исчисление Ито

Интеграл Ито Y _t ( B ) ( синий ) броуновского движения $B$ ( красный ) относительно самого себя, т. е. и подынтегральная функция, и интегратор являются броуновскими. Оказывается $Y$ $т$ $($ $B$ $) знак равно ($ $B$ $2$ $-$ $т$ $)/2$ .

Исчисление Ито , названное в честь Кийоси Ито , расширяет методы исчисления на стохастические процессы , такие как броуновское движение (см. Винеровский процесс ). Он имеет важные применения в математических финансах и стохастических дифференциальных уравнениях .

Центральным понятием является стохастический интеграл Ито, стохастическое обобщение интеграла Римана – Стилтьеса в анализе. Интегранты и интеграторы теперь представляют собой случайные процессы:

Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

H

адаптированный фильтрации,

X

броуновское движение семимартингал

t

случайной величиной изменение

H

t

t

суммы Римана сетка

Важные результаты исчисления Ито включают формулу интегрирования по частям и лемму Ито , которая представляет собой формулу замены переменных . Они отличаются от формул стандартного исчисления из-за членов квадратичной вариации .

В математических финансах описанная стратегия оценки интеграла концептуализируется так, что мы сначала решаем, что делать, а затем наблюдаем за изменением цен. Подынтегральная функция показывает, сколько акций мы держим, интегратор представляет движение цен, а интеграл показывает, сколько у нас всего денег, включая стоимость наших акций в любой момент времени. Цены на акции и другие торгуемые финансовые активы можно моделировать с помощью стохастических процессов, таких как броуновское движение или, чаще, геометрическое броуновское движение (см. Блэка-Шоулза ). Тогда стохастический интеграл Ито представляет собой выигрыш от торговой стратегии непрерывного времени, состоящей из удержания количества акций H _t в момент t . В этой ситуации условие адаптации $H$ соответствует необходимому ограничению, согласно которому торговая стратегия может использовать только имеющуюся информацию в любое время. Это предотвращает возможность неограниченной прибыли посредством ясновидения : покупка акций непосредственно перед каждым подъемом рынка и продажа перед каждым спадом. Аналогичным образом, условие адаптации $H$ означает, что стохастический интеграл не будет расходиться при расчете как предел сумм Римана (Revuz & Yor 1999, Глава IV).

Обозначения

Процесс $Y,$ определенный ранее как

Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

Y = H \cdot X

= H dX,

Y - Y 0 = H \cdot X.

фильтрованное вероятностное пространство .

(\Omega,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P}).

-алгебра

t

X

X

t

B

B

t

B

t

+

s

-

B

t

s

,

t

\geq 0

${\mathcal {F}}_{t}$

{\mathcal {F}}_{t}

{\mathcal {F}}_{t}

{\mathcal {F}}_{t}

{\mathcal {F}}_{t}

Интегрирование по броуновскому движению.

Интеграл Ито можно определить аналогично интегралу Римана – Стилтьеса , то есть как предел вероятности сумм Римана ; такой предел не обязательно существует по пути. Предположим, что $B$ — винеровский процесс (броуновское движение) и что $H$ — непрерывный справа ( càdlàg ), адаптированный и локально ограниченный процесс. Если это последовательность разбиений $[0,$ $t$ $]$ с шириной сетки, стремящейся к нулю, то интеграл Ито от $H$ по $B$ до момента времени $t$ является случайной величиной . $\{\pi _{n}\}$

\int _{0}^{t}H\,дБ=\lim _{n\rightarrow \infty}\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _ {n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).

Можно показать, что этот предел сходится по вероятности .

Для некоторых приложений, таких как теоремы о мартингальном представлении и локальное время , интеграл необходим для процессов, которые не являются непрерывными. Предсказуемые процессы образуют наименьший класс, замкнутый относительно пределов последовательностей и содержащий все адаптированные непрерывные слева процессы. Если $H$ — любой предсказуемый процесс такой, что $\int 0 t H 2 ds < \infty$ для каждого $t \geq 0$ , то можно определить интеграл от $H$ по $B , и$ $H$ называется $B$ -интегрируемым. Любой такой процесс можно аппроксимировать последовательностью H _n непрерывных слева, адаптированных и локально ограниченных процессов в том смысле, что

\int _{0}^{t}(HH_{n})^{2}\,ds\to 0

\int _{0}^{t}H\,дБ=\lim _{n\to \infty}\int _{0}^{t}H_{n}\,дБ

изометрии Ито.

\mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,дБ_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]

H

Ито-процессы

Единственная реализация процесса Ито с $µ = 0$ и $σ = ψ (t -5)$ , где $ψ$ — вейвлет Рикера . Вне волны вейвлета движение процесса Ито стабильно.

Процесс Ито определяется как адаптированный случайный процесс, который может быть выражен как сумма интеграла по броуновскому движению и интеграла по времени:

X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,дБ_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{ с}\,дс.

Здесь $B$ — броуновское движение, и требуется, чтобы σ был предсказуемым $B$ -интегрируемым процессом, а µ был предсказуемым и ( по Лебегу ) интегрируемым. То есть,

\int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty

т

\int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0 }^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.

Это определено для всех локально ограниченных и предсказуемых подынтегральных выражений. В более общем смысле требуется, чтобы $Hσ$ была $B$ -интегрируемой, а $Hμ$ интегрируемой по Лебегу, так что

\int _{0}^{t}\left(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |\right)ds<\infty .

H

X

Важным результатом для изучения процессов Ито является лемма Ито . В своей простейшей форме для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции $f$ на действительных числах и процесса Ито $X$ , как описано выше, утверждается, что $f (X)$ сама по себе является процессом Ито, удовлетворяющим

df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\tfrac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_ {t})\sigma _{t}^{2}\,dt.

Это стохастическая версия формулы замены переменных и цепного правила . Он отличается от стандартного результата из-за дополнительного члена, включающего вторую производную от $f$ , который возникает из-за того, что броуновское движение имеет ненулевую квадратичную вариацию .

Семимартингалы как интеграторы

Интеграл Ито определяется относительно семимартингала $X$ . Это процессы, которые можно разложить на X $= M + A для$ локального мартингала $M$ и процесса конечной вариации $A.$ Важными примерами таких процессов являются броуновское движение , которое является мартингалом , и процессы Леви . Для непрерывного слева, локально ограниченного и адаптированного процесса $H$ интеграл $H \cdot X$ существует и может быть вычислен как предел сумм Римана. Пусть $π n$ — последовательность разбиений $[0, t]$ с сеткой , стремящейся к нулю,

\int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\to \infty}\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n }}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).

Этот предел сходится по вероятности. Стохастический интеграл непрерывных слева процессов достаточно общий для изучения большей части стохастического исчисления. Например, этого достаточно для применения леммы Ито, замены меры посредством теоремы Гирсанова и для изучения стохастических дифференциальных уравнений . Однако этого недостаточно для других важных тем, таких как теоремы о мартингальном представлении и местное время .

Интеграл уникальным образом распространяется на все предсказуемые и локально ограниченные подынтегральные выражения, так что выполняется теорема о доминируемой сходимости . То есть, если $H n \to H$ и $| Ч н | \leq J$ для локально ограниченного процесса $J$ , то

\int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX,

леммы о монотонном классе

В общем случае стохастический интеграл $H \cdot X$ можно определить даже в тех случаях, когда прогнозируемый процесс $H$ не является локально ограниченным. Если $K = 1/(1 + | H |),$ то $K$ и $KH$ ограничены. Ассоциативность стохастического интегрирования подразумевает, что $H$ $X$ - интегрируема с интегралом $H \cdot X = Y$ тогда и только тогда, когда $Y 0 = 0$ и $K \cdot Y = (KH) \cdot X$ . Множество $X-$ интегрируемых процессов обозначается $L (X)$ .

Характеристики

Следующие свойства можно найти в таких работах, как (Revuz & Yor 1999) и (Rogers & Williams 2000):

Стохастический интеграл — это процесс обработки данных . Кроме того, это семимартингал .
Разрывы стохастического интеграла задаются скачками интегратора, умноженного на подынтегральную функцию. Скачок процесса càdlàg в момент времени $t$ равен $X t - X t-$ и часто обозначается $Δ X t$ . В этих обозначениях $Δ(H \cdot X) = H Δ X$ . Частным следствием этого является то, что интегралы по непрерывному процессу сами по себе всегда непрерывны.
Ассоциативность . Пусть $J$ , $K$ — предсказуемые процессы, а $K$ — $X$ -интегрируемый. Тогда $J$ является $K \cdot X$ интегрируемым тогда и только тогда, когда $JK X$ $-интегрируем$ ,и в этом случае $J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X$
Преобладает конвергенция . Предположим, что $H n \to H$ и $| Ч н | \leq J$ , где $J$ — $X$ -интегрируемый процесс. тогда $ЧАС \cdot Икс \to ЧАС \cdot Икс$ . $$ Сходимость находится по вероятности в каждый момент времени $t$ . Фактически, он сходится равномерно на компактах по вероятности.
Стохастический интеграл коммутирует с операцией взятия квадратичных ковариаций. Если $X$ и $Y$ — семимартингалы, то любой $X$ -интегрируемый процесс также будет $[X, Y]$ -интегрируемым, и $[H \cdot X, Y] = H \cdot [X, Y]$ . Следствием этого является то, что процесс квадратичного изменения стохастического интеграла равен интегралу процесса квадратичного изменения: $[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]$

Интеграция по частям

Как и в обычном исчислении, интегрирование по частям является важным результатом стохастического исчисления. Формула интегрирования по частям для интеграла Ито отличается от стандартного результата из-за включения квадратичного ковариационного члена. Этот термин возник из-за того, что исчисление Ито имеет дело с процессами с ненулевой квадратичной вариацией, которая возникает только для процессов с бесконечной вариацией (таких как броуновское движение). Если $X$ и $Y$ — семимартингалы, то

X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}

[X, Y]

Результат аналогичен теореме об интегрировании по частям для интеграла Римана – Стилтьеса, но имеет дополнительный член квадратичной вариации .

Лемма Ито

Лемма Ито - это версия цепного правила или формулы замены переменных , которая применяется к интегралу Ито. Это одна из самых мощных и часто используемых теорем стохастического исчисления. Для непрерывного $n$ -мерного семимартингала $X = (X 1,..., X n)$ и дважды непрерывно дифференцируемой функции $f$ от $R n$ до $R$ утверждается, что $f (X)$ является семимартингалом и

df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.

[X i, X j]

лемму Ито

f,

Мартингейл-интеграторы

Локальные мартингалы

Важным свойством интеграла Ито является то, что он сохраняет свойство локального мартингала . Если $M$ — локальный мартингал и $H$ — локально ограниченный предсказуемый процесс, то $H \cdot M$ также является локальным мартингалом. Для подынтегральных выражений, которые не являются локально ограниченными, существуют примеры, когда $H \cdot M$ не является локальным мартингалом. Однако это может произойти только тогда, когда $M$ не является непрерывным. Если $M$ — непрерывный локальный мартингал, то предсказуемый процесс $H$ $M$ - интегрируем тогда и только тогда, когда

\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty ,

t

H \cdot M

Наиболее общее утверждение о разрывном локальном мартингале $M$ состоит в том, что если $(H 2 \cdot [M]) 1/2$ локально интегрируемо , то $H \cdot M$ существует и является локальным мартингалом.

Квадратные интегрируемые мартингалы

Для ограниченных подынтегральных выражений стохастический интеграл Ито сохраняет пространство квадратно интегрируемых мартингалов, которое представляет собой набор мартингалов $M$ таких, что E $[M t 2]$ конечно для всех $t$ . Для любого такого квадратично интегрируемого мартингала $M$ процесс квадратичных вариаций $[M]$ интегрируем, и изометрия Ито утверждает, что

\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].

M

H 2 \cdot [M] t

H \cdot M

p -Интегрируемые мартингалы

Для любого $p > 1$ и ограниченного предсказуемого подынтегрального выражения стохастический интеграл сохраняет пространство $p$ -интегрируемых мартингалов. Это мартингалы càdlàg такие, что $E(| M t | p)$ конечно для всех $t$ . Однако это не всегда верно в случае, когда $p = 1$ . Существуют примеры интегралов от ограниченных предсказуемых процессов относительно мартингалов, которые сами мартингалами не являются.

Максимальный процесс процесса Càdlàg $M$ записывается как $M* t = sup s \leq t | М с |$ . Для любого $p \geq 1$ и ограниченного предсказуемого подынтегрального выражения стохастический интеграл сохраняет пространство мартингалов $M$ таких, что $E[(M* t) p]$ конечно для всех $t$ . Если $p > 1$ , то это то же самое, что и пространство $p$ -интегрируемых мартингалов согласно неравенствам Дуба .

Неравенства Буркхолдера -Дэвиса-Ганди утверждают, что для любого заданного $p \geq 1$ существуют положительные константы $c$ , $C$ , которые зависят от $p$ , но не $от M$ или от $t$ , такие, что

c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]

M

(M* t) p

H

\mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty

H \cdot M

p

(H 2 \cdot [M]) p /2

Существование интеграла

Доказательство того, что интеграл Ито правильно определен, обычно начинается с рассмотрения очень простых подынтегральных выражений, таких как кусочно-постоянные, непрерывные слева и адаптированные процессы, в которых интеграл можно записать явно. Такие простые предсказуемые процессы представляют собой линейные комбинации членов вида $H t = A 1 {t > T}$ для моментов остановки $T$ и $F T$ -измеримых случайных величин $A$ , для которых интеграл равен

H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).

H \cdot X

H

Для броуновского движения $B$ свойство того, что оно имеет независимые приращения с нулевым средним значением и дисперсией $Var(B t) = t,$ может быть использовано для доказательства изометрии Ито для простых предсказуемых подынтегральных выражений:

\mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].

непрерывному линейному расширению

\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,

B

локализации

Для общего семимартингала $X$ можно использовать разложение $X = M + A$ в локальный мартингал $M$ плюс процесс конечной вариации $A.$ Затем можно показать, что интеграл существует отдельно по отношению к $M$ и $A$ и объединен с использованием линейности $H \cdot X = H \cdot M + H \cdot A$ , чтобы получить интеграл по X . Стандартный интеграл Лебега – Стилтьеса позволяет определить интегрирование относительно процессов конечной вариации, поэтому существование интеграла Ито для семимартингалов будет следовать из любой конструкции для локальных мартингалов.

Для интегрируемого с квадратом мартингала $M$ можно использовать обобщенную форму изометрии Ито. Во-первых, теорема о разложении Дуба-Мейера используется, чтобы показать, что существует разложение $M 2 = N + ⟨ M ⟩$ , где $N$ — мартингал, а $⟨ M ⟩$ — непрерывный справа, возрастающий и предсказуемый процесс, начинающийся с нуля. Это однозначно определяет $⟨ M ⟩$ $,$ которое называется предсказуемой квадратичной вариацией M. Тогда изометрия Ито для квадратно интегрируемых мартингалов будет равна

\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],

E [H 2 \cdot ⟨ M ⟩ t] < \infty

Существует множество других доказательств, в которых применяются аналогичные методы, но которые избегают необходимости использовать теорему о разложении Дуба – Мейера, например, использование квадратичной вариации [ M ] в изометрии Ито, использование меры Долеана для субмартингалов или использование неравенств Буркхолдера –Дэвиса–Ганди вместо изометрии Ито. Последнее применимо непосредственно к локальным мартингалам без необходимости сначала иметь дело со случаем квадратно интегрируемого мартингала.

Альтернативные доказательства существуют только на основе того факта, что $X$ является càdlàg, адаптированным и множество { H · X _t : | Ч | ≤ 1 является простым предвидимым} ограничено по вероятности для каждого времени $t$ , что является альтернативным определением того, что $X$ является семимартингалом. Непрерывное линейное расширение можно использовать для построения интеграла для всех непрерывных слева и адаптированных подынтегральных выражений с правыми пределами всюду (каглад или L-процессы). Это достаточно общий подход, чтобы можно было применять такие методы, как лемма Ито (Проттер, 2004). Кроме того, неравенство Хинчина можно использовать для доказательства теоремы о доминируемой сходимости и расширения интеграла до общих предсказуемых подынтегральных выражений (Bichteler 2002).

Дифференцирование в исчислении Ито

Исчисление Ито в первую очередь определяется как интегральное исчисление, как описано выше. Однако существуют и другие понятия «производной» по отношению к броуновскому движению:

Производная Маллявена

Исчисление Маллявена обеспечивает теорию дифференцирования случайных величин, определенных в пространстве Винера , включая формулу интегрирования по частям (Nualart 2006).

Представление Мартингейла

Следующий результат позволяет выразить мартингалы как интегралы Ито: если $M$ — мартингал, интегрируемый с квадратом на интервале времени $[0, T]$ относительно фильтрации, порождаемой броуновским движением $B$ , то существует единственный адаптированный процесс, интегрируемый с квадратом на интервале времени [0, T] $[0,$ $T$ $]$ такой, что $\alpha$

M_{t}=M_{0}+\int _{0}^{t}\alpha _{s}\,\mathrm {d} B_{s}

t \in [0, T]

M

B

t

M t - M 0

Исчисление Ито для физиков

В физике обычно используются стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), такие как уравнения Ланжевена , а не стохастические интегралы. Здесь стохастическое дифференциальное уравнение Ито (СДУ) часто формулируется через

{\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},

\xi _{j}

\langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})

соглашение Эйнштейна о суммировании .

Если является функцией $x$ $k$ , то необходимо использовать лемму Ито : $y=y(x_{k})$

{\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.

СДУ Ито, описанное выше, также соответствует СДУ Стратоновича , которое гласит:

{\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.

СДУ часто встречаются в физике в форме Стратоновича как пределы стохастических дифференциальных уравнений, управляемых цветным шумом , если время корреляции шумового члена приближается к нулю. Недавнюю трактовку различных интерпретаций стохастических дифференциальных уравнений см., например (Lau & Lubensky 2007).