Линейная группа

В математике матричная группа — это группа G, состоящая из обратимых матриц над заданным полем K , с операцией умножения матриц . Линейная группа — это группа, изоморфная матричной группе (то есть допускающая точное конечномерное представление над K ).

Любая конечная группа линейна, поскольку ее можно реализовать с помощью матриц перестановок с использованием теоремы Кэли . Среди бесконечных групп линейные группы образуют интересный и поддающийся обработке класс. Примерами групп, которые не являются линейными, являются группы, которые «слишком велики» (например, группа перестановок бесконечного множества) или которые демонстрируют некоторое патологическое поведение (например, конечно порожденные бесконечные группы кручения ).

Определение и основные примеры

Группа G называется линейной , если существует поле K , целое число d и инъективный гомоморфизм из G в общую линейную группу GL _d ( K ) (точное линейное представление размерности d над K ): при необходимости можно указать поле и размерность, сказав, что G является линейной степени d над K. Базовыми примерами являются группы, которые определяются как подгруппы линейной группы, например:

1. Сама группа GL _n ( K );
2. Специальная линейная группа SL _n ( K ) (подгруппа матриц с определителем 1);
3. Группа обратимых верхних (или нижних) треугольных матриц
4. Если g _i — набор элементов в GL _n ( K ), индексированный множеством I , то подгруппа, порожденная g _{i ,} является линейной группой.

При изучении групп Ли иногда педагогически удобно ограничить внимание группами Ли, которые могут быть точно представлены в поле комплексных чисел . (Некоторые авторы требуют, чтобы группа была представлена ​​как замкнутая подгруппа GL _n ( C ).) Книги, которые следуют этому подходу, включают Hall (2015) ^[1] и Rossmann (2002). ^[2]

Классы линейных групп

Классические группы и связанные с ними примеры

Так называемые классические группы обобщают примеры 1 и 2 выше. Они возникают как линейные алгебраические группы , то есть как подгруппы GL _{n ,} определяемые конечным числом уравнений. Основными примерами являются ортогональные , унитарные и симплектические группы, но можно построить больше, используя алгебры с делением (например, группа единиц кватернионной алгебры является классической группой). Обратите внимание, что проективные группы, связанные с этими группами, также линейны, хотя и менее очевидно. Например, группа PSL ₂ ( R ) не является группой матриц 2 × 2, но имеет точное представление в виде матриц 3 × 3 ( присоединенное представление ), которое можно использовать в общем случае.

Многие группы Ли линейны, но не все. Универсальное покрытие SL ₂ ( R ) не является линейным, как и многие разрешимые группы , например факторгруппа Гейзенберга по центральной циклической подгруппе.

Дискретные подгруппы классических групп Ли (например, решетки или тонкие группы ) также являются примерами интересных линейных групп.

Конечные группы

Конечная группа G порядка n линейна степени не выше n над любым полем K. Это утверждение иногда называют теоремой Кэли, и оно просто следует из того факта, что действие G на групповом кольце K [ G ] левым (или правым) умножением является линейным и точным. Конечные группы типа Ли (классические группы над конечными полями) являются важным семейством конечных простых групп , поскольку они занимают большую часть слотов в классификации конечных простых групп .

Конечно-генерируемые матричные группы

Хотя пример 4 выше слишком общий, чтобы определить отличительный класс (он включает все линейные группы), ограничение конечным индексным множеством I , то есть конечно порожденными группами, позволяет построить много интересных примеров. Например:

• Лемму о пинг-понге можно использовать для построения множества примеров линейных групп, которые являются свободными группами (например, группа, порожденная функцией, свободна). ${\displaystyle {\bigl (}{}_{2}^{1}\,_{1}^{0}{\bigr )},\,{\bigl (}{}_{0}^{1}\,_{1}^{2}{\bigr )}}$
• Известно, что арифметические группы конечно порождены. С другой стороны, найти явный набор генераторов для данной арифметической группы — сложная задача.
• Группы кос (которые определяются как конечно представленная группа ) имеют точное линейное представление на конечномерном комплексном векторном пространстве, где генераторы действуют посредством явных матриц. ^[3] Известно также, что группа классов отображений поверхности рода 2 является линейной. ^[4]

Примеры из геометрии

В некоторых случаях фундаментальная группа многообразия может быть показана как линейная с использованием представлений, исходящих из геометрической структуры. Например, все замкнутые поверхности рода не менее 2 являются гиперболическими римановыми поверхностями . Посредством теоремы об униформизации это приводит к представлению ее фундаментальной группы в группе изометрий гиперболической плоскости , которая изоморфна PSL ₂ ( R ), и это реализует фундаментальную группу как фуксову группу . Обобщение этой конструкции дается понятием ( G , X )-структуры на многообразии.

Другим примером является фундаментальная группа многообразий Зейферта . С другой стороны, неизвестно, являются ли все фундаментальные группы 3-многообразий линейными. ^[5]

Характеристики

Хотя линейные группы представляют собой обширный класс примеров, среди всех бесконечных групп они отличаются многими замечательными свойствами. Конечно-порожденные линейные группы обладают следующими свойствами:

• Они являются остаточно конечными ;
• Теорема Бернсайда : группа кручения конечной экспоненты , линейная над полем характеристики 0, должна быть конечной; ^[6]
• Теорема Шура: линейная группа кручения локально конечна . В частности, если она конечно порождена, то она конечна. ^[7]
• Лемма Сельберга: любая конечно порождённая линейная группа содержит подгруппу без кручения конечного индекса . ^[8]

Альтернатива Титса утверждает , что линейная группа либо содержит неабелеву свободную группу, либо является виртуально разрешимой (то есть содержит разрешимую группу конечного индекса). Это имеет много дальнейших следствий, например:

• Функция Дена конечно порожденной линейной группы может быть только полиномиальной или экспоненциальной;
• аменабельная линейная группа виртуально разрешима, в частности элементарно аменабельна ;
• гипотеза фон Неймана верна для линейных групп.

Примеры нелинейных групп

Несложно привести бесконечно порожденные примеры нелинейных групп: например, бесконечная абелева группа ( Z /2 Z ) ^N x ( Z /3 Z ) ^N не может быть линейной. ^[9] Поскольку симметрическая группа на бесконечном множестве содержит эту группу, она также не является линейной. Нахождение конечно порожденных примеров более тонко и обычно требует использования одного из свойств, перечисленных выше.

• Поскольку любая конечно линейная группа является финитно аппроксимируемой, она не может быть одновременно простой и бесконечной. Таким образом, конечно порожденные бесконечные простые группы, например группа Томпсона F , и фактор группы Хигмана по максимальной собственной нормальной подгруппе не являются линейными.
• Согласно следствию из альтернативы Титса, упомянутой выше, группы промежуточного роста, такие как группа Григорчука, не являются линейными.
• Опять же по альтернативе Титса, как упоминалось выше, все контрпримеры к гипотезе фон Неймана нелинейны. Это включает в себя группу Томпсона F и группы монстров Тарского .
• По теореме Бернсайда бесконечные конечно порожденные группы кручения, такие как группы-монстры Тарского, не могут быть линейными.
• Существуют примеры гиперболических групп , которые не являются линейными, полученные как факторы решеток в группах Ли Sp( n , 1). ^[10]
• Известно, что внешняя группа автоморфизмов Out(F _n ) свободной группы не является линейной для n не менее 4. ^[11]
• В отличие от случая групп кос, остается открытым вопрос , является ли группа классов отображений поверхности рода > 2 линейной.

Теория представления

После того, как группа установлена ​​как линейная, интересно попытаться найти "оптимальные" точные линейные представления для нее, например, наименьшей возможной размерности, или даже попытаться классифицировать все ее линейные представления (включая те, которые не являются точным). Эти вопросы являются объектом теории представлений . Существенные части теории включают в себя:

• Теория представлений конечных групп ;
• Теория представлений групп Ли и, в более общем смысле, линейных алгебраических групп.

Теория представлений бесконечных конечно порожденных групп в целом загадочна; объектом интереса в данном случае являются многообразия характеров группы, которые хорошо изучены только в очень немногих случаях, например, свободные группы, поверхностные группы и, в более общем плане, решетки в группах Ли (например, посредством теоремы Маргулиса о сверхжесткости и других результатов о жесткости).

Примечания

1. Холл (2015)
2. Россманн (2002)
3. Стивен Дж. Бигелоу (13 декабря 2000 г.), «Группы кос линейны» (PDF) , Журнал Американского математического общества , 14 (2): 471–486, doi : 10.1090/S0894-0347-00-00361-1 , S2CID  18936096
4. Бигелоу, Стивен Дж.; Будни, Райан Д. (2001), «Группа классов отображения поверхности рода два является линейной», Алгебраическая и геометрическая топология , 1 : 699–708
5. Ашенбреннер, Матиас; Фридл, Стефан; Уилтон, Генри (2015). 3–группы многообразий. Серия EMS лекций по математике. Европейская математика. Соц. Раздел 9.6.
6. Верфриц 1973, стр. 15.
7. Верфриц 1973, стр. 57.
8. Альперин, Роджер К. (1987). «Элементарное изложение леммы Сельберга». L'Enseignement Mathématique . 33 .
9. Это следует из теоремы Верфрица (1973, теорема 2.2).
10. Бествина, Младен (2004). "Вопросы геометрической теории групп" (PDF) . Вопрос 1.15 . Получено 17 августа 2016 г.
11. Форманек, Э.; Процеси, К. (1992). «Группа автоморфизмов свободной группы не является линейной». Журнал алгебры . 149 (2): 494–499. doi : 10.1016/0021-8693(92)90029-l .

Ссылки

• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли: Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 9780198596837.
• Супренко, Д.А. (1976). Матричные группы . Переводы математических монографий. Т. 45. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1595-4.
• Верфриц, БАФ (1973). Бесконечные линейные группы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 76. Шпрингер-Верлаг.