Конструируемая вселенная

Особый класс множеств, которые можно полностью описать в терминах более простых множеств.

В математике , в теории множеств , конструктивная вселенная (или конструктивная вселенная Гёделя ), обозначаемая как , представляет собой особый класс множеств , которые могут быть полностью описаны в терминах более простых множеств. является объединением конструктивной иерархии . Она была введена Куртом Гёделем в его статье 1938 года «Непротиворечивость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы». ^[1] В этой статье он доказал, что конструктивная вселенная является внутренней моделью теории множеств ZF (то есть теории множеств Цермело–Френкеля с исключенной аксиомой выбора ), а также что аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза истинны в конструктивной вселенной. Это показывает, что оба предложения согласуются с основными аксиомами теории множеств, если само ZF непротиворечиво. Поскольку многие другие теоремы справедливы только в системах, в которых одно или оба предложения истинны, их непротиворечивость является важным результатом. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$

Что такое L?

${\displaystyle L}$можно рассматривать как построенную в "этапы", напоминающие построение вселенной фон Неймана , . Этапы индексируются порядковыми числами . Во вселенной фон Неймана на последующем этапе принимается множество всех подмножеств предыдущей стадии, . Напротив, в конструируемой вселенной Гёделя используются только те подмножества предыдущей стадии, которые: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

• определяемая формулой на формальном языке теории множеств,
• с параметрами предыдущего этапа и,
• при этом квантификаторы интерпретируются как ранжирующиеся по предыдущему этапу.

Ограничиваясь множествами, определенными только в терминах того, что уже построено, можно гарантировать, что полученные множества будут построены таким образом, который не зависит от особенностей окружающей модели теории множеств и содержится в любой такой модели.

Определим оператор Def: ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ is a first-order formula and }}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

${\displaystyle L}$определяется трансфинитной рекурсией следующим образом:

• ${\displaystyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).}$
• Если — предельный ординал , то Здесь означает, что предшествует . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.}$Здесь Ord обозначает класс всех ординалов.

Если является элементом , то . ^[3] Так же является подмножеством , которое является подмножеством множества мощности . Следовательно, это башня вложенных транзитивных множеств . Но само по себе является собственным классом . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z=\{y\in L_{\alpha }\ {\text{and}}\ y\in z\}\in {\textrm {Def}}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

Элементы из называются «конструируемыми» множествами; а само по себе является «конструируемой вселенной». « Аксиома конструируемости », также известная как « », гласит, что каждое множество (из ) является конструируемым, т.е. в . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Дополнительные факты о множествах Lα

Эквивалентное определение для : ${\displaystyle L_{\alpha }}$

Для любого порядкового числа , . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!}$

Для любого конечного ординала множества и одинаковы ( равны они или нет), и, таким образом , = : их элементы — это в точности наследственно конечные множества . Равенство за пределами этой точки не выполняется. Даже в моделях ZFC , в которых равняется , является собственным подмножеством , а затем является собственным подмножеством множества мощности для всех . С другой стороны, подразумевает, что равняется , если , например, если недоступно. В более общем смысле подразумевает = для всех бесконечных кардиналов . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle V_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >\omega }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =\omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Если — бесконечный ординал, то между и существует биекция , и эта биекция конструируема. Таким образом, эти множества равночисленны в любой модели теории множеств, которая их включает. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Как определено выше, представляет собой множество подмножеств , определяемых формулами (относительно иерархии Леви , т.е. формулами теории множеств, содержащими только ограниченные кванторы ), которые используют в качестве параметров только и его элементы. ^[4] ${\displaystyle {\textrm {Def}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle X}$

Другое определение, данное Гёделем, характеризует каждое из них как пересечение множества степеней с замыканием под совокупностью девяти явных функций, аналогично операциям Гёделя . Это определение не ссылается на определимость. ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}}$

Все арифметические подмножества и отношения на принадлежат (потому что арифметическое определение дает единицу в ). Наоборот, любое подмножество принадлежащее является арифметическим (потому что элементы из могут быть закодированы натуральными числами таким образом, что это определимо, т.е. арифметично). С другой стороны, уже содержит некоторые неарифметические подмножества , такие как множество (кодирование натуральных чисел) истинных арифметических утверждений (это можно определить из , поэтому оно находится в ). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$

Все гиперарифметические подмножества и отношения на принадлежат (где обозначает ординал Чёрча-Клини ), и наоборот, любое подмножество , принадлежащее является гиперарифметическим. ^[5] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$

L — стандартная внутренняя модель ZFC

${\displaystyle (L,\in )}$является стандартной моделью, т.е. является транзитивным классом , а интерпретация использует отношение действительных элементов, поэтому она является обоснованной . является внутренней моделью, т.е. содержит все порядковые числа и не имеет «дополнительных» множеств, кроме тех, что в . Однако может быть строго подклассом . является моделью ZFC , что означает, что она удовлетворяет следующим аксиомам : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома регулярности : Каждое непустое множество содержит некоторый элемент, такой что и являются непересекающимися множествами. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (L,\in )}$является подструктурой , которая хорошо обоснована, поэтому хорошо обоснована. В частности, если , то по транзитивности , . Если мы используем это то же самое , что и в , то оно все еще не пересекается с , поскольку мы используем то же самое отношение элемента и новые множества не были добавлены. ${\displaystyle (V,\in )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in x\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

• Аксиома экстенсиональности : два множества одинаковы, если они состоят из одних и тех же элементов.

Если и находятся в и имеют одинаковые элементы в , то по транзитивности они имеют одинаковые элементы (в ). Поэтому они равны (в и, следовательно, в ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома пустого множества : {} — множество.

${\displaystyle \{\}=L_{0}=\{y\mid y\in L_{0}\land y=y\}}$, который находится в . Итак . Поскольку отношение элементов то же самое и новые элементы не были добавлены, это пустой набор . ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle \{\}\in L}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома сопряжения : Если — множества, то — множество. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Если и , то существует некоторый ординал такой, что и . Тогда . Таким образом , и имеет то же значение для , что и для . ${\displaystyle x\in L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{x,y\}=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;(s=x\;\mathrm {or} \;s=y)\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \{x,y\}\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$

• Аксиома объединения : Для любого множества существует множество , элементы которого в точности совпадают с элементами элементов множества . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Если , то его элементы находятся в , а их элементы также находятся в . Так что является подмножеством . Тогда . Таким образом . ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;z\in x\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;s\in z\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y\in L}$

• Аксиома бесконечности : существует множество такое, что входит в , и если входит в , то входит и объединение . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\cup \{y\}}$

Трансфинитную индукцию можно использовать для того, чтобы показать, что каждый ординал принадлежит . В частности, и, таким образом , . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L}$

• Аксиома разделения : Для любого множества и любого предложения существует множество. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\}}$

Индукцией по подформулам можно показать, что существует такое , которое содержит и и ( истинно в тогда и только тогда, когда истинно в ), последнее называется « принципом отражения »). Так что = . Таким образом, подмножество находится в . ^[6] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L_{\alpha }\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома замены : Для любого множества и любого отображения (формально определяемого как предложение , где и подразумевает ), есть множество. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,z)}$ ${\displaystyle y=z}$ ${\displaystyle \{y\mid \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\}}$

Пусть будет формулой, которая релятивизируется к , т. е. все кванторы в ограничены . — гораздо более сложная формула, чем , но она все еще конечная формула, и поскольку была отображением над , должна быть отображением над ; таким образом, мы можем применить замену в к . Так что = — это множество в и подкласс . Снова используя аксиому замены в , мы можем показать, что должно быть такое , что это множество является подмножеством . Затем можно использовать аксиому разделения в , чтобы закончить показывать, что это элемент ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{y\mid y\in L\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{y\mid \mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;\mathrm {x} \in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;Q(x,y)\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома степенного множества : Для любого множества существует множество , элементы которого являются в точности подмножествами . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

В общем случае некоторые подмножества множества в не будут находиться в . Поэтому весь набор мощности множества в обычно не будет находиться в . Здесь нам нужно показать, что пересечение набора мощности с находится в . Используйте замену в , чтобы показать, что существует α, такое что пересечение является подмножеством . Тогда пересечение равно . Таким образом, требуемый набор находится в . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{z\mid z\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;z\;\mathrm {is} \;\mathrm {a} \;\mathrm {subset} \;\mathrm {of} \;x\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• Аксиома выбора : если задано множество взаимно непересекающихся непустых множеств, то существует множество (множество выбора для ), содержащее ровно один элемент из каждого члена . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Можно показать, что существует определяемое вполне упорядоченное множество L , в частности, основанное на упорядочении всех множеств в по их определениям и по рангу, в котором они появляются. Поэтому выбирается наименьший элемент каждого члена из для формирования с использованием аксиом объединения и разделения в ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

Обратите внимание, что доказательство того, что является моделью ZFC, требует только того, чтобы было моделью ZF, т.е. мы не предполагаем, что аксиома выбора выполняется в . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

L абсолютен и минимален

Если — любая стандартная модель ZF, разделяющая те же ординалы , что и , то определенное в то же самое, что и определенное в . В частности, является тем же самым в и для любого ординала . И те же самые формулы и параметры в производят те же самые конструктивные множества в . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

Более того, поскольку является подклассом и, аналогично, является подклассом , является наименьшим классом, содержащим все ординалы, который является стандартной моделью ZF. Действительно, является пересечением всех таких классов. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Если существует множество в , которое является стандартной моделью ZF, а ординал — это множество ординалов, которые встречаются в , то является множеством из . Если существует множество, которое является стандартной моделью ZF, то наименьшим таким множеством является такое . Это множество называется минимальной моделью ZFC. Используя нисходящую теорему Лёвенгейма–Скулема , можно показать, что минимальная модель (если она существует) является счетным множеством. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$

Конечно, любая непротиворечивая теория должна иметь модель, поэтому даже в минимальной модели теории множеств есть множества, которые являются моделями ZF (предполагая, что ZF непротиворечива). Однако эти модели множеств нестандартны. В частности, они не используют нормальное отношение элементов и не являются хорошо обоснованными.

Поскольку и « сконструированный внутри » и « сконструированный внутри » приводят к реальному , и оба из и из являются реальными , мы получаем, что верно в и в любой , которая является моделью ZF. Однако не выполняется ни в одной другой стандартной модели ZF. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$

L и большие кардиналы

Так как , свойства ординалов, зависящие от отсутствия функции или другой структуры (т. е. формулы), сохраняются при переходе от к . Следовательно, начальные ординалы кардиналов остаются начальными в . Регулярные ординалы остаются регулярными в . Слабые предельные кардиналы становятся сильными предельными кардиналами в , поскольку обобщенная гипотеза континуума верна в . Слабо недоступные кардиналы становятся сильно недоступными. Слабо кардиналы Мало становятся сильно Мало. И в более общем случае любое большое кардинальное свойство слабее 0 # (см. список больших кардинальных свойств ) будет сохранено в . ${\displaystyle \mathrm {Ord} \subset L\subseteq V}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{\mathrm {ZF} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Однако, ложно в , даже если истинно в . Таким образом, все большие кардиналы, существование которых подразумевает, перестают иметь эти большие кардинальные свойства, но сохраняют свойства слабее, чем те, которыми они также обладают. Например, измеримые кардиналы перестают быть измеримыми, но остаются Мало в . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

Если выполняется в , то существует замкнутый неограниченный класс ординалов, которые неразличимы в . Хотя некоторые из них даже не являются начальными ординалами в , они обладают всеми большими кардинальными свойствами, более слабыми, чем в . Более того, любая строго возрастающая функция класса из класса неразличимых в себя может быть расширена единственным образом до элементарного вложения в . [ требуется ссылка ] Это дает ^{хорошую структуру повторяющихся} сегментов . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

L может быть вполне упорядоченным

Существуют различные способы хорошо упорядочить . Некоторые из них включают в себя «тонкую структуру» , которая была впервые описана Рональдом Бьорном Йенсеном в его статье 1972 года под названием «Тонкая структура конструктивной иерархии». Вместо объяснения тонкой структуры мы дадим схему того, как можно было бы хорошо упорядочить , используя только определение, данное выше. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Предположим, что и являются двумя различными множествами в и мы хотим определить, является ли или . Если впервые появляется в и впервые появляется в и отличается от , то пусть < тогда и только тогда, когда . В дальнейшем мы предполагаем, что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle \beta =\alpha }$

Этап использует формулы с параметрами из для определения множеств и . Если на время отбросить параметры, то формулам можно задать стандартную гёделевскую нумерацию натуральными числами. Если — формула с наименьшим гёделевским номером, которую можно использовать для определения , а — формула с наименьшим гёделевским номером, которую можно использовать для определения , и отличается от , то пусть < тогда и только тогда, когда в гёделевской нумерации. В дальнейшем мы предполагаем, что . ${\displaystyle L_{\alpha +1}=\mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi <\Psi }$ ${\displaystyle \Psi =\Phi }$

Предположим, что использует параметры из . Предположим, что это последовательность параметров, которая может быть использована с для определения , и делает то же самое для . Тогда пусть тогда и только тогда, когда или ( и ) или ( и и ) и т. д. Это называется обратным лексикографическим упорядочением ; если есть несколько последовательностей параметров, которые определяют один из наборов, мы выбираем наименьшее из них в этом порядке. При этом подразумевается, что возможные значения каждого параметра упорядочены в соответствии с ограничением упорядочения по , поэтому это определение включает трансфинитную рекурсию по . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z_{n}<w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}<w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}=w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n-2}<w_{n-2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Вполне упорядоченные значения отдельных параметров обеспечиваются индуктивной гипотезой трансфинитной индукции. Значения -кортежей параметров вполне упорядочены упорядочением произведения. Формулы с параметрами вполне упорядочены упорядоченной суммой (числами Гёделя) вполне упорядоченных значений. И вполне упорядочены упорядоченной суммой (индексированной по ) упорядочений по . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

Обратите внимание, что этот хороший порядок может быть определен внутри себя формулой теории множеств без параметров, только со свободными переменными и . И эта формула дает одно и то же значение истинности независимо от того, вычисляется ли она в , , или (какой-то другой стандартной модели ZF с теми же порядковыми числами), и мы предположим, что формула ложна, если либо или не находится в . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

Хорошо известно, что аксиома выбора эквивалентна способности хорошо упорядочить каждое множество. Способность хорошо упорядочить надлежащий класс (как мы сделали здесь с ) эквивалентна аксиоме глобального выбора , которая более мощна, чем обычная аксиома выбора , поскольку она также охватывает надлежащие классы непустых множеств. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Лимеет принцип отражения

Доказательство того, что аксиома разделения , аксиома замены и аксиома выбора выполняются, требует (по крайней мере, как показано выше) использования принципа отражения для . Здесь мы описываем такой принцип. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Индукцией по мы можем использовать ZF в , чтобы доказать, что для любого ординала существует ординал такой, что для любого предложения с в и содержащего меньше символов (считая постоянный символ для элемента за один символ), мы получаем, что выполняется в тогда и только тогда, когда оно выполняется в . ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta >\alpha }$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L}$

Обобщенная гипотеза континуума верна в L

Пусть , и пусть будет любым конструктивным подмножеством . Тогда есть некоторое с , так что , для некоторой формулы и некоторые взяты из . По нисходящей теореме Лёвенгейма–Сколема и коллапсу Мостовского должно быть некоторое транзитивное множество, содержащее и некоторые , и имеющее ту же теорию первого порядка, что и с заменой на ; и это будет иметь тот же кардинал, что и . Поскольку истинно в , оно также истинно в K , так что для некоторых, имеющих тот же кардинал, что и . И поскольку и имеют ту же теорию. Так что на самом деле в . ${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K=L_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{\gamma }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\gamma +1}}$

Итак, все конструктивные подмножества бесконечного множества имеют ранги с (максимум) тем же кардиналом , что и ранг ; отсюда следует, что если — начальный порядковый номер для , то служит «множеством мощности» для внутри Таким образом, этот «множество мощности» . А это, в свою очередь, означает, что «множество мощности» для имеет кардинал не более . Предполагая, что само имеет кардинал , «множество мощности» должно тогда иметь кардинал ровно . Но это в точности обобщенная континуум-гипотеза, релятивизированная до . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \vert \delta \vert }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L}$

Конструируемые множества определяются из порядковых чисел

Существует формула теории множеств, которая выражает идею о том, что . Она имеет только свободные переменные для и . Используя это, мы можем расширить определение каждого конструируемого множества. Если , то для некоторой формулы и некоторых в . Это эквивалентно утверждению, что: для всех , тогда и только тогда, когда [существует такое, что и и ] где является результатом ограничения каждого квантификатора в до . Обратите внимание, что каждый для некоторых . Объедините формулы для с формулой для и примените квантификаторы существования над ' снаружи , и вы получите формулу, которая определяет конструируемое множество, используя только порядковые числа , которые появляются в выражениях, например, в качестве параметров. ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle S=\{y\mid y\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;(L_{\alpha },\in )\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \Psi (X,y,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \Psi (X,\ldots )}$ ${\displaystyle \Phi (\ldots )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z_{k}\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x=L_{\alpha }}$

Пример: Множество конструируемо. Это единственное множество , которое удовлетворяет формуле: ${\displaystyle \{5,\omega \}}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))}$$

где — это сокращение от: ${\displaystyle Ord(a)}$

$${\displaystyle \forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).}$$

На самом деле, даже эта сложная формула была упрощена по сравнению с тем, что дали бы инструкции, данные в первом абзаце. Но суть остается, есть формула теории множеств, которая верна только для желаемого конструируемого множества и которая содержит параметры только для ординалов. ${\displaystyle S}$

Относительная конструктивность

Иногда желательно найти модель теории множеств, которая является узкой, как , но которая включает или находится под влиянием множества, которое не является конструируемым. Это приводит к концепции относительной конструируемости, которая имеет два вида, обозначаемые и . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$

Класс неконструируемого множества представляет собой пересечение всех классов, которые являются стандартными моделями теории множеств и содержат все порядковые числа. ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle L(A)}$определяется трансфинитной рекурсией следующим образом:

• ${\displaystyle L_{0}(A)}$= наименьшее транзитивное множество, содержащее в качестве элемента, т.е. транзитивное замыкание . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A\}}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}(A)}$= ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha }(A))}$
• Если — предельный ординал, то . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)}$
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)}$.

Если содержит вполне упорядоченное транзитивное замыкание , то это можно расширить до вполне упорядоченного . В противном случае аксиома выбора не будет выполнена в . ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L(A)}$

Типичным примером является наименьшая модель, содержащая все действительные числа, которая широко используется в современной описательной теории множеств . ${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$

Класс — это класс множеств, на построение которых влияет , где может быть (предположительно неконструируемым) множеством или собственным классом. Определение этого класса использует , что то же самое, что и , за исключением того, что вместо оценки истинности формул в модели используется модель , где — унарный предикат. Предполагаемая интерпретация — . Тогда определение в точности совпадает с определением только с заменой на . ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (X)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (X,\in )}$ ${\displaystyle (X,\in ,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(y)}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}}$

${\displaystyle L[A]}$всегда является моделью аксиомы выбора. Даже если является множеством, само по себе не обязательно является членом , хотя всегда является им, если является множеством ординалов. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$

Множества в или обычно фактически не могут быть сконструированы, и свойства этих моделей могут существенно отличаться от свойств самих себя. ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$

Смотрите также

• Аксиома конструктивности
• Утверждения верны в L
• Принцип отражения
• Аксиоматическая теория множеств
• Транзитивный набор
• Л(П)
• Порядковый определяемый

Примечания

1. Гёдель 1938.
2. KJ Devlin, «Введение в тонкую структуру конструктивной иерархии» (1974). Доступ 20 февраля 2023 г.
3. К. Дж. Девлин, Конструктивность (1984), гл. 2, «Конструктивная Вселенная», стр. 58. Перспективы математической логики, Springer-Verlag.
4. К. Девлин 1975, Введение в тонкую структуру конструируемой иерархии (стр. 2). Доступ 2021-05-12.
5. Barwise 1975, стр. 60 (комментарий после доказательства теоремы 5.9)
6. П. Одифредди, Классическая теория рекурсии , стр. 427. Исследования по логике и основаниям математики

Ссылки

• Barwise, Jon (1975). Допустимые множества и структуры . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1.
• Девлин, Кит Дж. (1984). Конструктивность . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9.
• Фельгнер, Ульрих (1971). Модели теории ZF-множеств . Конспект лекций по математике. Springer-Verlag. ISBN 3-540-05591-6.
• Гёдель, Курт (1938). «Непротиворечивость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 24 (12). Национальная академия наук: 556–557. Bibcode :1938PNAS...24..556G. doi : 10.1073/pnas.24.12.556 . JSTOR  87239. PMC  1077160 . PMID  16577857.
• Гёдель, Курт (1940). Согласованность гипотезы континуума. Annals of Mathematics Studies. Том 3. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1. МР  0002514.
• Jech, Thomas (2002). Теория множеств . Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.). Springer. ISBN 3-540-44085-2.