геодезический

Прямой путь на искривленной поверхности или римановом многообразии

Квартика Клейна с 28 геодезическими (отмечена 7 цветами и 4 узорами)

В геометрии геодезическая ( / ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ -, - ˈ d iː s ɪ k , - z ɪ k / ) ^{[1] [2]} — это кривая , представляющая в некотором смысле кратчайший путь ( ^дуга ) между двумя точками на поверхности или, в более общем смысле, в римановом многообразии . Этот термин также имеет значение в любом дифференцируемом многообразии со связностью . Это обобщение понятия « прямая линия ».

Существительное «геодезический» и прилагательное «геодезический» происходят от геодезии , науки об измерении размера и формы Земли , хотя многие из основных принципов могут быть применены к любой эллипсоидальной геометрии. В первоначальном смысле геодезическая представляла собой кратчайший путь между двумя точками на поверхности Земли . Для сферической Земли это сегмент большого круга (см. также Расстояние по большому кругу ). С тех пор этот термин был распространен на более абстрактные математические пространства; например, в теории графов можно рассматривать геодезическую между двумя вершинами /узлами графа .

В римановом многообразии или подмногообразии геодезические характеризуются свойством обращаться в нуль геодезической кривизны . В более общем смысле, при наличии аффинной связности геодезическая определяется как кривая, касательные векторы которой остаются параллельными, если они переносятся вдоль нее. Применение этого к связности Леви-Чивита римановой метрики восстанавливает предыдущее понятие.

Геодезические имеют особое значение в общей теории относительности . Времяподобные геодезические в общей теории относительности описывают движение свободно падающих пробных частиц .

Введение

Локально кратчайший путь между двумя заданными точками в искривленном пространстве, предполагая, что ^[a] является римановым многообразием , может быть определен с помощью уравнения для длины кривой ( функция f из открытого интервала R в пространство) , а затем минимизируем эту длину между точками с помощью вариационного исчисления . Это имеет некоторые незначительные технические проблемы, поскольку существует бесконечномерное пространство различных способов параметризации кратчайшего пути. Проще ограничить набор кривых теми, которые параметризованы «с постоянной скоростью» 1, то есть расстояние от f ( s ) до f ( t ) вдоль кривой равно | с - т |. Эквивалентно можно использовать другую величину, называемую энергией кривой; минимизация энергии приводит к тем же уравнениям для геодезической (здесь «постоянная скорость» является следствием минимизации). ^{[ нужна цитата ]} Интуитивно можно понять эту вторую формулировку, заметив, что эластичная лента , натянутая между двумя точками, сожмет свою ширину и тем самым минимизирует свою энергию. Полученная форма полосы представляет собой геодезическую.

Возможно, что несколько разных кривых между двумя точками минимизируют расстояние, как в случае двух диаметрально противоположных точек на сфере. В таком случае любая из этих кривых является геодезической.

Непрерывный отрезок геодезической снова является геодезической.

В общем, геодезические — это не то же самое, что «кратчайшие кривые» между двумя точками, хотя эти две концепции тесно связаны. Разница в том, что геодезические являются лишь локально кратчайшим расстоянием между точками и параметризуются с «постоянной скоростью». Прохождение «длинного круга» по большому кругу между двумя точками сферы является геодезическим, но не кратчайшим путем между точками. Карта от единичного интервала на линии действительных чисел до самой себя дает кратчайший путь между 0 и 1, но не является геодезической, поскольку скорость соответствующего движения точки не является постоянной. ${\displaystyle t\to t^{2}}$

Геодезические обычно встречаются при изучении римановой геометрии и, в более общем плане, метрической геометрии . В общей теории относительности геодезические в пространстве-времени описывают движение точечных частиц только под действием силы тяжести. В частности, путь, пройденный падающим камнем, вращающимся спутником или форма планетарной орбиты — все это геодезические ^[b] в искривленном пространстве-времени. В более общем плане тема субримановой геометрии касается путей, по которым могут двигаться объекты, когда они несвободны и их движение ограничено различными способами.

В этой статье представлен математический формализм, используемый для определения, нахождения и доказательства существования геодезических в случае римановых многообразий . В статье « Связь Леви-Чивита» обсуждается более общий случай псевдориманова многообразия , а в геодезической (общая теория относительности) более подробно обсуждается частный случай общей теории относительности.

Примеры

Геодезическая на трехосном эллипсоиде .

Если насекомое поместить на поверхность и постоянно идти «вперед», оно по определению проведет геодезическую линию.

Наиболее знакомыми примерами являются прямые линии в евклидовой геометрии . На сфере изображениями геодезических являются большие круги . Кратчайший путь от точки А к точке В на сфере определяется более короткой дугой большого круга, проходящей через точки А и В. Если A и B — противоположные точки , то между ними существует бесконечно много кратчайших путей. Геодезические на эллипсоиде ведут себя сложнее, чем на сфере; в частности, они вообще не замкнуты (см. рисунок).

Треугольники

Геодезический треугольник на сфере.

Геодезический треугольник образуется геодезическими, соединяющими каждую пару из трех точек на данной поверхности. На сфере геодезические представляют собой большие дуги окружностей, образующие сферический треугольник .

Геодезические треугольники в пространствах положительной (вверху), отрицательной (средней) и нулевой (внизу) кривизны.

Метрическая геометрия

В метрической геометрии геодезическая — это кривая, которая всюду локально является минимизатором расстояния . Точнее, кривая γ  : I → M из интервала I действительных чисел в метрическое пространство M является геодезической , если существует константа v ≥ 0 такая, что для любого t ∈ I существует окрестность J точки t в I такая, что что для _любых t1 ,  t2 _∈ J имеем

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Это обобщает понятие геодезической для римановых многообразий. Однако в метрической геометрии рассматриваемая геодезическая часто снабжена естественной параметризацией , т.е. в приведенном выше тождестве v  = 1 и

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Если последнее равенство выполняется для всех t ₁ , t ₂ ∈ I , геодезическая называется минимизирующей геодезической или кратчайшим путем .

Вообще, в метрическом пространстве не может быть геодезических, кроме постоянных кривых. С другой стороны, любые две точки в метрическом пространстве длины соединяются минимизирующей последовательностью спрямляемых путей , хотя эта минимизирующая последовательность не обязательно должна сходиться к геодезической.

Риманова геометрия

В римановом многообразии M с метрическим тензором g длина L непрерывно дифференцируемой кривой γ: [ a , b ] →  M определяется формулой

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

Расстояние d ( p ,  q ) между двумя точками p и q из M определяется как нижняя грань длины, взятой по всем непрерывным, кусочно непрерывно дифференцируемым кривым γ: [ a , b ] →  M таким, что γ( a ) =  p и γ( б ) знак равно  q . В римановой геометрии все геодезические являются локальными путями, минимизирующими расстояние, но обратное неверно. Фактически, геодезическими являются только пути, которые одновременно минимизируют локальное расстояние и параметризуются пропорционально длине дуги. Другой эквивалентный способ определения геодезических на римановом многообразии - это определить их как минимумы следующего функционала действия или энергии:

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

Все минимумы E также являются минимумами L , но L представляет собой большее множество, поскольку пути, являющиеся минимумами L , могут быть произвольно перепараметризованы (без изменения их длины), а минимумы E — нет. Для кусочной кривой (в более общем смысле, кривой) неравенство Коши – Шварца дает ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle W^{1,2}}$

${\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )}$

с равенством тогда и только тогда, когда равно постоянной ae; путь следует проходить с постоянной скоростью. Бывает, что минимизирующие тоже минимизируют , потому что они оказываются аффинно параметризованными, а неравенство представляет собой равенство. Полезность этого подхода заключается в том, что проблема поиска минимизаторов E является более устойчивой вариационной проблемой. Действительно, E является «выпуклой функцией» от , так что внутри каждого изотопического класса «разумных функций» следует ожидать существования, единственности и регулярности минимизаторов. Напротив, «минимизаторы» функционала, как правило, не очень регулярны, поскольку допускаются произвольные перепараметризации. ${\displaystyle g(\gamma ',\gamma ')}$ ${\displaystyle E(\gamma )}$ ${\displaystyle L(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle L(\gamma )}$

Тогда уравнения движения Эйлера –Лагранжа для функционала E задаются в локальных координатах выражением

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

где – символы Кристоффеля метрики. Это уравнение геодезических , обсуждаемое ниже. ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

Вариационное исчисление

Для исследования функционала энергии E можно применить методы классического вариационного исчисления . Первая вариация энергии определяется в местных координатах выражением

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).}$

Критическими точками первого варианта являются именно геодезические. Второй вариант определяется

${\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}$

В соответствующем смысле нули второй вариации вдоль геодезической γ возникают вдоль полей Якоби . Таким образом, поля Якоби рассматриваются как вариации геодезических.

Применяя вариационные методы классической механики , можно также рассматривать геодезические как гамильтоновы потоки . Они являются решениями связанных уравнений Гамильтона с (псевдо)римановой метрикой, взятой в качестве гамильтониана .

Аффинная геодезия

Геодезическая на гладком многообразии M с аффинной связностью ∇ определяется как кривая γ( t ) такая, что параллельный транспорт вдоль кривой сохраняет касательный вектор к кривой, поэтому

в каждой точке кривой, где – производная по . Точнее, чтобы определить ковариантную производную, необходимо сначала распространиться на непрерывно дифференцируемое векторное поле в открытом множестве . Однако результирующее значение ( 1 ) не зависит от выбора расширения. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

Используя локальные координаты на M , мы можем записать уравнение геодезических (используя соглашение о суммировании ) как

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

где – координаты кривой γ( t ), – символы Кристоффеля связности ∇. Это обыкновенное дифференциальное уравнение для координат. Оно имеет единственное решение при заданном начальном положении и начальной скорости. Поэтому с точки зрения классической механики геодезические можно рассматривать как траектории свободных частиц в многообразии. Действительно, уравнение означает, что вектор ускорения кривой не имеет составляющих в направлении поверхности (и, следовательно, он перпендикулярен касательной плоскости поверхности в каждой точке кривой). Итак, движение полностью определяется изгибом поверхности. Это также идея общей теории относительности, где частицы движутся по геодезическим линиям, а изгиб вызывается гравитацией. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

Существование и уникальность

Теорема локального существования и единственности геодезических утверждает, что геодезические на гладком многообразии с аффинной связностью существуют и уникальны. Точнее:

Для любой точки p в M и для любого вектора V в T _p M ( касательное пространство к M в точке p ) существует единственная геодезическая  : I → M такая, что ${\displaystyle \gamma \,}$

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$и

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

где I — максимальный открытый интервал в R , содержащий 0.

Доказательство этой теоремы следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений , если отметить, что уравнение геодезических является ОДУ второго порядка. Существование и единственность тогда следуют из теоремы Пикара–Линделёфа для решений ОДУ с заданными начальными условиями. γ плавно зависит как от p, так и  от V .

А вообще у меня может быть не весь R как например для открытого диска ^в R2 . Любое γ распространяется на все ℝ тогда и только тогда, когда M геодезически полно .

Геодезический поток

Геодезический поток — это локальное R - действие на касательном расслоении TM многообразия M , определяемое следующим образом

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

где t  ∈  R , V  ∈  TM и обозначает геодезическую с начальными данными . Таким образом, ( V ) = exp( tV ) является экспоненциальным отображением вектора tV . Замкнутой орбите геодезического потока соответствует замкнутая геодезическая на  M . ${\displaystyle \gamma _{V}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}$ ${\displaystyle G^{t}}$

На (псевдо)римановом многообразии геодезический поток отождествляется с гамильтоновым потоком на кокасательном расслоении. Гамильтониан тогда задается обратной (псевдо)римановой метрикой, вычисляемой по канонической одной форме . В частности, поток сохраняет (псевдо)риманову метрику , т.е. ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

В частности, когда V является единичным вектором, скорость остается единичной повсюду, поэтому геодезический поток касается единичного касательного пучка . Из теоремы Лиувилля следует инвариантность кинематической меры на единичном касательном расслоении. ${\displaystyle \gamma _{V}}$

Геодезический спрей

Геодезический поток определяет семейство кривых в касательном расслоении . Производные этих кривых определяют векторное поле на всем пространстве касательного расслоения, известное как геодезический спрей .

Точнее, аффинная связность приводит к расщеплению двойного касательного расслоения TT ​​M на горизонтальные и вертикальные расслоения :

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

Геодезический спрей — это уникальное горизонтальное векторное поле W, удовлетворяющее

${\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}$

в каждой точке v  ∈ TM ; здесь π _∗  : TT M  → TM обозначает движение вперед (дифференциал) вдоль проекции π : TM →  M  , связанной с касательным расслоением.

В более общем смысле та же конструкция позволяет построить векторное поле для любой связности Эресмана на касательном расслоении. Чтобы результирующее векторное поле было спреем (на удаленном касательном расслоении TM \  {0}), достаточно, чтобы связность была эквивариантной относительно положительных масштабов: она не обязательно должна быть линейной. То есть (см. связь Эресмана #Векторные расслоения и ковариантные производные ) достаточно, чтобы горизонтальное распределение удовлетворяло

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

для каждого X  ∈ TM \  {0} и λ > 0. Здесь d ( S _λ ) — движение вперёд вдоль скалярной гомотетии. Частный случай нелинейной связности, возникающей таким образом, — это случай, связанный с финслеровым многообразием . ${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$

Аффинная и проективная геодезика

Уравнение ( 1 ) инвариантно относительно аффинных перепараметризаций; то есть параметризации формы

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

где a и b — постоянные действительные числа. Таким образом, помимо указания определенного класса вложенных кривых, уравнение геодезических также определяет предпочтительный класс параметризаций каждой из кривых. Соответственно, решения ( 1 ) называются геодезическими с аффинным параметром .

Аффинная связность определяется своим семейством аффинно параметризованных геодезических с точностью до кручения (Спивак 1999, глава 6, приложение I). Само кручение фактически не влияет на семейство геодезических, поскольку уравнение геодезических зависит только от симметричной части связности. Точнее, если существуют две связи такие, что разностный тензор ${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

кососимметричен , то и имеют одинаковые геодезические, с одинаковыми аффинными параметризациями. Кроме того, существует единственная связность, имеющая те же геодезические, что и , но с исчезающим кручением. ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ ${\displaystyle \nabla }$

Геодезические без определенной параметризации описываются проективной связностью .

Вычислительные методы

Эффективные решатели минимальной геодезической задачи на поверхностях были предложены Митчеллом, ^[3] Киммелем, ^[4] Крэйном, ^[5] и другими.

Тест ленты

Лента «Тест» — способ нахождения геодезической на физической поверхности. ^[6] Идея состоит в том, чтобы как можно плотнее разместить кусочек бумаги вокруг прямой линии (ленты) на изогнутой поверхности, не растягивая и не сжимая ленту (не меняя ее внутреннюю геометрию).

Например, если ленту намотать кольцом на конус, лента не будет лежать на поверхности конуса, а будет торчать, так что круг не будет геодезической на конусе. Если ленту настроить так, чтобы все ее части касались поверхности конуса, это будет приближение к геодезической.

Математически тест с лентой можно сформулировать как поиск отображения окрестности прямой на плоскости на поверхность так, чтобы это отображение «не сильно меняло расстояния вокруг »; то есть на расстоянии от мы имеем где и являются метриками и . ${\displaystyle f:N(l)\to S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})}$ ${\displaystyle g_{N}}$ ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

Приложения

Геодезические служат основой для расчета:

• геодезические планеры; см. геодезический планер или геодезический планер
• геодезические конструкции – например, геодезические купола
• горизонтальные расстояния на Земле или вблизи нее; см. геодезию Земли
• отображение изображений на поверхностях для рендеринга; см. УФ-картирование
• движение частиц в компьютерном моделировании молекулярной динамики (МД) ^[7]
• планирование движения робота (например, при покраске деталей автомобиля); см. задачу о кратчайшем пути
• коррекция геодезического кратчайшего пути (GSP) при реконструкции поверхности Пуассона (например, в цифровой стоматологии ); без реконструкции GSP часто приводит к самопересечениям внутри поверхности

Смотрите также

• Введение в математику общей теории относительности  - нетехническое введение в математику общей теории относительности.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Соотношение Клеро  - Формула классической дифференциальной геометрии.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Дифференцируемая кривая  - Исследование кривых с дифференциальной точки зрения.
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Геодезический круг
• Теорема Хопфа – Ринова  - дает эквивалентные утверждения о геодезической полноте римановых многообразий.
• Внутренняя метрика  - концепция геометрии / топологии.
• Изотропная линия
• Поле Якоби
• Теория Морса  - анализирует топологию многообразия путем изучения дифференцируемых функций на этом многообразии.
• Поверхность Золля  - поверхность, гомеоморфная сфере.
• Задача о пауке и мухе  - Задача рекреационной геодезии

Примечания

1. Для псевдориманова многообразия , например, лоренцева многообразия , определение более сложное.
2. Путь представляет собой локальный максимум интервала k, а не локальный минимум.

Рекомендации

1. «Геодезический». Британский словарь английского языка Lexico . Издательство Оксфордского университета . Архивировано из оригинала 16 марта 2020 г.
2. «Геодезический». Словарь Merriam-Webster.com .
3. Митчелл, Дж.; Маунт, Д.; Пападимитриу, К. (1987). «Дискретная геодезическая задача». Сиамский журнал по вычислительной технике . 16 (4): 647–668. дои : 10.1137/0216045.
4. Киммел, Р.; Сетиан, Дж. А. (1998). «Вычисление геодезических путей на многообразиях» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 95 (15): 8431–8435. Бибкод : 1998PNAS...95.8431K. дои : 10.1073/pnas.95.15.8431 . ПМК 21092 . PMID  9671694. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. 
5. Крейн, К.; Вайшедель, К.; Вардецкий, М. (2017). «Тепловой метод расчета расстояний». Коммуникации АКМ . 60 (11): 90–99. дои : 10.1145/3131280.
6. Майкл Стивенс (2 ноября 2017 г.), [1] .
7. Ингебригцен, Тронд С.; Токсваерд, Сёрен; Хейльманн, Оле Дж.; Шредер, Томас Б.; Дайр, Йеппе К. (2011). «Динамика НВУ. I. Геодезическое движение на гиперповерхности с постоянной потенциальной энергией». Журнал химической физики . 135 (10): 104101. arXiv : 1012.3447 . Бибкод : 2011JChPh.135j4101I. дои : 10.1063/1.3623585. ISSN  0021-9606. PMID  21932870. S2CID  16554305.

• Спивак, Майкл (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (Том 2) , Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни, ISBN 978-0-914098-71-3

дальнейшее чтение

• Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975), Введение в общую теорию относительности (2-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN. 978-0-07-000423-8. См. главу 2 .
• Авраам, Ральф Х .; Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN 978-0-8053-0102-1. См. раздел 2.7 .
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1. См. раздел 1.4 .
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975), Классическая теория полей , Оксфорд: Пергамон, ISBN 978-0-08-018176-9. См. раздел 87 .
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип ; Уилер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Ортин, Томас (2004), Гравитация и струны , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-82475-0. Обратите особое внимание на страницы 7 и 10.
• Волков, Ю.А. (2001) [1994], «Геодезическая линия», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5. См. главу 3 .

Внешние ссылки

• Возвращение к геодезии - Введение в геодезию, включая два способа вывода уравнения геодезической с приложениями в геометрии (геодезическая на сфере и на торе ) , механике ( брахистохрона ) и оптике (световой луч в неоднородной среде).
• Полностью геодезическое подмногообразие в Атласе многообразий