Шестиугольник

Форма с шестью сторонами

В геометрии шестиугольник (от греч. ἕξ , hex , что означает «шесть», и γωνία , gonía , что означает «угол, угол») — шестиугольник . [ ^1] Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника равна 720°.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник имеет символ Шлефли {6} ^[2] и может быть также построен как усеченный равносторонний треугольник t {3}, в котором чередуются два типа ребер.

Правильный шестиугольник определяется как шестиугольник, который является как равносторонним , так и равноугольным . Он является бицентрическим , что означает, что он является как вписанным (имеет описанную окружность), так и касательным (имеет вписанную окружность).

Общая длина сторон равна радиусу описанной окружности , который равен произведению апофемы (радиуса вписанной окружности ). Все внутренние углы равны 120 градусам . Правильный шестиугольник имеет шесть вращательных симметрий ( вращательная симметрия шестого порядка ) и шесть зеркальных симметрий ( шесть осей симметрии ), составляющих диэдральную группу D6 . Самые длинные диагонали правильного шестиугольника, соединяющие диаметрально противоположные вершины _, в два раза больше длины одной стороны. Из этого можно видеть, что треугольник с вершиной в центре правильного шестиугольника и разделяющий одну сторону с шестиугольником, является равносторонним , и что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников. ${\displaystyle {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$

Подобно квадратам и равносторонним треугольникам , правильные шестиугольники подходят друг к другу без каких-либо зазоров, чтобы замостить плоскость (три шестиугольника встречаются в каждой вершине), и поэтому полезны для построения мозаик . Ячейки пчелиных сот являются шестиугольными по этой причине, а также потому, что форма позволяет эффективно использовать пространство и строительные материалы. Диаграмма Вороного правильной треугольной решетки представляет собой сотовую мозаику шестиугольников.

Параметры

R = радиус описанной окружности ; r = радиус вписанной окружности ; t = длина стороны

Максимальный диаметр (соответствующий длинной диагонали шестиугольника), D , в два раза больше максимального радиуса или радиуса описанной окружности , R , который равен длине стороны, t . Минимальный диаметр или диаметр вписанной окружности (расстояние между параллельными сторонами, расстояние между плоскостями, короткая диагональ или высота при опирании на плоское основание), d , в два раза больше минимального радиуса или вписанного радиуса , r . Максимумы и минимумы связаны одним и тем же коэффициентом:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t}$   и, аналогично, ${\displaystyle d={\frac {\sqrt {3}}{2}}D.}$

Площадь правильного шестиугольника

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\[3pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\[3pt]&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}}$

Для любого правильного многоугольника площадь также может быть выражена через апофему a и периметр p . Для правильного шестиугольника они задаются как a = r и p , так что ${\displaystyle {}=6R=4r{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}}$

Правильный шестиугольник заполняет часть описанной около него окружности . ${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270}$

Если правильный шестиугольник имеет последовательные вершины A, B, C, D, E, F и если P — любая точка описанной окружности между B и C, то PE + PF = PA + PB + PC + PD .

Из отношения радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности следует , что отношение высоты к ширине правильного шестиугольника составляет 1:1,1547005; то есть шестиугольник с большой диагональю 1,0000000 будет иметь расстояние между параллельными сторонами 0,8660254.

Точка на плоскости

Для произвольной точки на плоскости правильного шестиугольника с радиусом описанной окружности , расстояния которой до центра тяжести правильного шестиугольника и его шести вершин равны и соответственно, имеем ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).}$

Если — расстояния от вершин правильного шестиугольника до любой точки его описанной окружности, то ^[3] ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.}$

Симметрия

Шесть линий отражения правильного шестиугольника с симметрией Dih ₆ или r12 имеют порядок 12.

Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в средней колонке обозначены как g для их центральных порядков инерции. Полная симметрия правильной формы обозначена r12 , а отсутствие симметрии обозначено a1 .

Правильный шестиугольник имеет симметрию D _6. Существует 16 подгрупп. С точностью до изоморфизма их 8: сама (D ₆ ), 2 двугранные: (D _3, D ₂ ), 4 циклические : (Z ₆ , Z ₃ , Z ₂ , Z ₁ ) и тривиальная (e)

Эти симметрии выражают девять различных симметрий правильного шестиугольника. Джон Конвей маркирует их буквой и порядком группы. ^[4] r12 — полная симметрия, а a1 — отсутствие симметрии. p6 — изогональный шестиугольник, построенный тремя зеркалами, может чередовать длинные и короткие ребра, и d6 — изотоксальный шестиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершинами, чередующими два разных внутренних угла. Эти две формы являются дуальными друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестиугольника. Формы i4 — это правильные шестиугольники, сплющенные или вытянутые вдоль одного направления симметрии. Его можно рассматривать как вытянутый ромб , в то время как d2 и p2 можно рассматривать как горизонтально и вертикально вытянутые воздушные змеи . Шестиугольники g2 с параллельными противоположными сторонами также называются шестиугольными параллелогонами .

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g6 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Шестиугольники симметрии g2 , i4 , и r12 , как параллелогонов могут замостить евклидову плоскость переносом. Другие формы шестиугольников могут замостить плоскость с различными ориентациями.

Группы А2 и Г2

6 корней простой группы Ли A2 , представленные диаграммой Дынкина , находятся в правильной шестиугольной форме. Два простых корня имеют угол 120° между собой.

12 корней исключительной группы Ли G2 , представленные диаграммой Дынкина также находятся в шестиугольной форме. Два простых корня двух длин имеют угол 150° между собой.

Вскрытие

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на 1 ⁄ 2 m ( m − 1) параллелограммов. ^[5] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Это разложение правильного шестиугольника основано на проекции многоугольника Петри куба с 3 из 6 квадратных граней. Другие параллелогоны и проективные направления куба разрезаются внутри прямоугольных кубоидов .

Связанные полигоны и мозаики

Правильный шестиугольник имеет символ Шлефли {6}. Правильный шестиугольник является частью правильной шестиугольной мозаики {6,3} с тремя шестиугольными гранями вокруг каждой вершины.

Правильный шестиугольник также может быть создан как усеченный равносторонний треугольник с символом Шлефли t{3}. Рассматриваемая с двумя типами (цветами) ребер, эта форма имеет только симметрию _{D3 .}

Усеченный шестиугольник , t{6}, является двенадцатиугольником , {12}, с чередующимися двумя типами (цветами) ребер. Чередующийся шестиугольник, h{6}, является равносторонним треугольником , {3}. Правильный шестиугольник может быть представлен в форме звезды с равносторонними треугольниками на его ребрах, создавая гексаграмму . Правильный шестиугольник может быть разрезан на шесть равносторонних треугольников , если добавить центральную точку. Этот шаблон повторяется в правильной треугольной мозаике .

Правильный шестиугольник можно расширить до правильного двенадцатиугольника , добавляя вокруг него чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники . Этот шаблон повторяется в ромботригексагональной мозаике .

Самопересекающиеся шестиугольники

Существует шесть самопересекающихся шестиугольников с расположением вершин правильного шестиугольника:

Шестиугольные структуры

Дорога гигантов крупным планом

От пчелиных сот до Дороги гигантов , шестиугольные узоры распространены в природе из-за их эффективности. В шестиугольной сетке каждая линия настолько коротка, насколько это возможно, если большая площадь должна быть заполнена наименьшим количеством шестиугольников. Это означает, что соты требуют меньше воска для построения и приобретают большую прочность при сжатии .

Неправильные шестиугольники с параллельными противоположными гранями называются параллелогонами и также могут замостить плоскость переносом. В трех измерениях шестиугольные призмы с параллельными противоположными гранями называются параллелоэдрами и могут замостить трехмерное пространство переносом.

Мозаики из шестиугольников

Помимо правильного шестиугольника, который определяет уникальную мозаику плоскости, любой неправильный шестиугольник, удовлетворяющий критерию Конвея , будет замощать плоскость.

Шестиугольник, вписанный в коническое сечение

Теорема Паскаля (также известная как «Теорема о мистическом гексаграмме») утверждает, что если произвольный шестиугольник вписан в любое коническое сечение и пары противоположных сторон продолжены до встречи, то три точки пересечения будут лежать на прямой линии — «линии Паскаля» этой конфигурации.

Циклический шестиугольник

Шестиугольник Лемуана — это вписанный в окружность шестиугольник с вершинами, заданными шестью пересечениями сторон треугольника и тремя прямыми, параллельными сторонам, которые проходят через его точку симедианы .

Если последовательными сторонами циклического шестиугольника являются a , b , c , d , e , f , то три главные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf . ^[6]

Если для каждой стороны вписанного шестиугольника смежные стороны расширены до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне, то отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противолежащих треугольников, являются конкурирующими . ^[7]

Если шестиугольник имеет вершины на описанной окружности остроугольного треугольника в шести точках (включая три вершины треугольника), где продолженные высоты треугольника пересекают описанную окружность, то площадь шестиугольника в два раза больше площади треугольника. ^{[8] : стр. 179}

Шестиугольник, касательный к коническому сечению

Пусть ABCDEF — шестиугольник, образованный шестью касательными линиями конического сечения. Тогда теорема Брианшона утверждает, что три главные диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

В шестиугольнике, который касается окружности и имеет последовательные стороны a , b , c , d , e и f , ^[9]

${\displaystyle a+c+e=b+d+f.}$

Равносторонние треугольники на сторонах произвольного шестиугольника

Равносторонние треугольники на сторонах произвольного шестиугольника

Если на каждой стороне любого шестиугольника снаружи построить равносторонний треугольник , то середины отрезков, соединяющих центры тяжести противоположных треугольников, образуют другой равносторонний треугольник. ^{[10] : Теория 1}

Косой шестиугольник

Правильный косой шестиугольник, рассматриваемый как ребра (черные) треугольной антипризмы , симметрия D _3d , [2 ⁺ ,6], (2*3), порядок 12.

Косой шестиугольник — это косой многоугольник с шестью вершинами и ребрами, но не лежащий на одной плоскости. Внутренность такого шестиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный шестиугольник имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой шестиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами сторон. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой шестиугольник и его можно увидеть в вершинах и боковых ребрах треугольной антипризмы с той же симметрией D _3d , [2 ⁺ ,6], порядок 12.

Куб и октаэдр (также как и треугольная антипризма) имеют правильные косые шестиугольники в качестве многоугольников Петри .

Петри полигоны

Правильный косой шестиугольник является многоугольником Петри для этих правильных , однородных и двойственных многогранников и многогранников более высокой размерности, показанных в следующих косых ортогональных проекциях :

Выпуклый равносторонний шестиугольник

Главная диагональ шестиугольника — это диагональ, которая делит шестиугольник на четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике (у которого все стороны равны) с общей стороной a существует ^{[11] : стр.184, #286.3} главная диагональ d ₁ такая, что

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

и главная диагональ d ₂ такая, что

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}.}$

Многогранники с шестиугольниками

Не существует Платоновых тел, состоящих только из правильных шестиугольников, поскольку шестиугольники мозаичны , не позволяя результату «складываться». Архимедовы тела с некоторыми шестиугольными гранями — это усеченный тетраэдр , усеченный октаэдр , усеченный икосаэдр (известный как футбольный мяч и фуллерен ), усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр . Эти шестиугольники можно считать усеченными треугольниками с диаграммами Коксетера видаи.

Существуют и другие симметричные многогранники с вытянутыми или сплющенными шестиугольниками, например, многогранник Голдберга G(2,0):

Существует также 9 тел Джонсона с правильными шестиугольниками:

Галерея природных и искусственных шестиугольников

• 
  Идеальная кристаллическая структура графена представляет собой гексагональную сетку.
• 
  Собранные сегменты зеркала E-ELT
• 
  Пчелиные соты
• 
  Щитки панциря черепахи
• 
  Шестиугольник Сатурна , шестиугольный рисунок облаков вокруг северного полюса планеты.
• 
  Микрофотография снежинки
• 
  Бензол , простейшее ароматическое соединение с гексагональной формой.
• 
  Шестиугольный порядок пузырьков в пене.
• 
  Кристаллическая структура молекулярного шестиугольника, состоящего из гексагональных ароматических колец.
• 
  Базальтовые колонны, образованные естественным путем из Дороги гигантов в Северной Ирландии ; большие массы должны медленно остывать, чтобы сформировать полигональную структуру изломов.
• 
  Вид с воздуха на Форт Джефферсон в национальном парке Драй-Тортугас.
• 
  Зеркало космического телескопа Джеймса Уэбба состоит из 18 шестиугольных сегментов.
• 
  Во французском языке l'Hexagone относится к метрополии Франции из-за ее неопределенно шестиугольной формы.
• 
  Гексагональный кристалл ханксита , один из многих минералов гексагональной кристаллической системы.
• 
  Шестиугольный амбар
• 
  Hexagon , шестиугольный театр в Рединге, Беркшир
• 
  Шестиугольные шахматы Владислава Глинского.
• 
  Павильон в Тайваньском ботаническом саду
• 
  Шестиугольное окно

Смотрите также

• 24-ячейка : четырехмерная фигура, которая, как и шестиугольник, имеет ортоплексные грани, является самодвойственной и заполняет евклидово пространство.
• Гексагональная кристаллическая система
• Шестиугольное число
• Шестиугольная мозаика : правильная мозаика из шестиугольников на плоскости.
• Гексаграмма : шестиконечная звезда внутри правильного шестиугольника.
• Уникурсальная гексаграмма : один путь, шестиконечная звезда, внутри шестиугольника.
• гипотеза о сотах
• Гаванна : абстрактная настольная игра, играемая на шестиугольной сетке.
• Теория центрального места

Ссылки

1. Изображение куба
2. Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 9, ISBN 9780521098595, заархивировано из оригинала 2016-01-02 , извлечено 2015-11-06.
3. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Communications in Mathematics and Applications . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi :10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 2024-09-12).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на сентябрь 2024 г. ( ссылка )
4. Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278) 
5. Коксетер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр. 141
6. Картенсен, Йенс, «О шестиугольниках», Mathematical Spectrum 33(2) (2000–2001), 37–40.
7. Дергиадес, Николаос (2014). «Теорема Дао о шести центрах описанных окружностей, связанных с вписанным шестиугольником». Forum Geometricorum . 14 : 243–246. Архивировано из оригинала 2014-12-05 . Получено 2014-11-17 .
8. Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия , Dover Publications, 2007 (ориг. 1960).
9. Гутьеррес, Антонио, «Шестиугольник, вписанная окружность, касательная, полупериметр», [1] Архивировано 11.05.2012 на Wayback Machine , доступ получен 17.04.2012.
10. Dao Thanh Oai (2015). «Равносторонние треугольники и перспективы Киперта в комплексных числах». Forum Geometricorum . 15 : 105–114. Архивировано из оригинала 2015-07-05 . Получено 2015-04-12 .
11. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [2] Архивировано 30 августа 2017 г. на Wayback Machine .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Шестиугольник». MathWorld .

• Определение и свойства шестиугольника с интерактивной анимацией и построением с помощью циркуля и линейки.
• Введение в гексагональную геометрию на Hexnet — веб-сайте, посвященном математике шестиугольников.
• Шестиугольники — это Bestagons на YouTube — анимированное интернет-видео о шестиугольниках от CGP Grey .