Ньютоновская жидкость

Тип жидкости

Ньютоновская жидкость — это жидкость , в которой вязкие напряжения , возникающие в результате ее течения , в каждой точке линейно коррелируют с локальной скоростью деформации — скоростью изменения ее деформации с течением времени. ^{[1] [2] [3] [4]} Напряжения пропорциональны скорости изменения вектора скорости жидкости .

Жидкость является ньютоновской только в том случае, если тензоры , описывающие вязкое напряжение и скорость деформации, связаны тензором постоянной вязкости , не зависящим от напряженного состояния и скорости потока. Если жидкость также изотропна (механические свойства одинаковы во всех направлениях), тензор вязкости уменьшается до двух действительных коэффициентов, описывающих сопротивление жидкости непрерывной сдвиговой деформации и непрерывному сжатию или расширению соответственно.

Ньютоновские жидкости — это самые простые математические модели жидкостей, учитывающие вязкость. Хотя ни одна реальная жидкость не соответствует этому определению идеально, многие распространенные жидкости и газы, такие как вода и воздух, для практических расчетов в обычных условиях можно считать ньютоновскими. Однако неньютоновские жидкости относительно распространены и включают ооблек (который становится более жестким при сильном сдвиге) и некапающую краску (которая становится тоньше при сдвиге ). Другие примеры включают растворы многих полимеров (которые демонстрируют эффект Вейсенберга ), расплавленные полимеры, многие твердые суспензии, кровь и большинство высоковязких жидкостей.

Ньютоновские жидкости названы в честь Исаака Ньютона , который первым использовал дифференциальное уравнение , чтобы постулировать связь между скоростью сдвиговой деформации и напряжением сдвига для таких жидкостей.

Определение

Элемент текущей жидкости или газа будет выдерживать силы окружающей жидкости, включая силы вязкого напряжения , которые заставляют его постепенно деформироваться с течением времени. Эти силы могут быть математически первого порядка аппроксимированы тензором вязких напряжений , обычно обозначаемым . ${\displaystyle \tau }$

Деформацию жидкого элемента относительно некоторого предыдущего состояния можно аппроксимировать первого порядка тензором деформации , который меняется со временем. Производная по времени этого тензора — это тензор скорости деформации , который выражает, как деформация элемента меняется со временем; а также градиент векторного поля скорости в этой точке, часто обозначаемый . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla v}$

Тензоры и могут быть выражены матрицами 3×3 относительно любой выбранной системы координат . Жидкость называется ньютоновской, если эти матрицы связаны уравнением где – фиксированный тензор четвертого порядка 3×3×3×3, не зависящий от скорости или напряженного состояния жидкости. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nabla v}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}(\nabla v)}$ ${\displaystyle \mu }$

Несжимаемый изотропный случай

Для несжимаемой и изотропной ньютоновской жидкости вязкое напряжение связано со скоростью деформации простым уравнением

$${\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}$$

• ${\displaystyle \tau }$- напряжение сдвига (« сопротивление ») в жидкости,
• ${\displaystyle \mu }$— скалярная константа пропорциональности, динамическая вязкость жидкости
• ${\displaystyle {\frac {du}{dy}}}$представляет собой производную компонента скорости , параллельного направлению сдвига, относительно смещения в перпендикулярном направлении.

Если жидкость несжимаема и вязкость во всей жидкости постоянна, это уравнение можно записать в произвольной системе координат как

$${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$

• ${\displaystyle x_{j}}$– ая пространственная координата ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle v_{i}}$- скорость жидкости в направлении оси ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \tau _{ij}}$-я компонента напряжения, действующего на грани жидкого элемента, перпендикулярные оси . ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

Также определяется тензор полного напряжения , который объединяет напряжение сдвига с обычным (термодинамическим) давлением . Тогда уравнение напряжения-сдвига принимает вид ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\nabla \mathbf {v} ^{T}\right)}$$

${\displaystyle \mathbf {I} }$

Для анизотропных жидкостей

В более общем смысле, в неизотропной ньютоновской жидкости коэффициент, который связывает напряжения внутреннего трения с пространственными производными поля скорости, заменяется девятиэлементным тензором вязких напряжений . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{ij}}$

Существует общая формула для силы трения в жидкости: Векторный дифференциал силы трения равен тензору вязкости, умноженному на векторный дифференциал вектора площади соприкасающихся слоев жидкости и скорости ротора :

$${\displaystyle d\mathbf {F} =\mu _{ij}\,d\mathbf {S} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }$$

тензор^[5] ${\displaystyle \mu _{ij}}$

Ньютоновский закон вязкости

Следующее уравнение иллюстрирует связь между скоростью сдвига и напряжением сдвига:

$${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} y}},}$$

• ${\displaystyle \tau }$напряжение сдвига,
• ${\displaystyle \mu }$вязкость, а
• ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} y}}}$это скорость сдвига.

Если вязкость постоянна, жидкость является ньютоновской.

Модель степенного закона

Синий цвет представляет собой ньютоновскую жидкость по сравнению с дилатантом и псевдопластиком, угол зависит от вязкости.

Степенная модель используется для отображения поведения ньютоновских и неньютоновских жидкостей и измеряет напряжение сдвига как функцию скорости деформации.

Взаимосвязь между напряжением сдвига, скоростью деформации и градиентом скорости для степенной модели следующая:

$${\displaystyle \tau =-m\left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}},}$$

• ${\displaystyle \left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}}$– абсолютное значение скорости деформации в ( n −1) степени;
• ${\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}}$– градиент скорости;
• n – показатель степенного закона.

Если

• n < 1, то жидкость является псевдопластической.
• n = 1, то жидкость является ньютоновской жидкостью.
• n > 1, то жидкость является дилатантом.

Жидкостная модель

Взаимосвязь между напряжением сдвига и скоростью сдвига в модели кассонной жидкости определяется следующим образом:

$${\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}$$

τ ₀

$${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}},}$$

αHгематокритное

Примеры

Вода , воздух , спирт , глицерин и жидкое моторное масло — все это примеры ньютоновских жидкостей в диапазоне сдвиговых напряжений и скоростей сдвига, встречающихся в повседневной жизни. Однофазные жидкости, состоящие из небольших молекул, обычно (хотя и не исключительно) являются ньютоновскими.

Смотрите также

• Гидравлическая механика
• Неньютоновская жидкость

Рекомендации

1. Пантон, Рональд Л. (2013). Несжимаемый поток (Четвертое изд.). Хобокен: Джон Уайли и сыновья. п. 114. ИСБН 978-1-118-01343-4.
2. Бэтчелор, ГК (2000) [1967]. Введение в гидродинамику. Серия Кембриджской математической библиотеки, издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66396-0.
3. Кунду, П.; Коэн, И. Механика жидкости . п. (нужна страница).
4. Кирби, Би Джей (2010). Микро- и наномеханика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0– через kirbyresearch.com.
5. Волобуев, АН (2012). Основы несимметричной гидромеханики . Нью-Йорк: ISBN Nova Science Publishers, Inc.  978-1-61942-696-2.