Норма (математика)

Длина в векторном пространстве

В математике норма — это функция от действительного или комплексного векторного пространства до неотрицательных действительных чисел, которая ведет себя определенным образом, как расстояние от начала координат : она коммутирует с масштабированием, подчиняется форме неравенства треугольника и равна нулю. только в начале. В частности, евклидово расстояние в евклидовом пространстве определяется нормой соответствующего евклидова векторного пространства , называемой евклидовой нормой, 2-нормой или, иногда, величиной вектора . Эту норму можно определить как квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя.

Полунорма удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть равна нулю для векторов, отличных от начала координат . ^[1] Векторное пространство с заданной нормой называется нормированным векторным пространством . Аналогичным образом векторное пространство с полунормой называется полунормированным векторным пространством .

Термин псевдонорма использовался в нескольких связанных значениях. Это может быть синонимом слова «полунорма». ^[1] Псевдонорма может удовлетворять тем же аксиомам, что и норма, с заменой равенства неравенством « » в аксиоме однородности. ^[2] Это также может относиться к норме, которая может принимать бесконечные значения, ^[3] или к определенным функциям, параметризованным направленным множеством . ^[4] ${\displaystyle \,\leq \,}$

Определение

В векторном пространстве над подполем комплексных чисел норма представляет собой вещественнозначную функцию со следующими свойствами, где обозначает обычное абсолютное значение скаляра : ^[5 ] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |s|}$ ${\displaystyle s}$

1. Субаддитивность / неравенство треугольника : для всех ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Абсолютная однородность : для всех и всех скаляров ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$
3. Положительная определенность /положительность ^[6] /Разделение точек : для всех, еслитогда ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$
   • Поскольку свойство (2.) подразумевает, некоторые авторы заменяют свойство (3.) эквивалентным условием: для каждого тогда и только тогда, когда ${\displaystyle p(0)=0,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Полунорма на — это функция , которая обладает свойствами (1.) и (2.) ^[7], так что, в частности, каждая норма также является полунормой (и, следовательно, также сублинейным функционалом ). Однако существуют полунормы, которые не являются нормами. Свойства (1) и (2) подразумевают, что если является нормой (или, в более общем смысле, полунормой), то это также обладает следующим свойством: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)=0}$ ${\displaystyle p}$

4. Неотрицательность : ^[6] для всех ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Некоторые авторы включают неотрицательность в определение «нормы», хотя в этом нет необходимости. Хотя в этой статье слово « положительный » определяется как синоним «положительно определенного», некоторые авторы вместо этого определяют « положительный » как синоним «неотрицательного»; ^[8] эти определения не эквивалентны.

Эквивалентные нормы

Предположим, что и — две нормы (или полунормы) векторного пространства. Тогда и называются эквивалентными , если существуют две положительные вещественные константы и такие , что для каждого вектора ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).}$$

рефлексивносимметричнотранзитивноотношение эквивалентности^[9].[9] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle cq\leq p\leq Cq}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{C}}p\leq q\leq {\tfrac {1}{c}}p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$

Обозначения

Если норма задана в векторном пространстве , то норму вектора обычно обозначают, заключая ее в двойные вертикальные линии: такое обозначение также иногда используется, если это только полунорма. Для длины вектора в евклидовом пространстве (которая, как объясняется ниже, является примером нормы) также широко распространено обозначение одиночными вертикальными линиями. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle \|z\|=p(z).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |x|}$

Примеры

Каждое (действительное или комплексное) векторное пространство допускает норму: если это базис Гамеля для векторного пространства , то действительнозначное отображение, которое отправляет (где все скаляры, кроме конечного числа ) в, является нормой в ^[10] . также большое количество норм, обладающих дополнительными свойствами, делающими их полезными для решения конкретных задач. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|s_{i}\right|}$ ${\displaystyle X.}$

Абсолютная норма

Абсолютное значение

$${\displaystyle \|x\|=|x|}$$

одномерномиличислами

Любая норма в одномерном векторном пространстве эквивалентна (с точностью до масштабирования) абсолютной норме, а это означает, что существует сохраняющий норму изоморфизм векторных пространств , где либо или , а сохранение нормы означает, что Этот изоморфизм задается отправкой к вектору нормы , который существует, поскольку такой вектор получается умножением любого ненулевого вектора на обратную его норму. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$ ${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle 1,}$

Евклидова норма

В -мерном евклидовом пространстве интуитивное понятие длины вектора фиксируется формулой ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

Это евклидова норма , дающая обычное расстояние от начала координат до точки X — следствие теоремы Пифагора . Эту операцию также можно назвать «SRSS», что является аббревиатурой квадратного корня из суммы квадратов . ^[12]

Евклидова норма, безусловно, является наиболее часто используемой нормой в ^[11] , но существуют и другие нормы в этом векторном пространстве, как будет показано ниже. Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию в конечномерных пространствах. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Внутренний продукт двух векторов евклидова векторного пространства — это скалярное произведение их координатных векторов по ортонормированному базису . Следовательно, евклидову норму можно записать в бескоординатном виде как

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

Евклидову норму также называют квадратичной нормой , нормой , ^[13] нормой , 2-нормой или квадратичной нормой ; увидеть космос . Он определяет функцию расстояния , называемую евклидовой длиной , расстоянием или расстоянием . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Множество векторов, в которых евклидова норма является заданной положительной константой, образует -сферу . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

Евклидова норма комплексных чисел

Евклидовой нормой комплексного числа является его абсолютное значение (также называемое модулем ), если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью . Это отождествление комплексного числа как вектора в евклидовой плоскости делает величину (как сначала предложенный Эйлером) евклидова норма, связанная с комплексным числом. Для норму можно также записать как где – комплексно-сопряженное число ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle x+iy}$ ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\bar {z}}z}}}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z\,.}$

Кватернионы и октонионы

Над действительными числами существует ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица . Это действительные числа, комплексные числа, кватернионы и , наконец, октонионы , где размеры этих пространств над действительными числами соответственно равны. Канонические нормы и являются их функциями абсолютного значения , как обсуждалось ранее. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} ,}$ ${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Каноническая норма кватернионов определяется формулой ${\displaystyle \mathbb {H} }$

$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$

- ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} .}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

Конечномерные комплексные нормированные пространства

В -мерном комплексном пространстве наиболее распространенной нормой является ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

В этом случае норму можно выразить как квадратный корень из внутреннего произведения вектора на себя:

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$

вектор-столбцасопряженное транспонирование ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$

Эта формула действительна для любого пространства внутреннего произведения , включая евклидово и комплексное пространство. Для комплексных пространств внутренний продукт эквивалентен комплексному скалярному произведению . Следовательно, формулу и в этом случае можно записать, используя следующие обозначения:

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

Норма такси или норма Манхэттена

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$

сетке улицнью-йоркскомМанхэттена ${\displaystyle x.}$

Набор векторов, 1-норма которых является заданной константой, образует поверхность перекрестного многогранника , размерность которого равна размерности векторного пространства минус 1. Норма такси также называется нормой . Расстояние, полученное из этой нормы, называется Манхэттенским расстоянием или расстоянием . ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

1-норма — это просто сумма абсолютных значений столбцов.

В отличие,

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

р -норма

Пусть это будет действительное число. -норма (также называемая -нормой) вектора равна ^[11] ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$

норме бесконечности ${\displaystyle p=1,}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$

обобщенным средним ${\displaystyle p}$

Ибо -норма даже индуцируется каноническим внутренним произведением, что означает, что для всех векторов этот внутренний продукт можно выразить через норму, используя тождество поляризации . На этом внутреннем продукте ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$Евклидов внутренний продукт , определяемый формулой

$${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$

пространством мерыинтегрируемых с квадратом функций ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Это определение все еще представляет некоторый интерес, но результирующая функция не определяет норму ^[14] , поскольку она нарушает неравенство треугольника . Что верно для этого случая, даже в измеримом аналоге, так это то, что соответствующий класс является векторным пространством, а также верно, что функция ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}}$

$${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$

топологическое векторное пространствофункциональном анализетеории вероятностейгармоническом анализе ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$

Частная производная -нормы определяется выражением ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

Производная по поэтому равна ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

произведение Адамара ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle |\cdot |}$

Для частного случая это становится ${\displaystyle p=2,}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}.}$$

Максимальная норма (частный случай: норма бесконечности, единая норма или высшая норма)

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=1}$

Если есть некоторый вектор такой, что тогда: ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

Набор векторов, норма бесконечности которых является заданной константой, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle 2c.}$

Нулевая норма

В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию для пространства измеримых функций и F-пространства последовательностей с F-нормой ^{[15]. Здесь под} F-нормой мы понимаем некоторую вещественную функцию на F -пространство с расстоянием такое, что Описанная выше F - норма не является нормой в обычном смысле, поскольку ей не хватает требуемого свойства однородности. ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$

Расстояние Хэмминга вектора от нуля

В метрической геометрии дискретная метрика принимает значение единица для различных точек и ноль в противном случае. При применении по координатам к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга , которое важно в теории кодирования и информации . В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля неоднородно в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единицей, поскольку его ненулевой аргумент приближается к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности. При покомпонентном применении к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая подсчитывает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; опять же, эта неоднородная «норма» разрывна.

В обработке сигналов и статистике Дэвид Донохо ссылался на нулевую « норму » в кавычках. Следуя обозначениям Донохо, нулевая «норма» — это просто количество ненулевых координат или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта «норма» локализована в ограниченном множестве, она является пределом -норм при приближении к 0. Конечно, нулевая «норма» не является истинной нормой, поскольку она не является положительно однородной . Действительно, это даже не F-норма в описанном выше смысле, поскольку она разрывна одновременно и по отдельности по отношению к скалярному аргументу при скалярно-векторном умножении и по отношению к своему векторному аргументу.Злоупотребляя терминологией , некоторые инженеры ^{[ кто? ]} опускаем кавычки Донохо и неуместно называем функцию числа ненулевых функций нормой , повторяя обозначения пространства Лебега измеримых функций . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{0}}$

Бесконечные размеры

Обобщение указанных норм на бесконечное число компонент приводит к и пространствам для с нормами ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1\,,}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

для комплекснозначных последовательностей и функций на соответственно, которые можно далее обобщить (см. меру Хаара ). Эти нормы действительны также в пределе а , дающем высшую норму , и называются и ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

Любой внутренний продукт естественным образом вызывает норму. ${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в статье о банаховом пространстве .

Как правило, эти нормы не дают одинаковых топологий. Например, бесконечномерное пространство дает строго более тонкую топологию , чем бесконечномерное пространство, когда ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle p<q\,.}$

Композитные нормы

Другие нормы могут быть построены путем объединения вышеизложенного; например ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования мы можем определить новую норму, равную ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle \|Ax\|.}$$

определенной ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием параллелограмма).

Есть примеры норм, которые не определяются «поэлементными» формулами. Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в (с центром в нуле) определяет норму (см. § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ниже). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Все приведенные выше формулы также дают нормы без изменений. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Существуют также нормы на пространства матриц (с вещественными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы .

В абстрактной алгебре

Пусть — конечное расширение поля неразделимой степени и пусть оно имеет алгебраическое замыкание. Если различные вложения равны , то теоретическая норма Галуа элемента равна значению . Поскольку эта функция однородна степени , теоретическая норма Галуа не является норма в смысле данной статьи. Однако корень -й степени нормы (при условии, что концепция имеет смысл) является нормой. ^[16] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{\mu },}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ ${\displaystyle [E:k]}$ ${\displaystyle [E:k]}$

Композиционные алгебры

Понятие нормы в композиционных алгебрах не имеет обычных свойств нормы, поскольку допускаются нулевые векторы . Композиционная алгебра состоит из алгебры над полем, инволюции и квадратичной формы, называемой «нормой». ${\displaystyle N(z)}$ ${\displaystyle (A,{}^{*},N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle {}^{*},}$ ${\displaystyle N(z)=zz^{*}}$

Характерной особенностью композиционных алгебр является свойство гомоморфизма : для произведения двух элементов и композиционной алгебры его норма удовлетворяет условиям. В случае алгебр с делением и O норма композиционной алгебры равна квадрату обсуждавшейся выше нормы. В этих случаях нормой является определенная квадратичная форма . В расщепленных алгебрах нормой является изотропная квадратичная форма . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle wz}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$

Характеристики

Для любой нормы векторного пространства справедливо обратное неравенство треугольника : ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.}$$

равны^[17] ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Для норм имеем неравенство Гёльдера ^[18] ${\displaystyle L^{p}}$

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$$

неравенство Коши–Шварца^[18]

$${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.}$$

Иллюстрации единичных кругов в разных нормах.

Каждая норма является полунормой и, следовательно, удовлетворяет всем свойствам последней . В свою очередь, каждая полунорма является сублинейной функцией и, таким образом, удовлетворяет всем свойствам последней . В частности, каждая норма является выпуклой функцией .

Эквивалентность

Понятие единичной окружности (набора всех векторов нормы 1) в разных нормах различно: для 1-нормы единичная окружность представляет собой квадрат, ориентированный ромбом; для 2-нормы (евклидовой нормы) это известный единичный круг ; в то время как для нормы бесконечности это квадрат, выровненный по оси. Для любой -нормы это суперэллипс с конгруэнтными осями (см. сопроводительную иллюстрацию). В силу определения нормы единичная окружность должна быть выпуклой и центрально-симметричной (поэтому, например, единичный шар может быть прямоугольником, но не может быть треугольником, причем для -нормы). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p}$

С точки зрения векторного пространства полунорма определяет топологию пространства, и это топология Хаусдорфа именно тогда, когда полунорма может различать разные векторы, что снова эквивалентно тому, что полунорма является нормой. Определенную таким образом топологию (нормой или полунормой) можно понимать либо в терминах последовательностей, либо в терминах открытых множеств. Говорят, что последовательность векторов сходится по норме к, если : Эквивалентно, топология состоит из всех множеств, которые можно представить как объединение открытых шаров . Если — нормированное пространство, то ^[19] ${\displaystyle \{v_{n}\}}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

Две нормы и в векторном пространстве называются ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ ${\displaystyle X}$эквивалентны, если они порождают одну и ту же топологию,^[9]что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числаитакие, что для всех ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$

^[20] ${\displaystyle p>r\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

В частности,

$${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$

Эквивалентные нормы определяют одни и те же понятия непрерывности и конвергенции, и для многих целей их не нужно различать. Точнее, равномерная структура, определяемая эквивалентными нормами векторного пространства, является равномерно изоморфной .

Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества.

Все полунормы в векторном пространстве можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств . Каждому такому подмножеству соответствует полунорма, называемая калибровкой , определяемая как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{A}}$ ${\displaystyle A,}$

$${\displaystyle p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}}$$

нижняя грань ${\displaystyle \inf _{}}$

$${\displaystyle \left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.}$$

Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальную базу , состоящую из абсолютно выпуклых множеств. Распространенный метод построения такого базиса состоит в использовании семейства полунорм , разделяющих точки : совокупность всех конечных пересечений множеств превращает пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство, так что каждое p является непрерывным . ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{p<1/n\}}$

Такой метод используется для проектирования слабых и слабых* топологий .

Нормальный случай:

Предположим теперь, что он содержит один , поскольку является разделяющим , является нормой и является его открытым единичным шаром . Тогда — абсолютно выпуклая ограниченная окрестность точки 0 и непрерывна. ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p:}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A=\{p<1\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p=p_{A}}$

Обратное утверждение принадлежит Андрею Колмогорову : любое локально выпуклое и локально ограниченное топологическое векторное пространство нормируемо . Именно так:

Если — абсолютно выпуклая ограниченная окрестность точки 0, то калибровка (так что это норма. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g_{X}}$ ${\displaystyle X=\{g_{X}<1\}}$

Смотрите также

• Асимметричная норма  - Обобщение понятия нормы.
• F-полунорма  - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Норма Гауэрса
• Норма Кадека  - все бесконечномерные сепарабельные банаховы пространства гомеоморфны.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов  – метод расчета периодичности
• Расстояние Махаланобиса  - Статистическая мера расстояния
• Величина (математика)  - свойство, определяющее сравнение и упорядочивание.
• Матричная норма  - Норма векторного пространства матриц.
• Расстояние Минковского  - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Функционал Минковского  - функция, составленная из множества.
• Норма оператора  - мера «размера» линейных операторов.
• Паранорма  - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Связь норм и метрик  - Математическое пространство с понятием расстояния.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Полунорма  - неотрицательная вещественнозначная функция в вещественном или комплексном векторном пространстве, удовлетворяющая неравенству треугольника и абсолютно однородная.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Сублинейная функция  - тип функции в линейной алгебре.

Рекомендации

1. Кнапп, AW (2005). Базовый реальный анализ . Биркхойзер. п. [1]. ISBN 978-0-817-63250-2.
2. "Псевдонорма - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 12 мая 2022 г.
3. «Псевдонорма». www.spektrum.de (на немецком языке) . Проверено 12 мая 2022 г.
4. Хайерс, Д.Х. (1 сентября 1939 г.). «Псевдонормированные линейные пространства и абелевы группы». Математический журнал Дьюка . 5 (3). дои : 10.1215/s0012-7094-39-00551-x. ISSN  0012-7094.
5. Пью, CC (2015). Реальный математический анализ . Спрингер. п. стр. 28. ISBN 978-3-319-17770-0. Пруговечки, Э. (1981). Квантовая механика в гильбертовом пространстве . п. страница 20.
6. Кубруслый 2011, с. 200.
7. Рудин, В. (1991). Функциональный анализ . п. 25.
8. Наричи и Бекенштейн, 2011, стр. 120–121.
9. Конрад, Кейт. «Эквивалентность норм» (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Проверено 7 сентября 2020 г.
10. Виланский 2013, стр. 20–21.
11. Вайсштейн, Эрик В. «Векторная норма». mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 г.
12. Чопра, Анил (2012). Динамика структур, 4-е изд . Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-285803-8.
13. Вайсштейн, Эрик В. «Норм». mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 г.
14. За исключением случаев , когда это совпадает с евклидовой нормой и где это тривиально. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{0},}$
15. Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: Линейные системы , Математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), том. 29 (Перевод с польского под ред. Евы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: Издательство Д. Рейделя; PWN — Польское научное издательство, стр. xvi, 524, doi : 10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN. 90-277-2186-6, МР  0920371, OCLC  13064804
16. Ланг, Серж (2002) [1993]. Алгебра (пересмотренное 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 284. ИСБН 0-387-95385-Х.
17. Тревес 2006, стр. 242–243.
18. Голуб, Джин ; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления (Третье изд.). Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 53. ИСБН 0-8018-5413-Х.
19. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 107–113.
20. «Связь между p-нормами». Математический обмен стеками .

Библиография

• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (второе изд.). Бостон: Биркхойзер . ISBN 978-0-8176-4998-2. ОСЛК  710154895.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.