постоянная Эйлера

Разница между логарифмом и гармоническим рядом

Постоянная величина, используемая в математике

Площадь синей области сходится к постоянной Эйлера.

Постоянная Эйлера (иногда называемая константой Эйлера–Маскерони ) — математическая константа , обычно обозначаемая строчной греческой буквой гамма ( γ ), определяемая как предельная разность между гармоническим рядом и натуральным логарифмом , обозначаемым здесь как log :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$$

Здесь ⌊·⌋ представляет функцию пола .

Числовое значение постоянной Эйлера с точностью до 50 знаков после запятой равно: ^[1]

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ... 

История

Константа впервые появилась в статье швейцарского математика Леонарда Эйлера 1734 года под названием De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Эйлер использовал обозначения C и O для константы. В 1790 году итальянский математик Лоренцо Маскерони использовал обозначения A и a для константы. Обозначение γ нигде не появляется ни в трудах Эйлера, ни в трудах Маскерони и было выбрано позднее, возможно, из-за связи константы с гамма-функцией . ^[2] Например, немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер использовал обозначение γ в 1835 году, ^[3] а Август де Морган использовал его в учебнике, опубликованном по частям с 1836 по 1842 год. ^[4]

Появления

Константа Эйлера встречается, среди прочего, в следующем (где «*» означает, что эта запись содержит явное уравнение):

• Выражения, включающие показательный интеграл *
• Преобразование Лапласа * натурального логарифма
• Первый член ряда Лорана для дзета -функции Римана *, где он является первой из констант Стилтьеса *
• Расчеты дигамма-функции
• Формула произведения для гамма-функции
• Асимптотическое разложение гамма -функции для малых аргументов.
• Неравенство для функции Эйлера
• Скорость роста функции делителя
• В размерной регуляризации диаграмм Фейнмана в квантовой теории поля
• Расчет постоянной Мейселя–Мертенса
• Третья теорема Мертенса *
• Решение второго рода уравнения Бесселя
• При регуляризации/ перенормировке гармонического ряда как конечной величины
• Среднее значение распределения Гумбеля
• Информационная энтропия распределений Вейбулла и Леви и, неявно, распределения хи-квадрат для одной или двух степеней свободы.
• Ответ на проблему коллекционера купонов *
• В некоторых формулировках закона Ципфа
• Определение интегрального косинуса *
• Нижние границы простого разрыва
• Верхняя граница энтропии Шеннона в квантовой теории информации ^[5]
• Модель Фишера-Орра для генетики адаптации в эволюционной биологии ^[6]
• Теория сверхпроводимости Бардина–Купера–Шриффера ( теория БКШ ), где она появляется как префактор в уравнении БКШ для критической температуры. ${\displaystyle 2e^{\gamma }/\pi =1.134}$
• Формулировка гипотезы Римана . ^{[7] [8]}

Характеристики

Иррациональность и трансцендентность

Число γ не было доказано алгебраическим или трансцендентным . Фактически, даже неизвестно, является ли γ иррациональным . Вездесущность γ, выявленная большим количеством уравнений ниже, и тот факт, что γ была названа третьей по важности математической константой после π и e ^{[9] [10],} делает иррациональность γ основным открытым вопросом в математике. ^{[11] [12] [13]}

Нерешенная задача по математике :

Является ли постоянная Эйлера иррациональной? Если да, то является ли она трансцендентной?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Однако некоторый прогресс был достигнут. В 1959 году Андрей Шидловский доказал, что по крайней мере одна из констант Эйлера γ и Гомпертца δ иррациональна; ^{[14] [7]} Танги Ривоаль доказал в 2012 году, что по крайней мере одна из них трансцендентна. ^[15] Курт Малер показал в 1968 году, что число трансцендентно (при этом и являются функциями Бесселя ). ^{[16] [2]} Известно, что степень трансцендентности поля равна по крайней мере двум. ^[2] В 2010 году М. Рам Мурти и Н. Сарадха показали, что не более одной из констант Эйлера-Лемера, ai чисел вида ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (e,\gamma ,\delta )}$

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)}$$

является алгебраическим, учитывая, что q ≥ 2 и 1 ≤ a < q ; это семейство включает в себя особый случай γ (2,4) = ⁠γ/4⁠ . ^{[2] [17]} В 2013 году М. Рам Мурти и А. Зайцева нашли другое семейство, содержащее γ , которое основано на суммах обратных величин целых чисел, не делящихся на фиксированный список простых чисел, с тем же свойством. ^{[2] [18]}

Используя анализ цепной дроби , Папаниколау показал в 1997 году, что если γ рационально , то его знаменатель должен быть больше 10 ^{244 663} . ^{[19] [20]} Если e ^γ является рациональным числом, то его знаменатель должен быть больше 10 ^{15 000} . ^[2]

Предполагается, что константа Эйлера не является алгебраическим периодом ^[2], но значения ее первых 109 ^{десятичных} цифр, по-видимому, указывают на то, что она может быть обычным числом ^[21] .

Продолженная дробь

Простая цепная дробь постоянной Эйлера имеет вид: ^[22]

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

который не имеет никакой очевидной закономерности. Известно, что он имеет по крайней мере 16 695 000 000 членов, ^[22] и имеет бесконечно много членов, если и только если γ иррационально.

Пределы Хинчина для (красного), (синего) и (зеленого). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Числовые данные свидетельствуют о том, что как постоянная Эйлера γ, так и постоянная e ^γ входят в число чисел, для которых геометрическое среднее их простых членов непрерывной дроби сходится к постоянной Хинчина . Аналогично, когда являются подходящими дробями их соответствующих непрерывных дробей, предел, по-видимому, сходится к постоянной Леви в обоих случаях. ^[23] Однако ни один из этих пределов не был доказан. ^[24] ${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }q_{n}^{1/n}}$

Существует также обобщенная цепная дробь для постоянной Эйлера. ^[25]

Хорошее простое приближение γ дается обратной величиной квадратного корня из 3 или около 0,57735: [ ^26]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

разница составляет примерно 1 из 7429.

Формулы и тождества

Отношение к гамма-функции

γ связана с дигамма-функцией Ψ и, следовательно, с производной гамма -функции Γ , когда обе функции оцениваются как 1. Таким образом:

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$$

Это равно пределам:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

Дальнейшие предельные результаты: ^[27]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Предел, связанный с бета-функцией (выраженный через гамма-функции ), равен

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

Связь с дзета-функцией

γ также можно выразить как бесконечную сумму , члены которой включают дзета-функцию Римана, вычисленную в положительных целых числах:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$Константу также можно выразить через сумму обратных величин нетривиальных нулей дзета-функции: ^[28] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2}$

Другие серии, связанные с дзета-функцией, включают:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Ошибка в последнем уравнении — быстро убывающая функция n . В результате формула хорошо подходит для эффективного вычисления константы с высокой точностью.

Другим интересным пределом, равным постоянной Эйлера, является антисимметричный предел: ^[29]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

и следующая формула, установленная в 1898 году де ла Валле-Пуссеном :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

где ⌈ ⌉ — потолочные скобки. Эта формула показывает, что при делении любого положительного целого числа n на каждое положительное целое число k , меньшее n , средняя дробь, на которую частное n / k отстает от следующего целого числа, стремится к γ (а не к 0,5), когда n стремится к бесконечности.

Тесно связано с этим выражение рационального ряда дзета . Взяв по отдельности первые несколько членов ряда выше, получаем оценку предела классического ряда:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

где ζ ( s , k ) — дзета-функция Гурвица . Сумма в этом уравнении включает гармонические числа , H _n . Разложение некоторых членов в дзета-функции Гурвица дает:

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$где 0 < ε < ⁠1/252 н ⁶⁠ .

γ также можно выразить следующим образом, где A — константа Глейшера–Кинкелина :

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

γ также можно выразить следующим образом, что можно доказать, представив дзета-функцию в виде ряда Лорана :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$$

Отношение к треугольным числам

Было получено множество формул, выражающих это через суммы и логарифмы треугольных чисел . ^{[30] [31] [32] [33]} Одной из самых ранних из них является формула ^{[34] [35]} для -го гармонического числа, приписываемая Шринивасе Рамануджану , где связано с рядом, который учитывает степени (более раннее, менее обобщаемое доказательство ^{[36] [37]} Эрнесто Чезаро дает первые два члена ряда с ошибочным членом): ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle \ln 2T_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\ln 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}}$

Из приближения Стирлинга ^{[30] [38]} следует аналогичный ряд:

${\displaystyle \gamma =\ln 2\pi -\sum _{k=2}^{n}{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}}$

Ряд обратных треугольных чисел также фигурирует в исследовании Базельской проблемы ^{[39] [40],} поставленной Пьетро Менголи . Менголи доказал, что , результат, который Якоб Бернулли позже использовал для оценки значения , поместив его между и . Это тождество появляется в формуле, использованной Бернхардом Риманом для вычисления корней дзета-функции , ^[41] где выражается через сумму корней плюс разность между разложением Бойи и рядом точных единичных дробей : ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1}$ ${\displaystyle \zeta (2)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle \gamma -\ln 2=\ln 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

Интегралы

γ равно значению ряда определенных интегралов :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\log {\frac {\pi }{4}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\cosh ^{2}x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}}$$где H _x — дробный гармонический номер , а — дробная часть числа . ${\displaystyle \{1/x\}}$ ${\displaystyle 1/x}$

Третью формулу в интегральном списке можно доказать следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

Интеграл во второй строке уравнения обозначает значение функции Дебая +∞ , которое равно m ! ζ ( m + 1) .

Определенные интегралы, в которых появляется γ , включают: ^{[12] [42]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\\\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}\log x}{e^{x}+1}}\,dx&={\frac {1}{2}}\log ^{2}2-\gamma \end{aligned}}}$$

У нас также есть интеграл Каталана 1875 года ^[43]

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

Можно выразить γ, используя частный случай формулы Хаджикостаса в виде двойного интеграла ^{[13] [44]} с эквивалентными рядами:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

Интересное сравнение Сондова ^[44] — двойной интеграл и знакопеременный ряд

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Это показывает, что log ⁠4/π⁠ можно рассматривать как «переменную постоянную Эйлера».

Две константы также связаны парой рядов ^[45]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

где N ₁ ( n ) и N ₀ ( n ) — количество единиц и нулей соответственно в двоичном разложении числа n .

Расширения серии

В общем,

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

для любого α > − n . Однако скорость сходимости этого расширения существенно зависит от α . В частности, γ _n (1/2) демонстрирует гораздо более быструю сходимость, чем обычное расширение γ _n (0) . ^{[46] [47]} Это происходит потому, что

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

пока

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

Тем не менее, существуют и другие ряды разложений, которые сходятся быстрее, чем этот; некоторые из них обсуждаются ниже.

Эйлер показал, что следующий бесконечный ряд приближается к γ : $${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

Ряд для γ эквивалентен ряду, найденному Нильсеном в 1897 году: ^{[27] [48]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

В 1910 году Вакка обнаружил тесно связанные серии ^{[49] [50] [51] [52] [53] [27] [54]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

где log ₂ — логарифм по основанию 2 , а ⌊  ⌋ — функция пола .

Это можно обобщить следующим образом: ^[55]

$${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left\lfloor \log _{B}k\right\rfloor }{k}}\varepsilon (k)}$$где: $${\displaystyle \varepsilon (k)={\begin{cases}B-1,&{\text{if }}B\mid n\\-1,&{\text{if }}B\nmid n\end{cases}}}$$

В 1926 году Вакка нашел вторую серию:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Из разложения Мальмстена – Куммера для логарифма гамма-функции ^[42] получаем:

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

Рамануджан в своей утерянной тетради привел ряд, который приближается к γ ^[56] :

$${\displaystyle \gamma =\log 2-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k={\frac {3^{n-1}+1}{2}}}^{\frac {3^{n}-1}{2}}{\frac {2n}{(3k)^{3}-3k}}}$$

Важное расширение константы Эйлера принадлежит Фонтана и Маскерони.

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$где G _n — коэффициенты Грегори . ^{[27] [54] [57]} Этот ряд является частным случаем k = 1 разложений

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

сходится при k = 1, 2, ...

Аналогичный ряд с числами Коши второго рода C _n имеет вид ^{[54] [58]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$

Blagouchine (2018) нашел интересное обобщение ряда Фонтана–Маскерони

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$$

где ψ _n ( a ) — полиномы Бернулли второго рода , которые определяются производящей функцией

$${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}$$

Для любого рационального a этот ряд содержит только рациональные члены. Например, при a = 1 он становится ^{[59] [60]}

$${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$$Другие ряды с теми же полиномами включают следующие примеры:

$${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$

и

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$$

где Γ( a ) — гамма-функция . ^[57]

Ряд, связанный с алгоритмом Акиямы–Танигавы,

$${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$$

где G _n (2) — коэффициенты Грегори второго порядка. ^[57]

Как ряд простых чисел :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$$

Асимптотические разложения

γ соответствует следующим асимптотическим формулам (где H _n — номер n- й гармоники ):

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$( Эйлер )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$( Негой )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( Чезаро )

Третья формула также называется расширением Рамануджана.

Алабдулмохсин вывел замкнутые выражения для сумм ошибок этих приближений. ^[58] Он показал, что (теорема А.1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}$$

Экспоненциальный

Константа e ^γ важна в теории чисел. Ее численное значение равно: ^[61]

1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

e ^γ равно следующему пределу , где p _n — n - е простое число :

$${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$$

Это перефразирует третью теорему Мертенса . ^[62]

Далее мы имеем следующее произведение, включающее три константы e , π и γ : ^[63]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6e^{\gamma }}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}+1}}.}$$

Другие бесконечные произведения, относящиеся к e ^γ, включают:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$$

Эти продукты являются результатом G -функции Барнса .

Кроме того,

$${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$$

где n-й множитель — это корень степени ( n + 1)

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$$

Это бесконечное произведение, впервые открытое Сером в 1926 году, было переоткрыто Сондовом с использованием гипергеометрических функций . ^[64]

Он также утверждает, что ^[65]

$${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$$

Опубликованные цифры

Первоначально Эйлер вычислил значение константы до 6 знаков после запятой. В 1781 году он вычислил его до 16 знаков после запятой. Маскерони попытался вычислить константу до 32 знаков после запятой, но допустил ошибки в 20–22-м и 31–32-м знаках после запятой; начиная с 20-го знака, он вычислил ... 181 12090082 39 , когда правильное значение равно ... 065 12090082 40 .

Обобщения

Константы Стилтьеса

Обобщенные константы Эйлера abm( - ${\displaystyle \alpha }$ ) для α > 0 .

Обобщенные константы Эйлера определяются как

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right)}$$

для 0 < α < 1 , с γ как частным случаем α = 1. [ ^77] Расширение для α > 1 дает:

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\zeta (\alpha )-{\frac {1}{\alpha -1}}}$$

с новым пределом:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$$

Это можно обобщить еще больше:

$${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$$

для некоторой произвольной убывающей функции f . Установка

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$$

приводит к константам Стилтьеса , которые появляются в разложении дзета-функции Римана в ряд Лорана : ${\displaystyle \gamma _{n}}$

${\displaystyle \zeta (1+s)={\frac {1}{s}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}s^{n}.}$

с ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577\dots }$

Константы Эйлера-Лемера

Константы Эйлера–Лемера определяются путем суммирования обратных чисел в общем классе по модулю: ^[17]

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$$

Основные свойства:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$$

и если наибольший общий делитель gcd( a , q ) = d , то

$${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$$

Константа Массера-Грамана

Двумерным обобщением постоянной Эйлера является константа Массера-Грамана . Она определяется как следующая предельная разность: ^[78]

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{\pi r_{k}^{2}}}\right)}$

где — наименьший радиус диска в комплексной плоскости, содержащего по крайней мере гауссовы целые числа . ${\displaystyle r_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Были установлены следующие границы: . ^[79] ${\displaystyle 1.819776<\delta <1.819833}$

Смотрите также

• Гармонический ряд
• Дзета-функция Римана
• Константы Стилтьеса
• постоянная Мейсселя-Мертенса

Ссылки

• Бретшнайдер, Карл Антон (1837) [1835]. «Теории логарифмов интегралис линеамента новая». Журнал Крелля (на латыни). 17 : 257–285.
• Havil, Julian (2003). Гамма: исследование константы Эйлера . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09983-5.
• Lagarias, Jeffrey C. (2013). "Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки". Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . doi : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. S2CID  119612431.

Сноски

1. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A001620 (Десятичное разложение постоянной Эйлера (или постоянной Эйлера-Маскерони), гамма)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
2. Лагариас 2013.
3. Бретшнайдер 1837, « γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3... » на стр. 260.
4. Де Морган, Август (1836–1842). Дифференциальное и интегральное исчисление . Лондон: Baldwin and Craddoc. « γ » на стр. 578.
5. Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А. (1996). «Квантовая информация: сколько информации в векторе состояния?». Дилемма Эйнштейна, Подольского и Розена – 60 лет спустя . Израильское физическое общество. arXiv : quant-ph/9601025 . Bibcode : 1996quant.ph..1025C. ISBN 9780750303941. OCLC  36922834.
6. Конналлон, Тим; Ходжинс, Кэтрин А. (октябрь 2021 г.). «Аллен Орр и генетика адаптации». Эволюция . 75 (11): 2624–2640. doi :10.1111/evo.14372. PMID  34606622. S2CID  238357410.
7. Вальдшмидт, Мишель (2023). «О постоянной Эйлера» (PDF) . Университет Сорбонны, Институт математики де Жюсье, Париж.
8. Робин, Гай (1984). «Великие ценности некоторых делителей и гипотезы Римана» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 63 : 187–213.
9. "Константа Эйлера". num.math.uni-goettingen.de . Получено 2024-10-19 .
10. Финч, Стивен Р. (2003-08-18). Математические константы. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81805-6.
11. Вальдшмидт, Мишель (2023). «Некоторые из самых известных открытых проблем в теории чисел» (PDF) .
12. Weisstein, Eric W. "Константа Эйлера-Маскерони". mathworld.wolfram.com . Получено 19 октября 2024 г.
13. См. также Sondow, Jonathan (2003). «Критерии иррациональности постоянной Эйлера». Труды Американского математического общества . 131 (11): 3335–3344. arXiv : math.NT/0209070 . doi :10.1090/S0002-9939-03-07081-3. S2CID  91176597.
14. Аптекарев, А.И. (28 февраля 2009 г.). «О линейных формах, содержащих постоянную Эйлера». arXiv : 0902.1768 [math.NT].
15. Ривоаль, Танги (2012). «Об арифметической природе значений гамма-функции, постоянной Эйлера и постоянной Гомпертца». Michigan Mathematical Journal . 61 (2): 239–254. doi : 10.1307/mmj/1339011525 . ISSN  0026-2285.
16. Малер, Курт; Морделл, Луис Джоэл (4 июня 1968 г.). «Применение теоремы А. Б. Шидловски». Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 305 (1481): 149–173. Bibcode : 1968RSPSA.305..149M. doi : 10.1098/rspa.1968.0111. S2CID  123486171.
17. Ram Murty, M.; Saradha, N. (2010). «Константы Эйлера–Лемера и гипотеза Эрдёша». Журнал теории чисел . 130 (12): 2671–2681. doi : 10.1016/j.jnt.2010.07.004 . ISSN  0022-314X.
18. Murty, M. Ram; Zaytseva, Anastasia (2013). «Трансцендентность обобщенных констант Эйлера». The American Mathematical Monthly . 120 (1): 48–54. doi :10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. S2CID  20495981.
19. Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). "Быстрая оценка с множественной точностью рядов рациональных чисел". В Buhler, Joe P. (ред.). Algorithmic Number Theory . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 1423. Springer. pp. 338–350. doi :10.1007/bfb0054873. ISBN 9783540691136.
20. Папаниколау, Т. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek für алгоритмисче Zahlentheorie (Диссертация) (на немецком языке). Университет Саара.
21. Weisstein, Eric W. "Постоянные цифры Эйлера-Маскерони". mathworld.wolfram.com . Получено 19 октября 2024 г.
22. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A002852 (непрерывная дробь для постоянной Эйлера)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
23. Брент, Ричард П. (1977). «Вычисление регулярной непрерывной дроби для постоянной Эйлера». Математика вычислений . 31 (139): 771–777. doi :10.2307/2006010. ISSN  0025-5718.
24. Weisstein, Eric W. "Константа Эйлера-Маскерони непрерывная дробь". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-09-23 .
25. Пилеруд, Ходабахш Хессами; Пилеруд, Татьяна Хессами (29.12.2013), О разложении в непрерывную дробь постоянной Эйлера, doi :10.48550/arXiv.1010.1420 , получено 27.10.2024
26. Weisstein, Eric W. "Приближения констант Эйлера-Маскерони". mathworld.wolfram.com . Получено 19 октября 2024 г.
27. Кремер, Стефан (2005). Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen (на немецком языке). Университет Геттингена.
28. Вольф, Марек (2019). "6+бесконечность новых выражений для константы Эйлера-Маскерони". arXiv : 1904.09855 [math.NT]. Приведенная выше сумма является действительной и сходящейся, когда нули и комплексно сопряженные числа объединяются вместе и суммируются в соответствии с возрастающими абсолютными значениями мнимых частей . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho }$См. формулу 11 на стр. 3. Обратите внимание на типографскую ошибку в числителе суммы Вольфа по нулям, которая должна быть равна 2, а не 1.
29. Sondow, Jonathan (1998). "Антисимметричная формула для константы Эйлера". Mathematics Magazine . 71 (3): 219–220. doi :10.1080/0025570X.1998.11996638. Архивировано из оригинала 2011-06-04 . Получено 2006-05-29 .
30. Бойя, ЖЖ (2008). «Еще одна связь между π, e, γ и ζ(n)». Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Серия А. Математикас . 102 (2): 199–202. дои : 10.1007/BF03191819. γ/2 в (10), конечно, отражает невязку (конечную часть) ζ(1)/2.См. формулы 1 и 10.
31. Sondow, Jonathan (2005). «Двойные интегралы для постоянной Эйлера и 4 π {\displaystyle \textstyle {\frac {4}{\pi }}} и аналог формулы Хаджикостаса». The American Mathematical Monthly . 112 (1): 61–65. doi :10.2307/30037385. JSTOR  30037385 . Получено 27.04.2024 .
32. Чэнь, Чао-Пин (2018). «Формула Рамануджана для гармонического числа». Прикладная математика и вычисления . 317 : 121–128. doi : 10.1016/j.amc.2017.08.053. ISSN  0096-3003 . Получено 27.04.2024 .
33. Лодж, А. (1904). «Приближенное выражение для значения 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/r». Вестник математики . 30 : 103–107.
34. Вилларино, Марк Б. (2007). "Разложение гармонических чисел Рамануджана в отрицательные степени треугольного числа". arXiv : 0707.3950 [math.CA]. Было бы также интересно разработать разложение для n! в степени m, новое разложение Стерлинга , так сказать.См. формулу 1.8 на стр. 3.
35. Мортичи, Кристинель (2010). «О разложении Стирлинга в отрицательные степени треугольного числа». Math. Commun . 15 : 359–364.
36. Чезаро, Э. (1885). «Сюр-ла-серия гармоника». Новые анналы математики: Журнал кандидатов в политехнические и нормальные школы (на французском языке). 4 . Карилиан-Гёри и др. Фор Дальмонт: 295–296.
37. Бромвич, Томас Джон Айансон (2005) [1908]. Введение в теорию бесконечных рядов (PDF) (3-е изд.). Великобритания: Американское математическое общество. стр. 460.См. упражнение 18.
38. Уиттекер, Э.; Уотсон, Г. (2021) [1902]. Курс современного анализа (5-е изд.). С. 271, 275. doi :10.1017/9781009004091. ISBN 9781316518939.См. примеры 12.21 и 12.50 для упражнений по выводу интегральной формы ряда . ${\displaystyle \textstyle \int _{-1}^{0}\ln \Gamma (z+1)\,dz}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\zeta (k)}{110_{k}}}=\ln({\sqrt {2\pi }})}$
39. Лагариас 2013, стр. 13.
40. Нельсен, РБ (1991). «Доказательство без слов: сумма обратных треугольных чисел». Журнал математики . 64 (3): 167. doi :10.1080/0025570X.1991.11977600.
41. Эдвардс, Х. М. (1974). Дзета-функция Римана . Чистая и прикладная математика, т. 58. Academic Press. стр. 67, 159.
42. Blagouchine, Iaroslav V. (2014-10-01). "Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты". The Ramanujan Journal . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. ISSN  1572-9303.
43. Sondow, Jonathan; Zudilin, Wadim (2006). «Константа Эйлера, q -логарифмы и формулы Рамануджана и Госпера». The Ramanujan Journal . 12 (2): 225–244. arXiv : math.NT/0304021 . doi :10.1007/s11139-006-0075-1. S2CID  1368088.
44. Sondow, Jonathan (2005). «Двойные интегралы для постоянной Эйлера и аналог формулы Хаджикостаса». American Mathematical Monthly . 112 (1): 61–65. arXiv : math.CA/0211148 . doi :10.2307/30037385. JSTOR  30037385. ${\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}$
45. Сондов, Джонатан (1 августа 2005a). Новый рациональный ряд типа Вакки для постоянной Эйлера и ее «переменный» аналог . arXiv : math.NT/0508042 . ${\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}$
46. DeTemple, Duane W. (май 1993 г.). «Более быстрая сходимость к константе Эйлера». The American Mathematical Monthly . 100 (5): 468–470. doi :10.2307/2324300. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324300.
47. Havil 2003, стр. 75–8.
48. Благушин 2016.
49. Вакка, Г. (1910). «Новое аналитическое выражение для числа π и некоторые исторические соображения». Бюллетень Американского математического общества . 16 : 368–369. doi : 10.1090/S0002-9904-1910-01919-4 .
50. Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1910). «О серии доктора Вакки для γ ». QJ Pure Appl. Математика . 41 : 365–368.
51. Харди, GH (1912). «Заметка о ряде доктора Вакки для γ ». QJ Pure Appl. Math . 43 : 215–216.
52. Вакка, Г. (1926). «Новая серия для стоимости Эйлеро, C = 0,577...». Рендиконти, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche». Matematiche e Naturali (на итальянском языке). 6 (3): 19–20.
53. Клюйвер, Дж. К. (1927). «О некоторых рядах мистера Харди». QJ Pure Appl. Math . 50 : 185–192.
54. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). «Разложения обобщенных констант Эйлера в ряды полиномов от π ⁻² и в формальные обволакивающие ряды только с рациональными коэффициентами». J. Number Theory . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . doi :10.1016/j.jnt.2015.06.012.
55. Pilehrood, Khodabakhsh Hessami; Pilehrood, Tatiana Hessami (2008-08-04), Ряды типа Вакки для значений функции обобщенной постоянной Эйлера и ее производной, doi :10.48550/arXiv.0808.0410 , получено 2024-10-08
56. Берндт, Брюс С. (январь 2008 г.). «Фрагмент константы Эйлера в утерянной записной книжке Рамануджана». South East Asian J. Math. & Math. Sc . 6 (2): 17–22.
57. Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций". INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory . 18A (#A3): 1–45. arXiv : 1606.02044 . Bibcode :2016arXiv160602044B.
58. Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018). Summability Calculus. A Comprehensive Theory of Fractional Finite Sums . Springer . С. 147–8. ISBN 9783319746487.
59. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A302120 (Абсолютное значение числителей ряда, сходящегося к постоянной Эйлера)». Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
60. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A302121 (Знаменатели ряда, сходящегося к постоянной Эйлера)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
61. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A073004 (Десятичное разложение exp(gamma))". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
62. Рамаре, Оливье (2022). Экскурсии в теорию мультипликативных чисел. Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks. Базель: Birkhäuser/Springer. стр. 131. doi :10.1007/978-3-030-73169-4. ISBN 978-3-030-73168-7. MR  4400952. S2CID  247271545.
63. Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Мертенса». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 октября 2024 г.
64. Сондов, Джонатан (2003). «Бесконечное произведение для e ^γ с помощью гипергеометрических формул для постоянной Эйлера, γ ». arXiv : math.CA/0306008 .
65. Чой, Джунесанг; Шривастава, ХМ (1 сентября 2010 г.). "Интегральные представления для константы Эйлера–Маскерони γ ". Интегральные преобразования и специальные функции . 21 (9): 675–690. doi :10.1080/10652461003593294. ISSN  1065-2469. S2CID  123698377.
66. Эттингер, Людвиг (1 января 1862 г.). «Ueber die richtige Werthbestimmung der Constante des Integrallogarithmus». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 60 : 375–376. дои : 10.1515/crll.1862.60.375. ISSN  1435-5345.
67. "I. О вычислении численного значения постоянной Эйлера, которую профессор Прайс из Оксфорда называет E". Труды Лондонского королевского общества . 15 : 429–432. 1867-12-31. doi :10.1098/rspl.1866.0100. ISSN  0370-1662.
68. Фишер, Хельмут; Целлер, Карл (1961). «Бернуллише Зален и Эйлерше Константе». zbmath.org (на немецком языке) . Проверено 27 октября 2024 г.
69. Кнут, Дональд Э. (июль 1962 г.). «Константа Эйлера до 1271 знака». Математика вычислений . 16 (79). Американское математическое общество : 275–281. doi :10.2307/2004048. JSTOR  2004048.
70. Суини, Дура В. (1963). «О вычислении постоянной Эйлера». Математика вычислений . 17 (82): 170–178. doi :10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X. ISSN  0025-5718.
71. Бейер, WA; Уотерман, MS (1974). «Анализ ошибок вычисления постоянной Эйлера». Математика вычислений . 28 (126): 599–604. doi :10.2307/2005935. ISSN  0025-5718.
72. Брент, Ричард П.; Макмиллан, Эдвин М. (1980). «Некоторые новые алгоритмы для высокоточного вычисления постоянной Эйлера». Математика вычислений . 34 (149): 305–312. doi :10.1090/S0025-5718-1980-0551307-4. ISSN  0025-5718.
73. Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2004). "Константа Эйлера: γ" (PDF) . scipp.ucsc.edu . Получено 27.10.2024 .
74. Йи, Александр Дж. (7 марта 2011 г.). «Большие вычисления». www.numberworld.org .
75. Йи, Александр Дж. "Records Set by y-cruncher". www.numberworld.org . Получено 30 апреля 2018 г. .
    Йи, Александр Дж. «y-cruncher — многопоточная Pi-программа». www.numberworld.org .
76. "Константа Эйлера-Маскерони". Polymath Collector . 15 февраля 2020 г.
77. Havil 2003, стр. 117–118.
78. Weisstein, Eric W. "Константа Массера-Грамана". mathworld.wolfram.com . Получено 19 октября 2024 г.
79. Мелькион, Гийом; Новак, В. Георг; Циммерман, Пауль. "Численное приближение константы Массера-Грамана к четырем десятичным знакам" (PDF) . Получено 2024-10-03 .

Дальнейшее чтение

• Борвейн, Джонатан М.; Дэвид М. Брэдли; Ричард Э. Крэндалл (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана». Журнал вычислительной и прикладной математики . 121 (1–2): 11. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .Выводит γ как суммы по дзета-функциям Римана.
• Финч, Стивен Р. (2003). Математические константы . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 94. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81805-2.
• Герст, И. (1969). «Некоторые ряды для постоянной Эйлера». Amer. Math. Monthly . 76 (3): 237–275. doi :10.2307/2316370. JSTOR  2316370.
• Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1872). «К истории постоянной Эйлера». Вестник математики . 1 : 25–30. JFM  03.0130.01.
• Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2002). «Сборник формул для постоянной Эйлера, γ».
• Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2004). «Константа Эйлера: γ».
• Карацуба, Е.А. (1991). «Быстрое вычисление трансцендентных функций». Probl. Inf. Transm . 27 (44): 339–360.
• Карацуба, Е.А. (2000). «О вычислении постоянной Эйлера γ ». Журнал численных алгоритмов . 24 (1–2): 83–97. doi :10.1023/A:1019137125281. S2CID  21545868.
• Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования, т. 1 (3-е изд.). Addison-Wesley. стр. 75, 107, 114, 619–620. ISBN 0-201-89683-4.
• Лемер, Д. Х. (1975). «Константы Эйлера для арифметических прогрессий» (PDF) . Acta Arith . 27 (1): 125–142. doi : 10.4064/aa-27-1-125-142 .
• Лерх, М. (1897). «Новые выражения константы Эйлера». Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften . 42 :5.
• Маскерони, Лоренцо (1790). Adnotationes ad Calculum Integrem Euleri, in quibus Nonnulla Issueta Ab Eulero proposita resolvuntur . Галеати, Тичини.
• Sondow, Jonathan (2002). «Гипергеометрический подход к критериям иррациональности постоянной Эйлера с помощью линейных форм, включающих логарифмы». Mathematica Slovaca . 59 : 307–314. arXiv : math.NT/0211075 . Bibcode :2002math.....11075S. doi :10.2478/s12175-009-0127-2. S2CID  16340929.с приложением Сергея Злобина

Внешние ссылки

• «Константа Эйлера». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Эйлера – Маскерони». Математический мир .
• Джонатан Сондоу.
• Быстрые алгоритмы и метод FEE, Е.А. Карацуба (2005)
• Дополнительные формулы, использующие константу: Гурдон и Себах (2004).