Волна материи

Квантово-механические волны, описывающие материю

Волны материи являются центральной частью теории квантовой механики , являясь половиной корпускулярно-волнового дуализма . Во всех масштабах, где измерения были практичны, материя демонстрирует волновое поведение. Например, пучок электронов может быть дифрагирован так же, как пучок света или волна на воде.

Концепция, согласно которой материя ведет себя как волна, была предложена французским физиком Луи де Бройлем ( / d ə ˈ b r ɔɪ / ) в 1924 году, поэтому волны материи также известны как волны де Бройля .

Длина волны де Бройля — это длина волны λ , связанная с частицей с импульсом p через постоянную Планка h : $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

Волновое поведение материи было экспериментально продемонстрировано впервые для электронов в 1927 году и в последующие годы для других элементарных частиц , нейтральных атомов и молекул .

Введение

Фон

В конце 19 века считалось, что свет состоит из волн электромагнитных полей, которые распространяются в соответствии с уравнениями Максвелла , в то время как материя, как считалось, состоит из локализованных частиц (см. историю дуализма волн и частиц ). В 1900 году это разделение было подвергнуто сомнению, когда, исследуя теорию излучения черного тела , Макс Планк предположил, что тепловая энергия колеблющихся атомов делится на дискретные порции, или кванты. ^[1] Расширяя исследования Планка несколькими способами, включая его связь с фотоэлектрическим эффектом , Альберт Эйнштейн в 1905 году предположил, что свет также распространяется и поглощается квантами, ^{[2] : 87} теперь называемых фотонами . Эти кванты будут иметь энергию, заданную соотношением Планка-Эйнштейна : и вектор импульса , где ν (строчная греческая буква nu ) и λ (строчная греческая буква lambda ) обозначают частоту и длину волны света, c — скорость света, а h — постоянную Планка . [ ^3] В современной системе обозначение частоты осуществляется с помощью f , как это делается в остальной части этой статьи. Постулат Эйнштейна был проверен экспериментально ^{[2] : 89} К. Т. Комптоном и О. В. Ричардсоном ^[4] и А. Л. Хьюзом ^[5] в 1912 году, а затем более тщательно, включая измерение постоянной Планка , в 1916 году Робертом Милликеном ^[6]. $${\displaystyle E=h\nu }$$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},}$$

Гипотеза де Бройля

Распространение волн де Бройля в одном измерении — действительная часть комплексной амплитуды синяя, мнимая — зеленая. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) нахождения частицы в заданной точке x распространяется подобно волновой форме; нет определенного положения частицы. По мере увеличения амплитуды выше нуля наклон уменьшается, поэтому амплитуда снова уменьшается, и наоборот. Результатом является переменная амплитуда: волна. Вверху: плоская волна . Внизу: волновой пакет .

Когда в 1923–1924 годах я сформулировал первые основные идеи волновой механики, я руководствовался целью осуществить реальный физический синтез, справедливый для всех частиц, сосуществования волновых и корпускулярных аспектов, которые Эйнштейн ввел для фотонов в своей теории световых квантов в 1905 году.

—  де Бройль ^[7]

Де Бройль в своей докторской диссертации 1924 года ^[8] предположил, что подобно тому, как свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами, электроны также обладают волновыми свойствами. Его диссертация началась с гипотезы, «что каждой порции энергии с собственной массой m ₀ можно связать периодическое явление частоты ν ₀ , так что можно найти: hν ₀ = m ₀ c ² . Частота ν ₀ должна быть измерена, конечно, в системе покоя энергетического пакета. Эта гипотеза является основой нашей теории». ^{[9] [8] : 8  [10] [11] [12] [13]} (Эта частота также известна как частота Комптона .)

Чтобы найти длину волны, эквивалентную движущемуся телу, де Бройль ^{[2] : 214} установил полную энергию из специальной теории относительности для этого тела равной hν : $${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=h\nu }$$

(Современная физика больше не использует эту форму полной энергии; соотношение энергии и импульса оказалось более полезным.) Де Бройль отождествил скорость частицы v с групповой скоростью волны в свободном пространстве: $${\displaystyle v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}$$

(Современное определение групповой скорости использует угловую частоту ω и волновое число k ). Применяя дифференциалы к уравнению энергии и определяя релятивистский импульс : $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

затем, проинтегрировав, де Бройль получил свою формулу для соотношения между длиной волны , λ , связанной с электроном, и модулем его импульса , p , через постоянную Планка , h : ^[14] $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

Волновое уравнение Шредингера (материи)

Продолжая идеи де Бройля, физик Питер Дебай сделал небрежное замечание, что если частицы ведут себя как волны, они должны удовлетворять некоторому волновому уравнению. Вдохновленный замечанием Дебая, Эрвин Шредингер решил найти правильное трехмерное волновое уравнение для электрона. Он руководствовался аналогией Уильяма Роуэна Гамильтона между механикой и оптикой (см. Оптико-механическая аналогия Гамильтона ), закодированной в наблюдении, что предел нулевой длины волны оптики напоминает механическую систему — траектории световых лучей становятся острыми следами, которые подчиняются принципу Ферма , аналогу принципа наименьшего действия . ^[15]

В 1926 году Шредингер опубликовал волновое уравнение, которое теперь носит его имя ^[16] – аналог волн материи уравнений Максвелла – и использовал его для вывода энергетического спектра водорода . Частоты решений нерелятивистского уравнения Шредингера отличаются от волн де Бройля на частоту Комптона, поскольку энергия, соответствующая массе покоя частицы, не является частью нерелятивистского уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера описывает временную эволюцию волновой функции , функции, которая присваивает комплексное число каждой точке пространства. Шредингер пытался интерпретировать квадрат модуля волновой функции как плотность заряда. Этот подход, однако, оказался безуспешным. ^{[17] [18] [19]} Макс Борн предположил, что квадрат модуля волновой функции вместо этого является плотностью вероятности , успешное предложение, теперь известное как правило Борна . ^[17]

Плотность вероятности положения в пространстве изначально гауссовского состояния, движущегося в одном измерении с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве.

В следующем, 1927 году, Карл Дарвин (внук известного биолога ) исследовал уравнение Шредингера в нескольких идеализированных сценариях. ^[20] Для несвязанного электрона в свободном пространстве он разработал распространение волны, предположив начальный гауссовский волновой пакет . Дарвин показал, что в более позднее время положение пакета, движущегося со скоростью, будет где — неопределенность начального положения. Эта неопределенность положения создает неопределенность скорости (дополнительный второй член в квадратном корне), согласующуюся с соотношением неопределенностей Гейзенберга . Волновой пакет распространяется, как показано на рисунке. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$ ${\displaystyle \sigma }$

Экспериментальное подтверждение

В 1927 году впервые экспериментально было подтверждено существование волн материи в дифракционном эксперименте Джорджа Пейджета Томсона и Александра Рида ^[21] , а также в эксперименте Дэвиссона–Джермера ^{[22] [23]} , оба для электронов.

Гипотеза де Бройля и существование волн материи были подтверждены для других элементарных частиц, нейтральных атомов и даже молекул, как было показано, волнообразны. ^[24]

Первые картины интерференции электронных волн, непосредственно демонстрирующие дуализм волна-частица , использовали электронные бипризмы ^{[25] [26]} (по сути, провод, помещенный в электронный микроскоп) и измеряли отдельные электроны, формирующие дифракционную картину. Недавно близкая копия известного эксперимента с двумя щелями ^{[27] : 260} с использованием электронов через физические отверстия дала показанный фильм. ^[28]

Картина дифракции двухщелевой волны материи , создающая электрон за электроном. Каждая белая точка представляет собой один электрон, попадающий в детектор; при статистически большом количестве электронов появляются интерференционные полосы. ^[28]

Электроны

В 1927 году в Bell Labs Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер обстреляли медленно движущимися электронами кристаллическую никелевую мишень. ^{[22] [23]} Была измерена интенсивность дифрагированных электронов, и было установлено, что она имеет похожую угловую зависимость с дифракционными картинами, предсказанными Брэггом для рентгеновских лучей . В то же время Джордж Пейджет Томсон и Александр Рид в Университете Абердина независимо друг от друга обстреливали электронами тонкую целлулоидную фольгу и более поздние металлические пленки, наблюдая кольца, которые можно было интерпретировать аналогичным образом. ^[21] (Александр Рид, аспирант Томсона, провел первые эксперименты, но вскоре погиб в аварии на мотоцикле ^[29] и упоминается редко.) До принятия гипотезы де Бройля дифракция была свойством, которое, как считалось, проявляют только волны. Поэтому наличие любых дифракционных эффектов веществом демонстрировало волновую природу вещества. ^[30] Интерпретация материальных волн была поставлена ​​на прочный фундамент в 1928 году Гансом Бете , ^[31] который решил уравнение Шредингера , ^[16] показав, как это может объяснить экспериментальные результаты. Его подход похож на тот, что используется в современных подходах электронной дифракции . ^{[32] [33]}

Это был важнейший результат в развитии квантовой механики . Так же, как фотоэлектрический эффект продемонстрировал корпускулярную природу света, эти эксперименты продемонстрировали волновую природу материи.

Нейтроны

Нейтроны , производимые в ядерных реакторах с кинетической энергией около1 МэВ , термализовать до примерно0,025 эВ , поскольку они рассеиваются от легких атомов. Результирующая длина волны де Бройля (около180  пм ) соответствует межатомному расстоянию, и нейтроны сильно рассеиваются от атомов водорода. Следовательно, волны нейтронной материи используются в кристаллографии , особенно для биологических материалов. ^[34] Нейтроны были открыты в начале 1930-х годов, а их дифракция наблюдалась в 1936 году. ^[35] В 1944 году Эрнест О. Уоллан , имеющий опыт работы в области рассеяния рентгеновских лучей в своей докторской работе ^[36] под руководством Артура Комптона , осознал потенциал применения тепловых нейтронов из недавно введенного в эксплуатацию ядерного реактора X-10 в кристаллографии . Вместе с Клиффордом Г. Шаллом они разрабатывали ^[37] дифракцию нейтронов в течение 1940-х годов. В 1970-х годах нейтронный интерферометр продемонстрировал действие гравитации в отношении корпускулярно-волнового дуализма. ^[38] Двухщелевой эксперимент был проведен с использованием нейтронов в 1988 году. ^[39]

Атомы

Интерференция волн атомной материи была впервые обнаружена Иммануэлем Эстерманом и Отто Штерном в 1930 году, когда пучок Na дифрагировал на поверхности NaCl. ^[40] Короткая длина волны де Бройля атомов препятствовала прогрессу в течение многих лет, пока два технологических прорыва не возродили интерес: микролитография, позволяющая создавать точные малые устройства, и лазерное охлаждение, позволяющее замедлять атомы, увеличивая их длину волны де Бройля. ^[41] Двухщелевой эксперимент на атомах был проведен в 1991 году. ^[42]

Достижения в области лазерного охлаждения позволили охладить нейтральные атомы до температур нанокельвина. При этих температурах длины волн де Бройля попадают в микрометровый диапазон. Используя дифракцию Брэгга атомов и технику интерферометрии Рамсея, длина волны де Бройля холодных атомов натрия была явно измерена и оказалась соответствующей температуре, измеренной другим методом. ^[43]

Молекулы

Недавние эксперименты подтверждают соотношения для молекул и даже макромолекул , которые в противном случае могли бы считаться слишком большими, чтобы подвергаться квантово-механическим эффектам. В 1999 году исследовательская группа в Вене продемонстрировала дифракцию для молекул размером с фуллерены . ^[44] Исследователи вычислили длину волны де Бройля наиболее вероятной скорости C _{60 как}2.5  дня . Более поздние эксперименты доказывают квантовую природу молекул, состоящих из 810 атомов и имеющих массу10 123  Да . ^[45] По состоянию на 2019 год это было перенесено на молекулы25 000  Да . ^[46]

В этих экспериментах формирование таких интерференционных картин могло быть зафиксировано в реальном времени и с чувствительностью к единичным молекулам. ^[47] Большие молекулы уже настолько сложны, что они дают экспериментальный доступ к некоторым аспектам квантово-классического интерфейса, т. е. к определенным механизмам декогеренции . ^{[48] [49]}

Другие

Волна материи была обнаружена в молекулах Ван-дер-Ваальса , ^[50] ро-мезонах , ^{[51] [52]} конденсате Бозе-Эйнштейна . ^[53]

Волны движущейся материи

Волны имеют более сложные концепции для скорости, чем твердые объекты. Самый простой подход — сосредоточиться на описании в терминах плоских материальных волн для свободной частицы , то есть волновой функции, описываемой следующим образом: где — положение в реальном пространстве, — волновой вектор в единицах обратных метров, ω — угловая частота с единицами обратного времени, а — время. (Здесь используется физическое определение для волнового вектора, которое умножается на волновой вектор, используемый в кристаллографии , см. волновой вектор .) Уравнения де Бройля связывают длину волны λ с модулем импульса , а частоту f — с полной энергией E свободной частицы , как написано выше: ^[54] где h — постоянная Планка . Уравнения также можно записать как Здесь ħ = h /2 π — приведенная постоянная Планка. Второе уравнение также называют соотношением Планка–Эйнштейна . $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |=p}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ={\frac {2\pi }{|\mathbf {k} |}}={\frac {h}{p}}\\&f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {E}{h}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega ,\\\end{aligned}}}$$

Групповая скорость

В гипотезе де Бройля скорость частицы равна групповой скорости волны материи. ^{[2] : 214} В изотропных средах или вакууме групповая скорость волны определяется следующим образом: Соотношение между угловой частотой и волновым вектором называется дисперсионным соотношением . Для нерелятивистского случая это: где - масса покоя. Применение производной дает (нерелятивистскую) групповую скорость волны материи : Для сравнения, групповая скорость света с дисперсией равна скорости света . $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}}$$ $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$ ${\displaystyle m_{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}}$$ ${\displaystyle \omega (k)=ck}$ ${\displaystyle c}$

В качестве альтернативы можно использовать релятивистское дисперсионное соотношение для волн материи. Тогда эта релятивистская форма относится к фазовой скорости, как обсуждается ниже. $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$ $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}}$$

Для неизотропных сред вместо этого мы используем форму энергии-импульса : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}}$$

Но (см. ниже), поскольку фазовая скорость равна , то где — скорость центра масс частицы, идентичная групповой скорости. ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Фазовая скорость

Фазовая скорость в изотропных средах определяется как: Используя релятивистскую групповую скорость выше: ^{[2] : 215} Это показывает, что, как сообщалось RW Ditchburn в 1948 году и JL Synge в 1952 году. Электромагнитные волны также подчиняются , как и . Поскольку для волн материи , следует, что , но только групповая скорость переносит информацию. Сверхсветовая фазовая скорость, следовательно, не нарушает специальную теорию относительности, поскольку она не переносит информацию. $${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |=c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |=c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |<c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |>c}$

Для неизотропных сред тогда $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.}$$

Используя релятивистские соотношения для энергии и импульса, получаем Переменную можно интерпретировать как скорость частицы или групповую скорость соответствующей волны материи — эти две величины одинаковы. Поскольку скорость частицы для любой частицы с ненулевой массой (согласно специальной теории относительности ), фазовая скорость волн материи всегда превышает c , т. е. приближается к c , когда скорость частицы релятивистская. Сверхсветовая фазовая скорость не нарушает специальную теорию относительности, аналогично случаю выше для неизотропных сред. Подробнее см. статью Дисперсия (оптика) . $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |<c}$ $${\displaystyle |\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,}$$

Специальная теория относительности

Использование двух формул из специальной теории относительности , одной для релятивистской массовой энергии и одной для релятивистского импульса, позволяет записать уравнения для длины волны и частоты де Бройля в виде, где — скорость , фактор Лоренца и скорость света в вакууме. ^{[55] [56]} Это показывает, что по мере того, как скорость частицы приближается к нулю (покою), длина волны де Бройля стремится к бесконечности. $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v=|\mathbf {v} |}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$

Четырехвекторы

Используя четыре вектора, соотношения де Бройля образуют одно уравнение: которое не зависит от системы отсчета . Аналогично, соотношение между скоростью группы/частицы и фазовой скоростью задается в независимой от системы отсчета форме: где $${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,}$$

• Четырех-импульс ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)}$
• Четырехволновой вектор ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)}$
• Четырехскоростной ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})}$

Общие волны материи

Предыдущие разделы относятся конкретно к свободным частицам , для которых волновые функции являются плоскими волнами. Существует значительное количество других волн материи, которые можно в целом разделить на три класса: одночастичные волны материи, коллективные волны материи и стоячие волны.

Волны материи из одной частицы

Более общее описание волн материи, соответствующих типу одной частицы (например, только один электрон или нейтрон), будет иметь форму, похожую на ту, где теперь есть дополнительный пространственный член спереди, а энергия была записана более обобщенно как функция волнового вектора. Различные термины, приведенные ранее, все еще применимы, хотя энергия больше не всегда пропорциональна квадрату волнового вектора. Обычный подход заключается в определении эффективной массы , которая в общем случае является тензором, заданным так, что в простом случае, когда все направления одинаковы, форма подобна форме свободной волны выше. В общем случае групповая скорость будет заменена током вероятности ^[57] , где - оператор del или градиента . Затем импульс будет описан с помощью оператора кинетического импульса , ^[57] Длина волны по-прежнему описывается как обратная величина модуля волнового вектора, хотя измерение является более сложным. Существует много случаев, когда этот подход используется для описания волн материи из одной частицы: $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )}$$ ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle m_{ij}^{*}}$ $${\displaystyle {m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$$ $${\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)}$$ ${\displaystyle \nabla }$ $${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$$

• Волны Блоха , которые составляют основу большей части зонной структуры , описанной Эшкрофтом и Мермином , а также используются для описания дифракции электронов высокой энергии на твердых телах. ^{[58] [33]}
• Волны с угловым моментом, такие как электронные вихревые пучки . ^[59]
• Затухающие волны , где компонент волнового вектора в одном направлении является комплексным. Они распространены, когда волны материи отражаются, особенно при дифракции скользящего падения .

Коллективные волны материи

Другие классы волн материи включают более одной частицы, поэтому называются коллективными волнами и часто являются квазичастицами . Многие из них встречаются в твердых телах – см. Эшкрофт и Мермин . Примеры включают:

• В твердых телах электронная квазичастица — это электрон , в котором включены взаимодействия с другими электронами в твердом теле. Электронная квазичастица имеет тот же заряд и спин , что и «нормальный» ( элементарная частица ) электрон, и, как и нормальный электрон, является фермионом . Однако ее эффективная масса может существенно отличаться от массы нормального электрона. ^[60] Ее электрическое поле также изменяется в результате экранирования электрического поля .
• Дырка — это квазичастица, которую можно рассматривать как вакансию электрона в состоянии; чаще всего она используется в контексте пустых состояний в валентной зоне полупроводника . ^[60] Дырка имеет противоположный заряд электрона.
• Полярон — это квазичастица, в которой электрон взаимодействует с поляризацией соседних атомов.
• Экситон — это пара электрона и дырки , связанных вместе.
• Куперовская пара — это два электрона, связанных вместе, поэтому они ведут себя как единая волна материи.

Стоячие волны материи

Некоторые траектории частицы в ящике согласно законам классической механики Ньютона (A) и волны материи (B–F). В (B–F) горизонтальная ось — это положение, а вертикальная ось — это действительная часть (синяя) и мнимая часть (красная) волновой функции . Состояния (B,C,D) являются собственными энергетическими состояниями , а (E,F) — нет.

Третий класс — это волны материи, которые имеют волновой вектор, длину волны и изменяются со временем, но имеют нулевую групповую скорость или поток вероятности . Простейшим из них, аналогичным обозначению выше, будет Они происходят как часть частицы в ящике , и других случаях, таких как в кольце . Это может и, вероятно, должно быть распространено на многие другие случаи. Например, в ранних работах де Бройль использовал концепцию, что волна электронной материи должна быть непрерывной в кольце, чтобы соответствовать условию Бора-Зоммерфельда в ранних подходах к квантовой механике. ^[61] В этом смысле атомные орбитали вокруг атомов, а также молекулярные орбитали являются волнами электронной материи. ^{[62] [63] [64]} $${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$$

Волны материи против электромагнитных волн (света)

Шредингер применил оптико-механическую аналогию Гамильтона для разработки своей волновой механики для субатомных частиц ^{[65] : xi} Следовательно, волновые решения уравнения Шредингера имеют много общих свойств с результатами оптики световых волн . В частности, формула дифракции Кирхгофа хорошо работает для электронной оптики ^{[27] : 745} и для атомной оптики . ^[66] Приближение хорошо работает до тех пор, пока электрические поля изменяются медленнее, чем длина волны де Бройля. Макроскопические приборы удовлетворяют этому условию; медленные электроны, движущиеся в твердых телах, не удовлетворяют.

Помимо уравнений движения, другие аспекты оптики материальных волн отличаются от соответствующих случаев оптики света.

Чувствительность волн материи к условиям окружающей среды. Многие примеры электромагнитной (световой) дифракции происходят в воздухе при многих условиях окружающей среды. Очевидно, что видимый свет слабо взаимодействует с молекулами воздуха. Напротив, сильно взаимодействующие частицы, такие как медленные электроны и молекулы, требуют вакуума: свойства волн материи быстро исчезают, когда они подвергаются воздействию даже низкого давления газа. ^[67] С помощью специальной аппаратуры электроны с высокой скоростью могут использоваться для изучения жидкостей и газов . Нейтроны, важное исключение, взаимодействуют в основном путем столкновений с ядрами и, таким образом, перемещаются на несколько сотен футов в воздухе. ^[68]

Дисперсия. Световые волны всех частот распространяются с одинаковой скоростью света , в то время как скорость волны материи сильно меняется с частотой. Соотношение между частотой (пропорциональной энергии) и волновым числом или скоростью (пропорциональной импульсу) называется дисперсионным соотношением . Световые волны в вакууме имеют линейное дисперсионное соотношение между частотой: . Для волн материи соотношение нелинейно: Это нерелятивистское дисперсионное соотношение волны материи гласит, что частота в вакууме меняется с волновым числом ( ) в двух частях: постоянная часть из-за частоты де Бройля массы покоя ( ) и квадратичная часть из-за кинетической энергии. Квадратичный член вызывает быстрое распространение волновых пакетов волн материи . ${\displaystyle \omega =ck}$ $${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$ ${\displaystyle k=1/\lambda }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

Когерентность Видимость дифракционных особенностей с использованием подхода оптической теории зависит от когерентности пучка , ^[27] которая на квантовом уровне эквивалентна подходу матрицы плотности . ^{[69] [70]} Как и в случае со светом, поперечная когерентность (поперек направления распространения) может быть увеличена с помощью коллимации . Электронно-оптические системы используют стабилизированное высокое напряжение для получения узкого энергетического разброса в сочетании с коллимирующими (распараллеливающими) линзами и заостренными источниками нитей для достижения хорошей когерентности. ^[71] Поскольку свет на всех частотах распространяется с одинаковой скоростью, продольная и временная когерентность связаны; в волнах материи они независимы. Например, для атомов выбор скорости (энергии) управляет продольной когерентностью, а пульсация или прерывание управляет временной когерентностью. ^{[66] : 154}

Оптически сформированные волны материи Оптическая манипуляция материей играет решающую роль в оптике материальных волн: «Световые волны могут действовать как преломляющие, отражающие и поглощающие структуры для материальных волн, так же как стекло взаимодействует со световыми волнами». ^[72] Передача импульса лазерного света может охлаждать частицы материи и изменять внутреннее возбужденное состояние атомов. ^[73]

Многочастичные эксперименты. В то время как одночастичные оптические уравнения свободного пространства и уравнения волн материи идентичны, многочастичные системы, такие как эксперименты по совпадениям, не идентичны. ^[74]

Применение материальных волн

В следующих подразделах приводятся ссылки на страницы, описывающие применение волн материи в качестве зондов материалов или фундаментальных квантовых свойств . В большинстве случаев они включают в себя некий метод создания бегущих волн материи, которые изначально имеют простую форму , а затем их использование для зондирования материалов. ${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t)}$

Как показано в таблице ниже, масса волны материи варьируется более чем на 6 порядков , а энергия — более чем на 9 порядков, но все длины волн находятся в пикометрическом диапазоне, что сопоставимо с атомными расстояниями. ( Атомные диаметры варьируются от 62 до 520 пм, а типичная длина одинарной связи углерод-углерод составляет 154 пм.) Для достижения более длинных волн требуются специальные методы, такие как лазерное охлаждение , чтобы достичь более низких энергий; более короткие длины волн затрудняют различение эффектов дифракции. ^[41] Поэтому многие приложения сосредоточены на материальных структурах параллельно с приложениями электромагнитных волн, особенно рентгеновских лучей . В отличие от света, частицы волны материи могут иметь массу , электрический заряд , магнитные моменты и внутреннюю структуру, что представляет новые проблемы и возможности.

Электроны

Электронные дифракционные картины возникают, когда энергичные электроны отражаются или проникают в упорядоченные твердые тела; анализ этих картин приводит к созданию моделей атомного расположения в твердых телах.

Они используются для получения изображений в масштабе от микрона до атома с использованием электронных микроскопов , в проходящем свете , с использованием сканирования и для поверхностей при низких энергиях .

Измерения энергии, которую они теряют в спектроскопии потери энергии электронов, дают информацию о химии и электронной структуре материалов. Пучки электронов также приводят к характеристическому рентгеновскому излучению в энергодисперсионной спектроскопии , которая может давать информацию о химическом составе в наномасштабе.

Квантовое туннелирование объясняет, как электроны покидают металлы в электростатическом поле при энергиях, меньших, чем допускают классические предсказания: волна материи проникает через барьер работы выхода в металле.

Сканирующий туннельный микроскоп использует квантовое туннелирование для получения изображений верхнего атомного слоя твердых поверхностей.

Электронная голография , аналог оптической голографии с электронными материальными волнами , исследует электрические и магнитные поля в тонких пленках.

Нейтроны

Дифракция нейтронов дополняет дифракцию рентгеновских лучей за счет различных сечений рассеяния и чувствительности к магнетизму.

Малоугловое рассеяние нейтронов позволяет получить структуру неупорядоченных систем, чувствительную к легким элементам, изотопам и магнитным моментам.

Нейтронная рефлектометрия — метод нейтронной дифракции для измерения структуры тонких пленок.

Нейтральные атомы

Атомные интерферометры , подобно оптическим интерферометрам , измеряют разницу фаз между волнами атомной материи вдоль разных путей.

Атомная оптика имитирует многие оптические устройства, включая зеркала и пластины с фокусирующей зоной атома.

Сканирующая гелиевая микроскопия использует волны атомов Не для получения изображений твердых структур без разрушения.

Квантовое отражение использует волновое поведение материи для объяснения скользящего угла атомного отражения, лежащего в основе некоторых атомных зеркал .

Измерения квантовой декогеренции основаны на интерференции волн атома Rb.

Молекулы

Квантовая суперпозиция , обнаруженная путем интерференции волн материи от больших молекул, исследует пределы дуализма волна-частица и квантовой макроскопичности. ^{[83] [84]}

Интерферометры материальных волн генерируют наноструктуры на молекулярных пучках, которые можно считывать с точностью до нанометра и, следовательно, использовать для высокочувствительных измерений силы, из которых можно вывести множество свойств индивидуальных сложных молекул. ^[85]

Смотрите также

• Корпускулярно-волновой дуализм
• модель Бора
• Длина волны Комптона
• волна Фарадея
• Эффект Капицы–Дирака
• Часы материальных волн
• Уравнение Шредингера
• Тепловая длина волны де Бройля
• Теория де Бройля–Бома

Ссылки

1. Краг, Хельге (1 декабря 2000 г.). «Макс Планк: нерешительный революционер». Physics World . Получено 19 мая 2023 г.
2. Уиттекер, сэр Эдмунд (1 января 1989 г.). История теорий эфира и электричества . Том 2. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-26126-3.
3. Эйнштейн, А. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung, Physicalische Zeitschrift 18 : 121–128. Переведено Тер Хааром, Д. (1967). Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . стр. 167–183. LCCN  66029628.
4. Ричардсон, О. В.; Комптон, Карл Т. (17 мая 1912 г.). «Фотоэлектрический эффект». Science . 35 (907). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): 783–784. Bibcode :1912Sci....35..783R. doi :10.1126/science.35.907.783. ISSN  0036-8075. PMID  17792421.
5. Хьюз, А. Лл. «XXXIII. Фотоэлектрический эффект некоторых соединений». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 24.141 (1912): 380–390.
6. Милликен, Р. (1916). «Прямое фотоэлектрическое определение планковского «h»». Physical Review . 7 (3): 355–388. Bibcode : 1916PhRv....7..355M. doi : 10.1103/PhysRev.7.355 .
7. де Бройль, Луи (1970). «Переосмысление волновой механики». Основы физики . 1 (1): 5–15. Bibcode :1970FoPh....1....5D. doi :10.1007/BF00708650. S2CID  122931010.
8. de Broglie, Louis Victor. "On the Theory of Quanta" (PDF) . Основание Луи де Бройля (перевод на английский язык А. Ф. Краклауэра, 2004 г. ред.) . Получено 25 февраля 2023 г.
9. де Бройль, Л. (1923). "Волны и кванты". Nature . 112 (2815): 540. Bibcode :1923Natur.112..540D. doi : 10.1038/112540a0 . S2CID  4082518.
10. Medicus, HA (1974). «Пятьдесят лет материальных волн». Physics Today . 27 (2): 38–45. Bibcode : 1974PhT....27b..38M. doi : 10.1063/1.3128444.
11. Маккиннон, Э. (1976). Диссертация де Бройля: критическая ретроспектива, Am. J. Phys. 44: 1047–1055.
12. Эспиноза, Дж. М. (1982). «Физические свойства фазовых волн де Бройля». Am. J. Phys . 50 (4): 357–362. Bibcode : 1982AmJPh..50..357E. doi : 10.1119/1.12844.
13. Brown, HR; Martins (1984). «Релятивистские фазовые волны и волновые группы Де Бройля». Am. J. Phys . 52 (12): 1130–1140. Bibcode : 1984AmJPh..52.1130B. doi : 10.1119/1.13743. Архивировано из оригинала 29 июля 2020 г. Получено 16 декабря 2019 г.
14. МакЭвой, Дж. П.; Сарате, Оскар (2004). Введение в квантовую теорию . Totem Books. стр. 110–114. ISBN 978-1-84046-577-8.
15. Шредингер, Э. (1984). Собраны бумаги . Фридрих Видег и Зон. ISBN 978-3-7001-0573-2.См. введение к первой статье 1926 года.
16. Шредингер, Э. (1926). «Волновая теория механики атомов и молекул». Physical Review . 28 (6): 1049–1070. Bibcode :1926PhRv...28.1049S. doi :10.1103/PhysRev.28.1049. ISSN  0031-899X.
17. Moore, WJ (1992). Шредингер: Жизнь и мысли . Cambridge University Press . С. 219–220. ISBN 978-0-521-43767-7.
18. Джаммер, Макс (1974). Философия квантовой механики: интерпретации квантовой механики в исторической перспективе . Wiley-Interscience. С. 24–25. ISBN 978-0-471-43958-5.
19. Карам, Рикардо (июнь 2020 г.). «Оригинальные проблемы Шредингера с комплексной волновой функцией». American Journal of Physics . 88 (6): 433–438. Bibcode : 2020AmJPh..88..433K. doi : 10.1119/10.0000852. ISSN  0002-9505. S2CID  219513834.
20. Дарвин, Чарльз Гальтон. «Свободное движение в волновой механике». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера 117.776 (1927): 258–293.
21. Томсон, ГП; Рейд, А. (1927). "Дифракция катодных лучей на тонкой пленке". Nature . 119 (3007): 890. Bibcode :1927Natur.119Q.890T. doi : 10.1038/119890a0 . ISSN  0028-0836. S2CID  4122313.
22. Davisson, C.; Germer, LH (1927). «Дифракция электронов на кристалле никеля». Physical Review . 30 (6): 705–740. Bibcode : 1927PhRv...30..705D. doi : 10.1103/physrev.30.705 . ISSN  0031-899X.
23. Davisson, CJ; Germer, LH (1928). «Отражение электронов кристаллом никеля». Труды Национальной академии наук . 14 (4): 317–322. Bibcode :1928PNAS...14..317D. doi : 10.1073/pnas.14.4.317 . ISSN  0027-8424. PMC 1085484 . PMID  16587341. 
24. Арндт, Маркус; Хорнбергер, Клаус (апрель 2014 г.). «Проверка пределов квантово-механических суперпозиций». Nature Physics . 10 (4): 271–277. arXiv : 1410.0270 . Bibcode :2014NatPh..10..271A. doi :10.1038/nphys2863. ISSN  1745-2473. S2CID  56438353.
25. Мерли, ПГ, ГФ Миссироли и Дж. Поцци. «О статистическом аспекте явлений электронной интерференции». Американский журнал физики 44 (1976): 306
26. Тономура, А.; Эндо, Дж.; Мацуда, Т.; Кавасаки, Т.; Эзава, Х. (1989). «Демонстрация одноэлектронного наращивания интерференционной картины». Американский журнал физики . 57 (2). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 117–120. Bibcode : 1989AmJPh..57..117T. doi : 10.1119/1.16104. ISSN  0002-9505.
27. Борн, М .; Вольф, Э. (1999). Принципы оптики . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-64222-4.
28. Бах, Роджер; Поуп, Дамиан; Лиу, Си-Хванг; Бателан, Герман (13 марта 2013 г.). "Управляемая двухщелевая электронная дифракция". New Journal of Physics . 15 (3). IOP Publishing: 033018. arXiv : 1210.6243 . Bibcode : 2013NJPh...15c3018B. doi : 10.1088/1367-2630/15/3/033018. ISSN  1367-2630. S2CID  832961.
29. Наварро, Жауме (2010). «Дифракция электронов у Томсона: ранние отклики на квантовую физику в Британии». Британский журнал истории науки . 43 (2): 245–275. doi :10.1017/S0007087410000026. ISSN  0007-0874. S2CID  171025814.
30. Мауро Дардо, Лауреаты Нобелевской премии и физика двадцатого века , Cambridge University Press 2004, стр. 156–157
31. Бете, Х. (1928). «Теория дер Beugung von Elektronen an Kristallen». Аннален дер Физик (на немецком языке). 392 (17): 55–129. Бибкод : 1928АнП...392...55Б. дои : 10.1002/andp.19283921704.
32. Джон М., Коули (1995). Физика дифракции . Elsevier. ISBN 0-444-82218-6. OCLC  247191522.
33. Peng, L.-M.; Dudarev, SL; Whelan, MJ (2011). Высокоэнергетическая электронная дифракция и микроскопия . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-960224-7. OCLC  656767858.
34. Blakeley, Matthew P; Langan, Paul; Niimura, Nobuo; Podjarny, Alberto (1 октября 2008 г.). «Нейтронная кристаллография: возможности, проблемы и ограничения». Current Opinion in Structural Biology . Углеводы и гликоконъюгаты / Биофизические методы. 18 (5): 593–600. doi :10.1016/j.sbi.2008.06.009. ISSN  0959-440X. PMC 2586829. PMID 18656544  . 
35. Мейсон, TE; Гаун, TJ; Наглер, SE; Нестор, MB; Карпентер, JM (1 января 2013 г.). «Раннее развитие нейтронной дифракции: наука в крыльях Манхэттенского проекта». Acta Crystallographica Раздел A: Основы кристаллографии . 69 (1): 37–44. doi :10.1107/S0108767312036021. ISSN  0108-7673. PMC 3526866. PMID 23250059  . 
36. Снелл, AH; Уилкинсон, MK; Келер, WC (1984). "Эрнест Омар Воллан". Physics Today . 37 (11): 120. Bibcode : 1984PhT....37k.120S. doi : 10.1063/1.2915947 .
37. Шулл, К. Г. (1997). "Раннее развитие нейтронного рассеяния" (PDF) . В Экспонге, Г. (ред.). Нобелевские лекции по физике 1991–1995 . World Scientific Publishing . стр. 145–154. Архивировано из оригинала (PDF) 19 мая 2017 г.
38. Колелла, Р.; Оверхаузер, AW; Вернер, SA (1975). «Наблюдение гравитационно-индуцированной квантовой интерференции» (PDF) . Physical Review Letters . 34 (23): 1472–1474. Bibcode : 1975PhRvL..34.1472C. doi : 10.1103/PhysRevLett.34.1472.
39. Цайлингер, Антон; Гелер, Роланд; Шулль, К. Г.; Треймер, Вольфганг; Мампе, Вальтер (1 октября 1988 г.). «Дифракция нейтронов на одной и двух щелях». Reviews of Modern Physics . 60 (4): 1067–1073. Bibcode : 1988RvMP...60.1067Z. doi : 10.1103/RevModPhys.60.1067.
40. Эстерманн, И.; Стерн, Отто (1930). «Beugung von Molekularstrahlen». З. Физ . 61 (1–2): 95. Бибкод : 1930ZPhy...61...95E. дои : 10.1007/bf01340293. S2CID  121757478.
41. Adams, CS; Sigel, M; Mlynek, J (1994). "Оптика атома". Physics Reports . 240 (3). Elsevier BV: 143–210. Bibcode : 1994PhR...240..143A. doi : 10.1016/0370-1573(94)90066-3 . ISSN  0370-1573.
42. Carnal, O.; Mlynek, J. (27 мая 1991 г.). «Двухщелевой эксперимент Юнга с атомами: простой атомный интерферометр». Physical Review Letters . 66 (21): 2689–2692. Bibcode :1991PhRvL..66.2689C. doi :10.1103/PhysRevLett.66.2689. ISSN  1079-7114. PMID  10043591.
43. Пьер Кладэ; Чанхён Рю; Ананд Раманатан; Кристиан Хельмерсон; Уильям Д. Филлипс (2008). «Наблюдение за двумерным бозе-газом: от термического до квазиконденсатного и сверхтекучего». Physical Review Letters . 102 (17): 170401. arXiv : 0805.3519 . Bibcode :2009PhRvL.102q0401C. doi :10.1103/PhysRevLett.102.170401. PMID  19518764. S2CID  19465661.
44. Арндт, М.; О. Наирз; Дж. Восс-Андре ; К. Келлер; Г. ван дер Зув; А. Цайлингер (14 октября 1999 г.). «Волново-частичный дуализм C ₆₀ ». Природа . 401 (6754): 680–682. Бибкод : 1999Natur.401..680A. дои : 10.1038/44348. PMID  18494170. S2CID  4424892.
45. Эйбенбергер, Сандра; Герлих, Стефан; Арндт, Маркус; Майор, Марсель; Тюксен, Йенс (14 августа 2013 г.). «Материйно-волновая интерференция частиц, выбранных из молекулярной библиотеки с массами, превышающими10 000  а.е.м. ". Физическая химия Химическая физика . 15 (35): 14696–700. arXiv : 1310.8343 . Bibcode :2013PCCP...1514696E. doi :10.1039/c3cp51500a. ISSN  1463-9084. PMID  23900710. S2CID  3944699.
46. "2000 атомов в двух местах одновременно: новый рекорд в квантовой суперпозиции". phys.org . Получено 25 сентября 2019 г. .
47. Juffmann, Thomas; et al. (25 марта 2012 г.). «Визуализация квантовой интерференции одиночных молекул в реальном времени». Nature Nanotechnology . 7 (5): 297–300. arXiv : 1402.1867 . Bibcode :2012NatNa...7..297J. doi :10.1038/nnano.2012.34. PMID  22447163. S2CID  5918772.
48. Хорнбергер, Клаус; Стефан Уттенталер; Бьёрн Брезгер; Люсия Хакермюллер; Маркус Арндт; Антон Цайлингер (2003). "Наблюдение столкновительной декогеренции в интерферометрии". Phys. Rev. Lett . 90 (16): 160401. arXiv : quant-ph/0303093 . Bibcode : 2003PhRvL..90p0401H. doi : 10.1103/PhysRevLett.90.160401. PMID  12731960. S2CID  31057272.
49. Хакермюллер, Люсия; Клаус Хорнбергер; Бьёрн Брезгер; Антон Цайлингер; Маркус Арндт (2004). «Декогеренция волн материи термическим излучением». Nature . 427 (6976): 711–714. arXiv : quant-ph/0402146 . Bibcode :2004Natur.427..711H. doi :10.1038/nature02276. PMID  14973478. S2CID  3482856.
50. Schöllkopf, Wieland; Toennies, J. Peter (25 ноября 1994 г.). «Неразрушающий массовый отбор малых ван-дер-ваальсовых кластеров». Science . 266 (5189): 1345–1348. Bibcode :1994Sci...266.1345S. doi :10.1126/science.266.5189.1345. ISSN  0036-8075. PMID  17772840.
51. Ma, Yu-Gang (30 января 2023 г.). «Новый тип эксперимента по двухщелевой интерференции в масштабе Ферми». Nuclear Science and Techniques . 34 (1): 16. Bibcode : 2023NuScT..34...16M. doi : 10.1007/s41365-023-01167-6. ISSN  2210-3147.
52. STAR Collaboration (6 января 2023 г.). "Томография ультрарелятивистских ядер с поляризованными фотон-глюонными столкновениями". Science Advances . 9 (1). arXiv : 2204.01625 . Bibcode :2023SciA....9.3903.. doi :10.1126/sciadv.abq3903. ISSN  2375-2548. PMC 9812379 . PMID  36598973. 
53. Ma, Yu-Gang (30 января 2023 г.). «Новый тип эксперимента по двухщелевой интерференции в масштабе Ферми». Nuclear Science and Techniques . 34 (1): 16. Bibcode : 2023NuScT..34...16M. doi : 10.1007/s41365-023-01167-6. ISSN  2210-3147.
54. Резник, Р.; Эйсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
55. Холден, Алан (1971). Стационарные состояния . Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-501497-6.
56. Уильямс, WSC (2002). Введение в специальную теорию относительности , Тейлор и Фрэнсис, Лондон, ISBN 0-415-27761-2 , стр. 192. 
57. Schiff, Leonard I. (1987). Квантовая механика . Международная серия по чистой и прикладной физике (3-е изд., 24-е печатное изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-085643-1.
58. Метерелл, А. Дж. (1972). Электронная микроскопия в материаловедении . Комиссия Европейских Сообществ. С. 397–552.
59. Verbeeck, J.; Tian, ​​H.; Schattschneider, P. (2010). «Производство и применение электронных вихревых пучков». Nature . 467 (7313): 301–304. Bibcode :2010Natur.467..301V. doi :10.1038/nature09366. ISSN  1476-4687. PMID  20844532. S2CID  2970408.
60. Efthimios Kaxiras (9 января 2003 г.). Атомная и электронная структура твердых тел. Cambridge University Press. стр. 65–69. ISBN 978-0-521-52339-4.
61. Джаммер, Макс (1989). Концептуальное развитие квантовой механики . История современной физики (2-е изд.). Лос-Анджелес (Калифорния): Thomas publishers. ISBN 978-0-88318-617-6.
62. Малликен, Роберт С. (1932). «Электронные структуры многоатомных молекул и валентность. II. Общие положения». Physical Review . 41 (1): 49–71. Bibcode :1932PhRv...41...49M. doi :10.1103/PhysRev.41.49.
63. Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-124405-4.
64. Левин, Айра Н. (2000). Квантовая химия (5-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-685512-5.
65. Шредингер, Эрвин (2001). Сборник статей по волновой механике: вместе с его четырьмя лекциями по волновой механике . Перевод Ширера, Дж. Ф.; Динс, Уинифред Маргарет (Третье (дополненное) издание, Нью-Йорк, 1982 г.). Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing, Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3524-1.
66. Adams, CS; Sigel, M; Mlynek, J (1 мая 1994 г.). "Оптика атома". Physics Reports . 240 (3): 143–210. Bibcode : 1994PhR...240..143A. doi : 10.1016/0370-1573(94)90066-3 .
67. Шлосшауэр, Максимилиан (1 октября 2019 г.). «Квантовая декогеренция». Physics Reports . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Bibcode : 2019PhR...831....1S. doi : 10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
68. Pynn, Roger (1 июля 1990 г.). "Neutron Scattering – A Primer" (PDF) . Национальный институт стандартов и технологий . Получено 24 июня 2023 г. .
69. Фано, У. (1957). «Описание состояний в квантовой механике с помощью матрицы плотности и операторных методов». Reviews of Modern Physics . 29 (1): 74–93. Bibcode : 1957RvMP...29...74F. doi : 10.1103/RevModPhys.29.74. ISSN  0034-6861.
70. Холл, Брайан С. (2013), «Системы и подсистемы, множественные частицы», Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 419–440, doi :10.1007/978-1-4614-7116-5_19, ISBN 978-1-4614-7115-8, получено 13 августа 2023 г.
71. Хоукс, Питер В.; Хоукс, П. В. (1972). Электронная оптика и электронная микроскопия . Лондон: Taylor & Francis. стр. 117. ISBN 978-0-85066-056-2.
72. Кронин, Александр Д.; Шмидмайер, Йорг; Притчард, Дэвид Э. (28 июля 2009 г.). «Оптика и интерферометрия с атомами и молекулами». Reviews of Modern Physics . 81 (3): 1051–1129. arXiv : 0712.3703 . Bibcode : 2009RvMP...81.1051C. doi : 10.1103/RevModPhys.81.1051. hdl : 1721.1/52372. ISSN  0034-6861. S2CID  28009912.
73. Акбари, Камран; Ди Джулио, Валерио; Гарсия Де Абахо, Ф. Хавьер (2022). «Оптическая манипуляция волнами материи». Science Advances . 8 (42): eabq2659. arXiv : 2203.07257 . Bibcode : 2022SciA....8.2659A. doi : 10.1126/sciadv.abq2659. PMID  36260664.
74. Брукнер, Часлав; Цайлингер, Антон (6 октября 1997 г.). «Неэквивалентность между стационарной волновой оптикой материи и стационарной световой оптикой». Physical Review Letters . 79 (14): 2599–2603. Bibcode : 1997PhRvL..79.2599B. doi : 10.1103/PhysRevLett.79.2599. ISSN  0031-9007.
75. Тономура, Акира; Эндо, Дж.; Мацуда, Т.; Кавасаки, Т.; Эзава, Х. (1989). «Демонстрация одноэлектронного наращивания интерференционной картины». American Journal of Physics . 57 (2): 117–120. Bibcode :1989AmJPh..57..117T. doi :10.1119/1.16104.
76. Эстерманн, И.; Стерн, О. (1 января 1930 г.). «Beugung von Molekularstrahlen». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 61 (1): 95–125. Бибкод : 1930ZPhy...61...95E. дои : 10.1007/BF01340293. ISSN  0044-3328. S2CID  121757478.
77. Wollan, EO; Shull, CG (1948). «Дифракция нейтронов на кристаллических порошках». Physical Review . 73 (8). Американское физическое общество: 830–841. Bibcode : 1948PhRv...73..830W. doi : 10.1103/PhysRev.73.830. hdl : 2027/mdp.39015086506584 .
78. Московиц, Филип Э.; Гулд, Филипп Л.; Атлас, Сьюзан Р.; Притчард, Дэвид Э. (1 августа 1983 г.). «Дифракция атомного пучка на стоячей волне». Physical Review Letters . 51 (5): 370–373. Bibcode :1983PhRvL..51..370M. doi :10.1103/PhysRevLett.51.370.
79. Грисенти, Р. Э.; В. Шёллькопф; Дж. П. Тённис; Дж. Р. Мэнсон; ТА Савас; Генри И. Смит (2000). «Дифракция атомов гелия на пропускающих решетках наноструктур: роль несовершенств». Physical Review A. 61 ( 3): 033608. Bibcode : 2000PhRvA..61c3608G. doi : 10.1103/PhysRevA.61.033608.
80. Чапман, Майкл С.; Кристофер Р. Экстром; Трой Д. Хаммонд; Ричард А. Рубенштейн; Йорг Шмидмайер; Стефан Вехингер; Дэвид Э. Притчард (1995). «Оптика и интерферометрия с молекулами Na2». _Physical Review Letters . 74 (24): 4783–4786. Bibcode : 1995PhRvL..74.4783C. doi : 10.1103/PhysRevLett.74.4783. PMID  10058598.
81. Brezger, B.; Hackermüller, L.; Uttenthaler, S.; Petschinka, J.; Arndt, M.; Zeilinger, A. (февраль 2002 г.). "Matter–Wave Interferometer for Large Molecules" (переиздание) . Physical Review Letters . 88 (10): 100404. arXiv : quant-ph/0202158 . Bibcode : 2002PhRvL..88j0404B. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.100404. PMID:  11909334. S2CID  : 19793304. Архивировано (PDF) из оригинала 13 августа 2007 г. Получено 30 апреля 2007 г.
82. Шаеги, А.; Ризер, П.; Рихтер, Г.; Сезер, У.; Родевальд, Дж. Х.; Гейер, П.; Мартинес, Т. Дж.; Арндт, М. (19 марта 2020 г.). «Материйно-волновая интерференция нативного полипептида». Nature Communications . 11 (1): 1447. arXiv : 1910.14538 . Bibcode :2020NatCo..11.1447S. doi :10.1038/s41467-020-15280-2. ISSN  2041-1723. PMC 7081299 . PMID  32193414. 
83. Fein, Yaakov Y.; Geyer, Philipp; Zwick, Patrick; Kiałka, Filip; Pedalino, Sebastian; Mayor, Marcel; Gerlich, Stefan; Arndt, Markus (декабрь 2019 г.). «Квантовая суперпозиция молекул за пределами 25 кДа». Nature Physics . 15 (12): 1242–1245. Bibcode :2019NatPh..15.1242F. doi :10.1038/s41567-019-0663-9. ISSN  1745-2481. S2CID  256703296.
84. Нимрихтер, Стефан; Хорнбергер, Клаус (18 апреля 2013 г.). «Макроскопичность механических квантовых суперпозиционных состояний». Physical Review Letters . 110 (16): 160403. arXiv : 1205.3447 . Bibcode : 2013PhRvL.110p0403N. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.160403. PMID  23679586. S2CID  12088376.
85. Герлих, Стефан; Фейн, Яаков Ю.; Шаеги, Армин; Кёлер, Валентин; Майор, Марсель; Арндт, Маркус (2021), Фридрих, Бржетислав; Шмидт-Бёкинг, Хорст (ред.), «Наследие Отто Штерна в квантовой оптике: волны материи и дефлектометрия», Молекулярные пучки в физике и химии: от пионерских достижений Отто Штерна до современных достижений , Cham: Springer International Publishing, стр. 547–573, Bibcode : 2021mbpc.book..547G, doi : 10.1007/978-3-030-63963-1_24 , ISBN 978-3-030-63963-1

Дальнейшее чтение

• Л. де Бройль, Recherches sur la theorie des quanta (Исследования по квантовой теории), диссертация (Париж), 1924; Л. де Бройль, Анн. Физ. (Париж) 3 , 22 (1925). Английский перевод А.Ф. Краклауэра.
• Бройль, Луи де, Волновая природа электрона Нобелевская лекция, 12, 1929
• Типлер, Пол А. и Ральф А. Ллевеллин (2003). Современная физика . 4-е изд. Нью-Йорк; WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-4345-0 . стр. 203–4, 222–3, 236. 
• Zumdahl, Steven S. (2005). Химические принципы (5-е изд.). Бостон: Houghton Mifflin. ISBN 978-0-618-37206-5.
• Cronin, Alexander D.; Schmiedmayer, Jörg; Pritchard, David E. (28 июля 2009 г.). «Оптика и интерферометрия с атомами и молекулами» (PDF) . Reviews of Modern Physics . 81 (3): 1051–1129. arXiv : 0712.3703 . Bibcode :2009RvMP...81.1051C. doi :10.1103/RevModPhys.81.1051. Архивировано из оригинала (PDF) 19 июля 2011 г. – через Atomwave.
• «Научные доклады, представленные Максу Борну в связи с его уходом на пенсию с кафедры естественной философии имени Тейта в Эдинбургском университете», 1953 г. (Оливер и Бойд)

Внешние ссылки

• Боули, Роджер. «Волны де Бройля». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .