Топологическое пространство

Математическое пространство с понятием близости

В математике топологическое пространство — это, грубо говоря, геометрическое пространство , в котором близость определяется, но не обязательно может быть измерена числовым расстоянием . Более конкретно, топологическое пространство — это множество , элементы которого называются точками , вместе с дополнительной структурой, называемой топологией , которая может быть определена как множество окрестностей для каждой точки, удовлетворяющих некоторым аксиомам , формализующим концепцию близости. Существует несколько эквивалентных определений топологии, наиболее часто используемым из которых является определение через открытые множества , которым легче манипулировать, чем другими.

Топологическое пространство — наиболее общий тип математического пространства , который допускает определение пределов , непрерывности и связности . ^{[1] [2]} Распространенные типы топологических пространств включают евклидовы пространства , метрические пространства и многообразия .

Хотя это понятие очень общее, оно является фундаментальным и используется практически в каждой отрасли современной математики. Изучение топологических пространств само по себе называется топологией точечных множеств или общей топологией .

История

Около 1735 года Леонард Эйлер открыл формулу, связывающую число вершин (V), ребер (E) и граней (F) выпуклого многогранника , и, следовательно, плоского графа . Изучение и обобщение этой формулы, в частности Коши (1789–1857) и Люилье (1750–1840), подстегнули изучение топологии. В 1827 году Карл Фридрих Гаусс опубликовал «Общие исследования кривых поверхностей» , в разделе 3 которого кривая поверхность определяется аналогично современному топологическому пониманию: «Говорят, что кривая поверхность обладает непрерывной кривизной в одной из своих точек A, если направление всех прямых линий, проведенных из A в точки поверхности, находящиеся на бесконечно малом расстоянии от A, отклоняется бесконечно мало от одной и той же плоскости, проходящей через A». ^{[3] [ необходим непервичный источник ]} ${\displaystyle V-E+F=2}$

Тем не менее, «до работы Римана в начале 1850-х годов поверхности всегда рассматривались с локальной точки зрения (как параметрические поверхности), а топологические вопросы никогда не рассматривались». ^[4] « Мёбиус и Жордан , по-видимому, были первыми, кто понял, что главная проблема топологии (компактных) поверхностей заключается в нахождении инвариантов (предпочтительно числовых) для определения эквивалентности поверхностей, то есть для определения того, являются ли две поверхности гомеоморфными или нет». ^[4]

Предмет четко определен Феликсом Клейном в его « Эрлангенской программе » (1872): геометрические инварианты произвольного непрерывного преобразования, разновидность геометрии. Термин «топология» был введен Иоганном Бенедиктом Листингом в 1847 году, хотя он использовал этот термин в переписке несколькими годами ранее вместо ранее использовавшегося «Analysis situs». Основу этой науки для пространства любой размерности создал Анри Пуанкаре . Его первая статья на эту тему появилась в 1894 году . ^[5] В 1930-х годах Джеймс Уодделл Александр II и Хасслер Уитни впервые высказали идею о том, что поверхность — это топологическое пространство, локально подобное евклидовой плоскости .

Топологические пространства были впервые определены Феликсом Хаусдорфом в 1914 году в его основополагающих «Принципах теории множеств». Метрические пространства были определены ранее в 1906 году Морисом Фреше , хотя именно Хаусдорф популяризировал термин «метрическое пространство» ( нем . metrischer Raum ). ^{[6] [7] [ нужен лучший источник ]}

Определения

Полезность концепции топологии показана тем фактом, что существует несколько эквивалентных определений этой математической структуры . Таким образом, выбирается аксиоматизация, подходящая для приложения. Наиболее часто используемая — в терминах открытых множеств , но, возможно, более интуитивная — в терминах окрестностей , поэтому она приводится первой.

Определение через соседство

Эта аксиоматизация принадлежит Феликсу Хаусдорфу . Пусть будет (возможно, пустым) множеством. Элементы из обычно называются точками , хотя они могут быть любым математическим объектом. Пусть будет функцией, присваивающей каждой (точке) в непустом наборе подмножеств из Элементы из будут называться окрестностями из относительно (или, просто, окрестностями из ). Функция называется топологией соседства, если выполняются приведенные ниже аксиомы ^[8] ; и тогда с называется топологическим пространством . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

1. Если является окрестностью (т.е. ), то Другими словами, каждая точка множества принадлежит каждой из своих окрестностей относительно . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in N.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
2. Если является подмножеством и включает окрестность , то является окрестностью , то есть каждое надмножество окрестности точки снова является окрестностью ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$
3. Пересечение двух районов является районом ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
4. Любая окрестность включает окрестность такую , что является окрестностью каждой точки ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M.}$

Первые три аксиомы для окрестностей имеют ясный смысл. Четвертая аксиома имеет очень важное применение в структуре теории, а именно связывание окрестностей различных точек ${\displaystyle X.}$

Стандартным примером такой системы окрестностей является действительная прямая , где подмножество определяется как окрестность действительного числа, если оно включает открытый интервал, содержащий ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

При такой структуре подмножество определяется как открытое, если является окрестностью всех точек в Тогда открытые множества удовлетворяют аксиомам, приведенным ниже в следующем определении топологического пространства. Наоборот, когда даны открытые множества топологического пространства, окрестности, удовлетворяющие вышеуказанным аксиомам, могут быть восстановлены путем определения как окрестность, если включает открытое множество , такое что ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U.}$

Определение через открытые множества

Топологию на множестве X можно определить как совокупность подмножеств X , называемых открытыми множествами и удовлетворяющих следующим аксиомам: ^[10 ] ${\displaystyle \tau }$

1. Пустое множество и само по себе принадлежат ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
2. Любое произвольное (конечное или бесконечное) объединение членов принадлежит ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$
3. Пересечение любого конечного числа членов принадлежит ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$

Поскольку это определение топологии является наиболее часто используемым, множество открытых множеств обычно называют топологией на ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Подмножество называется замкнутым , если его дополнение является открытым множеством. ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus C}$

Примеры топологий

Обозначим кружками, вот четыре примера и два не-примера топологий на множестве из трех точек. Пример слева внизу не является топологией, поскольку отсутствует объединение и [ie ]; пример справа внизу не является топологией, поскольку отсутствует пересечение и [ie ]. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{2\}}$ ${\displaystyle \{3\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{2\}}$

1. Учитывая тривиальную или недискретную топологию на, является ли семейство , состоящее только из двух подмножеств, требуемых аксиомами, образует топологию на ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Учитывая семейство из шести подмножеств форм, другая топология ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ $${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Если задана дискретная топология , то множеством мощности является семейство, состоящее из всех возможных подмножеств В этом случае топологическое пространство называется дискретным пространством . ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau =\wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
4. Учитывая множество целых чисел, семейство всех конечных подмножеств целых чисел плюс само по себе не является топологией, поскольку (например) объединение всех конечных множеств, не содержащих ноль, не является конечным и, следовательно, не является членом семейства конечных множеств. Объединение всех конечных множеств, не содержащих ноль, также не является всем из и, следовательно, не может быть в ${\displaystyle X=\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau .}$

Определение через закрытые множества

Используя законы де Моргана , приведенные выше аксиомы, определяющие открытые множества, становятся аксиомами, определяющими замкнутые множества :

1. Пустое множество и закрыто. ${\displaystyle X}$
2. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств также замкнуто.
3. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств также замкнуто.

Используя эти аксиомы, можно определить топологическое пространство еще одним способом — как множество вместе с совокупностью замкнутых подмножеств. Таким образом, множества в топологии являются замкнутыми множествами, а их дополнения — открытыми множествами. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

Другие определения

Существует много других эквивалентных способов определения топологического пространства: другими словами, концепции соседства или открытых или замкнутых множеств могут быть реконструированы из других отправных точек и удовлетворять правильным аксиомам.

Другой способ определения топологического пространства — использование аксиом замыкания Куратовского , которые определяют замкнутые множества как неподвижные точки оператора на множестве мощности ${\displaystyle X.}$

Сеть является обобщением понятия последовательности . Топология полностью определена, если для каждой сети в множестве ее точек накопления указано. ${\displaystyle X}$

Сравнение топологий

Многие топологии могут быть определены на множестве, чтобы сформировать топологическое пространство. Когда каждое открытое множество топологии также открыто для топологии, говорят, что оно тоньше и грубее , чем Доказательство , которое опирается только на существование определенных открытых множеств, будет также справедливо для любой более тонкой топологии, и аналогично доказательство, которое опирается только на то, что определенные множества не являются открытыми, применимо к любой более грубой топологии. Термины больше и меньше иногда используются вместо тоньше и грубее соответственно. Термины сильнее и слабее также используются в литературе, но без особого согласия относительно значения, поэтому при чтении всегда следует быть уверенным в соглашении автора. ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2},}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1},}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}.}$

Совокупность всех топологий на заданном фиксированном множестве образует полную решетку : если — совокупность топологий на , то пересечение является пересечением , а объединение — это пересечение совокупности всех топологий на , содержащих каждый элемент ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F.}$

Непрерывные функции

Функция между топологическими пространствами называется непрерывной, если для каждой окрестности существует окрестность такая , что Это легко соотносится с обычным определением в анализе. Эквивалентно, является непрерывной, если прообраз каждого открытого множества открыт. ^[11] Это попытка уловить интуицию, что в функции нет «скачков» или «разделений». Гомеоморфизм — это биекция , которая непрерывна и чья обратная также непрерывна. Два пространства называются гомеоморфными , если между ними существует гомеоморфизм. С точки зрения топологии гомеоморфные пространства по существу идентичны. ^[12] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$ ${\displaystyle f}$

В теории категорий одной из фундаментальных категорий является Top , которая обозначает категорию топологических пространств , объектами которых являются топологические пространства, а морфизмами — непрерывные функции. Попытка классифицировать объекты этой категории ( с точностью до гомеоморфизма ) с помощью инвариантов мотивировала такие области исследований, как теория гомотопий , теория гомологии и K-теория .

Примеры топологических пространств

У данного множества может быть много различных топологий. Если множеству задана другая топология, оно рассматривается как другое топологическое пространство. Любому множеству можно задать дискретную топологию, в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или сетями в этой топологии являются те, которые в конечном счете постоянны. Кроме того, любому множеству можно задать тривиальную топологию (также называемую недискретной топологией), в которой открыты только пустое множество и все пространство. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходятся к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства должны быть хаусдорфовыми пространствами, в которых предельные точки уникальны.

Существует множество топологий на любом заданном конечном множестве . Такие пространства называются конечными топологическими пространствами . Конечные пространства иногда используются для предоставления примеров или контрпримеров к предположениям о топологических пространствах в целом.

Любому множеству можно задать кофинитную топологию, в которой открытые множества являются пустым множеством и множествами, дополнение которых конечно. Это наименьшая топология T 1 на любом бесконечном множестве. ^[13]

Любому множеству можно задать косчетную топологию , в которой множество определяется как открытое, если оно либо пусто, либо его дополнение счетно. Когда множество несчетно, эта топология служит контрпримером во многих ситуациях.

Действительная прямая также может быть задана топологией нижнего предела . Здесь основные открытые множества являются полуоткрытыми интервалами Эта топология на строго тоньше, чем евклидова топология, определенная выше; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что множество может иметь много различных топологий, определенных на нем. ${\displaystyle [a,b).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Если — порядковое число , то множество может быть наделено топологией порядка, порожденной интервалами и , где и являются элементами ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =[0,\gamma )}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ),}$ ${\displaystyle [0,\beta ),}$ ${\displaystyle (\alpha ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma .}$

Каждое многообразие имеет естественную топологию, поскольку оно локально евклидово. Аналогично, каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследуют естественную топологию от .

Пространство Серпинского — простейшее недискретное топологическое пространство. Оно имеет важные связи с теорией вычислений и семантикой.

Топология из других топологий

Каждому подмножеству топологического пространства можно задать топологию подпространства , в которой открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножеством. Для любого индексированного семейства топологических пространств произведению можно задать топологию произведения , которая генерируется обратными образами открытых множеств факторов при проекционных отображениях. Например, в конечных произведениях базис для топологии произведения состоит из всех произведений открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование, чтобы в базовом открытом множестве все, кроме конечного числа его проекций, были всем пространством.

Фактор -пространство определяется следующим образом: если — топологическое пространство и — множество, и если — сюръективная функция , то фактор-топология на — это совокупность подмножеств , которые имеют открытые прообразы при Другими словами, фактор-топология — это наилучшая топология на , для которой является непрерывным. Типичным примером фактор-топологии является случай, когда отношение эквивалентности определено на топологическом пространстве. Тогда отображение является естественной проекцией на множество классов эквивалентности . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$

Топология Виеториса на множестве всех непустых подмножеств топологического пространства , названного в честь Леопольда Виеториса , порождается следующим базисом: для каждого -кортежа открытых множеств в мы строим базисный набор, состоящий из всех подмножеств объединения , которые имеют непустые пересечения с каждым ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}.}$

Топология Фелла на множестве всех непустых замкнутых подмножеств локально компактного польского пространства является вариантом топологии Виеториса и названа в честь математика Джеймса Фелла. Она порождается следующим базисом: для каждого -кортежа открытых множеств в и для каждого компактного множества множество всех подмножеств из , которые не пересекаются с и имеют непустые пересечения с каждым, является членом базиса. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Метрические пространства

Метрические пространства воплощают метрику — точное понятие расстояния между точками.

Каждому метрическому пространству можно задать метрическую топологию, в которой базовые открытые множества являются открытыми шарами, определяемыми метрикой. Это стандартная топология на любом нормированном векторном пространстве . На конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм.

Существует много способов определения топологии на множестве действительных чисел . Стандартная топология на порождается открытыми интервалами . Множество всех открытых интервалов образует базу или основу для топологии, что означает, что каждое открытое множество является объединением некоторого набора множеств из базы. В частности, это означает, что множество открыто, если существует открытый интервал ненулевого радиуса вокруг каждой точки множества. В более общем смысле, евклидовым пространствам можно задать топологию. В обычной топологии на базовыми открытыми множествами являются открытые шары . Аналогично, множество комплексных чисел , и имеют стандартную топологию, в которой базовыми открытыми множествами являются открытые шары. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Топология из алгебраической структуры

Для любых алгебраических объектов мы можем ввести дискретную топологию, при которой алгебраические операции являются непрерывными функциями. Для любой такой структуры, которая не является конечной, мы часто имеем естественную топологию, совместимую с алгебраическими операциями, в том смысле, что алгебраические операции по-прежнему непрерывны. Это приводит к таким понятиям, как топологические группы , топологические векторные пространства , топологические кольца и локальные поля .

Любое локальное поле имеет свойственную ему топологию, и ее можно распространить на векторные пространства над этим полем.

Топология Зарисского определяется алгебраически на спектре кольца или алгебраического многообразия . На или замкнутые множества топологии Зарисского являются множествами решений систем полиномиальных уравнений. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

Топологические пространства с упорядоченной структурой

• Спектральный : Пространство является спектральным тогда и только тогда, когда оно является простым спектром кольца ( теорема Хохстера ).
• Предварительный порядок специализации : В пространстве предварительный порядок специализации (или канонический предварительный порядок ) определяется тогда и только тогда, когда , где обозначает оператор, удовлетворяющий аксиомам замыкания Куратовского . ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

Топология из другой структуры

Если это фильтр на множестве , то это топология на ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$ ${\displaystyle X.}$

Многие наборы линейных операторов в функциональном анализе наделены топологиями, которые определяются путем указания того, когда конкретная последовательность функций сходится к нулевой функции.

Линейный граф имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графов с вершинами и ребрами .

Внешнее пространство свободной группы состоит из так называемых «отмеченных метрических графовых структур» тома 1 ^[14] ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}.}$

Классификация топологических пространств

Топологические пространства можно в целом классифицировать, с точностью до гомеоморфизма, по их топологическим свойствам . Топологическое свойство — это свойство пространств, которое инвариантно относительно гомеоморфизмов. Чтобы доказать, что два пространства не являются гомеоморфными, достаточно найти топологическое свойство, которым они не обладают. Примерами таких свойств являются связность , компактность и различные аксиомы разделения . Для алгебраических инвариантов см. алгебраическую топологию .

Смотрите также

• Полная алгебра Гейтинга — система всех открытых множеств данного топологического пространства, упорядоченная по включению, является полной алгеброй Гейтинга.
• Компактное пространство  – Тип математического пространства
• Пространство сходимости  – обобщение понятия сходимости, встречающегося в общей топологии.
• Внешнее пространство
• Хаусдорфово пространство  – Тип топологического пространства
• Гильбертово пространство  – Тип топологического векторного пространства
• Геминепрерывность  – полунепрерывность для функций со значениями множества
• Линейное подпространство  – в математике векторное подпространство.
• Квазитопологическое пространство  – множество X, снабженное функцией, которая каждому компактному хаусдорфову пространству K сопоставляет набор отображений K→C, удовлетворяющих некоторым естественным условиям.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Относительно компактное подпространство  – подмножество топологического пространства, замыкание которого компактно.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Пространство (математика)  – математическое множество с некоторой добавленной структурой.

Цитаты

1. Шуберт 1968, стр. 13
2. Sutherland, WA (1975). Введение в метрические и топологические пространства. Оксфорд [Англия]: Clarendon Press. ISBN 0-19-853155-9. OCLC  1679102.
3. Гаусс 1827.
4. Галлье и Сюй 2013.
5. Дж. Стиллвелл, Математика и ее история
6. "метрическое пространство" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
7. Хаусдорф, Феликс (1914) [1914]. «Punktmengen in allgemeinen Räumen». Grundzüge der Mengenlehre. Göschens Lehrbücherei/Gruppe I: Reine und Angewandte Mathematik Serie (на немецком языке). Лейпциг: Фон Файт (опубликовано в 2011 г.). п. 211. ИСБН 9783110989854. Проверено 20 августа 2022 г. Unter einem metrischen R aume verstehen wir eine Menge E , [...].
8. Браун 2006, раздел 2.1.
9. Браун 2006, раздел 2.2.
10. Армстронг 1983, определение 2.1.
11. Армстронг 1983, теорема 2.6.
12. Манкрес, Джеймс Р. (2015). Топология . Пирсон. стр. 317–319. ISBN 978-93-325-4953-1.
13. Андерсон, BA; Стюарт, DG (1969). " -дополнения топологий". Труды Американского математического общества . 23 : 77–81. doi :10.2307/2037491. JSTOR  2037491. MR  0244927. ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$
14. Каллер, Марк ; Фогтманн, Карен (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. Bibcode : 1986InMat..84...91C. doi : 10.1007/BF01388734. S2CID  122869546.

Библиография

• Армстронг, MA (1983) [1979]. Базовая топология . Бакалаврские тексты по математике . Springer. ISBN 0-387-90839-0.
• Бредон, Глен Э. , Топология и геометрия (выпускные тексты по математике), Springer; 1-е издание (17 октября 1997 г.). ISBN 0-387-97926-3 . 
• Бурбаки, Николя ; Элементы математики: Общая топология , Эддисон-Уэсли (1966).
• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды. Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8.(3-е издание книг с разными названиями)
• Чех, Эдуард ; Точечные множества , Academic Press (1969).
• Фултон, Уильям , Алгебраическая топология , (Тексты для аспирантов по математике), Springer; 1-е издание (5 сентября 1997 г.). ISBN 0-387-94327-7 . 
• Галлье, Жан; Сюй, Дианна (2013). Руководство по теореме классификации для компактных поверхностей . Springer.
• Гаусс, Карл Фридрих (1827). Общие исследования криволинейных поверхностей .
• Липшуц, Сеймур; «Очерк общей топологии» Шаума , McGraw-Hill; 1-е издание (1 июня 1968 г.). ISBN 0-07-037988-2 . 
• Манкрес, Джеймс ; Топология , Prentice Hall; 2-е издание (28 декабря 1999 г.). ISBN 0-13-181629-2 . 
• Рунде, Фолькер; Вкус топологии (Universitext) , Springer; 1-е издание (6 июля 2005 г.). ISBN 0-387-25790-X . 
• Шуберт, Хорст (1968), Топология , Macdonald Technical & Scientific, ISBN 0-356-02077-0
• Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур-младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 . 
• Вайдьянатхасвами, Р. (1960). Топология множеств . Chelsea Publishing Co. ISBN 0486404560.
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

Внешние ссылки

• «Топологическое пространство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]