В геометрии тессеракт или 4-куб — это четырёхмерный гиперкуб , аналог двумерного квадрата и трёхмерного куба . [1] Так же, как периметр квадрата состоит из четырех ребер, а поверхность куба состоит из шести квадратных граней , гиперповерхность тессеракта состоит из восьми кубических ячеек , встречающихся под прямым углом . Тессеракт — один из шести выпуклых правильных 4-многогранников .
Тессеракт также называют 8-клеточным , C 8 , (правильным) октахороном или кубической призмой . Это четырехмерный многогранник меры , принятый за единицу гиперобъема. [2] Коксетер называет его многогранником γ 4 . [3] Термин «гиперкуб» без ссылки на размерность часто рассматривается как синоним этого конкретного многогранника .
Оксфордский словарь английского языка относит слово « тессеракт» к книге Чарльза Говарда Хинтона «Новая эра мысли» 1888 года . Этот термин происходит от греческого tessara ( τέσσαρα «четыре») и aktis ( ἀκτίς «луч»), обозначая четыре ребра, идущие от каждой вершины к другим вершинам. Хинтон первоначально написал это слово как тессаракт . [4]
Как правильный многогранник с тремя кубами , сложенными вместе вокруг каждого ребра, он имеет символ Шлефли {4,3,3} с гипероктаэдрической симметрией порядка 384. Построенный как четырехмерная гиперпризма , состоящая из двух параллельных кубов, он может быть назван составным Шлефли. символ {4,3} × {} с порядком симметрии 96. Как дуопризма 4-4 , декартово произведение двух квадратов , его можно назвать составным символом Шлефли {4} × {4} с порядком симметрии 64. В качестве ортотопа он может быть представлен составным символом Шлефли { } × { } × { } × { } или { } 4 с порядком симметрии 16.
Поскольку к каждой вершине тессеракта примыкают четыре ребра, вершинная фигура тессеракта представляет собой правильный тетраэдр . Двойной многогранник тессеракта представляет собой 16-ячеечный символ Шлефли {3,3,4}, с которым его можно объединить, образуя соединение тессеракта и 16-ячеечного .
Все ребра правильного тессеракта имеют одинаковую длину. Это представляет интерес при использовании тессерактов в качестве основы топологии сети для соединения нескольких процессоров в параллельных вычислениях : расстояние между двумя узлами не превышает 4, и существует множество различных путей, позволяющих балансировать вес.
Тессеракт ограничен восемью трехмерными гиперплоскостями . Каждая пара непараллельных гиперплоскостей пересекается, образуя 24 квадратных грани. Три куба и три квадрата пересекаются по каждому ребру. В каждой вершине сходятся четыре куба, шесть квадратов и четыре ребра. Всего тессеракт состоит из 8 кубов, 24 квадратов, 32 ребер и 16 вершин.
Единичный тессеракт имеет длину стороны 1 и обычно считается базовой единицей гиперобъема в 4-мерном пространстве. Единичный тессеракт в декартовой системе координат для 4-мерного пространства имеет две противоположные вершины с координатами [0, 0, 0, 0] и [1, 1, 1, 1] и другие вершины с координатами во всех возможных комбинациях 0. с и 1 с. Это декартово произведение замкнутого единичного интервала [0, 1] по каждой оси.
Иногда единичный тессеракт центрируется в начале координат, чтобы его координаты были более симметричными. Это декартово произведение замкнутого интервала по каждой оси.
Другой обычно удобный тессеракт — это декартово произведение замкнутого интервала [−1, 1] по каждой оси с вершинами в координатах (±1, ±1, ±1, ±1) . Этот тессеракт имеет длину стороны 2 и гиперобъем 2 4 = 16 .
Развертка многогранника называется сетью . Существует 261 отдельная сеть тессеракта. [5] Развертки тессеракта можно посчитать, сопоставив сети с парными деревьями ( дерево вместе с идеальным паросочетанием в его дополнении ).
Построение гиперкубов можно представить следующим образом:
Восемь ячеек тессеракта можно рассматривать (три разных способа) как два переплетенных кольца из четырех кубов. [6]
Тессеракт можно разложить на меньшие 4-многогранники. Это выпуклая оболочка соединения двух полутессерактов ( 16-клеток ). Его также можно триангулировать в 4-мерные симплексы ( неправильные 5 ячеек ), которые имеют общие вершины с тессерактом. Известно, что существуютТаких триангуляций 92 487 256 [7] и что наименьшее количество 4-мерных симплексов в любой из них равно 16. [8]
Разложение тессеракта на экземпляры его характерного симплекса (частная ортосхема с диаграммой Коксетера).) — это самая простая возможная прямая конструкция тессеракта. Характеристическая 5-ячейка 4-куба является фундаментальной областью определяющей группы симметрии тессеракта , группы, которая порождает многогранники B 4 . Характерный симплекс тессеракта непосредственно порождает тессеракт посредством действий группы, отражаясь в собственных ограничивающих гранях (зеркальных стенках ).
Радиус гиперсферы, описанной вокруг правильного многогранника, — это расстояние от центра многогранника до одной из вершин, а для тессеракта этот радиус равен длине его ребра; диаметр сферы, длина диагонали между противоположными вершинами тессеракта, в два раза превышает длину ребра. Лишь немногие однородные многогранники обладают этим свойством, включая четырехмерный тессеракт и 24-клеточный , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . В частности, тессеракт — единственный гиперкуб (кроме нульмерной точки), который является радиально равносторонним . Самая длинная диагональ от вершины к вершине -мерного гиперкуба с единичной длиной ребра равна длине ребра для квадрата и только для тессеракта .
Тессеракт, ориентированный по оси, вписанный в трехмерную сферу единичного радиуса, имеет вершины с координатами.
Для тессеракта с длиной стороны s :
Эта матрица конфигурации представляет собой тессеракт. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всем тессеракте. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. [9] Например, цифра 2 в первом столбце второй строки указывает на то, что в каждом ребре (т. е. на крайних точках) имеется по 2 вершины; цифра 4 во втором столбце первой строки означает, что в каждой вершине сходятся 4 ребра.
Тессеракты можно проецировать в трехмерное и двумерное пространство аналогично проектированию куба в двумерное пространство.
Параллельная проекция тессеракта на ячейку в трехмерное пространство имеет кубическую оболочку. Ближайшая и самая дальняя ячейки проецируются на куб, а остальные шесть ячеек проецируются на шесть квадратных граней куба.
Параллельная проекция тессеракта лицевой стороной вперед в трехмерное пространство имеет кубовидную оболочку. Две пары ячеек выступают на верхнюю и нижнюю половины этой оболочки, а четыре оставшиеся ячейки выступают на боковые грани.
Параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство, параллельная с края, имеет оболочку в форме шестиугольной призмы . Шесть ячеек проецируются на ромбические призмы, которые расположены в шестиугольной призме аналогично тому, как грани трехмерного куба проецируются на шесть ромбов в шестиугольной оболочке при проекции «сначала вершина». Две оставшиеся ячейки выступают на основания призм.
Параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство, параллельная сначала вершине, имеет ромбическую додекаэдрическую оболочку. Две вершины тессеракта проецируются в начало координат. Существует ровно два способа разрезать ромбдодекаэдр на четыре конгруэнтных ромбоэдра , что дает в общей сложности восемь возможных ромбоэдров, каждый из которых представляет собой проецируемый куб тессеракта. Эта проекция также имеет максимальный объем. Одним набором векторов проекции являются u = (1,1,−1,−1) , v = (−1,1,−1,1) , w = (1,−1,−1,1) .
Тессеракт, как и все гиперкубы , замощает евклидово пространство . Самодвойственная тессерактическая сота , состоящая из 4 тессерактов вокруг каждой грани, имеет символ Шлефли {4,3,3,4} . Следовательно, тессеракт имеет двугранный угол 90°. [10]
Радиальная равносторонняя симметрия тессеракта делает его мозаику уникальной регулярной объемноцентрированной кубической решеткой из сфер одинакового размера в любом количестве измерений.
Тессеракт является четвертым в серии гиперкубов :
Тессеракт (8-клеточный) является третьим в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности).
Как однородная дуопризма , тессеракт существует в последовательности однородных дуопризм : { p }×{4}.
Правильный тессеракт, наряду с 16-клеточным , существует в наборе из 15 однородных 4-многогранников с одинаковой симметрией . Тессеракт {4,3,3} существует в последовательности правильных 4-многогранников и сот { p ,3,3} с тетраэдрическими вершинными фигурами {3,3}. Тессеракт также представляет собой последовательность правильных 4-многогранников и сот {4,3, p } с кубическими ячейками .
Правильный комплексный многогранник 4 {4} 2 ,, имеет реальное представление в виде тессеракта или 4-4 дуопризмы в 4-мерном пространстве. 4 {4} 2 имеет 16 вершин и 8 4-ребер. Его симметрия равна 4 [4] 2 , порядок 32. Он также имеет конструкцию более низкой симметрии,, или 4 {}× 4 {}, с симметрией 4 [2] 4 , порядок 16. Это симметрия, если красные и синие 4-ребра считаются различными. [11]
С момента своего открытия четырехмерные гиперкубы стали популярной темой в искусстве, архитектуре и научной фантастике. Яркие примеры включают:
Слово « тессеракт» позже было принято для множества других применений в популярной культуре, в том числе в качестве сюжета в произведениях научной фантастики, часто практически не связанных с четырехмерным гиперкубом; см. Тессеракт (значения) .