stringtranslate.com

Уильям Кингдон Клиффорд

Уильям Кингдон Клиффорд FRS (4 мая 1845 г. – 3 марта 1879 г.) был британским математиком и философом . Основываясь на работах Германа Грассмана , он ввел то, что сейчас называется геометрической алгеброй , частным случаем алгебры Клиффорда, названной в его честь. Операции геометрической алгебры имеют эффект зеркального отображения, вращения, перевода и отображения геометрических объектов, которые моделируются в новые положения. Алгебры Клиффорда в целом и геометрическая алгебра в частности имели все большее значение для математической физики , [1] геометрии , [2] и вычислений . [3] Клиффорд был первым, кто предположил, что гравитация может быть проявлением базовой геометрии. В своих философских трудах он ввел выражение mind-stuff .

Биография

Родившийся в Эксетере , Уильям Клиффорд получил образование в Академии доктора Темплтона на Бедфорд-Серкус и подавал большие надежды в школе. [4] Он поступил в Королевский колледж Лондона (в возрасте 15 лет) и Тринити-колледж в Кембридже , где был избран членом в 1868 году, после того как стал вторым Вранглером в 1867 году и вторым призером Смита. [5] [6] В 1870 году он был частью экспедиции в Италию, чтобы наблюдать солнечное затмение 22 декабря 1870 года. Во время этого путешествия он пережил кораблекрушение у побережья Сицилии. [7]

В 1871 году он был назначен профессором математики и механики в Университетском колледже Лондона , а в 1874 году стал членом Королевского общества . [5] Он также был членом Лондонского математического общества и Метафизического общества .

Клиффорд женился на Люси Лейн 7 апреля 1875 года, у них было двое детей. [8] Клиффорд любил развлекать детей и написал сборник сказок « Маленькие люди» . [9]

Смерть и наследие

В 1876 году у Клиффорда случился нервный срыв, вероятно, вызванный переутомлением. Днем он преподавал и руководил, а ночью писал. Полугодовой отпуск в Алжире и Испании позволил ему возобновить свои обязанности на 18 месяцев, после чего он снова свалился. Он отправился на остров Мадейра, чтобы выздороветь, но через несколько месяцев умер там от туберкулеза , оставив вдову с двумя детьми.

Клиффорд и его жена похоронены на лондонском кладбище Хайгейт , рядом с могилами Джордж Элиот и Герберта Спенсера , к северу от могилы Карла Маркса .

Академический журнал Advances in Applied Clifford Algebras публикует работы, посвященные наследию Клиффорда в области кинематики и абстрактной алгебры .

Математика

«Клиффорд был прежде всего и прежде всего геометром».

—  Генри Джон Стивен Смит [5]
Титульный лист тома 1 (1878), содержащего книги I–III « Элементов динамики » Клиффорда
Тома 1 (1878) и 2 (1887), содержащие книги I-IV « Элементов динамики » Клиффорда

Открытие неевклидовой геометрии открыло новые возможности в геометрии в эпоху Клиффорда. Родилась область внутренней дифференциальной геометрии , с понятием кривизны, широко применяемым к самому пространству , а также к кривым линиям и поверхностям. Клиффорд был очень впечатлен эссе Бернхарда Римана 1854 года «О гипотезах, лежащих в основе геометрии». [10] В 1870 году он представил Кембриджскому философскому обществу доклад о концепциях искривленного пространства Римана и включил в него рассуждения об искривлении пространства под действием гравитации. Перевод Клиффорда [11] [12] статьи Римана был опубликован в Nature в 1873 году. Его доклад в Кембридже «О пространственной теории материи» был опубликован в 1876 году, предвосхитив общую теорию относительности Альберта Эйнштейна на 40 лет. Клиффорд разработал геометрию эллиптического пространства как неевклидово метрическое пространство . Эквидистантные кривые в эллиптическом пространстве теперь называются параллелями Клиффорда .

Клиффорд Джона Кольера

Современники Клиффорда считали его проницательным и оригинальным, остроумным и сердечным. Он часто работал до поздней ночи, что, возможно, ускорило его смерть. Он опубликовал статьи по ряду тем, включая алгебраические формы и проективную геометрию , а также учебник Elements of Dynamic . Его применение теории графов к теории инвариантов было продолжено Уильямом Споттисвудом и Альфредом Кемпе . [13]

Алгебры

В 1878 году Клиффорд опубликовал основополагающую работу, основанную на обширной алгебре Грассмана. [14] Ему удалось объединить кватернионы , разработанные Уильямом Роуэном Гамильтоном , с внешним произведением Грассмана (также известным как внешнее произведение ). Он понял геометрическую природу творения Грассмана и то, что кватернионы четко вписываются в алгебру, разработанную Грассманом. Версоры в кватернионах облегчают представление вращения. Клиффорд заложил основу для геометрического произведения, состоящего из суммы внутреннего произведения и внешнего произведения Грассмана. Геометрическое произведение в конечном итоге было формализовано венгерским математиком Марселем Риссом . Внутреннее произведение снабжает геометрическую алгебру метрикой, полностью включающей отношения расстояний и углов для линий, плоскостей и объемов, в то время как внешнее произведение придает этим плоскостям и объемам векторные свойства, включая направленное смещение.

Объединение этих двух операций привело к операции деления. Это значительно расширило наше качественное понимание того, как объекты взаимодействуют в пространстве. Что особенно важно, это также предоставило средства для количественного расчета пространственных последствий этих взаимодействий. Полученная геометрическая алгебра, как он ее назвал, в конечном итоге реализовала долгожданную цель [i] создания алгебры, которая отражает движения и проекции объектов в трехмерном пространстве. [15]

Более того, алгебраическая схема Клиффорда распространяется на более высокие измерения. Алгебраические операции имеют ту же символическую форму, что и в 2- или 3-мерном пространстве. Важность общих алгебр Клиффорда со временем возросла, в то время как их классы изоморфизма — как действительных алгебр — были идентифицированы в других математических системах, помимо просто кватернионов. [16]

Области действительного анализа и комплексного анализа были расширены с помощью алгебры кватернионов H , благодаря ее понятию трехмерной сферы, вложенной в четырехмерное пространство. Кватернионные версоры , которые населяют эту 3-мерную сферу, обеспечивают представление группы вращения SO(3) . Клиффорд отметил, что бикватернионы Гамильтона были тензорным произведением известных алгебр, и предложил вместо этого два других тензорных произведения H : Клиффорд утверждал, что «скаляры», взятые из комплексных чисел C, могли бы вместо этого быть взяты из расщепленных комплексных чисел D или из дуальных чисел N. В терминах тензорных произведений, производит расщепленные бикватернионы , в то время как образует дуальные кватернионы . Алгебра дуальных кватернионов используется для выражения винтового смещения , распространенного отображения в кинематике.

Уильям Кингдон Клиффорд (1901), как показано на фронтисписе Lectures and Essays , т. 2. [17]

Философия

Имя Клиффорда как философа в основном ассоциируется с двумя фразами его творений: mind-stuff и tribal self . Первая символизирует его метафизическую концепцию, подсказанную ему чтением Баруха Спинозы , [5] которую Клиффорд (1878) определил следующим образом: [18]

Тот элемент, комплексом которого, как мы видели, является даже самое простое чувство, я назову Разумом. Движущаяся молекула неорганической материи не обладает разумом или сознанием; но она обладает небольшим кусочком разума. Когда молекулы так объединяются вместе, что образуют пленку на нижней стороне медузы, элементы разума, которые идут вместе с ними, так объединяются, что образуют слабые зачатки Чувствительности. Когда молекулы так объединяются, что образуют мозг и нервную систему позвоночного, соответствующие элементы разума так объединяются, что образуют некое сознание; то есть изменения в комплексе, которые происходят в одно и то же время, так связываются вместе, что повторение одного подразумевает повторение другого. Когда материя принимает сложную форму живого человеческого мозга, соответствующее разум принимает форму человеческого сознания, имеющего интеллект и волю.

—  «О природе вещей в себе» (1878)

Относительно концепции Клиффорда сэр Фредерик Поллок писал:

Короче говоря, концепция заключается в том, что разум является единственной конечной реальностью; не разум, каким мы его знаем в сложных формах сознательного чувства и мысли, а более простые элементы, из которых строятся мысль и чувство. Гипотетический конечный элемент разума, или атом вещества разума, точно соответствует гипотетическому атому материи, будучи конечным фактом, явлением которого является материальный атом. Материя и чувственная вселенная являются отношениями между отдельными организмами, то есть разумом, организованным в сознание , и остальным миром. Это приводит к результатам, которые в свободном и популярном смысле можно было бы назвать материалистическими . Но теория должна, как метафизическая теория, считаться идеалистической. Говоря технически, это идеалистический монизм . [5]

Племенное я , с другой стороны, дает ключ к этическому взгляду Клиффорда, который объясняет совесть и моральный закон развитием в каждом индивидууме «я», которое предписывает поведение, способствующее благополучию «племени». Большая часть современной известности Клиффорда была обусловлена ​​его отношением к религии . Воодушевленный сильной любовью к своей концепции истины и преданностью общественному долгу, он вел войну с такими церковными системами, которые, как ему казалось, благоприятствовали обскурантизму и ставили требования секты выше требований человеческого общества. Тревога была больше, поскольку теология все еще не была примирена с дарвинизмом ; и Клиффорд считался опасным поборником антидуховных тенденций, которые тогда приписывались современной науке. [5] Также ведутся споры о том, в какой степени учение Клиффорда о « сопутствующих обстоятельствах » или « психофизическом параллелизме » повлияло на модель нервной системы Джона Хьюлингса Джексона и, через него, на работы Жане, Фрейда, Рибо и Эй. [19]

Этика

Могила Уильяма Кингдона Клиффорда на кладбище Хайгейт (Восток), к северу от могилы Карла Маркса .

В своем эссе 1877 года «Этика веры » Клиффорд утверждает, что безнравственно верить в то, для чего нет доказательств. [20] Он описывает судовладельца, который планировал отправить в море старое и некачественно построенное судно, полное пассажиров. У судовладельца были сомнения, что судно может оказаться непригодным для плавания: «Эти сомнения терзали его разум и делали его несчастным». Он подумывал о том, чтобы переоборудовать судно, хотя это и было бы дорого. Наконец, «ему удалось преодолеть эти меланхоличные размышления». Он наблюдал, как судно уходит «с легким сердцем… и получил свои страховые деньги, когда оно затонуло посреди океана и не рассказало ни одной сказки». [20]

Клиффорд утверждает, что судовладелец был виновен в смерти пассажиров, хотя он искренне верил, что судно было в порядке: « [Он] не имел права верить на основании тех доказательств, которые были у него ». [ii] Более того, он утверждает, что даже в случае, когда судно успешно достигало пункта назначения, решение оставалось безнравственным, потому что мораль выбора определялась навсегда после того, как выбор был сделан, а фактический результат, определенный слепым случаем, не имел значения. Судовладелец был бы не менее виновен: его правонарушение никогда не было бы обнаружено, но он все равно не имел права принимать это решение, учитывая имевшуюся у него в то время информацию.

Клиффорд приходит к знаменитому выводу, который стал известен как принцип Клиффорда : «Всегда, везде и для кого бы то ни было неправильно верить чему-либо без достаточных доказательств». [20]

Таким образом, он выступает в прямой оппозиции к религиозным мыслителям, для которых «слепая вера» (т. е. вера в вещи, несмотря на отсутствие доказательств) была добродетелью. Эта статья была подвергнута известным нападкам со стороны философа -прагматика Уильяма Джеймса в его лекции « Воля к вере ». Часто эти две работы читаются и публикуются вместе как пробные камни для дебатов по поводу эвиденциализма , веры и чрезмерной веры .

Предчувствие относительности

Хотя Клиффорд никогда не строил полную теорию пространства-времени и относительности , есть несколько замечательных наблюдений, которые он сделал в печати, предвосхитивших эти современные концепции: В своей книге «Элементы динамики» (1878) он ввел «квазигармоническое движение в гиперболе». Он написал выражение для параметризованной единичной гиперболы , которую другие авторы позже использовали в качестве модели для релятивистской скорости. В другом месте он утверждает: [21]

Геометрия роторов и двигателей… составляет основу всей современной теории относительного покоя (статики) и относительного движения (кинематики и кинетики) неизменных систем. [iii]

В этом отрывке упоминаются бикватернионы , хотя Клиффорд превратил их в сплит-бикватернионы в качестве своей независимой разработки. Книга продолжается главой «Об изгибе пространства», сущности общей теории относительности . Клиффорд также обсуждал свои взгляды в «О пространственной теории материи» в 1876 году.

В 1910 году Уильям Барретт Франкланд процитировал Пространственную теорию материи в своей книге о параллелизме: «Смелость этого предположения, безусловно, непревзойденна в истории мысли. Однако до сих пор оно выглядит как полет Икара». [22] Спустя годы, после того как Альберт Эйнштейн выдвинул общую теорию относительности , различные авторы отметили, что Клиффорд предвосхитил Эйнштейна. Герман Вейль (1923), например, упоминал Клиффорда как одного из тех, кто, подобно Бернхарду Риману , предвосхитил геометрические идеи относительности. [23]

В 1940 году Эрик Темпл Белл опубликовал книгу «Развитие математики» , в которой он обсуждает пророчество Клиффорда о теории относительности: [24]

Еще смелее, чем Риман, Клиффорд признался в своей вере (1870), что материя — это всего лишь проявление кривизны в пространственно-временном многообразии. Это зачаточное предсказание было воспринято как предвосхищение релятивистской теории гравитационного поля Эйнштейна (1915–1916). Однако фактическая теория имеет лишь отдаленное сходство с довольно подробным кредо Клиффорда. Как правило, те математические пророки, которые никогда не опускаются до подробностей, набирают наивысшие баллы. Почти любой может попасть в стену амбара с сорока ярдов зарядом картечи.

Джон Арчибальд Уилер на Международном конгрессе по логике, методологии и философии науки (CLMPS) в Стэнфорде в 1960 году представил свою геометродинамическую формулировку общей теории относительности, указав Клиффорда как инициатора. [25]

В «Естественной философии времени » (1961) Джеральд Джеймс Уитроу вспоминает пророчество Клиффорда, цитируя его, чтобы описать метрику Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера в космологии. [26]

Корнелиус Ланцос (1970) резюмирует предчувствия Клиффорда: [27]

[Он] с большой изобретательностью предвидел в качественном отношении, что физическая материя может быть понята как изогнутая рябь на в целом плоской плоскости. Многие из его гениальных догадок были позже реализованы в теории тяготения Эйнштейна. Такие спекуляции были автоматически преждевременными и не могли привести ни к чему конструктивному без промежуточного звена, которое требовало расширения трехмерной геометрии до включения времени. Теории искривленных пространств должно было предшествовать осознание того, что пространство и время образуют единую четырехмерную сущность.

Аналогично, Банеш Хоффманн (1973) пишет: [28]

Риман и, в частности, Клиффорд предположили, что силы и материя могут быть локальными нерегулярностями в кривизне пространства, и в этом они оказались поразительно пророческими, хотя за их старания их в то время отвергли как провидцев.

В 1990 году Рут Фарвелл и Кристофер Ни исследовали записи о признании предвидения Клиффорда. [29] Они пришли к выводу, что «именно Клиффорд, а не Риман, предвосхитил некоторые концептуальные идеи общей теории относительности». Чтобы объяснить отсутствие признания предвидения Клиффорда, они указывают, что он был экспертом в метрической геометрии, а «метрическая геометрия была слишком сложной для ортодоксальной эпистемологии, чтобы ею заниматься». [29] В 1992 году Фарвелл и Ни продолжили свое исследование Клиффорда и Римана: [30]

[Они] считают, что с тех пор, как тензоры были использованы в общей теории относительности, появилась структура, в которой могла быть разработана геометрическая перспектива в физике и которая позволила заново открыть сложные геометрические концепции Римана и Клиффорда.

Избранные произведения

Цитаты

«Я… считаю, что в физическом мире не происходит ничего иного, кроме этого изменения [кривизны пространства]».

—  Математические труды (1882)

«Нет ни одного ученого-первооткрывателя, поэта, художника, музыканта, который не скажет вам, что он нашел свое открытие, поэму или картину готовыми — что они пришли к нему извне, а не он сознательно создал их изнутри».

—  «Некоторые условия психического развития» (1882), лекция в Королевском институте

«Всегда, везде и для всех неправильно верить чему-либо без достаточных доказательств».

—  Этика веры (1879) [1877]

«Если человек, придерживаясь убеждения, которому его научили в детстве или в котором его убедили впоследствии, подавляет и отталкивает любые сомнения, возникающие в его уме по этому поводу, намеренно избегает чтения книг и общества людей, которые подвергают это убеждение сомнению или обсуждают его, и считает нечестивыми те вопросы, которые нельзя легко задать, не нарушив его, то жизнь такого человека — один долгий грех против человечества».

—  Этика веры (1879) [1877]

«Меня не было, и я был зачат. Я любил и немного потрудился. Меня нет, и я не скорблю».

—  Эпитафия

Смотрите также

Ссылки

Примечания

  1. ^ «Я считаю, что в том, что касается геометрии, нам нужен еще один анализ, который будет отчетливо геометрическим или линейным и который будет выражать ситуацию непосредственно, как алгебра выражает величину непосредственно». Лейбниц, Готфрид . 1976 [1679]. «Письмо Христиану Гюйгенсу (8 сентября 1679 г.)». В Philosophical Papers and Letters (2-е изд.). Springer .
  2. ^ Курсив в оригинале.
  3. ^ За этим отрывком сразу следует раздел «Искривление пространства». Однако, согласно предисловию (стр. vii), этот раздел был написан Карлом Пирсоном

Цитаты

  1. ^ Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков. Кембридж, Англия: Cambridge University Press. стр. 592. ISBN 9780521715959.
  2. ^ Хестенес, Дэвид (2011). «Наследие Грассмана» (PDF) . Из прошлого в будущее: работа Грассмана в контексте . Базель, Германия: Springer. стр. 243–260. doi :10.1007/978-3-0346-0405-5_22. ISBN 978-3-0346-0404-8.
  3. ^ Дорст, Лео (2009). Геометрическая алгебра для компьютерщиков. Амстердам: Морган Кауфманн . п. 664. ИСБН 9780123749420.
  4. ^ Харви, Хейзел (1996). Exeter Past . Phillimore. стр. 64–66. ISBN 1 86077 006 1.
  5. ^ abcdefgh Чисхолм 1911, стр. 506.
  6. ^ "Клиффорд, Уильям Кингдон (CLFT863WK)". База данных выпускников Кембриджа . Кембриджский университет.
  7. ^ Чисхолм, М. (2002). Такие серебряные токи . Кембридж: The Lutterworth Press. стр. 26. ISBN 978-0-7188-3017-5.
  8. ^ Стивен, Лесли; Поллок, Фредерик (1901). Лекции и эссе покойного Уильяма Кингдона Клиффорда, FRS Vol. 1. Нью-Йорк: Macmillan and Company. стр. 20. Архивировано из оригинала 3 марта 2008 г. Получено 8 марта 2008 г.
  9. ^ Ивс, Говард У. (1969). В математических кругах: подборка математических историй и анекдотов . Т. 3–4. Приндл, Вебер и Шмидт. С. 91–92.
  10. ↑ Риман, Бернхард . 1867 [1854]. «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» ( Habilitationsschrift ), перевод У. К. Клиффорда. – через Школу математики Тринити-колледжа в Дублине .
  11. ↑ Клиффорд, Уильям К. 1873. «О гипотезах, лежащих в основе геометрии». Nature 8:14–17, 36–37.
  12. ↑ Клиффорд, Уильям К. 1882. «Документ № 9». С. 55–71 в «Математических работах».
  13. ^ Биггс, Норман Л.; Ллойд, Эдвард Кит; Уилсон, Робин Джеймс (1976). Теория графов: 1736-1936 . Oxford University Press. стр. 67. ISBN 978-0-19-853916-2.
  14. ^ Клиффорд, Уильям (1878). «Применения обширной алгебры Грассмана». American Journal of Mathematics . 1 (4): 350–358. doi :10.2307/2369379. JSTOR  2369379.
  15. ^ Хестенес, Дэвид. «Об эволюции геометрической алгебры и геометрического исчисления».
  16. ^ Дешант, Пьер-Филипп (март 2014 г.). «Алгебраическая структура Клиффорда для вычислений теории групп Коксетера». Advances in Applied Clifford Algebras . 14 (1): 89–108. arXiv : 1207.5005 . Bibcode :2012arXiv1207.5005D. doi :10.1007/s00006-013-0422-4. S2CID  54035515.
  17. ↑ Фронтиспис лекций и эссе покойного Уильяма Кингдона Клиффорда, FRS , том 2.
  18. ↑ Клиффорд, Уильям К. 1878. «О природе вещей в себе». Mind 3(9):57–67. doi :10.1093/mind/os-3.9.57. JSTOR  2246617.
  19. ^ Клиффорд, CK и GE Берриос . 2000. «Тело и разум». История психиатрии 11(43):311–38. doi :10.1177/0957154x0001104305. PMID  11640231.
  20. ^ abcd Клиффорд, Уильям К. 1877. «Этика веры. Архивировано 23 января 2014 г. в Wayback Machine ». Contemporary Review 29:289.
  21. ^ Клиффорд, Уильям К. 1885. Здравый смысл точных наук . Лондон: Kegan Paul, Trench and Co. стр. 214.
  22. ^ Франкленд, Уильям Барретт. 1910. Теории параллелизма . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 48–49.
  23. ^ Вейль, Герман . 1923. Раум Цайт Материе . Берлин: Springer-Verlag . п. 101
  24. ^ Белл, Эрик Темпл . 1940. Развитие математики . С. 359–60.
  25. ^ Уилер, Джон Арчибальд . 1962 [1960]. «Искривленное пустое пространство как строительный материал физического мира: оценка». В «Логике, методологии и философии науки » под редакцией Э. Нагеля . Издательство Стэнфордского университета .
  26. ^ Уитроу, Джеральд Джеймс . 1961. Естественная философия времени (1-е изд.). С. 246–47.—1980 [1961]. Естественная философия времени (2-е изд.). С. 291.
  27. ^ Ланцош, Корнелиус . 1970. Пространство сквозь века: эволюция геометрических идей от Пифагора до Гильберта и Эйнштейна . Academic Press . стр. 222.
  28. ^ Хоффманн, Банеш . 1973. «Относительность». Словарь истории идей 4:80. Сыновья Чарльза Скрибнера .
  29. ^ Фарвелл, Рут и Кристофер Ни. 1990. Исследования по истории и философии науки 21:91–121.
  30. ^ Фарвелл, Рут и Кристофер Ни. 1992. «Геометрический вызов Римана и Клиффорда». С. 98–106 в 1830–1930: Век геометрии , под редакцией Л. Бои, Д. Фламента и Дж. Саланскиса. Lecture Notes in Physics 402. Springer Berlin Heidelberg . ISBN 978-3-540-47058-8 . doi :10.1007/3-540-55408-4_56. 
  31. ^ Клиффорд, Уильям К. 1876 [1870]. «О пространственной теории материи». Труды Кембриджского философского общества 2:157–58. OCLC  6084206. OL  20550270M. Transactionscamb06socigoog в Архиве Интернета
  32. ^ Клиффорд, Уильям К. 2007 [1870]. «О пространственной теории материи». С. 71 в Beyond Geometry: Classic Papers from Riemann to Einstein , под редакцией П. Песича. Mineola: Dover Publications . Bibcode : 2007bgcp.book...71K.
  33. ^ Клиффорд, Уильям К. 1886 [1877]. «Этика веры» (полный текст). Лекции и эссе (2-е изд.), под редакцией Л. Стивена и Ф. Поллока. Macmillan and Co. – через AJ Burger (2008).
  34. ^ Клиффорд, Уильям К. 1878. Элементы динамики: Введение в изучение движения и покоя твердых и жидких тел I, II и III. Лондон: MacMillan and Co. – через Интернет-архив.
  35. ^ Клиффорд, Уильям К. 1878. «Применения обширной алгебры Грассмана». Американский журнал математики 1(4):353. doi :10.2307/2369379.
  36. ↑ Клиффорд, Уильям К. 1879. Видение и мышление . Лондон: Macmillan and Co.
  37. ^ Клиффорд, Уильям К. 1901 [1879]. Лекции и эссе I (3-е изд.), под редакцией Л. Стивена и Ф. Поллока . Нью-Йорк: The Macmillan Company .
  38. ^ Клиффорд, Уильям К. 1881. «Математические фрагменты» (факсимиле). Лондон: Macmillan Company . Расположено в Университете Бордо . Библиотека науки и техники. FR 14652.
  39. ^ Клиффорд, Уильям К. 1882. Математические статьи, под редакцией Р. Такера , введение Г. Дж. С. Смита . Лондон: MacMillan and Co. – через Интернет-архив .
  40. ↑ Клиффорд, Уильям К. 1885. Здравый смысл точных наук , завершено К. Пирсоном . Лондон: Kegan, Paul, Trench, and Co.
  41. ^ Клиффорд, Уильям К. 1996 [1887]. «Элементы динамики» 2. В книге «От Канта до Гильберта: первоисточник по основам математики » под редакцией В. Б. Эвальда . Оксфорд. Издательство Оксфордского университета .

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки