Эллипс

Плоская кривая: коническое сечение

Эллипс (красный), полученный в результате пересечения конуса наклонной плоскостью.

Эллипс: обозначения

Эллипсы: примеры с увеличением эксцентриситета

В математике эллипс — это плоская кривая , окружающая две фокальные точки , причем для всех точек кривой сумма двух расстояний до фокальных точек является постоянной . Он обобщает круг , который представляет собой особый тип эллипса, в котором две фокальные точки одинаковы. Удлинение эллипса измеряется его эксцентриситетом , числом от ( предельного случая круга) до (предельного случая бесконечного удлинения, уже не эллипса, а параболы ). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e=1}$

Эллипс имеет простое алгебраическое решение для определения своей площади, но только приближения для его периметра (также известного как окружность ), для которого для получения точного решения требуется интегрирование.

Аналитически уравнение стандартного эллипса с центром в начале координат, шириной и высотой : ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2b}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Предположим , что фокусы предназначены для . Стандартное параметрическое уравнение: ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle (\pm c,0)}$ ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

$${\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}$$

Эллипсы — это закрытый тип конического сечения : плоская кривая, описывающая пересечение конуса с плоскостью ( см. рисунок). Эллипсы имеют много общего с двумя другими формами конических сечений, параболами и гиперболами , которые являются открытыми и неограниченными . Угловое сечение прямого кругового цилиндра также является эллипсом.

Эллипс также можно определить с помощью одной фокальной точки и линии вне эллипса, называемой директрисой: для всех точек эллипса соотношение между расстоянием до фокуса и расстоянием до директрисы является константой. Это постоянное соотношение и есть упомянутый выше эксцентриситет:

$${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Эллипсы широко распространены в физике , астрономии и технике . Например, орбита каждой планеты Солнечной системы представляет собой примерно эллипс с Солнцем в одной точке фокуса (точнее, фокус — барицентр пары Солнце-планета). То же самое относится и к спутникам, вращающимся вокруг планет, и ко всем другим системам двух астрономических тел. Формы планет и звезд часто хорошо описываются эллипсоидами . Круг, рассматриваемый под боковым углом, выглядит как эллипс: то есть эллипс — это изображение круга в параллельной или перспективной проекции . Эллипс также является простейшей фигурой Лиссажу, образующейся, когда горизонтальное и вертикальное движения представляют собой синусоиды с одинаковой частотой: аналогичный эффект приводит к эллиптической поляризации света в оптике .

Имя, ἔλλειψις ( élleipsis , «упущение»), было дано Аполлонием Пергским в его «Кониках» .

Определение как геометрическое место точек

Эллипс: определение по сумме расстояний до фокусов

Эллипс: определение по фокусу и круговой директрисе

Эллипс можно определить геометрически как множество точек на евклидовой плоскости:

Учитывая две фиксированные точки , называемые фокусами, и расстояние, большее, чем расстояние между фокусами, эллипс представляет собой набор точек, в которых сумма расстояний равна : ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}$ ${\displaystyle 2a}$

$${\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,\left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a\right\}.}$$

Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса . Линия, проходящая через фокусы, называется большой осью , а линия, перпендикулярная ей, проходящая через центр, — малой осью . ${\displaystyle C}$Большая ось пересекает эллипс в двух вершинах , находящихся на расстоянии до центра. Расстояние фокусов до центра называется фокусным расстоянием или линейным эксцентриситетом. Фактором является эксцентриситет . ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}$

Случай представляет собой круг и включается как особый тип эллипса. ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

Уравнение можно просмотреть и по-другому (см. рисунок): ${\displaystyle \left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a}$

Если это круг с центром и радиусом , то расстояние от точки до круга равно расстоянию до фокуса : ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

$${\displaystyle \left|PF_{1}\right|=\left|Pc_{2}\right|.}$$

${\displaystyle c_{2}}$называется круговой директрисой (связанной с фокусом ) эллипса. ^{[1] [2]} Это свойство не следует путать с определением эллипса с использованием направляющей линии, приведенной ниже. ${\displaystyle F_{2}}$

Используя сферы Одуванчика , можно доказать, что любое сечение конуса плоскостью является эллипсом, предполагая, что плоскость не содержит вершины и имеет наклон меньше, чем у линий на конусе.

В декартовых координатах

Параметры формы:

• а : большая полуось,
• б : малая полуось,
• c : линейный эксцентриситет,
• p : полурасширенная прямая кишка (обычно ). ${\displaystyle \ell }$

Стандартное уравнение

Стандартная форма эллипса в декартовых координатах предполагает, что начало координат — это центр эллипса, ось X — большая ось и:

• фокусы – это точки , ${\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}$
• вершины есть . ${\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}$

Для произвольной точки расстояние до фокуса равно , а до другого фокуса . Следовательно, точка находится на эллипсе всякий раз, когда: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$

$${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

Удаление радикалов путем возведения в квадрат и использования (см. диаграмму) дает стандартное уравнение эллипса: ^[3] ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$

y

$${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

Параметры ширины и высоты называются большой полуосью и малой полуосью . Верхняя и нижняя точки являются ко-вершинами . Расстояния от точки эллипса до левого и правого фокусов равны и . ${\displaystyle a,\;b}$ ${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ ${\displaystyle a+ex}$ ${\displaystyle a-ex}$

Из уравнения следует, что эллипс симметричен относительно осей координат и, следовательно, относительно начала координат.

Параметры

Главные оси

На протяжении всей статьи большая полуось и малая полуось обозначаются и соответственно, т.е. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\geq b>0\ .}$

В принципе, каноническое уравнение эллипса может иметь (и, следовательно, эллипс будет больше в высоту, чем в ширину). Эту форму можно преобразовать в стандартную форму путем транспонирования имен переменных и имен параметров и ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

Линейный эксцентриситет

Это расстояние от центра до фокуса: . ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Эксцентриситет

Эксцентриситет может быть выражен как:

$${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}},}$$

Предполагая, что эллипс с равными осями ( ) имеет нулевой эксцентриситет и является кругом. ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle a=b}$

Полурасширенная прямая кишка

Длина хорды, проходящей через один фокус, перпендикулярно большой оси, называется широкой прямой кишкой . Половина ее — полурасширенная прямая кишка . Расчет показывает: ^[4] ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}$$

Полуширокая прямая кишка равна радиусу кривизны в вершинах (см. раздел кривизна). ${\displaystyle \ell }$

Касательная

Произвольная линия пересекает эллипс в 0, 1 или 2 точках, называемых соответственно внешней линией , касательной и секущей . Через любую точку эллипса проходит единственная касательная. Касательная в точке эллипса имеет уравнение координат: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

$${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

Векторное параметрическое уравнение касательной имеет вид:

$${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

Доказательство: Позвольте быть точкой эллипса и уравнением любой линии, содержащей . Вставка уравнения линии в уравнение эллипса и соблюдение урожайности: ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$

$${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$Тогда прямая и эллипс имеют только общую точку и являются касательной. Направление касательной имеет перпендикулярный вектор , поэтому касательная линия для некоторых имеет уравнение . Поскольку находится на касательной и эллипсе, получается . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle k=1}$
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$Тогда линия имеет вторую общую точку с эллипсом и является секущей. ${\displaystyle g}$

Используя (1), можно найти, что это касательный вектор в точке , что доказывает векторное уравнение. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$

Если и - две точки эллипса такие, что , то точки лежат на двух сопряженных диаметрах (см. ниже). (Если , эллипс представляет собой круг, а «сопряженный» означает «ортогональный».) ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$ ${\displaystyle a=b}$

Смещенный эллипс

Если стандартный эллипс сдвинут, чтобы иметь центр , его уравнение будет ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$

$${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Оси по-прежнему параллельны осям x и y.

Общий эллипс

Общий эллипс на плоскости можно однозначно описать как двумерное квадратное уравнение декартовых координат или с помощью центральной, большой и малой полуосей и угла

В аналитической геометрии эллипс определяется как квадрика : набор точек декартовой плоскости , которые в невырожденных случаях удовлетворяют неявному уравнению ^{[5] [6]} ${\displaystyle (x,\,y)}$

$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$

${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

Чтобы отличить вырожденные случаи от невырожденных, пусть ∆ будет определителем

$${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

Тогда эллипс является невырожденным вещественным эллипсом тогда и только тогда, когда C∆ < 0. Если C∆ > 0, то мы имеем мнимый эллипс, а если ∆ = 0, то имеем точечный эллипс. ^{[7] : 63}

Коэффициенты общего уравнения можно получить из известных большой полуоси , малой полуоси , координат центра и угла поворота (угол между положительной горизонтальной осью и большой осью эллипса) по формулам: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Эти выражения можно вывести из канонического уравнения

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

${\displaystyle (X,\,Y)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

И наоборот, параметры канонической формы могут быть получены из коэффициентов общего вида по уравнениям: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

где atan2 — арктангенс с двумя аргументами.

Параметрическое представление

Построение точек на основе параметрического уравнения и интерпретации параметра t , предложенной де ла Гиром

Точки эллипса, рассчитанные по рациональному представлению с равноотстоящими друг от друга параметрами ( ). ${\displaystyle \Delta u=0.2}$

Стандартное параметрическое представление

Используя тригонометрические функции , параметрическое представление стандартного эллипса имеет вид: ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

$${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

Параметр t (называемый в астрономии эксцентрической аномалией ) не является углом с осью x , но имеет геометрическое значение благодаря Филиппу де Ла Гиру (см. § Рисование эллипсов ниже). ^[8] ${\displaystyle (x(t),y(t))}$

Рациональное представление

С помощью замены и тригонометрических формул получаем ${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$

$${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

и рациональное параметрическое уравнение эллипса

$${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

который покрывает любую точку эллипса, кроме левой вершины . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (-a,\,0)}$

Для этой формулы представляет собой правую верхнюю четверть эллипса, движущуюся против часовой стрелки с увеличением. Левая вершина является пределом ${\displaystyle u\in [0,\,1],}$ ${\displaystyle u.}$ ${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

С другой стороны, если параметр считается точкой на действительной проективной прямой , то соответствующая рациональная параметризация равна ${\displaystyle [u:v]}$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$

$${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

Затем ${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

Рациональные представления конических сечений обычно используются в компьютерном проектировании (см. Кривую Безье ).

Наклон касательной как параметр

Параметрическое представление, в котором используется наклон касательной в точке эллипса, может быть получено из производной стандартного представления : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}}$

$${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

С помощью тригонометрических формул получаем:

$${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

Замена и стандартного представления дает: ${\displaystyle \cos t}$ ${\displaystyle \sin t}$

$${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

Вот наклон касательной в соответствующей точке эллипса, это верхняя и нижняя половина эллипса. Вершины , имеющие вертикальные касательные, не покрываются представлением. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ ${\displaystyle (\pm a,\,0)}$

Уравнение касательной в точке имеет вид . Еще неизвестное можно определить, вставив координаты соответствующей точки эллипса : ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ ${\displaystyle y=mx+n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$

$${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

Это описание касательных эллипса является важным инструментом для определения ортоптики эллипса . Ортоптическая статья содержит еще одно доказательство, без дифференциального исчисления и тригонометрических формул.

Общий эллипс

Эллипс как аффинное изображение единичного круга

Другое определение эллипса использует аффинные преобразования :

Любой эллипс является аффинным изображением единичной окружности с уравнением . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где – регулярная матрица (с ненулевым определителем ), а – произвольный вектор. Если – векторы-столбцы матрицы , единичный круг , , отображается на эллипс: ${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

Вот центр и направления двух сопряженных диаметров , вообще говоря, не перпендикулярных. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$

Вершины

Четыре вершины эллипса равны , для параметра, определяемого следующим образом: ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

$${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

(Если , то .) Это получается следующим образом. Касательный вектор в точке : ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$

$${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

При параметре вершины касательная перпендикулярна главной/второстепенной осям, поэтому: ${\displaystyle t=t_{0}}$

$${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

Расширение и применение тождеств дает уравнение для ${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$ ${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

Область

Из теоремы Аполлония (см. ниже) получаем:
Площадь эллипса равна ${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$

$${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

Полуоси

С сокращениями формулировки теоремы Аполлония можно записать так: ${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$

${\displaystyle a,b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

Неявное представление

Решая параметрическое представление для по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление ${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$ ${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$

$${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

Обратно: если уравнение

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$с ${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

эллипса с центром в начале координат, то два вектора

$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$

Пример : для эллипса с уравнением векторы ${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$

$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

Вихри: вложенные, масштабированные и повернутые эллипсы. Спираль не рисуется: мы видим ее как место точек, где эллипсы особенно близки друг к другу.

Повернутый стандартный эллипс

Получается параметрическое представление стандартного эллипса, повернутого на угол : ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

Эллипс в космосе

Определение эллипса в этом разделе дает параметрическое представление произвольного эллипса, даже в пространстве, если разрешено быть векторами в пространстве. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Полярные формы

Полярная форма относительно центра

Полярные координаты с центром в центре.

В полярных координатах , с началом координат в центре эллипса и угловой координатой, отсчитываемой от большой оси, уравнение эллипса имеет вид ^{[7] : 75.} ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$

${\displaystyle e}$

Полярная форма относительно фокуса

Полярные координаты в центре фокуса.

Если вместо этого мы используем полярные координаты с началом координат в одном фокусе, а угловая координата по-прежнему отсчитывается от большой оси, уравнение эллипса будет иметь вид ${\displaystyle \theta =0}$

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

где знак в знаменателе отрицательный, если исходное направление указывает на центр (как показано справа), и положительный, если это направление указывает от центра. ${\displaystyle \theta =0}$

В несколько более общем случае эллипса с одним фокусом в начале координат и другим фокусом в угловой координате полярная форма равна ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1-e\cos(\theta -\phi )}}.}$$

Угол в этих формулах называется истинной аномалией точки. Числителем этих формул является полурасширенная прямая кишка . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$

Эксцентриситет и свойство директрисы

Эллипс: свойство направляющей

Каждая из двух прямых, параллельных малой оси и на расстоянии от нее, называется директрисой эллипса (см. схему). ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}$

Для произвольной точки эллипса частное расстояния до одного фокуса и до соответствующей директрисы (см. схему) равно эксцентриситету: ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}$$

Доказательство для пары следует из того, что и удовлетворяют уравнению ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\textstyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}$

$${\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\,.}$$

Второй случай доказывается аналогично.

Обратное также верно и может использоваться для определения эллипса (аналогично определению параболы):

Для любой точки (фокуса), любой линии (директрисы) не через , и любого действительного числа с эллипсом есть геометрическое место точек, для которых частное расстояний до точки и до прямой равно : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 0<e<1,}$ ${\displaystyle e,}$

$${\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.}$$

Расширение до , которое является эксцентриситетом круга, не допускается в этом контексте в евклидовой плоскости. Однако можно считать директрисой окружности линию, находящуюся на бесконечности в проективной плоскости . ${\displaystyle e=0}$

(Выбор дает параболу, а если , то гиперболу.) ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Карандаш из коник с общей вершиной и общей полураскрытой прямой кишкой.

Доказательство

Пусть , и предположим, что это точка на кривой. Директриса имеет уравнение . При , соотношение дает уравнения ${\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,\,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,\,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$и ${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

Замена дает ${\displaystyle p=f(1+e)}$

$${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}$$

Это уравнение эллипса ( ) , или параболы ( ), или гиперболы ( ). Все эти невырожденные коники имеют общее начало в виде вершины (см. диаграмму). ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Если , ввести новые параметры так, чтобы , и тогда приведенное выше уравнение принимает вид ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$

$${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$

которое представляет собой уравнение эллипса с центром , осью X в качестве главной оси и большой/малой полуосью . ${\displaystyle (a,\,0)}$ ${\displaystyle a,\,b}$

Построение директрисы

Построение директрисы

Поскольку точка директрисы (см. схему) и фокус обратны относительно окружности, инверсия у окружности (на схеме зеленая). Следовательно, можно построить так, как показано на схеме. Директриса – это перпендикуляр к главной оси в точке . ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$

Общий эллипс

Если фокус и директриса , получается уравнение ${\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)}$ ${\displaystyle ux+vy+w=0}$

$${\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}$$

(Правая часть уравнения использует нормальную форму линии Гессе для расчета расстояния .) ${\displaystyle |Pl|}$

Свойство отражения от фокуса к фокусу

Эллипс: касательная делит пополам дополнительный угол угла между линиями, ведущими к фокусам.

Лучи из одного фокуса отражаются от эллипса и проходят через другой фокус.

Эллипс обладает следующим свойством:

Нормаль в точке делит угол между линиями пополам . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}$

Доказательство

Поскольку касательная линия перпендикулярна нормали, эквивалентным утверждением является то, что касательная является биссектрисой внешнего угла линий, ведущих к фокусам (см. Диаграмму). Пусть – точка на прямой с расстоянием до фокуса , где – большая полуось эллипса. Пусть линия будет биссектрисой внешнего угла прямых и, следовательно , возьмем любую другую точку. Согласно неравенству треугольника и теореме о биссектрисе угла , следовательно , она должна находиться вне эллипса. Поскольку это верно для любого выбора, пересекающего эллипс только в одной точке, так же должна быть и касательная линия. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w.}$ ${\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<{}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|={}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$

Приложение

Лучи из одного фокуса отражаются эллипсом во второй фокус. Это свойство имеет оптическое и акустическое применение, аналогично отражающему свойству параболы (см. шепчущую галерею ).

Сопряженные диаметры

Определение сопряженных диаметров

Ортогональные диаметры окружности с квадратом касательных, серединами параллельных хорд и аффинным изображением, представляющим собой эллипс с сопряженными диаметрами, параллелограммом касательных и серединами хорд.

Круг обладает следующим свойством:

Середины параллельных хорд лежат на диаметре.

Аффинное преобразование сохраняет параллельность и середины отрезков, поэтому это свойство справедливо для любого эллипса. (Обратите внимание, что параллельные хорды и диаметр больше не ортогональны.)

Определение

Два диаметра эллипса сопряжены , если середины хорд параллельны друг другу и лежат на ${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}\ .}$

Из диаграммы можно найти:

Два диаметра эллипса сопряжены, если касательные в точках и параллельны . ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$

Сопряженные диаметры в эллипсе обобщают ортогональные диаметры в круге.

В приведенном выше параметрическом уравнении общего эллипса

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

любая пара точек принадлежит диаметру, а пара принадлежит сопряженному с ним диаметру. ${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$ ${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

Для обычного параметрического представления эллипса с уравнением получаем: Точки ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$(знаки: (+,+) или (−,−))

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$(знаки: (−,+) или (+,−))

являются сопряженными и

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

В случае круга последнее уравнение схлопывается до ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

Теорема Аполлония о сопряженных диаметрах

Теорема Аполлония

Для альтернативной формулы площади

Для эллипса с полуосями справедливо следующее: ^{[9] [10]} ${\displaystyle a,\,b}$

Пусть и — половины двух сопряженных диаметров (см. рисунок), тогда ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
2. Треугольник со сторонами (см. рисунок) имеет постоянную площадь , которую тоже можно выразить через . - высота точки и угол между полудиаметрами. Следовательно, площадь эллипса (см. раздел «Свойства метрики») можно записать как . ${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$ ${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$ ${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$
3. Параллелограмм касательных, примыкающих к заданным сопряженным диаметрам, имеет вид ${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

Доказательство

Пусть эллипс имеет каноническую форму с параметрическим уравнением

$${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

Две точки находятся на сопряженных диаметрах (см. предыдущий раздел). Из тригонометрических формул получают и ${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$

$${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

Площадь треугольника, образованного ${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$

$${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$

Из рисунка видно, что площадь параллелограмма в 8 раз больше площади . Следовательно ${\displaystyle A_{\Delta }}$

$${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}$$

Ортогональные касательные

Эллипс с ортоптиком

Для эллипса точки пересечения ортогональных касательных лежат на окружности . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Этот круг называется ортоптическим или направляющим кругом эллипса (не путать с круговой направляющей, определенной выше).

Рисование эллипсов

Центральная проекция кругов (ворота)

Эллипсы появляются в начертательной геометрии как изображения (параллельная или центральная проекция) кругов. Существуют различные инструменты для рисования эллипса. Компьютеры предоставляют самый быстрый и точный метод рисования эллипса. Однако существуют технические инструменты ( эллипсографы ), позволяющие нарисовать эллипс без компьютера. Принцип эллипсографа был известен греческим математикам, таким как Архимед и Проклос .

Если эллипсографа нет, можно нарисовать эллипс, используя аппроксимацию четырьмя соприкасающимися кругами в вершинах.

Для любого метода, описанного ниже, необходимо знание осей и полуосей (или, что то же самое: фокусов и большой полуоси). Если это предположение не выполняется, то необходимо знать как минимум два сопряженных диаметра. С помощью конструкции Ритца можно извлечь оси и полуоси.

Точечная конструкция де Ла Гира

Следующая конструкция одиночных точек эллипса принадлежит де Ла Гиру . ^[11] Он основан на стандартном параметрическом представлении эллипса: ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$

1. Нарисуйте два круга с центром в центре эллипса с радиусами и осями эллипса. ${\displaystyle a,b}$
2. Нарисуйте линию через центр , которая пересекает два круга в точках и соответственно. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Нарисуйте линию , параллельную малой оси, и линию , параллельную большой оси. Эти линии встречаются в точке эллипса (см. диаграмму). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
4. Повторите шаги (2) и (3) с разными линиями, проходящими через центр.

• 
  метод де Ла Гира
• 
  Анимация метода

Эллипс: метод садовника

Метод булавок и веревок

Характеристика эллипса как геометрического места точек так, чтобы сумма расстояний до фокусов была постоянной, приводит к методу его рисования с использованием двух канцелярских кнопок , веревки и карандаша. В этом методе булавки втыкаются в бумагу в двух точках, которые становятся фокусами эллипса. К двум булавкам на каждом конце привязана веревка; его длина после завязывания составляет . Затем кончик карандаша рисует эллипс, если его перемещать, сохраняя при этом натянутую веревку. Используя два колышка и веревку, садовники используют эту процедуру, чтобы очертить эллиптическую клумбу — поэтому ее называют эллипсом садовника . ${\displaystyle 2a}$

Подобный метод рисования конфокальных эллипсов с замкнутой струной принадлежит ирландскому епископу Чарльзу Грейвсу .

Методы полоски бумаги

Два следующих метода основаны на параметрическом представлении (см. § Стандартное параметрическое представление выше):

$${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$$

Технически это представление можно смоделировать двумя простыми методами. В обоих случаях центр, оси и полуоси должны быть известны. ${\displaystyle a,\,b}$

Способ 1

Первый метод начинается с

полоска бумаги длиной . ${\displaystyle a+b}$

Точка пересечения полуосей отмечена . Если полоска скользит обоими концами по осям нужного эллипса, то точка обводит эллипс. Для доказательства показано, что точка имеет параметрическое представление , где параметром является угол наклона бумажной полоски. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Техническую реализацию движения бумажной полоски может осуществить пара Туси (см. анимацию). Устройство способно нарисовать любой эллипс с фиксированной суммой , которая является радиусом большого круга. Это ограничение может оказаться недостатком в реальной жизни. Более гибким является второй метод полоски бумаги. ${\displaystyle a+b}$

• 
  Построение эллипса: метод бумажной полоски 1
• 
  Эллипсы с парой Туси. Два примера: красный и голубой.

Вариант метода 1 бумажной полоски использует наблюдение, что середина бумажной полоски движется по кругу с центром (эллипса) и радиусом . Таким образом, полоску бумаги можно разрезать пополам , снова соединить шарниром и зафиксировать скользящий конец в центре (см. Рисунок). После этой операции движение неизмененной половины полоски не изменится. ^[12] Для этого варианта требуется только один скользящий башмак. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$

• 
  Вариант метода бумажной полоски 1
• 
  Анимация варианта метода бумажной полоски 1

Построение эллипса: метод бумажной полоски 2

Способ 2

Второй метод начинается с

полоска бумаги длиной . ${\displaystyle a}$

Отмечается точка, разделяющая полосу на две подполосы длины и . Полоса располагается по осям, как показано на схеме. Тогда свободный конец полоски очерчивает эллипс, а полоска перемещается. Для доказательства следует признать, что точку трассировки можно описать параметрически как , где параметром является угол наклона бумажной полоски. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Этот метод является основой для нескольких эллипсографов (см. раздел ниже).

Подобно варианту метода бумажных полосок 1, вариант метода бумажных полосок 2 можно создать (см. схему), разрезав часть между осями пополам.

• 
  Походка Архимеда (принцип)
• 
  Эллипсограф Бенджамина Брамера
• 
  Вариант метода бумажной полоски 2

Большинство инструментов для рисования эллипсографов основаны на втором методе полосок бумаги.

Аппроксимация эллипса соприкасающимися окружностями

Приближение соприкасающимися окружностями

Из свойств метрики ниже можно получить:

• Радиус кривизны в вершинах равен: ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$
• Радиус кривизны в со-вершинах равен: ${\displaystyle V_{3},\,V_{4}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}\ .}$

На диаграмме показан простой способ найти центры кривизны в вершине и ко-вершине соответственно: ${\displaystyle C_{1}=\left(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0\right),\,C_{3}=\left(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}}\right)}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{3}}$

1. отмечаем вспомогательную точку и рисуем отрезок ${\displaystyle H=(a,\,b)}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
2. проведите линию через , которая перпендикулярна линии ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
3. точки пересечения этой линии с осями являются центрами соприкасающихся окружностей.

(доказательство: простой расчет.)

Центры остальных вершин находятся по симметрии.

С помощью кривой Френч рисуют кривую, имеющую плавный контакт с соприкасающимися окружностями .

поколение Штейнера

Эллипс: поколение Штейнера

Эллипс: поколение Штейнера

Следующий метод построения отдельных точек эллипса основан на генерации Штейнером конического сечения :

Учитывая два пучка прямых в двух точках (все строки содержат и соответственно) и проективное, но не перспективное отображение на , то точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение. ${\displaystyle B(U),\,B(V)}$ ${\displaystyle U,\,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Для построения точек эллипса используются карандаши в вершинах . Пусть – верхняя ко-вершина эллипса и . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle P=(0,\,b)}$ ${\displaystyle A=(-a,\,2b),\,B=(a,\,2b)}$

${\displaystyle P}$является центром прямоугольника . Сторона прямоугольника разделена на n равноотстоящих друг от друга отрезков, и это деление проецируется параллельно диагонали как направление на отрезок и назначается деление, как показано на диаграмме. Параллельная проекция вместе с обратной ориентацией является частью проективного отображения между карандашами в точках и . Точки пересечения любых двух связанных линий и являются точками однозначно определенного эллипса. С помощью точек можно определить точки второй четверти эллипса. Аналогично получаются точки нижней половины эллипса. ${\displaystyle V_{1},\,V_{2},\,B,\,A}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle AV_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {V_{1}B}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}B_{i}}$ ${\displaystyle V_{2}A_{i}}$ ${\displaystyle C_{1},\,\dotsc }$

Генерация Штейнера также может быть определена для гипербол и парабол. Его иногда называют методом параллелограмма, потому что вместо вершин можно использовать другие точки, которые начинаются с параллелограмма вместо прямоугольника.

Как гипотрохоид

Эллипс (красным) как частный случай гипотрохоиды с R  =  2 r .

Эллипс является частным случаем гипотрохоиды , когда , как показано на соседнем изображении. Частный случай движущейся окружности радиуса внутри окружности радиуса называется парой Туси . ${\displaystyle R=2r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R=2r}$

Вписанные углы и трехточечная форма.

Круги

Круг: теорема о вписанном угле

Окружность с уравнением однозначно определяется тремя точками, не лежащими на прямой. Простой способ определения параметров использует теорему о вписанном угле для окружностей: ${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\;\left(x_{2},\,y_{2}\right),\;\left(x_{3},\,y_{3}\right)}$ ${\displaystyle x_{\circ },y_{\circ },r}$

Для четырех точек (см. диаграмму) справедливо следующее утверждение: ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Четыре точки лежат на окружности тогда и только тогда, когда углы при и равны. ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

Обычно вписанные углы измеряют в градусах или радианах θ , но здесь удобнее следующее измерение:

Чтобы измерить угол между двумя линиями с помощью уравнений, нужно использовать частное: ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2},}$

$${\displaystyle {\frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=\cot \theta \ .}$$

Теорема о вписанном угле для окружностей

Для четырех точек, из которых нет трех на линии, имеем следующее (см. диаграмму): ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Четыре точки лежат на окружности тогда и только тогда, когда углы при и равны. С точки зрения измерения угла выше, это означает: ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

$${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Сначала размер доступен только для аккордов, не параллельных оси Y, но окончательная формула работает для любого аккорда.

Трехточечная форма уравнения окружности

Как следствие, получается уравнение для окружности, определяемой тремя неколлинеарными точками : ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$

$${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Например, для трехточечного уравнения: ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$, который можно переставить в ${\displaystyle (x-1)^{2}+\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {5}{4}}\ .}$

Используя векторы, скалярные произведения и определители , эту формулу можно представить более четко, полагая : ${\displaystyle {\vec {x}}=(x,\,y)}$

$${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}}.}$$

Центр круга удовлетворяет: ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\dfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\[2ex]{\dfrac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\[1ex]y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\[2ex]{\dfrac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}$$

Радиус — это расстояние между любой из трех точек и центром.

$${\displaystyle r={\sqrt {\left(x_{1}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{2}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{3}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{\circ }\right)^{2}}}.}$$

Эллипсы

В этом разделе рассматривается семейство эллипсов, определяемое уравнениями с фиксированным эксцентриситетом . Удобно использовать параметр: ${\displaystyle {\tfrac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle e}$

$${\displaystyle {\color {blue}q}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {1}{1-e^{2}}},}$$

и записать уравнение эллипса как:

$${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+{\color {blue}q}\,\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=a^{2},}$$

где q фиксировано и изменяется в пределах действительных чисел. (Такие эллипсы имеют оси, параллельные осям координат: если , то большая ось параллельна оси x ; если , то она параллельна оси y .) ${\displaystyle x_{\circ },\,y_{\circ },\,a}$ ${\displaystyle q<1}$ ${\displaystyle q>1}$

Теорема о вписанном угле эллипса

Как и круг, такой эллипс определяется тремя точками, не лежащими на прямой.

Для этого семейства эллипсов вводится следующая q-аналоговая угловая мера, которая не является функцией обычной угловой меры θ : ^{[13] [14]}

Чтобы измерить угол между двумя линиями с помощью уравнений, нужно использовать частное: ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}\ .}$$

Теорема о вписанном угле для эллипсов

Даны четыре точки , и нет трех из них на прямой (см. схему). ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4}$

Четыре точки находятся на эллипсе с уравнением тогда и только тогда, когда углы при и равны в смысле приведенного выше измерения, то есть если ${\displaystyle (x-x_{\circ })^{2}+{\color {blue}q}\,(y-y_{\circ })^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

$${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

Сначала размер доступен только для хорд, не параллельных оси Y. Но окончательная формула работает для любого аккорда. Доказательство следует из несложного расчета. Для направления доказательства, учитывая, что точки лежат на эллипсе, можно предположить, что центр эллипса является началом координат.

Трехточечная форма уравнения эллипса

В результате получается уравнение эллипса, определяемого тремя неколлинеарными точками : ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$

$${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

Например, при и получается трехточечная форма ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$ ${\displaystyle q=4}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$и после конвертации ${\displaystyle {\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\frac {1}{2}}}=1.}$

Аналогично случаю с кругом уравнение можно записать более наглядно, используя векторы:

$${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}},}$$

где модифицированное скалярное произведение ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\vec {u}}*{\vec {v}}=u_{x}v_{x}+{\color {blue}q}\,u_{y}v_{y}.}$

Полюсно-полярное соотношение

Эллипс: полюс-полярное соотношение

Любой эллипс можно описать в подходящей системе координат уравнением . Уравнение касательной в точке эллипса: Если позволить точке быть произвольной точкой, отличной от начала координат, то ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1.}$ ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$

точка отображается на линии , а не через центр эллипса. ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)\neq (0,\,0)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}$

Это отношение между точками и линиями является биекцией .

Обратная функция отображает

• линия на точку и ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {ma^{2}}{d}},\,{\tfrac {b^{2}}{d}}\right)}$
• линия на точку ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}}{c}},\,0\right).}$

Такое отношение между точками и линиями, порожденное коникой, называется полюсно-полярным отношением или полярностью . Полюс — это точка; полярная линия.

Расчетным путем можно подтвердить следующие свойства полюсно-полярного отношения эллипса:

• Для точки (полюса) на эллипсе полярой является касательная в этой точке (см. схему: ). ${\displaystyle P_{1},\,p_{1}}$
• Для полюса вне эллипса точки пересечения его поляры с эллипсом являются точками касания двух проходящих касательных (см. схему: ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\,p_{2}}$
• Для точки внутри эллипса поляра не имеет общей точки с эллипсом (см. диаграмму: ). ${\displaystyle F_{1},\,l_{1}}$

1. Точкой пересечения двух поляров является полюс линии, проходящей через их полюса.
2. Фокусы и соответственно и директрисы и соответственно принадлежат парам полюса и поляра. Поскольку они являются четными парами полярностей относительно круга , направляющие можно построить с помощью циркуля и линейки (см. Обратная геометрия ). ${\displaystyle (c,\,0)}$ ${\displaystyle (-c,\,0)}$ ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$

Полюсно-полярные отношения существуют также для гипербол и парабол.

Метрические свойства

Все метрические свойства, приведенные ниже, относятся к эллипсу с уравнением

за исключением участка на площади, ограниченной наклонным эллипсом, где будет задан обобщенный вид уравнения ( 1 ).

Область

Площадь , заключенная в эллипс, равна: ${\displaystyle A_{\text{ellipse}}}$

где и – длины большой и малой полуосей соответственно. Формула площади интуитивно понятна: начните с круга радиуса (его площадь равна ) и растяните его в несколько раз , чтобы получился эллипс. Это масштабирует площадь на тот же коэффициент: ^[15] Однако использование того же подхода для окружности было бы ошибочным – сравните интегралы и . Строго доказать формулу площади с помощью интегрирования также легко следующим образом. Уравнение ( 1 ) можно переписать так: Для этой кривой — верхняя половина эллипса. Таким образом, двойной интеграл по интервалу будет площадью эллипса: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi b^{2}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx}$ ${\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx}$ ${\textstyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}.}$ ${\displaystyle x\in [-a,a],}$ ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle [-a,a]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}$$

Второй интеграл — это площадь круга радиуса , то есть So ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \pi a^{2}.}$

$${\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}$$

Эллипс, определенный неявно, имеет площадь ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}$ ${\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}.}$

Площадь также можно выразить через эксцентриситет и длину большой полуоси как (получено путем решения задачи сплющивания и последующего вычисления малой полуоси). ${\displaystyle a^{2}\pi {\sqrt {1-e^{2}}}}$

Площадь, ограниченная наклонным эллипсом, равна . ${\displaystyle \pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}}$

До сих пор мы имели дело с прямыми эллипсами, большая и малая оси которых параллельны осям и . Однако в некоторых приложениях требуются наклонные эллипсы. Например, в оптике пучка заряженных частиц замкнутая область прямого или наклонного эллипса является важным свойством пучка, его эмиттансом . В этом случае по-прежнему применима простая формула, а именно: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

где – точки пересечения , а – максимальные значения. Это следует непосредственно из теоремы Аполлония. ${\displaystyle y_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x_{\text{max}}}$ ${\displaystyle y_{\text{max}}}$

Длина окружности

Эллипсы одинаковой длины

Длина окружности эллипса равна: ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}$$

где опять же – длина большой полуоси, – эксцентриситет, а функция – полный эллиптический интеграл второго рода , ${\displaystyle a}$ ${\textstyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$$

элементарной функцией

Окружность эллипса можно оценить с помощью среднего арифметико-геометрического Гаусса ; ^[16] это квадратично сходящийся итерационный метод ( подробнее см. здесь ). ${\displaystyle E(e)}$

Точный бесконечный ряд :

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]\\&=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}},\end{aligned}}}$$

двойной факториалДжеймса Айвори ^[17][18], ${\displaystyle n!!}$ ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n+1)!!/(2n+1)}$ ${\displaystyle n\leq 0}$ ${\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\\&=\pi (a+b)\left[1+{\frac {h}{4}}+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\right]\\&=\pi (a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}{\frac {h^{n}}{(2n-1)^{2}}}\right].\end{aligned}}}$$

Шриниваса Рамануджан дал два близких приближения длины окружности в § 16 книги «Модульные уравнения и приближения »; ^[19] они ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle C\approx \pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}{\biggr ]}=\pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {10ab+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}}{\biggr ]}}$$

$${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right),}$$

${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h^{3}}$ ${\displaystyle h^{5},}$

Длина дуги

В более общем смысле, длина дуги части окружности как функция стягиваемого угла (или координат x любых двух точек в верхней половине эллипса) определяется неполным эллиптическим интегралом . Верхняя половина эллипса параметризуется

$${\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}$$

Тогда длина дуги от до равна: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \ x_{1}\ }$ ${\displaystyle \ x_{2}\ }$

$${\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;dz~.}$$

Это эквивалентно

$${\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}$$

где – неполный эллиптический интеграл второго рода с параметром ${\displaystyle E(z\mid m)}$ ${\displaystyle m=k^{2}.}$

Некоторые нижние и верхние оценки длины окружности канонического эллипса с ^[20] ${\displaystyle \ x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\ }$ ${\displaystyle \ a\geq b\ }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a\ ,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b)\ ,\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}&\leq C\leq {\sqrt {2\ }}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}~.\end{aligned}}}$$

Здесь верхняя граница — это длина описанной концентрической окружности , проходящей через концы большой оси эллипса, а нижняя граница — периметр вписанного ромба с вершинами на концах большой и малой осей. ${\displaystyle \ 2\pi a\ }$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Кривизна

Кривизна определяется радиусом кривизны в точке : ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .}$$

Радиус кривизны в двух вершинах и центрах кривизны: ${\displaystyle (\pm a,0)}$

$${\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}$$

Радиус кривизны в двух вершинах и центрах кривизны: ${\displaystyle (0,\pm b)}$

$${\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}$$

В геометрии треугольника

Эллипсы появляются в геометрии треугольника как

1. Эллипс Штейнера : эллипс, проходящий через вершины треугольника с центром в центроиде,
2. эллипсы : эллипсы, которые касаются сторон треугольника. Особыми случаями являются эллипс Штейнера и эллипс Мандарта .

Как плоские сечения квадрик

Эллипсы представляют собой плоские сечения следующих квадрик :

• Эллипсоид
• Эллиптический конус
• Эллиптический цилиндр
• Гиперболоид одного листа
• Гиперболоид из двух листов

• 
  Эллипсоид
• 
  Эллиптический конус
• 
  Эллиптический цилиндр
• 
  Гиперболоид одного листа
• 
  Гиперболоид из двух листов

Приложения

Физика

Эллиптические отражатели и акустика

Волновая картина маленькой капли, упавшей в ртуть в фокусах эллипса.

Если поверхность воды возмущена в одном фокусе эллиптического резервуара для воды, круговые волны этого возмущения после отражения от стенок сходятся одновременно в одной точке: втором фокусе . Это является следствием того, что общая длина перемещения одинакова на любом пути отскока от стены между двумя фокусами.

Аналогично, если источник света поместить в один фокус эллиптического зеркала , все световые лучи в плоскости эллипса отражаются во второй фокус. Поскольку ни одна другая гладкая кривая не обладает таким свойством, ее можно использовать как альтернативное определение эллипса. (В частном случае круга с источником в центре весь свет будет отражаться обратно в центр.) Если эллипс вращается вдоль своей большой оси, образуя эллипсоидное зеркало (в частности, вытянутый сфероид ) , это свойство сохраняется. для всех лучей, исходящих из источника. В качестве альтернативы можно использовать цилиндрическое зеркало с эллиптическим поперечным сечением для фокусировки света линейной люминесцентной лампы вдоль линии бумаги; такие зеркала используются в некоторых сканерах документов .

Звуковые волны отражаются аналогичным образом, поэтому в большом эллиптическом помещении человек, стоящий в одном фокусе, прекрасно слышит человека, стоящего в другом фокусе. Эффект еще более заметен под сводчатой ​​крышей в форме части вытянутого сфероида. Такая комната называется камерой шепота . Тот же эффект можно продемонстрировать с помощью двух отражателей, имеющих форму торцевых крышек такого сфероида, расположенных друг напротив друга на нужном расстоянии. Примерами могут служить Национальный зал скульптур в Капитолии США (где, как говорят , Джон Куинси Адамс использовал это помещение для подслушивания политических вопросов); Скиния мормонов на Храмовой площади в Солт-Лейк-Сити , штат Юта ; на выставке звука в Музее науки и промышленности в Чикаго ; перед Университетом Иллинойса в аудитории Урбана-Шампейн Феллингер; а также в боковой камере дворца Карла V в Альгамбре .

Планетарные орбиты

В 17 веке Иоганн Кеплер в своем первом законе движения планет обнаружил, что орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, представляют собой эллипсы с Солнцем [приблизительно] в одном фокусе . Позже Исаак Ньютон объяснил это как следствие своего закона всемирного тяготения .

В более общем смысле, в гравитационной задаче двух тел , если два тела связаны друг с другом (то есть общая энергия отрицательна), их орбиты представляют собой подобные эллипсы с общим барицентром , являющимся одним из фокусов каждого эллипса. Другой фокус любого эллипса не имеет известного физического значения. Орбита любого тела в системе отсчета другого также представляет собой эллипс, причем другое тело находится в том же фокусе.

Кеплеровы эллиптические орбиты являются результатом любой радиально направленной силы притяжения, сила которой обратно пропорциональна квадрату расстояния. Таким образом, в принципе движение двух противоположно заряженных частиц в пустом пространстве также было бы эллипсом. (Однако этот вывод игнорирует потери из-за электромагнитного излучения и квантовых эффектов , которые становятся существенными, когда частицы движутся с высокой скоростью.)

Для эллиптических орбит полезными соотношениями, включающими эксцентриситет, являются: ${\displaystyle e}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={\frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\\r_{a}&=(1+e)a\\r_{p}&=(1-e)a\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle r_{a}}$- радиус в апоапсисе (самое дальнее расстояние)
• ${\displaystyle r_{p}}$- радиус в перицентре (ближайшее расстояние)
• ${\displaystyle a}$длина большой полуоси

Кроме того, с точки зрения и большая полуось — это их среднее арифметическое , малая полуось — их среднее геометрическое , а полуширокая прямая кишка — их среднее гармоническое . Другими словами, ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{p}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}.\end{aligned}}}$$

Гармонические осцилляторы

Общее решение для гармонического осциллятора в двух или более измерениях также представляет собой эллипс. Так обстоит дело, например, с длинным маятником, который может свободно двигаться в двух измерениях; массы, прикрепленной к неподвижной точке совершенно упругой пружиной ; или любого объекта, который движется под действием силы притяжения, прямо пропорциональной его расстоянию от неподвижного аттрактора. Однако в отличие от кеплеровских орбит эти «гармонические орбиты» имеют центр притяжения в геометрическом центре эллипса и имеют довольно простые уравнения движения.

Фазовая визуализация

В электронике относительную фазу двух синусоидальных сигналов можно сравнить, подав их на вертикальный и горизонтальный входы осциллографа . Если фигура Лиссажу представляет собой эллипс, а не прямую линию, два сигнала не совпадают по фазе.

Эллиптические шестерни

Две некруглые шестерни одинакового эллиптического контура, каждая из которых вращается вокруг одного фокуса и расположена под нужным углом, плавно вращаются, постоянно сохраняя контакт. В качестве альтернативы они могут быть соединены звеньевой цепью или ремнем ГРМ , а в случае велосипеда главная передняя звезда может быть эллиптической или овоидной , похожей на эллипс по форме. Такие эллиптические шестерни могут использоваться в механическом оборудовании для создания переменной угловой скорости или крутящего момента за счет постоянного вращения ведущей оси или, в случае велосипеда, для обеспечения изменяющейся скорости вращения кривошипа с обратно изменяющимся механическим преимуществом .

Эллиптические велосипедные шестерни облегчают соскальзывание цепи с шестерни при переключении передач. ^[21]

Примером применения механизма может служить устройство, наматывающее нить на коническую шпульку прядильной машины . Шпульке придется наматывать быстрее, когда нить находится у вершины, чем когда она находится у основания. ^[22]

Оптика

• В материале, который является оптически анизотропным ( двулучепреломляющим ), показатель преломления зависит от направления света. Зависимость можно описать индексным эллипсоидом . (Если материал оптически изотропен , этот эллипсоид представляет собой сферу.)
• В твердотельных лазерах с ламповой накачкой для направления света от лампы накачки (соосной с одной эллиптической фокальной осью) на стержень активной среды (соосный со второй фокальной осью) используются эллиптические отражатели цилиндрической формы. ^[23]
• В лазерно-плазменных источниках EUV- света, используемых в литографии микрочипов , EUV-свет генерируется плазмой, расположенной в первичном фокусе эллипсоидного зеркала, и собирается во вторичном фокусе на входе литографической машины. ^[24]

Статистика и финансы

В статистике двумерный случайный вектор распределяется совместно эллиптически, если его контуры изоплотности — локусы равных значений функции плотности — представляют собой эллипсы. Эта концепция распространяется на произвольное количество элементов случайного вектора, и в этом случае, как правило, контуры изоплотности представляют собой эллипсоиды. Особым случаем является многомерное нормальное распределение . Эллиптические распределения важны в финансах , потому что, если нормы доходности активов совместно распределены эллиптически, тогда все портфели могут быть полностью охарактеризованы их средним значением и дисперсией, то есть любые два портфеля с одинаковым средним значением и дисперсией доходности портфеля имеют одинаковое распределение портфеля. возвращаться. ^{[25] [26]} ${\displaystyle (X,Y)}$

Компьютерная графика

Рисование эллипса как графического примитива часто встречается в стандартных библиотеках отображения, таких как MacIntosh QuickDraw API и Direct2D в Windows. Джек Брезенхэм из IBM наиболее известен изобретением примитивов двумерного рисования, включая рисование линий и кругов, с использованием только быстрых целочисленных операций, таких как сложение и ветвление по биту переноса. MLV Pitteway расширил алгоритм Брезенхема для прямых до коник в 1967 году. ^[27] Другое эффективное обобщение для рисования эллипсов было изобретено в 1984 году Джерри Ван Акеном. ^[28]

В 1970 году Дэнни Коэн представил на конференции «Компьютерная графика 1970» в Англии линейный алгоритм рисования эллипсов и кругов. В 1971 году Л. Б. Смит опубликовал аналогичные алгоритмы для всех конических сечений и доказал их хорошие свойства. ^[29] Этим алгоритмам требуется всего лишь несколько умножений и сложений для вычисления каждого вектора.

В компьютерной графике выгодно использовать параметрическую формулировку, поскольку плотность точек наибольшая там, где имеется наибольшая кривизна. Таким образом, изменение наклона между каждой последующей точкой невелико, что уменьшает кажущуюся «неровность» аппроксимации.

Рисование с помощью путей Безье

Составные кривые Безье также можно использовать для рисования эллипса с достаточной точностью, поскольку любой эллипс можно рассматривать как аффинное преобразование круга. Сплайновые методы, используемые для рисования круга, могут использоваться для рисования эллипса, поскольку составляющие кривые Безье ведут себя соответствующим образом при таких преобразованиях.

Теория оптимизации

Иногда бывает полезно найти минимальный ограничивающий эллипс на множестве точек. Метод эллипсоида весьма полезен для решения этой проблемы.

Смотрите также

• Портал Солнечной системы
• Научный портал
• Математический портал
• Астрономический портал
• Биографический портал
• Технологический портал

• Декартов овал , обобщение эллипса.
• Циркумконический и неконический
• Расстояние наибольшего сближения эллипсов
• Эллипс фитинг
• Эллиптические координаты — ортогональная система координат, основанная на семействах эллипсов и гипербол.
• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Эллиптическое распределение в статистике
• Эллиптический купол
• Геодезические на эллипсоиде
• Большой эллипс
• Законы движения планет Кеплера
• n -ellipse , обобщение эллипса для n фокусов
• Овал
• Сфероид — эллипсоид, полученный вращением эллипса вокруг его большой или малой оси.
• Стадион (геометрия) — двумерная геометрическая фигура, состоящая из прямоугольника с полукругами на двух противоположных сторонах.
• Окружность Штайнера — уникальный эллипс, описывающий треугольник и разделяющий его центроид.
• Суперэллипс , обобщение эллипса, которое может выглядеть более прямоугольным или более «заостренным».
• Истинная , эксцентричная и средняя аномалия

Примечания

1. Апостол, Том М.; Мнацаканян, Мамикон А. (2012), Новые горизонты геометрии , Математические экспозиции Дольчиани № 47, Математическая ассоциация Америки, стр. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
2. Немецкий термин для обозначения этого круга - Leitkreis , что можно перевести как «Директорский круг», но в английской литературе этот термин имеет другое значение (см. « Директорский круг »).
3. «Эллипс - из Wolfram MathWorld». Mathworld.wolfram.com. 10 сентября 2020 г. Проверено 10 сентября 2020 г.
4. Проттер и Морри (1970, стр. 304, APP-28)
5. Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; Фалво, Дэвид К. (2006). «Глава 10». Предварительное исчисление с пределами. Cengage Обучение. п. 767. ИСБН 978-0-618-66089-6.
6. Янг, Синтия Ю. (2010). «Глава 9». Предварительное исчисление. Джон Уайли и сыновья. п. 831. ИСБН 978-0-471-75684-2.
7. Лоуренс, Дж. Деннис, Каталог специальных плоских кривых , Dover Publ., 1972.
8. К. Штрубекер: Vorlesungen über Darstellende Geometry , GÖTTINGEN, VANDENHOECK & RUPRECHT, 1967, стр. 26
9. Бронштейн и Семенджаев: Taschenbuch der Mathematik , Verlag Harri Deutsch, 1979, ISBN 3871444928 , стр. 274. 
10. Энциклопедия математики , Springer, URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Apollonius_theorem&oldid=17516.
11. К. Штрубекер: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. Ванденхук и Рупрехт, Геттинген, 1967, стр. 26.
12. Дж. ван Маннен: Инструменты семнадцатого века для рисования конических сечений. В: Математический вестник. Том. 76, 1992, с. 222–230.
13. Э. Хартманн: Конспект лекции «Геометрия плоского круга», введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского, с. 55
14. В. Бенц, Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973)
15. Архимед. (1897). Работы Архимеда. Хит, Томас Литтл, сэр, 1861–1940 гг. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 115. ИСБН 0-486-42084-1. ОСЛК  48876646.
16. Карлсон, Британская Колумбия (2010), «Эллиптические интегралы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
17. Айвори, Дж. (1798). «Новая серия по исправлению многоточия». Труды Королевского общества Эдинбурга . 4 (2): 177–190. дои : 10.1017/s0080456800030817. S2CID  251572677.
18. Бессель, ФР (2010). «Расчет долготы и широты по геодезическим измерениям (1825 г.)». Астрон. Нахр . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1824 . Бибкод : 2010AN....331..852K. дои : 10.1002/asna.201011352. S2CID  118760590.Английский перевод Бесселя, FW (1825 г.). «Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen». Астрон. Нахр . 4 (16): 241–254. arXiv : 0908.1823 . Бибкод : 1825AN......4..241B. дои : 10.1002/asna.18260041601. S2CID  118630614.
19. Рамануджан, Шриниваса (1914). «Модульные уравнения и приближения к π». Кварта. Приложение J. Pure. Математика . 45 : 350–372. ISBN 9780821820766.
20. Джеймсон, GJO (2014). «Неравенства для периметра эллипса». Математический вестник . 98 (542): 227–234. дои : 10.1017/S002555720000125X. S2CID  125063457.
21. Дэвид Дрю. «Эллиптические шестерни». [1]
22. Грант, Джордж Б. (1906). Трактат о зубчатых колесах. Филадельфийский завод шестерен. п. 72.
23. Энциклопедия лазерной физики и техники - лазеры с ламповой накачкой, дуговые лампы, лампы-вспышки, мощный Nd:YAG-лазер.
24. "Cymer - Домашняя страница категории подробностей плазменной камеры EUV" . Архивировано из оригинала 17 мая 2013 г. Проверено 20 июня 2013 г.
25. Чемберлен, Г. (февраль 1983 г.). «Характеристика распределений, которые подразумевают среднее значение - функции полезности дисперсии». Журнал экономической теории . 29 (1): 185–201. дои : 10.1016/0022-0531(83)90129-1.
26. Оуэн, Дж.; Рабинович, Р. (июнь 1983 г.). «О классе эллиптических распределений и их приложениях к теории выбора портфеля». Журнал финансов . 38 (3): 745–752. doi :10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x. JSTOR  2328079.
27. Питтуэй, MLV (1967). «Алгоритм рисования эллипсов или гипербол цифровым плоттером». Компьютерный журнал . 10 (3): 282–9. дои : 10.1093/comjnl/10.3.282 .
28. Ван Акен-младший (сентябрь 1984 г.). «Эффективный алгоритм рисования эллипса». IEEE Компьютерная графика и приложения . 4 (9): 24–35. дои : 10.1109/MCG.1984.275994. S2CID  18995215.
29. Смит, LB (1971). «Рисование эллипсов, гипербол или парабол с фиксированным количеством точек». Компьютерный журнал . 14 (1): 81–86. дои : 10.1093/comjnl/14.1.81 .

Рекомендации

• Безант, WH (1907). «Глава III. Эллипс». Конические сечения . Лондон: Джордж Белл и сыновья. п. 50.
• Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 115–9.
• Месерв, Брюс Э. (1983) [1959], Фундаментальные концепции геометрии , Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9
• Миллер, Чарльз Д.; Лиал, Маргарет Л.; Шнайдер, Дэвид И. (1990). Основы студенческой алгебры (3-е изд.). Скотт Форесман/Литтл. п. 381. ИСБН 978-0-673-38638-0.
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN  76087042

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с эллипсом, в Wikiquote
• СМИ, связанные с эллипсами, на Викискладе?
• эллипс в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллипс». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллипс как особый случай гипотрохоиды». Математический мир .
• Вывод Аполлонием эллипса при сближении
• Форма и история эллипса в Вашингтоне, округ Колумбия, Кларк Кимберлинг
• Калькулятор окружности эллипса
• Коллекция анимированных демонстраций эллипсов
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Эллипс», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Trammel по Франсу ван Скутену
• «Почему нет уравнения для периметра эллипса‽» на YouTube Мэтта Паркера.