Дифференциальное уравнение

Тип функционального уравнения (математика)

В математике дифференциальное уравнение — это уравнение , связывающее одну или несколько неизвестных функций и их производные . ^[1] В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные — скорости их изменения, а дифференциальное уравнение определяет связь между ними. Такие связи являются общими; поэтому дифференциальные уравнения играют важную роль во многих дисциплинах, включая инженерию , физику , экономику и биологию .

Изучение дифференциальных уравнений состоит в основном из изучения их решений (множества функций, удовлетворяющих каждому уравнению) и свойств их решений. Только простейшие дифференциальные уравнения решаются явными формулами; однако многие свойства решений данного дифференциального уравнения могут быть определены без их точного вычисления.

Часто, когда замкнутое выражение для решений недоступно, решения могут быть приближены численно с использованием компьютеров. Теория динамических систем делает акцент на качественном анализе систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в то время как было разработано много численных методов для определения решений с заданной степенью точности.

История

Дифференциальные уравнения появились с изобретением исчисления Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем . В главе 2 своей работы 1671 года Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum [ ^2] Ньютон перечислил три вида дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}$

Во всех этих случаях y — неизвестная функция x (или x ₁ и x ₂ ), а f — заданная функция.

Он решает эти и другие примеры с помощью бесконечных рядов и обсуждает неоднозначность решений.

Якоб Бернулли предложил дифференциальное уравнение Бернулли в 1695 году. ^[3] Это обыкновенное дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

Для которой в следующем году Лейбниц получил решения, упростив ее. ^[4]

Исторически проблема вибрирующей струны, такой как струна музыкального инструмента, изучалась Жаном Лероном Д'Аламбером , Леонардом Эйлером , Даниилом Бернулли и Жозефом-Луи Лагранжем . ^{[5] [6] [7] [8]} В 1746 году Д'Аламбер открыл одномерное волновое уравнение , а через десять лет Эйлер открыл трехмерное волновое уравнение. ^[9]

Уравнение Эйлера –Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями проблемы таутохроны . Это проблема определения кривой, по которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки. Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба развили метод Лагранжа и применили его в механике , что привело к формулировке механики Лагранжа .

В 1822 году Фурье опубликовал свою работу о тепловом потоке в Théorie analytique de la chaleur (Аналитическая теория тепла), ^[10], в которой он основывал свои рассуждения на законе охлаждения Ньютона , а именно, что поток тепла между двумя соседними молекулами пропорционален чрезвычайно малой разнице их температур. В этой книге содержалось предложение Фурье его уравнения теплопроводности для кондуктивной диффузии тепла. Это уравнение в частных производных теперь является общей частью учебной программы по математической физике.

Пример

В классической механике движение тела описывается его положением и скоростью при изменении значения времени. Законы Ньютона позволяют выразить эти переменные динамически (при заданном положении, скорости, ускорении и различных силах, действующих на тело) в виде дифференциального уравнения для неизвестного положения тела как функции времени.

В некоторых случаях это дифференциальное уравнение (называемое уравнением движения ) может быть решено явно.

Примером моделирования реальной проблемы с использованием дифференциальных уравнений является определение скорости падающего в воздухе мяча с учетом только силы тяжести и сопротивления воздуха. Ускорение мяча по направлению к земле равно ускорению под действием силы тяжести за вычетом замедления под действием сопротивления воздуха. Сила тяжести считается постоянной, а сопротивление воздуха можно смоделировать как пропорциональное скорости мяча. Это означает, что ускорение мяча, которое является производной его скорости, зависит от скорости (а скорость зависит от времени). Нахождение скорости как функции времени включает решение дифференциального уравнения и проверку его достоверности.

Типы

Дифференциальные уравнения можно разделить на несколько типов. Помимо описания свойств самого уравнения, эти классы дифференциальных уравнений могут помочь в выборе подхода к решению. Обычно используемые различия включают в себя то, является ли уравнение обычным или частным, линейным или нелинейным, однородным или неоднородным. Этот список далеко не исчерпывающий; существует множество других свойств и подклассов дифференциальных уравнений, которые могут быть очень полезны в определенных контекстах.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) — это уравнение, содержащее неизвестную функцию одной действительной или комплексной переменной x , ее производные и некоторые заданные функции x . Неизвестная функция обычно представлена ​​переменной ( часто обозначаемой y ), которая, следовательно, зависит от x . Таким образом, x часто называют независимой переменной уравнения. Термин « обыкновенное » используется в отличие от термина уравнение в частных производных , которое может быть относительно более чем одной независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, линейные относительно неизвестной функции и ее производных. Их теория хорошо развита, и во многих случаях их решения можно выразить через интегралы .

Большинство ОДУ, которые встречаются в физике, являются линейными. Поэтому большинство специальных функций могут быть определены как решения линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ).

Поскольку, как правило, решения дифференциального уравнения не могут быть выражены выражением в замкнутой форме , для решения дифференциальных уравнений на компьютере обычно используются численные методы .

Уравнения с частными производными

Уравнение с частными производными ( УЧП ) — это дифференциальное уравнение, которое содержит неизвестные многомерные функции и их частные производные . (Это отличается от обыкновенных дифференциальных уравнений , которые имеют дело с функциями одной переменной и их производными.) Уравнения с частными производными используются для формулировки задач, включающих функции нескольких переменных, и либо решаются в замкнутой форме, либо используются для создания соответствующей компьютерной модели .

PDE могут использоваться для описания широкого спектра явлений в природе, таких как звук , тепло , электростатика , электродинамика , течение жидкости , упругость или квантовая механика . Эти, казалось бы, различные физические явления могут быть формализованы аналогичным образом в терминах PDE. Так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы , уравнения в частных производных часто моделируют многомерные системы . Стохастические уравнения в частных производных обобщают уравнения в частных производных для моделирования случайности .

Нелинейные дифференциальные уравнения

Нелинейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, которое не является линейным уравнением относительно неизвестной функции и ее производных (линейность или нелинейность аргументов функции здесь не рассматриваются). Существует очень мало методов точного решения нелинейных дифференциальных уравнений; те, которые известны, обычно зависят от того, имеет ли уравнение определенные симметрии . Нелинейные дифференциальные уравнения могут демонстрировать очень сложное поведение на длительных временных интервалах, характерное для хаоса . Даже фундаментальные вопросы существования, единственности и продолжимости решений для нелинейных дифференциальных уравнений и корректности начальных и граничных задач для нелинейных уравнений с частными производными являются сложными проблемами, и их разрешение в особых случаях считается значительным достижением в математической теории (ср. существование и гладкость Навье–Стокса ). Однако, если дифференциальное уравнение является правильно сформулированным представлением осмысленного физического процесса, то можно ожидать, что оно будет иметь решение. ^[11]

Линейные дифференциальные уравнения часто появляются как приближения к нелинейным уравнениям. Эти приближения справедливы только при ограниченных условиях. Например, уравнение гармонического осциллятора является приближением к нелинейному уравнению маятника, которое справедливо для колебаний малой амплитуды.

Порядок и степень уравнения

Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок производной неизвестной функции, которая появляется в дифференциальном уравнении. Например, уравнение, содержащее только производные первого порядка , является дифференциальным уравнением первого порядка , уравнение, содержащее производную второго порядка , является дифференциальным уравнением второго порядка и т. д. ^{[12] [13]}

Когда оно записано как полиномиальное уравнение относительно неизвестной функции и ее производных, его степень дифференциального уравнения , в зависимости от контекста, является полиномиальной степенью относительно старшей производной неизвестной функции ^[14] или ее полной степенью относительно неизвестной функции и ее производных. В частности, линейное дифференциальное уравнение имеет степень один для обоих значений, но нелинейное дифференциальное уравнение имеет степень один для первого значения, но не для второго. ${\displaystyle y'+y^{2}=0}$

Дифференциальные уравнения, описывающие природные явления, почти всегда содержат только производные первого и второго порядка, но есть некоторые исключения, такие как уравнение тонкой пленки , которое является частным дифференциальным уравнением четвертого порядка.

Примеры

В первой группе примеров u — неизвестная функция x , а c и ω — константы, которые, как предполагается, известны. Две широкие классификации как обыкновенных, так и частных дифференциальных уравнений состоят в различении линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, а также однородных дифференциальных уравнений и неоднородных .

• Неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

  ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$

• Однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$

• Однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом, описывающее гармонический осциллятор :

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.}$

• Неоднородное нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

  ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.}$

• Нелинейное (обусловленное синусоидальной функцией) обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее движение маятника длиной L :

  ${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}$

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y .

• Однородное линейное уравнение в частных производных первого порядка:

  ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

• Однородное линейное уравнение в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами эллиптического типа, уравнение Лапласа :

  ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

• Однородное нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, уравнение КдФ :

  ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.}$

Наличие решений

Решение дифференциальных уравнений не похоже на решение алгебраических уравнений . Не только их решения часто неясны, но и то, являются ли решения единственными или вообще существуют, также является предметом интереса.

Для задач с начальными значениями первого порядка теорема о существовании Пеано дает один набор обстоятельств, при которых решение существует. Для любой точки на плоскости xy определите некоторую прямоугольную область , такую, что и находится внутри . Если нам дано дифференциальное уравнение и условие, что при , то локально существует решение этой задачи, если и оба непрерывны на . Это решение существует на некотором интервале с центром в . Решение может быть не единственным. (См. Обыкновенное дифференциальное уравнение для других результатов.) ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}$ ${\displaystyle y=b}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle g(x,y)}$ ${\textstyle {\frac {\partial g}{\partial x}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle a}$

Однако это помогает нам только с начальными задачами первого порядка . Предположим, что у нас есть линейная начальная задача n-го порядка:

${\displaystyle f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)}$

такой что

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y'(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{aligned}}}$

Для любого ненулевого , если и непрерывны на некотором интервале, содержащем , существует и является единственным. ^[15] ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y}$

Связанные концепции

• Дифференциальное уравнение с задержкой (DDE) — это уравнение для функции одной переменной, обычно называемой временем , в котором производная функции в определенный момент времени задается через значения функции в более ранние моменты времени.
• Интегральные уравнения можно рассматривать как аналог дифференциальных уравнений, где вместо уравнения, включающего производные, уравнение содержит интегралы .
• Интегро -дифференциальное уравнение (ИДУ) — это уравнение, сочетающее в себе аспекты дифференциального уравнения и интегрального уравнения.
• Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — это уравнение, в котором неизвестная величина является случайным процессом , а уравнение включает в себя некоторые известные случайные процессы, например, процесс Винера в случае уравнений диффузии.
• Стохастическое уравнение в частных производных (SPDE) — это уравнение, которое обобщает SDE, включая шумовые процессы в пространстве и времени, и имеет приложения в квантовой теории поля и статистической механике .
• Ультраметрическое псевдодифференциальное уравнение — это уравнение, которое содержит p-адические числа в ультраметрическом пространстве . Математические модели, включающие ультраметрические псевдодифференциальные уравнения, используют псевдодифференциальные операторы вместо дифференциальных операторов .
• Дифференциально -алгебраическое уравнение (ДАУ) — это дифференциальное уравнение, включающее дифференциальные и алгебраические члены, заданные в неявной форме.

Связь с разностными уравнениями

Теория дифференциальных уравнений тесно связана с теорией разностных уравнений , в которой координаты принимают только дискретные значения, а связь включает значения неизвестной функции или функций и значения в близлежащих координатах. Многие методы вычисления численных решений дифференциальных уравнений или изучения свойств дифференциальных уравнений включают аппроксимацию решения дифференциального уравнения решением соответствующего разностного уравнения.

Приложения

Изучение дифференциальных уравнений — это обширная область в чистой и прикладной математике , физике и технике . Все эти дисциплины занимаются свойствами дифференциальных уравнений различных типов. Чистая математика фокусируется на существовании и единственности решений, в то время как прикладная математика подчеркивает строгое обоснование методов аппроксимации решений. Дифференциальные уравнения играют важную роль в моделировании практически любого физического, технического или биологического процесса, от движения небесных тел до проектирования мостов и взаимодействия между нейронами. Дифференциальные уравнения, такие как те, которые используются для решения реальных задач, не обязательно могут быть напрямую решены, т. е. не иметь решений в замкнутой форме . Вместо этого решения могут быть аппроксимированы с помощью численных методов .

Многие фундаментальные законы физики и химии можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений. В биологии и экономике дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения сложных систем. Математическая теория дифференциальных уравнений впервые была разработана вместе с науками, где уравнения возникли и где результаты нашли применение. Однако разнообразные проблемы, иногда возникающие в совершенно разных научных областях, могут приводить к появлению идентичных дифференциальных уравнений. Всякий раз, когда это происходит, математическую теорию, лежащую в основе уравнений, можно рассматривать как объединяющий принцип, лежащий в основе различных явлений. В качестве примера рассмотрим распространение света и звука в атмосфере и волн на поверхности пруда. Все они могут быть описаны одним и тем же частным дифференциальным уравнением второго порядка , волновым уравнением , которое позволяет нам думать о свете и звуке как о формах волн, очень похожих на знакомые волны в воде. Теплопроводность, теория которой была разработана Жозефом Фурье , регулируется другим частным дифференциальным уравнением второго порядка, уравнением теплопроводности . Оказывается, что многие процессы диффузии , хотя и кажутся разными, описываются одним и тем же уравнением; Например, уравнение Блэка-Шоулза в финансах связано с уравнением теплопроводности .

Число дифференциальных уравнений, получивших название в различных научных областях, свидетельствует о важности этой темы. См. Список поименованных дифференциальных уравнений .

Программное обеспечение

Некоторые программы CAS могут решать дифференциальные уравнения. Вот команды, используемые в ведущих программах:

• Клен : ^[16] dsolve
• Математика : ^[17] DSolve[]
• Максимумы : ^[18] ode2(equation, y, x)
• SageMath : ^[19] desolve()
• СимПи : ^[20] sympy.solvers.ode.dsolve(equation)
• Xcas : ^[21] desolve(y'=k*y,y)

Смотрите также

• Точное дифференциальное уравнение
• Функционально-дифференциальное уравнение
• Начальное состояние
• Интегральные уравнения
• Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений
• Численные методы для уравнений в частных производных
• Теорема Пикара–Линделёфа о существовании и единственности решений
• Рекуррентное соотношение , также известное как «разностное уравнение»
• Абстрактное дифференциальное уравнение
• Система дифференциальных уравнений

Ссылки

1. Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями моделирования. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.
2. Ньютон, Исаак. (около 1671 г.). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (Метод флюксий и бесконечных серий), опубликованный в 1736 году [Opuscula, 1744, Vol. И. п. 66].
3. Бернулли, Якоб (1695), «Объяснения, аннотации и дополнения к еа, что в Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica и Velaria, hinc inde memorata и paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum Directionum, Alliisque Novis» , Акта Эрудиторум
4. Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0
5. Фрейзер, Крейг (июль 1983 г.). "Обзор книги "Эволюция динамики, теория колебаний с 1687 по 1742 г." Джона Т. Кэннона и Сигалии Достровски" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 9 (1).
6. Уилер, Джерард Ф.; Крамметт, Уильям П. (1987). «Противоречие вибрирующей струны». Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode : 1987AmJPh..55...33W. doi : 10.1119/1.15311.
7. Для специального собрания 9 новаторских статей трех авторов см. Первое появление волнового уравнения: Д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. - спор о вибрирующих струнах Архивировано 09.02.2020 на Wayback Machine (получено 13 ноября 2012 г.). Герман Х. Дж. Линге и сын.
8. О вкладе де Лагранжа в уравнение акустической волны можно прочитать в книге Акустика: введение в ее физические принципы и приложения Аллана Д. Пирса, Acoustical Soc of America, 1989; стр. 18. (получено 9 декабря 2012 г.)
9. Шпайзер, Дэвид. Открытие принципов механики 1600-1800 , стр. 191 (Базель: Birkhäuser, 2008).
10. Фурье, Жозеф (1822). Théorie Analytique de la Chaleur (на французском языке). Париж: Firmin Didot Père et Fils. ОСЛК  2688081.
11. Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (1967). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (4-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 3.
12. Weisstein, Eric W. "Обыкновенный порядок дифференциального уравнения". Из MathWorld --A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html
13. Порядок и степень дифференциального уравнения. Архивировано 01.04.2016 на Wayback Machine , доступ получен в декабре 2015 г.
14. Элиас Лумис (1887). Элементы дифференциального и интегрального исчисления (пересмотренное издание). Harper & Bros., стр. 247.Выдержка из страницы 247
15. Зилл, Деннис Г. (2001). Первый курс дифференциальных уравнений (5-е изд.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.
16. "dsolve - Maple Programming Help". www.maplesoft.com . Получено 2020-05-09 .
17. "DSolve - Документация по языку Wolfram". www.wolfram.com . Получено 28.06.2020 .
18. Schelter, William F. Gaertner, Борис (ред.). "Differential Equations - Symbolic Solutions". Программа компьютерной алгебры Maxima - учебник (в документации Maxima на SourceForge ) . Архивировано из оригинала 2022-10-04.
19. «Основы алгебры и исчисления — учебник Sage v9.0». doc.sagemath.org . Получено 09.05.2020 .
20. "ODE". Документация SymPy 1.11 . 2022-08-22. Архивировано из оригинала 2022-09-26.
21. «Символическая алгебра и математика с Xcas» (PDF) .

Дальнейшее чтение

• Эбботт, П.; Нил, Х. (2003). Самостоятельное изучение исчисления . С. 266–277.
• Бланшар, П.; Девани, Р. Л .; Холл, Г. Р. (2006). Дифференциальные уравнения . Томпсон.
• Boyce, W.; DiPrima, R .; Meade, D. (2017). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи . Wiley.
• Коддингтон, Э. А.; Левинсон, Н. (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . McGraw-Hill.
• Инс, Э. Л. (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Довер.
• Джонсон, У. (1913). Трактат об обыкновенных и частных дифференциальных уравнениях. John Wiley and Sons.В коллекции исторической математики Мичиганского университета
• Полянин, АД; Зайцев, ВФ (2003). Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Портер, Р.И. (1978). "XIX Дифференциальные уравнения". Дальнейший элементарный анализ .
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Daniel Zwillinger (12 мая 2014 г.). Справочник дифференциальных уравнений. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Дифференциальные уравнения на Wikimedia Commons
• Лекции по дифференциальным уравнениям MIT Open CourseWare Видеоролики
• Онлайн-заметки / Дифференциальные уравнения Пол Докинз, Университет Ламара
• Дифференциальные уравнения, SOS Математика
• Введение в моделирование с помощью дифференциальных уравнений Введение в моделирование с помощью дифференциальных уравнений, с критическими замечаниями.
• Mathematical Assistant on Web Символический инструмент ODE, использующий Maxima
• Точные решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Коллекция моделей ОДУ и ДАУ физических систем Архивировано 19 декабря 2008 г. в Wayback Machine Модели MATLAB
• Заметки о Diffy Qs: Дифференциальные уравнения для инженеров Вводный учебник по дифференциальным уравнениям от Иржи Лебла из UIUC
• Видеоплейлист Khan Academy по дифференциальным уравнениям Темы, изучаемые на первом курсе по дифференциальным уравнениям.
• Видеоплейлист MathDiscuss по дифференциальным уравнениям