stringtranslate.com

Арифметическая геометрия

Гиперэллиптическая кривая, определяемая соотношением, имеет лишь конечное число рациональных точек (таких как точки и ) по теореме Фалтингса .

В математике арифметическая геометрия представляет собой, грубо говоря, применение методов алгебраической геометрии к задачам теории чисел . [1] Арифметическая геометрия сосредоточена вокруг диофантовой геометрии , изучения рациональных точек алгебраических многообразий . [2] [3]

В более абстрактных терминах арифметическую геометрию можно определить как изучение схем конечного типа над спектром кольца целых чисел . [4]

Обзор

Классическими объектами интереса в арифметической геометрии являются рациональные точки: множества решений системы полиномиальных уравнений над числовыми полями , конечными полями , p-адическими полями или функциональными полями , т. е. полями , которые не являются алгебраически замкнутыми, за исключением действительных чисел . Рациональные точки могут быть напрямую охарактеризованы функциями высоты , которые измеряют их арифметическую сложность. [5]

Структура алгебраических многообразий, определенных над неалгебраически замкнутыми полями, стала центральной областью интересов, которая возникла с современным абстрактным развитием алгебраической геометрии. Над конечными полями этальные когомологии предоставляют топологические инварианты, связанные с алгебраическими многообразиями. [6] p-адическая теория Ходжа дает инструменты для исследования того, когда когомологические свойства многообразий над комплексными числами распространяются на свойства многообразий над p-адическими полями . [7]

История

19 век: ранняя арифметическая геометрия

В начале 19 века Карл Фридрих Гаусс заметил, что ненулевые целочисленные решения однородных полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами существуют, если существуют ненулевые рациональные решения. [8]

В 1850-х годах Леопольд Кронекер сформулировал теорему Кронекера–Вебера , ввел теорию делителей и установил множество других связей между теорией чисел и алгеброй . Затем он выдвинул гипотезу о своем « liebster Jugendtraum » («самая дорогая мечта юности»), обобщение, которое позже было выдвинуто Гильбертом в измененной форме как его двенадцатая проблема , которая намечает цель заставить теорию чисел работать только с кольцами, которые являются частными полиномиальных колец над целыми числами. [9]

Начало-середина 20 века: алгебраические разработки и гипотезы Вейля

В конце 1920-х годов Андре Вейль продемонстрировал глубокие связи между алгебраической геометрией и теорией чисел в своей докторской работе, приведшей к теореме Морделла–Вейля , которая показывает, что множество рациональных точек абелева многообразия является конечно порождённой абелевой группой . [10]

Современные основы алгебраической геометрии были разработаны на основе современной коммутативной алгебры , включая теорию оценок и теорию идеалов Оскаром Зариским и другими в 1930-х и 1940-х годах. [11]

В 1949 году Андре Вейль сформулировал знаковые гипотезы Вейля о локальных дзета-функциях алгебраических многообразий над конечными полями. [12] Эти гипотезы предложили структуру между алгебраической геометрией и теорией чисел, которая побудила Александра Гротендика пересмотреть основы, используя теорию пучков (совместно с Жан-Пьером Серром ), а позднее и теорию схем в 1950-х и 1960-х годах. [13] Бернар Дворк доказал одну из четырех гипотез Вейля (рациональность локальной дзета-функции) в 1960 году. [14] Гротендик разработал теорию этальных когомологий, чтобы доказать две гипотезы Вейля (совместно с Майклом Артином и Жаном-Луи Вердье ) к 1965 году. [6] [15] Последняя из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана ) была окончательно доказана в 1974 году Пьером Делинем . [16]

Середина-конец 20-го века: развитие модульности, p-адических методов и т. д.

Между 1956 и 1957 годами Ютака Танияма и Горо Шимура выдвинули гипотезу Таниямы–Шимуры (теперь известную как теорема о модулярности), связывающую эллиптические кривые с модулярными формами . [17] [18] Эта связь в конечном итоге привела к первому доказательству Великой теоремы Ферма в теории чисел с помощью алгебраических геометрических методов подъема модулярности, разработанных Эндрю Уайлсом в 1995 году . [19]

В 1960-х годах Горо Шимура представил многообразия Шимуры как обобщения модулярных кривых . [20] С 1979 года многообразия Шимуры играют решающую роль в программе Ленглендса как естественная область примеров для проверки гипотез. [21]

В работах 1977 и 1978 годов Барри Мазур доказал гипотезу кручения , дав полный список возможных подгрупп кручения эллиптических кривых над рациональными числами. Первое доказательство Мазуром этой теоремы зависело от полного анализа рациональных точек на некоторых модулярных кривых . [22] [23] В 1996 году доказательство гипотезы кручения было распространено на все числовые поля Лоиком Мерелем . [24]

В 1983 году Герд Фалтингс доказал гипотезу Морделла , показав, что кривая рода больше 1 имеет только конечное число рациональных точек (тогда как теорема Морделла–Вейля демонстрирует только конечное порождение множества рациональных точек, а не конечность). [25] [26]

В 2001 году доказательство локальных гипотез Ленглендса для GL n было основано на геометрии некоторых многообразий Шимуры. [27]

В 2010-х годах Петер Шольце разработал перфектоидные пространства и новые теории когомологий в арифметической геометрии над p-адическими полями с применением к представлениям Галуа и некоторым случаям гипотезы весовой монодромии . [28] [29]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Сазерленд, Эндрю В. (5 сентября 2013 г.). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Получено 22 марта 2019 г.
  2. ^ Кларрайх, Эрика (28 июня 2016 г.). «Питер Шольце и будущее арифметической геометрии» . Получено 22 марта 2019 г.
  3. ^ Poonen, Bjorn (2009). "Введение в арифметическую геометрию" (PDF) . Получено 22 марта 2019 г.
  4. ^ Арифметическая геометрия в n Lab
  5. ^ Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . стр. 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Збл  0869.11051.
  6. ^ ab Grothendieck, Alexander (1960). "Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий". Proc. Internat. Congress Math. (Эдинбург, 1958) . Cambridge University Press . стр. 103–118. MR  0130879.
  7. ^ Серр, Жан-Пьер (1967). «Резюме курса, 1965–66». Annuaire du Collège de France . Париж: 49–58.
  8. ^ Морделл, Луис Дж. (1969). Диофантовы уравнения . Academic Press. стр. 1. ISBN 978-0125062503.
  9. ^ Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, Джун; Лидер, Имре (2008). Принстонский компаньон по математике. Princeton University Press. С. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2.
  10. ^ А. Вейль, L'arithmétique sur les courbes algébriques , Acta Math 52, (1929) стр. 281–315, перепечатано в первом томе его собрания статей ISBN 0-387-90330-5 . 
  11. ^ Зариски, Оскар (2004) [1935]. Абхьянкар, Шрирам С .; Липман, Джозеф ; Мамфорд, Дэвид (ред.). Алгебраические поверхности. Классика математики (второе дополненное изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58658-6. МР  0469915.
  12. ^ Вайль, Андре (1949). «Числа решений уравнений в конечных полях». Бюллетень Американского математического общества . 55 (5): 497–508. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN  0002-9904. MR  0029393.Перепечатано в Oeuvres Scientifiques/Сборник статей Андре Вейля ISBN 0-387-90330-5 
  13. ^ Серр, Жан-Пьер (1955). «Когерентные алгебраические когеренты». Анналы математики . 61 (2): 197–278. дои : 10.2307/1969915. JSTOR  1969915.
  14. ^ Дворк, Бернард (1960). «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия». American Journal of Mathematics . 82 (3). American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3: 631–648. doi :10.2307/2372974. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372974. MR  0140494.
  15. ^ Гротендик, Александр (1995) [1965]. «Формула Лефшеца и рациональность функций L». Семинар Бурбаки . Том. 9. Париж: Математическое общество Франции . стр. 41–55. МР  1608788.
  16. ^ Делинь, Пьер (1974). «Гипотеза де Вейля. I». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 43 (1): 273–307. дои : 10.1007/BF02684373. ISSN  1618-1913. МР  0340258.
  17. ^ Танияма, Ютака (1956). «Проблема 12». Сугаку (на японском языке). 7 : 269.
  18. ^ Шимура, Горо (1989). «Ютака Танияма и его время. Очень личные воспоминания». Бюллетень Лондонского математического общества . 21 (2): 186–196. doi : 10.1112/blms/21.2.186 . ISSN  0024-6093. MR  0976064.
  19. ^ Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма» (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-05-10 . Получено 2019-03-22 . 
  20. ^ Шимура, Горо (2003). Собрание сочинений Горо Шимуры . Springer Nature. ISBN 978-0387954158.
  21. ^ Ленглендс, Роберт (1979). «Автоморфные представления, многообразия Шимуры и мотивы. Ein Märchen» (PDF) . В Борель, Арманд ; Кассельман, Уильям (ред.). Автоморфные формы, представления и L-функции: симпозиум по чистой математике . Том XXXIII, часть 1. Chelsea Publishing Company. стр. 205–246.
  22. ^ Мазур, Барри (1977). «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33–186. дои : 10.1007/BF02684339. МР  0488287.
  23. ^ Мазур, Барри (1978). «Рациональные изогении простой степени». Inventiones Mathematicae . 44 (2). с приложением Дориана Голдфельда : 129–162. Bibcode : 1978InMat..44..129M. doi : 10.1007/BF01390348. MR  0482230.
  24. ^ Мерель, Лоик (1996). «Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres» [Оценки кручения эллиптических кривых над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на французском языке). 124 (1): 437–449. Бибкод : 1996InMat.124..437M. дои : 10.1007/s002220050059. МР  1369424.
  25. ^ Фальтингс, Герд (1983). «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern» [Теоремы о конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F. дои : 10.1007/BF01388432. МР  0718935.
  26. ^ Фальтингс, Герд (1984). «Ошибка: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. дои : 10.1007/BF01388572 . МР  0732554.
  27. ^ Харрис, Майкл ; Тейлор, Ричард (2001). Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры. Annals of Mathematics Studies. Том 151. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-09090-0. МР  1876802.
  28. ^ "Fields Medals 2018". Международный математический союз . Получено 2 августа 2018 г.
  29. ^ Шольце, Питер. "Perfectoid spaces: A survey" (PDF) . Боннский университет . Получено 4 ноября 2018 г. .