В геометрии квазиправильный многогранник — это однородный многогранник , имеющий ровно два вида правильных граней , чередующихся вокруг каждой вершины . Они вершинно-транзитивны и реберно-транзитивны , следовательно, на шаг ближе к правильным многогранникам , чем полуправильные многогранники , которые просто вершинно-транзитивны.
Их двойственные фигуры транзитивны по граням и по краям; они имеют ровно два вида правильных вершинных фигур , которые чередуются вокруг каждой грани . Иногда их также считают квазирегулярными.
Выпуклых квазиправильных многогранников всего два : кубооктаэдр и икосододекаэдр . Их имена, данные Кеплером , происходят от признания того, что их грани — это все грани (повернутые по-разному) двупарного куба и октаэдра , в первом случае , и дуальнопарного икосаэдра и додекаэдра , во втором случае.
Этим формам, представляющим пару правильной фигуры и ее двойственной фигуры, можно дать вертикальный символ Шлефли или r{p,q} , чтобы обозначить, что их грани являются всеми гранями (повернутыми по-разному) как обычных {p,q}, так и обычных фигур. двойственный регулярный {q,p} . Квазиправильный многогранник с этим символом будет иметь конфигурацию вершин p.qpq (или (pq) 2 ).
В более общем смысле, квазиправильная фигура может иметь конфигурацию вершин (pq) r , представляющую r (2 или более) последовательностей граней вокруг вершины.
Замощения плоскости также могут быть квазирегулярными, в частности , тригексагональные замощения с конфигурацией вершин (3.6) 2 . На гиперболической плоскости существуют и другие квазирегулярные мозаики , такие как трехгептагональная мозаика (3.7) 2 . Или в более общем смысле: (pq) 2 , где 1/p + 1/q < 1/2 .
Правильные многогранники и мозаики с четным числом граней в каждой вершине также можно считать квазиправильными, если различать грани одного и того же порядка, представляя их по-разному, например, раскрашивая их попеременно (без определения какой-либо ориентации поверхности). Правильную фигуру с символом Шлефли {p,q} можно считать квазирегулярной с конфигурацией вершин (pp) q/2 , если q четно.
Примеры:
Правильный октаэдр с символом Шлефли {3,4} и четным числом 4 можно считать квазиправильным как тетратетраэдр (2 набора по 4 треугольника тетраэдра ) с конфигурацией вершин (3.3) 4/2 = (3 a .3 б ) 2 , чередуя два цвета треугольных граней.
Квадратную мозаику с четной конфигурацией вершин 4 4 и 4 можно считать квазирегулярной, с конфигурацией вершин (4.4) 4/2 = (4 a .4 b ) 2 , раскрашенной в виде шахматной доски .
Треугольную мозаику с четной конфигурацией вершин 3 6 и 6 можно считать квазирегулярной с конфигурацией вершин (3.3) 6/2 = (3 a .3 b ) 3 , чередующими два цвета треугольных граней.
Коксетер определяет квазиправильный многогранник как многогранник, имеющий символ Витхоффа в форме p | qr и является регулярным, если q=2 или q=r. [1]
Диаграмма Кокстера -Динкина — еще одно символическое представление, которое показывает квазирегулярную связь между двумя дуально-регулярными формами:
Имеются два однородных выпуклых квазиправильных многогранника:
Кроме того, октаэдр , который также имеет правильную , , конфигурацию вершин (3.3) 2 , можно считать квазиправильным, если чередующимся граням присвоены разные цвета. В этой форме его иногда называют тетратетраэдром . Остальные выпуклые правильные многогранники имеют нечетное количество граней в каждой вершине, поэтому их нельзя раскрасить так, чтобы сохранить транзитивность ребер. Имеет диаграмму Кокстера-Динкина.
Каждый из них образует общее ядро двойственной пары правильных многогранников . Названия двух из них дают подсказку о соответствующей двойной паре: соответственно куб- октаэдр и икосаэдр- додекаэдр . Октаэдр — общее ядро двойной пары тетраэдров (соединение, известное как стелла октангула ); полученный таким способом октаэдр иногда называют тетратетраэдром , как тетраэдр тетраэдром .
Каждый из этих квазиправильных многогранников можно построить с помощью операции выпрямления любого правильного родительского элемента, полностью усекая вершины, пока каждое исходное ребро не сократится до своей средней точки.
Эта последовательность продолжается как тригексагональная мозаика , вершинная фигура (3.6) 2 — квазирегулярная мозаика , основанная на треугольной мозаике и шестиугольной мозаике .
Шахматный узор представляет собой квазирегулярную раскраску квадратной мозаики , вершинной фигуры (4.4) 2 :
Треугольную мозаику также можно считать квазирегулярной с тремя наборами чередующихся треугольников в каждой вершине, (3.3) 3 :
В гиперболической плоскости эта последовательность продолжается и дальше, например тригептагональная мозаика , вершинная фигура (3.7) 2 — квазирегулярная мозаика , основанная на треугольной мозаике 7-го порядка и семиугольной мозаике .
Коксетер, HSM и др. (1954) также классифицируют некоторые звездчатые многогранники , имеющие те же характеристики, что и квазиправильные.
Два основаны на двойственных парах правильных тел Кеплера – Пуансо , так же, как и в выпуклых примерах:
большой икосододекаэдр и додекадодекаэдр :
Еще девять — полумногогранники , которые представляют собой ограненные формы вышеупомянутых квазиправильных многогранников, полученные в результате выпрямления правильных многогранников. К ним относятся экваториальные грани, проходящие через центр многогранников:
Наконец, есть три двуугольные формы, все грани правильного додекаэдра, вершинные фигуры которого содержат три чередования двух типов граней:
В евклидовой плоскости последовательность полумногогранников продолжается следующими четырьмя звездчатыми мозаиками, где апейрогоны выглядят как вышеупомянутые экваториальные многоугольники:
Некоторые авторитеты утверждают, что, поскольку двойственные тела квазирегулярных тел имеют одну и ту же симметрию, эти двойственные тела также следует называть квазирегулярными. Но не все используют эту терминологию. Эти двойственные числа транзитивны на своих ребрах и гранях (но не на вершинах); это каталонские тела , транзитивные по краям . Выпуклые в порядке, указанном выше:
Кроме того, благодаря двойственности с октаэдром куб , который обычно является правильным , можно сделать квазиправильным, если чередующимся вершинам придать разные цвета.
Конфигурации их граней имеют вид V3.n.3.n и диаграмму Кокстера-Дынкина. 
Эти три квазирегулярных дуала также характеризуются наличием ромбических граней.
Этот узор с ромбическими гранями продолжается как V(3.6) 2 , ромбовидная мозаика .
В более высоких измерениях Коксетер определил квазиправильный многогранник или соты, которые имеют правильные грани и квазиправильные фигуры вершин. Отсюда следует, что все фигуры вершин конгруэнтны и что существует два типа граней, которые чередуются. [2]
В евклидовом 4-мерном пространстве регулярные 16 ячеек также можно рассматривать как квазирегулярные, как чередующийся тессеракт , h{4,3,3}, диаграммы Кокстера :
"="
, состоящий из чередующихся ячеек тетраэдра и тетраэдра . Его вершинная фигура — квазиправильный тетратетраэдр (октаэдр с тетраэдрической симметрией),.
Единственные квазирегулярные соты в евклидовом 3-мерном пространстве — это чередующиеся кубические соты , h{4,3,4}, диаграммы Кокстера:"=", состоящий из чередующихся тетраэдрических и октаэдрических ячеек . Его вершинная фигура — квазиправильный кубооктаэдр .. [2]
В гиперболическом трехмерном пространстве одна квазирегулярная сота представляет собой чередующуюся кубическую соту пятого порядка , h{4,3,5}, диаграммы Кокстера:"=", состоящий из чередующихся тетраэдрических и икосаэдрических ячеек . Его вершинная фигура — квазиправильный икосододекаэдр .. Родственная паракомпактная кубическая сотовая структура чередующегося порядка 6 , h{4,3,6} имеет чередующиеся тетраэдрические и шестиугольные ячейки мозаики с фигурой вершины, представляющей собой квазирегулярную тригексагональную мозаику ,
.
Полихора правильная или соты формы {р,3,4} или
их симметрию можно сократить вдвое, как
в квазирегулярную форму
, создавая ячейки {p,3} поочередного цвета. К этим случаям относятся евклидовы кубические соты {4,3,4} с кубическими ячейками, компактные гиперболические {5,3,4} с додекаэдрическими ячейками и паракомпактные {6,3,4} с бесконечными шестиугольными ячейками мозаики. У них по четыре ячейки по каждому краю, чередующиеся в 2 цвета. Их вершинные фигуры представляют собой квазиправильные тетраэдры."=".
, то же, что и обычный октаэдрАналогично регулярные гиперболические соты вида {p,3,6} илиих симметрию можно сократить вдвое, какв квазирегулярную форму
, создавая ячейки {p,3} поочередного цвета. У них по шесть ячеек по каждому краю, чередующихся в 2 цвета. Их вершинные фигуры представляют собой квазиправильные треугольные мозаики ..
"="
