Локус (математика)

Набор точек, удовлетворяющих некоторым заданным условиям

Каждая кривая в этом примере является геометрическим местом, определяемым как конхоида точки P и прямой l . В этом примере P находится на расстоянии 8 см от l .

В геометрии геометрическое место (множественное число: loci ) (латинское слово, означающее «место», «расположение») — это множество всех точек (обычно линия , отрезок линии , кривая или поверхность ), местоположение которых удовлетворяет одному или нескольким указанным условиям или определяется ими. ^{[1] [2]}

Множество точек, удовлетворяющих некоторому свойству, часто называют геометрическим местом точки, удовлетворяющей этому свойству. Использование единственного числа в этой формулировке свидетельствует о том, что до конца 19 века математики не рассматривали бесконечные множества . Вместо того чтобы рассматривать линии и кривые как множества точек, они рассматривали их как места, где точка может находиться или может перемещаться.

История и философия

До начала 20-го века геометрическая фигура (например, кривая) не рассматривалась как бесконечное множество точек; скорее, она рассматривалась как сущность, на которой точка может быть расположена или по которой она движется. Таким образом, окружность на евклидовой плоскости определялась как геометрическое место точки, которая находится на заданном расстоянии от фиксированной точки, центра окружности. В современной математике подобные концепции чаще переформулируются путем описания фигур как множеств; например, говорят, что окружность — это множество точек, которые находятся на заданном расстоянии от центра. ^[3]

В отличие от теоретико-множественного взгляда, старая формулировка избегает рассмотрения бесконечных совокупностей, поскольку избегание актуальной бесконечности было важной философской позицией ранних математиков. ^{[4] [5]}

После того, как теория множеств стала универсальной основой, на которой строится вся математика, ^[6] термин локус стал довольно старомодным. ^[7] Тем не менее, это слово по-прежнему широко используется, в основном для краткой формулировки, например:

• Критическое место — множество критических точек дифференцируемой функции.
• Нулевое место точек или исчезающее место точек — множество точек, в которых функция обращается в нуль, то есть принимает нулевое значение .
• Особые точки — множество особых точек алгебраического многообразия .
• Локус связности — подмножество множества параметров семейства рациональных функций, для которого множество Жюлиа функции связно.

В последнее время такие методы, как теория схем и использование теории категорий вместо теории множеств для обоснования математики, вернулись к понятиям, больше похожим на первоначальное определение локуса как объекта самого по себе, а не как набора точек. ^[5]

Примеры в планиметрии

Примеры из планиметрии включают в себя:

• Множество точек, равноудаленных от двух точек, представляет собой перпендикуляр к отрезку прямой, соединяющему эти две точки. ^[8]
• Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, представляет собой объединение двух биссектрис их углов .
• Все конические сечения являются геометрическими местами: ^[9]
  • Окружность : множество точек, находящихся на постоянном расстоянии ( радиус ) от фиксированной точки ( центра ).
  • Парабола : множество точек, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса ) и прямой ( директрисы ).
  • Гипербола : множество точек, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух заданных фокусов является постоянной величиной.
  • Эллипс : множество точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных фокусов является постоянной величиной.

Другие примеры локусов появляются в различных областях математики. Например, в комплексной динамике множество Мандельброта является подмножеством комплексной плоскости , которое можно охарактеризовать как локус связности семейства полиномиальных отображений.

Доказательство локуса

Чтобы доказать, что геометрическая фигура является правильным геометрическим местом для заданного набора условий, доказательство обычно делят на два этапа: доказательство того, что все точки, удовлетворяющие условиям, находятся на заданной фигуре, и доказательство того, что все точки на заданной фигуре удовлетворяют условиям. ^[10]

Примеры

(расстояние PA ) = 3.(расстояние PB )

Первый пример

Найдите геометрическое место точки P , имеющей заданное отношение расстояний k = d ₁ / d ₂ до двух заданных точек.

В этом примере k = 3, A (−1, 0) и B (0, 2) выбраны в качестве неподвижных точек.

P ( x ,  y ) — точка геометрического места

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

Это уравнение представляет собой окружность с центром (1/8, 9/4) и радиусом . Это окружность Аполлония, определяемая этими значениями k , A , и B . ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$

Второй пример

Геометрическое место точки C

Треугольник ABC имеет фиксированную сторону [ AB ] длиной c . Определите геометрическое место третьей вершины C так, чтобы медианы из точек A и C были ортогональны .

Выберите ортонормальную систему координат так, чтобы A (− c /2, 0), B ( c /2, 0). C ( x ,  y ) — переменная третья вершина. Центр [ BC ] — M ((2 x  +  c )/4,  y /2). Медиана из C имеет наклон y / x . Медиана AM имеет наклон 2 y /(2 x  + 3 c ).

Геометрическое место — круг.

C ( x ,  y ) — точка геометрического места

${\displaystyle \Leftrightarrow }$медианы из A и C ортогональны

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

Геометрическое место вершины C представляет собой окружность с центром (−3 c /4, 0) и радиусом 3 c /4.

Третий пример

Точка пересечения связанных прямых k и l описывает окружность

Локус также может быть определен двумя связанными кривыми, зависящими от одного общего параметра . Если параметр меняется, точки пересечения связанных кривых описывают локус.

На рисунке точки K и L являются фиксированными точками на данной прямой m . Прямая k является переменной прямой, проходящей через K. Прямая l, проходящая через L , перпендикулярна k . Угол между k и m является параметром. k и l являются связанными прямыми, зависящими от общего параметра. Переменная точка пересечения S прямых k и l описывает окружность. Эта окружность является геометрическим местом точек пересечения двух связанных прямых. ${\displaystyle \alpha }$

Четвертый пример

Геометрическое место точек не обязательно должно быть одномерным (как окружность, линия и т. д.). Например, ^[1] геометрическое место точек неравенства 2 x + 3 y – 6 < 0 – это часть плоскости, которая находится ниже линии уравнения 2 x + 3 y – 6 = 0 .

Смотрите также

• Алгебраическое многообразие
• Изгиб
• Линия (геометрия)
• Нотация конструктора множеств
• Форма (геометрия)

Ссылки

1. Джеймс, Роберт Кларк; Джеймс, Гленн (1992), Математический словарь, Springer, стр. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
2. Уайтхед, Альфред Норт (1911), Введение в математику, Х. Холт, стр. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
3. Кук, Роджер Л. (2012), «38.3 Топология», История математики: краткий курс (3-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290Слово «локус» мы до сих пор используем для обозначения пути, по которому движется точка, подчиняющаяся заданным ограничениям, хотя с появлением теории множеств локус чаще рассматривается статически как набор точек, удовлетворяющих заданному набору.
4. Бурбаки, Н. (2013), Элементы истории математики, перевод Дж. Мелдрума , Springer, стр. 26, ISBN 9783642616938, классические математики тщательно избегали введения в свои рассуждения «актуальной бесконечности».
5. Боровик, Александр (2010), «6.2.4 Можно ли жить без актуальной бесконечности?», Математика под микроскопом: заметки о когнитивных аспектах математической практики, Американское математическое общество, стр. 124, ISBN 9780821847619.
6. Мейберри, Джон П. (2000), Основы математики в теории множеств, Энциклопедия математики и ее приложений, т. 82, Cambridge University Press, стр. 7, ISBN 9780521770347, теория множеств обеспечивает основу всей математики.
7. Ледерманн, Вальтер; Вайда, С. (1985), Комбинаторика и геометрия, часть 1 , Справочник по прикладной математике, т. 5, Wiley, стр. 32, ISBN 9780471900238, Начнем с объяснения немного старомодного термина.
8. Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидова плоскость , Springer-Verlag, 1975.
9. Гамильтон, Генри Парр (1834), Аналитическая система конических сечений: разработанная для использования студентами , Springer.
10. ГП Уэст, Новая геометрия: форма 1 .