Полиномиальный

В математике многочлен — это математическое выражение , состоящее из неопределенных величин (также называемых переменными ) и коэффициентов , которое включает в себя только операции сложения , вычитания , умножения и степеней переменных целых положительных чисел. Примером многочлена от одного неопределенного $x$ является $x 2 - 4 x + 7$ . Пример с тремя неопределенными: $x 3 + 2 xyz 2 - yz + 1$ .

Полиномы появляются во многих областях математики и естественных наук. Например, они используются для формирования полиномиальных уравнений , которые кодируют широкий круг задач, от элементарных словесных задач до сложных научных задач; они используются для определения полиномиальных функций , которые встречаются в самых разных областях: от базовой химии и физики до экономики и социальных наук ; и они используются в исчислении и численном анализе для аппроксимации других функций. В высшей математике полиномы используются для построения колец полиномов и алгебраических многообразий , которые являются центральными понятиями в алгебре и алгебраической геометрии .

Этимология

Слово « полиномиал» объединяет два разных корня : греческое слово «поли» , означающее «много», и латинское «номен» , или «имя». Оно произошло от термина «биномиал» путем замены латинского корня «би-» на греческий «поли-» . То есть имеется в виду сумма многих слагаемых (многих мономов ). Слово полином впервые было использовано в 17 веке. ^[1]

Обозначения и терминология

X , входящий в состав многочлена, обычно называют переменной или неопределенной величиной . Когда многочлен рассматривается как выражение, x представляет собой фиксированный символ, не имеющий никакого значения (его значение «неопределенное»). Однако если рассматривать функцию , определенную полиномом, то x представляет собой аргумент функции и поэтому называется «переменной». Многие авторы используют эти два слова как синонимы.

Полином P от неопределенного x обычно обозначается либо как P , либо как P ( x ). Формально имя полинома — P , а не P ( x ), но использование функциональной записи P ( x ) датируется временем, когда различие между полиномом и связанной с ним функцией было неясным. Более того, функциональная запись часто полезна для описания в одной фразе многочлена и его неопределенного значения. Например, «пусть P ( x ) будет многочленом» — это сокращение от «пусть P будет многочленом от неопределенного x ». С другой стороны, когда нет необходимости подчеркивать имя неопределенного, многие формулы намного проще и легче читаются, если имя (имена) неопределенного (я) не появляются при каждом появлении многочлена.

Неоднозначность наличия двух обозначений для одного математического объекта может быть формально решена путем рассмотрения общего значения функционального обозначения полиномов. Если a обозначает число, переменную, другой полином или, в более общем плане, любое выражение, то P ( a ) по соглашению обозначает результат замены a на x в P. Таким образом, многочлен P определяет функцию

а\mapsto P (а),

полиномиальной функциейPакольцеaPa

Более конкретно, когда a является неопределенным x , то изображение x этой функцией является самим многочленом P (замена x на x ничего не меняет) . Другими словами,

{\ displaystyle P (x) = P,}

Определение

Полиномиальное выражение — это выражение , которое можно построить из констант и символов, называемых переменными или неопределенными, посредством сложения , умножения и возведения в степень до неотрицательной целой степени. Константы обычно представляют собой числа , но могут быть любыми выражениями, не содержащими неопределенных значений, и представляют собой математические объекты , которые можно складывать и умножать. Два полиномиальных выражения считаются определяющими один и тот же многочлен , если их можно преобразовать одно в другое, применяя обычные свойства коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности сложения и умножения. Например , и — это два полиномиальных выражения, которые представляют один и тот же полином; Итак, имеем равенство . ${\ displaystyle (x-1) (x-2)}$ $x^{2}-3x+2$ $(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2$

Многочлен от одного неопределенного $x$ всегда можно записать (или переписать) в виде

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} ,

коэффициентами^[2]функциюполиномиальной функцией

a_{0},\ldots,a_{n}

x

x

Более кратко это можно выразить, используя обозначение суммирования :

\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}

членов коэффициентом^[a]

Классификация

Показатель степени неопределенного в термине называется степенью этого неопределенного в этом термине; степень члена - это сумма степеней неопределенных в этом члене, а степень многочлена - это наибольшая степень любого члена с ненулевым коэффициентом. ^[3] Поскольку $x = x 1$ , степень неопределенного без записанного показателя равна единице.

Член без неопределенных и многочлен без неопределенных называются соответственно постоянным членом и постоянным многочленом . ^[b] Степень постоянного члена и ненулевого постоянного многочлена равна 0. Степень нулевого многочлена 0 (который вообще не имеет членов) обычно считается неопределенным (но см. ниже). ^[4]

Например:

-5x^{2}y

-5

x

y

x

y

2 + 1 = 3

Формирование суммы нескольких членов дает полином. Например, следующий полином:

\underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.

Полиномам малой степени присвоены особые имена. Полином нулевой степени — это постоянный многочлен или просто константа . Полиномы первой, второй или третьей степени представляют собой соответственно линейные полиномы, квадратичные полиномы и кубические полиномы . ^[3] Для более высоких степеней конкретные названия обычно не используются, хотя иногда используются полином четвертой степени (для четвертой степени) и полином пятой степени (для пятой степени). Названия степеней могут применяться к многочлену или его членам. Например, член $2 x$ in $x 2 + 2 x + 1$ является линейным членом квадратичного многочлена.

Полином 0, который можно считать вообще не имеющим членов, называется нулевым многочленом . В отличие от других постоянных многочленов, его степень не равна нулю. Скорее, степень нулевого многочлена либо остается явно неопределенной, либо определяется как отрицательная (либо -1, либо -∞). ^[5] Нулевой многочлен также уникален тем, что это единственный многочлен от одной неопределенной, который имеет бесконечное количество корней . График нулевого полинома $f (x) = 0$ является осью x .

В случае многочленов более чем от одной неопределенной многочлен называется однородным степени $n,$ если все его ненулевые члены имеют степень $n$ . Нулевой многочлен однороден, и, как однородный многочлен, его степень не определена. ^[c] Например, $x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 - 3 x 5$ является однородным степени 5. Подробнее см. Однородный многочлен .

Коммутативный закон сложения можно использовать для перестановки членов в любом предпочтительном порядке. В многочленах с одной неопределенной члены обычно упорядочены по степени: либо по «убывающей степени $x$ », начиная с члена наибольшей степени, либо по «возрастающей степени $x$ ». Многочлен $3 x 2 - 5 x + 4$ записан в убывающих степенях $x$ . Первый член имеет коэффициент $3$ , неопределенный $x$ и показатель степени $2$ . Во втором члене коэффициент равен $-5$ . Третий член является константой. Поскольку степень ненулевого многочлена является наибольшей степенью любого одного члена, этот многочлен имеет степень два. ^[6]

Два термина с одинаковыми неопределенными, возведенными в одинаковые степени, называются «подобными членами» или «подобными членами», и их можно объединить, используя распределительный закон , в один член, коэффициент которого представляет собой сумму коэффициентов членов, которые были объединены. Может случиться так, что коэффициент станет равным 0. ^[7] Полиномы можно классифицировать по количеству членов с ненулевыми коэффициентами, так что одночленный многочлен называется мономом , [ ^d] двухчленный многочлен называется биномом . , а трехчленный многочлен называется трехчленом .

Действительный многочлен – это многочлен с действительными коэффициентами. Когда он используется для определения функции , домен не так ограничен. Однако действительная полиномиальная функция — это функция от действительных чисел к действительным, которая определяется действительным полиномом. Аналогично, целочисленный многочлен — это многочлен с целыми коэффициентами, а комплексный многочлен — это многочлен с комплексными коэффициентами.

Многочлен от одной неопределенной называется одномерным многочленом , многочлен от более чем одной неопределенной называется многомерным многочленом . Многочлен с двумя неопределенными называется двумерным многочленом . ^[2] Эти понятия больше относятся к типу полиномов, с которыми обычно работают, чем к отдельным полиномам; например, при работе с одномерными многочленами нельзя исключать постоянные многочлены (которые могут возникнуть в результате вычитания непостоянных многочленов), хотя, строго говоря, постоянные многочлены вообще не содержат каких-либо неопределенных величин. В дальнейшем можно классифицировать многомерные полиномы как двумерные , трехмерные и т. д., в соответствии с максимально допустимым количеством неопределенных значений. Опять же, чтобы множество рассматриваемых объектов было замкнутым при вычитании, изучение полиномов трехмерной формы обычно допускает двумерные полиномы и так далее. Также принято говорить просто «полиномы от $x, y$ и $z$ », перечисляя разрешенные неопределенные значения.

Операции

Сложение и вычитание

Полиномы можно складывать, используя ассоциативный закон сложения (группируя все их члены в одну сумму), возможно, с последующим переупорядочением (с использованием коммутативного закона ) и объединением подобных членов. ^[7]^[8] Например, если

P=3x^{2}-2x+5xy-2

Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8

P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8

P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)

P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.

^[9]

Вычитание многочленов аналогично.

Умножение

Полиномы также можно умножать. Чтобы разложить произведение двух многочленов в сумму членов, неоднократно применяется закон распределения, в результате чего каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого. ^[7] Например, если

{\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}

{\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}

{\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}

{\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}

PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.

^[9]^[4]

Состав

Учитывая полином одной переменной и другой полином $g$ любого количества переменных, композиция получается путем замены каждой копии переменной первого многочлена вторым многочленом. ^[4] Например, если и тогда $f$ $f\circ g$ $f(x)=x^{2}+2x$ $g(x)=3x+2$

(f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).

^[10]

Разделение

Деление одного многочлена на другой обычно не является многочленом. Вместо этого такие отношения представляют собой более общее семейство объектов, называемых рациональными дробями , рациональными выражениями или рациональными функциями , в зависимости от контекста. ^[11] Это аналогично тому факту, что отношение двух целых чисел является рациональным числом , а не обязательно целым. ^[12]^[13] Например, дробь $1/(x 2 + 1)$ не является полиномом и ее нельзя записать в виде конечной суммы степеней переменной $x$ .

Для многочленов от одной переменной существует понятие евклидова деления многочленов , обобщающее евклидово деление целых чисел. ^[e] Это понятие деления $a (x)/ b (x)$ приводит к двум многочленам, частному $q (x)$ и остатку $r (x)$ , таким, что $a = b q + r$ и $степень (r) < степень(б)$ . Частное и остаток можно вычислить с помощью любого из нескольких алгоритмов, включая полиномиальное деление в столбик и синтетическое деление . ^[14]

Когда знаменатель $b (x)$ является моническим и линейным, то есть $b (x) = x - c$ для некоторой константы $c$ , тогда теорема о полиномиальном остатке утверждает, что остаток от деления $a (x)$ на $b (x)$ это оценка $a (c)$ . ^[13] В этом случае частное может быть вычислено по правилу Руффини , частному случаю синтетического деления. ^[15]

Факторинг

Все многочлены с коэффициентами в уникальной области факторизации (например, целые числа или поле ) также имеют факторизованную форму, в которой многочлен записывается как произведение неприводимых многочленов и константы. Эта факторизованная форма уникальна с точностью до порядка множителей и их умножения на обратимую константу. В случае поля комплексных чисел неприводимые множители линейны. Над действительными числами они имеют степень один или два. В целых и рациональных числах неприводимые множители могут иметь любую степень. ^[16] Например, факторизованная форма

5x^{3}-5

5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)

5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)

Вычисление факторизованной формы, называемое факторизацией , в целом слишком сложно, чтобы его можно было выполнить вручную. Однако эффективные алгоритмы полиномиальной факторизации доступны в большинстве систем компьютерной алгебры .

Исчисление

Вычисление производных и интегралов многочленов особенно просто по сравнению с другими видами функций. Производная многочлена _

P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

x

na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.

первообразная

P

{\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}

c

x 2 + 1

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/3х 3 + х + с

Для многочленов, коэффициенты которых происходят из более абстрактных условий (например, если коэффициенты являются целыми числами по модулю некоторого простого числа $p$ или элементами произвольного кольца), формулу производной все равно можно интерпретировать формально, при этом коэффициент $ka k$ понимается как означают сумму $k$ копий $a k$ . Например, по целым числам по модулю $p$ производная многочлена $x p + x$ — это многочлен $1$ . ^[17]

Полиномиальные функции

Полиномиальная функция — это функция, которую можно определить путем вычисления полинома. Точнее, функция $f$ одного аргумента из данной области является полиномиальной функцией, если существует полином

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

x

области

n

a

0

,

a

1

,

a

2

, ...

,

a

n

комплексные ограничена действительной функцией

f(x)

Например, функция $f$ , определенная формулой

f(x)=x^{3}-x,

f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.

\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},

1-x^{2}

[-1,1]

Любая полиномиальная функция непрерывна , гладка и цела .

Оценка полинома — это вычисление соответствующей полиномиальной функции ; то есть оценка состоит из подстановки числового значения к каждой неопределенной величине и выполнения указанных умножений и сложений.

Для многочленов с одной неопределенной оценка обычно более эффективна (меньшее количество выполняемых арифметических операций) с использованием метода Хорнера , который заключается в переписывании многочлена как

(((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.

Графики

Полином степени 0:
$f (x) = 2$
Полином степени 1:
$f (x) = 2 x + 1$
Полином степени 2:
$f (x) = x 2 - x - 2$
$= (x + 1)(x - 2)$
Полином степени 3:
$f (x) = x 3 /4 + 3 x 2 /4 - 3 x /2 - 2$
$= 1/4 (x + 4)(x + 1)(x - 2)$
Полином 4-й степени:
$f (x) = 1/14 (x + 4)(x + 1)(x - 1)(x - 3) + 0,5$
Полином 5-й степени:
$f (x) = 1/20 (x + 4)(x + 2)(x + 1)(x - 1) (x - 3) + 2$
Полином 6-й степени:
$f (x) = 1/100 (x6 - 2 x 5 - 26 x 4 + 28 x 3$
$+ 145 x 2 - 26 x - 80)$
Полином степени 7:
$f (x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1)(x)(x + 1)(x + 2)$
$(x + 3)$

Полиномиальную функцию от одной действительной переменной можно представить графиком .

График нулевого полинома
$ж (Икс) знак равно 0$
это ось $x$ .
График полинома степени 0
$ж (Икс) знак равно а 0$ , где $а 0 \neq 0$ ,
представляет собой горизонтальную линию с пересечением оси $y$ $с 0$
График полинома степени 1 (или линейной функции)
$ж (Икс) знак равно а 0 + а 1 Икс$ , где $а 1 \neq 0$ ,
представляет собой наклонную линию с пересечением оси $y$ $a 0$ и наклоном $a 1$ .
График полинома 2-й степени
$ж (Икс) знак равно а 0 + а 1 Икс + а 2 Икс 2$ , где $а 2 \neq 0$
является параболой .
График полинома 3-й степени
$ж (Икс) знак равно а 0 + а 1 Икс + а 2 Икс 2 + а 3 Икс 3$ , где $а 3 \neq 0$
представляет собой кубическую кривую .
График любого многочлена степени 2 или выше
$ж (Икс) знак равно а 0 + а 1 Икс + а 2 Икс 2 + \dots + а п Икс п$ , где $а п \neq 0 и п \geq 2$
представляет собой непрерывную нелинейную кривую.

Непостоянная полиномиальная функция стремится к бесконечности , когда переменная увеличивается неограниченно (по абсолютному значению ). Если степень больше единицы, график не имеет асимптоты . Он имеет две параболические ветви с вертикальным направлением (одна ветвь для положительного x и одна для отрицательного x ).

Полиномиальные графики анализируются в исчислении с использованием точек пересечения, наклонов, вогнутости и поведения концов.

Уравнения

Полиномиальное уравнение , также называемое алгебраическим уравнением , представляет собой уравнение вида ^[18]

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.

3x^{2}+4x-5=0

При рассмотрении уравнений неопределённые (переменные) многочленов также называют неизвестными , а решения — это возможные значения неизвестных, для которых справедливо равенство (вообще может существовать более одного решения). Полиномиальное уравнение отличается от полиномиального тождества типа $(x + y)(x - y) = x 2 - y 2$ , где оба выражения представляют один и тот же полином в разных формах, и, как следствие, любое вычисление обоих членов дает действительное равенство.

В элементарной алгебре преподаются такие методы, как квадратичная формула, для решения всех полиномиальных уравнений первой и второй степени с одной переменной. Имеются также формулы для уравнений кубической и четвертой степени . Для более высоких степеней теорема Абеля – Руффини утверждает, что не может существовать общая формула в радикалах. Однако алгоритмы поиска корней можно использовать для поиска численных аппроксимаций корней полиномиального выражения любой степени.

Число решений полиномиального уравнения с вещественными коэффициентами не может превышать степени и равняется степени при счете комплексных решений с учетом их кратности . Этот факт называется основной теоремой алгебры .

Решение уравнений

Корень ненулевого одномерного многочлена $P$ — это значение $a$ числа $x$ такое, что $P$ $($ $a$ ) $= 0$ . Другими словами, корень $P$ является решением полиномиального уравнения $P$ $($ $x$ $) = 0$ или нулем полиномиальной функции, определенной $P$ . В случае нулевого многочлена каждое число является нулем соответствующей функции, и понятие корня рассматривается редко.

Число $a$ является корнем многочлена $P$ тогда и только тогда, когда линейный многочлен $x - a$ делит $P$ , то есть если существует другой многочлен $Q$ такой, что $P = (x - a) Q$ . Может случиться так, что степень (больше $1$ ) $x - a$ делит $P$ ; в этом случае $a$ является кратным корнем P $,$ а в противном случае $a$ является простым корнем $P$ . Если $P$ ненулевой многочлен, существует высшая степень $m$ такая, что $($ $x - a) m делит$ P $,$ что называется кратностью a как корня $P$ . Число корней ненулевого многочлена $P$ , подсчитанное с учетом их соответствующих кратностей, не может превышать степень $P$ , ^[19] и равняется этой степени, если рассматривать все комплексные корни (это следствие основной теоремы алгебры ). Коэффициенты многочлена и его корни связаны формулами Виета .

Некоторые многочлены, например $x 2 + 1$ , не имеют корней среди действительных чисел . Однако если набор принятых решений расширить до комплексных чисел , каждый непостоянный многочлен имеет хотя бы один корень; это основная теорема алгебры . Путем последовательного деления факторов $x - a$ можно увидеть, что любой многочлен с комплексными коэффициентами можно записать как константу (его старший коэффициент), умноженную на произведение таких полиномиальных факторов степени 1; как следствие, количество (комплексных) корней с учетом их кратностей в точности равно степени многочлена.

Термин «решение уравнения» может иметь несколько значений. Кто-то может захотеть выразить решения в виде явных чисел; например, единственное решение $2 x - 1 = 0$ равно $1/2$ . Это, вообще говоря, невозможно для уравнений степени больше единицы, и с древних времен математики пытались выразить решения в виде алгебраических выражений ; например, золотое сечение является уникальным положительным решением. В древние времена им удавалось добиться успеха только для первой и второй степени. Для квадратных уравнений такие выражения решений дает квадратная формула . С XVI века аналогичные формулы (с использованием кубических корней помимо квадратных), хотя и гораздо более сложные, известны для уравнений третьей и четвертой степени (см. кубическое уравнение и уравнение четвертой степени ). Но формулы для степени 5 и выше ускользали от исследователей на протяжении нескольких столетий. В 1824 году Нильс Хенрик Абель доказал поразительный результат: существуют уравнения пятой степени, решения которых не могут быть выражены (конечной) формулой, включающей только арифметические операции и радикалы (см. теорему Абеля–Руффини ). В 1830 году Эварист Галуа доказал, что большинство уравнений степени выше четырех не могут быть решены с помощью радикалов, и показал, что для каждого уравнения можно решить, разрешимо ли оно с помощью радикалов, и, если да, решить его. Этот результат ознаменовал начало теории Галуа и теории групп , двух важных разделов современной алгебры . Сам Галуа отмечал, что вычисления, подразумеваемые его методом, неосуществимы. Тем не менее, формулы для разрешимых уравнений 5 и 6 степени были опубликованы (см. функцию квинтики и уравнение секста ). $(1+{\sqrt {5}})/2$ $x^{2}-x-1=0.$

Когда нет алгебраического выражения для корней и когда такое алгебраическое выражение существует, но слишком сложно, чтобы его можно было использовать, единственный способ его решения — вычислить численные аппроксимации решений. ^[20] Для этого существует множество методов; некоторые ограничены полиномами, а другие могут применяться к любой непрерывной функции . Наиболее эффективные алгоритмы позволяют легко (на компьютере ) решать полиномиальные уравнения степени выше 1000 (см. Алгоритм поиска корня ).

Для многочленов с более чем одной неопределенной комбинации значений переменных, для которых полиномиальная функция принимает нулевое значение, обычно называются нулями , а не «корнями». Изучение множеств нулей многочленов является предметом алгебраической геометрии . Для набора полиномиальных уравнений с несколькими неизвестными существуют алгоритмы определения того, имеют ли они конечное число комплексных решений, и, если это число конечно, для вычисления решений. См. Система полиномиальных уравнений .

Особый случай, когда все многочлены имеют первую степень, называется системой линейных уравнений , для которой существует другой диапазон различных методов решения , включая классическое исключение Гаусса .

Полиномиальное уравнение, для которого интересуют только целые решения, называется диофантовым уравнением . Решение диофантовых уравнений вообще является очень сложной задачей. Доказано, что не может быть какого-либо общего алгоритма для их решения или даже для определения того, пусто ли множество решений (см. десятую проблему Гильберта ). Некоторые из наиболее известных задач, решенных за последние пятьдесят лет, связаны с диофантовыми уравнениями, например, с Великой теоремой Ферма .

Полиномиальные выражения

Часто рассматриваются полиномы, в которых неопределённые заменяются некоторыми другими математическими объектами, и иногда они имеют специальное название.

Тригонометрические полиномы

Тригонометрический полином — это конечная линейная комбинация функций sin ( nx ) и cos( nx ), где n принимает значения одного или нескольких натуральных чисел . ^[21] Для вещественнозначных функций коэффициенты могут приниматься как действительные числа.

Если sin( nx ) и cos( nx ) раскрываются с точки зрения sin( x ) и cos( x ), тригонометрический полином становится полиномом от двух переменных sin( x ) и cos( x ) (с использованием списка тригонометрических тождеств #Формулы нескольких углов ). И наоборот, каждый полином из sin( x ) и cos( x ) может быть преобразован с помощью тождеств «Произведение в сумму» в линейную комбинацию функций sin( nx ) и cos( nx ). Эта эквивалентность объясняет, почему линейные комбинации называются полиномами.

Для комплексных коэффициентов нет разницы между такой функцией и конечным рядом Фурье .

Тригонометрические полиномы широко используются, например, в тригонометрической интерполяции , применяемой для интерполяции периодических функций . Они также используются в дискретном преобразовании Фурье .

Матричные полиномы

Матричный полином — это многочлен с квадратными матрицами в качестве переменных. ^[22] Учитывая обычный скалярный полином

P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},

Iединичная матрица^[23]

Матричное полиномиальное уравнение — это равенство между двумя матричными полиномами, которое справедливо для конкретных рассматриваемых матриц. Матричное полиномиальное тождество — это матричное полиномиальное уравнение, которое справедливо для всех матриц A в заданном кольце матриц M _n ( R ).

Экспоненциальные полиномы

Двумерный полином, в котором вторая переменная заменяется экспоненциальной функцией, примененной к первой переменной, например $P (x, e x)$ , может называться экспоненциальным полиномом .

Связанные понятия

Рациональные функции

Рациональная дробь — это частное ( алгебраическая дробь ) двух многочленов. Любое алгебраическое выражение , которое можно переписать в виде рациональной дроби, является рациональной функцией .

Хотя полиномиальные функции определены для всех значений переменных, рациональная функция определяется только для значений переменных, знаменатель которых не равен нулю.

Рациональные дроби включают полиномы Лорана, но не ограничивают знаменатели степенями неопределенного.

Полиномы Лорана

Полиномы Лорана подобны полиномам, но допускают появление отрицательных степеней переменных.

Силовая серия

Формальные степенные ряды подобны полиномам, но допускают появление бесконечного числа ненулевых членов, так что они не имеют конечной степени. В отличие от многочленов их вообще нельзя явно и полностью записать (как и иррациональные числа ), но правила обращения с их членами такие же, как и для многочленов. Неформальные степенные ряды также обобщают полиномы, но умножение двух степенных рядов может не сходиться.

Полиномиальное кольцо

Многочлен $f$ над коммутативным кольцом R $—$ это многочлен, все коэффициенты которого принадлежат $R.$ Непосредственно проверяется, что многочлены в заданном множестве неопределенных над $R$ образуют коммутативное кольцо, называемое кольцом многочленов от этих неопределенных, обозначаемое в одномерном случае и в многомерном случае. $R[x]$ $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

Надо

R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]\right)[x_{n}].

Отображение $R$ в $R [x]$ , переводящее $r$ в себя, рассматриваемое как постоянный многочлен, является инъективным гомоморфизмом колец , согласно которому $R$ рассматривается как подкольцо $R [x]$ . В частности , $R [x]$ — алгебра над $R.$

Можно думать, что кольцо $R [x]$ возникает из $R$ путем добавления одного нового элемента x к R и расширяется минимальным образом до кольца, в котором $x$ не удовлетворяет никаким другим отношениям, кроме обязательных, плюс коммутация со всеми элементами из $R$ (то есть $xr = rx$ ). Для этого необходимо сложить все степени $x$ и их линейные комбинации.

Формирование кольца многочленов вместе с формированием факторных колец путем факторизации идеалов являются важными инструментами для построения новых колец из известных. Например, кольцо (фактически поле) комплексных чисел, которое можно построить из кольца многочленов $R [x]$ над действительными числами путем факторизации идеала кратных многочлена $x 2 + 1$ . Другой пример — построение конечных полей , которое происходит аналогичным образом, начиная с поля целых чисел по модулю некоторого простого числа в качестве кольца коэффициентов $R$ (см. модульную арифметику ).

Если $R$ коммутативен, то каждому многочлену $P$ из $R [x]$ можно сопоставить полиномиальную функцию $f$ с областью определения и диапазоном , равными $R.$ (В более общем смысле, можно взять область и диапазон как любую одну и ту же ассоциативную алгебру с единицей над $R$ .) Значение $f$ $($ $r$ $)$ можно получить путем замены значения $r$ на символ $x$ в $P$ . Одна из причин различать полиномы и полиномиальные функции заключается в том, что в некоторых кольцах разные полиномы могут давать одну и ту же полиномиальную функцию ( пример см. в маленькой теореме Ферма , где $R$ — целые числа по модулю $p$ ). Это не тот случай, когда $R$ — действительные или комплексные числа, поэтому эти два понятия не всегда различаются при анализе . Еще более важная причина различать полиномы и полиномиальные функции заключается в том, что многие операции с полиномами (например, евклидово деление ) требуют рассмотрения того, из чего состоит полином, как выражения, а не вычисления его по некоторому постоянному значению $x$ .

Делимость

Если $R$ — область целостности , а $f$ и $g$ — полиномы из $R [x]$ , говорят, что $f$ делит $g$ или $f$ — делитель $g$ , если существует полином $q$ из $R [x]$ такой, что $f q = g$ . Если тогда $a$ является корнем $f$ тогда и только тогда, когда делит $f$ . В этом случае частное можно вычислить с помощью деления полинома в столбик . ^[24]^[25] $a\in R,$ $x-a$

Если $F$ — поле , а $f$ и $g$ — многочлены из $F [x]$ с $g \neq 0$ , то существуют уникальные многочлены $q$ и $r$ из $F [x]$ с

f=q\,g+r

r

g

q

r

f

g

евклидовым делением , делением с остаткомполиномиальным длинным делением

F [x]

евклидовой областью

Аналогично, простые многочлены (точнее, неприводимые многочлены ) можно определить как ненулевые многочлены, которые нельзя разложить на множители в произведение двух непостоянных многочленов . В случае коэффициентов в кольце слово «непостоянный» необходимо заменить на «непостоянный или неединичный » ( оба определения согласуются в случае коэффициентов в поле). Любой многочлен можно разложить в произведение обратимой константы на произведение неприводимых многочленов. Если коэффициенты принадлежат полю или уникальной области факторизации, это разложение уникально с точностью до порядка факторов и умножения любого неединичного фактора на единицу (и деления единичного фактора на ту же единицу). Когда коэффициенты принадлежат целым числам, рациональным числам или конечному полю, существуют алгоритмы для проверки неприводимости и вычисления факторизации в неприводимые многочлены (см. Факторизация многочленов ). Эти алгоритмы непригодны для рукописных вычислений, но доступны в любой системе компьютерной алгебры . Критерий Эйзенштейна также можно использовать в некоторых случаях для определения неприводимости.

Приложения

Позиционные обозначения

В современных позиционных системах счисления, таких как десятичная система , цифры и их позиции в представлении целого числа, например, 45, являются сокращенным обозначением многочлена по основанию или основанию, в данном случае 4×10 ¹ + 5 × 10 ⁰ . Другой пример: в системе счисления 5 строка цифр, например 132, обозначает (десятичное) число 1 × 5 ² + 3 × 5 ¹ + 2 × 5 ⁰ = 42. Это представление уникально. Пусть b — целое положительное число, большее 1. Тогда каждое целое положительное число a можно однозначно выразить в виде

a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},

mr —

$0 < r m < b$ и $0 \leq r i < b$ для $i = 0, 1, . . . , м - 1$ . ^[26]

Интерполяция и аппроксимация

Простая структура полиномиальных функций делает их весьма полезными при анализе общих функций с использованием полиномиальных аппроксимаций. Важным примером в исчислении является теорема Тейлора , которая грубо утверждает, что каждая дифференцируемая функция локально выглядит как полиномиальная функция, и теорема Стоуна-Вейерштрасса , которая утверждает, что каждая непрерывная функция , определенная на компактном интервале действительной оси, может быть аппроксимирована на весь интервал настолько точно, насколько это необходимо, с помощью полиномиальной функции. Практические методы аппроксимации включают полиномиальную интерполяцию и использование сплайнов . ^[27]

Другие приложения

Полиномы часто используются для кодирования информации о каком-либо другом объекте. Характеристический полином матричного или линейного оператора содержит информацию о собственных значениях оператора . Минимальный многочлен алгебраического элемента записывает простейшее алгебраическое отношение, которому удовлетворяет этот элемент. Хроматический полином графа подсчитывает количество правильных раскрасок этого графа .

Термин «полиномиальный» как прилагательное также может использоваться для величин или функций, которые можно записать в полиномиальной форме. Например, в теории сложности вычислений фраза « полиномиальное время» означает, что время, необходимое для завершения алгоритма , ограничено полиномиальной функцией некоторой переменной, например размера входных данных.

История

Определение корней многочленов или «решение алгебраических уравнений» — одна из старейших задач математики. Однако элегантные и практичные обозначения, которые мы используем сегодня, появились только начиная с 15 века. До этого уравнения записывались словами. Например, задача алгебры из китайской арифметики в девяти разделах , c. 200 г. до н. э. , начинается: «Три снопа хорошего урожая, два снопа посредственного урожая и один сноп плохого урожая продаются за 29 доу». Мы бы написали $3 x + 2 y + z = 29$ .

История обозначений

Самое раннее известное использование знака равенства встречается в книге Роберта Рекорда « Точильный камень Витте» , 1557 год. Знаки + для сложения, - для вычитания, а также использование буквы для обозначения неизвестного появляются в книге Майкла Стифеля « Arithemetica integra », 1544 год. Рене Декарт в «Геометрии » 1637 года ввел понятие графика полиномиального уравнения. Он популяризировал использование букв с начала алфавита для обозначения констант и букв с конца алфавита для обозначения переменных, как видно выше, в общей формуле многочлена от одной переменной, где $a$ обозначают константы, а $x$ обозначает переменную. Декарт также ввел использование верхних индексов для обозначения показателей степени. ^[28]

Смотрите также

Список полиномиальных тем

Примечания

^ См. «полиномиальный» и «биномиальный», Компактный Оксфордский словарь английского языка.
^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Полином». mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
^ ab «Полиномы | Блестящая вики по математике и науке» . блестящий.орг . Проверено 28 августа 2020 г.
^ abc Barbeau 2003, стр. 1–2.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Нулевой полином». Математический мир .
^ Эдвардс 1995, с. 78
^ abc Эдвардс, Гарольд М. (1995). Линейная алгебра. Спрингер. п. 47. ИСБН 978-0-8176-3731-6.
^ Саломон, Дэвид (2006). Кодирование данных и компьютерных коммуникаций. Спрингер. п. 459. ИСБН 978-0-387-23804-3.
^ ab Введение в алгебру. Издательство Йельского университета. 1965. с. 621. Любые два таких многочлена можно складывать, вычитать или умножать. Более того, результатом в каждом случае является другой полином
^ Криете, Хартье (20 мая 1998 г.). Прогресс в голоморфной динамике. ЦРК Пресс. п. 159. ИСБН 978-0-582-32388-9. Этот класс эндоморфизмов замкнут относительно композиции:
^ Маречек, Линн; Матис, Андреа Ханикатт (6 мая 2020 г.). Промежуточная алгебра 2e. ОпенСтакс . §7.1.
^ Хейлок, Дерек; Кокберн, Энн Д. (14 октября 2008 г.). Понимание математики для детей младшего возраста: руководство для учителей начальных классов и младших классов начальной школы. МУДРЕЦ. п. 49. ИСБН 978-1-4462-0497-9. Мы обнаруживаем, что множество целых чисел не замкнуто относительно этой операции деления.
^ аб Маречек и Матис 2020, §5.4]
^ Селби, Питер Х.; Славин, Стив (1991). Практическая алгебра: Самоучитель (2-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-53012-1.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Правило Руффини». mathworld.wolfram.com . Проверено 25 июля 2020 г.
^ Барбо 2003, стр. 80–2.
^ Барбо 2003, стр. 64–5.
^ Проскуряков, И.В. (1994). «Алгебраическое уравнение». В Хазевинкеле, Михил (ред.). Энциклопедия математики . Том. 1. Спрингер. ISBN 978-1-55608-010-4.
^ Люнг, Кам-тим; и другие. (1992). Полиномы и уравнения. Издательство Гонконгского университета. п. 134. ИСБН 9789622092716.
^ МакНэми, Дж. М. (2007). Численные методы поиска корней многочленов. Часть 1. Elsevier. ISBN 978-0-08-048947-6.
^ Пауэлл, Майкл Джей Ди (1981). Теория и методы приближения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29514-7.
^ Гоберг, Израиль; Ланкастер, Питер; Родман, Лейба (2009) [1982]. Матричные полиномы . Классика прикладной математики. Том. 58. Ланкастер, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики . ISBN 978-0-89871-681-8. Збл 1170.15300.
^ Хорн и Джонсон 1990, с. 36.
^ Ирвинг, Рональд С. (2004). Целые числа, многочлены и кольца: курс алгебры. Спрингер. п. 129. ИСБН 978-0-387-20172-6.
^ Джексон, Терренс Х. (1995). От многочленов к сумме квадратов. ЦРК Пресс. п. 143. ИСБН 978-0-7503-0329-3.
^ Маккой 1968, с. 75
^ де Вильерс, Иоганн (2012). Математика приближения. Спрингер. ISBN 9789491216503.
^ Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Сондерс. ISBN 0-03-029558-0.

^ Коэффициент члена может быть любым числом из указанного набора. Если этот набор представляет собой набор действительных чисел, мы говорим о «полиномах над действительными числами». Другими распространенными видами многочленов являются многочлены с целыми коэффициентами, многочлены с комплексными коэффициентами и многочлены с коэффициентами, которые являются целыми числами по модулю некоторого простого числа $p$ .
^ Эта терминология восходит к тому времени, когда не было ясного различия между полиномом и функцией, которую он определяет: постоянный член и постоянный полином определяют постоянные функции . ^{[ нужна цитата ]}
^ На самом деле, как однородная функция , она однородна любой степени. ^{[ нужна цитата ]}
^ Некоторые авторы используют слово «моном» для обозначения « монического монома». См. Кнапп, Энтони В. (2007). Продвинутая алгебра: вместе с сопутствующим томом «Базовая алгебра» . Спрингер. п. 457. ИСБН 978-0-8176-4522-9.
^ В этом параграфе предполагается, что полиномы имеют коэффициенты в поле .

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с полиномами .

Найдите полином в Викисловаре, бесплатном словаре.

Маркушевич, А.И. (2001) [1994], «Полином», Математическая энциклопедия , EMS Press
«Исследования Эйлера о корнях уравнений». Архивировано из оригинала 24 сентября 2012 года.