Фильтры в топологии

Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.

Решетка силового агрегата с верхним комплектом окрашена в темно-зеленый цвет. Это фильтр , и даже главный фильтр . Это не ультрафильтр , так как его можно расширить до более крупного нетривиального фильтра, включив в него светло-зеленые элементы. Поскольку дальнейшее расширение невозможно, это ультрафильтр. ${\displaystyle X:=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle \{1,4\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}}$

Фильтры в топологии , подобласти математики , можно использовать для изучения топологических пространств и определения всех основных топологических понятий, таких как сходимость, непрерывность , компактность и многое другое. Фильтры , которые представляют собой специальные семейства подмножеств некоторого заданного набора, также обеспечивают общую основу для определения различных типов пределов функций , таких как пределы слева/справа, до бесконечности, до точки или набора и многих других . Специальные типы фильтров, называемые ультрафильтрами , обладают многими полезными техническими свойствами, и их часто можно использовать вместо произвольных фильтров.

Фильтры имеют обобщения, называемые префильтрами (также известными как базы фильтров ) и подбазы фильтров , которые естественным образом и неоднократно появляются в топологии. Примеры включают фильтры соседства / базы/подбазы и единообразия . Каждый фильтр является предварительным фильтром, и оба являются подосновами фильтров. Каждый префильтр и подбаза фильтров содержатся в уникальном наименьшем фильтре, который, как говорят, они генерируют . Это устанавливает взаимосвязь между фильтрами и предфильтрами, которую часто можно использовать, чтобы позволить использовать любое из этих двух понятий, которое технически более удобно. В семействах множеств существует определенный предварительный порядок , обозначаемый , который помогает точно определить, когда и как одно понятие (фильтр, префильтр и т. д.) может или не может использоваться вместо другого. Важность этого предварительного порядка усиливается тем фактом, что он также определяет понятие сходимости фильтров, где по определению фильтр (или предварительный фильтр) сходится к точке тогда и только тогда, когда где находится фильтр окрестности этой точки . Следовательно, подчинение также играет важную роль во многих понятиях, связанных со сходимостью, таких как точки кластеризации и пределы функций. Кроме того, отношение , которое обозначает и выражается высказыванием « подчинено», также устанавливает отношение, в котором «является» как подпоследовательность «является» к последовательности (т. е. отношение , которое называется подчинением , для фильтров является аналогом «является» подпоследовательность"). ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \geq ,}$

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году ^[1] и впоследствии использованы Бурбаки в их книге «Общая топология» в качестве альтернативы аналогичному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Х. Муром и Х. Л. Смитом . Фильтры также можно использовать для характеристики понятий последовательности и сетевой сходимости. Но в отличие от ^{[примечания 1] последовательности и сетевой сходимости, сходимость фильтров} полностью определяется в терминах подмножеств топологического пространства и поэтому обеспечивает понятие сходимости, которое полностью присуще топологическому пространству; действительно, категория топологических пространств может быть эквивалентным образом полностью определена в терминах фильтров . Каждая сеть порождает канонический фильтр, и, двойственным образом, каждый фильтр порождает каноническую сеть, где эта индуцированная сеть (соответственно индуцированный фильтр) сходится к точке тогда и только тогда, когда то же самое верно для исходного фильтра (соответственно сети). Эта характеристика также справедлива для многих других определений, таких как точки кластера. Эти отношения позволяют переключаться между фильтрами и сетями, а также часто позволяют выбирать, какое из этих двух понятий (фильтр или сеть) более удобно для рассматриваемой задачи. Однако если предположить, что « подсеть » определяется с использованием одного из самых популярных определений (которые даны Уиллардом и Келли), то в целом эта связь не распространяется на подчиненные фильтры и подсети, поскольку, как подробно описано ниже, существуют подчиненные фильтры и подсети. фильтры, у которых отношения фильтр/подчиненный-фильтр не могут быть описаны в терминах соответствующих отношений сеть/подсеть; однако эту проблему можно решить, используя менее часто встречающееся определение «подсети», то есть подсеть AA. ${\displaystyle X}$

Таким образом, фильтры/предварительные фильтры и этот единый предварительный порядок обеспечивают основу, которая органично связывает воедино фундаментальные топологические концепции, такие как топологические пространства ( через фильтры окрестности ), базы окрестностей , сходимость, различные пределы функций, непрерывность, компактность , последовательности (через последовательные фильтры), фильтр, эквивалентный «подпоследовательности» (подчинению), единым пространствам и т. д.; концепции, которые в противном случае кажутся относительно несопоставимыми и отношения которых менее ясны. ${\displaystyle \,\leq \,}$

Мотивация

Архетипический пример фильтра

Архетипическим примером фильтра является фильтр окрестности в точке топологического пространства , которое представляет собой семейство множеств, состоящее из всех окрестностей. По определению, окрестностью некоторой заданной точки является любое подмножество , топологическая внутренность которого содержит эту точку; то есть такие, что Важно отметить, что окрестности не обязательно должны быть открытыми множествами; это так называемые открытые районы . Ниже перечислены те фундаментальные свойства фильтров соседства, которые в конечном итоге стали определением «фильтра». Фильтр — это набор подмножеств, который удовлетворяет всем следующим условиям: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} _{X}B.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. Не пусто :    – точно так же, как поскольку оно всегда является окрестностью (и всего остального, что оно содержит); ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$
2. Не содержит пустого множества :    – так же, как ни одна окрестность не пуста; ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$
3. Замкнут при конечных пересечениях : Если  – точно так же, как пересечение любых двух окрестностей снова является окрестностью ; ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}B\cap C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
4. Закрыто вверх : Если тогда  – точно так же, как любое подмножество , содержащее окрестность, обязательно будет окрестностью (это следует из определения «окрестность »). ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}B\subseteq S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle x}$

Обобщение сходимости последовательностей с помощью множеств — определение сходимости последовательности без последовательности

Последовательность в по определению является отображением натуральных чисел в пространство. Первоначальное понятие сходимости в топологическом пространстве заключалось в том, что последовательность ${\displaystyle X}$ сходится к некоторой заданной точке пространства, например метрического пространства . В случае метризуемых пространств (или, в более общем плане , пространств с первой счетностью или пространств Фреше-Урысона ), последовательностей обычно достаточно, чтобы охарактеризовать или «описать» большинство топологических свойств, таких как замыкание подмножеств или непрерывность функций. Но существует множество пространств, где последовательности нельзя использовать для описания даже основных топологических свойств, таких как замыкание или непрерывность. Эта неудача с последовательностями послужила мотивацией для определения таких понятий, как сети и фильтры, которые всегда характеризуют топологические свойства. ${\displaystyle \mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle X.}$

Сети непосредственно обобщают понятие последовательности, поскольку сети по определению представляют собой отображения произвольного направленного множества в пространство. Последовательность — это просто сеть, область определения которой имеет естественный порядок. Сети имеют собственное понятие сходимости , которое является прямым обобщением сходимости последовательностей. ${\displaystyle I\to X}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$

Фильтры обобщают сходимость последовательностей другим способом, рассматривая только значения последовательности. Чтобы увидеть, как это делается, рассмотрим последовательность , которая по определению является просто функцией , значение которой обозначается не обычным обозначением круглых скобок , которое обычно используется для произвольных функций. Знания только образа (иногда называемого «диапазоном») последовательности недостаточно, чтобы охарактеризовать ее сходимость; необходимо несколько наборов. Оказывается, что нужные множества — это следующие множества ^{[примечание 2]} , которые называются хвостами последовательности : ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(i)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}x_{\geq 1}=\;&\{&&x_{1},&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 2}=\;&\{&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 3}=\;&\{&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&x_{6},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]x_{\geq n}=\;&\{&&x_{n},\;\;\,&&x_{n+1},\;&&x_{n+2},\;&&x_{n+3},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]\end{alignedat}}}$$

Эти множества полностью определяют сходимость (или несходимость) этой последовательности, поскольку для любой точки эта последовательность сходится к ней тогда и только тогда, когда для каждой окрестности (этой точки) существует некоторое целое число, такое, что содержит все точки. Это может быть перефразировано как: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{n},x_{n+1},\ldots .}$

     каждая окрестность должна содержать некоторый набор формы в качестве подмножества. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{x_{n},x_{n+1},\ldots \}}$

Или, более кратко: каждая окрестность должна содержать некоторый хвост в качестве подмножества. Именно эту характеристику можно использовать с приведенным выше семейством хвостов для определения сходимости (или несходимости) последовательности. В частности, имея на руках семейство множеств , функция больше не нужна для определения сходимости этой последовательности (нет необходимости). независимо от того, на какой топологии размещена ). Обобщая это наблюдение, понятие «сходимости» можно распространить на последовательности/функции на семейства множеств. ${\displaystyle x_{\geq n}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X.}$ ${\displaystyle \{x_{\geq 1},x_{\geq 2},\ldots \}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle X}$

Вышеупомянутый набор хвостов последовательности, как правило, не является фильтром, но он « генерирует » фильтр путем восходящего замыкания (которое состоит из всех надмножеств всех хвостов). То же самое относится и к другим важным семействам множеств, таким как любой базис окрестности в данной точке, который, как правило, также не является фильтром, но порождает фильтр посредством своего замыкания вверх (в частности, он генерирует фильтр окрестности в этой точке). . Свойства, которыми обладают эти семейства, привели к понятию базы фильтров , также называемой префильтром , которая по определению представляет собой любое семейство, имеющее минимальные свойства, необходимые и достаточные для того, чтобы сгенерировать фильтр посредством его восходящего замыкания .

Сети против фильтров – преимущества и недостатки

У фильтров и сетей есть свои преимущества и недостатки, и нет причин использовать одно понятие исключительно над другим. ^{[примечание 3]} В зависимости от того, что доказывается, доказательство может быть значительно проще, если использовать одно из этих понятий вместо другого. ^[2] И фильтры, и сети могут использоваться для полной характеристики любой заданной топологии . Сети являются прямым обобщением последовательностей и часто могут использоваться аналогично последовательностям, поэтому кривая обучения для сетей обычно гораздо менее крутая, чем для фильтров. Однако фильтры, и особенно ультрафильтры , имеют гораздо больше применений за пределами топологии, например, в теории множеств , математической логике , теории моделей ( например, ультрапроизведения ), абстрактной алгебре , ^[3] комбинаторике , ^[4] динамике , ^[4] теории порядка , обобщенных пространствах сходимости , пространствах Коши , а также в определении и использовании гипердействительных чисел .

Как и последовательности, сети являются функциями и поэтому имеют преимущества функций . Например, как и последовательности, сети могут быть «подключены» к другим функциям, где «подключение» — это просто композиция функций . Теоремы, связанные с функциями и композицией функций, затем могут быть применены к сетям. Одним из примеров является универсальное свойство обратных пределов , которое определяется в терминах композиции функций, а не множеств, и его легче применять к таким функциям, как сети, чем к множествам, таким как фильтры (ярким примером обратного предела является декартово произведение ) . . Фильтры могут быть неудобны в использовании в определенных ситуациях, например, при переключении между фильтром в пространстве и фильтром в плотном подпространстве ^[5]. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$

В отличие от сетей, фильтры (и предварительные фильтры) представляют собой семейства множеств и поэтому имеют преимущества множеств . Например, если оно сюръективно, то изображение под произвольным фильтром или префильтром легко определяется и гарантированно будет префильтром в домене , тогда как менее ясно, как откатить (однозначно/без выбора ) произвольную последовательность (или net) так, чтобы получить последовательность или сеть в области определения (если только она не является также инъективной и, следовательно, биекцией, что является строгим требованием). Точно так же пересечение любого набора фильтров снова является фильтром, хотя неясно, что это может означать для последовательностей или сетей. Поскольку фильтры состоят из подмножеств того самого топологического пространства , которое рассматривается, топологические операции над множествами (такие как замыкание или внутреннее пространство ) могут применяться к множествам, составляющим фильтр. Замыкание всех наборов в фильтре иногда полезно, например, в функциональном анализе . Теоремы и результаты об образах или прообразах множеств под функцией также могут быть применены к множествам, составляющим фильтр; примером такого результата может быть одна из характеристик непрерывности в терминах прообразов открытых/замкнутых множеств или в терминах внутренних операторов/замыкания. Специальные типы фильтров, называемые ультрафильтрами, обладают множеством полезных свойств, которые могут существенно помочь в подтверждении результатов. Одним из недостатков сетей является их зависимость от направленных множеств, составляющих их области действия, которые, вообще говоря, могут быть совершенно не связаны с пространством . сорт ); это связано с тем, что сети в могут иметь домены любой мощности . Напротив, совокупность всех фильтров (и всех префильтров) на представляет собой множество, мощность которого не превышает мощности Подобная топология на фильтре на является «присущей » в том смысле, что обе структуры полностью состоят из подмножеств и ни одно из определений не требует какого-либо множества, из которого нельзя составить (например , или других направленных множеств, которые требуются для последовательностей и сетей). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Предварительные сведения, обозначения и основные понятия

В этой статье латинские буквы в верхнем регистре, например, обозначают множества (но не семейства, если не указано иное) и будут обозначать набор степеней . Подмножество набора степеней называется семейством множеств (или просто семейством ), где оно заканчивается , если это подмножество Семейств множеств будет обозначаться заглавными каллиграфическими буквами, например: Всякий раз, когда необходимы эти предположения, следует предполагать, что оно непусто и что и т. д. являются семействами множеств над ${\displaystyle S{\text{ and }}X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle X.}$

Термины «предварительный фильтр» и «основа фильтра» являются синонимами и будут использоваться как взаимозаменяемые.

Предупреждение о конкурирующих определениях и обозначениях

К сожалению, в теории фильтров есть несколько терминов, которые разные авторы определяют по-разному. К ним относятся некоторые из наиболее важных терминов, таких как «фильтр». Хотя разные определения одного и того же термина обычно существенно совпадают из-за очень технической природы фильтров (и топологии набора точек), эти различия в определениях, тем не менее, часто имеют важные последствия. При чтении математической литературы читателям рекомендуется проверять, как терминология, относящаяся к фильтрам, определяется автором. По этой причине в этой статье будут четко изложены все определения по мере их использования. К сожалению, не все обозначения, связанные с фильтрами, хорошо известны, а некоторые обозначения сильно различаются в литературе (например, обозначение набора всех предфильтров в наборе), поэтому в таких случаях в этой статье используются любые обозначения, которые наиболее легко описываются или легко поддаются описанию. вспомнил.

Теория фильтров и предфильтров хорошо разработана и имеет множество определений и обозначений, многие из которых теперь бесцеремонно перечислены, чтобы не допустить, чтобы эта статья стала многословной и чтобы облегчить поиск обозначений и определений. Их важные свойства описаны ниже.

Устанавливает операции

The Замыкание вверх илиизотонизацияв^[6][7]семействамножествесть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

и аналогично закрытие вниз ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\wp (B).}$

Для любых двух семейств заявляют, что тогда и только тогда, когда для каждого существует какое-то, и в этом случае говорят, что оно грубее , чем и тоньше, чем (или подчинено ) ^{[10] [11] [12]} Также можно использовать обозначения на месте ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq C,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ or }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Говорят, что если и то ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$равнозначные (по подчинению).

Два семейства сцепляются , ^[8] записано, если ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$

Всюду карта. ${\displaystyle f}$

Обозначение топологии

Обозначим множество всех топологий на множестве. Предположим , это любое подмножество и любая точка. ${\displaystyle X{\text{ by }}\operatorname {Top} (X).}$ ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X),}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Если тогда ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$ ${\displaystyle \tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s){\text{ and }}{\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}{\mathcal {N}}_{\tau }(s).}$

Сети и их хвосты

Направленный набор — это набор вместе с предварительным порядком , который будет обозначаться (если явно не указано иное), который превращается в ( вверх ) направленный набор ; ^[15] это означает, что для всех существуют некоторые такие, что Для любых индексов обозначение определяется как означающее, а определяется как означающее, что выполняется, но это неверно , что (если антисимметрично , то это эквивалентно ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k{\text{ and }}j\leq k.}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle i\leq j{\text{ and }}i\neq j}$

Сеть в ^[15] представляет собой отображение непустого ориентированного множества в. Обозначения ${\displaystyle X}$ будут использоваться для обозначения сети с областью определения ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I.}$

Предупреждение об использовании строгого сравнения

If — сеть, и тогда набор , который называется хвостом after , может оказаться пустым (например, это происходит, если — верхняя граница направленного множества ). В этом случае семейство будет содержать пустой набор, что не позволит ему быть предварительным фильтром (определенным позже). Это (важная) причина определения как , а не или даже , и именно по этой причине, в общем, при работе с предварительным фильтром хвостов сети строгое неравенство не может использоваться взаимозаменяемо с неравенством ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Фильтры и префильтры

Ниже приводится список свойств, которыми может обладать семейство наборов, и они образуют определяющие свойства фильтров, предфильтров и подбаз фильтров. Всякий раз, когда это необходимо, следует исходить из того, что ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

Семейство наборов : ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Правильный илиневырожденный, еслиВ противном случае, еслито он называетсянесобственным^[17]иливырожденным. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$
2. Направлено вниз ^[15], если всегдасуществуеттакое, что ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$
   • Это свойство можно охарактеризовать с точки зрения направленности , что объясняет слово «направленный»: бинарное отношение on называется направленным (вверх) , если для любых двух существует некоторое удовлетворение. Использование вместо дает определение направленного вниз , тогда как использование вместо этого дает определение направлено вверх . Явно направлен вниз (соответственно направлен вверх ) тогда и только тогда, когда для всех существует некоторый «большой» такой, что (соответственно такой, что ) – где «большой» элемент всегда находится с правой стороны, – который может быть переписано как (соответственно как ). ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$
3. Замкнуто относительно конечных пересечений (соответственнообъединений), если пересечение (соответственно объединение) любых двух элементовявляется элементом ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Если замкнуто при конечных пересечениях, то обязательно направлено вниз. Обратное, как правило, неверно. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
4. Закрыто вверх илиIsotoneв^[6],еслиили эквивалентно, если всякий раз, когдаи некоторый наборудовлетворяетАналогично,закрытовнизеслиЗакрытое вверх (соответственно, вниз) множество также называетсяверхним наборомилирасстроенным(соответственнонижним наборомилинижним набором)). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$
   • Семейство , которое является замыканием вверх, является уникальным наименьшим (относительно ) семейством изотонов множеств, имеющим подмножество. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle \,\subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Многие из свойств, определенных выше и ниже, такие как «собственный» и «направленный вниз», не зависят от этого, поэтому упоминание набора является необязательным при использовании таких терминов. Определения, включающие «закрытие вверх », такие как определение «фильтровать », действительно зависят от этого , поэтому набор следует упомянуть, если это не ясно из контекста. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Семья – это/является a(n): ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Идеален ^[17][18], еслизамкнут вниз и замкнут относительно конечных объединений. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$
2. Дуальный идеал из^[19]замкнутвверху, а также замкнут относительно конечных пересечений. Эквивалентно,является двойственным идеалом, если для всех^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.}$
   • Объяснение слова «дуальный»: Семья — это двойственный идеал (соответственно идеал) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$двойником ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ которого является семья
     $${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$
     является идеалом (соответственно двойственным идеалом) Другими словами, двойственный идеал означает « двойственный идеалу » . Двойственное дуальному — это исходное семейство, то есть ^[17] ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.}$
3. Фильтровать на^[19][8]еслиявляется собственным дуальным идеалом на. То есть фильтр на- это непустое подмножество,замкнутое при конечных пересечениях и замкнутое вверх в.Эквивалентно, это предварительный фильтр, замкнутый вверх вIn. Другими словами, фильтр на— это семейство множеств, надкоторым (1) не пусто (или, что то же самое, оно содержит), (2) замкнуто относительно конечных пересечений, (3) замкнуто вверхи (4) не имеет пустой набор в качестве элемента. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$
   • Предупреждение : некоторые авторы, особенно алгебраисты, используют слово «фильтр» для обозначения двойственного идеала; другие, особенно топологи, используют «фильтр» для обозначения правильного / невырожденного двойственного идеала. ^[21] Читателям рекомендуется всегда проверять, как определяется «фильтр» при чтении математической литературы. Однако определения «ультрафильтра», «предфильтра» и «подбазы фильтра» всегда требуют невырожденности. В этой статье используется оригинальное определение «фильтра», данное Анри Картаном ^{[1] [22]} , которое требовало невырожденности.
   • Набор мощности – это единственный двойной идеал, который не является еще и фильтром. Исключение из определения «фильтра» в топологии имеет то же преимущество, что и исключение из определения « простого числа »: оно избавляет от необходимости указывать «невырожденное» (аналог «неединичного » или «не- » ) во многих важных результатах, тем самым делая их формулировки менее неуклюжими. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
4. Фильтр предварительной очистки илиоснование фильтра^[8][23], еслионо правильное и направлено вниз. Аналогично,он называется предварительным фильтром, если его закрытие вверхявляется фильтром. Его также можно определить как любое семейство, эквивалентноенекоторомуфильтру. ^[9] Правильное семействоявляется префильтром тогда и только тогда, когда^[9]Семейство является префильтром тогда и только тогда, когда то же самое верно и для его замыкания вверх. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Если это предфильтр, то его замыкание вверх — это уникальный наименьший (относительно ) фильтр на содержании , и он называется фильтром , сгенерированным фильтром . Говорят, что фильтр сгенерирован префильтром , если в нем называется базой фильтра для ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • В отличие от фильтра, предварительный фильтр не обязательно замкнут при конечных пересечениях.
5. π –система , еслизамкнута относительно конечных пересечений. Каждое непустое семействосодержится в единственной наименьшейπ-системе, называемойпорожденной π -системой, которую иногда обозначают как.Она равна пересечению всехπ-систем, содержащих, а также множеству всех возможных конечных пересечений множеств от: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   $${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$
   • π –система является префильтром тогда и только тогда, когда она собственная . Каждый фильтр является собственной π -системой, а каждая правильная π -система является префильтром, но обратное, вообще говоря, неверно.
   • Предварительный фильтр эквивалентен порожденной им π –системе, и оба этих семейства генерируют один и тот же фильтр на ${\displaystyle X.}$
6. Фильтровать подбазу ^[8][24]ицентрировать^[9], еслииудовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$имеет свойство конечного пересечения , что означает, что пересечение любого конечного семейства (одного или нескольких) множеств не пусто; явно это означает, что всякий раз, когда тогда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$
   2. π –система, порожденная , является собственной; то есть, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).}$
   3. π –система , порожденная предварительным фильтром. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого префильтра.
   5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого фильтра. ^[10]
   • Предположим, что это подбаза фильтра. Тогда существует уникальный наименьший (относительно ) фильтр , содержащий ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$фильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , исчитаетсяподбазой фильтра дляэтого фильтра. Этот фильтр равен пересечению всех фильтров, которыеявляются надмножествамиπ-системы, порожденнойобозначением, будет префильтром и подмножеством. Более того, фильтр, порожденный,равен восходящему замыканиюзначения^[9]Однако,тогдаи только тогда, когдапрефильтром(хотядля). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$
   • Предварительный фильтр –smallest  (то есть наименьший относительно  ) , содержащий подбазу фильтра , будет существовать только при определенных обстоятельствах. Он существует, например, если подоснова фильтра одновременно является предфильтром. Он также существует, если фильтр (или, что то же самое, π –система), созданный с помощью, является основным, и в этом случае это уникальный наименьший префильтр, содержащий . В противном случае, как правило,  наименьший префильтр, содержащий , может не существовать. По этой причине некоторые авторы могут называть π –систему , порожденную ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$префильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Однако, если префильтр –smallest действительно существует (скажем, он обозначается), то, вопреки обычным ожиданиям, оннеобязательно равен «префильтру, сгенерированному B {\displaystyle {\mathcal {B}}} " (то естьвозможно). А если подбаза фильтраокажется еще и префильтром, но неπ-системой, то, к сожалению, «префильтра, порожденного этим префильтром» (имеется в виду) не будет(то естьвозможно даже тогда, когдаон является префильтром), вот почему в этой статье будет отдана предпочтение точной и однозначной терминологии « π –система,порожденная». ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
7. Подфильтр фильтраиэто ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$суперфильтр из^[17][25]еслиэто фильтр игде фильтры, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$
   • Важно отметить, что выражение «является суперфильтром » для фильтров является аналогом «является подпоследовательностью » . Таким образом, несмотря на общий префикс «подфильтр», «является подфильтром » на самом деле является противоположностью «является подпоследовательностью » . Однако можно также написать то, что описывается словами « подчинено ». В этой терминологии « подчиняется » становится для фильтров (а также для префильтров) аналогом «является подпоследовательностью » [ ^26] , что Это единственная ситуация, в которой может оказаться полезным использование термина «подчиненный» и символа . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \,\vdash \,}$

На нем нет предварительных фильтров (и нет никаких цепей, оцененных в ), поэтому в этой статье, как и большинство авторов, автоматически без комментариев будет предполагаться, что всякий раз, когда это предположение необходимо. ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$

Основные примеры

Именованные примеры

• Одноэлементное множество называется недискретным или ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$тривиальный фильтр на ${\displaystyle X.}$^[27][28]Это единственныйминимальныйфильтр на, поскольку он является подмножеством каждого фильтра на; однако он не обязательно должен быть подмножеством каждого префильтра на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Двойственный идеал также называется вырожденным фильтром в ^[20] (несмотря на то, что на самом деле он не является фильтром). Это единственный двойной идеал, который не является фильтром для ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• If — топологическое пространство, и тогда фильтр окрестности at является фильтром on . По определению семейство называется базисом окрестности (соответственно подбазой окрестности ) в том и только том случае, если оно является предварительным фильтром (соответственно является подбазой фильтра) и фильтр на , который генерирует, равен фильтру окрестностей. Подсемейство открытых окрестностей является базой фильтра для. Оба префильтра также образуют базы для топологий on , при этом генерируемая топология грубее , чем Этот пример немедленно обобщает окрестности точек на окрестности непустых подмножества ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x{\text{ for }}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau (x)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$являетсяэлементарный префильтр ^[29], еслидля некоторой последовательности точек ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$являетсяэлементарный фильтр илипоследовательный фильтр по^[30]ifявляется фильтром попорождению некоторого элементарного префильтра. Фильтр хвостов, порожденный последовательностью, которая в конечном итоге не является постоянной,неультрафильтром. ^[31]Каждый главный фильтр на счетном множестве является последовательным, как и любой коконечный фильтр на счетном множестве. ^[20]Пересечение конечного числа последовательных фильтров снова является последовательным. ^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
• Множество всех коконитных подмножеств ( имеются в виду те множества, дополнение которых в конечно) является собственным тогда и только тогда, когда оно бесконечно (или, что то же самое, бесконечно), и в этом случае существует фильтр, известный как фильтр Фреше или фильтр Фреше. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$коконечный фильтр в^[28][27]Есликонечен, торавен двойственному идеалу, который не является фильтром. Еслибесконечно, то семействодополнений одноэлементных множеств представляет собой подбазу фильтра, которая генерирует фильтр Фреше наAs с любым семейством множеств, надкоторым содержитсяядро ​​фильтра Фреше,на пустом множестве: ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• Пересечение всех элементов в любом непустом семействе само по себе является фильтром on, называемым нижней границей или наибольшей нижней границей , поэтому его можно обозначать Said по-другому. Поскольку каждый фильтр on имеет подмножество, это пересечение никогда не бывает пустым. По определению, нижняя грань — это самый точный/самый большой (относительно ) фильтр, содержащийся как подмножество каждого члена ^[28] ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker \mathbb {F} ={\textstyle \bigcap \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
  • Если фильтры, то их нижняя граница - это фильтр ^[9] Если фильтры предварительной очистки, то это фильтр грубой очистки, чем оба (то есть ); действительно, это один из лучших таких предварительных фильтров , что означает, что if является предварительным фильтром таким, что then обязательно ^[9] В более общем смысле, if — непустые семейства, а if then и — наибольший элемент из ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {S} ,\leq ).}$
• Пусть и пусть Супремум или наименьшая верхняя граница обозначается как наименьший (относительно ) двойственный идеал, содержащий каждый элемент в качестве подмножества; то есть это наименьший (относительно ) дуальный идеал, содержащийся в качестве подмножества. Этот двойственный идеал заключается в том, что π -система, порожденная As с любым непустым семейством множеств, содержится в некотором фильтре тогда и только тогда, когда она является подбазой фильтра, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда является фильтром в в этом случае это семейство является наименьшим (относительно ) фильтром, содержащим каждый элемент в качестве подмножества и обязательно ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).}$
• Пусть и пусть Супремум или наименьшая верхняя граница , обозначаемая , если она существует, по определению является наименьшим (относительно ) фильтром, содержащим каждый элемент в качестве подмножества. Если он существует, то обязательно ^[28] (как определено выше) и также будет равен пересечению всех фильтров на содержащем . Эта верхняя грань существует тогда и только тогда, когда двойственный идеал является фильтром на Наименьшей верхней границе семейства фильтров. может не быть фильтром. ^[28] Действительно, если содержит по крайней мере 2 различных элемента, то существуют фильтры , для которых не существует фильтра , содержащего оба. Если это не подбаза фильтра, то верхняя грань не существует, и то же самое верно для ее верхней границы в их верхняя грань в множестве всех двойственных идеалов будет существовать (это вырожденный фильтр ). ^[20] ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$
  • Если есть предварительные фильтры (соответственно фильтры на ), то это предварительный фильтр (соответственно фильтр) тогда и только тогда, когда он невырожден (или, другими словами, тогда и только тогда, когда сетка), и в этом случае это один из самых грубых предварительных фильтров. (соответственно самый грубый фильтр) на этом тоньше (по отношению к ), чем оба, это означает, что если есть какой-либо предварительный фильтр (соответственно любой фильтр), такой, что тогда обязательно ^[9], и в этом случае он обозначается ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$

Другие примеры

• Let и let , которые образуют предварительный фильтр и подбазу фильтра, не замкнутую при конечных пересечениях. Поскольку это предфильтр, наименьший префильтр, содержащий : π - система , сгенерированная с помощью : В частности, наименьший префильтр, содержащий подбазу фильтра , не равен множеству всех конечных пересечений множеств в . π –система генерирует и является примером фиксированных главных ультрапрефильтров, которые являются главными в данной точке и также являются ультрафильтрами в ${\displaystyle X=\{p,1,2,3\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$
• Пусть - топологическое пространство, и определите, где оно обязательно тоньше, чем ^[32] Если оно непусто (соответственно невырождено, подбаза фильтра, предварительный фильтр, замкнутый относительно конечных объединений), то то же самое верно для If - фильтр on then является префильтром, но не обязательно фильтром, хотя это фильтр, эквивалентный ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$
• Множество всех плотных открытых подмножеств (непустого) топологического пространства является собственной π –системой и, следовательно, также префильтром. Если пространство является пространством Бэра , то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств представляет собой π –систему и более тонкий префильтр, чем Если (с ) то множество всех таких, которые имеют конечную меру Лебега, является собственным π –система и свободный префильтр, который также является собственным подмножеством префильтров и эквивалентны и, таким образом, генерируют один и тот же фильтр для префильтра, который правильно содержится в префильтре , состоящем из всех плотных открытых подмножеств, а не эквивалентен ему, поскольку является фильтром Бэра . в пространстве каждое счетное пересечение множеств в плотно (а также является сходящимся и нетощим), поэтому множество всех счетных пересечений элементов в является префильтром и π –системой; это также тоньше, чем, и не эквивалентно, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.}$

Ультрафильтры

Существует множество других характеристик «ультрафильтра» и «ультрапредфильтра», которые перечислены в статье об ультрафильтрах . В этой статье также описаны важные свойства ультрафильтров.

Непустое семейство множеств — это: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

8. Ultra ^{[8] [33]} , есливыполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$
   1. Для каждого набора существует такой набор , что (или, что то же самое, такой, что ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing }$
   2. Для каждого множества существует такое множество, что ${\displaystyle S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}B}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Эта характеристика « ультра» не зависит от набора , поэтому упоминание набора не является обязательным при использовании термина «ультра». ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
   3. Для каждого набора (не обязательно даже подмножества ) существует такой набор, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
9. Ультра префильтр ^{[8] [33]} если это префильтр, который тоже ультра. По сути, это ультрафильтрационная подставка. Предварительный фильтр является ультра тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$максимально по относительно , что означает, что ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq ,\,}$
      $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
   2. ${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$
      • Хотя это утверждение идентично приведенному ниже для ультрафильтров, здесь предполагается просто предварительный фильтр; это не обязательно должен быть фильтр. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$является ультра (и, следовательно, ультрафильтром).
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$эквивалентен некоторому ультрафильтру.
   • Фильтрующая подставка ультра обязательно является предварительным фильтром. Подбаза фильтра является ультра тогда и только тогда, когда она является максимальной подбазой фильтра относительно (как указано выше). ^[17] ${\displaystyle \,\leq \,}$
10. Ультрафильтр на ${\displaystyle X}$^{[8] [33]} если это фильтрто ультра. Эквивалентно, ультрафильтр— это фильтр, который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$
    1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$генерируется ультрапрефильтром.
    2. Для любого ^[17] ${\displaystyle S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.}$
    3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).}$Это условие можно переформулировать следующим образом: разделено и его двойственное ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}.}$
    4. Для любого if then (фильтр с таким свойством называется фильтром простых чисел ). ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}}$
       • Это свойство распространяется на любое конечное объединение двух или более множеств.
    5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$– максимальный фильтр на ; это означает, что if является фильтром для такого, что тогда обязательно (это равенство можно заменить на ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$
       • Если закрыт вверх, то характеристику ультрафильтров как максимальных фильтров можно переформулировать как: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.}$
         $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
       • Поскольку подчинение для фильтров является аналогом фразы «является подсетью/подпоследовательностью» (в частности, «подсеть» должно означать «AA-подсеть», определение которой дано ниже), такая характеристика ультрафильтра как «максимально подчиненного фильтра» предполагает что ультрафильтр можно интерпретировать как аналог некой «максимально глубокой сети» (что может, например, означать, что «если смотреть только со стороны » в некотором смысле он неотличим от своих подсетей, как и в случае с любой net, например, в одноэлементном наборе), ^{[примечание 5]} и это идея, которая фактически становится строгой благодаря ultranets . Лемма об ультрафильтре тогда представляет собой утверждение, что каждый фильтр («сеть») имеет некоторый подчиненный фильтр («подсеть»), который является «максимально подчиненным» («максимально глубоким»). ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle X}$

Лемма об ультрафильтре

Следующая важная теорема принадлежит Альфреду Тарскому (1930). ^[34]

Лемма/принцип/теорема об ультрафильтре ^[28]  ( Тарский )  —  Каждый фильтр на множествеявляется подмножеством некоторого ультрафильтра на множестве. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Следствием леммы об ультрафильтре является то, что каждый фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. ^[28] Принимая во внимание аксиомы Цермело-Френкеля (ZF) , лемма об ультрафильтре следует из выбранной аксиомы (в частности, из леммы Цорна ), но является строго более слабой, чем она. Лемма об ультрафильтре подразумевает аксиому выбора для конечных множеств. Если иметь дело только с хаусдорфовыми пространствами, то большинство основных результатов (которые встречаются на вводных курсах) в топологии (таких как теорема Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств и теорема Александера о суббазах ) и функциональном анализе (такие как теорема Хана-Банаха ) могут быть доказано с использованием только леммы об ультрафильтре; полная сила аксиомы выбора может и не потребоваться.

Ядра

Ядро полезно для классификации свойств префильтров и других семейств множеств.

Ядро [ ^6] семейства множеств — это пересечение всех множеств, являющихся элементами ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$

$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$

Если то и это множество также равно ядру π –системы, порожденной В частности, если – подбаза фильтра, то ядра всех следующих множеств равны: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(1) (2) π –система, порожденная и (3) фильтр, порожденный ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Если отображение, то эквивалентные семейства имеют равные ядра. Два главных семейства эквивалентны тогда и только тогда, когда их ядра равны. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}}){\text{ and }}f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).}$

Классификация семейств по их ядрам

Семейство наборов: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

2. Бесплатно ^[7]еслиили эквивалентно, еслиэто можно переформулировать как ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Фильтр свободен тогда и только тогда, когда он бесконечен и содержит фильтр Фреше в качестве подмножества. ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$
3. Фиксировано, еслив этом случаеговорят, что онозафиксировано влюбой точке. ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \ker {\mathcal {B}}.}$
   • Любое фиксированное семейство обязательно является подбазой фильтра.
4. Принципал ^[7]если ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • Правильное главное семейство множеств обязательно является предфильтром.
5. Дискретный илиглавный в ^[27], если ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • Основным фильтром в ${\displaystyle x{\text{ on }}X}$ является фильтр. Фильтр является основным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.}$
6. Счетно глубоко , если всякий раз, когда есть счетное подмножество, то ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.}$

If является основным фильтром, а также является наименьшим префильтром, который генерирует ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Семейство примеров: для любого непустого семейства семейство свободно, но оно является подбазой фильтров тогда и только тогда, когда никакое конечное объединение формы не покрывает, и в этом случае создаваемый им фильтр также будет свободным. В частности, является подбазой фильтра, если счетно (например, простые числа), скудным множеством в множестве конечной меры или ограниченным подмножеством. Если является одноэлементным множеством, то является подбазой для фильтра Фреше на ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Характеристика фиксированных ультрапрефильтров

Если семейство наборов фиксировано (то есть ), то оно является ультра тогда и только тогда, когда некоторый элемент является одноэлементным набором, и в этом случае обязательно будет предварительным фильтром. Каждый основной префильтр фиксирован, поэтому главный префильтр является ультра тогда и только тогда, когда он является одноэлементным набором. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}}$

Всякий фильтр на нем, главный в одной точке, является ультрафильтром, а если при этом конечен, то и на других ультрафильтрах, кроме этих, не существует. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он свободен, либо является главным фильтром, порожденным одной точкой.

Утверждение. Если  —  ультрафильтр, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является фиксированным или, что то же самое, несвободным, что означает ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является главным, то есть ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.}$
3. Некоторый элемент является конечным множеством. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
4. Некоторый элемент представляет собой одноэлементный набор. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является главным в какой-то момент, что означает для некоторых ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$не содержит фильтра Фреше на ${\displaystyle X.}$
7. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является последовательным. ^[20]

Более мелкое/грубое, подчинение и сетка

Предварительный порядок , определенный ниже, имеет фундаментальное значение для использования предварительных фильтров (и фильтров) в топологии. Например, этот предварительный порядок используется для определения эквивалента префильтра «подпоследовательности», ^[26] где « » можно интерпретировать как « является подпоследовательностью » (поэтому «подчиненный» является эквивалентом префильтра «подпоследовательности»). Он также используется для определения сходимости префильтра в топологическом пространстве. Определение сеток, с которыми тесно связан предпорядок, используется в топологии для определения точек кластеризации. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$

Два семейства наборов ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ сетки ^[8]исовместимы, что обозначается надписью: еслинет сетки, тоонидиссоциированы. Говорят, что ifthenявляютсясеткой, еслисетка, или, что то же самое, если ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}}$след которого- семья ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$

ограничение ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ to }}S.}$

Объявите, что изложенное является грубее и тоньше (или подчиняется ) ^{[28] [11] [12] [9]} [ ^20] , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

1. Определение: Каждое содержит некоторые . Явно это означает, что для каждого существует такое, что (таким образом, выполняется). ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\ni C\supseteq F\in {\mathcal {F}}}$
   • Короче говоря, простым языком: если каждый набор больше, чем какой-то набор . Здесь «больший набор» означает надмножество. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
2. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.}$
   • Другими словами, это именно те состояния, которые больше некоторого множества из . Эквивалентность (a) и (b) вытекает сразу. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$что эквивалентно ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}}$;
5. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$что эквивалентно ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$

а если дополнительно закрыт вверх, то это означает, что этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$

6. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.}$^[6]
   • Таким образом, в этом случае это определение « точнее , чем » было бы идентично топологическому определению «более тонкого», если бы были топологии на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$

Если замкнутое вверх семейство тоньше (то есть ), но тогда говорят, что оно строго тоньше и строго грубее , чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Две семьи сравнимы , если одна из них лучше другой. ^[28]

Пример : Если является подпоследовательностью then, подчиняется символам :, а также говоря простым языком, префильтр хвостов подпоследовательности всегда подчиняется фильтру исходной последовательности. Чтобы убедиться в этом, пусть будет произвольным (или, что то же самое, пусть будет произвольным), и осталось показать, что это множество содержит некоторые. Для того, чтобы множество содержало , достаточно, чтобы оно имело. Поскольку являются строго возрастающими целыми числами, существуют такие, что и так выполняется, как желанный. Следовательно, левая часть будет строгим/правильным подмножеством правой части, если (например) каждая точка уникальна (то есть, когда инъективна) и является подпоследовательностью с четным индексом , потому что при этих условиях каждый хвост (для каждого ) подпоследовательности будет принадлежать правому фильтру, но не левому фильтру. ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},}$ ${\displaystyle i\leq i_{n}.}$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i_{n}\geq i,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Другой пример: если есть какое-либо семейство, то всегда выполняется и, кроме того, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.}$

Непустое семейство, более крупное, чем монтажная плита фильтра, само должно быть плитой фильтра. ^[9] Каждая подбаза фильтра является более грубой, чем π -система, которую она генерирует, и фильтр, который она генерирует. ^[9]

Если есть семьи, в которых семья ультра, то она обязательно ультра. Отсюда следует, что любая семья, эквивалентная ультрасемье, обязательно будет ультрасемейством. В частности, если это предварительный фильтр, то либо оба фильтра , и фильтр, который он генерирует, являются ультра, либо ни один из них не является ультра. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}}$

Отношение рефлексивно и транзитивно , что превращает его в предварительный порядок в ^[35]. Отношение антисимметрично , но если оно имеет более одной точки, то оно не симметрично . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$

Эквивалентные семейства множеств

Предварительный порядок индуцирует каноническое отношение эквивалентности , где для всех эквивалентно , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ^{[9] [6]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.}$
2. Закрытия вверх равны. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$

Два закрытых вверх (в ) подмножества эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. ^[9] Если тогда обязательно и эквивалентно Каждый класс эквивалентности, кроме содержит единственный представитель (то есть элемент класса эквивалентности), замкнутый вверх в ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$

Свойства, сохраненные между эквивалентными семьями

Пусть произвольно и пусть это любое семейство множеств. Если эквивалентны (что подразумевает, что ), то для каждого из утверждений/свойств, перечисленных ниже, оно либо истинно для обоих , либо неверно для обоих : ^[35] ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

1. Не пусто
2. Правильный (то есть не является элементом) ${\displaystyle \varnothing }$
   • Более того, любые два вырожденных семейства обязательно эквивалентны.
3. Основание фильтра
4. Предварительный фильтр
   • В этом случае сгенерируйте один и тот же фильтр (то есть их замыкания вверх равны). ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
5. Бесплатно
6. Главный
7. Ультра
8. Равен тривиальному фильтру ${\displaystyle \{X\}}$
   • На словах это означает, что единственное его подмножество , эквивалентное тривиальному фильтру, — это тривиальный фильтр. В общем, этот вывод о равенстве не распространяется на нетривиальные фильтры (единственное исключение — когда оба семейства являются фильтрами). ${\displaystyle \wp (X)}$
9. Сетки с ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
10. Тоньше, чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
11. Является грубее, чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
12. Эквивалентно ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

В приведенном выше списке отсутствует слово «фильтр», поскольку это свойство не сохраняется эквивалентностью. Однако если фильтры включены, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны; эта характеристика не распространяется на предварительные фильтры. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X,}$

Эквивалентность фильтров предварительной очистки и фильтрующих оснований

Если включен предварительный фильтр, то следующие семейства всегда эквивалентны друг другу: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$;
2. π –система , порожденная ; ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. фильтр, созданный ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

и более того, все эти три семейства генерируют один и тот же фильтр (то есть замыкания вверх в этих семействах равны). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В частности, каждый префильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. По транзитивности два префильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр. ^[9] Каждый предварительный фильтр эквивалентен ровно одному фильтру, на котором находится фильтр, который он генерирует (то есть замыкание префильтра вверх). Иными словами, каждый класс эквивалентности предфильтров содержит ровно одного представителя, который является фильтром. Таким образом, фильтры можно рассматривать как просто выделенные элементы этих классов эквивалентности префильтров. ^[9] ${\displaystyle X,}$

Подбаза фильтра, которая не является также префильтром, не может быть эквивалентна префильтру (или фильтру), который она генерирует. Напротив, каждый префильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. Вот почему префильтры, по большому счету, могут использоваться взаимозаменяемо с фильтрами, которые они генерируют, в то время как подбазы фильтров не могут быть использованы.

Теоретические свойства множеств и конструкции, относящиеся к топологии

Трассировка и создание сетки

Если это предварительный фильтр (соответственно фильтр), то след которого является семейством, является предварительным фильтром (соответственно фильтром) тогда и только тогда, когда сетка (то есть ^[28] ), и в этом случае говорят, что след быть вызвано . След всегда тоньше исходного семейства; то есть, если ультра и если сетка, то трасса ультра. Если включен ультрафильтр, то след является фильтром тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$

Например, предположим, что фильтр таков, что Тогда сетка и генерирует фильтр , который строго тоньше, чем ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{S\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Когда фильтры предварительной очистки сцепляются

Учитывая непустые семьи, семья ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}}$$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

     Два предварительных фильтра (соответственно подбазы фильтров) образуют сетку тогда и только тогда, когда существует предварительный фильтр (соответственно подбаза фильтров) такой, что и ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Если существует наименьшая верхняя граница двух фильтров в , то эта наименьшая верхняя граница равна ^[36] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$

Изображения и прообразы по функциям

Далее будут отображены непустые множества. ${\displaystyle f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z}$

Изображения префильтров

Пусть многие свойства, которые могли иметь, сохранились под изображениями карт; заметные исключения включают закрытие вверх, закрытие при конечных пересечениях и фильтр, которые не обязательно сохраняются. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Явно, если одно из следующих свойств истинно, то оно обязательно будет верно и для (хотя, возможно, не для кодомена , если только оно не сюръективно): ^{[28] [13] [37] [38] [39] [34]} ultra , ультрафильтр, фильтр, префильтр, подбаза фильтра, двойственный идеал, замкнутый вверх, собственный/невырожденный, идеальный, замкнутый относительно конечных объединений, замкнутый вниз, направленный вверх. Более того, если это предфильтр, то таковы оба ^[28] Изображение под картой ультрамножества снова ультра, и если это ультра префильтр, то то же самое ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

Если это фильтр, то это фильтр в диапазоне , но он является фильтром в кодомене тогда и только тогда, когда он сюръективен. ^[37] В противном случае это всего лишь предварительный фильтр , и для получения фильтра необходимо снять его закрытие вверх . Закрытие вверх ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle g(Y),}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z}$

$${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}}$$

${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$

Если затем считать , что карта включения показывает, что любой предварительный фильтр (соответственно ультра-префильтр, подбаза фильтра) на также является предварительным фильтром (соответственно ультра-префильтр, подбаза фильтра) на ^[28] ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Прообразы префильтров

Пусть в предположении, что оно сюръективно : ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является префильтром (соответственно подбазой фильтра, π –системой, замкнутой относительно конечных объединений, собственно) тогда и только тогда, когда это верно для ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Однако, если включен ультрафильтр, то, даже если он сюръективен (что делает предварительный фильтр), тем не менее, предварительный фильтр все равно может не быть ни ультра, ни фильтром ^[38] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$ 

Если не сюръективно, то обозначим след через где в данном случае в частном случае след удовлетворяет: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)}$$

$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).}$$

Это последнее равенство и тот факт, что след представляет собой семейство множеств, означает, что для того, чтобы сделать выводы о следе, можно использовать вместо и сюръекцию можно использовать вместо Например: ^{[13] [28] [39]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является префильтром (соответственно подбазой фильтра, собственно π -системой) тогда и только тогда, когда это верно для ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.}$

Таким образом, случай, когда не является (обязательно) сюръективным, может быть сведен к случаю сюръективной функции (это случай, описанный в начале этого подраздела). ${\displaystyle f}$

Даже если это ультрафильтр, если не сюръективен, то, тем не менее, возможно то, что также приведет к вырождению. Следующая характеристика показывает, что единственным препятствием является вырождение. Если это предварительный фильтр, то следующие действия эквивалентны: ^{[13] [28] [39]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является предфильтром;
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$является предфильтром;
3. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$;
4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$соединяется с ${\displaystyle f(X)}$

и более того, если это предфильтр, то и ^{[13] [28]} ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).}$

Если и if обозначает отображение включения, то след равен ^[28] Это наблюдение позволяет применить результаты этого подраздела к исследованию следа на множестве. ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :S\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle \operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).}$

Подчинение сохраняется образами и прообразами.

Отношение сохраняется как для образов, так и для прообразов семейств множеств. ^[28] Это означает, что для любых семейств ^[39] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$

$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).}$$

Более того, для любого семейства множеств всегда выполняются следующие соотношения : ^[39] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)}$$

^[39] ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).}$$

Если тогда ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)}$

$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})}$$

^[39][39] ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$

Продукция префильтров

Пусть это семейство из одного или нескольких непустых множеств, продукт которого будет обозначаться через и для каждого индекса пусть ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod _{}}X_{\bullet }:={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ ${\displaystyle i\in I,}$

$${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$$

семейств ^[28]были ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$

$${\displaystyle \prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}}$$

подмножеств цилиндра^[28].фильтром, сгенерированным^{[28][28][ 28]} ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}S_{i}\subseteq {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle S_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}\neq X_{i},}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Сходимость, пределы и точки кластеризации

Всюду — топологическое пространство . ${\displaystyle (X,\tau )}$

Предварительные фильтры против фильтров

Что касается карт и подмножеств, свойство быть предварительным фильтром в целом более хорошо себя ведет и лучше сохраняется, чем свойство быть фильтром. Например, изображение префильтра под некоторой картой — это тоже префильтр; но образ фильтра под несюръективным отображением никогда не будет фильтром в кодомене, хотя и будет предфильтром. Такая же ситуация и с прообразами при неинъективных отображениях (даже если отображение сюръективно). Если это правильное подмножество, то любой включенный фильтр не будет включенным фильтром , хотя он будет предварительным фильтром. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$

Одним из преимуществ фильтров является то, что они являются выдающимися представителями своего класса эквивалентности (относительно ), что означает, что любой класс эквивалентности предфильтров содержит уникальный фильтр. Это свойство может быть полезно при работе с классами эквивалентности префильтров (например, они полезны при построении пополнений равномерных пространств с помощью фильтров Коши). Многие свойства, характеризующие ультрафильтры, также часто оказываются полезными. Они используются, например, для построения компактификации Стоуна-Чеха . Использование ультрафильтров обычно требует принятия леммы об ультрафильтре. Но во многих областях, где предполагается аксиома выбора (или теорема Хана–Банаха ), лемма об ультрафильтре обязательно выполняется и не требует дополнительного предположения. ${\displaystyle \,\leq }$

Примечание об интуиции

Предположим, что неглавный фильтр на бесконечном множестве имеет одно свойство «вверх» (закрытие вверх) и одно свойство «вниз» (направление вниз). Начиная с любого, всегда существует нечто , являющееся подмножеством ; это можно продолжать до бесконечности, чтобы получить последовательность наборов , каждый из которых является правильным подмножеством. То же самое неверно при движении «вверх», поскольку если тогда нет набора, который содержит правильное подмножество. Таким образом, когда дело доходит до ограничения поведения (это центральная тема в области топологии), движение «вверх» приводит к тупику, тогда как движение «вниз» обычно бывает плодотворным. Таким образом, чтобы получить понимание и интуицию о том, как фильтры (и префильтр) связаны с концепциями топологии, обычно следует сосредоточиться на свойстве «нисходящий». Именно поэтому так много топологических свойств можно описать, используя только предварительные фильтры, а не фильтры (которые отличаются от префильтров только тем, что они также закрыты вверх). Свойство фильтров «вверх» менее важно для топологической интуиции, но иногда полезно иметь его по техническим причинам. Например, каждая подбаза фильтров содержится в уникальном наименьшем фильтре, но может не существовать уникального наименьшего префильтра, содержащего его. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{0}\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle F_{1}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{0}\supsetneq F_{1}\supsetneq \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{i+1}}$ ${\displaystyle F_{i}.}$ ${\displaystyle F_{0}=X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\subseteq ,}$

Пределы и конвергенция

Говорят, что      семья ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$сходятся к ${\displaystyle (X,\tau )}$точкеиз^[8],еслиЯвноозначает, что каждая окрестностьсодержит некотороеподмножество (то есть); таким образом, тогда справедливо следующее: Другимисловами, семейство сходится к точке или подмножествутогда и только тогда, когда онотоньше, чем фильтр окрестности в . Семейство, сходящееся к точке,можно обозначить, написав^[32]и сказав, чтоэто ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N{\text{ of }}x}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\ni N\supseteq B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle x}$предел ,если этот пределявляется точкой (а не подмножеством), тотакже называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$предельная точка . ^[40]Как обычно,означает, чтоиявляетсяединственнойпредельной точкой, если также^[32] (Если обозначение "" не требует, чтобы предельная точкабыла уникальной, тознак равенства= больше не будет гарантированно будеттранзитивным). Множество всех предельных точекобозначается^[8] ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to z{\text{ then }}z=x.}$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \lim {}_{X}{\mathcal {B}}{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}.}$

В приведенных выше определениях достаточно проверить, что тоньше некоторой (или, что то же самое, тоньше любой) базы окрестностей точки (например, такой как или When ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau (x)=\{U\in \tau :x\in U\}}$ ${\displaystyle \tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s)}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$

Примеры

Если - евклидово пространство и обозначает евклидову норму (которая представляет собой расстояние от начала координат, определенное как обычно), то все следующие семейства сходятся к началу координат: ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|x\|}$

1. предварительный фильтр всех открытых шаров с центром в начале координат, где ${\displaystyle \{B_{r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle B_{r}(z)=\{x:\|x-z\|<r\}.}$
2. предварительный фильтр всех закрытых шаров с центром в начале координат, где Этот предварительный фильтр эквивалентен приведенному выше. ${\displaystyle \{B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle B_{\leq r}(z)=\{x:\|x-z\|\leq r\}.}$
3. предварительный фильтр представляет собой объединение сфер с центром в начале координат, имеющих постепенно меньшие радиусы. Это семейство состоит из множеств как диапазонов положительных целых чисел. ${\displaystyle \{R\cap B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle R=S_{1}\cup S_{1/2}\cup S_{1/3}\cup \cdots }$ ${\displaystyle S_{r}=\{x:\|x\|=r\}}$ ${\displaystyle S_{1/n}\cup S_{1/(n+1)}\cup S_{1/(n+2)}\cup \cdots }$ ${\displaystyle n}$
4. любое из приведенных выше семейств, но с радиусом, превышающим (или любую другую положительную убывающую последовательность), а не все положительные действительные числа. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\ldots }$
   • Рисование или воображение любой из этих последовательностей множеств, когда они имеют размерность, предполагает, что интуитивно эти множества «должны» сходиться к началу координат (и это действительно так). Это интуиция, которую делает строгим приведенное выше определение «конвергентного префильтра». ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n=2}$

Хотя предполагалось, что это евклидова норма , приведенный выше пример остается действительным для любой другой нормы по ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Единственная предельная точка свободного предварительного фильтра заключается в том, что каждый открытый шар вокруг начала координат содержит некоторый открытый интервал этой формы. Фиксированный префильтр не сходится ни к какой точке и поэтому хотя и сходится к множеству , т.к. Однако не всякий фиксированный префильтр сходится к своему ядру. Например, фиксированный префильтр тоже имеет ядро , но не сходится (в ) к нему. ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(0,r):r>0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{[0,1+r):r>0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=[0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}([0,1])\leq {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \{[0,1+r)\cup (1+1/r,\infty ):r>0\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Свободный префильтр интервалов не сходится (в ) ни к какой точке. То же самое относится и к предварительному фильтру, поскольку он эквивалентен и эквивалентные семейства имеют те же ограничения. Фактически, если есть какой-либо префильтр в любом топологическом пространстве, то для каждого. В более общем смысле, поскольку единственной окрестностью является он сам (то есть ), каждое непустое семейство (включая каждую подбазу фильтров) сходится к ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to S.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)=\{X\}}$ ${\displaystyle X.}$

Для любой точки его фильтр окрестности всегда сходится к. В более общем смысле, любой базис окрестности в точке A всегда является предельной точкой основного ультрапрефильтра и ультрафильтра, который он генерирует. Пустое семейство не сходится ни в какой точке. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\to x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{\{x\}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\varnothing }$

Основные свойства

Если сходится к точке, то то же самое верно для любого семейства, более тонкого, чем это. Это имеет много важных последствий. Одним из последствий является то, что предельные точки семейства такие же, как и предельные точки его замыкания вверх: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {lim} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).}$$

^{[41]. ]}π ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{B}.}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,0],[0,\infty )\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$

Учитывая, что следующее эквивалентно для предварительного фильтра ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$сходится к ${\displaystyle x.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$сходится к ${\displaystyle x.}$
3. Существует семейство, эквивалентное этому семейству, которое сходится к ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$

Поскольку подчинение транзитивно, если и более того, для каждого и максимальный/ультрафильтр сходятся к Таким образом , каждое топологическое пространство индуцирует каноническую сходимость , определяемую то есть любой фильтр, сходящийся к, должен содержать подмножество. Другими словами, семейство фильтров, которые сходятся, состоит именно из тех фильтров , которые содержат в качестве подмножества. Следовательно, чем тоньше топология, тем меньше существует префильтров, имеющих какие-либо предельные точки в ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ then }}\lim {}_{X}{\mathcal {B}}\subseteq \lim {}_{X}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle (x,{\mathcal {B}})\in \xi {\text{ if and only if }}x\in \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Кластерные точки

Говорят, что семейство кластеризуется в точке , если оно согласуется с фильтром окрестности , т.е. если Явно это означает, что и каждая окрестность В частности, точка является ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle B\cap N\neq \varnothing {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$точка кластера илиточка накопления семейства^[8], еслиона объединяется с фильтром соседства в.Множество всех точек кластераобозначается знаком,где индекс можно опустить, если он не нужен. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x:\ {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}},}$

В приведенных выше определениях достаточно проверить, что сетка сетка с некоторыми (или, что то же самое, сетка с каждой) базой окрестности в Когда является предварительным фильтром, тогда определение « сетки» может быть полностью охарактеризовано в терминах предпорядка подчинения . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x{\text{ or }}S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,.}$

Два эквивалентных семейства множеств имеют одни и те же предельные точки, а также одни и те же точки кластеризации. Независимо от топологии, для каждого обоих и главного кластера ультрафильтра в точке Если кластеры в точку, то то же самое верно для любого семейства, более грубого, чем Следовательно, точки кластера семейства такие же, как точки кластера его восходящего замыкания: ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {cl} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).}$$

Учитывая, что следующее эквивалентно для предварительного фильтра : ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$кластеры в ${\displaystyle x.}$
2. Семейство , порожденное кластерами в ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
3. Существует семейство, эквивалентное этим кластерам в ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
4. ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}F.}$^[42]
5. ${\displaystyle X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$для каждого района ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$
   • Если включен фильтр, то для каждого района ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N{\text{ of }}x.}$
6. Существует префильтр, подчиненный (то есть ), который сходится к ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
   • Это эквивалент фильтра « является точкой кластера последовательности тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность, сходящаяся к ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
   • В частности, если является точкой кластера префильтра, то является ли подчиненный ему префильтр, сходящийся к ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$

Набор всех точек кластера префильтра удовлетворяет ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} _{X}B.}$$

любого^{[43] [8][8]} ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{K\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{K\}=\operatorname {cl} _{X}K}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}B.}$

Свойства и отношения

Как и в случае с последовательностями и сетями, префильтр в топологическом пространстве бесконечной мощности может не иметь точек кластеризации или предельных точек. ^[43]

If является предельной точкой then обязательно является предельной точкой любого семейства более тонкого, чем (то есть, if then ). ^[43] Напротив, если является точкой кластера , то обязательно является точкой кластера любого семейства, более крупного , чем (то есть, если сетка, а затем сетка). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

Эквивалентные семьи и подчинение

Любые два эквивалентных семейства могут использоваться взаимозаменяемо в определениях «предел» и «кластер в», поскольку их эквивалентность гарантирует, что тогда и только тогда , а также то, что тогда и только тогда . По сути, предварительный порядок не способен различать эквивалентные семейства. Учитывая два предварительных фильтра, независимо от того, являются ли они взаимосвязанными, можно полностью охарактеризовать с точки зрения подчиненности. Таким образом, две наиболее фундаментальные концепции, относящиеся к (предварительным) фильтрам топологии (то есть предельная точка и точка кластеризации), могут быть полностью определены в терминах отношения подчинения. Вот почему предварительный порядок имеет такое большое значение при применении (предварительных) фильтров к топологии. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\#{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\#{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Соотношения предельных и кластерных точек и достаточные условия

Каждая предельная точка невырожденного семейства также является точкой кластера; в символах: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.}$$

^{[19] [43][8]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{K\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{K\}^{\uparrow X}}$

Однако каждая точка кластера ультрапрефильтра является предельной точкой. Следовательно, предельные точки ультрапрефильтра такие же, как и его точки кластера: то есть, данная точка является точкой кластера ультрапрефильтра тогда и только тогда, когда сходится к этой точке. ^{[33] [44]} Хотя точка кластера фильтра не обязательно должна быть предельной точкой, всегда будет существовать более тонкий фильтр, который сходится к ней; в частности, если кластеры at then являются подбазой фильтров, сгенерированный фильтр которой сходится к ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}=\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {N}}(x)=\{B\cap N:B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}(x)\}}$ ${\displaystyle x.}$

Если является подбазой фильтра такой, что тогда В частности, любая предельная точка подбазы фильтра, подчиненной ему, обязательно также является точкой кластера Если является точкой кластера префильтра, то является подчиненным префильтром, который сходится к ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x{\text{ in }}X.}$

Если и если является префильтром, то каждая точка кластера принадлежит и любая точка в нем является предельной точкой фильтра в ^[43] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S.}$

Примитивные наборы

Подмножество называется ${\displaystyle P\subseteq X}$примитивный ^[45], если это множество предельных точек некоторого ультрафильтра (или, что то же самое, некоторого ультрапрефильтра). То есть, если существует ультрафильтр,равныйкоторому,отзыв обозначает набор предельных точек.Поскольку предельные точки совпадают с точками кластера для ультрапрефильтров, подмножество является примитивным тогда и только тогда, когда оно равномножеству точки кластера некоторого ультрапрефильтра. Например, каждое закрытое одноэлементное подмножество является примитивным. ^[45]Образ примитивного подмножествапри непрерывном отображениисодержится в примитивном подмножестве из^[45] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Предположим, что существуют два примитивных подмножества. Если это открытое подмножество, которое пересекается тогда для любого ультрафильтра такого, что ^[45] Кроме того, если они различны, то существуют некоторые и некоторые ультрафильтры такие, что и ^[45] ${\displaystyle P,Q\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle P{\text{ and }}Q}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{P}{\text{ and }}{\mathcal {B}}_{Q}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{P},Q=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{Q},S\in {\mathcal {B}}_{P},}$ ${\displaystyle X\setminus S\in {\mathcal {B}}_{Q}.}$

Другие результаты

Если это полная решетка , то: ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle X}$

• Нижний предел - это нижняя грань множества всех точек кластера ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$
• Верхний предел - это верхняя граница множества всех точек кластера ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$
• ${\displaystyle B}$является сходящимся префильтром тогда и только тогда, когда его нижний предел и верхний предел совпадают; в этом случае значение, с которым они согласны, является пределом предварительного фильтра.

Пределы функций, определенные как пределы предварительных фильтров

Предположим , что это отображение множества в топологическое пространство , и если является предельной точкой (соответственно, точкой кластера), то называется предельной точкой или пределом (соответственно, точкой кластера ) относительно ^[43] . Явно это предел относительно тогда и только тогда, когда который может быть записан как (по определению этого обозначения) и сформулирован как стремиться вдоль ^[46] Если предел уникален, то стрелку можно заменить знаком равенства [ ^32] фильтр соседства можно заменить любым эквивалентным ему семейством, и то же самое относится и к ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle y\in Y.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)\leq f({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to y{\text{ or }}\lim f({\mathcal {B}})\to y{\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle =.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Определение сходящейся сети является частным случаем приведенного выше определения предела функции. В частности, если сеть, то ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}\chi :(I,\leq )\to X}$

$${\displaystyle \chi \to x{\text{ in }}X\quad {\text{ if and only if }}\quad \chi (\operatorname {Tails} (I,\leq ))\to x{\text{ in }}X,}$$

предел сети,функции ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\operatorname {Tails} (I,\leq )}$

В таблице ниже показано, как различные типы ограничений, встречающиеся в анализе и топологии, могут быть определены с точки зрения сходимости изображений (под ) конкретных предфильтров в области. Это показывает, что предварительные фильтры обеспечивают общую структуру, в которую входят многие из различных определений пределов. соответствовать. ^[41] Пределы в крайнем левом столбце определяются обычным способом с их очевидными определениями. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Всюду пусть это отображение между топологическими пространствами. Если это Хаусдорф, то все стрелки " " в таблице можно заменить знаками равенства " " и " " можно заменить на " ". ^[32] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{0}\in X,{\text{ and }}y\in Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to y}$ ${\displaystyle =y}$ ${\displaystyle \lim f({\mathcal {B}})\to y}$ ${\displaystyle \lim f({\mathcal {B}})=y}$

Определив различные предварительные фильтры, можно определить многие другие понятия пределов; например, ${\displaystyle \lim _{\stackrel {|x|\to |x_{0}|}{|x|\neq |x_{0}|}}f(x)\to y.}$

Дивергенция до бесконечности

Расхождение действительной функции к бесконечности можно определить/охарактеризовать с помощью предварительных фильтров.

$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}~~{\text{ and }}~~(-\infty ,\mathbb {R} ):=\{(-\infty ,r):r\in \mathbb {R} \},}$$

" "" "), ${\displaystyle f\to \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\to -\infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} )\leq f({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f(x)>r}$ ${\displaystyle f(x)\geq r}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} ).}$

Например, if then тогда и только тогда, когда выполняется. Аналогично, тогда и только тогда или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\to \infty }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\to -\infty }$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} )\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right),}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} ]\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right).}$

В более общем смысле, if оценивается в (или каком-либо другом полунормированном векторном пространстве ) и if then тогда и только тогда, когда выполняется, где ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}Y=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{\geq r}:=\{y\in Y:|y|\geq r\}=Y\setminus B_{<r}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}|f(x)|\to \infty }$ ${\displaystyle B_{\geq \mathbb {R} }\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right)}$ ${\displaystyle B_{\geq \mathbb {R} }:=\left\{B_{\geq r}:r\in \mathbb {R} \right\}.}$

Фильтры и сети

В этом разделе будут очень подробно описаны взаимоотношения между префильтрами и цепями, поскольку эти детали важны для применения фильтров к топологии, особенно при переключении с использования цепей на использование фильтров и наоборот.

Сети к префильтрам

В приведенных ниже определениях первое утверждение представляет собой стандартное определение предельной точки сети (соответственно, точки кластера сети), и оно постепенно переформулируется до тех пор, пока не будет достигнута соответствующая концепция фильтра.

Говорят, что сеть ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$сходятся к написаннойточкеиназываются предельной или предельной точкой из ^[47] , если выполнено любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet },}$

1. Определение: Для каждого существует такое, что если ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle i\leq j\in I{\text{ then }}x_{j}\in N.}$
2. Для каждого существует такой, что хвост, начинающийся в , содержится в (т. е. такой, что ). ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq N}$
3. Для каждого существует такое, что ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle B\subseteq N.}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$
5. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x{\text{ in }}X;}$то есть префильтр сходится к ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x.}$

Как обычно, означает, что и является единственной предельной точкой этого, если также ^[47] ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet };}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to z{\text{ then }}z=x.}$

Точка называется ${\displaystyle x\in X}$точка кластера или накопления сети, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}(X,\tau )}$

1. Определение: Для каждого существует такое , что ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i\leq j\in I}$ ${\displaystyle x_{j}\in N.}$
2. Для каждого хвоста , начинающегося с точки пересечения (то есть ). ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\cap N\neq \varnothing }$
3. Для каждого и каждого ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right),B\cap N\neq \varnothing .}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(x){\text{ and }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$сетка (по определению «сетка»).
5. ${\displaystyle x}$является точкой кластера ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$

Если это карта и сеть, то [ ^3] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).}$

Префильтры к сетям

Остроконечным множеством называется пара , состоящая из непустого множества и элемента. Для любого семейства пусть ${\displaystyle (S,s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$

$${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\}.}$$

Определите канонический предварительный порядок на точечных множествах, объявив ${\displaystyle \,\leq \,}$

$${\displaystyle (R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.}$$

Существует каноническая карта , определяемая If then, хвост присваивания, начинающийся с, равен ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b.}$ ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.}$

Хотя в целом это не частично упорядоченное множество, оно является направленным множеством, если (и только если) является предварительным фильтром. Таким образом, самым непосредственным выбором для определения «сети, индуцированной предварительным фильтром », является присвоение из в ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$

Если включен предварительный фильтр, то связанная с ним сеть является картой ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}}$$

то есть, ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.}$

Если включен предварительный фильтр, это сеть in , а связанный с ним предварительный фильтр — ; то есть: ^{[примечание 6]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$$

${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).}$

Если есть сеть в, то, вообще говоря, неверно , потому что, например, область определения может иметь совершенно другую мощность, чем область (поскольку в отличие от области определения произвольная сеть в может иметь любую мощность). ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},}$ ${\displaystyle X}$

Предложение  —  Если включен предварительный фильтр, а затем ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.}$
2. ${\displaystyle x}$является точкой кластера тогда и только тогда, когда является точкой кластера ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Доказательство

Напомним, что и что если сеть в то (1) и (2) является точкой кластера тогда и только тогда, когда является точкой кластера. Из ее использования следует, что ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right),}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.}$$

Отсюда также следует, что является точкой кластера тогда и только тогда, когда является точкой кластера тогда и только тогда, когда является точкой кластера ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Частично заказанная сеть

Область определения канонической сети, вообще говоря, не является частично упорядоченной. Однако в 1955 году Брунс и Шмидт обнаружили ^[48] конструкцию (подробно описанную здесь: Фильтр (теория множеств)#Частично упорядоченная сеть ), которая позволяет канонической сети иметь область, которая одновременно частично упорядочена и направлена; это было независимо переоткрыто Альбертом Вилански в 1970 году. ^[3] Поскольку хвосты этой частично упорядоченной сети идентичны хвостам (поскольку оба равны префильтру ), обычно ничего не теряется, если предположить, что область определения сети связанный с предварительным фильтром, является одновременно направленным и частично упорядоченным. ^[3] Далее можно предположить, что частично упорядоченная область также является плотным порядком . ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Подчиненные фильтры и подсети

Понятие « подчинено » (написано ) относится к фильтрам и префильтрам, то же, что « является подпоследовательностью » относится к последовательностям. ^[26] Например, если обозначает набор хвостов и если обозначает набор хвостов подпоследовательности (где ), то (что по определению означает ) истинно, но в общем случае ложно. Если — сеть в топологическом пространстве и если — фильтр окрестности в точке, то ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}}$ ${\displaystyle x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{j}}~:~j\geq i{\text{ and }}j\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}{\mathcal {N}}(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$

Если - сюръективное открытое отображение и является префильтром на нем , который сходится к , то существует префильтр на таком, что и эквивалентен (т. е. ). ^[49] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}}$

Аналоги подчинения результатов, включающие подпоследовательности

Следующие результаты являются аналогами префильтров операторов, включающих подпоследовательности. ^[50] Условие " ", которое также пишется, является аналогом " является подпоследовательностью " Таким образом, "тонче чем" и "подчиненный" являются аналогом префильтра "подпоследовательности". Некоторые люди предпочитают говорить «подчиненный» вместо «более тоньше», потому что это больше напоминает «подпоследовательность». ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Предложение ^{[50] [43]}  —  Пусть — предфильтр на и пусть ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$

1. Предположим, есть предварительный фильтр такой, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}.}$
   1. Если ^{[доказательство 1]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ then }}{\mathcal {C}}\to x.}$
      • Это аналог фразы «если последовательность сходится, то сходится и каждая подпоследовательность». ${\displaystyle x}$
   2. Если является точкой кластера, то это точка кластера ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
      • Это аналог фразы «если является точкой кластера некоторой подпоследовательности, то это точка кластера исходной последовательности». ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$тогда и только тогда, когда для любого более тонкого префильтра существует еще более тонкий префильтр такой, что ^[43] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x.}$
   • Это аналог фразы «последовательность сходится к тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность имеет подподпоследовательность, сходящуюся к » ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
3. ${\displaystyle x}$является точкой кластера тогда и только тогда, когда существует более тонкий предварительный фильтр, такой что ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x.}$
   • Это аналог следующего ложного утверждения: « является точкой кластера последовательности тогда и только тогда, когда она имеет подпоследовательность, сходящуюся к » (то есть тогда и только тогда, когда является последовательным пределом ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
   • Аналог для последовательностей неверен, поскольку существует хаусдорфова топология и последовательность в этом пространстве (обе определены здесь ^{[примечание 7] [51]} ), которая кластеризуется, но также не имеет какой-либо подпоследовательности, сходящейся к ^[52] ${\displaystyle X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0).}$

Неэквивалентность подсетей и подчиненных фильтров

Подсети в смысле Уилларда и подсети в смысле Келли — наиболее часто используемые определения « подсети ». ^[53] Первое определение подсети («подсеть Келли») было введено Джоном Л. Келли в 1955 году. ^[53] Стивен Уиллард представил в 1970 году свой собственный вариант («подсеть Уилларда») определения подсети, данного Келли. ^[53] Подсети AA были независимо представлены Смайли (1957), Аарнесом и Анденаесом (1972) и Мурдешваром (1983); AA-подсети были очень подробно изучены Аарнесом и Анденаесом, но они не часто используются. ^[53]

Подмножество предварительно упорядоченного пространства​ ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$частый или конфинальный , еслидля каждогосуществуеттакой, чтоЕслисодержит хвост,тоговорят, что ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle i\leq r.}$ ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$возможно в}}; явно это означает, что существует такое,что(т. е.для всехудовлетворяющих). Подмножество является возможным тогда и только тогда, когда его дополнение не является частым (что называется ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle I_{\geq i}\subseteq R}$ ${\displaystyle j\in R}$ ${\displaystyle j\in I}$ ${\displaystyle i\leq j}$нечасто ). ^[53] Отображениемежду двумя предварительно упорядоченными множествами ${\displaystyle h:A\to I}$сохранение порядка, если всякий раз, когдаудовлетворяется,то ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle h(a)\leq h(b).}$

Определения : Пусть это сети. Тогда ^[53] ${\displaystyle S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X}$

1. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоПодсеть Уилларда илиподсеть в смысле Уилларда,если существует сохраняющее порядок отображение,такое, чтоявляется конфинальным в ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h{\text{ and }}h(A)}$ ${\displaystyle I.}$
2. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоКелли – подсеть илиподсетьв смысле Келли,если существует отображениетакое, чтои всякий раз, когдаоно возможно в,тоявляется возможным в ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h~:~A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h}$ ${\displaystyle E\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h^{-1}(E)}$ ${\displaystyle A.}$
3. ${\displaystyle S_{\bullet }}$являетсяAA – подсеть илиподсетьв смысле Аарнеса и Анденаеса,если выполнено любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle N_{\bullet }}$
   1. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).}$
   3. Если возможно в, возможно в ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))}$ ${\displaystyle A.}$
   4. Для любого подмножества сетки то же самое сделайте ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.}$
   5. Для любого подмножества ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.}$

Келли не требовал, чтобы карта сохраняла порядок, в то время как определение подсети AA полностью устраняет любое отображение между доменами двух сетей и вместо этого полностью фокусируется на общем кодомене сетей. Каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, и обе являются подсетями AA. ^[53] В частности, если это подсеть Уилларда или подсеть Келли, то ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).}$

Пример: Если и является постоянной последовательностью, а если и то является подсетью AA, но не является ни подсетью Уилларда, ни подсетью Келли ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle A=\{1\}}$ ${\displaystyle s_{1}:=x_{1}}$ ${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Подсети AA имеют определяющую характеристику, которая сразу показывает, что они полностью взаимозаменяемы с под(ординатными) фильтрами. ^{[53] [54]} Явно имеется в виду, что для подсетей AA справедливо следующее утверждение:

     Если являются предфильтрами, то тогда и только тогда, когда это AA-подсеть ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Если «AA–подсеть» заменить на «Willard–subnet» или «Kelley–subnet», то приведенное выше утверждение становится ложным . В частности, как показывает этот контрпример , проблема в том, что следующее утверждение в целом неверно:

     Ложное утверждение: еслипрефильтры таковы, чтоявляются подсетью Келли ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Поскольку каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, это утверждение, таким образом, остается ложным, если слово «подсеть Келли» заменить на «подсеть Уилларда».

Если «подсеть» определяется как означающая Уилларда-подсеть или Келли-подсеть, тогда сети и фильтры не являются полностью взаимозаменяемыми, поскольку существуют отношения фильтр-под(ордината)фильтра, которые не могут быть выражены через отношения сеть-подсеть между ними. индуцированные сети. В частности, проблема в том, что подсети Келли и подсети Уилларда не полностью взаимозаменяемы с подчиненными фильтрами. Если понятие «подсеть» не используется или если «подсеть» определяется как AA-подсеть, то это перестает быть проблемой, и поэтому становится правильным сказать, что сети и фильтры взаимозаменяемы. Несмотря на то, что подсети AA не имеют таких проблем, как подсети Уилларда и Келли, они широко не используются и о них не известно. ^{[53] [54]}

Топологии и предварительные фильтры

Всюду — топологическое пространство . ${\displaystyle (X,\tau )}$

Примеры связей между фильтрами и топологиями

Базы и префильтры

Пусть - семейство множеств, которое покрывает и определяет для каждого Определение базы для некоторой топологии можно сразу переформулировать так: является базой для некоторой топологии тогда и только тогда, когда является базой фильтра для каждой Если является топологией на и тогда определения является базисом (соответственно подбазой ) для можно переформулировать как: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}~:~x\in B\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

      ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является базой (соответственно подбазой фильтра) тогда и только тогда, когда для каждого является базой фильтра (соответственно подбазой фильтра), которая генерирует фильтр окрестности at ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x\in X,{\mathcal {B}}_{x}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x.}$

Фильтры соседства

Типичным примером фильтра является набор всех окрестностей точки топологического пространства. Любой базис окрестности точки (или подмножества) топологического пространства является предварительным фильтром. Фактически, определение базы соседства можно эквивалентно переформулировать так: «база соседства — это любой предварительный фильтр, который эквивалентен фильтру соседства».

Базы соседства в точках являются примерами предварительных фильтров, которые фиксированы, но могут быть или не быть главными. Если имеет свою обычную топологию, и если тогда любая база фильтра окрестности фиксирована ( фактически даже верно, что ), но не является главной, поскольку , напротив, топологическое пространство имеет дискретную топологию тогда и только тогда, когда фильтр окрестности каждого point — главный фильтр, порожденный ровно одной точкой. Это показывает, что неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно является свободным. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{x\}\not \in {\mathcal {B}}.}$

Фильтр окрестности каждой точки топологического пространства фиксирован, поскольку его ядро ​​содержит (и, возможно, другие точки, если, например, оно не является пространством T 1 ). Это также верно для любого базиса окрестности. Для любой точки пространства T 1 (например, хаусдорфова пространства ) ядро ​​фильтра окрестности равно одноэлементному множеству ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

Однако фильтр окрестности в точке может быть главным, но не дискретным (т. е. не главным в одной точке). Базис окрестности точки топологического пространства является главным тогда и только тогда, когда ядро ​​является открытым множеством. Если, кроме того , пространство T 1 , то этот базис является главным тогда и только тогда, когда является открытым множеством. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

Генерация топологий из фильтров и предфильтров

Пусть не пусто (и ). Если включен фильтр, то включена топология, но обратное, как правило, неверно. Это показывает, что в некотором смысле фильтры представляют собой почти топологии. Топологии вида , где включен ультрафильтр , представляют собой еще более специализированный подкласс таких топологий; они обладают тем свойством, что каждое собственное подмножество либо открыто , либо закрыто, но (в отличие от дискретной топологии ) никогда и то, и другое. Эти пространства являются, в частности, примерами дверных пространств . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$

Если является префильтром (соответственно подбазой фильтра, π -системой, собственно) на , то то же самое верно и для обоих, и для множества всех возможных объединений одного или нескольких элементов. Если замкнуто при конечных пересечениях, то множество является топологией на и то и другое является основой для этого. Если π -система покрывает , то обе они также являются базами, поскольку If является топологией, то является префильтром (или, что то же самое, π -системой) тогда и только тогда, когда она обладает свойством конечного пересечения (т. е. является подбазой фильтра). , в этом случае подмножество будет основой для того и только тогда, когда эквивалентно тому, что в этом случае будет префильтром. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\cup }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}=\{\varnothing ,X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}\{X\}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \tau \setminus \{\varnothing \},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}}$

Топологические свойства и предварительные фильтры

Окрестности и топологии

Фильтр окрестности непустого подмножества в топологическом пространстве равен пересечению всех фильтров окрестности всех точек в ^[55]. Подмножество открыто тогда и только тогда, когда всякий раз, когда фильтр включен и тогда ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to s{\text{ in }}X{\text{ implies }}S\in {\mathcal {F}}.}$

Предположим , топологии на Тогда тоньше, чем (т.е. ) тогда и только тогда, когда всякий раз, когда есть фильтр на , если то ^[45] Следовательно, тогда и только тогда, когда для каждого фильтра и каждого тогда и только тогда, когда ^[32] Однако возможно что хотя и для каждого фильтра сходится к некоторой точке тогда и только тогда, когда сходится к некоторой точке из ^[32] ${\displaystyle \sigma {\text{ and }}\tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \subseteq \tau }$ ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma ).}$ ${\displaystyle \sigma =\tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle x\in X,{\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau ).}$ ${\displaystyle \sigma \neq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X,{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ in }}(X,\sigma )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ in }}(X,\tau ).}$

Закрытие

Если это префильтр на подмножестве , то каждая точка кластера принадлежит [ ^44] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$

Если — непустое подмножество, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}S\subseteq X}$

1. ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$
2. ${\displaystyle x}$является предельной точкой префильтра на Явно: существует префильтр такой, что ^[50] ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$
3. ${\displaystyle x}$— предельная точка фильтра по ^[44] ${\displaystyle S.}$
4. Существует такой предфильтр, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$
5. Предварительный фильтр взаимодействует с соседним фильтром . Другими словами, это точка кластера предварительного фильтра. ${\displaystyle \{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{S\}.}$
6. Предварительный фильтр объединяется с некоторой (или, что то же самое, с каждой) базой фильтра для (то есть с каждой базой окрестности в ). ${\displaystyle \{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Следующие действия эквивалентны:

1. ${\displaystyle x}$это предельные точки ${\displaystyle S{\text{ in }}X.}$
2. Существует префильтр такой, что ^[50] ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}\{S\}\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$

Закрытые наборы

Если не пусто, то следующие выражения эквивалентны: ${\displaystyle S\subseteq X}$

1. ${\displaystyle S}$является закрытым подмножеством ${\displaystyle X.}$
2. Если это предварительный фильтр такой, что тогда ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x\in S.}$
3. Если это предварительный фильтр на таком, что есть точки накопления, то ^[50] ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x\in S.}$
4. Если таково, что фильтр соседства сцепляется, то ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle \{S\}}$ ${\displaystyle x\in S.}$

Хаусдорфность

Следующие действия эквивалентны:

1. ${\displaystyle X}$является хаусдорфовым пространством .
2. Каждый префильтр сходится не более чем к одной точке в ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Вышеупомянутое утверждение, но с заменой слова «предварительный фильтр» на одно из следующих: фильтр, ультрапрефильтр, ультрафильтр. ^[8]

Компактность

Как обсуждается в этой статье , лемма об ультрафильтре тесно связана со многими важными теоремами, касающимися компактности.

Следующие действия эквивалентны:

1. ${\displaystyle (X,\tau )}$представляет собой компактное пространство .
2. Каждый ультрафильтр на сходится хотя бы к одной точке из ^[56] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • То, что из этого условия следует компактность, можно доказать, используя только лемму об ультрафильтре. Из компактности следует, что это условие можно доказать без леммы об ультрафильтре (или даже аксиомы выбора).
3. Вышеприведенное утверждение, но слово «ультрафильтр» заменено на «ультрапредварительный фильтр». ^[8]
4. Для каждого фильтра существует фильтр такой, что и сходится к некоторой точке ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$
5. Вышеприведенное утверждение, но каждый раз слово «фильтр» заменено на: prefilter.
6. Каждый фильтр имеет хотя бы одну точку кластера в ^[56] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • То, что это условие эквивалентно компактности, можно доказать, используя только лемму об ультрафильтре.
7. Вышеприведенное утверждение, но слово «фильтр» заменено на «предварительный фильтр». ^[8]
8. Теорема Александера о подбазе : существует такая подбаза , что каждое покрытие множествами имеет конечное подпокрытие. ${\displaystyle {\mathcal {S}}{\text{ for }}\tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
   • То, что это условие эквивалентно компактности, можно доказать, используя только лемму об ультрафильтре.

Если - множество всех дополнений к компактным подмножествам данного топологического пространства, то оно является фильтром тогда и только тогда, когда оно не компактно. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^[57]  —  Если — фильтр на компакте и множество точек кластера, то каждая окрестность принадлежит. Таким образом, фильтр на компакте Хаусдорфа сходится тогда и только тогда, когда он имеет одну точку кластера. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Непрерывность

Пусть – отображение топологических пространств ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,\tau ){\text{ and }}(Y,\upsilon ).}$

Учитывая, что следующие эквиваленты: ${\displaystyle x\in X,}$

1. ${\displaystyle f:X\to Y}$является непрерывным в ${\displaystyle x.}$
2. Определение: Для каждой окрестности существует такая окрестность , что ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(x){\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle f(N)\subseteq V.}$
3. ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x){\text{ in }}Y.}$^[52]
4. Если фильтр включен так, что тогда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.}$
5. Вышеприведенное утверждение, но слово «фильтр» заменено на «предварительный фильтр».

Следующие действия эквивалентны:

1. ${\displaystyle f:X\to Y}$является непрерывным.
2. Если является префильтром на таком, что тогда ^[52] ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.}$
3. Если это предельная точка предварительного фильтра , то это предельная точка ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y.}$
4. Любое из двух приведенных выше утверждений, но с заменой слова «предварительный фильтр» на «фильтр».

Если предварительный фильтр включен , точка кластера непрерывна, то это точка кластера в предварительном фильтре ^[45] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\text{ and }}f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

Подмножество топологического пространства является плотным тогда и только тогда, когда для каждого след соседнего фильтра вдоль не содержит пустого множества (в этом случае это будет фильтр на ). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Предположим , что это непрерывное отображение в регулярное по Хаусдорфу пространство и это плотное подмножество топологического пространства. Тогда оно имеет непрерывное расширение тогда и только тогда, когда для каждого префильтр сходится к некоторой точке в. Кроме того, это непрерывное расширение будет уникальным, когда бы оно ни существовало. ^[58] ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}\right)}$ ${\displaystyle Y.}$

Продукты

Предположим , что это непустое семейство непустых топологических пространств, и это семейство префильтров, каждый из которых является префильтром. Тогда произведение этих префильтров (определенное выше) является предварительным фильтром в пространстве произведений , которое, как обычно, наделено топология продукта . ${\displaystyle X_{\bullet }:=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet },}$

Если тогда тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x_{\bullet }:=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod }X_{\bullet },}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }\to x_{\bullet }{\text{ in }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\to x_{i}{\text{ in }}X_{i}{\text{ for every }}i\in I.}$

Предположим , что это топологические пространства, есть предварительный фильтр по наличию точки кластера и предварительный фильтр по наличию точки кластера. Тогда — точка кластера в пространстве произведений ^[45]. Однако, если тогда существуют такие последовательности, что обе эти последовательности имеют точку кластера в, но последовательность не имеет точки кластера в ^[45] ${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X{\text{ and }}\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(x_{i},y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Пример применения: из леммы об ультрафильтре вместе с аксиомами ZF следует теорема Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств:

Примеры применения префильтров

Однородности и предварительные фильтры Коши

Единое пространство — это множество , снабженное фильтром , обладающим определенными свойствами. Базовая или фундаментальная система антуража — это префильтр, на восходящем замыкании которого находится однородное пространство. Предварительный фильтр в равномерном пространстве с однородностью называется предварительным фильтром Коши , если для каждого окружения существует некоторый –small , что означает, что Минимальный фильтр Коши является минимальным элементом (относительно или, что эквивалентно, ) множества всех Фильтры Коши. Примеры минимальных фильтров Коши включают фильтр окрестности любой точки. Каждый сходящийся фильтр в однородном пространстве является фильтром Коши. Более того, каждая точка кластера фильтра Коши является предельной точкой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\times B\subseteq N.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Равномерное пространство называется полным (соответственно, последовательно полным ), если каждый префильтр Коши (соответственно каждый элементарный префильтр Коши) сходится хотя бы к одной точке (замена всех вхождений слова «префильтр» на «фильтр» приводит к эквивалентному утверждению ). Каждое компактное однородное пространство является полным, поскольку любой фильтр Коши имеет точку кластера (в силу компактности), которая обязательно является также предельной точкой (поскольку фильтр является Коши). ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Равномерные пространства стали результатом попыток обобщить такие понятия, как «равномерная непрерывность» и «равномерная сходимость», присутствующие в метрических пространствах. Любое топологическое векторное пространство и, в более общем плане, каждую топологическую группу можно каноническим способом превратить в однородное пространство. Любая однородность также порождает каноническую индуцированную топологию. Фильтры и префильтры играют важную роль в теории равномерных пространств. Например, пополнение равномерного Хаусдорфа пространства (даже если оно не метризуемо ) обычно строится с использованием минимальных фильтров Коши. Сети менее идеальны для этой конструкции, поскольку их области определения чрезвычайно разнообразны (например, класс всех сетей Коши не является множеством); последовательности не могут использоваться в общем случае, поскольку топология может быть не метризуемой, счетной или даже последовательной . Набор всех минимальных фильтров Коши в топологическом векторном пространстве Хаусдорфа (TVS) можно превратить в векторное пространство и топологизировать таким образом, чтобы оно стало завершением (при этом присваивание становится линейным топологическим вложением , которое идентифицируется как плотное векторное подпространство этого завершения). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$

В более общем смысле,Пространство Коши — это пара, состоящая из множества(собственных) фильтров, члены которых объявлены как «фильтры Коши», обладающие всеми следующими свойствами: ${\displaystyle (X,{\mathfrak {C}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}\subseteq \wp (\wp (X))}$

1. Для каждого дискретного ультрафильтра at является элементом ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}.}$
2. Если является подмножеством правильного фильтра , то ${\displaystyle F\in {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G\in {\mathfrak {C}}.}$
3. Если и если каждый член пересекает каждый член тогда ${\displaystyle F,G\in {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle F\cap G\in {\mathfrak {C}}.}$

Совокупность всех фильтров Коши в однородном пространстве образует пространство Коши. Каждое пространство Коши является также пространством сходимости . Отображение между двумя пространствами Коши называется непрерывным Коши , если образ каждого фильтра Коши в является фильтром Коши в В отличие от категории топологических пространств , категория пространств Коши и непрерывных отображений Коши является декартово замкнутой и содержит категорию пространств близости. . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Топологизация набора префильтров

Начав с набора, можно его топологизировать. ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \mathbb {P} :=\operatorname {Prefilters} (X)}$$

${\displaystyle X}$Топология СтоунаМаршалла Харви Стоуна

Чтобы избежать путаницы, в этой статье будут соблюдаться следующие соглашения об обозначениях:

• Строчные буквы для элементов ${\displaystyle x\in X.}$
• Прописные буквы для подмножеств ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• Прописные каллиграфические буквы для подмножеств (или, что то же самое, для таких элементов, как префильтры). ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X)),}$
• Прописные буквы с двойным ударением для подмножеств ${\displaystyle \mathbb {P} \subseteq \wp (\wp (X)).}$

За каждый пусть ${\displaystyle S\subseteq X,}$

$${\displaystyle \mathbb {O} (S):=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}}$$

^{[примечание 8]} ${\displaystyle \mathbb {O} (X)=\mathbb {P} {\text{ and }}\mathbb {O} (\varnothing )=\varnothing .}$ ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq X}$

$${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~R\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}~\subseteq ~\left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}.}$$

Из этого включения можно вывести все включения подмножества, показанные ниже, за исключением ^{[примечание 9].} Для всех ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S).}$ ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq X,}$

$${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~=~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R)\cup \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R\cup S)}$$

–системуосновутопологией Стоунатопологию подпространства ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)=\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)}$ ${\displaystyle \{\mathbb {O} (S)~:~S\subseteq X\}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

В отличие от большинства других общих конструкций топологий (например, топологии произведения , фактора , подпространства и т. д.), эта топология была определена без использования чего-либо, кроме набора, в котором не было никаких ранее существовавших структур или предположений, поэтому эта топология является полностью независим от всего, кроме (и его подмножеств). ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Следующие критерии можно использовать для проверки точек закрытия и окрестностей. Если тогда: ${\displaystyle \mathbb {B} \subseteq \mathbb {P} {\text{ and }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {P} }$

• Замыкание в ${\displaystyle \mathbb {P} }$ : принадлежит замыканию тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \ {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {B} {\text{ in }}\mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$
• Окрестности в ${\displaystyle \mathbb {P} }$ : является окрестностью тогда и только тогда, когда существует такое, что (то есть такое, что для всех ). ${\displaystyle \ \mathbb {B} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ in }}\mathbb {P} }$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {O} (F)=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}\subseteq \mathbb {B} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ,{\text{ if }}F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }$

В дальнейшем будет считаться так, потому что иначе и топология такая, которая неинтересна. ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbb {P} =\varnothing }$ ${\displaystyle \{\varnothing \},}$

Подпространство ультрафильтров

Множество ультрафильтров на (с топологией подпространства) представляет собой пространство Стоуна , то есть оно компактно, хаусдорфово и полностью несвязно . Если имеет дискретную топологию, то отображение , определенное путем отправки в главный ультрафильтр at, представляет собой топологическое вложение, образ которого является плотным подмножеством ( более подробную информацию см. в статье « Компактификация Стоуна – Чеха» ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta :X\to \operatorname {UltraFilters} (X),}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \operatorname {UltraFilters} (X)}$

Отношения между топологиями и топологией Стоуна ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Каждое порождает каноническую карту , определенную с помощью которой отправляется фильтр соседства If then тогда и только тогда, когда каждая топология может быть отождествлена ​​с канонической картой , которая позволяет быть канонически идентифицированной как подмножество (в качестве примечания, теперь возможно поместить на , а значит, и на топологию поточечной сходимости , так что теперь имеет смысл говорить о таких вещах, как последовательности топологий поточечной сходимости). Для каждого сюръекция всегда непрерывна, замкнута и открыта , но она инъективна тогда и только тогда (т. е. колмогоровское пространство ). В частности, для любой топологии отображение является топологическим вложением (иными словами, каждое колмогоровское пространство является топологическим подпространством пространства предфильтров). ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:X\to \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x{\text{ in }}(X,\tau ).}$ ${\displaystyle \tau ,\sigma \in \operatorname {Top} (X)}$ ${\displaystyle \tau =\sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }={\mathcal {N}}_{\sigma }.}$ ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }\in \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Top} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Top} (X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \operatorname {image} {\mathcal {N}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau {\text{ is }}T_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \tau {\text{ on }}X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \mathbb {P} }$

Кроме того, если отображение такое, что (что верно, например), то для каждого множества есть окрестность (в топологии подпространства) ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:X\to \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle x\in \ker {\mathfrak {F}}(x):={\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathfrak {F}}(x)}}F{\text{ for every }}x\in X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:={\mathcal {N}}_{\tau },}$ ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}F\in {\mathfrak {F}}(x),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(F)=\{{\mathfrak {F}}(f):f\in F\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(x){\text{ in }}\operatorname {image} {\mathfrak {F}}.}$

Смотрите также

• Характеристики категории топологических пространств.
• Пространство сходимости  - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Фильтрация (математика)
• Фильтрация (теория вероятностей)  - Модель информации, доступной в данной точке случайного процесса.
• Фильтрация (абстрактная алгебра)
• Фильтр Фреше  - фильтр ФрешеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Общий фильтр  - в теории множеств, учитывая набор плотных открытых подмножеств ЧУУ, фильтр, который соответствует всем наборам в этой коллекции.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Идеал (теория множеств)  - непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Компактификация Стоуна – Чеха#Конструкция с использованием ультрафильтров  - универсальное отображение топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX, такое, что любое отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X тихоновское, то X — плотное подпространство в βXPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Основная теорема об ультрапроизведениях  – Математическое построениеPages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Последовательности и сети в пространстве представляют собой карты направленных множеств , таких как натуральное число , которые, как правило, могут быть совершенно не связаны с множеством , и поэтому они, а, следовательно, и их представления о сходимости, не являются неотъемлемой частью ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Технически, любого бесконечного подсемейства этого набора хвостов достаточно, чтобы охарактеризовать сходимость этой последовательности. Но в общем, если не указано иное, берется набор всех решек, если нет какой-либо причины поступить иначе.
3. Действительно, чистая сходимость определяется с использованием фильтров соседства, в то время как (предварительные) фильтры представляют собой направленные множества относительно, поэтому трудно полностью разделить эти понятия. ${\displaystyle \,\supseteq \,,}$
4. Термины «База фильтра» и «Фильтр» используются тогда и только тогда, когда ${\displaystyle S\neq \varnothing .}$
5. Например, один из способов, в котором сеть можно интерпретировать как «максимально глубокую», заключается в том, что все важные свойства, связанные с (например, сходимость) любой подсети, полностью определяются во всех топологиях. В этом случае и ее подсети становятся фактически неотличимыми (по крайней мере, топологически), если информация о них ограничивается только тем, что может быть описано исключительно в терминах наборов и непосредственно связанных друг с другом (например, их подмножеств). ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$
6. Равенство множеств справедливо в более общем смысле: если семейство множеств, то семейство хвостов карты (определяемое ) равно ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing {\text{ satisfies }}\varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
7. Топология on определяется следующим образом: каждое подмножество открыто в этой топологии, а окрестности - это все те подмножества , содержащие для которых существует некоторое положительное целое число, такое, что для каждого целого числа содержатся все, кроме не более чем конечного числа точек . Например, множество является окрестностью Любое диагональное перечисление дает последовательность, которая кластеризуется, но не имеет сходящейся подпоследовательности. Явным примером является обратная биективная функция спаривания Хопкрофта и Уллмана , которая определяется формулой ${\displaystyle X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{n\}\times \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle W:=[\{2,3,\ldots \}\times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle (0,0).}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle (p,q)\mapsto p+{\tfrac {1}{2}}(p+q-1)(p+q-2).}$
8. В качестве примечания: если бы определения «фильтра» и «предфильтра» не требовали уместности, тогда вырожденный дуальный идеал был бы предварительным фильтром, так что, в частности, с ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {O} (\varnothing )=\{\wp (X)\}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \wp (X)\in \mathbb {O} (S){\text{ for every }}S\subseteq X.}$
9. Это связано с тем, что включение является единственным в приведенной ниже последовательности, доказательство которого использует определяющее предположение, что ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)}$ ${\displaystyle \mathbb {O} (S)\subseteq \mathbb {P} .}$

Доказательства

1. По определению, поскольку транзитивность подразумевает ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {N}}(x).\blacksquare }$

Цитаты

1. Картан 1937а.
2. Вилански 2013, с. 44.
3. Schechter 1996, стр. 155–171.
4. Фернандес-Бретон, Дэвид Дж. (22 декабря 2021 г.). «Использование ультрафильтров для доказательства теорем типа Рамсея». Американский математический ежемесячник . Информа ЮК Лимитед. 129 (2): 116–131. arXiv : 1711.01304 . дои : 10.1080/00029890.2022.2004848. ISSN  0002-9890. S2CID  231592954.
5. Хоуз 1995, стр. 83–92.
6. Dolecki & Mynard 2016, стр. 27–29.
7. Dolecki & Mynard 2016, стр. 33–35.
8. Narici & Beckenstein 2011, стр. 2–7.
9. Часар 1978, стр. 53–65.
10. Бурбаки 1989, с. 58.
11. Шуберт 1968, стр. 48–71.
12. Narici & Beckenstein 2011, стр. 3–4.
13. Дугунджи 1966, стр. 215–221.
14. Дугунджи 1966, с. 215.
15. Wilansky 2013, с. 5.
16. Dolecki & Mynard 2016, с. 10.
17. Schechter 1996, стр. 100–130.
18. Часар 1978, стр. 82–91.
19. Дугунджи 1966, стр. 211–213.
20. Dolecki & Mynard 2016, стр. 27–54.
21. Шехтер 1996, с. 100.
22. Картан 1937б.
23. Часар 1978, стр. 53–65, 82–91.
24. Архангельский и Пономарев 1984, стр. 7–8.
25. Джоши 1983, с. 244.
26. Дугунджи 1966, с. 212.
27. Wilansky 2013, стр. 44–46.
28. Бурбаки 1989, стр. 57–68.
29. Кастильо, Хесус М.Ф.; Монтальво, Франциско (январь 1990 г.), «Контрпример в полуметрических пространствах» (PDF) , Extracta Mathematicae , 5 (1): 38–40
30. Шефер и Вольф 1999, стр. 1–11.
31. Бурбаки 1989, стр. 129–133.
32. Wilansky 2008, стр. 32–35.
33. Дугунджи 1966, стр. 219–221.
34. Jech 2006, стр. 73–89.
35. Часар 1978, стр. 53–65, 82–91, 102–120.
36. Долецки и Минард, 2016, стр. 31–32.
37. Dolecki & Mynard 2016, стр. 37–39.
38. Архангельский и Пономарев 1984, стр. 20–22.
39. Часар 1978, стр. 102–120.
40. Бурбаки 1989, стр. 68–83.
41. Dixmier 1984, стр. 13–18.
42. Бурбаки 1989, стр. 69.
43. Бурбаки 1989, стр. 68–74.
44. Бурбаки 1989, с. 70.
45. Бурбаки 1989, стр. 132–133.
46. Диксмье 1984, стр. 14–17.
47. Келли 1975, стр. 65–72.
48. Брунс Г., Шмидт Дж., Zur Aquivalenz von Moore-Smith-Folgen und Filtern, Math. Нахр. 13 (1955), 169–186.
49. Дугунджи 1966, с. 220–221.
50. Дугунджи 1966, стр. 211–221.
51. Дугунджи 1966, с. 60.
52. Дугунджи 1966, стр. 215–216.
53. Schechter 1996, стр. 157–168.
54. Кларк, Пит Л. (18 октября 2016 г.). «Конвергенция» (PDF) . math.uga.edu/ . Проверено 18 августа 2020 г.
55. Бурбаки 1989, с. 129.
56. Бурбаки 1989, с. 83.
57. Бурбаки 1989, стр. 83–84.
58. Дугунджи 1966, стр. 216.

Рекомендации

• Адамс, Колин ; Францоза, Роберт (2009). Введение в топологию: чистую и прикладную . Нью-Дели: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC  789880519.
• Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Том. 13. Дордрехт Бостон: Д. Рейдель . ISBN 978-90-277-1355-1. ОКЛК  9944489.
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. ОСЛК  878109401.
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. ОСЛК  246032063.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, Ханамантагуда П. (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-9880552-0-9. Архивировано из оригинала 1 апреля 2022 года.
• Картан, Анри (1937a). «Теория фильтров». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 205 : 595–598.
• Картан, Анри (1937b). «Фильтры и ультрафильтры». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 205 : 777–779.
• Комфорт, Уильям Вистар; Негрепонтис, Стилианос (1974). Теория ультрафильтров . Том. 211. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-06604-2. ОСЛК  1205452.
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. ОСЛК  4146011.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. ОСЛК  10277303.
• Долецкий, Шимон; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. ОСЛК  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970. ОЛ  1272666М.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Джех, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. ОСЛК  50422939.
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. ОСЛК  9218750.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. ОСЛК  338047.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Макивер Р., Дэвид (1 июля 2004 г.). «Фильтры в анализе и топологии» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 октября 2007 г.(Содержит вводный обзор фильтров в топологии и метрических пространствах.)
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: ISBN Macdonald & Co. 978-0-356-02077-8. ОСЛК  463753.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4. ОКЛК  227923899.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.