Вибрация

Механические колебания около точки равновесия

Один из возможных режимов вибрации круглого барабана (см. другие режимы).

Подвеска автомобиля: Проектирование систем контроля вибрации осуществляется в рамках акустической , автомобильной или машиностроительной инженерии .

Вибрация (от лат. vibrāre  'трясти') — механическое явление, при котором колебания происходят около точки равновесия . Вибрация может быть детерминированной, если колебания можно точно охарактеризовать (например, периодическое движение маятника ) , или случайной , если колебания можно проанализировать только статистически (например, движение шины по гравийной дороге).

Вибрация может быть желательной: например, движение камертона , язычка духового инструмента или губной гармошки , мобильного телефона или диффузора громкоговорителя .

Однако во многих случаях вибрация нежелательна, поскольку она приводит к потере энергии и созданию нежелательных звуков . Например, вибрационные движения двигателей , электродвигателей или любого механического устройства в работе обычно нежелательны. Такие вибрации могут быть вызваны дисбалансом вращающихся частей, неравномерным трением или зацеплением зубьев шестерен . Тщательные конструкции обычно минимизируют нежелательные вибрации.

Исследования звука и вибрации тесно связаны (оба относятся к акустике ). Звук, или волны давления , генерируются вибрирующими структурами (например, голосовыми связками ); эти волны давления также могут вызывать вибрацию структур (например, барабанной перепонки ). Поэтому попытки уменьшить шум часто связаны с проблемами вибрации. ^[1]

Вибрации при обработке являются обычным явлением в процессе субтрактивного производства .

Типы

Свободная вибрация или естественная вибрация происходит, когда механическая система приводится в движение начальным входом и свободно вибрирует. Примерами этого типа вибрации являются оттягивание ребенка назад на качелях и отпускание его или удар по камертону и звон в нем. Механическая система вибрирует на одной или нескольких своих собственных частотах и ​​затухает до неподвижности. Остаточная вибрация свободной вибрации может быть устранена с помощью техники формирования входного сигнала с использованием импульсного вектора s.

Вынужденная вибрация возникает, когда к механической системе применяется изменяющееся во времени возмущение (нагрузка, смещение, скорость или ускорение). Возмущение может быть периодическим и стационарным, переходным или случайным. Периодическое возмущение может быть гармоническим или негармоническим. Примерами таких типов вибрации являются тряска стиральной машины из-за дисбаланса, вибрация транспорта, вызванная двигателем или неровной дорогой, или вибрация здания во время землетрясения. Для линейных систем частота стационарного вибрационного отклика, возникающего в результате применения периодического гармонического входного сигнала, равна частоте приложенной силы или движения, при этом величина отклика зависит от фактической механической системы.

Затухающая вибрация: Когда энергия вибрирующей системы постепенно рассеивается трением и другими сопротивлениями, говорят, что вибрации затухают. Вибрации постепенно уменьшаются или изменяют частоту или интенсивность или прекращаются, и система остается в своем положении равновесия. Примером этого типа вибрации является подвеска транспортного средства, гасимая амортизатором .

Изоляция

Виброизоляция — это предотвращение передачи вибрации от одного компонента системы к другим частям той же системы, как в зданиях или механических системах . ^[2] Вибрация нежелательна во многих областях, в первую очередь в инженерных системах и жилых помещениях, и были разработаны методы для предотвращения передачи вибрации в такие системы. Вибрации распространяются посредством механических волн, и некоторые механические связи проводят вибрации более эффективно, чем другие. Пассивная виброизоляция использует материалы и механические связи, которые поглощают и гасят эти механические волны. Активная виброизоляция включает в себя датчики и приводы, которые создают разрушительные помехи, которые нейтрализуют входящую вибрацию.

Тестирование

Испытание на вибрацию выполняется путем введения функции силы в конструкцию, обычно с помощью некоторого типа вибростенда. В качестве альтернативы, DUT (испытуемое устройство) прикрепляется к «столу» вибростенда. Испытание на вибрацию проводится для изучения реакции испытуемого устройства (DUT) на определенную вибрационную среду. Измеряемым откликом может быть способность функционировать в вибрационной среде, усталостная долговечность, резонансные частоты или выходной звук скрипа и дребезжания ( NVH ). Испытание на скрип и дребезжание проводится с помощью специального типа тихого вибростенда , который производит очень низкие уровни шума во время работы.

Для относительно низкочастотного форсирования (обычно менее 100 Гц) используются сервогидравлические (электрогидравлические) вибростенды. Для более высоких частот (обычно от 5 Гц до 2000 Гц) используются электродинамические вибростенды. Как правило, одна или несколько точек «входа» или «управления», расположенных на стороне DUT вибростенда, поддерживаются на заданном ускорении. ^[1] Другие точки «ответа» могут испытывать более высокие уровни вибрации (резонанс) или более низкие уровни вибрации (антирезонанс или демпфирование), чем контрольные точки. Часто желательно достичь антирезонанса, чтобы система не становилась слишком шумной или чтобы уменьшить нагрузку на определенные части из-за режимов вибрации, вызванных определенными частотами вибрации. ^[3]

Наиболее распространенными типами услуг по испытанию вибрации, проводимыми лабораториями по испытанию вибрации, являются синусоидальные и случайные. Синусоидальные (одна частота за раз) испытания проводятся для исследования структурного отклика тестируемого устройства (DUT). На раннем этапе испытаний вибрации контроллеры вибрационных машин были ограничены только управлением синусоидальным движением, поэтому проводились только испытания синусоид. Позже более сложные аналоговые, а затем и цифровые контроллеры смогли обеспечить случайное управление (все частоты одновременно). Обычно считается, что случайный (все частоты одновременно) тест более точно воспроизводит реальную среду, например, дорожные воздействия на движущийся автомобиль.

Большинство испытаний на вибрацию проводится по «одной оси DUT» одновременно, хотя большая часть реальных вибраций происходит по разным осям одновременно. MIL-STD-810G, выпущенный в конце 2008 года, Метод испытаний 527, требует проведения испытаний с несколькими возбудителями. Испытательное приспособление для вибрации ^[4], используемое для крепления DUT к вибростенду, должно быть рассчитано на диапазон частот спектра испытания на вибрацию. Сложно разработать испытательное приспособление для вибрации, которое дублирует динамический отклик (механическое сопротивление) ^[5] фактического используемого крепления. По этой причине, чтобы обеспечить повторяемость между испытаниями на вибрацию, вибрационные приспособления проектируются безрезонансными ^[5] в диапазоне частот испытания. Как правило, для меньших приспособлений и более низких диапазонов частот проектировщик может нацелиться на конструкцию приспособления, которая свободна от резонансов в диапазоне частот испытания. Это становится сложнее по мере увеличения DUT и увеличения частоты испытания. В этих случаях стратегии многоточечного управления ^[6] могут смягчить некоторые резонансы, которые могут присутствовать в будущем.

Некоторые методы испытаний на вибрацию ограничивают количество перекрестных помех (перемещение точки отклика во взаимно перпендикулярном направлении к испытываемой оси), которые может продемонстрировать приспособление для испытаний на вибрацию. Устройства, специально разработанные для отслеживания или записи вибраций, называются виброскопами .

Анализ

Анализ вибрации (ВА), применяемый в промышленной среде или при техническом обслуживании, направлен на снижение затрат на техническое обслуживание и простоев оборудования за счет обнаружения неисправностей оборудования. ^{[7] [8]} ВА является ключевым компонентом программы мониторинга состояния (СМ) и часто называется предиктивным обслуживанием (ППО). ^[9] Чаще всего ВА используется для обнаружения неисправностей вращающегося оборудования (вентиляторы, двигатели, насосы и коробки передач и т. д.), таких как дисбаланс, несоосность, неисправности подшипников качения и резонансные состояния. ^[10]

VA может использовать единицы смещения, скорости и ускорения, отображаемые в виде временной формы волны (TWF), но чаще всего используется спектр, полученный из быстрого преобразования Фурье TWF. Спектр вибрации предоставляет важную частотную информацию, которая может точно определить неисправный компонент.

Основы анализа вибрации можно понять, изучив простую модель масса-пружина-демпфер . Действительно, даже сложную конструкцию, такую ​​как кузов автомобиля, можно смоделировать как «суммирование» простых моделей масса–пружина–демпфер. Модель масса–пружина–демпфер является примером простого гармонического осциллятора . Математика, используемая для описания его поведения, идентична другим простым гармоническим осцилляторам, таким как цепь RLC .

Примечание: эта статья не включает пошаговые математические выводы, но фокусируется на основных уравнениях и концепциях анализа вибрации. Пожалуйста, обратитесь к ссылкам в конце статьи для получения подробных выводов.

Свободная вибрация без затухания

Простая модель пружины массы

Для начала исследования массы–пружины–демпфера предположим, что демпфирование пренебрежимо мало и что к массе не приложена внешняя сила (т. е. свободная вибрация). Сила, приложенная к массе пружиной, пропорциональна величине растяжения пружины «x» (предполагая, что пружина уже сжата из-за веса массы). Константа пропорциональности k является жесткостью пружины и имеет единицы измерения сила/расстояние (например, фунт-сила/дюйм или Н/м). Отрицательный знак указывает на то, что сила всегда противодействует движению прикрепленной к ней массы:

${\displaystyle F_{s}=-kx.\!}$

Сила, создаваемая массой, пропорциональна ускорению массы, как определено вторым законом движения Ньютона :

${\displaystyle \Sigma \ F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

Сумма сил, действующих на массу, затем порождает это обыкновенное дифференциальное уравнение : ${\displaystyle \ m{\ddot {x}}+kx=0.}$

Простое гармоническое движение системы масса–пружина

Предполагая, что возникновение вибрации начинается с растяжения пружины на расстояние A и ее отпускания, решение приведенного выше уравнения, описывающего движение массы, имеет вид:

${\displaystyle x(t)=A\cos(2\pi f_{n}t).\!}$

Это решение говорит, что он будет колебаться с простым гармоническим движением , которое имеет амплитуду A и частоту f _n . Число f _n называется незатухающей собственной частотой . Для простой системы масса–пружина f _n определяется как:

${\displaystyle f_{n}={1 \over {2\pi }}{\sqrt {k \over m}}.\!}$

Примечание: угловая частота ω (ω=2 π f ) с единицами радиан в секунду часто используется в уравнениях, поскольку это упрощает уравнения, но обычно преобразуется в обычную частоту (единицы Гц или эквивалентно циклы в секунду) при указании частоты системы. Если масса и жесткость системы известны, приведенная выше формула может определить частоту, с которой система вибрирует после того, как она приведена в движение начальным возмущением. Каждая вибрирующая система имеет одну или несколько собственных частот, на которых она вибрирует сразу после возмущения. Это простое соотношение можно использовать для понимания в целом того, что происходит с более сложной системой, когда мы добавляем массу или жесткость. Например, приведенная выше формула объясняет, почему, когда автомобиль или грузовик полностью загружен, подвеска ощущается «мягче», чем без нагрузки — масса увеличилась, что снизило собственную частоту системы.

Что заставляет систему вибрировать: с точки зрения сохранения энергии

Колебательное движение можно понять с точки зрения сохранения энергии . В приведенном выше примере пружина была растянута на величину x, и поэтому в пружине сохраняется некоторая потенциальная энергия ( ). После освобождения пружина стремится вернуться в свое нерастянутое состояние (которое является состоянием минимальной потенциальной энергии) и в процессе ускоряет массу. В точке, где пружина достигла своего нерастянутого состояния, вся потенциальная энергия, которую мы передали ей, растягивая ее, была преобразована в кинетическую энергию ( ). Затем масса начинает замедляться, потому что теперь она сжимает пружину и в процессе переводит кинетическую энергию обратно в ее потенциал. Таким образом, колебание пружины равнозначно переводу вперед и назад кинетической энергии в потенциальную энергию. В этой простой модели масса продолжает колебаться вечно с той же величиной, но в реальной системе затухание всегда рассеивает энергию, в конечном итоге приводя пружину в состояние покоя. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

Свободная вибрация с демпфированием

Модель масса–пружина–демпфер

Когда к модели добавляется «вязкий» демпфер, это выводит силу, пропорциональную скорости массы. Демпфирование называется вязким, потому что оно моделирует эффекты жидкости внутри объекта. Константа пропорциональности c называется коэффициентом демпфирования и имеет единицы силы по скорости (фунт-сила с/дюйм или Н с/м).

${\displaystyle F_{\text{d}}=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}.}$

Суммирование сил, действующих на массу, приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0.}$

Решение этого уравнения зависит от величины затухания. Если затухание достаточно мало, система все еще вибрирует, но в конечном итоге со временем перестает вибрировать. Этот случай называется недостаточным затуханием, что важно в анализе вибрации. Если затухание увеличивается только до точки, где система больше не колеблется, система достигла точки критического затухания . Если затухание увеличивается сверх критического затухания, система перезатухает . Значение, которого должен достичь коэффициент затухания для критического затухания в модели масса-пружина-демпфер, равно:

${\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {\text{km}}}.}$

Для характеристики величины затухания в системе используется отношение, называемое коэффициентом затухания (также известное как коэффициент затухания и % критического затухания). Этот коэффициент затухания представляет собой просто отношение фактического затухания к величине затухания, необходимой для достижения критического затухания. Формула для коэффициента затухания ( ) модели масса-пружина-демпфер: ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {\text{km}}}}.}$

Например, металлические конструкции (например, фюзеляжи самолетов, коленчатые валы двигателей) имеют коэффициенты демпфирования менее 0,05, тогда как автомобильные подвески находятся в диапазоне 0,2–0,3. Решение для недодемпфированной системы для модели масса-пружина-демпфер следующее:

${\displaystyle x(t)=Xe^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t-\phi \right),\qquad \omega _{n}=2\pi f_{n}.}$

Свободная вибрация с коэффициентом затухания 0,1 и 0,3

Значение X , начальная величина и сдвиг фаз определяются степенью растяжения пружины. Формулы для этих значений можно найти в справочных материалах. ${\displaystyle \phi ,}$

Затухающие и незатухающие собственные частоты

Основные моменты, которые следует отметить в решении, — это экспоненциальный член и функция косинуса. Экспоненциальный член определяет, насколько быстро система «затухает» — чем больше коэффициент затухания, тем быстрее она затухает до нуля. Функция косинуса — это осциллирующая часть решения, но частота колебаний отличается от незатухающего случая.

Частота в этом случае называется «затухающей собственной частотой» и связана с незатухающей собственной частотой следующей формулой: ${\displaystyle f_{\text{d}},}$

${\displaystyle f_{\text{d}}=f_{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

Затухающая собственная частота меньше незатухающей собственной частоты, но для многих практических случаев коэффициент затухания относительно мал, и, следовательно, разница незначительна. Поэтому затухающие и незатухающие описания часто опускаются при указании собственной частоты (например, при коэффициенте затухания 0,1 затухающая собственная частота всего на 1% меньше незатухающей).

Графики сбоку показывают, как коэффициенты затухания 0,1 и 0,3 влияют на то, как система «звенит» со временем. На практике часто экспериментально измеряют свободную вибрацию после удара (например, молотком), а затем определяют собственную частоту системы, измеряя скорость колебаний, а также коэффициент затухания, измеряя скорость затухания. Собственная частота и коэффициент затухания важны не только при свободных колебаниях, но и характеризуют, как система ведет себя при вынужденных колебаниях.

^[11]

Принудительная вибрация с демпфированием

Поведение модели демпфера с пружинной массой меняется при добавлении гармонической силы. Сила этого типа может, например, генерироваться вращающимся дисбалансом.

${\displaystyle F=F_{0}\sin(2\pi ft).\!}$

Суммирование сил, действующих на массу, приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\sin(2\pi ft).}$

Стационарное решение этой задачи можно записать в виде:

${\displaystyle x(t)=X\sin(2\pi ft+\phi ).\!}$

Результат показывает, что масса будет колебаться с той же частотой f приложенной силы, но со сдвигом фаз ${\displaystyle \phi .}$

Амплитуда вибрации «X» определяется по следующей формуле.

${\displaystyle X={F_{0} \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}}.}$

Где «r» определяется как отношение частоты гармонической силы к незатухающей собственной частоте модели масса–пружина–демпфер.

${\displaystyle r={\frac {f}{f_{n}}}.}$

Фазовый сдвиг определяется следующей формулой. ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {-2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

График этих функций, называемый «частотной характеристикой системы», представляет собой одну из важнейших характеристик вынужденной вибрации. В слабозатухающей системе, когда частота воздействия близка к собственной частоте ( ), амплитуда вибрации может стать чрезвычайно высокой. Это явление называется резонансом (впоследствии собственная частота системы часто упоминается как резонансная частота). В системах подшипников ротора любая скорость вращения, возбуждающая резонансную частоту, упоминается как критическая скорость . ${\displaystyle r\approx 1}$

Если в механической системе возникает резонанс, он может быть очень вредным, что может привести к возможному отказу системы. Следовательно, одной из основных причин анализа вибрации является прогнозирование того, когда может возникнуть этот тип резонанса, а затем определение мер, которые следует предпринять для его предотвращения. Как показывает график амплитуды, добавление демпфирования может значительно снизить величину вибрации. Кроме того, величину можно уменьшить, если собственную частоту можно сместить от частоты силы, изменив жесткость или массу системы. Если систему нельзя изменить, возможно, можно сместить частоту силы (например, изменив скорость машины, генерирующей силу).

Ниже приведены некоторые другие моменты, касающиеся вынужденной вибрации, показанной на графиках частотной характеристики.

• При заданном соотношении частот амплитуда вибрации X прямо пропорциональна амплитуде силы (например, если удвоить силу, вибрация удвоится). ${\displaystyle F_{0}}$
• При небольшом или отсутствующем демпфировании вибрация совпадает по фазе с частотой воздействия, когда отношение частот r  < 1, и сдвинута по фазе на 180 градусов, когда отношение частот r  > 1.
• При r  ≪ 1 амплитуда представляет собой просто прогиб пружины под действием статической силы. Этот прогиб называется статическим прогибом. Следовательно, при r  ≪ 1 влияние демпфера и массы минимально. ${\displaystyle F_{0}.}$ ${\displaystyle \delta _{st}.}$
• Когда r  ≫ 1, амплитуда вибрации фактически меньше статического прогиба. В этой области сила, создаваемая массой ( F  =  ma ), является доминирующей, поскольку ускорение, воспринимаемое массой, увеличивается с частотой. Поскольку прогиб, воспринимаемый пружиной, X , в этой области уменьшается, сила, передаваемая пружиной ( F  =  kx ) основанию, уменьшается. Таким образом, система масса–пружина–демпфер изолирует гармоническую силу от монтажного основания – это называется виброизоляцией . Большее демпфирование фактически снижает эффекты виброизоляции, когда r  ≫ 1, поскольку демпфирующая сила ( F  =  cv ) также передается основанию. ${\displaystyle \delta _{st}.}$
• Каким бы ни было демпфирование, при соотношении частот r  = 1 вибрация сдвинута по фазе на 90 градусов относительно частоты воздействия, что очень полезно при определении собственной частоты системы.
• Каким бы ни было затухание, при r  ≫ 1 вибрация сдвинута по фазе на 180 градусов относительно частоты воздействия.
• Каким бы ни было затухание, при r  ≪ 1 вибрация совпадает по фазе с частотой воздействия

Причины резонанса

Резонанс легко понять, если рассматривать пружину и массу как элементы хранения энергии — масса, хранящая кинетическую энергию, а пружина, хранящая потенциальную энергию. Как обсуждалось ранее, когда на массу и пружину не действует внешняя сила, они передают энергию вперед и назад со скоростью, равной собственной частоте. Другими словами, для эффективной перекачки энергии как в массу, так и в пружину требуется, чтобы источник энергии подавал энергию со скоростью, равной собственной частоте. Приложение силы к массе и пружине похоже на подталкивание ребенка на качелях: толчок необходим в нужный момент, чтобы заставить качели качаться все выше и выше. Как и в случае с качелями, приложенная сила не должна быть высокой, чтобы получить большие движения, а должна просто добавлять энергию в систему.

Демпфер, вместо того, чтобы хранить энергию, рассеивает ее. Поскольку сила демпфирования пропорциональна скорости, чем больше движение, тем больше демпфер рассеивает энергию. Следовательно, существует точка, когда энергия, рассеиваемая демпфером, равна энергии, добавленной силой. В этой точке система достигает своей максимальной амплитуды и будет продолжать вибрировать на этом уровне до тех пор, пока приложенная сила остается прежней. Если демпфирования нет, то нечему рассеивать энергию, и, теоретически, движение будет продолжать расти до бесконечности.

Применение «комплексных» сил к модели масса–пружина–демпфер

В предыдущем разделе к модели была применена только простая гармоническая сила, но ее можно значительно расширить, используя два мощных математических инструмента. Первый — это преобразование Фурье , которое берет сигнал как функцию времени ( временная область ) и разбивает его на гармонические компоненты как функцию частоты ( частотная область ). Например, прикладывая силу к модели масса–пружина–демпфер, которая повторяет следующий цикл — силу, равную 1  ньютону в течение 0,5 секунды, а затем отсутствие силы в течение 0,5 секунды. Этот тип силы имеет форму прямоугольной волны частотой 1 Гц .

Как квадратная волна 1 Гц может быть представлена ​​как сумма синусоидальных волн (гармоник) и соответствующего спектра частот. Щелкните и перейдите к полному разрешению для анимации

Преобразование Фурье прямоугольной волны генерирует частотный спектр , который представляет величину гармоник, составляющих прямоугольную волну (фаза также генерируется, но обычно имеет меньшее значение и поэтому часто не отображается). Преобразование Фурье также может использоваться для анализа непериодических функций , таких как переходные процессы (например, импульсы) и случайные функции. Преобразование Фурье почти всегда вычисляется с использованием компьютерного алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) в сочетании с оконной функцией .

В случае нашей силы прямоугольной волны первый компонент на самом деле является постоянной силой 0,5 ньютона и представлен значением при 0 Гц в спектре частот. Следующий компонент — это синусоида 1 Гц с амплитудой 0,64. Это показано линией при 1 Гц. Остальные компоненты находятся на нечетных частотах, и для создания идеальной прямоугольной волны требуется бесконечное количество синусоидальных волн. Следовательно, преобразование Фурье позволяет интерпретировать силу как сумму синусоидальных сил, применяемых вместо более «сложной» силы (например, прямоугольной волны).

В предыдущем разделе решение вибрации было дано для одной гармонической силы, но преобразование Фурье в общем случае дает несколько гармонических сил. Второй математический инструмент, принцип суперпозиции , позволяет суммировать решения от нескольких сил, если система линейна . В случае модели пружина–масса–демпфер система линейна, если сила пружины пропорциональна смещению, а демпфирование пропорционально скорости в интересующем диапазоне движения. Следовательно, решение задачи с прямоугольной волной заключается в суммировании прогнозируемой вибрации от каждой из гармонических сил, обнаруженных в частотном спектре прямоугольной волны.

Модель частотной характеристики

Решение проблемы вибрации можно рассматривать как отношение вход/выход – где сила является входом, а выход – вибрацией. Представление силы и вибрации в частотной области (величина и фаза) позволяет получить следующее отношение:

${\displaystyle X(i\omega )=H(i\omega )\cdot F(i\omega ){\text{ or }}H(i\omega )={X(i\omega ) \over F(i\omega )}.}$

${\displaystyle H(i\omega )}$называется функцией частотного отклика (также называемой передаточной функцией , но технически не такой точной) и имеет как амплитудную, так и фазовую составляющую (если представлена ​​в виде комплексного числа , то действительную и мнимую составляющую). Величина функции частотного отклика (FRF) была представлена ​​ранее для системы масса–пружина–демпфер.

${\displaystyle |H(i\omega )|=\left|{X(i\omega ) \over F(i\omega )}\right|={1 \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}},{\text{ where }}r={\frac {f}{f_{n}}}={\frac {\omega }{\omega _{n}}}.}$

Фаза FRF ранее также была представлена ​​как:

${\displaystyle \angle H(i\omega )=-\arctan \left({\frac {2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

Модель частотной характеристики

Например, вычисление FRF для системы масса–пружина–демпфер с массой 1 кг, жесткостью пружины 1,93 Н/мм и коэффициентом затухания 0,1. Значения пружины и массы дают собственную частоту 7 Гц для этой конкретной системы. Применение квадратной волны 1 Гц из более раннего примера позволяет рассчитать прогнозируемую вибрацию массы. Рисунок иллюстрирует результирующую вибрацию. В этом примере происходит так, что четвертая гармоника квадратной волны приходится на 7 Гц. Поэтому частотная характеристика массы–пружины–демпфера выдает высокую вибрацию 7 Гц, даже если входная сила имела относительно низкую гармонику 7 Гц. Этот пример подчеркивает, что результирующая вибрация зависит как от функции силы, так и от системы, к которой приложена сила.

На рисунке также показано представление временной области результирующей вибрации. Это делается путем выполнения обратного преобразования Фурье, которое преобразует данные частотной области во временную область. На практике это делается редко, поскольку частотный спектр предоставляет всю необходимую информацию.

Частотная функция отклика (FRF) не обязательно должна рассчитываться на основе знания массы, демпфирования и жесткости системы, но может быть измерена экспериментально. Например, если применяется известная сила в диапазоне частот и измеряются связанные с ней вибрации, то можно рассчитать частотную функцию отклика, тем самым характеризуя систему. Этот метод используется в области экспериментального модального анализа для определения характеристик вибрации конструкции.

Системы с несколькими степенями свободы и формы колебаний

Модель с двумя степенями свободы

Простая модель масса–пружина–демпфер является основой анализа вибрации. Описанная выше модель называется моделью с одной степенью свободы (SDOF), поскольку предполагается, что масса движется только вверх и вниз. В более сложных системах система должна быть дискретизирована на большее количество масс, которые движутся более чем в одном направлении, добавляя степени свободы. Основные концепции множественных степеней свободы (MDOF) можно понять, рассмотрев всего лишь модель с двумя степенями свободы, как показано на рисунке.

Уравнения движения системы 2DOF имеют вид:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x_{2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.\!}$

Это можно переписать в матричном формате:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x_{1}}}\\{\ddot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{Bmatrix}}.}$

Более компактную форму этого матричного уравнения можно записать как:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f\end{Bmatrix}}}$

где и симметричные матрицы, называемые соответственно матрицами массы, демпфирования и жесткости. Матрицы являются квадратными матрицами NxN, где N — число степеней свободы системы. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}}$

Следующий анализ включает случай, когда нет демпфирования и нет приложенных сил (т.е. свободная вибрация). Решение вязко-демпфированной системы несколько сложнее. ^[12]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0.}$

Это дифференциальное уравнение можно решить, предположив следующий тип решения:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}.}$

Примечание: Использование экспоненциального решения — это математический трюк, используемый для решения линейных дифференциальных уравнений. Используя формулу Эйлера и взяв только действительную часть решения, мы получаем то же самое косинусное решение для системы с 1 степенью свободы. Экспоненциальное решение используется только потому, что его проще обрабатывать математически. ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}}$

Тогда уравнение принимает вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}=0.}$

Поскольку не может равняться нулю, уравнение сводится к следующему. ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

Задача на собственные значения

Это относится к проблеме собственных значений в математике и может быть представлено в стандартном формате путем предварительного умножения уравнения на ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0}$

и если: и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

Решение задачи приводит к N собственным значениям (т.е. ), где N соответствует числу степеней свободы. Собственные значения обеспечивают собственные частоты системы. Когда эти собственные значения подставляются обратно в исходный набор уравнений, значения , соответствующие каждому собственному значению, называются собственными векторами . Эти собственные векторы представляют формы мод системы. Решение задачи на собственные значения может быть довольно громоздким (особенно для задач со многими степенями свободы), но, к счастью, большинство программ математического анализа имеют процедуры нахождения собственных значений. ${\displaystyle \omega _{1}^{2},\omega _{2}^{2},\cdots \omega _{N}^{2}}$ ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}}$

Собственные значения и собственные векторы часто записываются в следующем матричном формате и описывают модальную модель системы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\omega _{N}^{2}\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\cdots {\begin{Bmatrix}\psi _{N}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

Простой пример с использованием модели 2 DOF может помочь проиллюстрировать концепции. Пусть обе массы имеют массу 1 кг, а жесткость всех трех пружин равна 1000 Н/м. Тогда матрица массы и жесткости для этой задачи будет:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

Затем ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

Собственные значения для этой задачи, полученные с помощью процедуры нахождения собственных значений, следующие:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1000&0\\0&3000\end{bmatrix}}.}$

Собственные частоты в единицах герц тогда (помним ) и ${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle \scriptstyle f_{1}=5.033\mathrm {\ Hz} }$ ${\displaystyle \scriptstyle f_{2}=8.717{\text{ Hz}}.}$

Две формы колебаний для соответствующих собственных частот имеют вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}-0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{1}{\begin{Bmatrix}0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}.}$

Поскольку система является системой с 2 ​​степенями свободы, существуют две моды с соответствующими собственными частотами и формами. Векторы формы моды не являются абсолютным движением, а просто описывают относительное движение степеней свободы. В нашем случае первый вектор формы моды говорит, что массы движутся вместе в фазе, поскольку они имеют одинаковое значение и знак. В случае второго вектора формы моды каждая масса движется в противоположном направлении с одинаковой скоростью.

Иллюстрация проблемы с несколькими степенями свободы

При наличии большого количества степеней свободы одним из методов визуализации форм мод является их анимация с использованием программного обеспечения для структурного анализа, такого как Femap , ANSYS или VA One от ESI Group . Пример анимации форм мод показан на рисунке ниже для консольной Ɪ-балки , как показано с использованием модального анализа в ANSYS. В этом случае метод конечных элементов использовался для генерации аппроксимации матриц массы и жесткости путем создания сетки интересующего объекта с целью решения дискретной задачи собственных значений . Обратите внимание, что в этом случае метод конечных элементов обеспечивает аппроксимацию сетчатой ​​поверхности (для которой существует бесконечное количество мод и частот колебаний). Следовательно, эта относительно простая модель, которая имеет более 100 степеней свободы и, следовательно, столько же собственных частот и форм мод, обеспечивает хорошее приближение для первых собственных частот и мод ^† . Как правило, для практических приложений важны только первые несколько мод.

^ Обратите внимание, что при выполнении численной аппроксимации любой математической модели необходимо убедиться в сходимости интересующих параметров.

Проблема с несколькими степенями свободы преобразована в проблему с одной степенями свободы

Собственные векторы обладают очень важными свойствами, называемыми свойствами ортогональности. Эти свойства могут быть использованы для значительного упрощения решения моделей с несколькими степенями свободы. Можно показать, что собственные векторы обладают следующими свойствами:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$и являются диагональными матрицами , которые содержат значения модальной массы и жесткости для каждой из мод. (Примечание: поскольку собственные векторы (формы мод) могут быть произвольно масштабированы, свойства ортогональности часто используются для масштабирования собственных векторов, так что значение модальной массы для каждой моды равно 1. Таким образом, матрица модальной массы является единичной матрицей .) ${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$

Эти свойства можно использовать для значительного упрощения решения моделей с несколькими степенями свободы, выполнив следующее преобразование координат.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}.}$

Использование этого преобразования координат в исходном дифференциальном уравнении свободных колебаний приводит к следующему уравнению.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Используя свойства ортогональности, умножаем это уравнение предварительно на ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Свойства ортогональности упрощают это уравнение до:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Это уравнение является основой анализа вибрации для систем с несколькими степенями свободы. Похожий тип результата может быть получен для демпфированных систем. ^[12] Ключевым моментом является то, что матрицы модальной массы и жесткости являются диагональными матрицами, и поэтому уравнения были «развязаны». Другими словами, проблема была преобразована из большой громоздкой проблемы с несколькими степенями свободы во множество проблем с одной степенью свободы, которые могут быть решены с использованием тех же методов, описанных выше.

Решение относительно x заменяется решением относительно q , называемых модальными координатами или модальными факторами участия.

Возможно, будет понятнее, если записать так: ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}}=q_{1}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{3}+\cdots +q_{N}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{N}.}$

Записанное в этой форме, можно увидеть, что вибрация на каждой из степеней свободы является просто линейной суммой форм мод. Более того, то, насколько каждая мода «участвует» в конечной вибрации, определяется q, ее модальным фактором участия.

Режим твердого тела

Неограниченная система с несколькими степенями свободы испытывает как трансляцию жесткого тела, так и/или вращение и вибрацию. Существование моды жесткого тела приводит к нулевой собственной частоте. Соответствующая форма моды называется модой жесткого тела.

Смотрите также

• Акустическая инженерия
• Антивибрационный состав
• Балансировочный станок
• Базовая изоляция
• Амортизация
• Критическая скорость
• Коэффициент затухания
• Метод Данкерли
• Сейсмостойкое строительство
• Эластичный маятник
• Быстрое преобразование Фурье
• Машиностроение
• Механический резонанс
• Модальный анализ
• Форма моды
• Шум и вибрация на морских судах
• Шум, вибрация и резкость
• Паллестезия
• Пассивная компенсация вертикальной качки
• Маятник
• Квантовая вибрация
• Случайная вибрация
• Качество езды
• Коэффициент Рэлея в анализе колебаний
• Шейкер (испытательное устройство)
• Шок
• Регистратор данных ударов и вибрации
• Простой гармонический осциллятор
• Звук
• Структурная акустика
• Структурная динамика
• Балансировка шин
• Крутильные колебания
• Настроенный инерционный демпфер
• Калибратор вибрации
• Контроль вибрации
• Виброизоляция
• Волна
• Вибрация всего тела

Ссылки

1. Тастин, Уэйн. Где разместить контрольный акселерометр: одно из самых важных решений при разработке случайных вибрационных испытаний также является самым игнорируемым , EE-Evaluation Engineering, 2006
2. Эскудье, Марсель; Аткинс, Тони (2019). Словарь по машиностроению (2-е изд.). Oxford University Press. doi : 10.1093/acref/9780198832102.001.0001. ISBN 978-0-19-883210-2.
3. "Polytec InFocus 1/2007" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2019-07-24 . Получено 2019-07-24 .
4. Тони Араужо. Эволюция автомобильного виброоборудования , EE-Evaluation Engineering, 2019
5. Blanks, HS, «Методы эквивалентности для вибрационных испытаний», SVIC Notes, стр. 17.
6. Араужо, Т. и Яо, Б., «Квалификация характеристик виброприспособлений — обзор передового опыта автомобильной промышленности», Технический документ SAE 2020-01-1065, 2020, https://doi.org/10.4271/2020-01-1065.
7. Кроуфорд, Арт; Упрощенный справочник по анализу вибрации
8. Эшлеман, Р. 1999, Основные вибрации машин: Введение в испытания машин, анализ и мониторинг.
9. Институт Мёбиуса; Категория 2 аналитика вибрации – Курсовые заметки 2013 г.
10. "Важность анализа вибрации при техническом обслуживании". 2021-01-05 . Получено 2021-01-08 .
11. Симионеску, П.А. (2014). Компьютерные инструменты построения графиков и моделирования для пользователей AutoCAD (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.
12. Maia, Silva. Теоретический и экспериментальный модальный анализ , Research Studies Press Ltd., 1997, ISBN 0-471-97067-0 

Дальнейшее чтение

• Язык, Бенсон, Принципы вибрации , Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-514246-2 
• Инман, Дэниел Дж., Инженерная вибрация , Prentice Hall, 2001, ISBN 0-13-726142-X 
• Томпсон, У. Т., Теория колебаний , Nelson Thornes Ltd, 1996, ISBN 0-412-78390-8 
• Хартог, Ден, Механические колебания , Dover Publications, 1985, ISBN 0-486-64785-4 
• Рейнольдс, Дуглас Д. (2016). Инженерные принципы механической вибрации (4-е изд.). Блумингтон, Индиана, США: Trafford On Demand Publishing. стр. 485. ISBN 978-1-4907-1437-0.
• [1]
• Институт охраны труда Немецкого социального страхования от несчастных случаев : Вибрация всего тела и рук
• Манариккал, И., Эльсаха, Ф., Мба, Д. и Лайла, Д. Динамическое моделирование планетарных редукторов с треснувшими зубьями с использованием вибрационного анализа, (2019) Достижения в области мониторинга состояния машин в нестационарных условиях, стр. 240–250, Springer, Швейцария; [2]

Внешние ссылки

• Бесплатные таблицы Excel для оценки модальных параметров
• Справочник по анализу вибрации – Институт Мебиуса
• Мониторинг состояния и защита оборудования – Siemens AG