Перенормировка

Перенормировка — это набор методов в квантовой теории поля , статистической теории поля и теории самоподобных геометрических структур, которые используются для обработки бесконечностей, возникающих в вычисляемых величинах, путем изменения значений этих величин для компенсации эффектов их самовзаимодействий . Но даже если бы в петлевых диаграммах в квантовой теории поля не возникало бесконечностей, можно было бы показать, что необходимо перенормировать массу и поля, появляющиеся в исходном лагранжиане . ^[1]

Например, электронная теория может начинаться с постулирования электрона с начальной массой и зарядом. В квантовой теории поля облако виртуальных частиц , таких как фотоны , позитроны и другие, окружает и взаимодействует с начальным электроном. Учет взаимодействий окружающих частиц (например, столкновений при разных энергиях) показывает, что электронная система ведет себя так, как если бы она имела другую массу и заряд, чем изначально постулированные. Перенормировка в этом примере математически заменяет изначально постулированные массу и заряд электрона экспериментально наблюдаемыми массой и зарядом. Математика и эксперименты доказывают, что позитроны и более массивные частицы, такие как протоны, демонстрируют точно такой же наблюдаемый заряд, как и электрон, — даже в присутствии гораздо более сильных взаимодействий и более интенсивных облаков виртуальных частиц.

Перенормировка определяет соотношения между параметрами в теории, когда параметры, описывающие большие масштабы расстояний, отличаются от параметров, описывающих малые масштабы расстояний. Физически, нагромождение вкладов бесконечности масштабов, вовлеченных в проблему, может затем привести к дальнейшим бесконечностям. При описании пространства-времени как континуума некоторые статистические и квантово-механические конструкции не определены четко . Чтобы определить их или сделать их однозначными, предел континуума должен тщательно удалить «строительные леса» решеток в различных масштабах. Процедуры перенормировки основаны на требовании, чтобы определенные физические величины (такие как масса и заряд электрона) были равны наблюдаемым (экспериментальным) значениям. То есть экспериментальное значение физической величины дает практические приложения, но из-за своей эмпирической природы наблюдаемое измерение представляет области квантовой теории поля, которые требуют более глубокого вывода из теоретических основ.

Перенормировка была впервые разработана в квантовой электродинамике (КЭД) для придания смысла бесконечным интегралам в теории возмущений . Первоначально рассматриваемая как подозрительная временная процедура даже некоторыми из ее создателей, перенормировка в конечном итоге была принята как важный и самосогласованный фактический механизм масштабной физики в нескольких областях физики и математики . Несмотря на свой поздний скептицизм, именно Поль Дирак был пионером перенормировки. ^[2]^[3]

Сегодня точка зрения изменилась: на основе прорывных идей ренормгруппы Николая Боголюбова и Кеннета Уилсона основное внимание уделяется изменению физических величин в смежных масштабах, в то время как удаленные масштабы связаны друг с другом посредством «эффективных» описаний. Все масштабы связаны в широком смысле систематическим образом, и фактическая физика, относящаяся к каждому, извлекается с помощью подходящих конкретных вычислительных методов, соответствующих каждому. Уилсон разъяснил, какие переменные системы имеют решающее значение, а какие являются избыточными.

Перенормировка отличается от регуляризации — другого метода управления бесконечностями, предполагающего существование новой неизвестной физики в новых масштабах.

Самовзаимодействия в классической физике

Рисунок 1. Перенормировка в квантовой электродинамике: обнаружено, что простое взаимодействие электрона и фотона, определяющее заряд электрона в одной точке перенормировки, состоит из более сложных взаимодействий в другой.

Проблема бесконечностей впервые возникла в классической электродинамике точечных частиц в XIX и начале XX века.

Масса заряженной частицы должна включать массу-энергию в ее электростатическом поле ( электромагнитную массу ). Предположим, что частица представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса $r e$ . Масса-энергия в поле равна

m_{\text{em}}=\int {\frac {1}{2}}E^{2}\,dV=\int _{r_{\text{e}}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {q}{4\pi r^{2}}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr={\frac {q^{2}}{8\pi r_{\text{e}}}},

который становится бесконечным при $r e \to 0$ . Это подразумевает, что точечная частица будет иметь бесконечную инерцию и, таким образом, не может быть ускорена. Кстати, значение $r e$ , которое делает равным массе электрона, называется классическим радиусом электрона , который (устанавливая и восстанавливая факторы $c$ и ) оказывается $m_{\text{em}}$ $q=e$ $\varepsilon _{0}$

r_{\text{e}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}m_{\text{e}}c^{2}}}=\alpha {\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c}}\approx 2.8\times 10^{-15}~{\text{m}},

где — постоянная тонкой структуры , а — приведенная комптоновская длина волны электрона. $\alpha \approx 1/137$ $\hbar /(m_{\text{e}}c)$

Перенормировка: Полная эффективная масса сферической заряженной частицы включает фактическую голую массу сферической оболочки (в дополнение к массе, упомянутой выше, связанной с ее электрическим полем). Если голая масса оболочки может быть отрицательной, то можно будет принять последовательный точечный предел. ^{[ требуется ссылка ]} Это называлось перенормировкой , и Лоренц и Абрахам попытались разработать классическую теорию электрона таким образом. Эта ранняя работа вдохновила на более поздние попытки регуляризации и перенормировки в квантовой теории поля.

(См. также регуляризацию (физика) для альтернативного способа устранения бесконечностей из этой классической задачи, предполагая, что в малых масштабах существует новая физика.)

При расчете электромагнитных взаимодействий заряженных частиц возникает соблазн игнорировать обратную реакцию собственного поля частицы на себя. (Аналогично обратной ЭДС анализа цепей.) Но эта обратная реакция необходима для объяснения трения заряженных частиц, когда они испускают излучение. Если предположить, что электрон является точкой, значение обратной реакции расходится по той же причине, по которой расходится масса, потому что поле обратно квадратично .

Теория Абрахама–Лоренца имела некаузальное «предускорение». Иногда электрон начинал двигаться до приложения силы. Это признак того, что точечный предел непоследователен.

Проблема была хуже в классической теории поля, чем в квантовой теории поля, поскольку в квантовой теории поля заряженная частица испытывает Zitterbewegung из-за интерференции с виртуальными парами частица-античастица, таким образом эффективно размазывая заряд по области, сравнимой с длиной волны Комптона. В квантовой электродинамике при малой связи электромагнитная масса расходится только как логарифм радиуса частицы.

Расхождения в квантовой электродинамике

Развивая квантовую электродинамику в 1930-х годах, Макс Борн , Вернер Гейзенберг , Паскуаль Жордан и Поль Дирак обнаружили, что в пертурбативных поправках многие интегралы расходятся (см. Проблема бесконечностей ).

Один из способов описания расходимостей поправок теории возмущений был открыт в 1947–1949 годах Гансом Крамерсом , ^[4] Гансом Бете , ^[5] Джулианом Швингером , ^[6]^[7]^[8]^[9] Ричардом Фейнманом , ^[10]^[11]^[12] и Синъитиро Томонагой , ^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19] и систематизирован Фрименом Дайсоном в 1949 году. ^[20] Расходимости появляются в радиационных поправках, включающих диаграммы Фейнмана с замкнутыми петлями виртуальных частиц в них.

В то время как виртуальные частицы подчиняются закону сохранения энергии и импульса , они могут иметь любую энергию и импульс, даже такую, которая не допускается релятивистским соотношением энергии и импульса для наблюдаемой массы этой частицы (то есть, не обязательно является квадратом массы частицы в этом процессе, например, для фотона она может быть ненулевой). Такая частица называется внеоболочковой . Когда есть петля, импульс частиц, участвующих в петле, не определяется однозначно энергиями и импульсами входящих и исходящих частиц. Изменение энергии одной частицы в петле может быть уравновешено равным и противоположным изменением энергии другой частицы в петле, не влияя на входящие и исходящие частицы. Таким образом, возможно множество изменений. Поэтому, чтобы найти амплитуду для петлевого процесса, нужно проинтегрировать по всем возможным комбинациям энергии и импульса, которые могут перемещаться по петле. $E^{2}-p^{2}$

Эти интегралы часто расходятся , то есть они дают бесконечные ответы. Расходимости, которые являются значительными, являются « ультрафиолетовыми » (УФ). Ультрафиолетовую расходимость можно описать как ту, которая исходит из

область в интеграле, где все частицы в петле имеют большие энергии и импульсы,
очень короткие длины волн и высокочастотные колебания полей, в интеграле по траектории для поля,
очень короткое собственное время между испусканием и поглощением частицы, если рассматривать петлю как сумму по траекториям частиц.

Таким образом, эти расхождения представляют собой краткосрочные и кратковременные явления.

На рисунках справа показано, что в квантовой электродинамике существует ровно три однопетлевые расходящиеся петлевые диаграммы: ^[21]

(a) Фотон создает виртуальную пару электрон- позитрон , которая затем аннигилирует. Это диаграмма поляризации вакуума .

(б) Электрон быстро испускает и поглощает виртуальный фотон, называемый собственной энергией .

(c) Электрон испускает фотон, испускает второй фотон и поглощает первый. Этот процесс показан в разделе ниже на рисунке 2, и он называется вершинной перенормировкой . Диаграмма Фейнмана для этого также называется « диаграммой пингвина » из-за ее формы, отдаленно напоминающей пингвина.

Три расхождения соответствуют трем параметрам рассматриваемой теории:

Нормализация поля Z.
Масса электрона.
Заряд электрона.

Второй класс расходимости, называемый инфракрасной расходимостью , обусловлен безмассовыми частицами, такими как фотон. Каждый процесс с участием заряженных частиц испускает бесконечно много когерентных фотонов бесконечной длины волны, а амплитуда испускания любого конечного числа фотонов равна нулю. Для фотонов эти расходимости хорошо изучены. Например, при 1-петлевом порядке вершинная функция имеет как ультрафиолетовую, так и инфракрасную расходимость. В отличие от ультрафиолетовой расходимости, инфракрасная расходимость не требует перенормировки параметра в рассматриваемой теории. Инфракрасная расходимость вершинной диаграммы устраняется путем включения диаграммы, аналогичной вершинной диаграмме, со следующим важным отличием: фотон, соединяющий две ноги электрона, обрезается и заменяется двумя on-shell (т. е. реальными) фотонами, длины волн которых стремятся к бесконечности; эта диаграмма эквивалентна процессу тормозного излучения . Эта дополнительная диаграмма должна быть включена, поскольку нет физического способа отличить фотон с нулевой энергией, текущий через петлю, как в вершинной диаграмме, от фотонов с нулевой энергией, испускаемых через тормозное излучение . С математической точки зрения, ИК-расхождения можно упорядочить, предположив дробное дифференцирование по параметру, например:

\left(p^{2}-a^{2}\right)^{\frac {1}{2}}

хорошо определена при $p = a,$ но является УФ-расходящейся; если мы возьмем 3 ⁄ 2 -ю дробную производную по $- a 2$ , мы получим ИК-расходимость

{\frac {1}{p^{2}-a^{2}}},

поэтому мы можем исправить ИК-расхождения, превратив их в УФ-расхождения. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Петлевая дивергенция

Рисунок 2. Диаграмма, способствующая электрон-электронному рассеянию в КЭД. Петля имеет ультрафиолетовую расходимость.

Диаграмма на рисунке 2 показывает один из нескольких однопетлевых вкладов в электрон-электронное рассеяние в КЭД. Электрон на левой стороне диаграммы, представленный сплошной линией, начинает с 4-импульса $p μ$ и заканчивает с 4-импульсом $r μ$ . Он испускает виртуальный фотон, переносящий $r μ - p μ ,$ чтобы передать энергию и импульс другому электрону. Но на этой диаграмме, прежде чем это произойдет, он испускает другой виртуальный фотон, переносящий 4-импульс $q μ$ , и он поглощает его после испускания другого виртуального фотона. Сохранение энергии и импульса не определяет 4-импульс $q μ$ однозначно, поэтому все возможности вносят одинаковый вклад, и мы должны интегрировать.

Амплитуда этой диаграммы заканчивается, среди прочего, фактором из цикла

-ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(p-q)_{\beta }+m)}{(p-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.

Различные факторы $γ μ$ в этом выражении являются гамма-матрицами , как в ковариантной формулировке уравнения Дирака ; они связаны со спином электрона. Факторы $e$ являются константой электрической связи, в то время как обеспечивают эвристическое определение контура интегрирования вокруг полюсов в пространстве импульсов. Важной частью для наших целей является зависимость от $q$ $μ$ трех больших факторов в подынтегральном выражении, которые исходят от пропагаторов двух электронных линий и фотонной линии в петле. $i\epsilon$

В нем есть часть с двумя степенями $q μ$ наверху, которая доминирует при больших значениях $q μ$ (Покорски, 1987, стр. 122):

e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(r-q)^{2}(p-q)^{2}q^{2}}}.

Этот интеграл расходящийся и бесконечный, если только мы каким-то образом не отсекаем его при конечной энергии и импульсе.

Аналогичные петлевые расхождения встречаются и в других квантовых теориях поля.

Перенормированные и голые величины

Решение состояло в том, чтобы понять, что величины, изначально появляющиеся в формулах теории (например, формула для лагранжиана ), представляющие такие вещи, как электрический заряд и масса электрона , а также нормировки самих квантовых полей, на самом деле не соответствовали физическим константам, измеренным в лаборатории. Как было написано, они были голыми величинами, которые не учитывали вклад эффектов петли виртуальной частицы в сами физические константы . Помимо прочего, эти эффекты включали бы квантовый аналог электромагнитной обратной реакции, которая так раздражала классических теоретиков электромагнетизма. В общем, эти эффекты были бы такими же расходящимися, как и амплитуды, рассматриваемые изначально; поэтому конечные измеренные величины, в общем, подразумевали бы расходящиеся голые величины.

Чтобы войти в контакт с реальностью, формулы должны быть переписаны в терминах измеримых, перенормированных величин. Заряд электрона, скажем, будет определен в терминах величины, измеренной в определенной кинематической точке перенормировки или точке вычитания (которая, как правило, будет иметь характерную энергию, называемую шкалой перенормировки или просто шкалой энергии ). Оставшиеся части лагранжиана, включающие оставшиеся части голых величин, затем могут быть переинтерпретированы как контрчлены , вовлеченные в расходящиеся диаграммы, точно отменяющие проблемные расхождения для других диаграмм.

Перенормировка в КЭД

Рисунок 3. Вершина, соответствующая контрчлену $Z 1,$ отменяет расхождение на рисунке 2.

Например, в лагранжиане КЭД

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }

поля и константа связи на самом деле являются голыми величинами, отсюда и нижний индекс $B$ выше. Обычно голые величины записываются так, что соответствующие лагранжевы члены являются кратными перенормированным:

\left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi

\left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi

\left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{3}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.

Калибровочная инвариантность , посредством тождества Уорда-Такахаши , как оказывается, подразумевает, что мы можем перенормировать два члена ковариантной производной части

{\bar {\psi }}(\partial +ieA)\psi

вместе (Покорский 1987, стр. 115), что и произошло с $Z 2$ ; это то же самое, что и $Z 1$ .

Тогда член в этом лагранжиане, например, взаимодействие электрона и фотона, изображенное на рисунке 1, можно записать следующим образом:

{\mathcal {L}}_{I}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -(Z_{1}-1)e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi

Физическая константа $e$ , заряд электрона, может быть затем определена в терминах некоторого конкретного эксперимента: мы устанавливаем масштаб перенормировки равным энергетической характеристике этого эксперимента, и первый член дает взаимодействие, которое мы видим в лаборатории (вплоть до малых конечных поправок от петлевых диаграмм, обеспечивая такую экзотику, как поправки высокого порядка к магнитному моменту ). Остальное — контрчлен. Если теория перенормируема ( см. ниже для получения дополнительной информации об этом), как в КЭД, расходящиеся части петлевых диаграмм могут быть разложены на части с тремя или менее концами, с алгебраической формой, которая может быть отменена вторым членом (или аналогичными контрчленами, которые происходят от $Z 0$ и $Z 3$ ).

Диаграмма с вершиной взаимодействия контрчлена $Z 1 ,$ размещенной, как на рисунке 3, устраняет расхождение с петлей на рисунке 2.

Исторически разделение «голых членов» на исходные члены и контрчлены произошло до появления идей ренормгруппы Кеннета Уилсона . ^[22] Согласно этим идеям ренормгруппы , подробно изложенным в следующем разделе, это разделение является неестественным и фактически нефизическим, поскольку все масштабы проблемы входят в нее непрерывным систематическим образом.

Ходовые муфты

Чтобы минимизировать вклад петлевых диаграмм в заданный расчет (и, следовательно, облегчить извлечение результатов), выбирается точка перенормировки, близкая к энергиям и импульсам, обмениваемым при взаимодействии. Однако точка перенормировки сама по себе не является физической величиной: физические предсказания теории, рассчитанные для всех порядков, в принципе должны быть независимы от выбора точки перенормировки, пока она находится в области применения теории. Изменения масштаба перенормировки просто повлияют на то, какая часть результата исходит из диаграмм Фейнмана без петель, а какая — из оставшихся конечных частей петлевых диаграмм. Можно использовать этот факт для вычисления эффективного изменения физических констант с изменением масштаба. Это изменение кодируется бета-функциями , и общая теория такого рода зависимости от масштаба известна как группа перенормировки .

В разговорной речи физики-частицы часто говорят о некоторых физических «константах», как об изменяющихся с энергией взаимодействия, хотя на самом деле независимой величиной является масштаб перенормировки. Однако этот ход событий обеспечивает удобное средство описания изменений в поведении теории поля при изменении энергий, участвующих во взаимодействии. Например, поскольку связь в квантовой хромодинамике становится малой при больших масштабах энергии, теория ведет себя скорее как свободная теория, когда энергия, обмениваемая при взаимодействии, становится большой — явление, известное как асимптотическая свобода . Выбор увеличивающегося масштаба энергии и использование группы перенормировки ясно показывают это из простых диаграмм Фейнмана; если бы этого не было, предсказание было бы тем же самым, но возникло бы из-за сложных сокращений высокого порядка.

Например,

I=\int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}\,dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}\,dz=\ln a-\ln b-\ln 0+\ln 0

нечетко определен.

Чтобы устранить расходимость, просто заменим нижний предел интеграла на $ε a$ и $ε b$ :

I=\ln a-\ln b-\ln {\varepsilon _{a}}+\ln {\varepsilon _{b}}=\ln {\tfrac {a}{b}}-\ln {\tfrac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}

Убедившись $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ε б/ε а⁠ → 1$ , тогда $I = ln ⁠ а / б ⁠ .$

Регуляризация

Поскольку величина $\infty - \infty$ определена неточно, для того чтобы сделать это понятие устранения расходимостей точным, расходимости сначала необходимо математически укротить с помощью теории пределов в процессе, известном как регуляризация (Вайнберг, 1995).

По существу произвольная модификация интегрантов цикла, или регулятора , может заставить их убывать быстрее при высоких энергиях и импульсах, таким образом, что интегралы сходятся. Регулятор имеет характерную шкалу энергии, известную как обрезание ; приведение этого обрезания к бесконечности (или, что эквивалентно, соответствующей шкалы длины/времени к нулю) восстанавливает исходные интегралы.

При наличии регулятора и конечного значения для отсечки расходящиеся члены в интегралах затем превращаются в конечные, но зависящие от отсечки члены. После отмены этих членов с вкладами от зависящих от отсечки контрчленов отсечка переносится на бесконечность и восстанавливаются конечные физические результаты. Если физика в масштабах, которые мы можем измерить, не зависит от того, что происходит на самых коротких расстояниях и временных масштабах, то должно быть возможно получить независимые от отсечки результаты для вычислений.

В вычислениях квантовой теории поля используется множество различных типов регуляторов, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Одним из самых популярных в современном использовании является размерная регуляризация , изобретенная Герардусом т Хоофтом и Мартинусом Дж. Г. Вельтманом ^[23], которая укрощает интегралы, перенося их в пространство с фиктивным дробным числом измерений. Другой — регуляризация Паули–Вилларса , которая добавляет в теорию фиктивные частицы с очень большими массами, так что петлевые интегранты, включающие массивные частицы, отменяют существующие петли при больших импульсах.

Еще одна схема регуляризации — это решеточная регуляризация , введенная Кеннетом Уилсоном , которая делает вид, что гиперкубическая решетка конструирует наше пространство-время с фиксированным размером сетки. Этот размер является естественным ограничением для максимального импульса, которым может обладать частица при распространении по решетке. И после выполнения расчета на нескольких решетках с разным размером сетки физический результат экстраполируется на размер сетки 0, или нашу естественную вселенную. Это предполагает существование предела масштабирования .

Строгий математический подход к теории перенормировки — это так называемая теория причинных возмущений , где ультрафиолетовые расходимости избегаются с самого начала в вычислениях путем выполнения четко определенных математических операций только в рамках теории распределения . В этом подходе расходимости заменяются неоднозначностью: расходящейся диаграмме соответствует термин, который теперь имеет конечный, но неопределенный коэффициент. Затем должны использоваться другие принципы, такие как калибровочная симметрия, чтобы уменьшить или устранить неоднозначность.

Отношение и интерпретация

Ранние формулировщики КЭД и других квантовых теорий поля, как правило, были недовольны таким положением дел. Казалось незаконным делать что-то равносильное вычитанию бесконечностей из бесконечностей, чтобы получить конечные ответы.

Фримен Дайсон утверждал, что эти бесконечности имеют базовую природу и не могут быть устранены никакими формальными математическими процедурами, такими как метод перенормировки. ^[24]^[25]

Критика Дирака была наиболее настойчивой. ^[26] Еще в 1975 году он говорил: ^[27]

Большинство физиков очень довольны ситуацией. Они говорят: «Квантовая электродинамика — хорошая теория, и нам больше не нужно о ней беспокоиться». Должен сказать, что я очень недоволен ситуацией, потому что эта так называемая «хорошая теория» действительно подразумевает пренебрежение бесконечностями, которые появляются в ее уравнениях, игнорируя их произвольным образом. Это просто не разумная математика. Разумная математика подразумевает пренебрежение величиной, когда она мала — а не пренебрежение ею только потому, что она бесконечно велика, и она вам не нужна!

Другим важным критиком был Фейнман . Несмотря на свою решающую роль в развитии квантовой электродинамики, он написал следующее в 1985 году: ^[28]

Игра в наперстки, в которую мы играем, чтобы найти n и j , технически называется «перенормировкой». Но каким бы умным ни было это слово, я бы все равно назвал это сумасшедшим процессом! Необходимость прибегнуть к таким фокусам помешала нам доказать, что теория квантовой электродинамики математически самосогласована. Удивительно, что теория до сих пор не доказала свою самосогласованность тем или иным способом; я подозреваю, что перенормировка математически нелегитимна.

Фейнман был обеспокоен тем, что все теории поля, известные в 1960-х годах, обладали свойством, что взаимодействия становились бесконечно сильными на достаточно коротких расстояниях. Это свойство, называемое полюсом Ландау , делало вероятным, что все квантовые теории поля были непоследовательными. В 1974 году Гросс , Политцер и Вильчек показали, что другая квантовая теория поля, квантовая хромодинамика , не имеет полюса Ландау. Фейнман, как и большинство других, признал, что КХД была полностью последовательной теорией. ^{[ необходима цитата ]}

Общее беспокойство было почти всеобщим в текстах вплоть до 1970-х и 1980-х годов. Однако, начиная с 1970-х годов, вдохновленное работой над группой перенормировки и эффективной теорией поля , и несмотря на то, что Дирак и другие — все они принадлежали к старшему поколению — никогда не отказывались от своей критики, отношение начало меняться, особенно среди молодых теоретиков. Кеннет Г. Уилсон и другие продемонстрировали, что группа перенормировки полезна в статистической теории поля, применяемой к физике конденсированного состояния , где она дает важные сведения о поведении фазовых переходов . В физике конденсированного состояния существует физический регулятор на малых расстояниях: материя перестает быть непрерывной в масштабе атомов . Расходимости на малых расстояниях в физике конденсированного состояния не представляют философской проблемы, поскольку теория поля в любом случае является лишь эффективным, сглаженным представлением поведения материи; бесконечностей не существует, поскольку пороговое значение всегда конечно, и вполне логично, что голые величины зависят от порогового значения.

Если КТП остается верной вплоть до длины Планка (где она может уступить место теории струн , теории причинных множеств или чему-то другому), то в физике элементарных частиц также может не быть реальной проблемы с расходимостями на малых расстояниях ; все теории поля могли бы быть просто эффективными полевыми теориями. В некотором смысле этот подход перекликается со старой позицией, согласно которой расходимости в КТП говорят о незнании человеком принципов работы природы, но также признает, что это незнание может быть количественно определено и что полученные эффективные теории остаются полезными.

Как бы то ни было, замечание Салама [ ^29] в 1972 году кажется все еще актуальным.

Теоретико-полевые бесконечности – впервые встретившиеся в расчетах Лоренца собственной массы электрона – сохранялись в классической электродинамике семьдесят лет, а в квантовой электродинамике около тридцати пяти лет. Эти долгие годы разочарования оставили в субъекте любопытную привязанность к бесконечностям и страстную веру в то, что они являются неизбежной частью природы; настолько, что даже предположение о надежде на то, что их можно, в конце концов, обойти – и вычислить конечные значения для констант перенормировки – считается иррациональным. Сравните постскриптум Рассела к третьему тому его автобиографии The Final Years, 1944–1969 (George Allen and Unwin, Ltd., London 1969), ^[30] стр. 221:

В современном мире, если сообщества несчастны, то это часто происходит из-за невежества, привычек, убеждений и страстей, которые для них дороже счастья или даже жизни. Я нахожу много мужчин в наш опасный век, которые, кажется, влюблены в несчастье и смерть и которые злятся, когда им предлагают надежду. Они думают, что надежда иррациональна и что, садясь в ленивое отчаяние, они просто сталкиваются с фактами.

В QFT значение физической константы, в общем, зависит от масштаба, который выбирается в качестве точки перенормировки, и становится очень интересным исследовать работу группы перенормировки физических констант при изменениях масштаба энергии. Константы связи в Стандартной модели физики элементарных частиц изменяются по-разному с ростом масштаба энергии: связь квантовой хромодинамики и слабая изоспиновая связь электрослабой силы имеют тенденцию к уменьшению, а слабая гиперзарядная связь электрослабой силы имеет тенденцию к увеличению. При колоссальном масштабе энергии 10 ¹⁵ ГэВ (далеко за пределами досягаемости наших современных ускорителей частиц ) все они становятся примерно одинакового размера (Grotz and Klapdor 1990, p. 254), что является основной мотивацией для спекуляций о великой объединенной теории . Вместо того чтобы быть только тревожной проблемой, перенормировка стала важным теоретическим инструментом для изучения поведения теорий поля в различных режимах.

Если теория, включающая перенормировку (например, QED), может быть разумно интерпретирована только как эффективная теория поля, т. е. как приближение, отражающее человеческое невежество относительно работы природы, то остается проблема открытия более точной теории, которая не имеет этих проблем перенормировки. Как выразился Льюис Райдер , «В квантовой теории эти [классические] расхождения не исчезают; напротив, они, по-видимому, ухудшаются. И несмотря на сравнительный успех теории перенормировки, остается ощущение, что должен быть более удовлетворительный способ делать вещи». ^[31]

Перенормируемость

Из этой философской переоценки естественным образом вытекает новая концепция: понятие перенормируемости. Не все теории поддаются перенормировке описанным выше способом, с конечным запасом контрчленов и всеми величинами, становящимися независимыми от обрезания в конце расчета. Если лагранжиан содержит комбинации операторов поля достаточно высокой размерности в единицах энергии, контрчлены, необходимые для отмены всех расходимостей, размножаются до бесконечного числа, и, на первый взгляд, теория, по-видимому, приобретает бесконечное число свободных параметров и, следовательно, теряет всю предсказательную силу, становясь научно бесполезными. Такие теории называются неперенормируемыми .

Стандартная модель физики элементарных частиц содержит только перенормируемые операторы, но взаимодействия общей теории относительности становятся неперенормируемыми операторами, если попытаться построить полевую теорию квантовой гравитации наиболее простым способом (рассматривая метрику в лагранжиане Эйнштейна–Гильберта как возмущение относительно метрики Минковского ), что предполагает, что теория возмущений неудовлетворительна в применении к квантовой гравитации.

Однако в эффективной теории поля термин «перенормируемость» является, строго говоря, неправильным . В неперенормируемой эффективной теории поля члены в лагранжиане действительно умножаются до бесконечности, но имеют коэффициенты, подавленные все более экстремальными обратными степенями энергетической обрезки. Если обрезка является реальной физической величиной — то есть если теория является только эффективным описанием физики до некоторой максимальной энергии или минимального масштаба расстояний — то эти дополнительные члены могут представлять реальные физические взаимодействия. Предполагая, что безразмерные константы в теории не становятся слишком большими, можно сгруппировать вычисления по обратным степеням обрезки и извлечь приближенные предсказания до конечного порядка в обрезке, которые все еще имеют конечное число свободных параметров. Может быть даже полезно перенормировать эти «неренормируемые» взаимодействия.

Неперенормируемые взаимодействия в эффективных теориях поля быстро ослабевают, когда масштаб энергии становится намного меньше, чем обрезание. Классический пример — теория Ферми слабой ядерной силы , неперенормируемая эффективная теория, обрезание которой сравнимо с массой частицы W. Этот факт также может дать возможное объяснение того, почему почти все взаимодействия частиц, которые мы видим, описываются перенормируемыми теориями. Может быть, что любые другие, которые могут существовать в масштабах GUT или Планка, просто становятся слишком слабыми, чтобы их можно было обнаружить в области, которую мы можем наблюдать, за одним исключением: гравитация , чье чрезвычайно слабое взаимодействие усиливается присутствием огромных масс звезд и планет . ^{[ требуется ссылка ]}

Схемы перенормировки

В реальных расчетах контрчлены, введенные для устранения расхождений в расчетах диаграммы Фейнмана за пределами уровня дерева, должны быть зафиксированы с использованием набора условий перенормировки . Распространенные схемы перенормировки, используемые в использовании, включают:

Схема минимального вычитания (MS) и связанная с ней модифицированная схема минимального вычитания (MS-bar)
Схема на оболочке

Кроме того, существует «естественное» определение перенормированной связи (объединенной с пропагатором фотона) как пропагатора дуальных свободных бозонов, которое явно не требует введения контрчленов. ^[32]

В статистической физике

История

Более глубокое понимание физического смысла и обобщение процесса перенормировки, выходящее за рамки группы дилатации обычных перенормируемых теорий, пришло из физики конденсированного состояния. В статье Лео П. Каданова 1966 года была предложена группа перенормировки «блок-спин». ^[33] Идея блокировки — это способ определения компонентов теории на больших расстояниях как совокупностей компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватывал концептуальную точку и получил полное вычислительное содержание ^[22] в обширных важных вкладах Кеннета Уилсона . Сила идей Уилсона была продемонстрирована конструктивным итеративным ренормализационным решением давней проблемы, проблемы Кондо , в 1974 году, а также предшествующими основополагающими разработками его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критических явлений в 1971 году. За эти решающие вклады он был удостоен Нобелевской премии в 1982 году.

Принципы

В более технических терминах предположим, что у нас есть теория, описываемая определенной функцией переменных состояния и определенным набором констант связи . Эта функция может быть статистической суммой , действием , гамильтонианом и т. д. Она должна содержать полное описание физики системы. $Z$ $\{s_{i}\}$ $\{J_{k}\}$

Теперь рассмотрим некоторое блокирующее преобразование переменных состояния , число должно быть меньше числа . Теперь попробуем переписать функцию только в терминах . Если это достижимо определенным изменением параметров, , то говорят, что теория перенормируема . $\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$ ${\tilde {s}}_{i}$ $s_{i}$ $Z$ ${\tilde {s}}_{i}$ $\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$

Возможные макроскопические состояния системы в больших масштабах задаются этим набором фиксированных точек.

Ренормгруппа неподвижных точек

Самая важная информация в потоке RG — это его неподвижные точки . Неподвижная точка определяется обращением в нуль бета-функции, связанной с потоком. Затем неподвижные точки группы перенормировки по определению масштабно инвариантны. Во многих случаях, представляющих физический интерес, масштабная инвариантность расширяется до конформной инвариантности. Тогда в неподвижной точке получается конформная теория поля .

Способность нескольких теорий сходиться к одной и той же фиксированной точке приводит к универсальности .

Если эти фиксированные точки соответствуют свободной теории поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность . Многочисленные фиксированные точки появляются при изучении решеточных теорий Хиггса , но природа квантовых теорий поля, связанных с ними, остается открытым вопросом. ^[34]

Смотрите также

Ссылки

↑ См., например, Вайнберг, том I, глава 10.
^ Санюк, Валерий И.; Суханов, Александр Д. (1 сентября 2003 г.). «Дирак в физике 20 века: оценка столетия». Успехи физики . 46 (9): 937–956. doi :10.1070/PU2003v046n09ABEH001165. ISSN 1063-7869.
^ Кар, Арнаб (2014). Перенормировка от классической к квантовой физике (диссертация). Университет Рочестера.
^ Крамерс представил свою работу на конференции Shelter Island 1947 года , повторил ее в 1948 году на конференции Solvay . Последняя не была напечатана до Proceedings of the Solvay Conference, опубликованных в 1950 году (см. Laurie M. Brown (ред.), Renormalization: From Lorentz to Landau (and Beyond) , Springer, 2012, стр. 53). Подход Крамерса был нерелятивистским (см. Jagdish Mehra , Helmut Rechenberg , The Conceptual Completion and Extensions of Quantum Mechanics 1932–1941. Epilogue: Aspects of the Further Development of Quantum Theory 1942–1999: Volumes 6, Part 2 , Springer, 2001, стр. 1050).
^ H. Bethe (1947). «Электромагнитный сдвиг уровней энергии». Physical Review . 72 (4): 339–341. Bibcode : 1947PhRv...72..339B. doi : 10.1103/PhysRev.72.339. S2CID 120434909.
^ Швингер, Дж. (1948). «О квантовой электродинамике и магнитном моменте электрона». Physical Review . 73 (4): 416–417. Bibcode :1948PhRv...73..416S. doi : 10.1103/PhysRev.73.416 .
^ Швингер, Дж. (1948). «I. Ковариантная формулировка». Physical Review . Квантовая электродинамика. 74 (10): 1439–1461. Bibcode :1948PhRv...74.1439S. doi :10.1103/PhysRev.74.1439.
^ Швингер, Дж. (1949). "II. Поляризация вакуума и собственная энергия". Physical Review . Квантовая электродинамика. 75 (4): 651–679. Bibcode :1949PhRv...75..651S. doi :10.1103/PhysRev.75.651.
^ Швингер, Дж. (1949). "III. Электромагнитные свойства электронных радиационных поправок к рассеянию". Physical Review . Квантовая электродинамика. 76 (6): 790–817. Bibcode :1949PhRv...76..790S. doi :10.1103/PhysRev.76.790.
^ Фейнман, Ричард П. (1948). "Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 20 (2): 367–387. Bibcode :1948RvMP...20..367F. doi :10.1103/RevModPhys.20.367.
^ Фейнман, Ричард П. (1948). «Релятивистское обрезание для классической электродинамики» (PDF) . Physical Review . 74 (8): 939–946. Bibcode :1948PhRv...74..939F. doi :10.1103/PhysRev.74.939.
^ Фейнман, Ричард П. (1948). «Релятивистское обрезание для квантовой электродинамики» (PDF) . Physical Review . 74 (10): 1430–1438. Bibcode :1948PhRv...74.1430F. doi :10.1103/PhysRev.74.1430.
↑ Tomonaga, S. (1 августа 1946 г.). «О релятивистски инвариантной формулировке квантовой теории волновых полей». Progress of Theoretical Physics . 1 (2). Oxford University Press (OUP): 27–42. Bibcode : 1946PThPh...1...27T. doi : 10.1143/ptp.1.27 . ISSN 1347-4081.
^ Коба, З.; Тати, Т.; Томонага, С.-и. (1 октября 1947 г.). «О релятивистски инвариантной формулировке квантовой теории волновых полей. II: Случай взаимодействующих электромагнитных и электронных полей». Progress of Theoretical Physics . 2 (3). Oxford University Press (OUP): 101–116. Bibcode : 1947PThPh...2..101K. doi : 10.1143/ptp/2.3.101 . ISSN 0033-068X.
^ Коба, З.; Тати, Т.; Томонага, С.-и. (1 декабря 1947 г.). «О релятивистски инвариантной формулировке квантовой теории волновых полей. III: Случай взаимодействующих электромагнитных и электронных полей». Progress of Theoretical Physics . 2 (4). Oxford University Press (OUP): 198–208. Bibcode : 1947PThPh...2..198K. doi : 10.1143/ptp/2.4.198 . ISSN 0033-068X.
^ Канесава, С.; Томонага, С.-и. (1 марта 1948 г.). «О релятивистски инвариантной формулировке квантовой теории волновых полей. [IV]: Случай взаимодействующих электромагнитных и мезонных полей». Progress of Theoretical Physics . 3 (1). Oxford University Press (OUP): 1–13. doi : 10.1143/ptp/3.1.1 . ISSN 0033-068X.
^ Канесава, С.; Томонага, С.-и. (1 июня 1948 г.). «О релятивистски инвариантной формулировке квантовой теории волновых полей V: случай взаимодействующих электромагнитных и мезонных полей». Progress of Theoretical Physics . 3 (2). Oxford University Press (OUP): 101–113. Bibcode : 1948PThPh...3..101K. doi : 10.1143/ptp/3.2.101 . ISSN 0033-068X.
^ Коба, З.; Томонага, С.-и. (1 сентября 1948 г.). «О радиационных реакциях в процессах столкновений. I: Применение метода «самосогласованного» вычитания к упругому рассеянию электрона». Progress of Theoretical Physics . 3 (3). Oxford University Press (OUP): 290–303. Bibcode : 1948PThPh...3..290K. doi : 10.1143/ptp/3.3.290. ISSN 0033-068X.
↑ Томонага, Син-Итиро; Оппенгеймер, Дж. Р. (15 июля 1948 г.). «О реакциях бесконечного поля в квантовой теории поля». Physical Review . 74 (2). Американское физическое общество (APS): 224–225. Bibcode :1948PhRv...74..224T. doi :10.1103/physrev.74.224. ISSN 0031-899X.
^ Дайсон, Ф. Дж. (1949). «Теории излучения Томонаги, Швингера и Фейнмана». Phys. Rev. 75 ( 3): 486–502. Bibcode :1949PhRv...75..486D. doi : 10.1103/PhysRev.75.486 .
^ Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Чтение: Эддисон-Уэсли. Глава 10. ISBN 9780201503975.
^ ab Wilson, Kenneth G. (1 октября 1975 г.). «Группа перенормировки: критические явления и проблема Кондо». Reviews of Modern Physics . 47 (4). Американское физическое общество (APS): 773–840. Bibcode : 1975RvMP...47..773W. doi : 10.1103/revmodphys.47.773. ISSN 0034-6861.
^ 'т Хоофт, Г.; Вельтман, М. (1972). «Регуляризация и перенормировка калибровочных полей». Nuclear Physics B. 44 ( 1): 189–213. Bibcode :1972NuPhB..44..189T. doi :10.1016/0550-3213(72)90279-9. hdl : 1874/4845 .
^ Дайсон, Ф. Дж. (15 февраля 1952 г.). «Расходимость теории возмущений в квантовой электродинамике». Physical Review . 85 (4). Американское физическое общество (APS): 631–632. Bibcode : 1952PhRv...85..631D. doi : 10.1103/physrev.85.631. ISSN 0031-899X.
^ Stern, AW (7 ноября 1952 г.). «Пространство, поле и эфир в современной физике». Science . 116 (3019). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): 493–496. Bibcode :1952Sci...116..493S. doi :10.1126/science.116.3019.493. ISSN 0036-8075. PMID 17801299.
↑ П. А. М. Дирак, «Эволюция картины природы физиком», в журнале Scientific American, май 1963 г., стр. 53.
^ Краг, Хельге; Дирак: Научная биография , CUP 1990, с. 184
^ Фейнман, Ричард П. КЭД: Странная теория света и материи . Принстон: Princeton University Press, 1985, стр. 128. Процитированный отрывок доступен здесь через Google Books (электронная версия 2014 года переиздания 2006 года первого издания 1985 года).
^ Isham, CJ; Salam, Abdus; Strathdee, J. (15 мая 1972 г.). «Подавление бесконечности в модифицированной гравитацией электродинамике. II». Physical Review D. 5 ( 10). Американское физическое общество (APS): 2548–2565. Bibcode : 1972PhRvD...5.2548I. doi : 10.1103/physrevd.5.2548. ISSN 0556-2821.
^ Рассел, Бертран. Автобиография Бертрана Рассела: Последние годы, 1944-1969 (Bantam Books, 1970)
^ Райдер, Льюис. Квантовая теория поля , стр. 390 (Cambridge University Press, 1996).
^ Makogon, D.; Morais Smith, C. (2022). «Приближение медианной точки и его применение для изучения фермионных систем». Phys. Rev. B. 105 ( 17): 174505. arXiv : 1909.12553 . Bibcode : 2022PhRvB.105q4505M. doi : 10.1103/PhysRevB.105.174505. S2CID 203591796.
^ Л. П. Каданофф (1966): «Законы масштабирования для моделей Изинга вблизи », Физика (Лонг-Айленд-Сити, Нью-Йорк) 2 , 263. $T_{c}$
^ DJE Callaway (1988). «Погоня за тривиальностью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Physics Reports . 167 (5): 241–320. Bibcode : 1988PhR...167..241C. doi : 10.1016/0370-1573(88)90008-7.

Дальнейшее чтение

Общее введение

ДеДео, Саймон; Введение в ренормализацию (2017). MOOC Santa Fe Institute Complexity Explorer. Ренормализация с точки зрения сложных систем, включая цепи Маркова, клеточные автоматы, модель Изинга в реальном пространстве, теорему Крона-Роудса, КЭД и теорию искажения скорости.
Деламотт, Бертран (2004). «Намек на перенормировку». American Journal of Physics . 72 (2): 170–184. arXiv : hep-th/0212049 . Bibcode : 2004AmJPh..72..170D. doi : 10.1119/1.1624112. S2CID 2506712.
Баез, Джон; Renormalization Made Easy, (2005). Качественное введение в предмет.
Блехман, Эндрю Э.; Ренормализация: наш сильно непонятый друг, (2002). Краткое изложение лекции; содержит дополнительную информацию о конкретных схемах регуляризации и вычитания расходимости.
Цао, Тянь Юй; Швебер, Сильван С. (1993). «Концептуальные основы и философские аспекты теории перенормировки». Synthese . 97 : 33–108. doi :10.1007/BF01255832. S2CID 46968305.
Ширков, Дмитрий ; Fifty Years of the Renormalization Group , CERN Courrier 41(7) (2001). Полный текст доступен на сайте: IOP Magazines.
Э. Элизалде; Методы дзета-регуляризации и их применение .

В основном: квантовая теория поля

Н. Н. Боголюбов , Д. В. Ширков (1959): Теория квантованных полей . Нью-Йорк, Interscience. Первый учебник по теории ренормгруппы .
Райдер, Льюис Х.; Квантовая теория поля (Издательство Кембриджского университета, 1985), ISBN 0-521-33859-X Легко читаемый учебник, безусловно, лучшее введение в релятивистскую КТП для физики элементарных частиц.
Зи, Энтони; Квантовая теория поля в двух словах , Princeton University Press (2003) ISBN 0-691-01019-6 . Еще один превосходный учебник по КТП
Вайнберг, Стивен; Квантовая теория полей (3 тома) Cambridge University Press (1995). Монументальный трактат по КТП, написанный ведущим специалистом, лауреатом Нобелевской премии 1979 года.
Покорский, Стефан; Калибровочные теории поля , Cambridge University Press (1987) ISBN 0-521-47816-2 .
'т Хоофт, Джерард; Славные дни физики – Перенормировка калибровочных теорий , лекция, прочитанная в Эриче (август/сентябрь 1998 г.) лауреатом Нобелевской премии 1999 г. Полный текст доступен по адресу: hep-th/9812203.
Ривассо, Винсент; Введение в перенормировку , Семинар Пуанкаре (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Дюплантье, Бертран; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 г. , Progress in Mathematical Physics 30, Биркхойзер (2003) ISBN 3-7643-0579-7 . Полный текст доступен в PostScript.
Ривассо, Винсент; От пертурбативной к конструктивной перенормировке , Princeton University Press (1991) ISBN 0-691-08530-7 . Полный текст доступен в PostScript ^[^{постоянная нерабочая ссылка}^] и в формате PDF (черновая версия).
Iagolnitzer, Daniel & Magnen, J.; Анализ ренормгруппы , Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publisher (1996). Полный текст доступен в PostScript и pdf здесь.
Шарф, Гюнтер; Конечная квантовая электродинамика: причинный подход , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York (1995) ISBN 3-540-60142-2 .
А. С. Шварц ( Альберт Шварц ), Математические основы квантовой теории поля, (Математические аспекты квантовой теории поля), Атомиздат, Москва, 1975. 368 с.

В основном: статистическая физика

А. Н. Васильев; Теоретико-полевая ренормализационная группа в теории критического поведения и стохастической динамике (Routledge Chapman & Hall 2004); ISBN 978-0-415-31002-4
Найджел Голденфельд ; Лекции по фазовым переходам и ренормгруппе , Frontiers in Physics 85, Westview Press (июнь 1992 г.) ISBN 0-201-55409-7 . Охватывая элементарные аспекты физики фазовых переходов и ренормгруппы, эта популярная книга делает акцент на понимании и ясности, а не на технических манипуляциях.
Зинн-Джастин, Жан; Квантовая теория поля и критические явления , Oxford University Press (4-е издание – 2002) ISBN 0-19-850923-5 . Шедевр по применению методов перенормировки к вычислению критических показателей в статистической механике, следуя идеям Вильсона (Кеннет Вильсон был лауреатом Нобелевской премии 1982 года).
Zinn-Justin, Jean; Phase Transitions & Renormalization Group: from Theory to Numbers , Poincaré Seminar (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (ред.); Poincaré Seminar 2002 , Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003) ISBN 3-7643-0579-7 . Полный текст доступен в PostScript Архивировано 15 октября 2005 г. на Wayback Machine .
Домб, Сирил; Критическая точка: историческое введение в современную теорию критических явлений , CRC Press (март 1996 г.) ISBN 0-7484-0435-X .
Браун, Лори М. (ред.); Ренормализация: от Лоренца до Ландау (и далее) , Springer-Verlag (Нью-Йорк-1993) ISBN 0-387-97933-6 .
Карди, Джон ; Масштабирование и перенормировка в статистической физике , Cambridge University Press (1996) ISBN 0-521-49959-3 .

Разнообразный

Ширков, Дмитрий ; Группа ренормализации Боголюбова , Сообщение ОИЯИ E2-96-15 (1996). Полный текст доступен по адресу: hep-th/9602024
Zinn-Justin, Jean; Ренормализация и группа ренормализации: от открытия УФ-расходимостей к концепции эффективных теорий поля , в: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (ред.), Труды NATO ASI по квантовой теории поля: перспективы и перспективы , 15–26 июня 1998 г., Les Houches, Франция, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375–388 (1999). Полный текст доступен в PostScript.
Connes, Alain; Symétries Galoisiennes & Renormalisation , Poincaré Seminar (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (ред.); Poincaré Seminar 2002 , Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003) ISBN 3-7643-0579-7 . Французский математик Ален Конн (лауреат премии Филдса 1982 г.) описал математическую базовую структуру ( алгебру Хопфа ) перенормировки и ее связь с проблемой Римана-Гильберта. Полный текст (на французском языке) доступен по адресу arXiv :math/0211199.

Внешние ссылки

Цитаты, связанные с перенормировкой в Wikiquote