Преобразование Мёбиуса

Рациональная функция вида (az + b)/(cz + d)

В геометрии и комплексном анализе преобразование Мёбиуса комплексной плоскости является рациональной функцией вида одной комплексной переменной z ; здесь коэффициенты a , b , c , d являются комплексными числами, удовлетворяющими условию ad − bc ≠ 0 . $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

Геометрически преобразование Мёбиуса можно получить, сначала применив обратную стереографическую проекцию из плоскости на единичную сферу , переместив и повернув сферу в новое место и ориентацию в пространстве, а затем применив стереографическую проекцию для обратного отображения сферы на плоскость. ^[1] Эти преобразования сохраняют углы, отображают каждую прямую линию в линию или окружность и отображают каждую окружность в линию или окружность.

Преобразования Мёбиуса являются проективными преобразованиями комплексной проективной прямой . Они образуют группу , называемую группой Мёбиуса , которая является проективной линейной группой PGL(2, C ) . Вместе со своими подгруппами она имеет многочисленные приложения в математике и физике.

Геометрии Мёбиуса и их преобразования обобщают этот случай на любое число измерений над другими полями.

Преобразования Мёбиуса названы в честь Августа Фердинанда Мёбиуса ; они являются примером гомографии , дробно-линейного преобразования , билинейных преобразований и спиновых преобразований (в теории относительности). ^[2]

Обзор

Преобразования Мёбиуса определяются на расширенной комплексной плоскости (т. е. комплексной плоскости, дополненной бесконечно удаленной точкой ). ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

Стереографическая проекция отождествляется со сферой, которая затем называется сферой Римана ; в качестве альтернативы ее можно рассматривать как комплексную проективную прямую . Преобразования Мёбиуса являются в точности биективными конформными отображениями сферы Римана в себя, т. е. автоморфизмами сферы Римана как комплексного многообразия ; в качестве альтернативы они являются автоморфизмами как алгебраического многообразия. Следовательно, множество всех преобразований Мёбиуса образует группу относительно композиции . Эта группа называется группой Мёбиуса и иногда обозначается . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

Группа Мёбиуса изоморфна группе сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства и поэтому играет важную роль при изучении гиперболических 3-многообразий .

В физике компонент тождества группы Лоренца действует на небесную сферу таким же образом, как группа Мёбиуса действует на сферу Римана. Фактически, эти две группы изоморфны. Наблюдатель, который ускоряется до релятивистских скоростей, увидит, как картина созвездий, видимая вблизи Земли, непрерывно трансформируется в соответствии с бесконечно малыми преобразованиями Мёбиуса. Это наблюдение часто принимается за отправную точку теории твисторов .

Некоторые подгруппы группы Мёбиуса образуют группы автоморфизмов других односвязных римановых поверхностей ( комплексной плоскости и гиперболической плоскости ). Таким образом, преобразования Мёбиуса играют важную роль в теории римановых поверхностей . Фундаментальная группа каждой римановой поверхности является дискретной подгруппой группы Мёбиуса (см. Фуксова группа и Клейнова группа ). Особенно важной дискретной подгруппой группы Мёбиуса является модулярная группа ; она играет центральную роль в теории многих фракталов , модулярных форм , эллиптических кривых и уравнений Пеллиана .

Преобразования Мёбиуса можно определить более общо в пространствах размерности n > 2 как биективные конформные сохраняющие ориентацию отображения из n -сферы в n -сферу. Такое преобразование является наиболее общей формой конформного отображения области. Согласно теореме Лиувилля преобразование Мёбиуса можно выразить как композицию переносов, подобий , ортогональных преобразований и инверсий.

Определение

Общая форма преобразования Мёбиуса задается выражением , где a , b , c , d — любые комплексные числа , удовлетворяющие условию ad − bc ≠ 0 . $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$

В случае c ≠ 0 это определение распространяется на всю сферу Римана , определяя $${\displaystyle f\left({\frac {-d}{c}}\right)=\infty {\text{ and }}f(\infty )={\frac {a}{c}}.}$$

Если c = 0 , мы определяем $${\displaystyle f(\infty )=\infty .}$$

Таким образом, преобразование Мёбиуса всегда является биективной голоморфной функцией из сферы Римана в сферу Римана.

Множество всех преобразований Мёбиуса образует группу относительно композиции . Этой группе можно придать структуру комплексного многообразия таким образом, что композиция и инверсия будут голоморфными отображениями . Тогда группа Мёбиуса является комплексной группой Ли . Группа Мёбиуса обычно обозначается как группа автоморфизмов сферы Римана. ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

Если ad = bc , рациональная функция, определенная выше, является константой (если только c = d = 0 , когда она не определена): где дробь с нулевым знаменателем игнорируется. Постоянная функция не является биективной и, таким образом, не считается преобразованием Мёбиуса. $${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}},}$$

Фиксированные точки

Каждое нетождественное преобразование Мёбиуса имеет две неподвижные точки на сфере Римана. Неподвижные точки подсчитываются здесь с кратностью ; параболические преобразования — это те, где неподвижные точки совпадают. Одна или обе из этих неподвижных точек могут быть точкой на бесконечности. ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

Определение неподвижных точек

Неподвижные точки преобразования получаются путем решения уравнения неподвижной точки f ( γ ) = γ . При c ≠ 0 это имеет два корня, полученных путем расширения этого уравнения до и применения квадратной формулы . Корни находятся с дискриминантом , где матрица представляет преобразование. Параболические преобразования имеют совпадающие неподвижные точки из-за нулевого дискриминанта. Для c, отличного от нуля, и ненулевого дискриминанта преобразование является эллиптическим или гиперболическим. $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$ $${\displaystyle c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0\ ,}$$ $${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$$ $${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc),}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$

При c = 0 квадратное уравнение вырождается в линейное уравнение, а преобразование линейно. Это соответствует ситуации, когда одна из неподвижных точек является точкой на бесконечности. При a ≠ d вторая неподвижная точка конечна и задается как $${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.}$$

В этом случае преобразование будет представлять собой простое преобразование, состоящее из перемещений , вращений и растяжений : $${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .}$$

Если c = 0 и a = d , то обе неподвижные точки находятся на бесконечности, и преобразование Мёбиуса соответствует чистому переносу: $${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$$

Топологическое доказательство

Топологически тот факт, что (нетождественные) преобразования Мёбиуса фиксируют 2 точки (с кратностью), соответствует эйлеровой характеристике сферы, равной 2: $${\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.}$$

Во-первых, проективная линейная группа PGL(2, K ) является строго 3-транзитивной  — для любых двух упорядоченных троек различных точек существует единственное отображение, которое переводит одну тройку в другую, как и для преобразований Мёбиуса, и по тому же алгебраическому доказательству (по сути, подсчету размерностей , поскольку группа является 3-мерной). Таким образом, любое отображение, которое фиксирует по крайней мере 3 точки, является тождественным.

Далее, можно увидеть, отождествляя группу Мёбиуса с , что любая функция Мёбиуса гомотопна тождеству. Действительно, любой член общей линейной группы может быть сведен к тождественному отображению с помощью исключения Гаусса-Жордана, это показывает, что проективная линейная группа также путевым образом связна, обеспечивая гомотопию тождественному отображению. Теорема Лефшеца–Хопфа утверждает, что сумма индексов (в данном контексте кратности) неподвижных точек отображения с конечным числом неподвижных точек равна числу Лефшеца отображения, которое в этом случае является следом тождественного отображения на группах гомологии, что является просто эйлеровой характеристикой. ${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$

Напротив, проективная линейная группа действительной проективной прямой PGL(2, R ) не нуждается в фиксации каких-либо точек — например, не имеет (действительных) неподвижных точек: как комплексное преобразование она фиксирует ± i ^{[примечание 1]}  — в то время как отображение 2 x фиксирует две точки 0 и ∞. Это соответствует тому факту, что эйлерова характеристика окружности (действительной проективной прямой) равна 0, и, таким образом, теорема Лефшеца о неподвижной точке говорит только о том, что она должна фиксировать по крайней мере 0 точек, но, возможно, и больше. ${\displaystyle (1+x)/(1-x)}$

Нормальная форма

Преобразования Мёбиуса также иногда записываются в терминах их неподвижных точек в так называемой нормальной форме . Сначала мы рассмотрим непараболический случай, для которого существуют две различные неподвижные точки.

Непараболический случай :

Каждое непараболическое преобразование сопряжено с растяжением/вращением, т. е. преобразованием вида ( k ∈ C ) с фиксированными точками в 0 и ∞. Чтобы увидеть это, определим отображение , которое переводит точки ( γ ₁ , γ ₂ ) в (0, ∞). Здесь мы предполагаем, что γ ₁ и γ ₂ различны и конечны. Если одно из них уже находится на бесконечности, то g можно изменить так, чтобы зафиксировать бесконечность и отправить другую точку в 0. $${\displaystyle z\mapsto kz}$$ $${\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}$$

Если f имеет различные неподвижные точки ( γ ₁ , γ ₂ ), то преобразование имеет неподвижные точки в 0 и ∞ и, следовательно, является расширением: . Уравнение неподвижной точки для преобразования f тогда можно записать ${\displaystyle gfg^{-1}}$ ${\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}$ $${\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.}$$

Решение относительно f дает (в матричной форме): или, если одна из неподвижных точек находится на бесконечности: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.}$$

Из приведенных выше выражений можно вычислить производные f в фиксированных точках: и $${\displaystyle f'(\gamma _{1})=k}$$ $${\displaystyle f'(\gamma _{2})=1/k.}$$

Обратите внимание, что, учитывая порядок неподвижных точек, мы можем выделить один из множителей ( k ) функции f как характеристическую постоянную функции f . Изменение порядка неподвижных точек на обратный эквивалентно взятию обратного множителя для характеристической постоянной: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).}$$

Для локсодромических преобразований, когда | k | > 1 , говорят, что γ ₁ является отталкивающей неподвижной точкой, а γ ₂ — притягивающей неподвижной точкой. Для | k | < 1 роли меняются местами.

Параболический случай :

В параболическом случае есть только одна неподвижная точка γ . Преобразование, переводящее эту точку в ∞, равно или тождеству, если γ уже находится на бесконечности. Преобразование фиксирует бесконечность и, следовательно, является переносом: $${\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}$$ ${\displaystyle gfg^{-1}}$ $${\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.}$$

Здесь β называется длиной трансляции . Формула неподвижной точки для параболического преобразования тогда имеет вид $${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .}$$

Решение для f (в ​​матричной форме) дает Обратите внимание, что $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^{2}=1}$

Если γ = ∞ : $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}$$

Обратите внимание, что β не является характеристической константой f , которая всегда равна 1 для параболического преобразования. Из приведенных выше выражений можно вычислить: $${\displaystyle f'(\gamma )=1.}$$

Полюса трансформации

Точка называется полюсом ; это та точка , которая преобразуется в точку на бесконечности под действием ⁠ ⁠ . ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

Обратный полюс — это точка, в которую преобразуется точка на бесконечности. Точка посередине между двумя полюсами всегда совпадает с точкой посередине между двумя фиксированными точками: ${\textstyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}$ $${\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }.}$$

Эти четыре точки являются вершинами параллелограмма , который иногда называют характеристическим параллелограммом преобразования.

Преобразование можно задать с помощью двух фиксированных точек γ ₁ , γ ₂ и полюса . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z_{\infty }}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }.}$$

Это позволяет нам вывести формулу для преобразования между k и заданным : которая сводится к ${\displaystyle z_{\infty }}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ $${\displaystyle z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}}}$$ $${\displaystyle k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}},}$$ $${\displaystyle k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}.}$$

Последнее выражение совпадает с одним из (взаимно обратных) отношений собственных значений ( сравните обсуждение в предыдущем разделе о характеристической константе преобразования). Его характеристический многочлен равен имеющему корни ${\textstyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle \det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} {\mathfrak {H}}\,\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)}$$ $${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d\,.}$$

Простые преобразования Мёбиуса и композиция

Преобразование Мёбиуса можно составить как последовательность простых преобразований.

Следующие простые преобразования также являются преобразованиями Мёбиуса:

• ${\displaystyle f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)}$это перевод .
• ${\displaystyle f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)}$представляет собой комбинацию гомотетии и поворота . Если то это поворот, если то это гомотетия. ${\displaystyle |a|=1}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)}$( инверсия и отражение относительно действительной оси)

Составление простых преобразований

Если , то пусть: ${\displaystyle c\neq 0}$

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\quad }$( перевод d / c )​
• ${\displaystyle f_{2}(z)=1/z\quad }$( инверсия и отражение относительно действительной оси)
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad }$( гомотетия и вращение )
• ${\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\quad }$(перевод а / с )

Тогда эти функции можно составить , показав, что если есть Другими словами, есть с $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$ $${\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.}$$ $${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},}$$ $${\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.}$$

Это разложение делает очевидными многие свойства преобразования Мёбиуса.

Элементарные свойства

Преобразование Мёбиуса эквивалентно последовательности более простых преобразований. Композиция делает многие свойства преобразования Мёбиуса очевидными.

Формула обратного преобразования

Существование обратного преобразования Мёбиуса и его явная формула легко выводятся из композиции обратных функций более простых преобразований. То есть, определим функции g ₁ , g ₂ , g ₃ , g ₄ таким образом, что каждая g _i является обратной функцией f _i . Тогда композиция дает формулу для обратной функции. $${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$$

Сохранение углов и обобщенных окружностей

Из этого разложения мы видим, что преобразования Мёбиуса переносят все нетривиальные свойства инверсии окружности . Например, сохранение углов сводится к доказательству того, что инверсия окружности сохраняет углы, поскольку другие типы преобразований — это растяжения и изометрии (трансляция, отражение, вращение), которые тривиально сохраняют углы.

Более того, преобразования Мёбиуса отображают обобщенные окружности в обобщенные окружности, поскольку инверсия окружности обладает этим свойством. Обобщенная окружность — это либо окружность, либо линия, последняя рассматривается как окружность, проходящая через точку в бесконечности. Обратите внимание, что преобразование Мёбиуса не обязательно отображает окружности в окружности и линии в линии: оно может смешивать эти два явления. Даже если оно отображает окружность в другую окружность, оно не обязательно отображает центр первой окружности в центр второй окружности.

Сохранение перекрестного соотношения

Двойные отношения инвариантны относительно преобразований Мёбиуса. То есть, если преобразование Мёбиуса отображает четыре различные точки в четыре различные точки соответственно, то ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}$$

Если одна из точек является точкой на бесконечности, то перекрестное отношение должно быть определено путем взятия соответствующего предела; например, перекрестное отношение равно ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }$ $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}$$

Двойное отношение четырех различных точек является действительным тогда и только тогда, когда через них проходит прямая или окружность. Это еще один способ показать, что преобразования Мёбиуса сохраняют обобщенные окружности.

Спряжение

Две точки z ₁ и z ₂ сопряжены относительно обобщенной окружности C , если задана обобщенная окружность D, проходящая через z ₁ и z ₂ и пересекающая C в двух точках a и b , ( z ₁ , z ₂ ; a , b ) находятся в гармоническом перекрестном отношении (т.е. их перекрестное отношение равно −1). Это свойство не зависит от выбора окружности D . Это свойство также иногда называют симметричным относительно прямой или окружности. ^{[3] [4]}

Две точки z , z ^∗ сопряжены относительно прямой, если они симметричны относительно этой прямой. Две точки сопряжены относительно окружности, если они меняются местами инверсией относительно этой окружности.

Точка z ^∗ сопряжена с z, когда L — это линия, определяемая вектором, основанным на e ^iθ , в точке z _0. Это можно явно задать как $${\displaystyle z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.}$$

Точка z ^∗ сопряжена с z _, когда C — окружность радиуса r с центром в точке z0 . Это можно явно задать как $${\displaystyle z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.}$$

Поскольку преобразования Мёбиуса сохраняют обобщенные окружности и поперечные отношения, они также сохраняют сопряжение.

Проективные матричные представления

Изоморфизм между группой Мёбиуса иПГЛ(2, С)

Естественное действие PGL (2, C ) на комплексной проективной прямой CP ¹ — это в точности естественное действие группы Мёбиуса на сфере Римана

Соответствие между комплексной проективной прямой и сферой Римана

Здесь проективная прямая CP ¹ и сфера Римана определяются следующим образом: $${\displaystyle [z_{1}:z_{2}]\ \thicksim {\frac {z_{1}}{z_{2}}}.}$$

Здесь [ z ₁ : z ₂ ] — однородные координаты на CP ¹ ; точка [1:0] соответствует точке ∞ сферы Римана. Используя однородные координаты, можно упростить многие вычисления, включающие преобразования Мёбиуса, поскольку не требуется никаких различий в случаях, связанных с ∞ .

Действие PGL(2, C) на комплексной проективной прямой

Каждая обратимая комплексная матрица 2×2 действует на проективной прямой как где $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle z=[z_{1}:z_{2}]\mapsto w=[w_{1}:w_{2}],}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}az_{1}+bz_{2}\\cz_{1}+dz_{2}\end{pmatrix}}.}$$

Результатом является, таким образом, $${\displaystyle w=[w_{1}:w_{2}]=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]}$$

Что, используя приведенную выше идентификацию, соответствует следующей точке на сфере Римана:

$${\displaystyle w=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]\thicksim {\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}}={\frac {a{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+b}{c{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+d}}.}$$

Эквивалентность с преобразованием Мёбиуса на сфере Римана

Поскольку указанная выше матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель ad − bc не равен нулю, это вызывает отождествление действия группы преобразований Мёбиуса с действием PGL(2, C ) на комплексной проективной прямой. В этом отождествлении указанная выше матрица соответствует преобразованию Мёбиуса ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Это отождествление является групповым изоморфизмом , поскольку умножение на ненулевой скаляр не изменяет элемент PGL(2, C ) , и, поскольку это умножение состоит из умножения всех элементов матрицы на , это не изменяет соответствующее преобразование Мёбиуса. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ,}$

Другие группы

Для любого поля K можно аналогичным образом отождествить группу PGL(2, K ) проективных линейных автоморфизмов с группой дробных линейных преобразований. Это широко используется, например, при изучении гомографий действительной прямой и ее приложений в оптике .

Если разделить на квадратный корень ее определителя, то получится матрица определителя 1. Это индуцирует сюръективный групповой гомоморфизм из специальной линейной группы SL(2, C ) в PGL(2, C ) , с ядром в качестве ядра. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \pm I}$

Это позволяет показать, что группа Мёбиуса является 3-мерной комплексной группой Ли (или 6-мерной вещественной группой Ли), которая является полупростой и некомпактной , и что SL(2, C ) является двойным покрытием PSL (2, C ) . Поскольку SL(2, C ) односвязна , она является универсальным покрытием группы Мёбиуса, а фундаментальной группой группы Мёбиуса является  Z ₂ .

Задание преобразования по трем точкам

Если задано множество из трех различных точек на сфере Римана и второе множество различных точек ⁠ ⁠ , то существует ровно одно преобразование Мёбиуса с для ⁠ ⁠ . (Другими словами: действие группы Мёбиуса на сфере Римана является строго 3-транзитивным .) Существует несколько способов определения по заданным множествам точек. ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$ ${\displaystyle j=1,2,3}$ ${\displaystyle f(z)}$

Сначала отобразим 0, 1,∞

Легко проверить, что преобразование Мёбиуса с матрицей отображается в ⁠ ⁠ , соответственно. Если одно из является , то правильная формула для получается из приведенной выше, сначала разделив все записи на , а затем взяв предел ⁠ ⁠ . $${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}}$ ${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty }$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}\to \infty }$

Если аналогично определено отображение в , то матрица , которая отображается в , становится ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ ${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z_{1,2,3}}$ ${\displaystyle w_{1,2,3}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}.}$$

Стабилизатором (как неупорядоченного множества) является подгруппа, известная как ангармоническая группа . ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$

Явная детерминантная формула

Уравнение эквивалентно уравнению стандартной гиперболы в -плоскости. Задача построения преобразования Мёбиуса, отображающего тройку в другую тройку , таким образом, эквивалентна нахождению коэффициентов гиперболы, проходящей через точки ⁠ ⁠ . Явное уравнение можно найти, оценив определитель с помощью разложения Лапласа вдоль первой строки. Это приводит к формулам определителя для коэффициентов представляющей матрицы ⁠ ⁠ . Построенная матрица имеет определитель, равный ⁠ ⁠ , который не обращается в нуль, если соотв. попарно различны, поэтому преобразование Мёбиуса хорошо определено. Если одна из точек или является ⁠ ⁠ , то мы сначала делим все четыре определителя на эту переменную, а затем берем предел, когда переменная стремится к ⁠ ⁠ . $${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$$ $${\displaystyle cwz-az+dw-b=0}$$ ${\displaystyle (z,w)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}(z)}$ ${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})}$ ${\displaystyle (w_{1},w_{2},w_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle (z_{i},w_{i})}$ $${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}\,}$$ $${\displaystyle a=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle b=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle c=\det {\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle d=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle (z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Подгруппы группы Мёбиуса

Если мы потребуем, чтобы коэффициенты преобразования Мёбиуса были действительными числами с ⁠ ⁠ , мы получим подгруппу группы Мёбиуса, обозначенную как PSL(2, R ) . Это группа тех преобразований Мёбиуса, которые отображают верхнюю полуплоскость H = { x + i y  : y > 0} в себя, и она равна группе всех биголоморфных (или, что эквивалентно: биективных , конформных и сохраняющих ориентацию) отображений H → H . Если ввести собственную метрику , верхняя полуплоскость станет моделью гиперболической плоскости H ² , моделью полуплоскости Пуанкаре , а PSL(2, R ) является группой всех сохраняющих ориентацию изометрий H ² в этой модели. ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$

Подгруппа всех преобразований Мёбиуса, отображающих открытый диск D = { z  : | z | < 1} в себя, состоит из всех преобразований вида с ∈ R , b ∈ C и | b | < 1 . Это равно группе всех биголоморфных (или, что эквивалентно: биективных, сохраняющих угол и ориентацию) отображений D → D . Вводя подходящую метрику, открытый диск превращается в другую модель гиперболической плоскости, модель диска Пуанкаре , и эта группа является группой всех сохраняющих ориентацию изометрий H ² в этой модели. $${\displaystyle f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}}$$ ${\displaystyle \phi }$

Поскольку обе из указанных выше подгрупп служат группами изометрий H ² , они изоморфны. Конкретный изоморфизм задается сопряжением с преобразованием , которое биективно отображает открытый единичный круг в верхнюю полуплоскость. $${\displaystyle f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}}$$

В качестве альтернативы рассмотрим открытый диск с радиусом r , с центром в точке r  i . Модель диска Пуанкаре в этом диске становится идентичной модели верхней полуплоскости, когда r приближается к ∞.

Максимальная компактная подгруппа группы Мёбиуса задаётся формулой (Tóth 2002) ^[5] и соответствует при изоморфизме проективной специальной унитарной группе PSU(2, C ) , которая изоморфна специальной ортогональной группе SO(3) вращений в трёх измерениях и может быть интерпретирована как вращения сферы Римана. Каждая конечная подгруппа сопряжена в этой максимальной компактной группе, и, таким образом, они в точности соответствуют полиэдральным группам, точечным группам в трёх измерениях . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\mapsto {\frac {uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u}}}}:|u|^{2}+|v|^{2}=1\right\},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\cong \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$

Икосаэдрические группы преобразований Мёбиуса были использованы Феликсом Клейном для получения аналитического решения уравнения пятой степени в (Klein 1913); современное изложение дано в (Tóth 2002). ^[6]

Если мы потребуем, чтобы коэффициенты a , b , c , d преобразования Мёбиуса были целыми числами с ad − bc = 1 , мы получим модулярную группу PSL(2, Z ) , дискретную подгруппу PSL(2, R ), важную при изучении решеток в комплексной плоскости, эллиптических функций и эллиптических кривых . Дискретные подгруппы PSL(2, R ) известны как фуксовы группы ; они важны при изучении римановых поверхностей .

Классификация

Показано гиперболическое преобразование. Прообразами единичной окружности являются окружности Аполлония с отношением расстояний c / a и фокусами в − b / a и − d / c .

Для тех же фокусов − b / a и − d / c красные круги соответствуют лучам, проходящим через начало координат.

В дальнейшем обсуждении мы всегда будем предполагать, что представляющая матрица нормализована таким образом, что ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1}$

Нетождественные преобразования Мёбиуса обычно классифицируются на четыре типа: параболические , эллиптические , гиперболические и локсодромические , причем гиперболические являются подклассом локсодромических. Классификация имеет как алгебраическое, так и геометрическое значение. Геометрически различные типы приводят к различным преобразованиям комплексной плоскости, как иллюстрируют рисунки ниже.

Четыре типа можно различить, посмотрев на след . След инвариантен относительно сопряжения , то есть, и поэтому каждый член класса сопряженности будет иметь тот же след. Каждое преобразование Мёбиуса можно записать так, чтобы его представляющая матрица имела определитель один (путем умножения записей на подходящий скаляр). Два преобразования Мёбиуса (оба не равны тождественному преобразованию) с сопряжены тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=a+d}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} \,{\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatorname {tr} \,{\mathfrak {H}},}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}'.}$

Параболические преобразования

Нетождественное преобразование Мёбиуса, определяемое матрицей с детерминантом единица, называется параболическим, если (то есть след равен плюс или минус 2; для данного преобразования может иметь место любой из них, поскольку определяется только с точностью до знака). Фактически, один из вариантов для имеет тот же характеристический многочлен X ² − 2 X + 1, что и единичная матрица, и, следовательно, является унипотентным . Преобразование Мёбиуса является параболическим тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну неподвижную точку в расширенной комплексной плоскости , что происходит тогда и только тогда, когда его можно определить сопряженной матрицей , которая описывает перенос в комплексной плоскости. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$

Множество всех параболических преобразований Мёбиуса с заданной неподвижной точкой в ​​вместе с единицей образует подгруппу , изоморфную группе матриц это пример унипотентного радикала подгруппы Бореля (группы Мёбиуса или SL(2, C ) для матричной группы; понятие определено для любой редуктивной группы Ли ). ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};}$$

Характеристическая константа

Все непараболические преобразования имеют две неподвижные точки и определяются матрицей, сопряженной с комплексным числом λ, не равным 0, 1 или −1, что соответствует растяжению/повороту посредством умножения на комплексное число k = λ ² , называемое характеристической постоянной или множителем преобразования. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$$

Эллиптические преобразования

Диаграмма Смита , используемая инженерами-электриками для анализа линий электропередачи , представляет собой визуальное изображение эллиптического преобразования Мёбиуса Γ = ( z − 1)/( z + 1) . Каждая точка на диаграмме Смита одновременно представляет как значение z (внизу слева), так и соответствующее значение Γ (внизу справа), для |Γ |<1.

Преобразование называется эллиптическим , если его можно представить матрицей с определителем 1, такой что ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.}$$

Преобразование является эллиптическим тогда и только тогда, когда | λ | = 1 и λ ≠ ±1 . Записывая , эллиптическое преобразование сопряжено с α действительным. ${\displaystyle \lambda =e^{i\alpha }}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$$

Для любого с характеристической константой k характеристическая константа равна k ⁿ . Таким образом, все преобразования Мёбиуса конечного порядка являются эллиптическими преобразованиями, а именно теми, где λ является корнем из единицы , или, что эквивалентно, где α является рациональным кратным π . Простейшая возможность дробного кратного означает α = π /2 , что также является уникальным случаем , также обозначается как ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}$круговое преобразование ; геометрически это соответствует повороту на 180° вокруг двух фиксированных точек. Этот класс представлен в матричной форме как: Есть 3 представителя, фиксирующих {0, 1, ∞}, которые являются тремя транспозициями в группе симметрии этих 3 точек:которая фиксирует 1 и меняет местами 0 с∞(поворот на 180° вокруг точек 1 и −1),которая фиксирует∞и меняет местами 0 с 1 (поворот на 180° вокруг точек 1/2 и∞), икоторая фиксирует 0 и меняет местами 1 с∞(поворот на 180° вокруг точек 0 и 2). $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle 1/z,}$ ${\displaystyle 1-z}$ ${\displaystyle z/(z-1)}$

Гиперболические преобразования

Преобразование называется гиперболическим , если его можно представить матрицей , след которой является действительным с ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

Преобразование является гиперболическим тогда и только тогда, когда λ является действительным и λ ≠ ±1 .

Локсодромные преобразования

Преобразование называется локсодромическим, если не принадлежит [0, 4] . Преобразование является локсодромическим тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\lambda |\neq 1}$

Исторически навигация по локсодромии или румбовой линии относится к пути постоянного пеленга ; полученный путь представляет собой логарифмическую спираль , похожую по форме на преобразования комплексной плоскости, которые производит локсодромное преобразование Мёбиуса. Смотрите геометрические фигуры ниже.

Генеральная классификация

Реальный случай и примечание по терминологии

Над действительными числами (если коэффициенты должны быть действительными) нет негиперболических локсодромических преобразований, и классификация идет на эллиптические, параболические и гиперболические, как для действительных коник . Терминология обусловлена ​​рассмотрением половины абсолютного значения следа, |tr|/2, как эксцентриситета преобразования — деление на 2 корректирует размерность, поэтому тождество имеет эксцентриситет 1 (tr/ n иногда используется как альтернатива для следа по этой причине), а абсолютное значение корректирует след, определяемый только с точностью до множителя ±1 из-за работы в PSL. В качестве альтернативы можно использовать половину квадрата следа в качестве прокси для квадрата эксцентриситета, как было сделано выше; эти классификации (но не точные значения эксцентриситета, поскольку возведение в квадрат и абсолютные значения различны) согласуются для действительных следов, но не для комплексных следов. Та же терминология используется для классификации элементов SL(2, R ) (2-кратное покрытие), и аналогичные классификации используются в других местах. Локсодромические преобразования являются по существу сложным явлением и соответствуют сложным эксцентриситетам.

Геометрическая интерпретация характеристической константы

На следующем рисунке изображены (после стереографического преобразования из сферы в плоскость) две неподвижные точки преобразования Мёбиуса в непараболическом случае:

Характеристическая константа может быть выражена через ее логарифм : При таком выражении действительное число ρ становится коэффициентом расширения. Оно указывает, насколько отталкивающей является неподвижная точка γ ₁ и насколько притягивающей является γ _2. Действительное число α является коэффициентом вращения, указывающим, в какой степени преобразование вращает плоскость против часовой стрелки вокруг γ ₁ и по часовой стрелке вокруг  γ ₂ . $${\displaystyle e^{\rho +\alpha i}=k.}$$

Эллиптические преобразования

Если ρ = 0 , то неподвижные точки не являются ни притягивающими, ни отталкивающими, а безразличными, и преобразование называется эллиптическим . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать все точки по окружностям вокруг двух неподвижных точек. Если одна из неподвижных точек находится на бесконечности, это эквивалентно выполнению аффинного вращения вокруг точки.

Если взять однопараметрическую подгруппу, порожденную любым эллиптическим преобразованием Мёбиуса, то получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует те же две точки. Все остальные точки текут вдоль семейства окружностей, которое вложено между двумя неподвижными точками на сфере Римана. В общем случае две неподвижные точки могут быть любыми двумя различными точками.

Это имеет важную физическую интерпретацию. Представьте себе, что некий наблюдатель вращается с постоянной угловой скоростью вокруг некоторой оси. Тогда мы можем взять две фиксированные точки за Северный и Южный полюса небесной сферы. Вид ночного неба теперь непрерывно трансформируется в точности так, как описано однопараметрической подгруппой эллиптических преобразований, разделяющих фиксированные точки 0, ∞ и с числом α, соответствующим постоянной угловой скорости нашего наблюдателя.

Вот несколько рисунков, иллюстрирующих эффект эллиптического преобразования Мёбиуса на сфере Римана (после стереографической проекции на плоскость):

Эти рисунки иллюстрируют эффект одного преобразования Мёбиуса. Однопараметрическая подгруппа, которую оно порождает, непрерывно перемещает точки вдоль семейства дуг окружности, предложенных рисунками.

Гиперболические преобразования

Если α равно нулю (или кратно 2π ) , то преобразование называется гиперболическим . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать точки по круговым траекториям от одной фиксированной точки к другой.

Если взять однопараметрическую подгруппу, порожденную любым гиперболическим преобразованием Мёбиуса, то получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те же две точки. Все остальные точки текут вдоль определенного семейства дуг окружностей от первой неподвижной точки и ко второй неподвижной точке. В общем случае две неподвижные точки могут быть любыми двумя различными точками на сфере Римана.

Это также имеет важную физическую интерпретацию. Представьте себе, что наблюдатель ускоряется (с постоянной величиной ускорения) в направлении Северного полюса на своей небесной сфере. Тогда вид ночного неба преобразуется точно так, как описано однопараметрической подгруппой гиперболических преобразований, разделяющих неподвижные точки 0, ∞, с действительным числом ρ, соответствующим величине его вектора ускорения. Кажется, что звезды движутся вдоль долгот, от Южного полюса к Северному полюсу. (Долготы выглядят как дуги окружностей при стереографической проекции со сферы на плоскость.)

Вот несколько рисунков, иллюстрирующих эффект гиперболического преобразования Мёбиуса на сфере Римана (после стереографической проекции на плоскость):

Эти изображения напоминают силовые линии положительного и отрицательного электрического заряда, расположенные в фиксированных точках, поскольку линии кругового тока образуют постоянный угол между двумя фиксированными точками.

Локсодромные преобразования

Если и ρ, и α не равны нулю, то преобразование называется локсодромическим . Такие преобразования имеют тенденцию перемещать все точки в S-образных траекториях из одной фиксированной точки в другую.

Слово « локсодромия » происходит от греческого: «λοξος (loxos), наклонный + δρόμος (dromos), курс ». При плавании по постоянному азимуту — если вы сохраняете курс (скажем) на северо-восток, вы в конечном итоге окажетесь в плавании вокруг северного полюса по логарифмической спирали . На проекции Меркатора такой курс представляет собой прямую линию, поскольку северный и южный полюса проецируются в бесконечность. Угол, который образует локсодромия относительно линий долготы (т. е. ее наклон, «плотность» спирали), является аргументом k . Конечно, преобразования Мёбиуса могут иметь две неподвижные точки в любом месте, а не только на северном и южном полюсах. Но любое локсодромическое преобразование будет сопряжено с преобразованием, которое перемещает все точки вдоль таких локсодромий.

Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу, порожденную любым локсодромическим преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует те же две точки. Все остальные точки текут вдоль определенного семейства кривых, от первой неподвижной точки и ко второй неподвижной точке. В отличие от гиперболического случая, эти кривые являются не дугами окружностей, а определенными кривыми, которые при стереографической проекции со сферы на плоскость выглядят как спиральные кривые, которые закручиваются против часовой стрелки бесконечно часто вокруг одной неподвижной точки и закручиваются по часовой стрелке бесконечно часто вокруг другой неподвижной точки. В общем случае, две неподвижные точки могут быть любыми двумя различными точками на сфере Римана.

Вероятно, вы можете догадаться о физической интерпретации в случае, когда двумя неподвижными точками являются 0, ∞: наблюдатель, который одновременно вращается (с постоянной угловой скоростью) вокруг некоторой оси и движется вдоль той же оси, увидит вид ночного неба, преобразованного согласно однопараметрической подгруппе локсодромических преобразований с неподвижными точками 0, ∞ и с ρ , α, определяемыми соответственно величиной фактической линейной и угловой скоростей.

Стереографическая проекция

На этих изображениях показаны стереографически спроецированные на сферу Римана преобразования Мёбиуса . Обратите внимание, что при проецировании на сферу частный случай фиксированной точки на бесконечности ничем не отличается от случая с фиксированными точками в произвольном месте.

Итерация преобразования

Если преобразование имеет неподвижные точки γ ₁ , γ ₂ и характеристическую постоянную k , то будет иметь . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}^{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}'=\gamma _{1},\gamma _{2}'=\gamma _{2},k'=k^{n}}$

Это можно использовать для итерации преобразования или для его анимации путем разбиения на этапы.

На этих изображениях показаны три точки (красная, синяя и черная), непрерывно повторяющиеся при преобразованиях с различными характеристическими константами.

А эти изображения демонстрируют, что происходит, когда вы преобразуете круг при гиперболических, эллиптических и локсодромических преобразованиях. В эллиптических и локсодромических изображениях значение α равно 1/10.

Более высокие измерения

В высших размерностях преобразование Мёбиуса является гомеоморфизмом ⁠ ⁠ , ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$ одноточечной компактификацией ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ⁠ , которая является конечной композицией инверсий в сферах и отражений в гиперплоскостях . ^[7] Теорема Лиувилля в конформной геометрии утверждает, что в размерности по крайней мере три все конформные преобразования являются преобразованиями Мёбиуса. Каждое преобразование Мёбиуса можно представить в виде где , , — ортогональная матрица , а равно 0 или 2. Группа преобразований Мёбиуса также называется группой Мёбиуса . ^[8] $${\displaystyle f(x)=b+{\frac {\alpha A(x-a)}{|x-a|^{\varepsilon }}},}$$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Сохраняющие ориентацию преобразования Мёбиуса образуют связную компоненту тождества в группе Мёбиуса. В размерности n = 2 сохраняющие ориентацию преобразования Мёбиуса являются в точности отображениями сферы Римана, рассматриваемыми здесь. Изменяющие ориентацию преобразования получаются из них комплексным сопряжением. ^[9]

Область преобразований Мёбиуса, т.е. ⁠ ​​⁠ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$ , гомеоморфна n -мерной сфере . Каноническим изоморфизмом между этими двумя пространствами является преобразование Кэли , которое само является преобразованием Мёбиуса ⁠ ⁠ . Это отождествление означает, что преобразования Мёбиуса можно также рассматривать как конформные изоморфизмы . N -сфера вместе с действием группы Мёбиуса представляет собой геометрическую структуру (в смысле программы Эрлангена Клейна ), называемую геометрией Мёбиуса . ^[10] ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n+1}}}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Приложения

преобразование Лоренца

Изоморфизм группы Мёбиуса с группой Лоренца был отмечен несколькими авторами: Основываясь на предыдущих работах Феликса Клейна (1893, 1897) ^[11] по автоморфным функциям, связанным с гиперболической геометрией и геометрией Мёбиуса, Густав Герглотц (1909) ^[12] показал, что гиперболические движения (т. е. изометрические автоморфизмы гиперболического пространства ), преобразующие единичную сферу в себя, соответствуют преобразованиям Лоренца, с помощью которых Герглотц смог классифицировать однопараметрические преобразования Лоренца на локсодромические, эллиптические, гиперболические и параболические группы. Другие авторы включают Эмиля Артина (1957), ^[13] Х.С.М. Коксетера (1965), ^[14] и Роджера Пенроуза , Вольфганга Риндлера (1984), ^[15] Тристана Нидхэма (1997) ^[16] и В.М. Оливию (2002). ^[17]

Пространство Минковского состоит из четырехмерного действительного координатного пространства R ^{4 ,} состоящего из пространства упорядоченных четверок ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) действительных чисел, вместе с квадратичной формой $${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$$

Заимствуя терминологию из специальной теории относительности , точки с Q > 0 считаются времениподобными ; кроме того, если x ₀ > 0 , то точка называется указывающей в будущее . Точки с Q < 0 называются пространственноподобными . Нулевой конус S состоит из тех точек, где Q = 0 ; будущий нулевой конус N ⁺ — это те точки на нулевом конусе с x ₀ > 0. Небесная сфера тогда отождествляется с набором лучей в N ^+, начальная точка которых является началом координат R ⁴ . Набор линейных преобразований на R ⁴ с положительным определителем, сохраняющим квадратичную форму Q и сохраняющим направление времени, образует ограниченную группу Лоренца SO ⁺ (1, 3) .

В связи с геометрией небесной сферы группа преобразований SO ⁺ (1, 3) отождествляется с группой PSL(2, C ) преобразований Мёбиуса сферы. Каждому ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ⁴ сопоставим эрмитову матрицу $${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

Определитель матрицы X равен Q ( x0 , x1 , x2 , x3 ₎ . Специальная _{линейная} группа _{действует} на пространстве таких матриц _{посредством}

для каждого A ∈ SL(2, C ) , и это действие SL(2, C ) сохраняет определитель X , поскольку det A = 1 . Поскольку определитель X отождествляется с квадратичной формой Q , SL(2, C ) действует преобразованиями Лоренца. По размерным соображениям SL(2, C ) покрывает окрестность единицы SO(1, 3) . Поскольку SL(2, C ) связна , она покрывает всю ограниченную группу Лоренца SO ⁺ (1, 3) . Более того, поскольку ядром действия ( 1 ) является подгруппа {± I }, то переход к факторгруппе дает изоморфизм групп

Сосредоточим теперь внимание на случае, когда ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) равно нулю, матрица X имеет нулевой определитель и, следовательно, распадается как внешнее произведение комплексного двухвектора ξ на его комплексно сопряженный вектор:

Двухкомпонентный вектор ξ подвергается воздействию SL(2, C ) способом, совместимым с ( 1 ). Теперь ясно, что ядро ​​представления SL(2, C ) на эрмитовых матрицах равно {± I }.

Действие PSL(2, C ) на небесной сфере также может быть описано геометрически с помощью стереографической проекции . Рассмотрим сначала гиперплоскость в R ^{4 ,} заданную x ₀  = 1. Небесную сферу можно отождествить со сферой S ⁺ пересечения гиперплоскости с будущим нулевым конусом N ⁺ . Стереографическая проекция из северного полюса (1, 0, 0, 1) этой сферы на плоскость x ₃ = 0 переводит точку с координатами (1, x ₁ , x ₂ , x ₃ ) в точку $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$ $${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right).}$$

Вводя комплексную координату, обратная стереографическая проекция дает следующую формулу для точки ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) на S ⁺ : $${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$

Действие SO ⁺ (1, 3) на точки N ⁺ не сохраняет гиперплоскость S ⁺ , но действие на точки в S ⁺ и затем изменение масштаба так, чтобы результат снова оказался в S ^{+ ,} дает действие SO ⁺ (1, 3) на сфере, которое переходит в действие на комплексную переменную ζ . Фактически, это действие осуществляется дробно-линейными преобразованиями, хотя это нелегко увидеть из этого представления небесной сферы. Наоборот, для любого дробно-линейного преобразования переменной ζ переходит в уникальное преобразование Лоренца на N ⁺ , возможно, после подходящего (однозначно определенного) изменения масштаба.

Более инвариантное описание стереографической проекции, позволяющее более четко увидеть действие, состоит в том, чтобы рассматривать переменную ζ = z : w как отношение пары однородных координат для комплексной проективной прямой CP ¹ . Стереографическая проекция переходит в преобразование из C ² − {0} в N ^{+ ,} которое однородно второй степени относительно действительных масштабирований

что согласуется с ( 4 ) при ограничении масштабами, в которых Компоненты ( 5 ) являются в точности теми, которые получены из внешнего продукта ${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

Подводя итог, можно сказать, что действие ограниченной группы Лоренца SO ⁺ (1,3) согласуется с действием группы Мёбиуса PSL(2, C ) . Это мотивирует следующее определение. В размерности n ≥ 2 группа Мёбиуса Möb( n ) является группой всех сохраняющих ориентацию конформных изометрий круглой сферы S ⁿ на себя. Реализуя конформную сферу как пространство лучей, указывающих в будущее, нулевого конуса в пространстве Минковского R ^1,n+1 , существует изоморфизм Möb( n ) с ограниченной группой Лоренца SO ⁺ (1, n +1) преобразований Лоренца с положительным определителем, сохраняющим направление времени.

Вместо этого Коксетер начал с эквивалентной квадратичной формы ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}$ .

Он отождествил группу Лоренца с преобразованиями, для которых { x | Q( x ) = −1} является устойчивым . Затем он интерпретировал x как однородные координаты и { x | Q( x ) = 0}, нулевой конус , как абсолют Кэли для гиперболического пространства точек { x | Q( x ) < 0}. Затем Коксетер ввел переменные так, чтобы инвариантная Лоренца квадрика соответствовала сфере ⁠ ⁠ . Коксетер отмечает, что Феликс Клейн также писал об этом соответствии, применяя стереографическую проекцию из (0, 0, 1) к комплексной плоскости Коксетер использовал тот факт, что окружности инверсной плоскости представляют плоскости гиперболического пространства, а общая гомография является произведением инверсий в двух или четырех окружностях, что соответствует общему гиперболическому смещению, которое является произведением инверсий в двух или четырех плоскостях. $${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$ ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1}$ ${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$

Гиперболическое пространство

Как было показано выше, группа Мёбиуса PSL(2, C ) действует на пространстве Минковского как группа тех изометрий, которые сохраняют начало координат, ориентацию пространства и направление времени. Ограничиваясь точками, где Q = 1 в положительном световом конусе, которые образуют модель гиперболического 3-пространства H ³ , мы видим, что группа Мёбиуса действует на H ³ как группа сохраняющих ориентацию изометрий. Фактически, группа Мёбиуса равна группе сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства. Если мы используем модель шара Пуанкаре , отождествляя единичный шар в R ³ с H ³ , то мы можем рассматривать сферу Римана как «конформную границу» H ³ . Каждая сохраняющая ориентацию изометрия H ³ приводит к преобразованию Мёбиуса на сфере Римана и наоборот.

Смотрите также

• Билинейная трансформация
• Конформная геометрия
• Группа фуксии
• Обобщенный круг
• Гиперболическая геометрия
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Преобразование инверсии
• Группа Кляйнианцев
• Геометрия сферы Ли
• Дробно-линейное преобразование
• Теорема Лиувилля (конформные отображения)
• группа Лоренца
• Модульная группа
• Модель полуплоскости Пуанкаре
• Проективная геометрия
• Проективная прямая над кольцом
• Теория представлений группы Лоренца
• Группа Шоттки
• Диаграмма Смита

Примечания

1. Геометрически эта карта представляет собой стереографическую проекцию поворота на 90° вокруг ± i с периодом 4, что занимает ${\displaystyle 0\mapsto 1\mapsto \infty \mapsto -1\mapsto 0.}$

Ссылки

Специфический

1. Арнольд и Рогнесс 2008, Теорема 1.
2. Нидхэм, Тристан (2021). Дифференциальная геометрия и формы; Математическая драма в пяти актах. Princeton University Press. стр. 77, сноска 16. ISBN 9780691203690.
3. Олсен, Джон, Геометрия преобразований Мёбиуса (PDF)
4. Вайсштейн, Эрик В. «Симметричные точки». MathWorld .
5. Tóth 2002, Раздел 1.2, Вращения и преобразования Мёбиуса, стр. 22.
6. Tóth 2002, Раздел 1.6, Дополнительная тема: Теория икосаэдра Клейна, стр. 66.
7. Иванец, Тадеуш и Мартин, Гавен, Теорема Лиувилля, Анализ и топология, 339–361, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1998
8. JB Wilker (1981) «Инверсная геометрия», MR 0661793
9. Бергер, Марсель (1987), Геометрия II , Springer (Universitext), стр. 18.10
10. Акивис, Макс; Голдберг, Владислав (1992), Конформная дифференциальная геометрия и ее обобщения , Wiley-Interscience
11. Феликс Кляйн (1893), Nicht-Euklidische Geometry, Autogr. Ворл., Геттинген;
    Роберт Фрике и Феликс Кляйн (1897), Autormorphe Funktionen I., Тойбнер, Лейпциг
12. Херглотц, Густав (1910) [1909], «Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper» [О телах, которые следует обозначать как «жесткие» с точки зрения принципа относительности], Annalen der Physik (на немецком языке). ), 336 (2): 393–415, Бибкод : 1910AnP...336..393H, doi : 10.1002/andp.19103360208
13. Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , стр. 204
14. HSM Coxeter (1967) «Группа Лоренца и группа гомографий», в трудах Международной конференции по теории групп, состоявшейся в Австралийском национальном университете, Канберра, 10—20 августа 1965 г. , Gordon and Breach Science Publishers под редакцией LG Kovacs & BH Neumann.
15. Пенроуз и Риндлер 1984, стр. 8–31.
16. Нидхэм, Тристан (1997). Визуальный комплексный анализ (PDF) . Оксфорд: Oxford University Press. С. 122–124.
17. Оливия, Вальдир Мунис (2002). «Приложение B: Преобразования Мёбиуса и группа Лоренца». Геометрическая механика . Springer. С. 195–221. ISBN 3-540-44242-1. МР  1990795.

Общий

• Арнольд, Дуглас Н.; Рогнесс, Джонатан (2008), «Раскрыты преобразования Мёбиуса» (PDF) , Notices of the AMS , 55 (10): 1226–1231
• Бирдон, Алан Ф. (1995), Геометрия дискретных групп , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90788-8
• Холл, Г.С. (2004), Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности , Сингапур: World Scientific, ISBN 978-981-02-1051-9 (Классификация подалгебр Ли алгебры Ли группы Лоренца с точностью до сопряженности приведена в Главе 6.)
• Каток, Светлана (1992), Фуксовские группы , Чикаго: Издательство Чикагского университета, ISBN 978-0-226-42583-2 См. Главу 2 .
• Клейн, Феликс (1913) [1-е немецкое изд. 1884 г.], Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени, перевод Морриса, Джорджа Гэвина (2-е изд.), Лондон: Kegan Paul, Trench, Trübner, & Co.перевод с Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (на немецком языке), Тойбнер, 1884 г.
• Кнопп, Конрад (1952), Элементы теории функций , Нью-Йорк: Довер, ISBN 978-0-486-60154-0 (См. главы 3–5 этой классической книги, в которых дается прекрасное введение в сферу Римана, стереографическую проекцию и преобразования Мёбиуса.)
• Мамфорд, Дэвид ; Серия, Кэролайн; Райт, Дэвид (2002), Жемчуг Индры: Видение Феликса Кляйна , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35253-6 (Предназначено для нематематиков, содержит превосходное изложение теории и результатов, богато иллюстрированное диаграммами.)
• Нидхэм, Тристан (1997), Визуальный комплексный анализ , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853446-4 (См. Главу 3, где представлено прекрасно иллюстрированное введение в преобразования Мёбиуса, включая их классификацию с точностью до сопряженности.)
• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1984), Спиноры и пространство-время, Том 1: Двухспинорное исчисление и релятивистские поля , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-24527-2
• Швердтфегер, Ганс (1979), Геометрия комплексных чисел , Дувр, ISBN 978-0-486-63830-0 (См. Главу 2 для введения в преобразования Мёбиуса.)
• Тот, Габор (2002), Конечные группы Мёбиуса, минимальные погружения сфер и модули

Дальнейшее чтение

• Лоусон, М. В. (1998). "Обратный моноид Мёбиуса". Журнал алгебры . 200 (2): 428. doi : 10.1006/jabr.1997.7242 .

Внешние ссылки

• «Квазиконформное отображение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Галерея конформных карт
• Вайсштейн, Эрик В. «Дробно-линейные преобразования». MathWorld .