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v\\[2mu]\operatorname {sl} (u+v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {sl} (u-v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\end{aligned}}}$

Они напоминают свои тригонометрические аналоги :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u\pm v)&=\cos u\,\cos v\mp \sin u\,\sin v\\[6mu]\sin(u\pm v)&=\sin u\,\cos v\pm \cos u\,\sin v\end{aligned}}}$

В частности, для вычисления комплекснозначных функций в действительных компонентах,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {cl} x-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y+i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}-i{\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\\[12mu]\operatorname {sl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {sl} x+i\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}+i{\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {sl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\end{aligned}}}$

Гаусс обнаружил, что

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sl} (u-v)}{\operatorname {sl} (u+v)}}={\frac {\operatorname {sl} ((1+i)u)-\operatorname {sl} ((1+i)v)}{\operatorname {sl} ((1+i)u)+\operatorname {sl} ((1+i)v)}}}$

где обе стороны четко определены. ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} }$

Также

${\displaystyle \operatorname {sl} (u+v)\operatorname {sl} (u-v)={\frac {\operatorname {sl} ^{2}u-\operatorname {sl} ^{2}v}{1+\operatorname {sl} ^{2}u\operatorname {sl} ^{2}v}}}$

где так, что обе стороны хорошо определены; это напоминает тригонометрический аналог ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sin(u+v)\sin(u-v)=\sin ^{2}u-\sin ^{2}v.}$

Формулы бисекции:

${\displaystyle \operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}}$

Формулы дублирования: ^[21]

${\displaystyle \operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} 2x=2\,\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}}$

Формулы утроения: ^[21]

${\displaystyle \operatorname {cl} 3x={\frac {-3\,\operatorname {cl} x+6\,\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\,\operatorname {cl} ^{4}x-3\,\operatorname {cl} ^{8}x}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} 3x={\frac {\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} x-\,}\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{5}x-\,}\color {blue}{1}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{9}x}}{\color {blue}{1}\,\color {black}{+\,}\,\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{4}x-\,}\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{8}x}}}}$

Обратите внимание на «обратную симметрию» коэффициентов числителя и знаменателя . Это явление можно наблюдать в формулах умножения для , когда и нечетно . ^[15] ${\displaystyle \operatorname {sl} 3x}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} \beta x}$ ${\displaystyle \beta =m+ni}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m+n}$

Лемнатомические многочлены

Пусть будет решетка ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\mathbb {Z} (1+i)\varpi +\mathbb {Z} (1-i)\varpi .}$

Кроме того, пусть , , , , (где ), нечетно, нечетно, и . Тогда ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \beta =m+in}$ ${\displaystyle \gamma =m'+in'}$ ${\displaystyle m,n,m',n'\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle m'+n'}$ ${\displaystyle \gamma \equiv 1\,\operatorname {mod} \,2(1+i)}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)}$

${\displaystyle M_{\beta }(x)=i^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}}$

для некоторых взаимно простых многочленов и некоторых ^[22] , где ${\displaystyle P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \{0,1,2,3\}}$

${\displaystyle xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x)}$

и

${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta })}$

где - любой - генератор кручения (т.е. и генерирует как - модуль ). Примерами -генераторов кручения являются и . Многочлен называется -м лемнатомическим многочленом . Он является моническим и неприводимым над . Лемнатомические многочлены являются "лемнискатными аналогами" циклотомических многочленов , ^[23] ${\displaystyle \delta _{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta _{\beta }\in (1/\beta )L}$ ${\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L}$ ${\displaystyle (1/\beta )L/L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 2\varpi /\beta }$ ${\displaystyle (1+i)\varpi /\beta }$ ${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Phi _{k}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{\times }}(x-\zeta _{k}^{a}).}$

-й лемнатомический многочлен является минимальным многочленом в . Для удобства пусть и . Так, например, минимальный многочлен (а также и ) в равен ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} \delta _{\beta }}$ ${\displaystyle K[x]}$ ${\displaystyle \omega _{\beta }=\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{\beta }=\operatorname {sl} ((1+i)\varpi /\beta )}$ ${\displaystyle \omega _{5}}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{5}}$ ${\displaystyle K[x]}$

${\displaystyle \Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,}$

и ^[24]

${\displaystyle \omega _{5}={\sqrt[{4}]{-13+6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{5}={\sqrt[{4}]{-13-6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85+38{\sqrt {5}}}}}}}$^[25]

(эквивалентное выражение приведено в таблице ниже). Другой пример — ^[23]

${\displaystyle \Lambda _{-1+2i}(x)=x^{4}-1+2i}$

который является минимальным многочленом (а также ) в ${\displaystyle \omega _{-1+2i}}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{-1+2i}}$ ${\displaystyle K[x].}$

Если является простым, положительным и нечетным, ^[26] , то ^[27] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\beta ^{2}\prod _{p|\beta }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}}\right)}$

который можно сравнить с циклотомическим аналогом

${\displaystyle \operatorname {deg} \Phi _{k}=k\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}$

Конкретные ценности

Так же, как и для тригонометрических функций, значения функций лемнискаты могут быть вычислены для делений лемнискаты на n частей равной длины, используя только базовую арифметику и квадратные корни, тогда и только тогда, когда n имеет вид , где k — неотрицательное целое число , а каждое p _i (если таковое имеется) является отдельным простым числом Ферма . ^[28] ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}$

Отношение к геометрическим формам

Длина дуги лемнискаты Бернулли

Синус и косинус лемнискаты связывают длину дуги лемнискаты с расстоянием одной конечной точки от начала координат.

Тригонометрические синус и косинус аналогичным образом связывают длину дуги окружности единичного диаметра с расстоянием одной конечной точки от начала координат.

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, лемниската Бернулли с единичным расстоянием от ее центра до самой дальней точки (т.е. с единичной "полушириной"), является существенной в теории лемнискатных эллиптических функций. Ее можно охарактеризовать по крайней мере тремя способами:

Угловая характеристика: даны две точки и , которые находятся на единичном расстоянии друг от друга, пусть будет отражением относительно . Тогда — замыкание геометрического места точек, такое, что — прямой угол . ^[29] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |APB-APB'|}$

Фокальная характеристика: это геометрическое место точек на плоскости, такое, что произведение их расстояний от двух фокальных точек и является константой . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle F_{1}={\bigl (}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}},0{\bigr )}}$ ${\displaystyle F_{2}={\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Явная характеристика координат: является ли кривая четвертого порядка удовлетворяющей полярному уравнению или декартову уравнению ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta }$ ${\displaystyle {\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.}$

Периметр равен . [ ³⁰ ] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle 2\varpi }$

Точки на расстоянии от начала координат являются пересечениями окружности и гиперболы . Пересечение в положительном квадранте имеет декартовы координаты: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=r^{4}}$

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}\!{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1+r^{2}{\bigr )}}},\,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.}$

Используя эту параметризацию для четверти , длина дуги от начала координат до точки равна: ^[31] ${\displaystyle r\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\[6mu]&\quad {}=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}}$

Аналогично, длина дуги от до равна: ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{r}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}}$

Или в обратном направлении функции синуса и косинуса лемнискаты дают расстояние от начала координат как функции длины дуги от начала координат и точки соответственно. ${\displaystyle (1,0)}$

Аналогично, функции кругового синуса и косинуса связывают длину хорды с длиной дуги для окружности единичного диаметра с помощью полярного уравнения или декартового уравнения, используя тот же аргумент, что и выше, но с параметризацией: ${\displaystyle r=\cos \theta }$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x,}$

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},\,{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.}$

В качестве альтернативы, так же как единичная окружность параметризуется в терминах длины дуги от точки ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (1,0)}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=(\cos s,\sin s),}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$параметризуется в терминах длины дуги от точки по ^[32] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (1,0)}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=\left({\frac {\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},{\frac {\operatorname {sl} s\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}}\right)=\left({\tilde {\operatorname {cl} }}\,s,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s\right).}$

Обозначение используется исключительно для целей данной статьи; в ссылках вместо него используются обозначения для общих эллиптических функций Якоби. ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }},\,{\tilde {\operatorname {sl} }}}$

Интеграл лемнискаты и функции лемнискаты удовлетворяют тождеству дублирования аргумента, открытому Фаньяно в 1718 году: ^[33]

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad {\text{if }}z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}{\text{ and }}0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.}$

Лемниската, разделенная на 15 частей с одинаковой длиной дуги (красные кривые). Поскольку простые множители числа 15 (3 и 5) являются простыми числами Ферма, этот многоугольник (черный) можно построить с помощью линейки и циркуля.

Позже математики обобщили этот результат. Аналогично конструктивным многоугольникам в окружности, лемниската может быть разделена на n секций равной длины дуги, используя только линейку и циркуль, тогда и только тогда, когда n имеет вид , где k — неотрицательное целое число , а каждое p _i (если таковое имеется) — отличное простое число Ферма . ^[34] Часть «если» теоремы была доказана Нильсом Абелем в 1827–1828 годах, а часть «только если» была доказана Майклом Розеном в 1981 году. ^[35] Эквивалентно, лемниската может быть разделена на n секций равной длины дуги, используя только линейку и циркуль, тогда и только тогда, когда — степень двойки (где — функция Эйлера ). Лемниската не считается уже нарисованной, так как это противоречило бы правилам построения с помощью линейки и циркуля; Вместо этого предполагается, что нам даны только две точки, по которым определяется лемниската, например, ее центр и радиальная точка (одна из двух точек лемнискаты, расстояние от центра которой максимально) или два ее фокуса. ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Пусть . Тогда точками n -деления для являются точки ${\displaystyle r_{j}=\operatorname {sl} {\dfrac {2j\varpi }{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left(r_{j}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+r_{j}^{2}{\bigr )}}},\ (-1)^{\left\lfloor 4j/n\right\rfloor }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r_{j}^{2}{\bigl (}1-r_{j}^{2}{\bigr )}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\}}$

где функция пола . Ниже приведены некоторые конкретные значения . ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ ${\displaystyle \operatorname {sl} {\dfrac {2\varpi }{n}}}$

Длина дуги прямоугольного эластика

Лемнискатный синус связывает длину дуги с координатой x в прямоугольной эластике.

Обратная лемниската синус также описывает длину дуги s относительно координаты x прямоугольной эластики . ^[36] Эта кривая имеет координату y и длину дуги:

${\displaystyle y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\mathop {\mathrm {d} t} }{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

Прямоугольная эластика решает задачу, поставленную Якобом Бернулли в 1691 году, чтобы описать форму идеализированного гибкого стержня, зафиксированного в вертикальной ориентации на нижнем конце и тянутого вниз грузом с дальнего конца до тех пор, пока он не будет согнут горизонтально. Предложенное Бернулли решение установило теорию балки Эйлера–Бернулли , далее развитую Эйлером в 18 веке.

Эллиптическая характеристика

Лемнискатные эллиптические функции и эллипс

Пусть будет точкой на эллипсе в первом квадранте и пусть будет проекцией на единичную окружность . Расстояние между началом координат и точкой является функцией (угол , где ; эквивалентно длине дуги окружности ). Параметр задается как ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=1}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle BAC}$ ${\displaystyle B=(1,0)}$ ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u=\int _{0}^{\varphi }r(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\sin ^{2}\theta }}}.}$

Если — проекция на ось x, а если — проекция на ось x, то лемнискатные эллиптические функции задаются формулой ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {cl} u={\overline {AF}},\quad \operatorname {sl} u={\overline {DE}},}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {AC}},\quad {\tilde {\operatorname {sl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {FC}}.}$

Серия Идентификации

Ряд мощности

Разложение лемнискатного синуса в степенной ряд в начале координат равно ^[37]

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-12{\frac {z^{5}}{5!}}+3024{\frac {z^{9}}{9!}}-4390848{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad |z|<{\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}}}}$

где коэффициенты определяются следующим образом: ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle n\not \equiv 1{\pmod {4}}\implies a_{n}=0,}$

${\displaystyle a_{1}=1,\,\forall n\in \mathbb {N} _{0}:\,a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k}}$

где обозначает все трехчленные композиции . Например, для оценки можно увидеть, что существует только шесть композиций , которые дают ненулевой вклад в сумму: и , поэтому ${\displaystyle i+j+k=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{13}}$ ${\displaystyle 13-2=11}$ ${\displaystyle 11=9+1+1=1+9+1=1+1+9}$ ${\displaystyle 11=5+5+1=5+1+5=1+5+5}$

${\displaystyle a_{13}=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-{\tfrac {11}{15600}}.}$

Расширение можно эквивалентно записать как ^[38]

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }p_{2n}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}}$

где

${\displaystyle p_{n+2}=-12\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}p_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}p_{k}p_{j-k},\quad p_{0}=1,\,p_{1}=0.}$

Разложение в степенной ряд в начале координат равно ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}z^{n}=z-9{\frac {z^{3}}{3!}}+153{\frac {z^{5}}{5!}}-4977{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

где если четно и ^[39] ${\displaystyle \alpha _{n}=0}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{\varpi }}{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n!}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k\pi /\varpi )^{n+1}}{\cosh k\pi }},\quad \left|\alpha _{n}\right|\sim 2^{n+5/2}{\frac {n+1}{\varpi ^{n+2}}}}$

если нечетное. ${\displaystyle n}$

Расширение можно эквивалентно записать как ^[40]

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}}}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}s_{l}t_{n-l}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

где

${\displaystyle s_{n+2}=3s_{n+1}+24\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}s_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}s_{k}s_{j-k},\quad s_{0}=1,\,s_{1}=3,}$

${\displaystyle t_{n+2}=3t_{n+1}+3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}t_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}t_{k}t_{j-k},\quad t_{0}=1,\,t_{1}=3.}$

Для лемнискатного косинуса ^[41]

${\displaystyle \operatorname {cl} {z}=1-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}q_{l}r_{n-l}\right){\frac {z^{2n+2}}{(2n+2)!}}=1-2{\frac {z^{2}}{2!}}+12{\frac {z^{4}}{4!}}-216{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}},}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}2^{n}q_{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1-3{\frac {z^{2}}{2!}}+33{\frac {z^{4}}{4!}}-819{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

где

${\displaystyle r_{n+2}=3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}r_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}r_{k}r_{j-k},\quad r_{0}=1,\,r_{1}=0,}$

${\displaystyle q_{n+2}={\tfrac {3}{2}}q_{n+1}+6\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}q_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}q_{k}q_{j-k},\quad q_{0}=1,\,q_{1}={\tfrac {3}{2}}.}$

Тождество Рамануджана cos/cosh

Знаменитое тождество cos/cosh Рамануджана гласит, что если

${\displaystyle R(s)={\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\cos(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},}$

затем ^[39]

${\displaystyle R(s)^{-2}+R(is)^{-2}=2,\quad \left|\operatorname {Re} s\right|<{\frac {\varpi }{2}},\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.}$

Существует тесная связь между функциями лемнискаты и . Действительно, ^{[39] [42]} ${\displaystyle R(s)}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}R(s)\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\sqrt {1-R(s)^{2}}},\quad \left|\operatorname {Re} s-{\frac {\varpi }{2}}\right|<{\frac {\varpi }{2}},\,\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

и

${\displaystyle R(s)={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.}$

Непрерывные дроби

Для : ^[43] ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/{\sqrt {2}}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}},\quad a_{n}={\frac {n^{2}}{4}}((-1)^{n+1}+3)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} t\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/2}{z^{2}+b_{1}-{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+b_{2}-{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+b_{3}-\ddots }}}}}},\quad a_{n}=n^{2}(4n^{2}-1),\,b_{n}=3(2n-1)^{2}}$

Методы расчета

Быстрый алгоритм, возвращающий приближения к (которые становятся ближе к с увеличением ), выглядит следующим образом: ^[44] ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$ ${\displaystyle N}$

• ${\displaystyle a_{0}\leftarrow 1;}$ ${\displaystyle b_{0}\leftarrow {\tfrac {1}{\sqrt {2}}};}$ ${\displaystyle c_{0}\leftarrow {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$
• для каждого делать ${\displaystyle n\geq 1}$
  • ${\displaystyle a_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+b_{n-1});}$ ${\displaystyle b_{n}\leftarrow {\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}};}$ ${\displaystyle c_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}-b_{n-1})}$
  • если тогда ${\displaystyle c_{n}<{\textrm {tolerance}}}$
    • ${\displaystyle N\leftarrow n;}$ перерыв
• ${\displaystyle \phi _{N}\leftarrow 2^{N}a_{N}{\sqrt {2}}x}$
• для каждого n от N до 0 сделать
  • ${\displaystyle \phi _{n-1}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{n}+{\arcsin }{\left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \phi _{n}\right)}\right)}$
• возвращаться ${\displaystyle {\frac {\sin \phi _{0}}{\sqrt {2-\sin ^{2}\phi _{0}}}}}$

Это эффективно использует среднее арифметическое-геометрическое и основано на преобразованиях Ландена . ^[45]

Некоторые методы вычисления предполагают сначала замену переменных , а затем вычисление ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$ ${\displaystyle \pi x=\varpi {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi ).}$

Метод гиперболических рядов: [ 46 ^{] [47]}

${\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh(x-(n+1/2)\pi )}},\quad x\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{{\sinh }{\left(x-n\pi \right)}}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi i)}},\quad x\in \mathbb {C} }$

Метод ряда Фурье : ^[48]

${\displaystyle \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\left({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{e^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi }$

Функции лемнискаты можно вычислить быстрее,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{1}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{3}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \\\operatorname {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{2}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{4}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\\theta _{2}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\\theta _{3}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\\theta _{4}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx\end{aligned}}}$

являются тета-функциями Якоби . ^[49]

Ряд Фурье для логарифма синуса лемнискаты:

${\displaystyle \ln \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n(e^{n\pi }+(-1)^{n})}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

Рамануджаном были обнаружены следующие тождества серий : ^[50]

${\displaystyle {\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cos 2nx}{e^{2n\pi }-1}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi }$

${\displaystyle \arctan \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

Функции и , аналогичные и на единичной окружности, имеют следующие разложения в ряды Фурье и гиперболические ряды: ^{[39] [42] [51]} ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=2{\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\sin(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)\cos((2n+1)\pi s/\varpi )}{\sinh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\sinh(\pi (n+s/\varpi ))}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C} }$

Следующие тождества получены из представлений произведений тета-функций: ^[52]

${\displaystyle \mathrm {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1+2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1-2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C} }$

Можно привести аналогичную формулу с использованием функции. ^[53] ${\displaystyle \operatorname {sn} }$

Лемниската функции как отношение целых функций

Поскольку лемнискатный синус является мероморфной функцией во всей комплексной плоскости, его можно записать в виде отношения целых функций . Гаусс показал, что sl имеет следующее разложение произведения, отражающее распределение ее нулей и полюсов: ^[54]

${\displaystyle \operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}}}$

где

${\displaystyle M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).}$

Здесь и обозначают, соответственно, нули и полюса sl , которые находятся в квадранте . Доказательство можно найти в. ^{[54] [55]} Важно, что бесконечные произведения сходятся к одному и тому же значению для всех возможных порядков, в которых их члены могут быть умножены, как следствие равномерной сходимости . ^[56] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} z>0,\operatorname {Im} z\geq 0}$

Гаусс предположил, что (позже это оказалось правдой) и прокомментировал, что это «весьма замечательно, и доказательство этого свойства обещает самое серьезное увеличение анализа». ^[57] Гаусс разложил продукты для и как бесконечные ряды (см. ниже). Он также открыл несколько тождеств, включающих функции и , такие как ${\displaystyle \ln N(\varpi )=\pi /2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Функция в комплексной плоскости. Комплексный аргумент представлен изменяющимся оттенком. ${\displaystyle M}$

Функция в комплексной плоскости. Комплексный аргумент представлен изменяющимся оттенком. ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(z)={\frac {M((1+i)z)}{(1+i)M(z)}},\quad z\notin \varpi \mathbb {Z} [i]}$

и

${\displaystyle N(2z)=M(z)^{4}+N(z)^{4}.}$

Благодаря определенной теореме ^[58] о расщеплении пределов, нам разрешено умножать бесконечные произведения и собирать подобные степени . Это дает следующие разложения в степенные ряды, которые сходятся всюду в комплексной плоскости: ^{[59] [60] [61] [62]} ${\displaystyle z}$

${\displaystyle M(z)=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+552{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle N(z)=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+408{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .}$

Это можно противопоставить степенному ряду, который имеет только конечный радиус сходимости (поскольку он не является целым). ${\displaystyle \operatorname {sl} }$

Мы определяем и ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle S(z)=N\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2}-iM\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2},\quad T(z)=S(iz).}$

Тогда косинус лемнискаты можно записать как

${\displaystyle \operatorname {cl} z={\frac {S(z)}{T(z)}}}$

где ^[63]

${\displaystyle S(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}-3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}-9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle T(z)=1+{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}+3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}+9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .}$

Кроме того, идентичности

${\displaystyle M(2z)=2M(z)N(z)S(z)T(z),}$

${\displaystyle S(2z)=S(z)^{4}-2M(z)^{4},}$

${\displaystyle T(2z)=T(z)^{4}-2M(z)^{4}}$

и пифагорейские тождества

${\displaystyle M(z)^{2}+S(z)^{2}=N(z)^{2},}$

${\displaystyle M(z)^{2}+N(z)^{2}=T(z)^{2}}$

держать для всех . ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Формулы квазисложения

${\displaystyle M(z+w)M(z-w)=M(z)^{2}N(w)^{2}-N(z)^{2}M(w)^{2},}$

${\displaystyle N(z+w)N(z-w)=N(z)^{2}N(w)^{2}+M(z)^{2}M(w)^{2}}$

(где ) подразумевают дальнейшие формулы умножения для и посредством рекурсии. ^[64] ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Альтернативный способ выражения функций лемнискаты как отношения целых функций включает в себя тета-функции (см. Лемнискатные эллиптические функции § Методы вычисления); соотношение между и имеет вид ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{3}}$

${\displaystyle M(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{1}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right),}$

${\displaystyle N(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{3}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right)}$

где . ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Связь с другими функциями

Связь с эллиптическими функциями Вейерштрасса и Якоби

Функции лемнискаты тесно связаны с эллиптической функцией Вейерштрасса («лемнискатный случай») с инвариантами g ₂ = 1 и g ₃ = 0. Эта решетка имеет фундаментальные периоды и . Соответствующие константы функции Вейерштрасса: ${\displaystyle \wp (z;1,0)}$ ${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {2}}\varpi ,}$ ${\displaystyle \omega _{2}=i\omega _{1}}$ ${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}},\ e_{2}=0,\ e_{3}=-{\tfrac {1}{2}}.}$

Соответствующий случай эллиптической функции Вейерштрасса с g ₂ = a , g ₃ = 0 может быть обработан с помощью масштабного преобразования. Однако это может включать комплексные числа. Если желательно оставаться в пределах действительных чисел, следует рассмотреть два случая: a > 0 и a < 0 . Параллелограмм периода является либо квадратом , либо ромбом . Эллиптическая функция Вейерштрасса называется «псевдолемнискатическим случаем». ^[65] ${\displaystyle \wp (z;-1,0)}$

Квадрат синуса лемнискаты можно представить как

${\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp (z;4,0)}}={\frac {i}{2\wp ((1-i)z;-1,0)}}={-2\wp }{\left({\sqrt {2}}z+(i-1){\frac {\varpi }{\sqrt {2}}};1,0\right)}}$

где второй и третий аргумент обозначают инварианты решетки g ₂ и g ₃ . Лемниската синус является рациональной функцией в эллиптической функции Вейерштрасса и ее производной: ^[66] ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp (z;-1,0)}{\wp '(z;-1,0)}}.}$

Функции лемнискаты также можно записать в терминах эллиптических функций Якоби . Эллиптические функции Якоби и с положительным действительным эллиптическим модулем имеют «прямую» прямоугольную решетку, выровненную с действительными и мнимыми осями. С другой стороны, функции и с модулем i (и и с модулем ) имеют квадратную решетку периодов, повернутую на 1/8 оборота. ^{[67] [68]} ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \operatorname {cd} }$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \operatorname {cd} }$ ${\displaystyle \operatorname {sd} }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i)=\operatorname {sc} (z;{\sqrt {2}})={{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sd} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

где вторые аргументы обозначают эллиптический модуль . ${\displaystyle k}$

Функции и также могут быть выражены через эллиптические функции Якоби: ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {sd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {sn} (z;{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {sn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {nd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {cn} (z;{\sqrt {2}})=\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {dn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right).}$

Связь с модульной лямбда-функцией

Лемнискатный синус можно использовать для вычисления значений модульной лямбда-функции :

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\;{\operatorname {sl} }{\left({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi }{2}}\right)}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1)i)}{1-\lambda ((2n+1)i)}}}}$

Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7i)}{1-\lambda (7i)}}}={\tan }{\Bigl (}{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} }{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {8{\sqrt {7}}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+1{\Bigr )}{\Bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\frac {2}{2+{\sqrt {7}}+{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {2{14+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {455+172{\sqrt {7}}}}}}}}}\\[18mu]&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}\\[-3mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (9i)}{1-\lambda (9i)}}}={\tan }{\Biggl (}{\frac {\pi }{4}}-{\arctan }{\Biggl (}{\frac {2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}-2}}-2{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {3}}-1}{\sqrt[{4}]{12}}}{\Biggr )}{\Biggr )}\end{aligned}}}$

Обратные функции

Обратная функция лемнискатного синуса — лемнискатный арксинус, определяемый как ^[69]

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

Его также можно представить гипергеометрической функцией :

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=x\,{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4}};x^{4}{\bigr )}}$

что легко увидеть, используя биномиальный ряд .

Обратная функция лемнискатного косинуса — лемнискатный арккосинус. Эта функция определяется следующим выражением:

${\displaystyle \operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x}$

Для x в интервале и ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} \operatorname {arcsl} x=x}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {arccl} x=x}$

Для деления длины дуги лемнискаты пополам справедливы следующие формулы: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}&={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr )}\,{\operatorname {sech} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr )}\\{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}^{2}&={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr )}\end{aligned}}}$

Кроме того, существуют так называемые функции площади гиперболической лемнискаты: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle \operatorname {aslh} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\arctan x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {aclh} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\operatorname {arccot} x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {aclh} (x)={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}-\operatorname {aslh} (x)}$

${\displaystyle \operatorname {aslh} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {aslh} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}\right)}$

Выражение с использованием эллиптических интегралов

Лемнискатный арксинус и лемнискатный арккосинус также можно выразить с помощью формы Лежандра:

Эти функции можно отобразить напрямую, используя неполный эллиптический интеграл первого рода: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=2({\sqrt {2}}-1)F\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)}$

Длины дуг лемнискаты также можно выразить, используя только длины дуг эллипсов (вычисляемые с помощью эллиптических интегралов второго рода): ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}E\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)\\[5mu]&\ \ -E\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{{\sqrt {2}}(1+x^{2}+{\sqrt {1+x^{2}}})}}\end{aligned}}}$

Арккосинус лемнискаты имеет следующее выражение: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle \operatorname {arccl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

Использование в интеграции

Арксинус лемнискаты можно использовать для интегрирования многих функций. Вот список важных интегралов (константы интегрирования опущены):

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsl} x}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{4})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} }{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}}$

${\displaystyle \int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tanh {\tfrac {1}{2}}x}$

${\displaystyle \int {\sqrt {\sec x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tan {\tfrac {1}{2}}x}$

Гиперболические лемнискатные функции

Основная информация

Гиперболический лемнискатный синус (красный) и гиперболический лемнискатный косинус (фиолетовый), примененные к действительному аргументу, в сравнении с тригонометрическим тангенсом (бледно-красный пунктир).

Гиперболический лемнискатный синус в комплексной плоскости. Темные области представляют нули, а светлые области представляют полюса. Комплексный аргумент представлен изменяющимся оттенком.

Для удобства пусть . — «сквиркулярный» аналог (см. ниже). Десятичное разложение (т.е. ^[70] ) появляется в записи 34e главы 11 второй тетради Рамануджана. ^[71] ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {2}}\varpi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 3.7081\ldots }$

Гиперболические лемнискатные синус ( slh ) и косинус ( clh ) можно определить как обратные эллиптические интегралы следующим образом:

${\displaystyle z\mathrel {\overset {*}{=}} \int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}}$

где в , находится в квадрате с углами . За пределами этого квадрата функции могут быть аналитически продолжены до мероморфных функций во всей комплексной плоскости. ${\displaystyle (*)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \{\sigma /2,\sigma i/2,-\sigma /2,-\sigma i/2\}}$

Полный интеграл имеет значение:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\;46773\;01371\ldots }$

Таким образом, две определенные функции имеют следующую связь друг с другом:

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\operatorname {clh} }{{\Bigl (}{\frac {\sigma }{2}}-z{\Bigr )}}}$

Произведение гиперболического лемнискатного синуса и гиперболического лемнискатного косинуса равно единице:

${\displaystyle \operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1}$

Функции и имеют квадратную решетку периодов с основными периодами . ${\displaystyle \operatorname {slh} }$ ${\displaystyle \operatorname {clh} }$ ${\displaystyle \{\sigma ,\sigma i\}}$

Гиперболические функции лемнискаты можно выразить через лемнискатный синус и лемнискатный косинус:

${\displaystyle \operatorname {slh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {cl} ^{2}z)\operatorname {sl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {cl} z}}}$

${\displaystyle \operatorname {clh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {sl} ^{2}z)\operatorname {cl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {sl} z}}}$

Но существует также связь с эллиптическими функциями Якоби с эллиптическим модулем один на квадратный корень из двух:

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}}}$

${\displaystyle \operatorname {clh} z={\frac {\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}}}$

Гиперболический лемнискатный синус имеет следующую мнимую связь с лемнискатным синусом:

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left({\sqrt[{4}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}}}$

Это аналогично соотношению между гиперболическим и тригонометрическим синусом:

${\displaystyle \sinh z=-i\sin(iz)={\frac {\sin \left({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}}$

Связь с четвертой кривой Ферма

Тангенс и котангенс гиперболической лемнискаты

На этом изображении показана стандартизированная суперэллиптичная квадратичная кривая Ферма четвертой степени:

Суперэллипс с соотношением ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$

В четверичной кривой Ферма (иногда называемой квадратичной кривая Ферма ) гиперболические лемнискатный синус и косинус аналогичны функциям тангенса и котангенса в единичной окружности (квадратичной кривой Ферма). Если начало координат и точка на кривой соединены друг с другом линией L , гиперболический лемнискатный синус удвоенной площади, заключенной между этой линией и осью x, является координатой y пересечения L с линией . ^[72] Так же, как и площадь, заключенная в окружность , площадь, заключенная в квадратичную кривую , равна . Более того, ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\sigma }}}$

где — среднее арифметическое–геометрическое . ${\displaystyle M}$

Гиперболический лемнискатный синус удовлетворяет тождеству сложения аргументов:

${\displaystyle \operatorname {slh} (a+b)={\frac {\operatorname {slh} a\operatorname {slh} 'b+\operatorname {slh} b\operatorname {slh} 'a}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\,\operatorname {slh} ^{2}b}}}$

Когда является действительным, производная и исходная первообразная от и могут быть выражены следующим образом: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {slh} }$ ${\displaystyle \operatorname {clh} }$

Существуют также гиперболический лемнискатный тангенс и гиперболический лемнискатный коангенс, а также другие функции:

Функции tlh и ctlh удовлетворяют тождествам, описанным в упомянутом дифференциальном уравнении:

${\displaystyle {\text{tlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\sin _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {sl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {cl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\cos _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {cl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {sl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}}$

Функциональное обозначение sl обозначает лемнискатный синус, а обозначение cl обозначает лемнискатный косинус. Кроме того, справедливы следующие соотношения к эллиптическим функциям Якоби :

${\displaystyle {\text{tlh}}(u)={\frac {{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}(u)={\frac {{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}}$

Когда является действительным, производная и интеграл четверти периода от и могут быть выражены следующим образом: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {tlh} }$ ${\displaystyle \operatorname {ctlh} }$

Вывод функций гиперболической лемнискаты

По отношению к четвертой кривой Ферма гиперболический лемнискатный синус аналогичен тригонометрической тангенциальной функции. В отличие от и , функции и не могут быть аналитически продолжены до мероморфных функций во всей комплексной плоскости. ^[73] ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$ ${\displaystyle \operatorname {slh} }$ ${\displaystyle \operatorname {clh} }$ ${\displaystyle \sin _{4}}$ ${\displaystyle \cos _{4}}$

Горизонтальные и вертикальные координаты этого суперэллипса зависят от удвоенной замкнутой площади w = 2A, поэтому должны быть выполнены следующие условия:

${\displaystyle x(w)^{4}+y(w)^{4}=1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}x(w)=-y(w)^{3}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}y(w)=x(w)^{3}}$

${\displaystyle x(w=0)=1}$

${\displaystyle y(w=0)=0}$

Решения этой системы уравнений следующие:

${\displaystyle x(w)=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}}$

${\displaystyle y(w)=\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}}$

Поэтому к частному применимо следующее:

${\displaystyle {\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}{\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}}=\operatorname {slh} (w)}$

Функции x(w) и y(w) называются котангенсом гиперболическим лемнискатом и гиперболическим тангенсом .

${\displaystyle x(w)={\text{ctlh}}(w)}$

${\displaystyle y(w)={\text{tlh}}(w)}$

На рисунке также показан тот факт, что вывод функции гиперболического лемниската Ареасинуса равен обратной величине квадратного корня из функции-преемника четвертой степени.

Первое доказательство: сравнение с производной арктангенса

На рисунке справа изображена черная диагональ. Длину отрезка, который перпендикулярно идет от пересечения этой черной диагонали с красной вертикальной осью до точки (1|0), следует обозначить s. А длина отрезка черной диагонали от точки начала координат до точки пересечения этой диагонали с голубой кривой линией суперэллипса имеет следующее значение в зависимости от значения slh:

${\displaystyle D(s)={\sqrt {{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {s}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}}}={\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}}$

Эта связь описывается теоремой Пифагора .

Аналогичная единичная окружность приводит к арктангенсу тригонометрической окружности с описанным распределением площади.

К этому применим следующий вывод:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}}$

Чтобы определить вывод площадей sinus lemniscatus hyperbolicus, ниже приведено сравнение бесконечно малых треугольных площадей для одной и той же диагонали в суперэллипсе и единичной окружности. Поскольку суммирование бесконечно малых треугольных площадей описывает размеры площади. В случае суперэллипса на рисунке половина рассматриваемой площади показана зеленым цветом. Из-за квадратичного отношения площадей к длинам треугольников с тем же бесконечно малым углом в начале координат применяется следующая формула:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\text{aslh}}(s)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s){\biggr ]}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\biggl (}{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}={\frac {1}{\sqrt {s^{4}+1}}}}$

Второе доказательство: формирование интеграла и вычитание площади

На представленном рисунке касательная площади lemniscatus hyperbolicus присваивает высоту пересечения диагонали и кривой линии удвоенной зеленой области. Сама зеленая область создается как разностный интеграл функции суперэллипса от нуля до соответствующего значения высоты за вычетом площади смежного треугольника:

${\displaystyle {\text{atlh}}(v)=2{\biggl (}\int _{0}^{v}{\sqrt[{4}]{1-w^{4}}}\mathrm {d} w{\biggr )}-v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}{\text{atlh}}(v)=2{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}-{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}{\biggr )}={\frac {1}{(1-v^{4})^{3/4}}}}$

Применяется следующее преобразование:

${\displaystyle {\text{aslh}}(x)={\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}}$

Итак, согласно правилу цепочки , этот вывод справедлив:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{aslh}}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{4}+1}}{\biggr )}^{-3/4}={\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}}$

Конкретные ценности

Этот список показывает значения гиперболического лемнискатного синуса точно. Напомним, что,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\ldots }$

тогда как приведенные ниже значения аналогичны тригонометрическим . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\tfrac {\pi }{2}},}$ ${\displaystyle {\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\sigma }{4}}{\bigr )}=1}$ ${\displaystyle {\sin }{\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}=1}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)=1}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-1)}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1)}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {4\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})}$

${\displaystyle \operatorname {slh} \,\left({\frac {5\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})}$

В этой таблице показаны наиболее важные значения функций тангенса и котангенса гиперболической лемнискаты :

Теоремы о сложении и делении пополам

В сочетании с ареасисусом гиперболической лемнискаты можно установить следующие тождества:

${\displaystyle {\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

Квадрат тангенса гиперболической лемнискаты является пифагоровским аналогом квадрата котангенса гиперболической лемнискаты, поскольку сумма четвертых степеней и всегда равна единице. ${\displaystyle \operatorname {tlh} }$ ${\displaystyle \operatorname {ctlh} }$

Теорема о бисекции гиперболического синуса lemniscatus звучит следующим образом:

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {x^{2}+1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}+{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}}}}$

Эту формулу можно раскрыть как комбинацию следующих двух формул:

${\displaystyle \mathrm {aslh} (x)={\sqrt {2}}\,{\text{arcsl}}{\bigl [}x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\text{arcsl}}(x)={\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\bigr )}}$

Кроме того, следующие формулы справедливы для всех действительных значений : ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}-{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}}$

${\displaystyle {\text{clh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}+{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}}$

Эти тождества следуют из последней формулы:

${\displaystyle {\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}}$

Следующие формулы для лемнискатического синуса и лемнискатического косинуса тесно связаны:

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]=x{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}+1{\bigr )}^{-1/2}}$

Координатные преобразования

Аналогично определению несобственного интеграла в гауссовой функции колокола , преобразование координат общего цилиндра может быть использовано для вычисления интеграла от 0 до положительной бесконечности в функции, проинтегрированной относительно x. Далее доказательства обоих интегралов приводятся в параллельном способе отображения. ${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{4})}$

Это преобразование цилиндрических координат в гауссовой функции колоколообразной кривой:

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2}-z^{2})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\cos(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\cos(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\sin(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\sin(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\cos(\phi ){\bigr ]}^{2}-{\bigl [}r\sin(\phi ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{2})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\pi }{4}}}$

А это аналогичное преобразование координат для лемнискаторного случая:

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{4}-z^{4})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\,{\text{ctlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}-{\bigl [}r\,{\text{tlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{4})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\varpi {\sqrt {\pi }}}{4{\sqrt {2}}}}}$

В последней строке этой эллиптически аналогичной цепочки уравнений снова находится исходная гауссова колоколообразная кривая, интегрированная с квадратичной функцией в качестве внутренней подстановки согласно правилу цепочки бесконечно малых аналитики (анализа).

В обоих случаях определитель матрицы Якоби умножается на исходную функцию в области интегрирования.

Полученные новые функции в области интеграции затем интегрируются в соответствии с новыми параметрами.

Теория чисел

В алгебраической теории чисел каждое конечное абелево расширение гауссовых рациональных чисел является подполем для некоторого положительного целого числа . ^{[23] [74]} Это аналогично теореме Кронекера–Вебера для рациональных чисел , которая основана на делении круга – в частности, каждое конечное абелево расширение является подполем для некоторого положительного целого числа . Оба являются частными случаями Jugendtraum Кронекера, который стал двенадцатой проблемой Гильберта . ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i,\omega _{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle n}$

Поле (для положительных нечетных ) является расширением, порожденным - и -координатами - точек кручения на эллиптической кривой . ^[74] ${\displaystyle \mathbb {Q} (i,\operatorname {sl} (\varpi /n))}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (1+i)n}$ ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+x}$

Числа Гурвица

Числа Бернулли можно определить следующим образом: ${\displaystyle \mathrm {B} _{n}}$

${\displaystyle \mathrm {B} _{n}=\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}{\frac {z}{e^{z}-1}},\quad n\geq 0}$

и появляются в

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}\mathrm {B} _{2n}{\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}=2\zeta (2n),\quad n\geq 1}$

где — дзета-функция Римана . ${\displaystyle \zeta }$

Числа Гурвица, названные в честь Адольфа Гурвица , являются «аналогами лемнискат» чисел Бернулли. Их можно определить как ^{[75] [76]} ${\displaystyle \mathrm {H} _{n},}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}z\zeta (z;1/4,0),\quad n\geq 0}$

где — дзета-функция Вейерштрасса с инвариантами решетки и . Они появляются в ${\displaystyle \zeta (\cdot ;1/4,0)}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4n}}}=\mathrm {H} _{4n}{\frac {(2\varpi )^{4n}}{(4n)!}}=G_{4n}(i),\quad n\geq 1}$

где - гауссовские целые числа , а - ряды Эйзенштейна веса , а в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle G_{4n}}$ ${\displaystyle 4n}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {n^{k}}{e^{2\pi n}-1}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{24}}-{\dfrac {1}{8\pi }}&{\text{if}}\ k=1\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}&{\text{if}}\ k\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 5\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}+{\dfrac {\mathrm {H} _{k+1}}{2k+2}}\left({\dfrac {\varpi }{\pi }}\right)^{k+1}&{\text{if}}\ k\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 3.\\\end{cases}}\end{array}}}$

Числа Гурвица можно также определить следующим образом : ${\displaystyle \mathrm {H} _{4}=1/10}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{4n}={\frac {3}{(2n-3)(16n^{2}-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {4n}{4k}}(4k-1)(4(n-k)-1)\mathrm {H} _{4k}\mathrm {H} _{4(n-k)},\quad n\geq 2}$

и если не кратно . ^[77] Это дает ^[75] ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{8}={\frac {3}{10}},\,\mathrm {H} _{12}={\frac {567}{130}},\,\mathrm {H} _{16}={\frac {43\,659}{170}},\,\ldots }$

Также ^[78]

${\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {H} _{4n}=2\prod _{(p-1)|4n}p}$

где такой, что как раз как ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4),}$

${\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {B} _{2n}=\prod _{(p-1)|2n}p}$

где (по теореме Штаудта–Клаузена ). ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$

Фактически, теорема фон Штаудта – Клаузена утверждает, что

${\displaystyle \mathrm {B} _{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1}$

(последовательность A000146 в OEIS ) где — любое простое число, и аналогичная теорема справедлива для чисел Гурвица: предположим, что — нечетное, — четное, — простое число такое, что , (см. теорему Ферма о суммах двух квадратов ) и . Тогда для любого заданного , однозначно определяется и ^[75] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle a\equiv b+1\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a=a_{p}}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{4n}-{\frac {1}{2}}-\sum _{(p-1)|4n}{\frac {(2a_{p})^{4n/(p-1)}}{p}}\mathrel {\overset {\text{def}}{=}} \mathrm {G} _{n}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }k_{4n+1}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\implies k_{p}\equiv 2a_{p}\,({\text{mod}}\,p).}$

Последовательность целых чисел начинается с ^[75] ${\displaystyle \mathrm {G} _{n}}$ ${\displaystyle 0,-1,5,253,\ldots .}$

Пусть . Если — простое число, то . Если — не простое число, то . ^[79] ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle 4n+1}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{n}\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle 4n+1}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{n}\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)}$

Некоторые авторы вместо этого определяют числа Гурвица как . ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}'=\mathrm {H} _{4n}}$

Появления в серии Лорана

Числа Гурвица появляются в нескольких разложениях Лорана, связанных с функциями лемнискаты: ^[80]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} {z}}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}((-1)^{n}2-2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \\{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \end{aligned}}}$

Аналогично, в терминах чисел Бернулли:

${\displaystyle {\frac {1}{\sinh ^{2}z}}={\frac {1}{z^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}\mathrm {B} _{2n}}{2n}}{\frac {z^{2n-2}}{(2n-2)!}},\quad \left|z\right|<\pi .}$

Аналог символа Лежандра в четвертой степени

Пусть будет простым числом, таким что . Квартальный вычет (mod ) — это любое число, сравнимое с четвертой степенью целого числа. Определим как , если является квартальным вычетом (mod ), и определим как , если не является квартальным вычетом (mod ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)_{4}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$

Если и взаимно просты, то существуют числа (см. ^[81] для этих чисел) такие, что ^[82] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'\in \mathbb {Z} [i]}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)_{4}=\prod _{p'}{\frac {\operatorname {sl} (2\varpi ap'/p)}{\operatorname {sl} (2\varpi p'/p)}}.}$

Эта теорема аналогична

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin(2\pi an/p)}{\sin(2\pi n/p)}}}$

где находится символ Лежандра . ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$

Проекции карты мира

«Мир в квинкунциальной проекции» Пирса (1879).

Квинкунциальная проекция Пирса , разработанная Чарльзом Сандерсом Пирсом из Береговой службы США в 1870-х годах, представляет собой проекцию карты мира , основанную на обратном лемнискате синуса стереографически спроецированных точек (рассматриваемых как комплексные числа). ^[83]

Когда линии постоянной действительной или мнимой части проецируются на комплексную плоскость через гиперболический лемнискатный синус, а затем стереографически проецируются на сферу (см. сфера Римана ), результирующие кривые представляют собой сферические коники , сферический аналог плоских эллипсов и гипербол . ^[84] Таким образом, функции лемнискаты (и, в более общем смысле, эллиптические функции Якоби ) обеспечивают параметризацию для сферических коник.

Конформная проекция карты с шара на 6 квадратных граней куба также может быть определена с использованием функций лемнискаты. ^[85] Поскольку многие уравнения в частных производных могут быть эффективно решены с помощью конформного отображения, это отображение со сферы на куб удобно для моделирования атмосферы . ^[86]

Смотрите также

• Эллиптическая функция
  • Эллиптические функции Абеля
  • Эллиптические функции Диксона
  • Эллиптические функции Якоби
  • Эллиптическая функция Вейерштрасса
• Эллиптическая сумма Гаусса
• Константа лемнискаты
• Квинкунциальная проекция Пирса
• Отображение Шварца–Кристоффеля

Примечания

1. Фаньяно (1718–1723); Эйлер (1761); Гаусс (1917)
2. Гаусс (1917) стр. 199 использовал символы sl и cl для синуса и косинуса лемнискаты соответственно, и эта нотация наиболее распространена сегодня: см., например, Кокс (1984) стр. 316, Эймар и Лафон (2004) стр. 204 и Леммермейер (2000) стр. 240. Аюб (1984) использует sinlem и coslem . Уиттекер и Уотсон (1920) используют символы sin lemn и cos lemn . Некоторые источники используют общие буквы s и c . Прасолов и Соловьев (1997) используют букву φ для синуса лемнискаты и φ′ для его производной.
3. Окружность — это окружность единичного диаметра с центром в клевере степени 2 с полярным уравнением по определению Кокса и Шурмана (2005). Это не окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Обратите внимание, что лемниската — это клевер степени 4. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x}$ ${\textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )}}$ ${\displaystyle r=\cos \theta ,}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle {\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}}$
4. Основные периоды и являются «минимальными» в том смысле, что они имеют наименьшее абсолютное значение среди всех периодов, действительная часть которых неотрицательна. ${\displaystyle (1+i)\varpi }$ ${\displaystyle (1-i)\varpi }$
5. Робинсон (2019a) исходит из этого определения и отсюда выводит другие свойства функций лемнискаты.
6. Эта карта была первым изображением отображения Шварца–Кристоффеля, в Шварце (1869) стр. 113.
7. Шаппахер (1997). Последовательность OEIS A062539 перечисляет десятичные цифры константы лемнискаты.
8. Левин (2006)
9. Тодд (1975)
10. Кокс (1984)
11. Темные области представляют нули, а яркие области представляют полюса. Поскольку аргумент изменяется от (исключая ) до , цвета проходят через голубой, синий , магнета, красный , оранжевый, желтый , зеленый и обратно к голубой . ${\displaystyle \operatorname {sl} z}$ ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx -\pi /2)}$ ${\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx 0)}$ ${\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx \pi /2)}$ ${\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx \pi )}$
12. Объединение первого и четвертого тождеств дает . Это тождество (неправильно) приведено в Eymard & Lafon (2004) стр. 226, без знака минус в передней части правой стороны. ${\displaystyle \operatorname {sl} z=-i/\operatorname {sl} (z-(1+i)\varpi /2)}$
13. Четные гауссовы целые числа являются классом остатков 0 по модулю 1 + i , черными квадратами на шахматной доске .
14. Прасолов и Соловьев (1997); Робинсон (2019а)
15. Cox (2012)
16. Рейнхардт и Уокер (2010a) §22.12.6, §22.12.12
17. Аналогично, ${\displaystyle {\frac {1}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z+n\pi }}.}$
18. Линдквист и Питер (2001) обобщают первую из этих форм.
19. Аюб (1984); Прасолов и Соловьев (1997)
20. Эйлер (1761) §44 стр. 79, §47 стр. 80–81
21. Эйлер (1761) §46 стр. 80
22. На самом деле, . ${\displaystyle i^{\varepsilon }=\operatorname {sl} {\tfrac {\beta \varpi }{2}}}$
23. Кокс и Хайд (2014)
24. Гомес-Молледа и Ларио (2019)
25. Выбирается четвертый корень с наименьшим положительным главным аргументом .
26. Ограничение на положительные и нечетные числа можно опустить . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\left|({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }\right|}$
27. Кокс (2013) стр. 142, Пример 7.29(c)
28. Розен (1981)
29. Эймар и Лафон (2004) стр. 200
30. А площадь, ограниченная окружностью , равна , что резко контрастирует с единичной окружностью ( ограниченная площадь которой является неконструируемым числом ). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle 1}$
31. Эйлер (1761); Зигель (1969). Прасолов и Соловьев (1997) используют представление лемнискаты в полярных координатах для вывода дифференциальной длины дуги, но результат тот же.
32. Рейнхардт и Уокер (2010a) §22.18.E6
33. Сигел (1969); Шаппахер (1997)
34. Такие номера имеют последовательность OEIS A003401.
35. Абель (1827–1828); Розен (1981); Прасолов и Соловьев (1997)
36. Эйлер (1786); Шридхаран (2004 г.); Левиен (2008)
37. "A104203". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей .
38. Ломонт, Дж. С.; Бриллхарт, Джон (2001). Эллиптические многочлены . CRC Press. стр. 12, 44. ISBN 1-58488-210-7.
39. "A193543 - Oeis".
40. Ломонт, Дж. С.; Бриллхарт, Джон (2001). Эллиптические многочлены . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7.стр. 79, ур. 5.36
41. Ломонт, Дж. С.; Бриллхарт, Джон (2001). Эллиптические многочлены . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7.стр. 79, ур. 5.36 и стр. 78, ур. 5.33
42. "A289695 - Oeis".
43. Уолл, Х. С. (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей . Chelsea Publishing Company. С. 374–375.
44. Рейнхардт и Уокер (2010a) §22.20(ii)
45. Карлсон (2010) §19.8
46. Рейнхардт и Уокер (2010a) §22.12.12
47. В общем случае и не эквивалентны, но результирующая бесконечная сумма одинакова. ${\displaystyle \sinh(x-n\pi )}$ ${\displaystyle \sin(x-n\pi i)=-i\sinh(ix+n\pi )}$
48. Рейнхардт и Уокер (2010a) §22.11
49. Рейнхардт и Уокер (2010a) §22.2.E7
50. Берндт (1994) стр. 247, 248, 253
51. Рейнхардт и Уокер (2010a) §22.11.E1
52. Уиттекер и Уотсон (1927)
53. Борвейн и Борвейн (1987)
54. Eymard & Lafon (2004) стр. 227.
55. Картан, Х. (1961). Théorie élémentaire des fonctions Analytiques d'une или plusieurs комплексы переменных (на французском языке). Германн. стр. 160–164.
56. Точнее, предположим, что есть последовательность ограниченных комплексных функций на множестве , такая, что сходится равномерно на . Если есть любая перестановка , то для всех . Тогда рассматриваемая теорема следует из того факта, что существует биекция между натуральными числами и 's (соответственно 's). ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \sum \left|a_{n}(z)\right|}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{n_{1},n_{2},n_{3},\ldots \}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))=\prod _{k=1}^{\infty }(1+a_{n_{k}}(z))}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
57. Боттаццини и Грей (2013), с. 58
58. Точнее, если для каждого существует и существует сходящийся ряд неотрицательных действительных чисел такой, что для всех и , то ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{k}(n)}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}}$ ${\displaystyle \left|a_{k}(n)\right|\leq M_{k}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

    ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}(n)=\sum _{k=1}^{\infty }\lim _{n\to \infty }a_{k}(n).}$

59. В качестве альтернативы можно сделать вывод, что эти разложения существуют просто из аналитичности и . Однако установление связи с «умножением и сбором подобных степеней» выявляет тождества между суммами обратных величин и коэффициентами степенного ряда, как в ряде, и бесконечно многих других. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha ^{4}}}=-\,{\text{the coefficient of}}\,z^{5}}$ ${\displaystyle M}$
60. Гаусс, CF (1866). Werke (Band III) (на латыни и немецком языке). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.стр. 405; на странице ошибка: коэффициент должен быть , а не . ${\displaystyle \varphi ^{17}}$ ${\displaystyle {\tfrac {107}{7\,410\,154\,752\,000}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {107}{207\,484\,333\,056\,000}}}$
61. Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (см. Гаусс (1866), стр. 408). Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(z)M''''(z)-4M'(z)M'''(z)+}$ ${\displaystyle +3M''(z)^{2}-2M(z)^{2}=0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (N''(z)N(z)-N'(z)^{2})^{2}-M(z)^{4}=0.}$
62. Если , то коэффициенты задаются рекуррентным соотношением с , где — числа Гурвица, определенные в Лемнискате эллиптических функций § Числа Гурвица. ${\textstyle M(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle a_{n+1}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2^{n-k+1}a_{k}{\frac {\mathrm {H} _{n-k+1}}{(n-k+1)!}}}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}}$
63. Журавский, А.М. (1941). Справочник по эллиптическим функциям . Изд. Акад. Наук. СССР
64. Например, с помощью формул квазисложения, формул удвоения и тождеств типа Пифагора мы имеем

    ${\displaystyle M(3z)=-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8},}$

    ${\displaystyle N(3z)=N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z),}$

    так

    ${\displaystyle \operatorname {sl} 3z={\frac {-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8}}{N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z)}}.}$

    Разделив числитель и знаменатель на , получаем формулу утроения для : ${\displaystyle N(z)^{9}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$

    ${\displaystyle \operatorname {sl} 3z={\frac {-\operatorname {sl} ^{9}z-6\operatorname {sl} ^{5}z+3\operatorname {sl} z}{1+6\operatorname {sl} ^{4}z-3\operatorname {sl} ^{8}z}}.}$

65. Робинсон (2019a)
66. Эймар и Лафон (2004) стр. 234
67. Армитидж, Дж. В.; Эберлейн, У. Ф. (2006). Эллиптические функции . Cambridge University Press. стр. 49. ISBN 978-0-521-78563-1.
68. Идентификацию можно найти в книге Гринхилла (1892) на стр. 33. ${\displaystyle \operatorname {cl} z={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$
69. Сигел (1969)
70. http://oeis.org/A175576 ^{​​[ пустой URL ]}
71. Берндт, Брюс С. (1989). Записные книжки Рамануджана, часть II . Springer. ISBN 978-1-4612-4530-8.стр. 96
72. Левин (2006); Робинсон (2019b)
73. Левин (2006) стр. 515
74. Cox (2012) стр. 508, 509
75. Аракава, Цунео; Ибукияма, Томоёси; Канеко, Масанобу (2014). Числа Бернулли и дзета-функции . Спрингер. ISBN 978-4-431-54918-5.стр. 203—206
76. Эквивалентно, где и — эпсилон-функция Якоби с модулем . ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\left({\frac {(1+i)z/2}{\operatorname {sl} ((1+i)z/2)}}+{\frac {z}{2}}{\mathcal {E}}\left({\frac {z}{2}};i\right)\right)}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\cdot ;i)}$ ${\displaystyle i}$
77. Числа Бернулли можно определить с помощью аналогичного соотношения: где и . ${\displaystyle \mathrm {B} _{2n}=-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {2n}{2k}}\mathrm {B} _{2k}\mathrm {B} _{2(n-k)}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{2}=1/6}$
78. Кац, Николас М. (1975). «Сравнения Клаузена — фон Штаудта и Куммера для чисел Бернулли-Гурвица». Математические Аннален . 216 (1): 1–4.См. уравнение (9)
79. Гурвиц, Адольф (1963). Mathematische Werke: Band II (на немецком языке). Шпрингер Базель АГ.стр. 370
80. Аракава и др. (2014) определяют расширением ${\displaystyle \mathrm {H} _{4n}}$ ${\displaystyle 1/\operatorname {sl} ^{2}.}$
81. Эйзенштейн, Г. (1846). «Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 30 .Эйзенштейн использует и . ${\displaystyle \varphi =\operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \omega =2\varpi }$
82. Огава, Такума (2005). «Сходство между тригонометрической функцией и функцией лемнискаты с арифметической точки зрения». Tsukuba Journal of Mathematics . 29 (1).
83. Пирс (1879). Гюйю (1887) и Адамс (1925) ввели поперечные и косые аспекты одной и той же проекции соответственно. Также см. Ли (1976). Эти авторы записывают свои проекционные формулы в терминах эллиптических функций Якоби с квадратной решеткой.
84. Адамс (1925)
85. Адамс (1925); Ли (1976).
86. Ранчич, Персер и Мезингер (1996); МакГрегор (2005).

Внешние ссылки

• Паркер, Мэтт (2021). «Какова площадь Squircle?». Stand-up Maths . YouTube. Архивировано из оригинала 2021-12-19.

Ссылки

• Абель, Нильс Хенрик (1827–1828) «Recherches sur les fonctions elliptiques» [Исследование эллиптических функций] (на французском языке). Журнал Крелля .
  Часть 1. 1827. 2 (2): 101–181. дои : 10.1515/crll.1827.2.101.
  Часть 2. 1828. 3 (3): 160–190. дои : 10.1515/crll.1828.3.160.
• Адамс, Оскар С. (1925). Эллиптические функции, применяемые к конформным картам мира (PDF) . Типография правительства США.
• Аюб, Рэймонд (1984). «Лемниската и вклад Фаньяно в эллиптические интегралы». Архив истории точных наук . 29 (2): 131–149. doi :10.1007/BF00348244.
• Берндт, Брюс С. (1994). Записные книжки Рамануджана, часть IV (первое издание). Springer. ISBN 978-1-4612-6932-8.
• Борвейн, Джонатан М .; Борвейн, Питер Б. (1987). "2.7 Преобразование Ландена". Pi и AGM . Wiley-Interscience. стр. 60.
• Боттаццини, Умберто ; Грей, Джереми (2013). Скрытая гармония – геометрические фантазии: расцвет теории комплексных функций . Springer. doi :10.1007/978-1-4614-5725-1.
• Карлсон, Билли К. (2010). "19. Эллиптические интегралы". В Олвер, Фрэнк и др. (ред.). Справочник NIST по математическим функциям . Кембридж.
• Кокс, Дэвид Арчибальд (январь 1984 г.). «Среднее арифметико-геометрическое Гаусса». L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330.
• Кокс, Дэвид Арчибальд; Шурман, Джерри (2005). «Геометрия и теория чисел на клевере» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 112 (8): 682–704. doi :10.1080/00029890.2005.11920241.
• Кокс, Дэвид Арчибальд (2012). «Лемниската». Теория Галуа . Wiley. стр. 463–514. doi :10.1002/9781118218457.ch15.
• Кокс, Дэвид Арчибальд (2013). Простые числа вида x2 + ny2 (второе изд.). Wiley.
• Кокс, Дэвид Арчибальд; Хайд, Тревор (2014). «Теория Галуа лемнискаты» (PDF) . Журнал теории чисел . 135 : 43–59. arXiv : 1208.2653 . doi :10.1016/j.jnt.2013.08.006.
• Эннепер, Альфред (1890) [1-е изд. 1876]. «Примечание III: Historische Notizen über geometrische Anwendungen elliptischer Integrale». [Исторические заметки о геометрических приложениях эллиптических интегралов]. Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte (на немецком языке). Неберт. стр. 524–547.
• Эйлер, Леонард (1761). «Наблюдения о сравнении дуг неисправимых кривых». Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на латыни). 6 : 58–84. Е 252. (Цифры)
• Эйлер, Леонард (1786). "De miris proprietatibus curvae elasticae sub aequatione y знак равно ∫ Икс Икс d Икс ⁡ / 1 - Икс 4 {\ textstyle y = \ int xx \ mathop {\ mathrm {d} x} {\ big / {\ sqrt {1-x^ { 4}}}} contentae" [Об удивительных свойствах упругих кривых, содержащихся в уравнении ]. Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на латыни). 1782 (2): 34–61. ${\textstyle y=\int xx\mathop {\mathrm {d} x} {\big /}{\sqrt {1-x^{4}}}}$Е 605.
• Эймар, Пьер; Лафон, Жан-Пьер (2004). Число Пи . Перевод Уилсона, Стивена. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3246-8.
• Фаньяно, Джулио Карло (1718–1723) «Метод измерения лемнискаты». Giornale de' Letterati d'Italia (на итальянском языке).
  «Schediasma primo» [Часть 1]. 1718. 29 : 258–269.
  «Giunte al primo schediasma» [Дополнение к части 1]. 1723. 34 : 197–207.
  «Schediasma Secondo» [Часть 2]. 1718. 30 : 87–111.
  Перепечатано как Фаньяно (1850 г.). «32–34. Метод для неправильного использования лемниската». Опера Математика, том. 2 . Аллериги и Сегати. стр. 293–313.(Цифры)
• Гаусс, Карл Фридрих (1917). Werke (Band X, Abteilung I) (на латыни и немецком языке). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
• Гомес-Молледа, МА; Ларио, Хоан-К. (2019). «Построение равностороннего треугольника и пятиугольника в лемнискате с помощью линейки и циркуля». The Mathematical Intelligencer . 41 (4): 17–21. doi :10.1007/s00283-019-09892-w.
• Гринхилл, Альфред Джордж (1892). Приложения эллиптических функций. Макмиллан.
• Гюйу, Эмиль (1887). «Новая система проекции сферы: обобщение проекции Меркатора» [Новая система проекции сферы]. Гидрографические Анналы . Серия 2 (на французском языке). 9 :16–35.
• Хаузель, Кристиан (1978). «Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes» [Эллиптические функции и абелевы интегралы]. В Дьедонне, Жан (ред.). Краткое изложение истории математики, 1700–1900 гг. II (на французском языке). Герман. стр. 1–113.
• Хайд, Тревор (2014). «Произведение Уоллиса на клевере» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 121 (3): 237–243. doi :10.4169/amer.math.monthly.121.03.237.
• Кубота, Томио (1964). «Некоторые арифметические приложения эллиптической функции». Журнал Крелле . 214/215 : 141–145. doi :10.1515/crll.1964.214-215.141.
• Лангер, Джоэл К.; Сингер, Дэвид А. (2010). «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математического бриллианта» (PDF) . Milan Journal of Mathematics . 78 (2): 643–682. doi :10.1007/s00032-010-0124-5.
• Лангер, Джоэл С.; Сингер, Дэвид А. (2011). «Лемнискатическая шахматная доска». Forum Geometricorum . 11 : 183–199.
• Лоуден, Дерек Фрэнк (1989). Эллиптические функции и приложения . Прикладные математические науки. Т. 80. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-3980-0.
• Ли, Л. П. (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций . Монографии Cartographica . Том 16. Торонто: BV Gutsell, Йоркский университет. ISBN 0-919870-16-3.Приложение № 1 к журналу The Canadian Cartographer 13.
• Леммермейер, Франц (2000). Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна . Спрингер. ISBN 3-540-66957-4.
• Левин, Раф (2008). Эластика: математическая история (PDF) (Технический отчет). Калифорнийский университет в Беркли. UCB/EECS-2008-103.
• Левин, Аарон (2006). «Геометрическая интерпретация бесконечного произведения для константы лемнискаты». The American Mathematical Monthly . 113 (6): 510–520. doi :10.2307/27641976.
• Линдквист, Питер; Петер, Яак (2001). «Два замечательных тождества, называемые двойками, для обратных некоторым абелевым интегралам» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 108 (5): 403–410. doi :10.1080/00029890.2001.11919766.
• Маркушевич, Алексей Иванович (1966). Замечательные функции синуса. Elsevier.
• Маркушевич, Алексей Иванович (1992). Введение в классическую теорию абелевых функций . Переводы математических монографий. Т. 96. Американское математическое общество. doi :10.1090/mmono/096.
• МакГрегор, Джон Л. (2005). C-CAM: Геометрические аспекты и динамическая формулировка (Технический отчет). CSIRO Atmospheric Research . 70.
• МакКин, Генри ; Молл, Виктор (1999). Эллиптические кривые: теория функций, геометрия, арифметика . Кембридж. ISBN 9780521582285.
• Милн-Томсон, Луис Мелвилл (1964). "16. Якобианские эллиптические функции и тета-функции". В Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (ред.). Handbook of Mathematical Functions . Национальное бюро стандартов. стр. 567–585.
• Нойман, Эдвард (2007). «О лемнискатных функциях Гаусса и лемнискатном среднем» (PDF) . Mathematica Pannonica . 18 (1): 77–94.
• Нисимура, Рё (2015). «Новые свойства функции лемнискаты и ее преобразования». Журнал математического анализа и приложений . 427 (1): 460–468. doi : 10.1016/j.jmaa.2015.02.066 .
• Огава, Такума (2005). «Сходство между тригонометрической функцией и функцией лемнискаты с арифметической точки зрения». Tsukuba Journal of Mathematics . 29 (1).
• Пирс, Чарльз Сандерс (1879). «Квинкунциальная проекция сферы». American Journal of Mathematics . 2 (4): 394–397. doi :10.2307/2369491.
• Попеску-Пампу, Патрик (2016). Что такое род? . Конспект лекций по математике. Том 2162. Springer. doi :10.1007/978-3-319-42312-8.
• Прасолов, Виктор; Соловьев, Юрий (1997). "4. Теорема Абеля о делении лемнискаты". Эллиптические функции и эллиптические интегралы . Переводы математических монографий. Том 170. Американское математическое общество. doi :10.1090/mmono/170.
• Ранчич, Миодраг; Персер, Р. Джеймс; Месингер, Федор (1996). «Глобальная модель мелководья с использованием расширенного сферического куба: гномонические и конформные координаты». Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society . 122 (532): 959–982. doi :10.1002/qj.49712253209.
• Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010a). "22. Якобиановские эллиптические функции". В Olver, Frank; et al. (ред.). NIST Handbook of Mathematical Functions . Cambridge.
• Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010b). "23. Эллиптические и модулярные функции Вейерштрасса". В Olver, Frank; et al. (ред.). Справочник NIST по математическим функциям . Кембридж.
• Робинсон, Пол Л. (2019a). «Лемнискатические функции». arXiv : 1902.08614 .
• Робинсон, Пол Л. (2019b). «Эллиптические функции в системе первого порядка». arXiv : 1903.07147 .
• Розен, Майкл (1981). «Теорема Абеля о лемнискате». The American Mathematical Monthly . 88 (6): 387–395. doi :10.2307/2321821.
• Рой, Ранджан (2017). Эллиптические и модулярные функции от Гаусса до Дедекинда и Гекке . Cambridge University Press. стр. 28. ISBN 978-1-107-15938-9.
• Шаппахер, Норберт (1997). «Некоторые вехи лемнискатомии» (PDF) . В Sertöz, S. (ред.). Алгебраическая геометрия (Труды летней школы Билькент, 7–19 августа 1995 г., Анкара, Турция). Марсель Деккер. стр. 257–290.
• Шнайдер, Теодор (1937). «Arithmetische Untersuruchungen elliptischer Integrale» [Арифметические исследования эллиптических интегралов]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 113 (1): 1–13. дои : 10.1007/BF01571618.
• Шварц, Герман Амандус (1869). «Ueber einige Abbildungsaufgaben» [О некоторых проблемах картографии]. Журнал Крелля (на немецком языке). 70 : 105–120. дои : 10.1515/crll.1869.70.105.
• Siegel, Carl Ludwig (1969). "1. Эллиптические функции". Темы по теории комплексных функций, т. I. Wiley-Interscience. стр. 1–89. ISBN 0-471-60844-0.
• Снейп, Джейми (2004). «Лемниската Бернулли». Приложения эллиптических функций в классической и алгебраической геометрии (диссертация). Университет Дарема. С. 50–56.
• Southard, Thomas H. (1964). "18. Эллиптические функции Вейерштрасса и родственные им функции". В Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (ред.). Справочник по математическим функциям . Национальное бюро стандартов. стр. 627–683.
• Шридхаран, Рамайенгар (2004) «Физика к математике: от Lintearia до Lemniscate». Резонанс .
  «Часть I». 9 (4): 21–29. doi :10.1007/BF02834853.
  «Часть II: Работа Гаусса и Ландена». 9 (6): 11–20. doi :10.1007/BF02839214.
• Тодд, Джон (1975). «Константы лемнискаты». Сообщения ACM . 18 (1): 14–19. doi : 10.1145/360569.360580 .
• Уиттекер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1920) [1-е изд. 1902]. «22.8 Лемнискатные функции». Курс современного анализа (3-е изд.). Кембридж. С. 524–528.
• Уиттекер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1927) [4-е изд. 1927]. «21 Тета-функции». Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж. С. 469–470.