Двойственность Понтрягина

Двойственность для локально компактных абелевых групп

2 -адические целые числа с выбранными соответствующими символами в их двойственной группе Понтрягина

В математике двойственность Понтрягина — это двойственность между локально компактными абелевыми группами , которая позволяет обобщить преобразование Фурье на все такие группы, в число которых входят группа окружности (мультипликативная группа комплексных чисел с модулем единица), конечные абелевы группы (с дискретной топологией ) и аддитивная группа целых чисел (также с дискретной топологией), действительные числа и любое конечномерное векторное пространство над действительными числами или p -адическое поле .

Двойственная по Понтрягину локально компактной абелевой группе — это локально компактная абелева топологическая группа, образованная непрерывными групповыми гомоморфизмами из группы в группу окружности с операцией поточечного умножения и топологией равномерной сходимости на компактных множествах. Теорема о двойственности Понтрягина устанавливает двойственность Понтрягина, утверждая, что любая локально компактная абелева группа естественно изоморфна своей бидуальной (двойственной своей двойственной). Теорема об обращении Фурье является частным случаем этой теоремы.

Предмет назван в честь Льва Понтрягина , который заложил основы теории локально компактных абелевых групп и их двойственности в своих ранних математических работах в 1934 году. Трактовка Понтрягина основывалась на том, что группы являются счетно-второстепенными и либо компактными, либо дискретными. Это было улучшено для охвата общих локально компактных абелевых групп Эгбертом ван Кампеном в 1935 году и Андре Вейлем в 1940 году.

Введение

Двойственность Понтрягина помещает в единый контекст ряд наблюдений о функциях на действительной прямой или на конечных абелевых группах:

• Соответствующие регулярные комплекснозначные периодические функции на действительной прямой имеют ряды Фурье , и эти функции могут быть восстановлены из их рядов Фурье;
• Соответствующие регулярные комплекснозначные функции на действительной прямой имеют преобразования Фурье, которые также являются функциями на действительной прямой, и, как и для периодических функций, эти функции могут быть восстановлены из их преобразований Фурье; и
• Комплекснозначные функции на конечной абелевой группе имеют дискретные преобразования Фурье , которые являются функциями на двойственной группе, которая является (неканонически) изоморфной группой. Более того, любая функция на конечной абелевой группе может быть восстановлена ​​из ее дискретного преобразования Фурье.

Теория, введенная Львом Понтрягиным и объединенная с мерой Хаара, введенной Джоном фон Нейманом , Андре Вейлем и другими, основана на теории двойственной группы локально компактной абелевой группы.

Это аналогично дуальному векторному пространству векторного пространства: конечномерное векторное пространство и его дуальное векторное пространство не являются естественно изоморфными, но алгебра эндоморфизмов (матричная алгебра) одного изоморфна противоположности алгебры эндоморфизмов другого: посредством транспонирования. Аналогично, группа и ее дуальная группа в общем случае не являются изоморфными, но их кольца эндоморфизмов противоположны друг другу: . Более категорично, это не просто изоморфизм алгебр эндоморфизмов, а контравариантная эквивалентность категорий – см. § Категорные соображения . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)\cong {{\text{End}}(V^{*})}^{\text{op}},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)\cong {\text{End}}({\widehat {G}})^{\text{op}}}$

Определение

Топологическая группа является локально компактной группой , если топологическое пространство, лежащее в основе, локально компактно и хаусдорфово ; топологическая группа является абелевой, если топологическое пространство, лежащее в основе, является абелевой . Примерами локально компактных абелевых групп являются конечные абелевы группы, целые числа (обе для дискретной топологии , которая также индуцируется обычной метрикой), действительные числа, группа окружности T (обе с их обычной метрической топологией), а также p -адические числа (с их обычной p -адической топологией).

Для локально компактной абелевой группы двойственная по Понтрягину группа — это группа непрерывных групповых гомоморфизмов из в группу окружности . То есть, Двойственная по Понтрягину группа обычно наделяется топологией , заданной равномерной сходимостью на компактных множествах (то есть топологией, индуцированной компактно -открытой топологией на пространстве всех непрерывных функций из в ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\widehat {G}}:=\operatorname {Hom} (G,T).}$$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$

Например, $${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\ {\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z} .}$$

Теорема двойственности Понтрягина

Теорема ^{[1] [2]}  —  Существует канонический изоморфизм между любой локально компактной абелевой группой и ее двойной двойственной группой. ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$

Канонический означает, что существует естественно определенное отображение  ; что еще важнее, отображение должно быть функториальным по . Для характера группы канонический изоморфизм определяется следующим образом: То есть, ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}\colon G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}}$ ${\displaystyle x\in G}$ $${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x)(\chi )=\chi (x)\in \mathbb {T} .}$$ $${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x):(\chi \mapsto \chi (x)).}$$

Другими словами, каждый элемент группы отождествляется с характером оценки на двойственном. Это сильно аналогично каноническому изоморфизму между конечномерным векторным пространством и его двойным двойственным , , и стоит упомянуть, что любое векторное пространство является абелевой группой . Если является конечной абелевой группой, то но этот изоморфизм не является каноническим. Чтобы сделать это утверждение точным (в общем случае), необходимо подумать о дуализации не только на группах, но и на отображениях между группами, чтобы рассматривать дуализацию как функтор и доказать, что тождественный функтор и функтор дуализации не являются естественно эквивалентными. Также теорема двойственности подразумевает, что для любой группы (не обязательно конечной) функтор дуализации является точным функтором . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\cong V^{**}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\widehat {G}}}$

Двойственность Понтрягина и преобразование Фурье

мера Хаара

Одним из самых замечательных фактов о локально компактной группе является то, что она несет по существу единственную естественную меру , меру Хаара , которая позволяет последовательно измерять «размер» достаточно регулярных подмножеств . «Достаточно регулярное подмножество» здесь означает борелевское множество ; то есть элемент σ-алгебры, порожденной компактными множествами . Точнее, правая мера Хаара на локально компактной группе — это счетно-аддитивная мера μ , определенная на борелевских множествах , которая является правоинвариантной в том смысле, что для элемента из и борелевского подмножества из и также удовлетворяет некоторым условиям регулярности (подробно изложенным в статье о мере Хаара ). За исключением положительных масштабных множителей, мера Хаара на единственна. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (Ax)=\mu (A)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Мера Хаара на позволяет нам определить понятие интеграла для ( комплекснозначных ) борелевских функций, определенных на группе. В частности, можно рассмотреть различные пространства L p , связанные с мерой Хаара . В частности, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.}$$

Обратите внимание, что, поскольку любые две меры Хаара на равны с точностью до масштабного коэффициента, это -пространство не зависит от выбора меры Хаара и, таким образом, возможно, может быть записано как . Однако -норма на этом пространстве зависит от выбора меры Хаара, поэтому, если кто-то хочет поговорить об изометриях, важно отслеживать используемую меру Хаара. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(G)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Преобразование Фурье и формула обращения Фурье дляЛ1-функции

Двойственная группа локально компактной абелевой группы используется в качестве базового пространства для абстрактной версии преобразования Фурье . Если , то преобразование Фурье — это функция на , определяемая соотношением , где интеграл относительен меры Хаара на . Это также обозначается . Обратите внимание, что преобразование Фурье зависит от выбора меры Хаара. Несложно показать, что преобразование Фурье функции на является ограниченной непрерывной функцией на , которая обращается в нуль на бесконечности . ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\chi )}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Формула обращения Фурье для -функций ${\displaystyle L^{1}}$ —  Для каждой меры Хаара на существует единственная мера Хаара на такая, что всякий раз, когда и , имеем Если непрерывно, то это тождество справедливо для всех . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{1}\left({\widehat {G}}\right)}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{\widehat {G}}{\widehat {f}}(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi )\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Обратное преобразование Фурье интегрируемой функции на задается выражением , где интеграл берется относительно меры Хаара на двойственной группе . Мера на , которая появляется в формуле обращения Фурье, называется двойственной мерой к и может быть обозначена . ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ $${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$

Различные преобразования Фурье можно классифицировать по их области определения и области преобразования (группе и двойственной группе) следующим образом (обратите внимание, что это группа окружности ): ${\displaystyle \mathbb {T} }$

В качестве примера предположим , поэтому мы можем думать о как о спаривании Если это мера Лебега на евклидовом пространстве, мы получаем обычное преобразование Фурье на и двойственная мера, необходимая для формулы обращения Фурье, это . Если мы хотим получить формулу обращения Фурье с той же мерой с обеих сторон (то есть, поскольку мы можем думать о как о его собственном двойственном пространстве, мы можем попросить, чтобы было равно ), то нам нужно использовать ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}}$$

Однако если мы изменим способ идентификации с ее дуальной группой, используя спаривание , то мера Лебега на будет равна ее собственной дуальной мере. Это соглашение минимизирует количество факторов , которые появляются в различных местах при вычислении преобразований Фурье или обратных преобразований Фурье на евклидовом пространстве. (По сути, оно ограничивает только экспонентой, а не предварительным множителем вне знака интеграла.) Обратите внимание, что выбор способа идентификации с ее дуальной группой влияет на значение термина «самодвойственная функция», который является функцией на , равной ее собственному преобразованию Фурье: при использовании классического спаривания функция является самодвойственной. Но использование спаривания, которое сохраняет предварительный множитель как единицу, вместо этого делает самодвойственной. Это второе определение для преобразования Фурье имеет то преимущество, что оно отображает мультипликативное тождество в тождество свертки, которое полезно, поскольку является алгеброй свертки. См. следующий раздел о групповой алгебре. Кроме того, эта форма также обязательно изометрична на пространствах. См. ниже теоремы обращения Фурье Планшереля и L2. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$ ${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Групповая алгебра

Пространство интегрируемых функций на локально компактной абелевой группе представляет собой алгебру , где умножение является сверткой: сверткой двух интегрируемых функций и определяется как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).}$$

Теорема  —  Банахово пространство является ассоциативной и коммутативной алгеброй относительно свертки. ${\displaystyle L^{1}(G)}$

Эта алгебра называется групповой алгеброй . По теореме Фубини–Тонелли свертка является субмультипликативной относительно нормы , что делает банахову алгебру . Банахова алгебра имеет мультипликативный элемент тождества тогда и только тогда, когда является дискретной группой, а именно функцией, которая равна 1 в тождестве и нулю в других местах. В общем случае, однако, она имеет приближенное тождество , которое является сетью (или обобщенной последовательностью), индексированной на направленном множестве, таким образом, что ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f*e_{i}\to f.}$

Преобразование Фурье переводит свертку в умножение, т.е. является гомоморфизмом абелевых банаховых алгебр (нормы ≤ 1): ${\displaystyle L^{1}(G)\to C_{0}\left({\widehat {G}}\right)}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).}$$

В частности, каждому групповому характеру на соответствует уникальный мультипликативный линейный функционал на групповой алгебре, определяемый соотношением ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).}$$

Важным свойством групповой алгебры является то, что они исчерпывают множество нетривиальных (то есть не тождественно равных нулю) мультипликативных линейных функционалов на групповой алгебре; см. раздел 34 (Loomis 1953). Это означает, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Гельфанда .

Планшерель иЛ2Теоремы обращения Фурье

Как мы уже говорили, двойственная группа локально компактной абелевой группы сама по себе является локально компактной абелевой группой и, таким образом, имеет меру Хаара или, точнее, целое семейство масштабно-зависимых мер Хаара.

Теорема  —  Выберем меру Хаара на и пусть будет двойственной мерой на , как определено выше. Если является непрерывной с компактным носителем, то и В частности, преобразование Фурье является изометрией из комплекснозначных непрерывных функций с компактным носителем на в -функции на (используя -норму относительно для функций на и -норму относительно для функций на ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{2}\left({\widehat {G}}\right)}$ $${\displaystyle \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Поскольку комплекснозначные непрерывные функции компактного носителя на являются -плотными, существует единственное расширение преобразования Фурье из этого пространства до унитарного оператора , и мы имеем формулу ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right).}$$ $${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$

Обратите внимание, что для некомпактных локально компактных групп пространство не содержит , поэтому преобразование Фурье общих -функций на "не" задается какой-либо формулой интегрирования (или на самом деле какой-либо явной формулой). Чтобы определить преобразование Фурье, нужно прибегнуть к некоторому техническому трюку, например, начать с плотного подпространства, например, непрерывных функций с компактным носителем, а затем расширить изометрию по непрерывности на все пространство. Это унитарное расширение преобразования Фурье и есть то, что мы подразумеваем под преобразованием Фурье на пространстве квадратично интегрируемых функций. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Двойственная группа также имеет обратное преобразование Фурье в своем собственном праве; его можно охарактеризовать как обратное (или сопряженное, поскольку оно унитарно) преобразованию Фурье. Это содержание формулы обращения Фурье, которая следует ниже. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Теорема  —  Сопряженное преобразование Фурье, ограниченное непрерывными функциями с компактным носителем, является обратным преобразованием Фурье , где — двойственная мера к . $${\displaystyle L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right)\to L_{\mu }^{2}(G)}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$

В этом случае двойственная группа естественным образом изоморфна группе целых чисел , а преобразование Фурье специализируется на вычислении коэффициентов рядов Фурье периодических функций. ${\displaystyle G=\mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Если — конечная группа, то мы восстанавливаем дискретное преобразование Фурье . Заметим, что этот случай очень легко доказать напрямую. ${\displaystyle G}$

Компактификация Бора и почти-периодичность

Одним из важных приложений двойственности Понтрягина является следующая характеристика компактных абелевых топологических групп:

Теорема  —  Локально компактная абелева группа компактна тогда и только тогда, когда двойственная группа дискретна. Обратно, дискретна тогда и только тогда, когда компактна. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

То, что компактность подразумевает дискретность или что дискретность подразумевает компактность, является элементарным следствием определения компактно-открытой топологии на и не нуждается в двойственности Понтрягина. Двойственность Понтрягина используется для доказательства обратных утверждений. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Компактификация Бора определена для любой топологической группы , независимо от того, является ли она локально компактной или абелевой. Одним из применений двойственности Понтрягина между компактными абелевыми группами и дискретными абелевыми группами является характеристика компактификации Бора произвольной абелевой локально компактной топологической группы. Компактификация Бора группы — это , где H имеет групповую структуру , но задана дискретная топология . Поскольку отображение включения непрерывно и является гомоморфизмом, дуальный морфизм является морфизмом в компактную группу, которая, как легко показать, удовлетворяет требуемому универсальному свойству . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {H}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ $${\displaystyle \iota :H\to {\widehat {G}}}$$ $${\displaystyle G\sim {\widehat {\widehat {G}}}\to {\widehat {H}}}$$

Категорические соображения

Двойственность Понтрягина также может быть с пользой рассмотрена функториально . В дальнейшем LCA — это категория локально компактных абелевых групп и непрерывных гомоморфизмов групп. Двойственная конструкция группы — это контравариантный функтор LCA → LCA , представленный (в смысле представимых функторов ) группой окружности как В частности, двойной двойственный функтор ковариантен . Категорическая формулировка двойственности Понтрягина тогда утверждает, что естественное преобразование между тождественным функтором на LCA и двойным двойственным функтором является изоморфизмом. [ ^3] Раскрывая понятие естественного преобразования, это означает, что отображения являются изоморфизмами для любой локально компактной абелевой группы , и эти изоморфизмы функториальны в . Этот изоморфизм аналогичен двойному двойственному конечномерных векторных пространств (частный случай для действительных и комплексных векторных пространств). ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}={\text{Hom}}(G,\mathbb {T} ).}$ ${\displaystyle G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Непосредственным следствием этой формулировки является другая общая категорная формулировка двойственности Понтрягина: двойственный групповой функтор является эквивалентностью категорий из LCA в LCA ^op .

Двойственность меняет местами подкатегории дискретных групп и компактных групп . Если — кольцо , а — левый модуль , то двойственная группа станет правым модулем; таким образом мы также можем видеть, что дискретные левые модули будут двойственными по Понтрягину компактным правым модулям. Кольцо эндоморфизмов в LCA меняется двойственностью на противоположное кольцо (изменяет порядок умножения на другой). Например, если — бесконечная циклическая дискретная группа, — группа окружности: первая имеет , поэтому это верно и для второй. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(G)=\mathbb {Z} }$

Обобщения

Обобщения двойственности Понтрягина строятся в двух основных направлениях: для коммутативных топологических групп , не являющихся локально компактными , и для некоммутативных топологических групп. Теории в этих двух случаях сильно различаются.

Двойственности для коммутативных топологических групп

Когда является хаусдорфовой абелевой топологической группой, группа с компактно-открытой топологией является хаусдорфовой абелевой топологической группой, и естественное отображение из в ее дважды-дуальное имеет смысл. Если это отображение является изоморфизмом, говорят, что удовлетворяет двойственности Понтрягина (или что является рефлексивной группой [ ^4] или рефлективной группой ^[5] ). Это было расширено в ряде направлений за пределы случая локальной компактности. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

В частности, Сэмюэл Каплан ^{[7] [8]} показал в 1948 и 1950 годах, что произвольные произведения и счетные обратные пределы локально компактных (хаусдорфовых) абелевых групп удовлетворяют двойственности Понтрягина. Отметим, что бесконечное произведение локально компактных некомпактных пространств не является локально компактным.

Позднее, в 1975 году, Рангачари Венкатараман ^[9] показал, среди прочего, что каждая открытая подгруппа абелевой топологической группы, удовлетворяющая двойственности Понтрягина, сама удовлетворяет двойственности Понтрягина.

Совсем недавно Серхио Арданса-Тревихано и Мария Хесус Часко ^[10] расширили результаты Каплана, упомянутые выше. Они показали, что прямые и обратные пределы последовательностей абелевых групп, удовлетворяющих двойственности Понтрягина, также удовлетворяют двойственности Понтрягина, если группы являются метризуемыми или -пространствами, но не обязательно локально компактными, при условии, что последовательности удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. ${\displaystyle k_{\omega }}$

Однако есть фундаментальный аспект, который меняется, если мы хотим рассмотреть двойственность Понтрягина за пределами локально компактного случая. Елена Мартин-Пейнадор ^[11] доказала в 1995 году, что если — хаусдорфова абелева топологическая группа, удовлетворяющая двойственности Понтрягина, и естественное оценочное спаривание (совместно) непрерывно, ^[a], то — локально компактно. Как следствие, все нелокально компактные примеры двойственности Понтрягина — это группы, где спаривание не является (совместно) непрерывным. ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$

Другой способ обобщить двойственность Понтрягина на более широкие классы коммутативных топологических групп — наделить двойственную группу немного иной топологией, а именно топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах . Группы, удовлетворяющие тождеству при этом предположении ^[b], называются стереотипными группами . ^[5] Этот класс также очень широк (и содержит локально компактные абелевы группы), но он уже, чем класс рефлективных групп. ^[5] ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$

Двойственность Понтрягина для топологических векторных пространств

В 1952 году Марианна Ф. Смит ^[12] заметила, что банаховы пространства и рефлексивные пространства , рассматриваемые как топологические группы (с аддитивной групповой операцией), удовлетворяют двойственности Понтрягина. Позднее Б.С. Брудовский ^[13], Уильям К. Уотерхаус ^[14] и К. Браунер ^[15] показали, что этот результат может быть распространен на класс всех квазиполных бочечных пространств (в частности, на все пространства Фреше ). В 1990-х годах Сергей Акбаров ^[16] дал описание класса топологических векторных пространств, которые удовлетворяют более сильному свойству, чем классическая рефлексивность Понтрягина, а именно, тождеству , где означает пространство всех линейных непрерывных функционалов, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в (и означает двойственное к в том же смысле). Пространства этого класса называются стереотипными пространствами , а соответствующая теория нашла ряд приложений в функциональном анализе и геометрии, включая обобщение двойственности Понтрягина для некоммутативных топологических групп. $${\displaystyle (X^{\star })^{\star }\cong X}$$ ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$ ${\displaystyle X^{\star }}$

Двойственности для некоммутативных топологических групп

Для некоммутативных локально компактных групп классическая конструкция Понтрягина перестает работать по разным причинам, в частности, потому, что характеры не всегда разделяют точки , а неприводимые представления не всегда одномерны. При этом неясно, как ввести умножение на множестве неприводимых унитарных представлений , и даже неясно, является ли это множество хорошим выбором на роль двойственного объекта для . Поэтому проблема построения двойственности в этой ситуации требует полного переосмысления. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Теории, построенные к настоящему времени, делятся на две основные группы: теории, в которых дуальный объект имеет ту же природу, что и исходный (как в самой двойственности Понтрягина), и теории, в которых исходный объект и его дуальный объект отличаются друг от друга настолько радикально, что их невозможно отнести к объектам одного класса.

Теории второго типа исторически были первыми: вскоре после работы Понтрягина Тадао Таннака (1938) и Марк Крейн (1949) построили теорию двойственности для произвольных компактных групп, известную сейчас как двойственность Таннаки–Крейна . ^{[17] [18]} В этой теории двойственным объектом для группы является не сама группа, а категория ее представлений . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$

Двойственность для конечных групп.

Теории первого типа появились позже, и ключевым примером для них стала теория двойственности для конечных групп. ^{[19] [20]} В этой теории категория конечных групп вкладывается посредством операции взятия групповой алгебры (над ) в категорию конечномерных алгебр Хопфа , так что функтор двойственности Понтрягина превращается в операцию взятия двойственного векторного пространства (являющегося функтором двойственности в категории конечномерных алгебр Хопфа). ^[20] ${\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle H\mapsto H^{*}}$

В 1973 году Леонид И. Вайнерман , Джордж И. Кац, Мишель Энок и Жан-Мари Шварц построили общую теорию такого типа для всех локально компактных групп. ^[21] С 1980-х годов исследования в этой области возобновились после открытия квантовых групп , на которые построенные теории начали активно переноситься. ^[22] Эти теории формулируются на языке C*-алгебр , или алгебр фон Неймана , и одним из ее вариантов является недавняя теория локально компактных квантовых групп . ^{[23] [22]}

Однако одним из недостатков этих общих теорий является то, что в них объекты, обобщающие понятие группы, не являются алгебрами Хопфа в обычном алгебраическом смысле. ^[20] Этот недостаток может быть исправлен (для некоторых классов групп) в рамках теорий двойственности, построенных на основе понятия оболочки топологической алгебры. ^[24]

Смотрите также

• Теорема Петера–Вейля
• Двойственность Картье
• Пространство стереотипов

Примечания

1. Совместная непрерывность означает здесь, что отображение непрерывно как отображение между топологическими пространствами, где наделено топологией декартова произведения. Этот результат не выполняется, если отображение предполагается отдельно непрерывным или непрерывным в стереотипном смысле . ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$
2. Где вторая двойственная группа двойственна в том же смысле. ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Цитаты

1. Хьюитт и Росс 1963, (24.2)
2. Моррис 1977, Глава 4
3. Редер 1974
4. Онищик 1984
5. Акбаров и Шавгулидзе 2003 г.
6. Часко, Дикранжан и Мартин-Пейнадор, 2012 г.
7. Каплан 1948
8. Каплан 1950
9. Венкатараман 1975
10. Арданса-Тревихано и Часко 2005 г.
11. Мартин-Пейнадор 1995
12. Смит 1952
13. Брудовский 1967
14. Уотерхаус 1968
15. Браунер 1973
16. Акбаров 2003
17. Хьюитт и Росс 1970
18. Кириллов 1976
19. Кириллов 1976, 12.3
20. Акбаров 2009
21. Энок и Шварц 1992
22. Тиммерманн 2008
23. Кустерманс и Ваес 2000
24. Акбаров 2009, 2017a, 2017b

Ссылки

• Акбаров, СС (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и топологической алгебре». Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Акбаров Сергей С.; Шавгулидзе, Евгений Т. (2003). «О двух классах рефлексивных по Понтрягину пространств». Математический сборник . 194 (10): 3–26.
• Акбаров, Сергей С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi : 10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.
• Акбаров, Сергей С. (2017a). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1». Журнал математических наук . 227 (5): 531–668. arXiv : 1303.2424 . doi : 10.1007/s10958-017-3599-6. MR  3790317. S2CID  126018582.
• Акбаров, Сергей С. (2017б). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 2». Журнал математических наук . 227 (6): 669–789. arXiv : 1303.2424 . doi :10.1007/s10958-017-3600-4. MR  3796205. S2CID  128246373.
• Браунер, Кальман (1973). «Двойственные пространства Фреше и обобщение теоремы Банаха – Дьедонне». Математический журнал Дьюка . 40 (4): 845–855. дои : 10.1215/S0012-7094-73-04078-7.
• Брудовский, Б. С. (1967). «О k- и c-рефлексивности локально выпуклых векторных пространств». Литовский математический журнал . 7 (1): 17–21. doi : 10.15388/LMJ.1967.19927 .
• Диксмье, Жак (1969). C*-алгебры и представления . Готье-Виллар. ISBN 978-2-87647-013-2.
• Энок, Мишель; Шварц, Жан-Мари (1992). Алгебры Каца и двойственность локально компактных групп . С предисловием Алена Конна. С послесловием Адриана Окняну. Берлин: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-662-02813-1. ISBN 978-3-540-54745-7. МР  1215933.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963). Абстрактный гармонический анализ. Том. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 115. Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94190-5. МР  0156915.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970). Абстрактный гармонический анализ . Том 2. Springer. ISBN 978-3-662-24595-8. МР  0262773.
• Кириллов, Александр А. (1976) [1972]. Элементы теории представлений . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 220. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-07476-4. МР  0412321.
• Лумис, Линн Х. (1953). Введение в абстрактный гармонический анализ. D. van Nostrand Co. ISBN 978-0486481234.
• Моррис, С.А. (1977). Двойственность Понтрягина и структура локально компактных абелевых групп . Cambridge University Press . ISBN 978-0521215435.
• Онищик, АЛ (1984), «Двойственность Понтрягина», Энциклопедия математики , 4 : 481–482, ISBN 978-1402006098
• Рейтер, Ганс (1968). Классический гармонический анализ и локально компактные группы . Clarendon Press. ISBN 978-0198511892.
• Рудин, Вальтер (1962). Анализ Фурье на группах . D. van Nostrand Co. ISBN 978-0471523642.
• Тиммерманн, Т. (2008). Приглашение к квантовым группам и дуальности — от алгебр Хопфа до мультипликативных унитариев и далее . Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-043-2.
• Кустерманс, Дж.; Ваес, С. (2000). «Локально компактные квантовые группы». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (6): 837–934. дои : 10.1016/s0012-9593(00)01055-7.
• Арданса-Тревихано, Серджио; Часко, Мария Хесус (2005). «Двойственность Понтрягина последовательных пределов топологических абелевых групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 202 (1–3): 11–21. дои : 10.1016/j.jpaa.2005.02.006. hdl : 10171/1586 . МР  2163398.
• Часко, Мария Хесус; Дикранжан, Дикран; Мартин-Пейнадор, Елена (2012). «Обзор рефлексивности абелевых топологических групп». Топология и ее приложения . 159 (9): 2290–2309. дои : 10.1016/j.topol.2012.04.012 . МР  2921819.
• Каплан, Сэмюэл (1948). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть I: бесконечные произведения». Duke Mathematical Journal . 15 : 649–658. doi :10.1215/S0012-7094-48-01557-9. MR  0026999.
• Каплан, Сэмюэл (1950). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть II: прямые и обратные пределы». Duke Mathematical Journal . 17 : 419–435. doi :10.1215/S0012-7094-50-01737-6. MR  0049906.
• Венкатараман, Рангачари (1975). «Расширения дуальности Понтрягина». Mathematische Zeitschrift . 143 (2): 105–112. дои : 10.1007/BF01187051. S2CID  123627326.
• Мартин-Пейнадор, Елена (1995). «Рефлексивная допустимая топологическая группа должна быть локально компактной». Труды Американского математического общества . 123 (11): 3563–3566. doi :10.2307/2161108. hdl : 10338.dmlcz/127641 . JSTOR  2161108.
• Редер, Дэвид В. (1974). «Теория категорий, применяемая к двойственности Понтрягина». Pacific Journal of Mathematics . 52 (2): 519–527. doi : 10.2140/pjm.1974.52.519 .
• Смит, Марианна Ф. (1952). «Теорема двойственности Понтрягина в линейных пространствах». Annals of Mathematics . 56 (2): 248–253. doi :10.2307/1969798. JSTOR  1969798. MR  0049479.
• Waterhouse, William C. (1968). «Двойственные группы векторных пространств». Pacific Journal of Mathematics . 26 (1): 193–196. doi : 10.2140/pjm.1968.26.193 .