0,999...

Альтернативное десятичное расширение 1

Стилистическое впечатление от числа, представляющее, как его десятичные знаки продолжаются бесконечно.

В математике 0,999 ... (также пишется как 0,9 , 0,9) ..9, или 0.(9) ) обозначает наименьшее число, большее, чем каждое число в последовательности (0,9, 0,99, 0,999, ...) . Можно доказать, что это число равно 1 ; то есть, 

${\displaystyle 0.999...=1.}$

Несмотря на распространённые заблуждения, 0,999... — это не «почти ровно 1» или «очень, очень близко, но не совсем 1»; скорее, 0,999... и «1» — это одно и то же число.

Ниже приведено элементарное доказательство, включающее только элементарную арифметику и тот факт, что не существует положительного действительного числа, меньшего всех 1/10 ⁿ , где n — натуральное число, свойство, которое непосредственно вытекает из архимедова свойства действительных чисел .

Существует много других способов показать это равенство, от интуитивных аргументов до математически строгих доказательств . Интуитивные аргументы, как правило, основаны на свойствах конечных десятичных дробей , которые без доказательства распространяются на бесконечные десятичные дроби. Доказательства, как правило, основаны на основных свойствах действительных чисел и методах исчисления , таких как ряды и пределы . Вопрос, изучаемый в математическом образовании, заключается в том, почему некоторые люди отвергают это равенство.

В других системах счисления 0,999... может иметь то же значение, другое определение или быть неопределенным. Каждая ненулевая конечная десятичная дробь имеет два равных представления (например, 8,32000... и 8,31999...). Наличие значений с несколькими представлениями является особенностью всех позиционных систем счисления , которые представляют действительные числа.

Элементарное доказательство

Свойство Архимеда : любая точка x до финишной черты лежит между двумя точками P _n (включительно).

Можно доказать уравнение 0,999... = 1, используя только математические инструменты сравнения и сложения (конечных) десятичных чисел , без какой-либо ссылки на более сложные темы, такие как ряды и пределы . Приведенное ниже доказательство является прямой формализацией интуитивного факта, что если нарисовать 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. на числовой прямой , то не останется места для размещения числа между ними и 1. Значение обозначения 0,999... - это наименьшая точка на числовой прямой, лежащая справа от всех чисел 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. Поскольку в конечном итоге между 1 и этими числами нет места, точка 1 должна быть этой наименьшей точкой, и поэтому 0,999... = 1 .

Интуитивное объяснение

Если поместить 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. на числовой прямой , то сразу видно, что все эти точки находятся слева от 1 и что они все ближе и ближе к 1. Для любого числа , которое меньше 1, последовательность 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. в конечном итоге достигнет числа, большего, чем ⁠ ⁠ . Таким образом, не имеет смысла отождествлять 0,999... с любым числом, меньшим 1. Между тем, каждое число, большее 1, будет больше любой десятичной дроби вида 0,999...9 для любого конечного числа девяток. Следовательно, 0,999... также нельзя отождествить с каким-либо числом, большим 1. Поскольку 0,999... не может быть больше 1 или меньше 1, оно должно быть равно 1, если оно вообще должно быть действительным числом. ^{[1] [2]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Строгое доказательство

Обозначим через 0.(9) _n число 0.999...9 с девятками после десятичной точки. Таким образом, 0.(9) ₁ = 0.9 , 0.(9) ₂ = 0.99 , 0.(9) ₃ = 0.999 и т. д. Имеем 1 − 0.(9) ₁ = 0.1 = ⁠ ⁠ , 1 − 0.(9) ₂ = 0.01 = ⁠ ⁠ , и т. д.; то есть 1 − 0.(9) _n = для любого натурального числа ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$

Пусть будет числом не больше 1 и больше 0,9, 0,99, 0,999 и т. д.; то есть 0.(9) _n < ≤ 1 , для каждого ⁠ ⁠ . Вычитая эти неравенства из 1, получаем 0 ≤ 1 − < ⁠ ⁠ . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$

Конец доказательства требует, чтобы не было положительного числа, которое было бы меньше, чем для всех ⁠ ⁠ . Это одна из версий свойства Архимеда , которое справедливо для действительных чисел. ^{[3] [4]} Это свойство подразумевает, что если 1 − < ⁠ ⁠ для всех ⁠ ⁠ , то 1 − может быть равно только 0. Итак, = 1 и 1 — наименьшее число, которое больше, чем все 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. То есть, 1 = 0,999... . ${\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle 1-n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Это доказательство опирается на архимедово свойство рациональных и действительных чисел. Действительные числа могут быть расширены до числовых систем , таких как гипердействительные числа , с бесконечно малыми числами ( бесконечно малыми ) и бесконечно большими числами ( бесконечными числами ). ^{[5] [6] При использовании таких систем обозначение 0,999... обычно не используется, поскольку среди чисел, больших всех 0.(9)} _n , нет наименьшего числа . ^[a]

Наименьшие верхние границы и полнота

Часть того, что показывает этот аргумент, заключается в том, что существует наименьшая верхняя граница последовательности 0,9, 0,99, 0,999 и т. д.: наименьшее число, которое больше всех членов последовательности. Одной из аксиом системы действительных чисел является аксиома полноты , которая гласит, что каждая ограниченная последовательность имеет наименьшую верхнюю границу. ^{[7] [8]} Эта наименьшая верхняя граница является одним из способов определения бесконечных десятичных расширений: действительное число, представленное бесконечной десятичной дробью, является наименьшей верхней границей своих конечных усечений. ^[9] Аргумент здесь не должен предполагать полноту, чтобы быть действительным, поскольку он показывает, что эта конкретная последовательность рациональных чисел имеет наименьшую верхнюю границу и что эта наименьшая верхняя граница равна единице. ^[10]

Алгебраические аргументы

Простые алгебраические иллюстрации равенства являются предметом педагогических дискуссий и критики. Байерс (2007) обсуждает аргумент о том, что в начальной школе учат, что = 0,333... , поэтому, игнорируя все существенные тонкости, «умножение» этого тождества на 3 дает 1 = 0,999... . Он также говорит, что этот аргумент неубедителен из-за неразрешенной двусмысленности относительно значения знака равенства ; ученик может подумать: «Это, конечно, не означает, что число 1 идентично тому, что подразумевается под обозначением 0,999... ‍ » . ^[11] Ричман (1999) обсуждает, как «этот аргумент получает свою силу из того факта, что большинство людей были приучены принимать первое уравнение, не задумываясь», но также предполагает, что этот аргумент может заставить скептиков усомниться в этом предположении. ^[12] ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Байерс также приводит следующий аргумент.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots &&{\text{by multiplying by }}10\\10x&=9+0.999\ldots &&{\text{by splitting off integer part}}\\10x&=9+x&&{\text{by definition of }}x\\9x&=9&&{\text{by subtracting }}x\\x&=1&&{\text{by dividing by }}9\end{aligned}}}$

Студенты, которые не приняли первый аргумент, иногда принимают второй аргумент, но, по мнению Байерса, все еще не разрешили неоднозначность и, следовательно, не понимают представления бесконечных десятичных дробей. Перессини и Перессини (2007), представляя тот же аргумент, также утверждают, что он не объясняет равенство, указывая, что такое объяснение, вероятно, будет включать концепции бесконечности и полноты . ^[13] Болдуин и Нортон (2012), цитируя Каца и Каца (2010a), также приходят к выводу, что трактовка тождества, основанная на таких аргументах, как эти, без формальной концепции предела, преждевременна. ^[14] Ченг (2023) соглашается, утверждая, что знание того, что можно умножить 0,999... на 10, сдвинув десятичную точку, предполагает ответ на более глубокий вопрос о том, как вообще придается смысл выражению 0,999.... ^[15] Тот же аргумент приводит Ричман (1999), который отмечает, что скептики могут усомниться в том, что является сокращаемым  , то есть имеет ли смысл вычитать из обеих сторон. ^[12] Эйзенман (2008) аналогичным образом утверждает, что и умножение, и вычитание, которые удаляют бесконечную десятичную дробь, требуют дальнейшего обоснования. ^[16] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Аналитические доказательства

Действительный анализ — это изучение логических основ исчисления , включая поведение последовательностей и рядов действительных чисел. ^[17] Доказательства в этом разделе устанавливают 0,999... = 1 с использованием методов, знакомых из действительного анализа.

Бесконечные ряды и последовательности

Распространенным развитием десятичных разложений является определение их как сумм бесконечных рядов . В общем: $${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}$$

Для 0,999... можно применить теорему о сходимости геометрических рядов , гласящую, что если ⁠ ⁠ ${\displaystyle \vert r\vert }$ < 1 , то: ^[18] $${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}$$

Поскольку 0,999... является такой суммой с знаменателем ⁠ ⁠ , теорема быстро решает этот вопрос: это доказательство появилось еще в 1770 году в «Элементах алгебры » Леонарда Эйлера . ^[19] ${\displaystyle a=9}$ ${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{10}}}$ $${\displaystyle 0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}$$

Пределы: единичный интервал, включая последовательность дробей с основанием 4 (.3, .33, .333, ...), сходящуюся к 1.

Сумма геометрического ряда сама по себе является результатом, даже более старым, чем Эйлер. Типичное выведение 18-го века использовало манипуляцию почленно, похожую на алгебраическое доказательство, приведенное выше, и еще в 1811 году учебник Бонникасла « Введение в алгебру» использовал такой аргумент для геометрического ряда, чтобы оправдать тот же маневр на 0,999... ‍ . ^[20] Реакция 19-го века против таких либеральных методов суммирования привела к определению, которое до сих пор доминирует сегодня: сумма ряда определяется как предел последовательности его частичных сумм. Соответствующее доказательство теоремы явно вычисляет эту последовательность; его можно найти в нескольких основанных на доказательствах введениях в исчисление или анализ. ^[21]

Последовательность ( , , , ...) имеет значение в качестве своего предела , если расстояние становится произвольно малым по мере увеличения. Утверждение, что 0,999... = 1, само по себе может быть интерпретировано и доказано как предел: ^[b] Первые два равенства можно интерпретировать как определения сокращенных символов. Остальные равенства можно доказать. Последний шаг, что 10 ⁿ стремится к 0 по мере приближения к бесконечности ( ⁠ ⁠ ), часто оправдывается архимедовым свойством действительных чисел. Это основанное на пределе отношение к 0,999... часто выражается в более выразительных, но менее точных терминах. Например, учебник 1846 года «Университетская арифметика» объясняет: «.999 +, продолжено до бесконечности = 1, потому что каждое присоединение 9 приближает значение к 1»; В «Арифметике для школ» 1895 года говорится: «Когда берется большое количество девяток, разница между 1 и .99999... становится невообразимо малой». ^[22] Такие эвристики часто неправильно интерпретируются студентами, как подразумевающие, что 0,999... само по себе меньше 1. ^[23] ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left\vert x-x_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle 0.999\ldots \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1-0=1.}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \infty }$

Вложенные интервалы и наименьшие верхние границы

Вложенные интервалы: в системе счисления с основанием 3, 1 = 1,000... = 0,222... .

Определение ряда выше определяет действительное число, названное десятичным расширением. Дополнительный подход приспособлен к противоположному процессу: для данного действительного числа определить десятичное расширение(я), чтобы назвать его.

Если известно, что действительное число лежит в замкнутом интервале [0, 10] (то есть оно больше или равно 0 и меньше или равно 10), можно представить себе деление этого интервала на десять частей, которые перекрываются только в своих конечных точках: [0, 1] , [1, 2] , [2, 3] и так далее до [9, 10] . Число должно принадлежать одному из них; если оно принадлежит [2, 3] , то записывается цифра «2» и этот интервал подразделяется на [2, 2.1] , [2.1, 2.2] , ..., [2.8, 2.9] , [2.9, 3] . Продолжение этого процесса дает бесконечную последовательность вложенных интервалов , помеченных бесконечной последовательностью цифр ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ..., и можно записать ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle b_{3}}$ $${\displaystyle x=b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}\ldots \,.}$$

В этом формализме тождества 1 = 0,999... и 1 = 1,000... отражают, соответственно, тот факт, что 1 лежит как в [0, 1] . , так и в [1, 2] , поэтому можно выбрать любой подинтервал при нахождении его цифр. Чтобы гарантировать, что эта нотация не злоупотребляет знаком "=", нужен способ восстановить уникальное действительное число для каждой десятичной дроби. Это можно сделать с пределами, но другие конструкции продолжают тему упорядочения. ^[24]

Одним из простых вариантов является теорема о вложенных интервалах , которая гарантирует, что заданная последовательность вложенных замкнутых интервалов, длины которых становятся произвольно малыми, интервалы содержат ровно одно действительное число в своем пересечении . Таким образом , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b_{1}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b_{2}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b_{3}}$ , ... определяется как уникальное число, содержащееся во всех интервалах [ , + 1] ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle b_{0}}$ , [ , + 0,1] ${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$ ${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$ , и так далее. Тогда 0,999... является уникальным действительным числом, которое лежит во всех интервалах [0, 1] , [0,9, 1] , [0,99, 1] , и [0,99...9, 1] для каждой конечной строки из девяток. Поскольку 1 является элементом каждого из этих интервалов, 0,999... = 1 . ^[25]

Теорема о вложенных интервалах обычно основана на более фундаментальной характеристике действительных чисел: существовании наименьших верхних границ или супремумов . Чтобы напрямую использовать эти объекты, можно определить ⁠ ⁠ ${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$ ... как наименьшую верхнюю границу набора аппроксимантов ⁠ ⁠ ${\displaystyle b_{0}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}}$ , ... ‍ . ^[26] Затем можно показать, что это определение (или определение вложенных интервалов) согласуется с процедурой подразделения, подразумевая 0,999... = 1 снова. Том Апостол заключает: «тот факт, что действительное число может иметь два разных десятичных представления, является всего лишь отражением того факта, что два разных набора действительных чисел могут иметь один и тот же супремум». ^[27]

Доказательства из построения действительных чисел

Некоторые подходы явно определяют действительные числа как определенные структуры, построенные на рациональных числах , используя аксиоматическую теорию множеств . Натуральные числа {0, 1, 2, 3, ...} начинаются с 0 и продолжаются вверх, так что каждое число имеет последующее. Можно расширить натуральные числа с их отрицательными значениями, чтобы получить все целые числа , и далее расширить до отношений, получив рациональные числа . Эти числовые системы сопровождаются арифметикой сложения, вычитания, умножения и деления. ^{[28] [29]} Более тонко, они включают упорядочение , так что одно число можно сравнить с другим и найти, что оно меньше, больше или равно другому числу. ^[30]

Шаг от рациональных чисел к действительным числам является крупным расширением. Существует по крайней мере два популярных способа достижения этого шага, оба опубликованы в 1872 году: сечения Дедекинда и последовательности Коши . Доказательства того, что 0,999... = 1 , которые напрямую используют эти конструкции, не встречаются в учебниках по действительному анализу, где современная тенденция последних нескольких десятилетий заключается в использовании аксиоматического анализа. Даже когда предлагается конструкция, она обычно применяется для доказательства аксиом действительных чисел, которые затем поддерживают приведенные выше доказательства. Однако несколько авторов высказывают идею о том, что начинать с конструкции более логично, и полученные доказательства более самодостаточны. ^[c]

Дедекиндовы разрезы

В подходе разреза Дедекинда каждое действительное число определяется как бесконечное множество всех рациональных чисел, меньших ⁠ ⁠ . ^[d] В частности, действительное число 1 является множеством всех рациональных чисел, которые меньше 1. ^[e] Каждое положительное десятичное разложение легко определяет разрез Дедекинда: множество рациональных чисел, которые меньше некоторой ступени разложения. Таким образом, действительное число 0,999... является множеством рациональных чисел, таких что < 0 , или < 0,9 , или < 0,99 , или меньше некоторого другого числа вида ^[31] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{n}}}=0.(9)_{n}=0.\underbrace {99\ldots 9} _{n{\text{ nines}}}.}$$

Каждый элемент 0,999... меньше 1, поэтому он является элементом действительного числа 1. И наоборот, все элементы 1 являются рациональными числами, которые можно записать как с и ⁠ ⁠ . Это подразумевает и, таким образом $${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1,}$$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle b>a}$ $${\displaystyle 1-{\frac {a}{b}}={\frac {b-a}{b}}\geq {\frac {1}{b}}>{\frac {1}{10^{b}}},}$$ $${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1-{\frac {1}{10^{b}}}.}$$

Поскольку по определению выше каждый элемент 1 является также элементом 0,999..., и в сочетании с приведенным выше доказательством того, что каждый элемент 0,999... является также элементом 1, множества 0,999... и 1 содержат одни и те же рациональные числа и, следовательно, являются одним и тем же множеством, то есть 0,999... = 1 . $${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{b}}}=0.(9)_{b}<0.999\ldots ,}$$

Определение действительных чисел как сократительных единиц Дедекинда было впервые опубликовано Ричардом Дедекиндом в 1872 году. ^[32] Вышеуказанный подход к назначению действительного числа каждому десятичному расширению появился в пояснительной статье под названием «Is 0.999 ... = 1 ?» Фреда Ричмана в журнале Mathematics Magazine . ^[12] Ричман отмечает, что применение сократительных единиц Дедекинда в любом плотном подмножестве рациональных чисел дает те же результаты; в частности, он использует десятичные дроби , для которых доказательство более непосредственное. Он также отмечает, что обычно определения допускают, чтобы { | < 1} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ было сократительным, но не { | ≤ 1} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ (или наоборот). ^[33] Дальнейшая модификация процедуры приводит к другой структуре, где эти две дроби не равны. Хотя это и последовательно, многие из общих правил десятичной арифметики больше не соблюдаются, например, дробь не имеет представления; см. § Альтернативные системы счисления ниже. ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Последовательности Коши

Другой подход заключается в определении действительного числа как предела последовательности Коши рациональных чисел. Эта конструкция действительных чисел использует упорядочение рациональных чисел менее непосредственно. Во-первых, расстояние между и определяется как абсолютное значение ⁠ ⁠ , где абсолютное значение определяется как максимум и ⁠ ⁠ , таким образом, никогда не бывает отрицательным. Затем действительные числа определяются как последовательности рациональных чисел, которые обладают свойством последовательности Коши, используя это расстояние. То есть, в последовательности ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ..., отображении натуральных чисел в рациональные, для любого положительного рационального числа существует такое , что для всех ⁠ ⁠ ; расстояние между членами становится меньше любого положительного рационального числа. ^[34] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \left\vert x-y\right\vert }$ ${\displaystyle \left\vert z\right\vert }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -z}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \leq \delta }$ ${\displaystyle m,n>N}$

Если и являются двумя последовательностями Коши, то они определяются как равные как действительные числа, если последовательность имеет предел 0. Усечения десятичного числа ⁠ ⁠ ... порождают последовательность рациональных чисел, которая является последовательностью Коши; это принимается для определения действительного значения числа. ^[35] Таким образом, в этом формализме задача состоит в том, чтобы показать, что последовательность рациональных чисел имеет предел 0. Рассматривая ⁠ ⁠ -й член последовательности, для ⁠ ⁠ , необходимо показать, что Это можно доказать с помощью определения предела . Итак, снова, 0,999... = 1 . ^[36] ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n}-y_{n})}$ ${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$ $${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\ldots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\ldots \right)}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$$

Определение действительных чисел как последовательностей Коши было впервые опубликовано отдельно Эдуардом Гейне и Георгом Кантором также в 1872 году. ^[32] Вышеуказанный подход к десятичным разложениям, включая доказательство того, что 0,999... = 1 , во многом соответствует работе Гриффитса и Хилтона 1970 года «Всеобъемлющий учебник классической математики: современная интерпретация» . ^[37]

Бесконечное десятичное представление

Обычно в математическом образовании в средних школах действительные числа строятся путем определения числа с использованием целого числа, за которым следует разделительная точка и бесконечная последовательность, записанная в виде строки для представления дробной части любого заданного действительного числа. В этой конструкции множество любой комбинации целого числа и цифр после десятичной точки (или разделительной точки в системах счисления, отличных от 10) является множеством действительных чисел. Можно строго показать, что эта конструкция удовлетворяет всем действительным аксиомам после определения отношения эквивалентности над множеством, которое определяет 1 = _eq 0,999..., а также для любых других ненулевых десятичных дробей только с конечным числом ненулевых членов в десятичной строке с ее версией из конечных девяток. Другими словами, выполнение равенства 0,999... = 1 является необходимым условием для того, чтобы строки цифр вели себя так, как должны вести себя действительные числа. ^{[38] [39]}

Плотный порядок

Одно из понятий, которое может решить эту проблему, — это требование, чтобы действительные числа были плотно упорядочены. Плотное упорядочение подразумевает, что если нет нового элемента строго между двумя элементами множества, два элемента должны считаться равными. Следовательно, если бы 0,99999... отличалось от 1, между ними должно было бы быть другое действительное число, но его нет: ни в одном из двух нельзя изменить одну цифру, чтобы получить такое число. ^[40]

Обобщения

Результат, что 0,999... = 1, легко обобщается двумя способами. Во-первых, каждое ненулевое число с конечной десятичной записью (эквивалентно бесконечным конечным нулям) имеет аналог с конечными девятками. Например, 0,24999... равно 0,25, точно так же, как в рассмотренном особом случае. Эти числа являются в точности десятичными дробями, и они плотны . ^{[41] [9]}

Во-вторых, сопоставимая теорема применима в каждом основании или базе . Например, в основании 2 ( двоичная система счисления ) 0,111... равно 1, а в основании 3 ( троичная система счисления ) 0,222... равно 1. В общем, любое конечное выражение с основанием имеет аналог с повторяющимися конечными цифрами, равными − 1. Учебники по реальному анализу, скорее всего, пропустят пример 0,999... и представят одно или оба этих обобщения с самого начала. ^[42] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Альтернативные представления 1 также встречаются в нецелочисленных основаниях. Например, в основании золотого сечения два стандартных представления — 1,000... и 0,101010..., и существует бесконечно много представлений, включающих соседние единицы. Как правило, для почти всех чисел между 1 и 2 существует несчетное множество расширений основания 1. Напротив, существует все еще несчетное множество ⁠ ⁠ , включая все натуральные числа больше 1, для которых существует только одно расширение основания 1, кроме тривиального 1,000... ‍ . Этот результат был впервые получен Полом Эрдёшем , Миклошем Хорватом и Иштваном Йоо около 1990 года. В 1998 году Вильмош Коморник и Паола Лорети определили наименьшее такое основание, константу Коморника–Лорети = 1,787231650... ‍ . В этом основании 1 = 0,11010011001011010010110011010011... ; цифры задаются последовательностью Туэ–Морса , которая не повторяется. ^[43] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Более далеко идущее обобщение касается самых общих позиционных числовых систем . Они также имеют множественные представления, и в некотором смысле трудности еще хуже. Например: ^[44]

• В сбалансированной тройной системе = 0,111... = 1, 111 ... ‍ . ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$
• В обратной факториальной системе счисления (с использованием оснований 2!, 3!, 4!, ... для позиций после десятичной точки) 1 = 1,000... = 0,1234... ‍ .

Петковшек (1990) доказал, что для любой позиционной системы, которая называет все действительные числа, множество действительных чисел с множественными представлениями всегда плотно. Он называет доказательство «поучительным упражнением в элементарной топологии точек-множеств »; оно включает в себя рассмотрение множеств позиционных значений как пространств Стоуна и замечание того, что их действительные представления задаются непрерывными функциями . ^[45]

Приложения

Одно из применений 0,999... как представления 1 встречается в элементарной теории чисел . В 1802 году Х. Гудвин опубликовал наблюдение о появлении 9 в периодических десятичных представлениях дробей, знаменатели которых являются определенными простыми числами . ^[46] Вот некоторые примеры:

• ${\textstyle {\frac {1}{7}}}$= 0. 142857 и 142 + 857 = 999 .
• ${\textstyle {\frac {1}{73}}}$= 0. 01369863 и 0136 + 9863 = 9999 .

Э. Миди доказал общий результат о таких дробях, теперь называемый теоремой Миди , в 1836 году. Публикация была неясной, и неясно, включало ли его доказательство непосредственно 0,999..., но по крайней мере одно современное доказательство Уильяма Г. Ливитта включает. Если можно доказать, что если десятичная дробь вида ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0.b_{1}b_{2}b_{3}}$ ... является положительным целым числом, то она должна быть 0,999..., что является источником девяток в теореме. ^[47] Исследования в этом направлении могут мотивировать такие концепции, как наибольшие общие делители , модульная арифметика , простые числа Ферма , порядок элементов группы и квадратичная взаимность . ^[48]

Позиции ⁠1/4⁠ , ⁠2/3⁠ , и 1 в множестве Кантора

Возвращаясь к реальному анализу, аналог по основанию 3 0,222... = 1 играет ключевую роль в характеристике одного из простейших фракталов , множества Кантора средней трети : точка в единичном интервале принадлежит множеству Кантора тогда и только тогда, когда ее можно представить в троичной системе счисления, используя только цифры 0 и 2.

⁠ ${\displaystyle n}$ ...​​​​ ${\displaystyle n}$​​​^​ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Повторяющиеся девятки также появляются в еще одной работе Георга Кантора. Их необходимо учитывать, чтобы построить действительное доказательство, применяя его диагональный аргумент 1891 года к десятичным разложениям, несчетности единичного интервала. Такое доказательство должно быть способно объявить определенные пары действительных чисел различными на основе их десятичных разложений, поэтому нужно избегать пар вроде 0,2 и 0,1999... Простой метод представляет все числа с нетерминированными разложениями; противоположный метод исключает повторяющиеся девятки. ^[f] Вариант, который может быть ближе к исходному аргументу Кантора, использует основание 2, и, превращая разложения по основанию 3 в разложения по основанию 2, можно также доказать несчетность множества Кантора. ^[50]

Скептицизм в образовании

Студенты-математики часто отвергают равенство 0,999... и 1 по ряду причин: от их несопоставимого внешнего вида до глубоких опасений относительно концепции предела и разногласий относительно природы бесконечно малых величин . Существует много общих факторов, способствующих путанице:

• Студенты часто «мысленно привержены идее, что число может быть представлено одним и только одним способом с помощью десятичной дроби». Видеть две явно разные десятичные дроби, представляющие одно и то же число, кажется парадоксом , который усиливается появлением, казалось бы, хорошо понятного числа 1. ^[g]
• Некоторые студенты интерпретируют "0,999..." (или подобную запись) как большую, но конечную строку девяток, возможно, с переменной, неопределенной длиной. Если они принимают бесконечную строку девяток, они все равно могут ожидать последнюю девятку "в бесконечности". ^[51]
• Интуиция и неоднозначное обучение заставляют студентов думать о пределе последовательности как о некоем бесконечном процессе, а не как о фиксированном значении, поскольку последовательность не обязательно должна достигать своего предела. Когда студенты принимают разницу между последовательностью чисел и ее пределом, они могут прочитать «0,999...» как означающую последовательность, а не ее предел. ^[52]

Эти идеи ошибочны в контексте стандартных действительных чисел, хотя некоторые из них могут быть верны в других системах счисления, либо придуманных для их общей математической полезности, либо в качестве поучительных контрпримеров для лучшего понимания 0,999...; см. § В альтернативных системах счисления ниже.

Многие из этих объяснений были найдены Дэвидом Толлом , который изучал характеристики обучения и познания, которые приводят к некоторым недоразумениям, с которыми он столкнулся у своих студентов колледжа. Опрашивая своих студентов, чтобы определить, почему подавляющее большинство изначально отвергло равенство, он обнаружил, что «студенты продолжали представлять себе 0,999... как последовательность чисел, все ближе и ближе приближающихся к 1, а не как фиксированное значение, потому что «вы не указали, сколько там знаков» или «это ближайшая возможная десятичная дробь ниже 1 » . ^[23]

Элементарный аргумент об умножении 0,333... = ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ на 3 может убедить нерешительных студентов, что 0,999... = 1. Тем не менее, столкнувшись с конфликтом между своей верой в первое уравнение и неверием во второе, некоторые студенты либо начинают не верить в первое уравнение, либо просто разочаровываются. ^[53] Более сложные методы также не являются надежными: студенты, которые полностью способны применять строгие определения, могут по-прежнему прибегать к интуитивным образам, когда их удивляет результат в высшей математике, включая 0,999... ‍ . Например, одна настоящая студентка по анализу смогла доказать, что 0,333... = , ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ используя определение супремума , но затем настояла, что 0,999... < 1 , основываясь на своем более раннем понимании деления в столбик . ^[54] Другие все еще могут доказать, что = 0,333... , но, столкнувшись с дробным доказательством, настаивают, что «логика» заменяет математические вычисления. ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Мазур (2005) рассказывает историю о своем блестящем студенте-исследователе, который «оспаривал почти все, что я говорил на занятиях, но никогда не подвергал сомнению свой калькулятор», и который пришел к убеждению, что для выполнения математических задач, включая вычисление квадратного корня из 23, достаточно девяти цифр. Студент остался неудовлетворенным ограничивающим аргументом, что 9,99... = 10 , назвав его «дико воображаемым бесконечным растущим процессом». ^[55]

В рамках теории APOS математического обучения Дубинский и др. (2005) предполагают, что учащиеся, которые представляют себе 0,999... как конечную, неопределенную строку с бесконечно малым расстоянием от 1, «еще не построили полную концепцию процесса бесконечной десятичной дроби». Другие учащиеся, которые имеют полную концепцию процесса 0,999..., возможно, еще не способны «инкапсулировать» этот процесс в «концепцию объекта», как и концепцию объекта, которую они имеют для 1, и поэтому они рассматривают процесс 0,999... и объект 1 как несовместимые. Они также связывают эту ментальную способность инкапсуляции с рассмотрением как числа в его собственном праве и с работой с набором натуральных чисел как целым. ^[56] ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Культурный феномен

С развитием Интернета дебаты о 0,999... стали обычным явлением в группах новостей и на форумах , включая многие из тех, которые номинально не имеют ничего общего с математикой. В группе новостей sci.math в 1990-х годах споры о 0,999... стали «популярным видом спорта» и были одним из вопросов, на которые давали ответы в FAQ . ^{[57] [58]} FAQ кратко охватывает ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$ , умножение на 10 и пределы, а также ссылается на последовательности Коши.

В выпуске 2003 года газетной колонки общего интереса The Straight Dope обсуждается 0,999... via и пределы, а также высказываются заблуждения, ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Низший примат в нас все еще сопротивляется, говоря: .999~ на самом деле не представляет собой число , а представляет собой процесс . Чтобы найти число, мы должны остановить процесс, и в этот момент .999~ = 1 вещь разваливается. Вздор. ^[59]

В статье Slate сообщается, что концепция 0,999... «горячо обсуждается на различных веб-сайтах, от досок объявлений World of Warcraft до форумов Айн Рэнд ». ^[60] 0,999... также фигурирует в математических шутках , таких как: ^[61]

В: Сколько математиков нужно, чтобы вкрутить лампочку ?
О: 0,999999....

Тот факт, что 0,999... равно 1, сравнивали с парадоксом бегуна Зенона . ^[62] Парадокс бегуна можно математически смоделировать, а затем, как и 0,999..., разрешить с помощью геометрического ряда. Однако неясно, решает ли эта математическая обработка основные метафизические проблемы, которые исследовал Зенон. ^[63]

В альтернативных системах счисления

Хотя действительные числа образуют чрезвычайно полезную систему счисления , решение интерпретировать обозначение «0,999...» как наименование действительного числа в конечном итоге является соглашением, и Тимоти Гауэрс в своей книге «Математика: очень краткое введение» утверждает , что полученное тождество 0,999... = 1 также является соглашением:

Однако это ни в коем случае не является произвольной конвенцией, поскольку непринятие ее заставляет либо изобретать странные новые объекты, либо отказываться от некоторых знакомых правил арифметики. ^[64]

Бесконечно малые

Некоторые доказательства того, что 0,999... = 1, опираются на архимедово свойство действительных чисел: что не существует ненулевых бесконечно малых . В частности, разность 1 − 0,999... должна быть меньше любого положительного рационального числа, поэтому она должна быть бесконечно малой; но поскольку действительные числа не содержат ненулевых бесконечно малых, разность равна нулю, и, следовательно, эти два значения одинаковы.

Однако существуют математически связные упорядоченные алгебраические структуры , включая различные альтернативы действительным числам, которые не являются архимедовыми. Нестандартный анализ предоставляет числовую систему с полным массивом бесконечно малых (и их обратных). ^[h] AH Lightstone разработал десятичное разложение для гипердействительных чисел в (0, 1) ^∗ . Lightstone показывает, как связать каждое число с последовательностью цифр, индексированных гипернатуральными числами. Хотя он напрямую не обсуждает 0,999..., он показывает, что действительное число представлено как 0,333...;...333..., что является следствием принципа переноса . Как следствие, число 0,999...;...999... = 1 . При таком типе десятичного представления не каждое разложение представляет число. В частности, «0,333...;...000...» и «0,999...;...000...» не соответствуют никакому числу. ^[65] $${\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\ldots ;\ldots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\ldots ,}$$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Стандартное определение числа 0,999... является пределом последовательности 0,9, 0,99, 0,999, ... ‍ . Другое определение включает в себя ультрапредел , т. е. класс эквивалентности [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] этой последовательности в ультрастепенной конструкции , который является числом, которое не дотягивает до 1 на бесконечно малую величину. ^[66] В более общем смысле, гипердействительное число = 0,999...;...999000... , с последней цифрой 9 в бесконечном гиперестественном ранге ⁠ ⁠ , удовлетворяет строгому неравенству ⁠ ⁠ . Соответственно, альтернативной интерпретацией для «нуля, за которым следует бесконечно много девяток» может быть ^[67] Все такие интерпретации «0,999...» бесконечно близки к 1. Ян Стюарт характеризует эту интерпретацию как «совершенно разумный» способ строго обосновать интуицию о том, что «немного не хватает» от 1 в 0,999.... ^[i] Наряду с Кацем и Кацем (2010b), Эли (2010) также подвергает сомнению предположение о том, что идеи студентов о 0,999... < 1 являются ошибочными интуициями о действительных числах, интерпретируя их скорее как нестандартные интуиции, которые могут быть ценными при изучении исчисления. ^[68] ${\displaystyle u_{H}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle u_{H}<1}$ $${\displaystyle {\underset {H}{0.\underbrace {999\ldots } }}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}.}$$

Хакенбуш

Комбинаторная теория игр предоставляет обобщенную концепцию числа, которая охватывает действительные числа и многое другое. ^[69] Например, в 1974 году Элвин Берлекамп описал соответствие между строками красных и синих сегментов в Хакенбуше и двоичными расширениями действительных чисел, мотивированными идеей сжатия данных . Например, значение строки Хакенбуша LRRLRLRL... равно 0,010101... ₂ = . ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ Однако значение LRLLL... (соответствующее 0,111... ₂ , бесконечно меньше 1. Разница между ними — сюрреалистическое число , где — первый бесконечный порядковый номер ; соответствующая игра — LRRRR... или 0,000... ₂ . ^[j] ${\textstyle {\frac {1}{\omega }}}$ ${\displaystyle \omega }$

Это справедливо для двоичных расширений многих рациональных чисел, где значения чисел равны, но соответствующие пути двоичного дерева различны. Например, 0,10111... ₂ = 0,11000... ₂ , которые оба равны ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{4}}}$ , но первое представление соответствует пути двоичного дерева LRLRLLL..., тогда как второе соответствует другому пути LRLLRRR... ‍ .

Возвращаясь к вычитанию

Другой способ, которым доказательства могут быть подорваны, это если 1 − 0,999... просто не существует, потому что вычитание не всегда возможно. Математические структуры с операцией сложения, но не с операцией вычитания включают коммутативные полугруппы , коммутативные моноиды и полукольца . Ричман (1999) рассматривает две такие системы, спроектированные так, что 0,999... < 1. [ ^12]

Во-первых, Ричман (1999) определяет неотрицательное десятичное число как буквальное десятичное расширение. Он определяет лексикографический порядок и операцию сложения, отмечая, что 0,999... < 1 просто потому, что 0 < 1 в разряде единиц, но для любого нетерминированного ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ , имеем 0,999... + = 1 + ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ . Таким образом, одна особенность десятичных чисел заключается в том, что сложение не всегда может быть отменено; другая заключается в том, что никакое десятичное число не соответствует ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$ . После определения умножения десятичные числа образуют положительное, полностью упорядоченное, коммутативное полукольцо. ^[70]

В процессе определения умножения Ричман также определяет другую систему, которую он называет «сечением » , ${\displaystyle D}$ представляющую собой набор дедекиндовых сокращёний десятичных дробей. Обычно это определение приводит к действительным числам, но для десятичной дроби он допускает как разрез ( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ ), так и «главный разрез» ( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ ] . Результатом является то, что действительные числа «уживаются нелегко вместе» с десятичными дробями. Опять же 0,999... < 1 . В разрезе ⁠ ⁠ нет положительных бесконечно малых , но есть «своего рода отрицательная бесконечно малая», 0 ⁻ , которая не имеет десятичное разложение. Он приходит к выводу, что 0,999... = 1 + 0 ⁻ , в то время как уравнение « 0,999... + = 1 » не имеет решения. ^[k] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$

п-адические числа

Когда новичков спрашивают о 0,999..., они часто считают, что должна быть «конечная 9», полагая, что 1 − 0,999... является положительным числом, которое они записывают как «0,000...1». Имеет ли это смысл или нет, интуитивная цель ясна: добавление 1 к конечной 9 в 0,999... перенесет все 9 в 0 и оставит 1 на месте единиц. Среди прочих причин эта идея терпит неудачу, потому что в 0,999... нет «конечной 9» . ^[71] Однако существует система, которая содержит бесконечную строку девяток, включая последнюю 9.

4-адические целые числа (черные точки), включая последовательность (3, 33, 333, ...), сходящуюся к −1. 10-адический аналог равен ...999 = −1 .

-адические числа являются альтернативной системой счисления, представляющей интерес в теории чисел . Как и действительные числа, -адические числа могут быть построены из рациональных чисел с помощью последовательностей Коши ; конструкция использует другую метрику, в которой 0 ближе к ⁠ ⁠ , и гораздо ближе к ⁠ ⁠ , чем к 1. ^[72] -адические числа образуют поле для простых чисел и кольцо для других ⁠ ⁠ , включая 10. Таким образом, арифметика может быть выполнена в -адических числах, и нет бесконечно малых. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

В 10-адических числах аналоги десятичных разложений идут слева. 10-адическое разложение ...999 имеет последнюю 9, но не имеет первой 9. Можно добавить 1 к месту единиц, и после переноса останутся только нули: 1 + ...999 = ...000 = 0 , и поэтому ...999 = −1 . ^[73] Другой вывод использует геометрическую прогрессию. Бесконечный ряд, подразумеваемый "...999", не сходится в действительных числах, но сходится в 10-адических числах, и поэтому можно повторно использовать знакомую формулу: ^[74] $${\displaystyle \ldots 999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1.}$$

Сравните с рядом в разделе выше. Третий вывод был придуман ученицей седьмого класса, которая сомневалась в ограничивающем аргументе своего учителя, что 0,999... = 1 , но была вдохновлена ​​идеей применить доказательство умножения на 10 выше в противоположном направлении: если = ...999 , то 10 = ...990 , так что 10 = − 9 , следовательно, снова = −1 . ^[73] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

В качестве окончательного расширения, поскольку 0,999... = 1 (в действительных числах) и ...999 = −1 (в 10-адических числах), то посредством «слепой веры и бесстыдного жонглирования символами» ^[75] можно сложить два уравнения и получить ...999,999... = 0. Это уравнение не имеет смысла ни как 10-адическое разложение, ни как обычное десятичное разложение, но оно оказывается осмысленным и верным в дважды бесконечном десятичном разложении 10-адического соленоида , с в конечном итоге повторяющимися левыми концами для представления действительных чисел и в конечном итоге повторяющимися правыми концами для представления 10-адических чисел. ^[76]

Смотрите также

• Финитизм
• Неформальная математика

Примечания

1. Например, это можно показать следующим образом: если x — любое число, такое что 0.(9) _n ≤ x < 1 , то 0.(9) _{n −1} ≤ 10 x − 9 < x < 1. Таким образом, если x обладает этим свойством для всех n , то и меньшее число 10 x − 9 также обладает им.
2. Предел следует, например, из Rudin (1976), стр. 57, теорема 3.20e. Для более прямого подхода см. также Finney, Weir & Giordano (2001), раздел 8.1, пример 2(a), пример 6(b).
3. Исторический синтез заявлен Гриффитсом и Хилтоном (1970), стр. xiv, а затем Пью (2002), стр. 10; оба на самом деле предпочитают дедекиндовы разрезы аксиомам. Об использовании разрезов в учебниках см. Пью (2002), стр. 17 или Рудина (1976), стр. 17. О точках зрения на логику см. Пью (2002), стр. 10, Рудина (1976), стр. ix или Манкреса (2000), стр. 30.
4. Эндертон (1977), стр. 113 уточняет это описание: «Идея, лежащая в основе сечений Дедекинда, заключается в том, что действительное число x можно назвать, указав бесконечный набор рациональных чисел, а именно все рациональные числа, меньшие x . Фактически мы определим x как набор рациональных чисел, меньших x . Чтобы избежать цикличности в определении, мы должны иметь возможность охарактеризовать наборы рациональных чисел, получаемые таким образом...»
5. Rudin (1976), стр. 17–20, Richman (1999), стр. 399 или Enderton (1977), стр. 119. Если быть точным, то Rudin, Richman и Enderton называют это сечение 1∗, 1 ₋ и 1 _R соответственно; все трое отождествляют его с традиционным действительным числом 1. Обратите внимание, что то, что Rudin и Enderton называют сечением Дедекинда, Richman называет «неглавным сечением Дедекинда».
6. Maor (1987), стр. 60 и Mankiewicz (2000), стр. 151 рассматривают первый метод; Mankiewicz приписывает его Кантору, но первоисточник неясен. Munkres (2000), стр. 50 упоминает последний метод.
7. Bunch (1982), стр. 119; Tall & Schwarzenberger (1978), стр. 6. Последнее предположение принадлежит Барреллу (1998), стр. 28: «Возможно, самое обнадеживающее из всех чисел — это 1... Поэтому особенно тревожно, когда кто-то пытается выдать 0,9~ за 1».
8. Полное описание нестандартных чисел см. в работе Робинсона (1996).
9. Стюарт (2009), стр. 175; полное обсуждение 0,999... распространяется на стр. 172–175.
10. Берлекамп, Конвей и Гай (1982), стр. 79–80, 307–311 обсуждают 1 и ⁠1/3⁠ и коснитесь ⁠1/ω⁠ . Игра за 0,111... ₂ напрямую следует из правила Берлекэмпа.
11. Ричман (1999), стр. 398–400. Рудин (1976), стр. 23 назначает эту альтернативную конструкцию (но над рациональными числами) в качестве последнего упражнения Главы 1.

Ссылки

1. Чэн (2023), стр. 141.
2. Даймонд (1955).
3. Болдуин и Нортон (2012).
4. Мейер и Смит (2017), §8.2.
5. Стюарт (2009), стр. 175.
6. Пропп (2023).
7. Стиллвелл (1994), стр. 42.
8. Эрл и Николсон (2021), «связанные».
9. Розенлихт (1985), с. 27.
10. Болдри (2009), стр. 47.
11. Байерс (2007), стр. 39.
12. Ричман (1999).
13. Перессини и Перессини (2007), с. 186.
14. Болдуин и Нортон (2012); Кац и Кац (2010a).
15. Чэн (2023), стр. 136.
16. Эйзенманн (2008), стр. 38.
17. Тао (2003).
18. Рудин (1976), стр. 61, Теорема 3.26; Стюарт (1999), стр. 706.
19. Эйлер (1822), стр. 170.
20. Граттан-Гиннесс (1970), стр. 69; Бонникасл (1806), стр. 177.
21. Стюарт (1999), стр. 706; Рудин (1976), стр. 61; Проттер и Морри (1991), стр. 213; Пью (2002), стр. 180; Конвей (1978), стр. 31.
22. Дэвис (1846), стр. 175; Смит и Харрингтон (1895), стр. 115.
23. Tall (2000), стр. 221.
24. Билс (2004), стр. 22; Стюарт (2009), стр. 34.
25. Бартл и Шерберт (1982), стр. 60–62; Педрик (1994), стр. 29; Сохраб (2003), стр. 46.
26. Апостол (1974), стр. 9, 11–12; Билз (2004), с. 22; Розенлихт (1985), с. 27.
27. Апостол (1974), стр. 12.
28. Ченг (2023), стр. 153–156.
29. Конвей (2001), стр. 25–27.
30. Рудин (1976), стр. 3, 8.
31. Ричман (1999), стр. 399.
32. О'Коннор и Робертсон (2005).
33. для того, чтобы исключить существование различных чисел 0,9 и 1. [...] Итак, мы видим, что в традиционном определении действительных чисел уравнение 0,9 = 1 встроено в самом начале».
34. Гриффитс и Хилтон (1970), стр. 386, §24.2 «Последовательности».
35. Гриффитс и Хилтон (1970), стр. 388, 393.
36. Гриффитс и Хилтон (1970), стр. 395.
37. Гриффитс и Хилтон (1970), стр. viii, 395.
38. Гауэрс (2001).
39. Ли (2011).
40. Артиг (2002), стр. 212, «... порядок действительных чисел распознается как плотный порядок. Однако, в зависимости от контекста, учащиеся могут согласовать это свойство с существованием чисел непосредственно перед или после данного числа (таким образом, 0,999... часто рассматривается как предшественник 1)».
41. Петковшек (1990), стр. 408.
42. Проттер и Морри (1991), с. 503; Бартл и Шерберт (1982), с. 61.
43. Коморник и Лорети (1998), с. 636.
44. Кемпнер (1936), с. 611; Петковшек (1990), с. 409.
45. Петковшек (1990), стр. 410–411.
46. Гудвин (1802); Диксон (1919), стр. 161.
47. Ливитт (1984), стр. 301.
48. Гинзберг (2004), стр. 26–30; Левиттс (2006), стр. 1–3; Ливитт (1967), стр. 669, 673; Шрейдер-Фрешетт (1978), стр. 96–98.
49. Пью (2002), с. 97; Аллигуд, Зауэр и Йорк (1996), стр. 150–152; Проттер и Морри (1991), с. 507; Педрик (1994), с. 29.
50. Рудин (1976), стр. 50; Пью (2002), стр. 98.
51. Tall & Schwarzenberger (1978), стр. 6–7; Tall (2000), стр. 221.
52. Толл и Шварценбергер (1978), стр. 6; Толл (2000), стр. 221.
53. Талл (1976), стр. 10–14.
54. Пинто и Толл (2001), стр. 5; Эдвардс и Уорд (2004), стр. 416–417.
55. Мазур (2005), стр. 137–141.
56. Дубинский и др. (2005), стр. 261–262.
57. Ричман (1999), стр. 396.
58. де Вреут (1994).
59. Адамс (2003).
60. Элленберг (2014).
61. Renteln & Dundes (2005), с. 27.
62. Ричман (1999); Адамс (2003); Элленберг (2014).
63. Уоллес (2003), стр. 51; Маор (1987), стр. 17.
64. Гауэрс (2002), стр. 60.
65. Лайтстоун (1972), стр. 245–247.
66. Тао (2012), стр. 156–180.
67. Кац и Кац (2010a).
68. Кац и Кац (2010b); Эли (2010).
69. Конвей (2001), стр. 3–5, 12–13, 24–27.
70. Ричман (1999), стр. 397–399.
71. Гардинер (2003), стр. 98; Гауэрс (2002), стр. 60.
72. Маскари и Миола (1988), с. 83–84.
73. Fjelstad (1995), стр. 11.
74. Фьелстад (1995), стр. 14–15.
75. ДеСуа (1960), стр. 901.
76. ДеСуа (1960), стр. 902–903.

Источники

• Адамс, Сесил (11 июля 2003 г.). «Бесконечный вопрос: почему .999~ не равно 1?». The Straight Dope . Chicago Reader . Архивировано из оригинала 15 августа 2006 г. Получено 6 сентября 2006 г.
• Alligood, KT; Sauer, TD; Yorke, JA (1996). "4.1 Cantor Sets". Хаос: Введение в динамические системы . Springer. ISBN 978-0-387-94677-1.

  Этот вводный учебник по динамическим системам предназначен для студентов бакалавриата и начинающих аспирантов. (стр. ix)

• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-00288-1.

  Переход от исчисления к продвинутому анализу. Математический анализ призван быть «честным, строгим, современным и в то же время не слишком педантичным». (пред.) Развитие Апостолом действительных чисел использует аксиому наименьшей верхней границы и вводит бесконечные десятичные дроби двумя страницами позже. (стр. 9–11)

• Artigue, Michèle (2002). Holton, Derek; Artigue, Michèle; Kirchgräber, Urs; Hillel, Joel; Niss, Mogens; Schoenfeld, Alan (ред.). Преподавание и изучение математики на университетском уровне . Новая серия исследований ICMI. Том 7. Springer, Дордрехт. doi :10.1007/0-306-47231-7. ISBN 978-0-306-47231-2.
• Болдуин, Майкл; Нортон, Андерсон (2012). «Действительно ли 0,999... равно 1?». Преподаватель математики . 21 (2): 58–67.
• Bauldry, William C. (2009). Введение в реальный анализ: образовательный подход. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-37136-7.

  Эта книга задумана как введение в реальный анализ, рассчитанное на студентов старших курсов, студентов старших курсов и аспирантов. (стр. xi-xii)

• Бартл, Р. Г .; Шерберт, Д. Р. (1982). Введение в реальный анализ. Wiley. ISBN 978-0-471-05944-8.

  Цель этого текста — быть «доступным, разумно изложенным учебником, который рассматривает фундаментальные концепции и методы реального анализа». Его развитие реальных чисел опирается на аксиому супремума. (стр. vii–viii)

• Билс, Ричард (2004). Анализ: Введение. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-60047-7.
• Берлекамп, Э.Р .; Конвей, Дж.Х .; Гай, Р.К. (1982). Выигрышные пути для ваших математических игр . Academic Press. ISBN 978-0-12-091101-1.
• Бонникасл, Джон (1806). Введение в алгебру; с примечаниями и наблюдениями: предназначено для использования в школах и местах государственного образования (Первое американское изд.). Филадельфия. hdl :2027/mdp.39015063620382.
• Банч, Брайан Х. (1982). Математические заблуждения и парадоксы. Ван Ностранд Рейнхольд. ISBN 978-0-442-24905-2.

  В этой книге представлен анализ парадоксов и заблуждений как инструмент для исследования ее центральной темы, «довольно слабой связи между математической реальностью и физической реальностью». Она предполагает алгебру первого года обучения в старшей школе; в книге развивается дальнейшая математика, включая геометрические ряды в Главе 2. Хотя 0,999... не является одним из парадоксов, которые следует полностью рассмотреть, он кратко упоминается в ходе разработки диагонального метода Кантора. (стр. ix-xi, 119)

• Баррелл, Брайан (1998). Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: Справочник для дома и бизнеса. Merriam-Webster. ISBN 978-0-87779-621-3.
• Байерс, Уильям (2007). Как думают математики: использование неоднозначности, противоречия и парадокса для создания математики. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12738-5.
• Ченг, Евгения (2023). Реальна ли математика? Как простые вопросы ведут нас к глубочайшим истинам математики . Базовые книги. ISBN 978-1-541-6-01826.
• Конвей, Джон Б. (1978) [1973]. Функции одной комплексной переменной I (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Конвей, Джон Х. (2001). О числах и играх (2-е изд.). AK Peters. ISBN 1-56881-127-6.
• Дэвис, Чарльз (1846). Университетская арифметика: охватывающая науку чисел и их многочисленные приложения. AS Barnes. стр. 175. Получено 4 июля 2011 г.
• de Vreught, Hans (1994). "sci.math FAQ: Почему 0,9999... = 1?". Архивировано из оригинала 29 сентября 2007 г. Получено 29 июня 2006 г.
• ДеСуа, Фрэнк К. (ноябрь 1960 г.). «Система, изоморфная действительным числам». The American Mathematical Monthly . 67 (9): 900–903. doi :10.2307/2309468. JSTOR  2309468.
• Даймонд, Луис Э. (1955). «Иррациональные числа». Журнал математики . 29 (2). Математическая ассоциация Америки: 89–99. doi :10.2307/3029588. JSTOR  3029588.
• Диксон, Леонард Юджин (1919). История теории чисел . Том 1. Институт Карнеги в Вашингтоне.
• Дубинский, Эд; Уэллер, Кирк; Макдональд, Майкл; Браун, Энн (2005). «Некоторые исторические вопросы и парадоксы, касающиеся концепции бесконечности: анализ APOS: часть 2». Educational Studies in Mathematics . 60 (2): 253–266. doi :10.1007/s10649-005-0473-0. S2CID  45937062.
• Эрл, Ричард; Николсон, Джеймс (2021). Краткий Оксфордский словарь математики (6-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-192-58405-2.
• Edwards, Barbara; Ward, Michael (май 2004 г.). "Сюрпризы исследований математического образования: (не)правильное использование математических определений студентами" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 111 (5): 411–425. CiteSeerX  10.1.1.453.7466 . doi :10.2307/4145268. JSTOR  4145268. Архивировано из оригинала (PDF) 22 июля 2011 г. . Получено 4 июля 2011 г. .
• Элленберг, Джордан (6 июня 2014 г.). «0,999... = 1? И являются ли расходящиеся ряды изобретением дьявола?». Slate . Архивировано из оригинала 8 августа 2023 г.
• Эли, Роберт (2010). «Нестандартные студенческие представления о бесконечно малых». Журнал исследований в области математического образования . 41 (2): 117–146. doi :10.5951/jresematheduc.41.2.0117.

  Эта статья представляет собой полевое исследование с участием студентки, которая разработала теорию бесконечно малых величин в стиле Лейбница, чтобы помочь себе понять исчисление и, в частности, объяснить, почему 0,999... отстает от 1 на бесконечно малую величину 0,000...1.

• Эндертон, Герберт Б. (1977). Элементы теории множеств. Elsevier. ISBN 978-0-12-238440-0.

  Вводный учебник для студентов бакалавриата по теории множеств, который «не предполагает никакой специальной подготовки». Он написан для курса, посвященного аксиоматической теории множеств или построению числовых систем; аксиоматический материал помечен таким образом, что его можно не акцентировать. (стр. xi–xii)

• Эйлер, Леонард (1822) [1770]. Элементы алгебры. Джон Хьюлетт и Фрэнсис Хорнер, английские переводчики (3-е англ. изд.). Орм Лонгман. стр. 170. ISBN 978-0-387-96014-2. Получено 4 июля 2011 г.
• Финни, Росс Л.; Вейр, Морис Д.; Джордано, Фрэнк Р. (2001). Исчисление Томаса: Ранние трансцендентали (10-е изд.). Нью-Йорк: Addison-Wesley.
• Фьелстад, Пол (январь 1995 г.). «Парадокс повторяющихся целых чисел». The College Mathematics Journal . 26 (1): 11–15. doi :10.2307/2687285. JSTOR  2687285.
• Гардинер, Энтони (2003) [1982]. Понимание бесконечности: математика бесконечных процессов. Дувр. ISBN 978-0-486-42538-2.
• Гинзберг, Брайан (2004). «(Почти) секретная теорема Миди – расширение после 165 лет». The College Mathematics Journal . 35 (1): 26–30. doi :10.1080/07468342.2004.11922047.
• Гудвин, Х. (1802). «Любопытные свойства простых чисел, взятых как делители единицы. Корреспондент». Журнал естественной философии, химии и искусств . Новая серия. 1 : 314–316.
• Gowers, Timothy (2001). «Что плохого в том, чтобы думать о действительных числах как о бесконечных десятичных дробях?». Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics . Cambridge University . Получено 3 октября 2024 г.
• Gowers, Timothy (2002). Математика: Очень краткое введение. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285361-5.
• Грэттан-Гиннесс, Айвор (1970). Развитие основ математического анализа от Эйлера до Римана. MIT Press. ISBN 978-0-262-07034-8.
• Гриффитс, Х. Б.; Хилтон, П. Дж. (1970). Всеобъемлющий учебник классической математики: современная интерпретация . Лондон: Van Nostrand Reinhold. ISBN 978-0-442-02863-3. LCC  QA37.2 G75.

  Эта книга выросла из курса для учителей математики в школах Бирмингема . Курс был предназначен для передачи университетского уровня школьной математики , и книга нацелена на студентов, «которые достигли примерно уровня завершения одного года специализированного математического обучения в университете». Действительные числа построены в Главе 24, «возможно, самой сложной главе во всей книге», хотя авторы приписывают большую часть трудностей использованию ими идеальной теории , которая здесь не воспроизводится. (стр. vii, xiv)

• Katz, Karin Usadi; Katz, Michael G. (2010a). «When is .999... less than 1?». The Montana Mathematics Enthusiast . 7 (1): 3–30. arXiv : 1007.3018 . Bibcode :2010arXiv1007.3018U. doi :10.54870/1551-3440.1381. S2CID  11544878. Архивировано из оригинала 20 июля 2011 г. Получено 4 июля 2011 г.
• Katz, Karin Usadi; Katz, Michael G. (2010b). «Zooming in on infinitesimal 1 − .9.. in a post-triumvirate era». Educational Studies in Mathematics . 74 (3): 259. arXiv : 1003.1501 . Bibcode :2010arXiv1003.1501K. doi :10.1007/s10649-010-9239-4. S2CID  115168622.
• Кемпнер, Обри Дж. (декабрь 1936 г.). «Анормальные системы исчисления». The American Mathematical Monthly . 43 (10): 610–617. doi :10.2307/2300532. JSTOR  2300532.
• Коморник, Вильмош; Лорети, Паола (1998). «Уникальные разработки в области нецелочисленных базисов». The American Mathematical Monthly . 105 (7): 636–639. doi :10.2307/2589246. JSTOR  2589246.
• Ли, Лянпань (март 2011 г.). «Новый подход к действительным числам». arXiv : 1101.1800 [math.CA].
• Ливитт, Уильям Г. (1967). «Теорема о повторяющихся десятичных дробях». The American Mathematical Monthly . 74 (6): 669–673. doi :10.2307/2314251. JSTOR  2314251.
• Ливитт, Уильям Г. (сентябрь 1984 г.). «Повторяющиеся десятичные дроби». The College Mathematics Journal . 15 (4): 299–308. doi :10.2307/2686394. JSTOR  2686394.
• Левиттс, Джозеф (2006). «Теорема Миди для периодических десятичных дробей». arXiv : math.NT/0605182 .
• Лайтстоун, Альберт Х. (март 1972 г.). «Бесконечно малые». The American Mathematical Monthly . 79 (3): 242–251. doi :10.2307/2316619. JSTOR  2316619.
• Манкевич, Ричард (2000). История математики. Касселл. ISBN 978-0-304-35473-3.

  Манкевич стремится представить «историю математики в доступной форме», объединяя визуальные и качественные аспекты математики, труды математиков и исторические очерки. (стр. 8)

• Mascari, Gianfranco; Miola, Alfonso (1988). "Об интеграции числовых и алгебраических вычислений". В Beth, Thomas; Clausen, Michael (ред.). Applicable Algebra, Error-Correcting Codes, Combinatorics and Computer Algebra . doi :10.1007/BFb0039172. ISBN 978-3-540-39133-3.
• Маор, Эли (1987). К бесконечности и далее: Культурная история бесконечности . Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-3325-6.

  Тематический, а не хронологический обзор бесконечности, эта книга «предназначена для широкого круга читателей», но «рассказана с точки зрения математика». О дилемме строгости против читаемого языка Маор комментирует: «Я надеюсь, что мне удалось должным образом решить эту проблему». (стр. x-xiii)

• Мазур, Джозеф (2005). Евклид в тропическом лесу: открытие универсальных истин в логике и математике. Pearson: Pi Press. ISBN 978-0-13-147994-4.
• Мейер, Джон; Смит, Дерек (2017). Exploring Mathematics: An Engaging Introduction to Proof . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-12898-9.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000) [1975]. Топология (2-е изд.). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-181629-9.

  Предполагается, что это будет введение «на уровне выпускников старших или первых курсов» без каких-либо формальных предварительных условий: «Я даже не предполагаю, что читатель хорошо разбирается в теории множеств» (стр. xi). Трактовка Манкресом действительных чисел аксиоматична; он утверждает о конструкциях «голыми руками»: «Этот способ подхода к предмету требует много времени и усилий и представляет больший логический, чем математический интерес» (стр. 30).

• Наварро, Мария Анхелес; Каррерас, Педро Перес (2010). «Методологическое предложение Сократа по изучению равенства 0,999...=1» (PDF) . Преподавание математики . 13 (1): 17–34 . Получено 4 июля 2011 г. .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (октябрь 2005 г.), «Действительные числа: от Стевина до Гильберта», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Педрик, Джордж (1994). Первый курс анализа . Springer. ISBN 978-0-387-94108-0.
• Перессини, Энтони; Перессини, Доминик (2007). «Философия математики и математического образования». В ван Керкхове, Барт; ван Бендегем, Жан Поль (ред.). Перспективы математических практик. Логика, эпистемология и единство науки. Том 5. Springer. ISBN 978-1-4020-5033-6.
• Петковшек, Марко (май 1990 г.). «Неоднозначные числа плотны». American Mathematical Monthly . 97 (5): 408–411. doi :10.2307/2324393. JSTOR  2324393.
• Pinto, Márcia; Tall, David O. (2001). PME25: Отслеживание развития студентов в традиционном университетском курсе анализа (PDF) . стр. v4: 57–64. Архивировано из оригинала (PDF) 30 мая 2009 г. Получено 3 мая 2009 г.
• Пропп, Джеймс (17 сентября 2015 г.). «The One About .999...» Математические чары . Получено 24 мая 2024 г. .
• Пропп, Джеймс (17 января 2023 г.). «Знаменатели и двойники». Математические чары . Получено 16 апреля 2024 г. .
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей , Чарльз Б. младший (1991). Первый курс реального анализа (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-97437-8.

  Цель этой книги — «представить теоретическую основу анализа, подходящую для студентов, прошедших стандартный курс исчисления». (стр. vii) В конце главы 2 авторы принимают в качестве аксиомы для действительных чисел, что ограниченные неубывающие последовательности сходятся, позже доказывая теорему о вложенных интервалах и свойство наименьшей верхней границы. (стр. 56–64) Десятичные разложения приведены в Приложении 3 «Разложения действительных чисел в любой системе счисления». (стр. 503–507)

• Pugh, Charles Chapman (2002). Реальный математический анализ. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95297-0.

  Предполагая, что автор знаком с рациональными числами, Пью как можно скорее вводит дедекиндовы сечения , говоря об аксиоматической трактовке: «Это своего рода мошенничество, учитывая, что вся структура анализа построена на действительной системе чисел» (стр. 10). После доказательства свойства наименьшей верхней границы и некоторых связанных с ним фактов сечения в остальной части книги не используются.

• Renteln, Paul; Dundes, Alan (январь 2005 г.). "Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor" (PDF) . Notices of the AMS . 52 (1): 24–34. Архивировано из оригинала (PDF) 25 февраля 2009 г. . Получено 3 мая 2009 г. .
• Ричман, Фред (декабрь 1999 г.). «0,999... = 1?». Mathematics Magazine . 72 (5): 396–400. doi :10.2307/2690798. JSTOR  2690798.Бесплатная HTML-препринт: Richman, Fred (июнь 1999 г.). "Is 0.999... = 1?". Архивировано из оригинала 2 сентября 2006 г. Получено 23 августа 2006 г.Примечание: статья в журнале содержит материалы и формулировки, отсутствующие в препринте.
• Робинсон, Абрахам (1996). Нестандартный анализ (пересмотренное издание). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04490-3. JSTOR  j.ctt1cx3vb6.
• Розенлихт, Максвелл (1985). Введение в анализ. Дувр. ISBN 978-0-486-65038-8.Эта книга дает "тщательное строгое" введение в действительный анализ. Она дает аксиомы действительных чисел, а затем конструирует их (стр. 27–31) как бесконечные десятичные дроби с 0,999... = 1 как частью определения.
• Рудин, Уолтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

  Учебник для продвинутого курса бакалавриата. "Опыт убедил меня, что педагогически необоснованно (хотя логически правильно) начинать с построения действительных чисел из рациональных. Вначале большинство студентов просто не понимают необходимости этого. Соответственно, система действительных чисел вводится как упорядоченное поле со свойством наименьшей верхней границы, и несколько интересных приложений этого свойства быстро выполняются. Однако построение Дедекинда не опущено. Теперь оно находится в Приложении к Главе 1, где его можно изучать и использовать, когда придет время". (стр. ix)

• Шрадер-Фрешетт, Морис (март 1978). «Дополнительные рациональные числа». Mathematics Magazine . 51 (2): 90–98. doi :10.2307/2690144. JSTOR  2690144.
• Смит, Чарльз; Харрингтон, Чарльз (1895). Арифметика для школ. Macmillan. стр. 115. ISBN 978-0-665-54808-6. Получено 4 июля 2011 г.
• Sohrab, Houshang (2003). Базовый вещественный анализ. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4211-2.
• Стюарт, Ян (2009). Сокровища математики профессора Стюарта. Книги профиля. ISBN 978-1-84668-292-6.
• Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: Ранние трансцендентали (4-е изд.). Брукс/Коул. ISBN 978-0-534-36298-0.

  Цель этой книги — «помочь студентам в изучении исчисления» и «способствовать концептуальному пониманию». (стр. v) В ней отсутствуют доказательства основ исчисления.

• Стиллвелл, Джон (1994), Элементы алгебры: геометрия, числа, уравнения, Springer, ISBN 9783540942900
• Tall, David ; Schwarzenberger, RLE (1978). «Конфликты при изучении действительных чисел и пределов» (PDF) . Mathematics Teaching . 82 : 44–49. Архивировано из оригинала (PDF) 30 мая 2009 г. . Получено 3 мая 2009 г. .
• Tall, David O. (1976). «Конфликты и катастрофы в изучении математики» (PDF) . Mathematical Education for Teaching . 2 (4): 2–18. Архивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2009 г. . Получено 3 мая 2009 г. .
• Tall, David (2000). "Cognitive Development in Advanced Mathematics Using Technology" (PDF) . Mathematics Education Research Journal . 12 (3): 210–230. Bibcode :2000MEdRJ..12..196T. doi :10.1007/BF03217085. S2CID  143438975. Архивировано из оригинала (PDF) 30 мая 2009 г. . Получено 3 мая 2009 г. .
• Тао, Теренс (2012). Анализ Фурье высшего порядка (PDF) . Американское математическое общество.
• Тао, Теренс (2003). "Математика 131AH: Неделя 1" (PDF) . Анализ с отличием . Математика Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе . Получено 23 мая 2024 г. .
• Уоллес, Дэвид Фостер (2003). Все и даже больше: краткая история бесконечности. Нортон. ISBN 978-0-393-00338-3.
• Эйзенманн, Петр (2008). «Почему неверно, что 0,999 . . . < 1?» (PDF) . Преподавание математики . 11 (1): 38.{{cite journal}}: CS1 maint: ref duplicates default (link)

Дальнейшее чтение

• Бесвик, Ким (2004). «Почему 0,999... = 1?: Вечный вопрос и чувство числа». Австралийский учитель математики . 60 (4): 7–9.
• Бурков, С.Е. (1987). «Одномерная модель квазикристаллического сплава». Журнал статистической физики . 47 (3/4): 409–438. Bibcode : 1987JSP....47..409B. doi : 10.1007/BF01007518. S2CID  120281766.
• Берн, Боб (март 1997 г.). «81.15 Случай конфликта». The Mathematical Gazette . 81 (490): 109–112. doi :10.2307/3618786. JSTOR  3618786. S2CID  187823601.
• Calvert, JB; Tuttle, ER; Martin, Michael S.; Warren, Peter (февраль 1981 г.). «Эпоха Ньютона: интенсивный междисциплинарный курс». The History Teacher . 14 (2): 167–190. doi :10.2307/493261. JSTOR  493261.
• Choi, Younggi; Do, Jonghoon (ноябрь 2005 г.). «Равенство, содержащееся в 0,999... и (-8)1/3». Для изучения математики . 25 (3): 13–15, 36. JSTOR  40248503.
• Choong, KY; Daykin, DE; Rathbone, CR (апрель 1971 г.). «Рациональные приближения к π». Mathematics of Computation . 25 (114): 387–392. doi :10.2307/2004936. JSTOR  2004936.
• Эдвардс, Б. (1997). «Понимание и использование студентами бакалавриата математических определений в реальном анализе». В Досси, Дж.; Сваффорд, Дж. О.; Парментье, М.; Досси, А. Е. (ред.). Труды 19-го ежегодного заседания Североамериканского отделения Международной группы по психологии математического образования . Том 1. Колумбус, Огайо: ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics and Environmental Education. стр. 17–22.
• Эйзенманн, Петр (2008). «Почему неверно, что 0,999... < 1?» (PDF) . Преподавание математики . 11 (1): 35–40 . Получено 4 июля 2011 г. .
• Ferrini-Mundy, J.; Graham, K. (1994). Kaput, J.; Dubinsky, E. (ред.). «Исследования в области изучения исчисления: понимание пределов, производных и интегралов». MAA Notes: Research Issues in Undergraduate Mathematics Learning . 33 : 31–45.
• Гардинер, Тони (июнь 1985 г.). «Бесконечные процессы в элементарной математике: как много мы должны рассказывать детям?». The Mathematical Gazette . 69 (448): 77–87. doi :10.2307/3616921. JSTOR  3616921. S2CID  125222118.
• Монаган, Джон (декабрь 1988 г.). «Реальная математика: один аспект будущего A-Level». The Mathematical Gazette . 72 (462): 276–281. doi :10.2307/3619940. JSTOR  3619940. S2CID  125825964.
• Нуньес, Рафаэль (2006). «Действительно ли действительные числа движутся? Язык, мысль и жест: воплощенные когнитивные основы математики». 18 нетрадиционных эссе о природе математики . Springer. стр. 160–181. ISBN 978-0-387-25717-4. Архивировано из оригинала 18 июля 2011 . Получено 4 июля 2011 .
• Przenioslo, Malgorzata (март 2004 г.). «Образы предела функции, сформированные в ходе изучения математики в университете». Educational Studies in Mathematics . 55 (1–3): 103–132. doi :10.1023/B:EDUC.0000017667.70982.05. S2CID  120453706.
• Сандефур, Джеймс Т. (февраль 1996 г.). «Использование самоподобия для нахождения длины, площади и размерности». The American Mathematical Monthly . 103 (2): 107–120. doi :10.2307/2975103. JSTOR  2975103.
• Серпинская, Анна (ноябрь 1987 г.). «Студенты-гуманитарии и эпистемологические препятствия, связанные с ограничениями». Educational Studies in Mathematics . 18 (4): 371–396. doi :10.1007/BF00240986. JSTOR  3482354. S2CID  144880659.
• Starbird, Michael ; Starbird, Thomas (март 1992 г.). «Требуемая избыточность в представлении действительных чисел». Труды Американского математического общества . 114 (3): 769–774. doi : 10.1090/S0002-9939-1992-1086343-5 . JSTOR  2159403.
• Шидлик, Дженнифер Эрлз (май 2000 г.). «Математические убеждения и концептуальное понимание предела функции». Журнал исследований в области математического образования . 31 (3): 258–276. doi :10.2307/749807. JSTOR  749807.
• Толл, Дэвид О. (2009). «Динамическая математика и смешивание структур знаний в исчислении». ZDM Mathematics Education . 41 (4): 481–492. doi :10.1007/s11858-009-0192-6. S2CID  14289039.
• Толл, Дэвид О. (май 1981). «Интуиции бесконечности». Математика в школе . 10 (3): 30–33. JSTOR  30214290.

Внешние ссылки

Послушайте эту статью ( 50 минут )

Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 19 октября 2006 года и не отражает последующие правки. (2006-10-19)

( Аудиопомощь  · Больше устных статей )

• .999999... = 1? от Cut-the-Knot
• Почему 0,9999... = 1?
• Доказательство равенства, основанное на арифметике из Math Central
• Исследования Дэвида Толла по математическому познанию
• Что плохого в том, чтобы думать о действительных числах как о бесконечных десятичных дробях?
• Теорема 0.999... на Metamath