Дельта-сигма модуляция

Метод преобразования сигналов между цифровыми и аналоговыми

Рисунок 1: Полный процесс синхронного ΔΣ АЦП 1 ^-го порядка (вверху) и ΔΣ ЦАП (внизу). Каждый из них содержит петлю отрицательной обратной связи модуляции ΔΣ (фигурную скобку), которая выводит новый результат ΔΣM в каждом такте, который передается обратно для вычисления следующего результата ΔΣM . Полный процесс преобразования для каждого из них обычно включает пост- фильтрацию для демодуляции и предварительную фильтрацию для удаления псевдонимов и шума. Аналог зеленый. Цифровой — синий. DDC (цифро-цифровой преобразователь) повторно квантовает входной сигнал с высокой разрядности на низкую разрядность.

1-битная синхронная ΔΣ-модуляция (синяя) синусоидальной волны (красная).

Дельта-сигма ( ΔΣ ; или сигма-дельта , ΣΔ ) модуляция - это метод передискретизации для кодирования сигналов в цифровые сигналы малой разрядности с очень высокой частотой дискретизации как часть процесса дельта-сигма аналого-цифровых преобразователей ( АЦП) и цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП). Дельта-сигма-модуляция обеспечивает высокое качество за счет использования петли отрицательной обратной связи во время квантования до более низкой разрядности, которая непрерывно корректирует ошибки квантования и перемещает шум квантования на более высокие частоты, значительно превышающие полосу пропускания исходного сигнала . Последующая низкочастотная фильтрация для демодуляции легко удаляет этот высокочастотный шум и усреднения по времени , обеспечивая высокую точность амплитуды, которую в конечном итоге можно закодировать как импульсно-кодовую модуляцию (ИКМ).

И АЦП, и ЦАП могут использовать дельта-сигма-модуляцию. Дельта-сигма-АЦП (например, на рис. 1 вверху) кодирует аналоговый сигнал с использованием высокочастотной дельта-сигма-модуляции, а затем применяет цифровой фильтр для его демодуляции в высокоразрядный цифровой выходной сигнал с более низкой частотой дискретизации. Дельта-сигма ЦАП (например, на рис. 1 внизу) кодирует цифровой входной сигнал высокого разрешения в сигнал с более низким разрешением, но с более высокой частотой дискретизации, который затем можно преобразовать в напряжение и сгладить с помощью аналогового фильтра для демодуляции. В обоих случаях временное использование сигнала малой разрядности при более высокой частоте дискретизации упрощает проектирование схемы и использует преимущества эффективности и высокой точности по времени цифровой электроники .

В первую очередь из-за своей экономической эффективности и уменьшенной сложности схемы этот метод нашел все более широкое применение в современных электронных компонентах, таких как ЦАП, АЦП, синтезаторы частоты , импульсные источники питания и контроллеры двигателей . ^[1] Грубо квантованный выходной сигнал дельта-сигма АЦП иногда используется непосредственно при обработке сигнала или в качестве представления для хранения сигнала (например, Super Audio CD хранит необработанный выходной сигнал 1-битного дельта-сигма модулятора).

Хотя эта статья посвящена синхронной модуляции, которая требует точной тактовой частоты для квантования, асинхронная дельта-сигма модуляция вместо этого работает без тактовой частоты.

Мотивация

При прямой передаче аналогового сигнала весь шум в системе и передаче добавляется к аналоговому сигналу, снижая его качество. Оцифровка обеспечивает бесшумную передачу, хранение и обработку. Существует множество методов оцифровки.

В АЦП со скоростью Найквиста аналоговый сигнал дискретизируется с относительно низкой частотой дискретизации, чуть превышающей его частоту Найквиста (вдвое выше самой высокой частоты сигнала) и квантовается многоуровневым квантователем для получения многоразрядного цифрового сигнала . Такие методы с более высоким разрядом напрямую стремятся к точности амплитуды, но требуют чрезвычайно точных компонентов и поэтому могут страдать от плохой линейности.

Преимущества передискретизации

Вместо этого преобразователи с передискретизацией дают результат с меньшей битовой глубиной при гораздо более высокой частоте дискретизации. Это позволяет достичь сопоставимого качества, используя следующие преимущества:

• Более высокая точность времени (обеспечиваемая высокоскоростными цифровыми схемами и высокоточными часами ).
• Более высокая линейность, обеспечиваемая низкоразрядными АЦП и ЦАП (например, 1-разрядный ЦАП, который выдает только два значения точного высокого напряжения и точного низкого напряжения, в принципе, является совершенно линейным).
• Формирование шума : перемещение шума на более высокие частоты выше интересующего сигнала, чтобы его можно было легко удалить с помощью низкочастотной фильтрации .
• Снижены требования к крутизне для аналоговых фильтров нижних частот сглаживания . Фильтры высокого порядка с плоской полосой пропускания обходятся дороже в аналоговой области, чем в цифровой.

Компромисс частоты/разрешения

Еще одним ключевым аспектом передискретизации является компромисс между частотой и разрешением. Децимационный фильтр, установленный после модулятора, не только фильтрует весь дискретизированный сигнал в интересующей полосе (обрезая шум на более высоких частотах), но также уменьшает частоту дискретизации и, следовательно, представимый частотный диапазон сигнала, одновременно увеличивая выборку. амплитудное разрешение. Это улучшение разрешения по амплитуде достигается за счет своего рода усреднения битового потока с более высокой скоростью передачи данных.

Улучшение по сравнению с дельта-модуляцией

Дельта-модуляция — это более ранний метод низкобитной передискретизации, который также использует отрицательную обратную связь . Но дельта-модуляция кодирует только производную сигнала (его дельту ), а не его амплитуду , поэтому она не может передавать постоянную составляющую сигнала и подвержена помехам передачи, которые приводят к кумулятивной ошибке . Результатом является поток импульсов, представляющий движение сигнала вверх или вниз, который необходимо интегрировать для восстановления амплитуды сигнала. Дельта-модуляция страдает от перегрузки по наклону , если сигналы движутся слишком быстро. Его динамический диапазон и соотношение сигнал/шум обратно пропорциональны частоте сигнала.

Дельта-сигма-модуляция перестраивает интегратор и квантователь дельта-модулятора, так что на выходе передается информация, соответствующая амплитуде входного сигнала, а не только его производной. ^[2] Преимуществом этого также является включение желаемого формирования шума в процесс преобразования, чтобы намеренно переместить шум квантования на частоты выше, чем сигнал. Поскольку накопленный сигнал ошибки перед квантованием подвергается фильтрованию нижних частот интегратором дельта-сигма модулятора, последующая отрицательная обратная связь его результата квантования эффективно вычитает низкочастотные компоненты шума квантования, оставляя при этом более высокочастотные компоненты шума.

1-битная дельта-сигма модуляция представляет собой модуляцию плотности импульса.

В конкретном случае одноразрядного синхронного ΔΣ АЦП аналоговый сигнал напряжения эффективно преобразуется в частоту импульсов или плотность импульсов, что можно понимать как модуляцию плотности импульсов (PDM). Последовательность положительных и отрицательных импульсов, представляющих биты с известной фиксированной скоростью, очень легко генерировать, передавать и точно восстанавливать в приемнике, при условии, что можно восстановить время и знак импульсов. Учитывая такую ​​последовательность импульсов дельта-сигма модулятора, исходную форму сигнала можно восстановить с достаточной точностью.

Использование PDM в качестве представления сигнала является альтернативой PCM. Альтернативно, высокочастотный PDM может быть позже подвергнут субдискретизации посредством обработки, называемой прореживанием , и повторно квантован для преобразования его в многобитовый код PCM с более низкой частотой дискретизации, ближе к частоте Найквиста интересующей полосы частот.

История и вариации

Основополагающая статья ^[3] , сочетающая обратную связь с передискретизацией для достижения дельта-модуляции, была написана Ф. де Ягером из Philips Research Laboratories в 1952 году ^{. [4]}

Принцип улучшения разрешения грубого квантователя за счет использования обратной связи, который является основным принципом дельта-сигма-преобразования, был впервые описан в патенте, поданном в 1954 году К. Чапином Катлером из Bell Labs . ^[5] Он не был назван так до статьи 1962 года ^[6] Иносе и др. из Токийского университета , которым пришла в голову идея добавить фильтр на прямой путь дельта-модулятора. ^{[7] [примечание 1]}

В книге Вули «Эволюция аналого-цифровых преобразователей с передискретизацией» ^[3] представлена ​​более подробная история и ссылки на соответствующие патенты. Некоторые возможности изменения (которые могут применяться в различных комбинациях) - это порядок модулятора, разрядность квантователя, способ прореживания и коэффициент передискретизации.

Модулятор высшего порядка

Рисунок 2. АЦП ΔΣ-модулятора 2 ^-го порядка с шумовой обратной связью.

Формирование шума улучшается за счет каскадирования нескольких каскадов интегратора, количество которых указывает порядок ΔΣ -модулятора (например, на рисунке 2 показан модулятор 2 ^-го порядка).

Модуляторы 1- ^го порядка безусловно устойчивы, однако анализ устойчивости необходимо проводить для модуляторов с шумовой обратной связью более высокого порядка. Альтернативно, конфигурации с прямой связью по шуму всегда стабильны и требуют более простого анализа. ^{[8] §6.1}

Многобитный квантователь

Модулятор также можно классифицировать по разрядности его квантователя. Квантизатор, который различает N-уровней , называется квантователем log ₂ N бит. Например, простой компаратор имеет 2 уровня, как и 1-битный квантователь; 3-уровневый квантователь называется 1,5-битным квантователем; 4-уровневый квантователь — это 2-битный квантователь; 5-уровневый квантователь называется 2,5-битным квантователем. ^[9] Квантаторы с более высоким разрядом по своей сути производят меньший шум квантования.

Одна из критических замечаний по поводу 1-битного квантования заключается в том, что в контуре обратной связи нельзя использовать достаточное количество дизеринга , поэтому при некоторых условиях можно услышать искажения (подробнее обсудите в Direct Stream Digital § DSD и PCM ). ^{[10] [11]}

Последующее уничтожение

Децимация тесно связана с дельта-сигма-модуляцией, но она отличается от других и выходит за рамки этой статьи. В оригинальной статье 1962 года децимация не описывалась. Первоначально данные с избыточной выборкой отправлялись как есть. Предложение децимировать дельта-сигма-данные с передискретизацией с использованием цифровой фильтрации перед преобразованием их в звук PCM было сделано DJ Goodman из Bell Labs в 1969 году ^[12] для уменьшения сигнала ΔΣ из-за его высокой частоты дискретизации при одновременном увеличении его разрядности . Децимация может выполняться в отдельном чипе на приемной стороне потока битов дельта-сигма, иногда с помощью специального модуля внутри микроконтроллера , [ ^13] что полезно для взаимодействия с микрофонами PDM MEMS , ^[14] хотя многие ΔΣ АЦП интегральные схемы включают децимацию. Некоторые микроконтроллеры даже включают в себя как модулятор, так и дециматор. ^[15]

Прореживающие фильтры, наиболее часто используемые для ΔΣ АЦП, в порядке возрастания сложности и качества:

1. Фильтр скользящего среднего Boxcar ( простое скользящее среднее или фильтр sinc-in-частоты или sinc ¹ ): это самый простой цифровой фильтр, который сохраняет резкую скачкообразную характеристику, но посредственно разделяет полосы частот ^[16] и страдает от интермодуляционных искажений . Фильтр можно реализовать, просто подсчитав, сколько выборок в течение большего интервала выборки являются высокими. Статья 1974 года другого исследователя Bell Labs, Дж. К. Кэнди, «Использование колебаний предельного цикла для получения надежных аналого-цифровых преобразователей» ^[17] была одним из первых примеров этого.
2. Каскадные интеграторно-гребенчатые фильтры : они называются фильтрами sinc ^N , что эквивалентно каскадированию вышеуказанного фильтра sinc ¹ N раз и изменению порядка операций для повышения эффективности вычислений. Фильтры с меньшим значением N проще, быстрее стабилизируются и имеют меньшее затухание в основной полосе частот, в то время как фильтры с более высоким N немного сложнее, стабилизируются медленнее и имеют больший спад в полосе пропускания, но лучше подавляют нежелательный высокочастотный шум. Однако для противодействия нежелательному затуханию в полосе пропускания можно применять компенсационные фильтры. ^[18] Фильтры Sinc ^N подходят для уменьшения сигма-дельта-модуляции до уровня, в четыре раза превышающего частоту Найквиста. ^[19] Высота первой боковой нагрузки составляет -13·N дБ, а высота последующих лепестков постепенно падает, но только области вокруг нулей будут совпадать с интересующей полосой низких частот; например, при субдискретизации на 8 наибольший высокочастотный компонент с наложениями может быть на -16 дБ ниже пика интересующей полосы с фильтром sinc ¹ , но на -40 дБ ниже для фильтра sinc ³ , и если интересует только более узкая полоса пропускания , то в него будет входить еще меньше высокочастотных компонентов (см. рисунки 7–9 статьи Лиона). ^[20]
3. Оконные фильтры sinc-in-time (кирпичная стена по частоте) : хотя бесконечная поддержка функции sinc не позволяет реализовать ее за конечное время , вместо этого функцию sinc можно использовать в оконном режиме для реализации фильтров с конечной импульсной характеристикой . Эта аппроксимированная конструкция фильтра, почти не сохраняя затухания интересующей низкочастотной полосы, по-прежнему удаляет почти весь нежелательный высокочастотный шум. Обратной стороной является низкая производительность во временной области (например, перерегулирование и пульсация переходной характеристики), более высокая задержка (т. е. время свертки обратно пропорционально крутизне перехода отсечки) и более высокие вычислительные требования. ^[21] Они являются фактическим стандартом для высококачественных цифровых аудиоконвертеров.

Снижение шума основной полосы за счет увеличения коэффициента передискретизации и порядка ΔΣM.

Рисунок 3: Вверху: синусоидальный входной сигнал, наложенный на его синхронное представление ΔΣ, созданное с использованием высокого коэффициента передискретизации. В центре: фильтрация представления ΔΣ дает аппроксимацию исходной синусоидальной волны. Внизу: остаточная ошибка ΔΣ АЦП с добавлением дизеринга и без него .

Когда сигнал квантуется, результирующий сигнал можно аппроксимировать добавлением белого шума примерно одинаковой интенсивности по всему спектру. В действительности шум квантования, конечно, не является независимым от сигнала, и эта зависимость приводит к предельным циклам и является источником холостых тонов и структурного шума в дельта-сигма-преобразователях. Однако добавление шума дизеринга (рис. 3) уменьшает такие искажения , делая шум квантования более случайным.

ΔΣ АЦП уменьшают количество этого шума в основной полосе частот , расширяя его и формируя так, чтобы он преимущественно находился на более высоких частотах. Затем его можно легко отфильтровать с помощью недорогих цифровых фильтров без использования высокоточных аналоговых схем, необходимых для АЦП Найквиста.

Передискретизация для распределения шума квантования

Шум квантования в полосе частот модулирующего сигнала (от постоянного тока до ) можно уменьшить за счет увеличения коэффициента передискретизации (OSR), определяемого формулой ${\displaystyle 2f_{0}}$

${\displaystyle \mathrm {OSR} \,=\,{\frac {f_{s}}{2f_{0}}}=2^{d}}$

где — частота дискретизации, а — частота Найквиста (минимальная частота дискретизации, необходимая для предотвращения наложения спектров, которая в два раза превышает максимальную частоту исходного сигнала ). Поскольку передискретизация обычно выполняется в степени двойки, она показывает, во сколько раз OSR удваивается. ${\displaystyle f_{\mathrm {s} }}$ ${\displaystyle 2f_{0}}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle d}$

Рисунок 4: Кривые формирования шума и спектр шума в ΔΣ-модуляторах 1- ^го , 2 ^-го и 3- ^го порядков.

Как показано на рисунке 4, общее количество шума квантования одинаково как в преобразователе Найквиста (желтые + зеленые области), так и в преобразователе передискретизации (синие + зеленые области). Но преобразователи с передискретизацией распределяют этот шум в гораздо более широком диапазоне частот. Преимущество состоит в том, что общее количество шума в интересующей полосе частот значительно меньше для преобразователей с передискретизацией (только небольшая зеленая область), чем для преобразователя Найквиста (общая площадь желтый + зеленый).

Формирование шума

На рисунке 4 показано, как ΔΣ-модуляция формирует шум для дальнейшего уменьшения количества шума квантования в основной полосе частот в обмен на увеличение шума на более высоких частотах (где его можно легко отфильтровать). Кривые ΔΣ-модуляторов более высокого порядка обеспечивают еще большее снижение шума в основной полосе частот.

Эти кривые получаются с использованием математических инструментов, называемых преобразованием Лапласа (для сигналов с непрерывным временем , например, в контуре модуляции АЦП) или Z-преобразованием (для сигналов с дискретным временем , например, в контуре модуляции ЦАП). Эти преобразования полезны для преобразования более сложных математических вычислений из временной области в более простые математические вычисления в сложной частотной области комплексной переменной (в области Лапласа) или (в z-области). Такое обозначение является лингва-франка цифровой обработки сигналов , но оно непонятно непрофессионалам. ${\displaystyle {\text{s}}=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle {\text{z}}=Ae^{j\phi }}$

Анализ контура модуляции ΔΣ АЦП в области Лапласа

На рисунке 5 представлен контур модуляции ΔΣ АЦП 1- ^го порядка (из рисунка 1) как линейная, инвариантная во времени система в области Лапласа с уравнением:

Рисунок 5: Петля модуляции ΔΣ в области Лапласа. Интегрирование представляет собой умножение , а квантование аппроксимируется добавлением шума. ${\displaystyle {\tfrac {1}{\text{s}}}}$

$${\displaystyle [{\text{in}}({\text{s}})-\Delta \Sigma {\text{M}}({\text{s}})]\cdot {\frac {1}{\text{s}}}+{\text{noise}}({\text{s}})=\Delta \Sigma {\text{M}}({\text{s}})\,.}$$

Преобразование Лапласа интегрирования функции времени соответствует простому умножению на в обозначениях Лапласа. Предполагается, что интегратор является идеальным интегратором, чтобы упростить математику, но реальный интегратор (или аналогичный фильтр) может иметь более сложное выражение. ${\displaystyle {\tfrac {1}{\text{s}}}}$

Процесс квантования аппроксимируется сложением с источником шума ошибки квантования. Часто предполагается, что шум является белым и не зависит от сигнала, хотя, поскольку квантование (обработка сигнала) § Модель аддитивного шума объясняет, что это не всегда верное предположение (особенно для низкобитового квантования).

Поскольку система и преобразование Лапласа линейны, общее поведение этой системы можно проанализировать, отделив то, как она влияет на входные данные, от того, как она влияет на шум: ^{[8] §6}

$${\displaystyle \Delta \Sigma {\text{M}}_{\text{total}}({\text{s}})=\Delta \Sigma {\text{M}}_{\text{in}}({\text{s}})+\Delta \Sigma {\text{M}}_{\text{noise}}({\text{s}})\,.}$$

Фильтр нижних частот на входе

Чтобы понять, как система влияет только на входной сигнал, временно предположим, что шум равен 0:

$${\displaystyle [{\text{in}}({\text{s}})-\Delta \Sigma {\text{M}}_{\text{in}}({\text{s}})]\cdot {\frac {1}{\text{s}}}+0=\Delta \Sigma {\text{M}}_{\text{in}}({\text{s}})\,,}$$

которую можно переставить, чтобы получить следующую передаточную функцию :

$${\displaystyle {\frac {\Delta \Sigma {\text{M}}_{\text{in}}({\text{s}})}{{\text{in}}({\text{s}})}}={\frac {\tfrac {1}{\text{s}}}{1+{\tfrac {1}{\text{s}}}}}={\frac {1}{{\text{s}}+1}}\,.}$$

Эта передаточная функция имеет один полюс в комплексной плоскости , поэтому она эффективно действует как фильтр нижних частот 1- ^го порядка для входного сигнала. (Примечание: частоту среза можно настроить по желанию, включив в цикл умножение на константу). ${\displaystyle {\text{s}}={\text{-1}}}$

Фильтр верхних частот от шума

Чтобы понять, как система влияет только на шум, вместо этого временно предполагается, что входной сигнал равен 0:

$${\displaystyle [0-\Delta \Sigma {\text{M}}_{\text{noise}}({\text{s}})]\cdot {\frac {1}{\text{s}}}+{\text{noise}}({\text{s}})=\Delta \Sigma {\text{M}}_{\text{noise}}({\text{s}})\,,}$$

которую можно переставить, чтобы получить следующую передаточную функцию:

$${\displaystyle {\frac {\Delta \Sigma {\text{M}}_{\text{noise}}({\text{s}})}{{\text{noise}}({\text{s}})}}={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{\text{s}}}}}={\frac {s}{{\text{s}}+1}}\,.}$$

Эта передаточная функция имеет один нуль и один полюс, поэтому система эффективно действует как фильтр верхних частот на шум, который начинается с 0 при постоянном токе , затем постепенно возрастает, пока не достигнет частоты среза, а затем выравнивается. ${\displaystyle {\text{s}}=0}$ ${\displaystyle {\text{s}}={\text{-1}},}$

Анализ синхронного контура ΔΣ модуляции в z-области

Контур модуляции синхронного ΔΣ ЦАП (рис. 6) тем временем находится в дискретном времени, поэтому его анализ проводится в z-области. Он очень похож на приведенный выше анализ в области Лапласа и дает аналогичные кривые. Примечание: многие источники ^{[8] §6.1 [22] [23]} также анализируют контур модуляции ΔΣ АЦП в z-области, который неявно рассматривает непрерывный аналоговый вход как сигнал дискретного времени. Это может быть допустимым приближением при условии, что входной сигнал уже имеет ограниченную полосу пропускания и можно предположить, что он не изменяется во временных масштабах, превышающих частоту дискретизации. Это особенно удобно, когда модулятор реализован в виде схемы с переключаемыми конденсаторами , которая работает путем передачи заряда между конденсаторами с тактовыми интервалами.

Рисунок 6: Петля модуляции ΔΣ в z-домене.

Интегрирование в дискретном времени может представлять собой аккумулятор , который неоднократно суммирует свой входной сигнал с предыдущим результатом его суммирования. Это представлено в z-домене путем обратной передачи выходного сигнала суммирующего узла через этап задержки в 1 такт (обозначенный как ) в другой вход суммирующего узла, что дает . Его передаточная функция часто используется для обозначения интеграторов на блок-схемах. ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]=x[n]+y[n-1].}$ ${\displaystyle y({\text{z}})}$ ${\displaystyle {\text{z}}^{\text{-1}}}$ ${\displaystyle y({\text{z}})=x({\text{z}})+y({\text{z}})\cdot {\text{z}}^{\text{-1}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-{\text{z}}^{\text{-1}}}}}$

В ΔΣ ЦАП квантователь можно назвать повторным квантователем или цифро-цифровым преобразователем (DDC), поскольку его входной сигнал уже является цифровым и квантованным, но просто преобразуется от цифрового сигнала с более высокой битовой глубиной к более низкому. В z-области это представлено еще одной последовательной стадией задержки с добавлением шума квантования. (Примечание: в некоторых источниках порядок ступеней аддитивного шума мог поменяться местами.) ${\displaystyle {\text{z}}^{\text{-1}}}$ ${\displaystyle {\text{z}}^{\text{-1}}}$

Уравнение z-области модулятора, представленное как на рисунке 6:

$${\displaystyle [{\text{in}}({\text{z}})-\Delta \Sigma {\text{M}}({\text{z}})]\cdot {\frac {1}{1-{\text{z}}^{\text{-1}}}}\cdot {\text{z}}^{\text{-1}}+{\text{noise}}({\text{z}})=\Delta \Sigma {\text{M}}({\text{z}})\,,}$$

$${\displaystyle \Delta \Sigma {\text{M}}({\text{z}})={\text{in}}({\text{z}})\cdot {\text{z}}^{\text{-1}}+{\text{noise}}({\text{z}})\cdot (1-{\text{z}}^{\text{-1}})\,.}$$

обратный фильтр первой разности ${\displaystyle (1-{\text{z}}^{\text{-1}})}$ ${\displaystyle {\text{z}}{=}1}$

Модуляторы высшего порядка

Не вдаваясь в математические детали, ^{[22] (уравнения 8-11)} каскадные интеграторы для создания модулятора -порядка приводят к: ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \Theta ^{\text{th}}}$

$${\displaystyle \Delta \Sigma {\text{M}}_{\Theta }({\text{z}})={\text{in}}({\text{z}})\cdot {\text{z}}^{\text{-1}}+{\text{noise}}({\text{z}})\cdot (1-{\text{z}}^{\text{-1}})^{\Theta }\,.}$$

обратный фильтр с первой разностью ${\displaystyle \Theta }$

Теоретическое эффективное количество бит

Теоретическое отношение сигнал/шум (SNR) в децибелах (дБ) для синусоидального входного сигнала, проходящего через модулятор -порядка с OSR (за которым следует идеальный децимационный фильтр нижних частот), может быть математически получено примерно следующим образом: ^{[ 22] (уравнения 12-21)} ${\displaystyle \Theta ^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 2^{d}}$

$${\displaystyle {\text{SNR}}_{\text{dB}}\approx 3.01\cdot (2\cdot \Theta +1)\cdot d-9.36\cdot \Theta -2.76\,.}$$

эффективного числа битовбиты для каждого^[24]1/3^го ${\textstyle \Theta +{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\textstyle d-{\tfrac {3}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Эти точки данных являются теоретическими. На практике в схемах неизбежно возникают другие источники шума, которые ограничивают разрешение, что делает использование ячеек с более высоким разрешением непрактичным.

Связь с дельта-модуляцией

Рисунок 7: Получение дельта-сигмы из дельта-модуляции.

Дельта-сигма-модуляция связана с дельта-модуляцией следующими этапами (рис. 7): ^{[8] §6}

1. Начните с блок-схемы дельта-модулятора/демодулятора.
2. Свойство линейности интегрирования , , позволяет переместить интегратор, восстанавливающий аналоговый сигнал в секции демодулятора, перед дельта-модулятором. ${\textstyle \int a+\int b=\int (a+b)}$
3. Опять же, свойство линейности интегрирования позволяет объединить два интегратора и получить блок-схему дельта-сигма модулятора/демодулятора.

Если бы квантование было однородным (например, если бы оно было линейным ), вышеизложенное было бы достаточным выводом их гипотетической эквивалентности. Но поскольку квантователь неоднороден , дельта-сигма основана на дельта-модуляции, но они работают по-разному.

Из первой блок-схемы на рисунке 7 интегратор в цепи обратной связи можно убрать, если обратная связь снимается непосредственно со входа фильтра нижних частот. Следовательно, для дельта-модуляции входного сигнала v _в фильтр нижних частот видит сигнал

${\displaystyle \int \operatorname {Quantize} \left({\text{v}}_{\text{in}}-{\text{v}}_{{\text{feedback}}_{\Delta }}\right)dt.\,}$

Однако дельта-сигма модуляция того же входного сигнала помещается в фильтр нижних частот.

${\displaystyle \operatorname {Quantize} \left(\int \left({\text{v}}_{\text{in}}-{\text{v}}_{{\text{feedback}}_{\Delta \Sigma }}\right)dt\right).\,}$

Другими словами, выполнение дельта-сигма-модуляции вместо дельта-модуляции эффективно поменяло порядок операций интегратора и квантователя. Конечный эффект представляет собой более простую реализацию, которая имеет огромное дополнительное преимущество, заключающееся в формировании шума квантования так, чтобы он находился в основном на частотах выше интересующих сигналов. Этот эффект становится более драматичным при увеличении передискретизации , что позволяет программировать шум квантования. С другой стороны, дельта-модуляция одинаково формирует как шум, так и сигнал.

Кроме того, квантователь (например, компаратор ), используемый в дельта-модуляции, имеет небольшой выходной сигнал, представляющий собой небольшой шаг вверх и вниз по квантованной аппроксимации входного сигнала, в то время как квантователь, используемый в дельта-сигма, должен принимать значения вне диапазона входного сигнала.

В целом дельта-сигма имеет некоторые преимущества по сравнению с дельта-модуляцией:

• Структура упрощена так
  • нужен только один интегратор,
  • демодулятор может представлять собой простой линейный фильтр (например, RC- или LC-фильтр) для восстановления сигнала, и
  • квантователь (например, компаратор) может иметь полномасштабные выходы.
• Квантованное значение представляет собой интеграл разностного сигнала, который
  • делает его менее чувствительным к скорости изменения сигнала и
  • помогает улавливать низкочастотные компоненты и компоненты постоянного тока.

Пример аналого-цифрового преобразования

Дельта-сигма АЦП различаются по сложности. Приведенная ниже схема представляет собой простой синхронный дельта-сигма АЦП 1-го порядка с двухуровневым квантованием без прореживания.

Упрощенный пример схемы

Чтобы облегчить понимание, моделируется простая принципиальная схема (рис. 8а) с использованием идеальных элементов (напряжения на рис. 8б). Это тот же цикл аналого-цифровой модуляции ΔΣ, что и на рисунке 1 (примечание: инвертирующий интегратор с двумя входами объединяет суммирующий переход и интегратор и дает результат отрицательной обратной связи, а триггер сочетает в себе дискретный квантователь и, что удобно, естественным образом также функционирует как 1-битный ЦАП).

Входной синусоидальный сигнал s(t) частотой 20 кГц преобразуется в 1-битный цифровой результат ШИМ Q(t) . В качестве примера используется частота 20 кГц, поскольку она считается верхним пределом человеческого слуха .

Эту схему можно разместить на макетной плате с недорогими дискретными компонентами (обратите внимание, что в некоторых вариантах используется другое смещение и для интеграции вместо операционных усилителей используются более простые RC-фильтры нижних частот ). ^{[25] [26]}

Для простоты, D-триггер питается от двух напряжений питания: V _DD = +1 В и V _SS = -1 В, поэтому его двоичный выход Q(t) равен либо +1 В, либо -1 В.

Инвертирующий интегратор с 2 входами

Интегратор инвертирующего операционного усилителя с двумя входами объединяет s(t) с Q(t) для получения Ɛ(t) :

$${\displaystyle \varepsilon (t)=-{\frac {1}{RC}}\int (s(t)+Q(t))dt.}$$

эпсилонƐ(t)ошибкуs(t)Q(t)Ɛ(t)милливольт

Из-за отрицательного знака интегратора , когда Ɛ(t) в следующий раз производится выборка для получения Q(t) , + Q(t) в этом интеграле фактически представляет собой отрицательную обратную связь от предыдущего тактового цикла.

Квантизатор и триггер сэмплера

Идеальный D-триггер производит выборку Ɛ(t) с тактовой частотой 1  МГц . Представление осциллографа (рис. 6b) имеет второстепенное деление, равное периоду выборки 1 мкс, поэтому каждое второстепенное деление соответствует событию выборки. Поскольку триггер считается идеальным, он рассматривает любое входное напряжение, превышающее 0 В, как высокий логический уровень, а любое входное напряжение меньше 0 В — как низкий логический уровень, независимо от того, насколько оно близко к 0 В (игнорируя проблемы выборки). и-нарушения времени удержания и метастабильность ).

Всякий раз, когда происходит событие выборки:

• если Ɛ(t) выше порога 0 В, то Q(t) станет высоким (+1 В), или
• если Ɛ(t) ниже порога 0 В, то Q(t) станет низким (-1 В).

Q(t) отправляется в качестве результирующего выходного сигнала ШИМ, а также возвращается обратно в инвертирующий интегратор с двумя входами.

Демодуляция

Самый правый интегратор выполняет цифро-аналоговое преобразование Q(t) для получения демодулированного аналогового выходного сигнала r(t) , который восстанавливает исходный синусоидальный входной сигнал в виде кусочно-линейных диагональных сегментов. Хотя r(t) выглядит грубым при такой 50-кратной частоте передискретизации, r(t) можно подвергнуть фильтру нижних частот, чтобы изолировать исходный сигнал. Поскольку частота дискретизации увеличивается относительно максимальной частоты входного сигнала, r(t) будет более точно приближаться к исходному входному сигналу s(t) .

Цифро-аналоговое преобразование

Стоит отметить, что если прореживание никогда не происходило, цифровое представление 1-битного дельта-сигма-модулятора представляет собой просто ШИМ-сигнал, который можно легко преобразовать в аналоговый с помощью фильтра нижних частот , такого же простого, как резистор и конденсатор . ^[26]

Однако, как правило, дельта-сигма ЦАП преобразует сигнал дискретного временного ряда цифровых выборок с высокой битовой глубиной в сигнал с низкой битовой глубиной (часто 1 бит), обычно с гораздо более высокой частотой дискретизации. Этот дельта-модулированный сигнал затем может быть точно преобразован в аналоговый (поскольку ЦАП с меньшей разрядностью легче обеспечить высокую линейность), который затем проходит недорогую фильтрацию нижних частот в аналоговой области для удаления высокочастотного шума квантования, свойственного Процесс дельта-сигма модуляции.

Повышение дискретизации

Как объясняют статьи о дискретном преобразовании Фурье и преобразовании Фурье с дискретным временем , периодически дискретизируемый сигнал по своей сути содержит множество более высокочастотных копий или «образов» сигнала. Часто желательно удалить эти высокочастотные изображения перед выполнением фактического этапа дельта-сигма-модуляции, чтобы облегчить требования к возможному аналоговому фильтру нижних частот. Это можно сделать путем повышения дискретизации с использованием интерполяционного фильтра и часто является первым шагом перед выполнением дельта-сигма-модуляции в ЦАП. Повышение дискретизации тесно связано с дельта-сигма-ЦАП, но не является строго частью фактического этапа дельта-сигма-модуляции (аналогично тому, как прореживание тесно связано с дельта-сигма-АЦП, но также не является строго частью дельта-сигма-модуляции), а подробности выходит за рамки данной статьи.

Цифро-цифровая дельта-сигма модуляция

Контур модуляции на рисунке 6 в § Формирование шума можно легко составить с помощью базовых цифровых элементов: вычитателя для разности, аккумулятора для интегратора и младшего разрядного регистра для квантования, который переносит самый старший бит. (s) от интегратора в качестве обратной связи для следующего цикла.

Многоступенчатое формирование шума

Эту простую модуляцию 1 ^-го порядка можно улучшить путем каскадного подключения двух или более аккумуляторов с переполнением, каждый из которых эквивалентен дельта-сигма-модулятору 1-го ^{порядка} . Получающаяся в результате структура многоступенчатого формирования шума (MASH) ^[27] имеет более крутые свойства формирования шума , поэтому обычно используется в цифровом аудио. Выходные сигналы переноса объединяются посредством суммирования и задержек для получения двоичного выходного сигнала, ширина которого зависит от количества этапов (порядка) MASH. Помимо функции формирования шума, он имеет еще два привлекательных свойства:

• просто реализовать аппаратно; требуются только общие цифровые блоки, такие как аккумуляторы , сумматоры и D-триггеры.
• безусловно стабильный (нет контуров обратной связи вне аккумуляторов)

Именование

Техника была впервые представлена ​​в начале 1960-х годов профессором Ясухико Ясудой, когда он был студентом Токийского университета . ^{[28] [8]} Название дельта-сигма происходит непосредственно от присутствия дельта-модулятора и интегратора, впервые введенных Иноузом и др. в своей заявке на патент ^{[ необходимо разъяснение ]} . ^[6] То есть название происходит от интегрирования или суммирования разностей , которые в математике представляют собой операции, обычно связанные с греческими буквами сигма и дельта соответственно.

В 1970-х годах инженеры Bell Labs использовали термин «сигма-дельта», потому что прецедент заключался в том, чтобы называть варианты дельта-модуляции прилагательными, предшествующими слову «дельта», а редактор журнала Analog Devices в 1990 году обосновал, что функциональная иерархия представляет собой «сигма-дельта». ", потому что он вычисляет интеграл от разницы. ^[29]

Оба названия сигма-дельта и дельта-сигма часто используются.

Асинхронная дельта-сигма модуляция

Рисунок 9: 1-битная асинхронная ΔΣ-модуляция создает выходной сигнал ШИМ (синий на нижнем графике), который вычитается из входного сигнала (зеленый на верхнем графике) для формирования сигнала ошибки (синий на верхнем графике). Эта ошибка интегрирована (пурпурный цвет в середине графика). Когда интеграл ошибки превышает пределы (верхняя и нижняя серые линии на среднем графике), выход ШИМ меняет состояние.

Кирккерт и Миллер опубликовали вариант непрерывного времени под названием «Асинхронная дельта-сигма-модуляция» в 1975 году. Вместо использования компаратора для квантования, как это делается при синхронной ΔΣ-модуляции, асинхронная ΔΣ-модуляция (ADSM или ASDM) вместо этого использует либо триггер Шмитта (т. е. компаратор с гистерезисом ) или (как утверждается в статье эквивалентно) компаратор с фиксированной задержкой. ^[30]

В примере на рисунке 9, когда интеграл ошибки превышает допустимые пределы, выходной сигнал меняет состояние, создавая выходную волну с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ).

Смотрите также

• Широтно-импульсная модуляция
• Дельта-модуляция с плавным изменением наклона
• Усилитель класса D (иногда ^[9] используют дельта-сигма модуляцию)

Примечания

1. Конфигурация дельта-сигма, описанная Inose et al. в 1962 году был разработан для решения задач точной передачи аналоговых сигналов. В этом приложении передавался поток импульсов, а исходный аналоговый сигнал восстанавливался с помощью фильтра нижних частот после преобразования полученных импульсов. Этот фильтр нижних частот выполнял функцию суммирования, связанную с Σ. Они ввели высокоматематическую обработку ошибок передачи, которая уместна применительно к потоку импульсов, но эти ошибки теряются в процессе накопления, связанном с Σ.

Рекомендации

1. Сангил Парк, Принципы сигма-дельта-модуляции для аналого-цифровых преобразователей (PDF) , Motorola , получено 1 сентября 2017 г.
2. Иносе, Х.; Ясуда, Ю. (1 ноября 1963 г.). «Метод кодирования единичных битов посредством отрицательной обратной связи». Труды IEEE . 51 (11): 1524–1535. дои : 10.1109/PROC.1963.2622. ISSN  1558-2256 – через IEEE Xplore .
3. Вули, Брюс А. (22 марта 2012 г.). «Эволюция аналого-цифровых преобразователей с передискретизацией» (PDF) . ИИЭЭ . Архивировано (PDF) из оригинала 28 июня 2023 г. Проверено 28 июня 2023 г.
4. Ф. де Ягер, «Дельта-модуляция, метод передачи PCM с использованием 1-значного кода», Philips Res. Респ., вып. 7, стр. 442–466, 1952.
5. Патент США 2967962, Катлер, Кассиус К., «Системы передачи, использующие квантование», выдан 8 марта 1960 г. 
6. Иносе, Х.; Ясуда, Ю.; Мураками, Дж. (6 мая 1962 г.). «Система телеметрии с помощью кодовой модуляции - Δ-Σ-модуляция». IRE Transactions по космической электронике и телеметрии (опубликовано 1 сентября 1962 г.). СЭТ-8 (3): 204–209. doi : 10.1109/IRET-SET.1962.5008839. ISSN  2331-1657. S2CID  51647729 — через IEEE Xplore .
7. Непрерывная сигма-дельта-модуляция для аналого-цифрового преобразования в радиоприемниках: Глава 4: Непрерывная сигма-дельта-модуляция. Издательство Спрингер . 2001. с. 29. дои : 10.1007/0-306-48004-2_3. ISBN 9780306480041. Архивировано из оригинала 29 июня 2023 г. Проверено 28 июня 2023 г.
8. Sangil Park, Принципы сигма-дельта-модуляции для аналого-цифровых преобразователей (PDF) , Motorola, заархивировано из оригинала (PDF) 21 июня 2006 г.
9. Сигма-дельта-усилитель класса D и метод управления сигма-дельта-усилителем класса D, авторы Цзвин-Йен Го и Тенг-Хунг Чанг.
10. Липшиц, Стэнли П.; Вандеркой, Джон (22 сентября 2000 г.). «Почему профессиональное 1-битное сигма-дельта-преобразование — плохая идея» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2 ноября 2022 г.
11. Липшиц, Стэнли П.; Вандеркуй, Джон (12 мая 2001 г.). «Почему 1-битное сигма-дельта-преобразование не подходит для высококачественных приложений» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 30 апреля 2023 г. Проверено 28 августа 2023 г.
12. «Архитектура преобразователей данных: Глава 3» (PDF) . Проверено 27 октября 2018 г.
13. «AN4990: Начало работы с сигма-дельта-цифровым интерфейсом на применимых микроконтроллерах STM32» (PDF) . СТМикроэлектроника . Март 2018 г. Архивировано (PDF) из оригинала 20 января 2022 г. Проверено 03 сентября 2023 г.
14. Кайт, Томас (2012). «Понимание цифрового звука PDM» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июня 2023 г. Проверено 24 августа 2023 г.
15. «Семейство MSP430i2xx» (PDF) . Инструменты Техаса . 2014. Архивировано (PDF) из оригинала 15 октября 2022 г. Проверено 03 сентября 2023 г.
16. Смит, Стивен В. (1999). «Глава 15: Фильтры скользящего среднего» (PDF) . Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов (2-е изд.). Сан-Диего, Калифорния: Калифорнийский технический паб. ISBN 978-0-9660176-4-9.
17. Кэнди, Дж. (1974). «Использование колебаний предельного цикла для получения надежных аналого-цифровых преобразователей». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 22 (3): 298–305. дои : 10.1109/TCOM.1974.1092194. ISSN  1558-0857.
18. «АН-455: Понимание компенсационных фильтров CIC» (PDF) . Альтера . 2007. Архивировано (PDF) из оригинала 5 апреля 2023 г. Проверено 03 января 2024 г.
19. Кэнди, JC (1986). «Децимация для сигма-дельта-модуляции». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 34 : 72–76. дои : 10.1109/TCOM.1986.1096432 . Проверено 03 января 2024 г.
20. Лайонс, Рик (26 марта 2020 г.). «Руководство для начинающих по каскадным интеграторно-гребенчатым фильтрам (CIC)». dspreled.com . Архивировано из оригинала 22 октября 2023 г. Проверено 03 января 2024 г.
21. Смит, Стивен В. (1999). «Глава 16: Фильтры Windowed-Sinc» (PDF) . Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов (2-е изд.). Сан-Диего, Калифорния: Калифорнийский технический паб. ISBN 978-0-9660176-4-9.
22. Ван Эсс, Дэйв. «Сигналы из шума: расчет отношения сигнал/шум дельта-сигма» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 6 августа 2023 г. Проверено 22 августа 2023 г.
23. Рейсс, Джошуа Д. (2008). «ПОНЯТИЕ СИГМА-ДЕЛЬТА МОДУЛЯЦИИ: решенные и нерешенные проблемы» (PDF) . Дж. Аудио англ. Соц., Том. 56, № 1/2, 2008 г. Январь/февраль. Архивировано (PDF) из оригинала 1 сентября 2023 г. Проверено 1 сентября 2023 г.
24. Браун, Райан; Сингх, Самир (2016). «Отчет о применении: общая передискретизация АЦП MSP для более высокого разрешения» (PDF) . Инструменты Техаса . Архивировано (PDF) из оригинала 1 сентября 2022 г. Проверено 1 сентября 2023 г.
25. «Деятельность: Дельта-Сигма-модулятор [Analog Devices Wiki]» . Аналоговые устройства . 09.01.2021. Архивировано из оригинала 1 апреля 2023 г. Проверено 1 июля 2023 г.
26. Эллсуорт, Джери (5 ноября 2012 г.). «Однобитный АЦП — короткие замыкания». YouTube . Проверено 29 июня 2023 г.
27. "Синтезатор дробного N 15-25 МГц" .
28. Ссылки録番号671)" Архивировано из оригинала 8 апреля 2022 г.
29. Шейнгольд, Дэн (1990). «Примечания редактора: Σ-∆ или ∆-Σ?» (PDF) . Аналоговые устройства . Архивировано (PDF) из оригинала 29 июня 2023 г. Проверено 28 июня 2023 г.
30. Киккерт, CJ; Миллер, ди-джей (1 апреля 1975 г.). «Асинхронная дельта-сигма-модуляция». Труды IREE Австралии . 36 (4): 83–88.

дальнейшее чтение

• Уолт Кестер (октябрь 2008 г.). «Архитектура АЦП III: основы сигма-дельта АЦП» (PDF) . Аналоговые устройства . Проверено 2 ноября 2010 г.
• Р. Джейкоб Бейкер (2009). Проектирование КМОП-схем смешанных сигналов (2-е изд.). Вайли-IEEE. ISBN 978-0-470-29026-2.
• Р. Шрайер; Г. Темес (2005). Общие сведения о преобразователях дельта-сигма данных . Уайли. ISBN 978-0-471-46585-0.
• С. Норсуорси; Р. Шрайер; Г. Темес (1997). Преобразователи данных дельта-сигма . Уайли. ISBN 978-0-7803-1045-2.
• Дж. Кэнди; Г. Темес (1992). Преобразователи данных дельта-сигма с передискретизацией . ISBN 978-0-87942-285-1.
• Чен, Вэй (2013). Асинхронные сигма-дельта-модуляторы для преобразования данных (PDF) (кандидатская диссертация). Имперский колледж Лондон . дои : 10.25560/23651 . Проверено 19 января 2024 г.

Внешние ссылки

• 1-битные аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи, заархивировано 25 февраля 2021 г. на Wayback Machine.
• Сигма-дельта-методы расширяют статью о разрешении ЦАП Тима Уэскотта, 23 июня 2004 г.
• Учебное пособие по проектированию дельта-сигма модуляторов: часть I и часть II, автор Минглианг (Майкл) Лю
• Публикации Габора Темеса
• Учебное пособие по сигма-дельта-модуляции, часть II. Содержит блок-схемы, код и простые пояснения.
• Пример модели Simulink и сценариев для сигма-дельта АЦП непрерывного времени. Содержит пример кода Matlab и модели Simulink.
• Проекты преобразователей дельта-сигма Брюса Вули
• Введение в дельта-сигма-преобразователи (охватывает как сигма-дельта-АЦП, так и ЦАП)
• Демистификация сигма-дельта АЦП. В этой подробной статье рассматривается теория аналого-цифрового преобразователя Delta-Sigma.
• Однобитное дельта-сигма цифро-аналоговое преобразование. Часть I: Теоретическая статья Рэнди Йейтса, представленная на конференции comp.dsp 2004 года.
• Структура MASH (Multi-StAge Noise SHaping) с теоретической и блочной реализацией MASH.
• В архитектуре схемы фильтра формирования шума сигма-дельта АЦП непрерывного времени обсуждаются архитектурные компромиссы для фильтров формирования шума сигма-дельта непрерывного времени.
• Дельта-сигма-конвертеры: модуляция – интуитивно понятное объяснение того, почему работает дельта-сигма-модулятор.
• Цифровой акселерометр с управлением по обратной связи с использованием сигма-дельта модуляции
• Учебное пособие по сигма-дельта АЦП Analog Devices (интерактивное)