Безразмерная величина (также известная как голая величина , чистая величина, а также величина единичного измерения ) [1] — это величина , которой не присвоено физическое измерение . Безразмерные величины широко используются во многих областях, таких как математика , физика , химия , техника и экономика . Безразмерные величины отличаются от величин, имеющих связанные с ними измерения, например время (измеряемое, например, в секундах ).
Соответствующей единицей измерения является единица (символ 1 ), [2] [3] , которая явно не указана. Для любой системы единиц цифра один считается базовой единицей . [4] Безразмерные единицы — это специальные названия, которые служат единицами измерения для выражения других безразмерных величин. Например, в системе СИ радианы (рад) и стерадианы (ср) — это безразмерные единицы для плоских и телесных углов соответственно. [2] Например, оптическая протяженность определяется как единица измерения в метрах, умноженная на стерадианы. [5]
Некоторые безразмерные величины называются безразмерными числами или характеристическими числами ; они являются результатом произведения или частного других общих величин (например, характерных длин ) и служат параметрами в уравнениях и моделях. Характеристические числа часто содержат в своих названиях термин «число» (например, « число Рейнольдса ») и могут быть математически обозначены двухбуквенной аббревиатурой с заглавной буквы (например, « Re » или «Re», выделенной курсивом или нет). [6] Некоторые такие числа определены как часть Международной системы величин (ISQ), стандартизированной в ISO 80000-11 . [7]
Безразмерные физические константы (например, постоянная тонкой структуры ) и безразмерные константы материала (например, показатель преломления ) представляют собой безразмерные величины, имеющие фиксированное значение для всей Вселенной или для данного материала соответственно.
Величины, имеющие размерность один, безразмерные величины , регулярно встречаются в науке и формально рассматриваются в области анализа размерностей . В 19 веке французский математик Жозеф Фурье и шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл провели значительные разработки в области современных концепций измерения и единицы измерения . Более поздние работы британских физиков Осборна Рейнольдса и лорда Рэлея способствовали пониманию безразмерных чисел в физике. Основываясь на методе размерного анализа Рэлея, Эдгар Бэкингем доказал теорему π (независимо от предыдущей работы французского математика Жозефа Бертрана ), чтобы формализовать природу этих величин. [8]
Многочисленные безразмерные числа, в основном отношения, были придуманы в начале 1900-х годов, особенно в области механики жидкости и теплопередачи . Измерение логарифма отношений как уровней в (производной) единице децибела (дБ) в настоящее время находит широкое применение.
Периодически поступали предложения «исправить» систему СИ, чтобы уменьшить путаницу в отношении физических размеров. Например, в статье 2017 года в журнале Nature [9] приводились доводы в пользу формализации радиана как физической единицы. Идея была опровергнута [10] на том основании, что такое изменение приведет к несогласованности как для установленных безразмерных групп, таких как число Струхаля , так и для математически различных объектов, которые имеют одни и те же единицы измерения, таких как крутящий момент ( векторное произведение ) в зависимости от энергии. ( скалярное произведение ). В другом случае, в начале 2000-х годов, Международный комитет мер и весов обсуждал наименование единицы 1 как « уно », но идея просто ввести новое название СИ для 1 была отвергнута. [11] [12] [13]
Теорема Бэкингема о π указывает на то, что справедливость законов физики не зависит от конкретной системы единиц. Утверждение этой теоремы состоит в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество, включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны законом Бойля - они обратно пропорциональны). Если бы значения безразмерных комбинаций менялись в зависимости от системы единиц, то уравнение не было бы тождественным, и теорема Бэкингема не выполнялась бы.
Другое следствие теоремы состоит в том, что функциональная зависимость между определенным количеством (скажем, n ) переменных может быть уменьшена на количество (скажем, k ) независимых измерений , встречающихся в этих переменных, чтобы дать набор p = n - k независимых , безразмерные величины . Для экспериментатора разные системы, имеющие одно и то же описание безразмерной величиной, эквивалентны.
Целые числа могут использоваться для представления дискретных безразмерных величин. Более конкретно, счетные числа можно использовать для выражения исчисляемых величин . [14] [15] Это понятие формализовано как количество объектов (символ N ) в ISO 80000-1 . [4] Примеры включают количество частиц и размер популяции . В математике «количество элементов» в наборе называется мощностью . Исчисляемые существительные – родственное лингвистическое понятие. Числа счета, такие как количество битов , можно объединять с единицами частоты ( обратными секундами ) для получения единиц скорости счета, например битов в секунду . Данные подсчета — это родственное понятие в статистике. Эту концепцию можно обобщить, разрешив нецелым числам учитывать доли полного предмета, например, количество ходов, равное половине.
Безразмерные величины часто получаются как отношения , частное, полученное в результате деления величин одного и того же вида, которые не являются безразмерными, но размеры которых сокращаются в математической операции. [4] [16] Примеры частных первого измерения включают расчет наклонов или некоторых коэффициентов пересчета единиц измерения . Более сложным примером такого соотношения является инженерная деформация , мера физической деформации, определяемая как изменение длины, деленная на первоначальную длину. Другой набор примеров - это массовые доли или мольные доли , часто записываемые с использованием обозначений частей на миллион, таких как ppm (= 10 -6 ), ppb (= 10 -9 ) и ppt (= 10 -12 ), или, возможно, как это сбивает с толку соотношения. двух одинаковых единиц ( кг /кг или моль /моль). Например, объем алкоголя , характеризующий концентрацию этанола в алкогольном напитке , можно записать как мл/100 мл .
Другими распространенными пропорциями являются проценты % (= 0,01), ‰ (= 0,001). Некоторые угловые единицы, такие как поворот , радиан и стерадиан , определяются как отношения величин одного и того же вида. В статистике коэффициент вариации представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему значению и используется для измерения дисперсии данных .
Утверждалось, что величины, определяемые как отношения Q = A / B , имеющие равные размерности в числителе и знаменателе, на самом деле являются лишь безразмерными величинами и по-прежнему имеют физическую размерность, определяемую как dim Q = dim A × dim B -1 . [17] Например, влажность может быть определена как отношение объемов (объемная влага, м 3 ⋅м -3 , размерность L 3 ⋅L -3 ) или как отношение масс (весовая влажность, единицы кг⋅кг - 1 , размерность М⋅М -1 ); обе были бы безразмерными величинами, но разной размерности.
Некоторые физические константы универсального измерения, такие как скорость света в вакууме, универсальная гравитационная постоянная , постоянная Планка , постоянная Кулона и постоянная Больцмана , могут быть нормализованы к 1, если соответствующие единицы измерения времени , длины , массы , заряда и выбрана температура . Полученная система единиц известна как натуральные единицы , особенно в отношении этих пяти констант, — единицы Планка . Однако не все физические константы можно нормализовать таким способом. Например, значения следующих констант не зависят от системы единиц, не могут быть определены и могут быть определены только экспериментально: [18]
Примеры безразмерных констант материала включают коэффициент Пуассона и относительную атомную массу , показатель преломления .
Характеристические числа широко распространены в механике жидкостей , термодинамике и других областях.
Физика часто использует безразмерные величины , чтобы упростить характеристику систем с множеством взаимодействующих физических явлений. Они могут быть найдены путем применения π- теоремы Букингема или иным образом могут возникнуть в результате обезразмеривания уравнений в частных производных с помощью процесса обезразмеривания . Инженерия, экономика и другие области часто расширяют эти идеи при проектировании и анализе соответствующих систем.
СМИ, связанные с безразмерными числами, на Викискладе?