Орбита

Curved path of an object around a point

Анимация, показывающая орбиту с низким эксцентриситетом (около круга, красным) и орбиту с высоким эксцентриситетом (эллипс, фиолетового цвета).

В небесной механике орбита (также известная как орбитальное вращение ) — это изогнутая траектория объекта ^[1] , такая как траектория планеты вокруг звезды , естественного спутника вокруг планеты или искусственного спутника вокруг звезды. объект или положение в космосе, например планета, луна, астероид или точка Лагранжа . Обычно орбита относится к регулярно повторяющейся траектории, хотя она также может относиться к неповторяющейся траектории. В близком приближении планеты и спутники движутся по эллиптическим орбитам , при этом центр масс вращается в фокусной точке эллипса ^[2] , как это описано законами движения планет Кеплера .

В большинстве ситуаций орбитальное движение адекватно аппроксимируется механикой Ньютона , которая объясняет гравитацию как силу, подчиняющуюся закону обратных квадратов . ^[3] Однако общая теория относительности Альберта Эйнштейна , которая объясняет гравитацию как результат кривизны пространства-времени , а орбиты следуют геодезическим , обеспечивает более точные расчеты и понимание точной механики орбитального движения.

История

Исторически кажущееся движение планет описывалось европейскими и арабскими философами, используя идею небесных сфер . Эта модель постулировала существование совершенных движущихся сфер или колец, к которым были прикреплены звезды и планеты. Предполагалось, что небеса неподвижны независимо от движения сфер, и разрабатывались без какого-либо понимания гравитации. После того, как движения планет были более точно измерены, были добавлены теоретические механизмы, такие как деферент и эпициклы . Хотя модель была способна достаточно точно предсказывать положение планет на небе, по мере того, как измерения становились все более точными, требовалось все больше и больше эпициклов, поэтому модель становилась все более громоздкой. Первоначально геоцентрическая , она была изменена Коперником , чтобы поместить Солнце в центр, чтобы упростить модель. В 16 веке модель подверглась дальнейшему сомнению, когда наблюдались кометы, пересекающие сферы. ^{[4] [5]}

Основу современного понимания орбит впервые сформулировал Иоганн Кеплер , результаты которого обобщены в его трех законах движения планет. Во-первых, он обнаружил, что орбиты планет нашей Солнечной системы эллиптические, а не круговые (или эпициклические ), как считалось ранее, и что Солнце расположено не в центре орбит, а, скорее, в одном фокусе . ^[6] Во-вторых, он обнаружил, что орбитальная скорость каждой планеты не постоянна, как считалось ранее, а скорее зависит от расстояния планеты от Солнца. В-третьих, Кеплер обнаружил универсальную связь между орбитальными свойствами всех планет, вращающихся вокруг Солнца. Для планет кубы их расстояний от Солнца пропорциональны квадратам периодов их обращения. Юпитер и Венера, например, находятся на расстоянии около 5,2 и 0,723 а.е. от Солнца соответственно, а период их обращения составляет соответственно около 11,86 и 0,615 года. Пропорциональность проявляется в том, что отношение Юпитера 5,2 ³ /11,86 ² практически равно соотношению Венеры 0,723 ³ /0,615 ² в соответствии с соотношением. Идеализированные орбиты, отвечающие этим правилам, известны как орбиты Кеплера .

Исаак Ньютон продемонстрировал, что законы Кеплера вытекают из его теории гравитации и что в целом орбиты тел, подверженных гравитации, представляют собой конические сечения (при этом предполагается, что сила гравитации распространяется мгновенно). Ньютон показал, что для пары тел размеры орбит обратно пропорциональны их массам и что эти тела вращаются вокруг своего общего центра масс . Если одно тело намного массивнее другого (как в случае искусственного спутника, вращающегося вокруг планеты), удобным приближением будет считать центр масс совпадающим с центром более массивного тела.

Затем достижения ньютоновской механики были использованы для изучения отклонений от простых предположений, лежащих в основе орбит Кеплера, таких как возмущения, вызванные другими телами, или воздействие сфероидальных, а не сферических тел. Жозеф-Луи Лагранж разработал новый подход к ньютоновской механике, уделяя больше внимания энергии, чем силе, и добился прогресса в решении проблемы трех тел , открыв точки Лагранжа . Ярким подтверждением классической механики стало то, что в 1846 году Урбен Леверье смог предсказать положение Нептуна на основе необъяснимых возмущений на орбите Урана .

Альберт Эйнштейн в своей статье 1916 года «Основы общей теории относительности» объяснил, что гравитация возникает из-за искривления пространства-времени, и устранил предположение Ньютона о том, что изменения распространяются мгновенно. Это заставило астрономов признать, что ньютоновская механика не обеспечивает высочайшей точности понимания орбит. В теории относительности орбиты следуют геодезическим траекториям, которые обычно очень хорошо аппроксимируются предсказаниями Ньютона (за исключением случаев, когда существуют очень сильные гравитационные поля и очень высокие скорости), но различия измеримы. По сути, все экспериментальные данные, позволяющие различать теории, согласуются с теорией относительности с точностью до экспериментальных измерений. Первоначальное подтверждение общей теории относительности состоит в том, что она смогла объяснить оставшуюся необъяснимую величину прецессии перигелия Меркурия, впервые отмеченную Леверье. Однако решение Ньютона по-прежнему используется для большинства краткосрочных целей, поскольку оно значительно проще в использовании и достаточно точно.

Планетарные орбиты

Внутри планетной системы планеты, карликовые планеты , астероиды и другие малые планеты , кометы и космический мусор вращаются вокруг барицентра системы по эллиптическим орбитам . Комета, движущаяся по параболической или гиперболической орбите вокруг барицентра, не связана гравитацией со звездой и поэтому не считается частью планетной системы звезды. Тела, которые гравитационно связаны с одной из планет планетной системы, будь то естественные или искусственные спутники , следуют по орбитам вокруг барицентра рядом или внутри этой планеты.

Из-за взаимных гравитационных возмущений эксцентриситеты орбит планет изменяются со временем. Меркурий , самая маленькая планета Солнечной системы, имеет самую эксцентричную орбиту. В современную эпоху Марс имеет следующий по величине эксцентриситет , тогда как наименьшие орбитальные эксцентриситеты наблюдаются у Венеры и Нептуна .

Поскольку два объекта вращаются вокруг друг друга, периапсис — это та точка, в которой два объекта находятся ближе всего друг к другу, а апоапсис — это та точка, в которой они находятся дальше всего. (Для конкретных тел используются более конкретные термины. Например, перигей и апогей — это самые низкие и самые высокие части орбиты вокруг Земли, а перигелий и афелий — самые близкие и самые дальние точки орбиты вокруг Солнца.)

В случае планет, вращающихся вокруг звезды, масса звезды и всех ее спутников рассчитывается как сосредоточенная в одной точке, называемой барицентром. Траектории всех спутников звезды представляют собой эллиптические орбиты вокруг этого барицентра. Каждый спутник в этой системе будет иметь свою собственную эллиптическую орбиту с барицентром в одной из фокальных точек этого эллипса. В любой точке своей орбиты любой спутник будет иметь определенное значение кинетической и потенциальной энергии по отношению к барицентру, и сумма этих двух энергий является постоянной величиной в каждой точке его орбиты. В результате, когда планета приближается к перицентру , скорость планеты будет увеличиваться, а ее потенциальная энергия уменьшается; Когда планета приближается к апоапсису , ее скорость будет уменьшаться по мере увеличения ее потенциальной энергии.

Принципы

Есть несколько распространенных способов понимания орбит:

• Сила, такая как гравитация, тянет объект по изогнутой траектории, когда он пытается улететь по прямой.
• Когда объект притягивается к массивному телу, он падает к этому телу. Однако, если он имеет достаточную тангенциальную скорость, он не упадет в тело, а вместо этого будет продолжать следовать по искривленной траектории, вызванной этим телом, бесконечно. В этом случае говорят, что объект вращается вокруг тела.

Таким образом, связь скорости двух движущихся объектов с массой можно рассматривать в четырех практических классах с подтипами:

Нет орбиты

Суборбитальные траектории

Диапазон прерывистых эллиптических траекторий

Орбитальные траектории (или просто орбиты)

• Диапазон эллиптических траекторий с ближайшей точкой, противоположной огневой точке
• Круговой путь
• Диапазон эллиптических траекторий с ближайшей точкой огневой точки

Открытые (или убегающие) траектории

• Параболические пути
• Гиперболические пути

Стоит отметить, что орбитальные ракеты сначала запускаются вертикально, чтобы поднять ракету над атмосферой (что вызывает сопротивление трения), а затем медленно наклоняются и завершают запуск ракетного двигателя параллельно атмосфере для достижения орбитальной скорости.

Оказавшись на орбите, их скорость удерживает их на орбите над атмосферой. Если, например, эллиптическая орбита погрузится в плотный воздух, объект потеряет скорость и снова войдет в нее (т. е. упадет). Иногда космический корабль намеренно перехватывает атмосферу, что обычно называют маневром аэроторможения.

Иллюстрация

Пушечное ядро ​​Ньютона — иллюстрация того, как объекты могут «падать» по кривой.

В качестве иллюстрации орбиты вокруг планеты может оказаться полезной модель пушечного ядра Ньютона (см. изображение ниже). Это « мысленный эксперимент », в котором пушка на вершине высокой горы может выстрелить ядром горизонтально с любой выбранной начальной скоростью. Влияние трения воздуха о ядро ​​игнорируется (или, возможно, гора достаточно высока, чтобы пушка находилась над атмосферой Земли, что то же самое). ^[7]

Если пушка стреляет шаром с низкой начальной скоростью, траектория шара изгибается вниз и ударяется о землю (А). По мере увеличения скорости стрельбы ядро ​​ударяется о землю дальше (B) от пушки, потому что, хотя мяч все еще падает к земле, земля все больше отклоняется от него (см. первый пункт выше). Все эти движения на самом деле являются «орбитами» в техническом смысле — они описывают часть эллиптической траектории вокруг центра тяжести — но орбиты прерываются при столкновении с Землей.

Если ядро ​​выпущено с достаточной скоростью, земля отклоняется от мяча по крайней мере настолько, насколько он падает, поэтому мяч никогда не ударяется о землю. Сейчас он находится на так называемой непрерывной или круговой орбите. Для любой конкретной комбинации высоты над центром тяжести и массы планеты существует одна конкретная скорость стрельбы (независимая от массы шара, которая считается очень малой по сравнению с массой Земли), которая обеспечивает круговую орбиту . , как показано на (С).

По мере увеличения скорости стрельбы создаются непрерывные эллиптические орбиты; один показан на (D). Если первоначальный запуск происходит над поверхностью Земли, как показано, также будут непрерывные эллиптические орбиты с более низкой скоростью стрельбы; они подойдут ближе всего к Земле в точке, находящейся на полорбиты дальше и прямо напротив огневой точки, ниже круговой орбиты.

При определенной горизонтальной скорости стрельбы, называемой скоростью убегания , зависящей от массы планеты и расстояния объекта от барицентра, достигается открытая орбита (E), имеющая параболический путь . На еще большей скорости объект будет следовать по ряду гиперболических траекторий . В практическом смысле оба этих типа траектории означают, что объект «вырывается» из-под гравитации планеты и «уходит в космос», чтобы никогда не вернуться.

Законы движения Ньютона

Закон тяготения Ньютона и законы движения для задач двух тел.

В большинстве ситуаций релятивистскими эффектами можно пренебречь, а законы Ньютона дают достаточно точное описание движения. Ускорение тела равно сумме действующих на него сил, деленной на его массу, а сила тяжести, действующая на тело, пропорциональна произведению масс двух притягивающихся тел и убывает обратно пропорционально квадрату расстояние между ними. С помощью этого ньютоновского приближения для системы двухточечных масс или сферических тел, на которую влияет только их взаимное притяжение (так называемая задача двух тел ), их траектории могут быть точно рассчитаны. Если более тяжелое тело намного массивнее меньшего, как в случае спутника или маленькой луны, вращающейся вокруг планеты, или Земли, вращающейся вокруг Солнца, достаточно точно и удобно описать движение в терминах системы координат , которая находится в центре более тяжелого тела, и мы говорим, что более легкое тело вращается вокруг более тяжелого. Для случая, когда массы двух тел сравнимы, точного ньютоновского решения все еще достаточно, и его можно получить, поместив систему координат в центр масс системы.

Определение гравитационной потенциальной энергии

Энергия связана с гравитационными полями . Неподвижное тело вдали от другого может совершать внешнюю работу, если его притягивать к нему, и, следовательно, обладает гравитационной потенциальной энергией . Поскольку для разделения двух тел против силы тяжести требуется работа, их гравитационная потенциальная энергия увеличивается по мере их разделения и уменьшается по мере их сближения. Для точечных масс гравитационная энергия уменьшается до нуля по мере приближения к нулевому расстоянию. Удобно и общепринято приписывать потенциальной энергии нулевое значение, когда они находятся на бесконечном расстоянии друг от друга, и, следовательно, она имеет отрицательное значение (поскольку она убывает от нуля) на меньших конечных расстояниях.

Орбитальные энергии и формы орбит

Когда взаимодействуют только два гравитационных тела, их орбиты следуют коническому сечению . Орбита может быть открытой (подразумевается, что объект никогда не возвращается) или закрытой (возвращается). Это зависит от полной энергии ( кинетической + потенциальной энергии ) системы. В случае открытой орбиты скорость в любом положении орбиты равна, по крайней мере, скорости убегания для этого положения, в случае замкнутой орбиты скорость всегда меньше скорости убегания. Поскольку кинетическая энергия никогда не бывает отрицательной, если принято общепринятое соглашение о принятии потенциальной энергии за ноль при бесконечном расстоянии, связанные орбиты будут иметь отрицательную полную энергию, параболические траектории - нулевую полную энергию, а гиперболические орбиты - положительную полную энергию.

Открытая орбита будет иметь параболическую форму, если ее скорость будет точно равна скорости убегания в этой точке ее траектории, и будет иметь форму гиперболы, когда ее скорость больше скорости убегания. Когда тела с убегающей скоростью или выше приближаются друг к другу, они на короткое время огибают друг друга в момент максимального сближения, а затем навсегда разделяются.

Все замкнутые орбиты имеют форму эллипса . Круговая орбита — это частный случай, когда фокусы эллипса совпадают. Точка, в которой вращающееся тело находится ближе всего к Земле, называется перигеем и называется периапсисом (менее правильно, «перифокусом» или «перицентроном»), когда орбита вращается вокруг тела, отличного от Земли. Точка, в которой спутник находится дальше всего от Земли, называется апогеем , апоапсисом, иногда апифокусом или апоцентроном. Линия, проведенная от перицентра к апоцентру, является линией апсид . Это главная ось эллипса, линия, проходящая через его самую длинную часть.

Законы Кеплера

Тела, движущиеся по замкнутым орбитам, повторяют свои пути с определенным временем, называемым периодом. Это движение описывается эмпирическими законами Кеплера, которые можно математически вывести из законов Ньютона. Их можно сформулировать следующим образом:

1. Орбита планеты вокруг Солнца представляет собой эллипс, в одной из фокусов которого находится Солнце. [Эта фокусная точка на самом деле является барицентром системы Солнце-планета ; для простоты это объяснение предполагает, что масса Солнца бесконечно больше массы этой планеты.] Орбита планеты лежит в плоскости, называемой орбитальной плоскостью . Точка орбиты, ближайшая к притягивающему телу, называется перицентром. Точка, наиболее удаленная от притягивающего тела, называется апоапсисом. Существуют также специальные термины для орбит вокруг определенных тел; предметы, вращающиеся вокруг Солнца, имеют перигелий и афелий , предметы, вращающиеся вокруг Земли, имеют перигей и апогей , а предметы, вращающиеся вокруг Луны , имеют перилун и аполун (или периселен и апоселен соответственно). Орбита вокруг любой звезды , не только Солнца, имеет периастр и апастрон .
2. По мере движения планеты по своей орбите линия от Солнца до планеты охватывает постоянную площадь орбитальной плоскости в течение заданного периода времени, независимо от того, какую часть своей орбиты планета проходит в этот период времени. Это означает, что планета движется быстрее вблизи своего перигелия , чем вблизи своего афелия , поскольку на меньшем расстоянии ей необходимо очертить большую дугу, чтобы охватить ту же площадь. Этот закон обычно формулируется как «равные площади в равное время».
3. Для данной орбиты отношение куба ее большой полуоси к квадрату ее периода постоянно.

Ограничения закона гравитации Ньютона

Обратите внимание, что хотя связанные орбиты точечной массы или сферического тела с ньютоновским гравитационным полем представляют собой замкнутые эллипсы , повторяющие один и тот же путь точно и бесконечно, любые несферические или неньютоновские эффекты (например, вызванные небольшим сжатием тела) Земля (или релятивистские эффекты , тем самым изменяя поведение гравитационного поля с расстоянием) заставит форму орбиты отклониться от замкнутых эллипсов , характерных для ньютоновского движения двух тел . Решения для двух тел были опубликованы Ньютоном в «Началах» в 1687 году. В 1912 году Карл Фритиоф Сундман разработал сходящийся бесконечный ряд, который решает проблему трех тел ; однако он сходится слишком медленно, чтобы принести большую пользу. За исключением особых случаев, таких как точки Лагранжа , не известно ни одного метода решения уравнений движения системы с четырьмя или более телами.

Подходы к задачам многих тел

Вместо точного решения в замкнутой форме орбиты со многими телами могут быть аппроксимированы с сколь угодно высокой точностью. Эти приближения принимают две формы:

Одна форма берет за основу чистое эллиптическое движение и добавляет члены возмущения для учета гравитационного влияния нескольких тел. Это удобно для расчета положений астрономических тел. Уравнения движения лун, планет и других тел известны с большой точностью и используются для составления таблиц для небесной навигации . Тем не менее, существуют вековые явления , с которыми приходится иметь дело постньютоновскими методами.

Форма дифференциального уравнения используется в научных целях или целях планирования миссии. Согласно законам Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело, будет равна произведению массы тела на его ускорение ( F = ma ). Поэтому ускорения можно выразить через позиции. Члены возмущения гораздо легче описать в этой форме. Прогнозирование последующих положений и скоростей на основе начальных значений положения и скорости соответствует решению задачи начальных значений . Численные методы вычисляют положения и скорости объектов на короткое время в будущем, а затем повторяют вычисления до тошноты. Однако крошечные арифметические ошибки из-за ограниченной точности математических вычислений компьютера накапливаются, что ограничивает точность этого подхода.

Дифференциальное моделирование с большим количеством объектов выполняет вычисления в иерархическом попарном порядке между центрами масс. С помощью этой схемы были смоделированы галактики, звездные скопления и другие крупные совокупности объектов. ^[8]

Ньютоновский анализ орбитального движения

Следующий вывод применим к такой эллиптической орбите. Мы начнем только с закона гравитации Ньютона , утверждающего, что гравитационное ускорение по направлению к центральному телу связано с обратной величиной квадрата расстояния между ними, а именно

${\displaystyle F_{2}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

где F ₂ — сила, действующая на массу m _2, вызванная гравитационным притяжением, которое масса m ₁ оказывает на m ₂ , G — универсальная гравитационная постоянная, а r — расстояние между двумя центрами масс.

Согласно Второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на m ₂ , связана с ускорением этого тела:

${\displaystyle F_{2}=m_{2}A_{2}}$

где А ₂ - ускорение м ₂ , вызванное силой гравитационного притяжения F ₂ м ₁ , действующей на м ₂ .

Объединение уравнения. 1 и 2:

${\displaystyle -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}$

Находим ускорение A ₂ :

${\displaystyle A_{2}={\frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{\frac {1}{m_{2}}}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

где в данном случае стандартный гравитационный параметр . Понятно, что описываемая система имеет размер m ₂ , поэтому индексы можно опустить. ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle Gm_{1}}$

Мы предполагаем, что центральное тело достаточно массивно, чтобы его можно было считать стационарным, и игнорируем более тонкие эффекты общей теории относительности .

Когда маятник или объект, прикрепленный к пружине, раскачивается по эллипсу, внутреннее ускорение/сила пропорциональны расстоянию. Из-за того, как складываются векторы, компоненты силы в направлениях или в направлениях также пропорциональны соответствующим компонентам. расстояний, . Следовательно, весь анализ можно провести отдельно в этих измерениях. Это приводит к гармоническим параболическим уравнениям и эллипсу. ${\displaystyle A=F/m=-kr.}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle r''_{x}=A_{x}=-kr_{x}}$ ${\displaystyle x=A\cos(t)}$ ${\displaystyle y=B\sin(t)}$

Местоположение орбитального объекта в текущий момент времени определяется в плоскости с помощью векторного исчисления в полярных координатах как со стандартным евклидовым базисом, так и с полярным базисом с началом координат, совпадающим с центром силы. Пусть это расстояние между объектом и центром и угол, на который он повернулся. Пусть и — стандартные евклидовы базисы, и пусть и — радиальный и поперечный полярные базисы, первый из которых представляет собой единичный вектор, указывающий от центрального тела к текущему местоположению вращающегося объекта, а второй — ортогональный единичный вектор, указывающий в том направлении, в котором орбитальный объект будет двигаться, если вращается по кругу против часовой стрелки. Тогда вектор к орбитальному объекту равен ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {O} }}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

Мы используем и для обозначения стандартных производных того, как это расстояние и угол меняются со временем. Мы берем производную вектора, чтобы увидеть, как он меняется со временем, вычитая его местоположение в момент времени из этого значения в момент времени и разделяя на . Результат также является вектором. Поскольку наш базисный вектор движется по орбите объекта, мы начинаем с его дифференцирования. Время от времени вектор сохраняет свое начало в начале координат и поворачивается под углом, на который перемещает свою головку на расстояние в перпендикулярном направлении, что дает производную . ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\delta t}$ ${\displaystyle \delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta +{\dot {\theta }}\ \delta t}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}\ \delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {\mathbf {r} }}&=-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\delta t}}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}&=-\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}}$

Теперь мы можем найти скорость и ускорение нашего вращающегося объекта.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {O} }}&=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {O} }}&={\frac {\delta r}{\delta t}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r\left[{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]\\{\ddot {\mathbf {O} }}&=\left[{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]+\left[{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\\&=\left[{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\end{aligned}}}$

Коэффициенты и дают ускорения в радиальном и поперечном направлениях. Как сказано, Ньютон дает первое из-за силы тяжести , а второе — ноль. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ${\displaystyle -\mu /r^{2}}$

Уравнение (2) можно перестроить, используя интегрирование по частям.

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0}$

Мы можем умножить на, потому что оно не равно нулю, если только орбитальный объект не упадет. Тогда, если производная равна нулю, это означает, что функция является константой. ${\displaystyle r}$

что на самом деле является теоретическим доказательством второго закона Кеплера (линия, соединяющая планету и Солнце, охватывает равные площади за равные промежутки времени). Константа интегрирования h — это угловой момент единицы массы .

Чтобы получить уравнение орбиты из уравнения (1), нам нужно исключить время. ^[9] (См. также уравнение Бине .) В полярных координатах это будет выражать расстояние объекта, вращающегося по орбите, от центра как функцию его угла . Однако проще ввести вспомогательную переменную и выразить ее как функцию от . Производные по времени можно переписать как производные по углу. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle u=1/r}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u={1 \over r}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}}$(переработка (3))

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}&={\frac {\delta }{\delta t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {1}{h}}{\frac {\delta {\dot {r}}}{\delta t}}{\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\ \ \ {\text{ or }}\ \ \ {\ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}\end{aligned}}}$

Подстановка их в (1) дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\\-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {1}{u}}\left(hu^{2}\right)^{2}&=-\mu u^{2}\end{aligned}}}$

Таким образом, для гравитационной силы – или, в более общем смысле, для любого закона обратных квадратов силы – правая часть уравнения становится постоянной, и уравнение рассматривается как гармоническое уравнение (с точностью до смещения начала координат зависимой переменной). . Решение:

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}+A\cos(\theta -\theta _{0})}$

где A и θ ₀ — произвольные константы. Полученное уравнение орбиты объекта представляет собой уравнение эллипса полярной формы относительно одной из фокальных точек. Этому придается более стандартная форма, если указать эксцентриситет , который при перестановке мы видим: ${\displaystyle e\equiv h^{2}A/\mu }$

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))}$

Обратите внимание, что, если указать большую полуось и позволить длинной оси эллипса проходить вдоль положительной координаты x , мы получим: ${\displaystyle a\equiv h^{2}/\mu \left(1-e^{2}\right)}$ ${\displaystyle \theta _{0}\equiv 0}$

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}$

Когда система двух тел находится под действием крутящего момента, угловой момент h не является постоянной величиной. После следующего расчета:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta r}{\delta \theta }}&=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}=-{\frac {h}{m}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\{\frac {\delta ^{2}r}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {hu^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta h}{\delta \theta }}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\\left({\frac {\delta \theta }{\delta t}}\right)^{2}r&={\frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

получим уравнение Штурма-Лиувилля системы двух тел. ^[10]

Релятивистское орбитальное движение

Приведенный выше классический ( ньютоновский ) анализ орбитальной механики предполагает, что более тонкие эффекты общей теории относительности , такие как перетаскивание системы отсчета и гравитационное замедление времени, незначительны. Релятивистские эффекты перестают быть незначительными вблизи очень массивных тел (как в случае прецессии орбиты Меркурия вокруг Солнца) или когда необходима предельная точность (как при расчетах элементов орбиты и привязке сигналов времени для спутников GPS . ^[11] ) . .

Орбитальные самолеты

До сих пор анализ был двумерным; оказывается, что невозмущенная орбита двумерна в фиксированной в пространстве плоскости, и, таким образом, расширение до трех измерений требует простого поворота двумерной плоскости на необходимый угол относительно полюсов рассматриваемого планетарного тела.

Вращение, чтобы сделать это в трех измерениях, требует трех чисел для однозначного определения; традиционно они выражаются в виде трех углов.

Орбитальный период

Орбитальный период — это просто то, сколько времени требуется телу, обращающемуся по орбите, чтобы совершить один оборот.

Указание орбит

Шесть параметров необходимы для указания кеплеровской орбиты вокруг тела. Например, три числа, определяющие начальное положение тела, и три значения, определяющие его скорость, будут определять уникальную орбиту, которую можно рассчитать вперед (или назад) во времени. Однако традиционно используемые параметры немного отличаются.

Традиционно используемый набор орбитальных элементов называется набором кеплеровских элементов в честь Иоганна Кеплера и его законов. Кеплеровых элементов шесть:

• Наклон ( я )
• Долгота восходящего узла (Ом)
• Аргумент периапсиса (ω)
• Эксцентриситет ( е )
• Большая полуось ( а )
• Средняя аномалия в эпоху ( M ₀ ).

В принципе, если известны элементы орбиты тела, его положение можно рассчитать вперед и назад на неопределенное время во времени. Однако на практике на орбиты влияют или возмущаются другие силы, помимо простой гравитации, исходящие от предполагаемого точечного источника (см. следующий раздел), и, таким образом, элементы орбит со временем меняются.

Возмущения

Орбитальное возмущение - это когда сила или импульс, который намного меньше общей силы или среднего импульса основного гравитирующего тела и который является внешним по отношению к двум вращающимся телам, вызывает ускорение, которое со временем меняет параметры орбиты.

Радиальные, прогрессивные и поперечные возмущения

Небольшой радиальный импульс, приданный телу на орбите, изменяет эксцентриситет , но не период обращения (до первого порядка). Прямой или ретроградный импульс (т.е. импульс , приложенный во время орбитального движения) изменяет как эксцентриситет, так и период обращения . Примечательно, что прогрессивный импульс в перицентре повышает высоту в апоцентре , и наоборот, а ретроградный импульс делает противоположное. Поперечный импульс (вне плоскости орбиты) вызывает вращение плоскости орбиты без изменения периода или эксцентриситета. Во всех случаях замкнутая орбита все равно будет пересекать точку возмущения.

Орбитальный распад

Если орбита вращается вокруг планетарного тела со значительной атмосферой, ее орбита может затухнуть из-за сопротивления . В частности, в каждом перицентре объект испытывает сопротивление атмосферы, теряя энергию. С каждым разом орбита становится менее эксцентричной (более круговой), поскольку объект теряет кинетическую энергию именно тогда, когда эта энергия максимальна. Это похоже на эффект замедления маятника в самой низкой точке; высшая точка качания маятника становится ниже. С каждым последующим замедлением атмосфера влияет на большую часть траектории орбиты, и эффект становится более выраженным. В конце концов, эффект становится настолько велик, что максимальной кинетической энергии оказывается недостаточно, чтобы вернуть орбиту за пределы действия атмосферного сопротивления. Когда это произойдет, тело быстро пойдет вниз по спирали и пересечет центральное тело.

Границы атмосферы сильно различаются. Во время солнечного максимума атмосфера Земли вызывает сопротивление на сто километров выше, чем во время солнечного минимума.

Некоторые спутники с длинными проводящими тросами также могут испытывать потерю орбиты из-за электромагнитного сопротивления магнитного поля Земли . Когда провод разрезает магнитное поле, он действует как генератор, перемещая электроны от одного конца к другому. Орбитальная энергия преобразуется в тепло в проводе.

На орбиты можно искусственно влиять с помощью ракетных двигателей, которые изменяют кинетическую энергию тела в какой-то момент его пути. Это преобразование химической или электрической энергии в кинетическую энергию. Таким образом, можно облегчить изменение формы или ориентации орбиты.

Другой метод искусственного воздействия на орбиту — использование солнечных или магнитных парусов . Эти формы движения не требуют никакого топлива или энергии, кроме солнечной, и поэтому могут использоваться бесконечно. См. Статит об одном из таких предлагаемых вариантов использования.

Распад орбиты может произойти из-за приливных сил для объектов, находящихся ниже синхронной орбиты тела, вокруг которого они вращаются. Гравитация вращающегося объекта поднимает приливные выпуклости на первичной стороне, а поскольку ниже синхронной орбиты вращающийся объект движется быстрее, чем поверхность тела, выпуклости отстают от него на небольшой угол. Гравитация выпуклостей немного отклоняется от оси основного спутника и, таким образом, имеет составляющую, связанную с движением спутника. Ближний балдж замедляет объект сильнее, чем дальний балдж, и в результате орбита затухает. И наоборот, гравитация сателлита на выпуклостях передает крутящий момент первичной обмотке и ускоряет ее вращение. Искусственные спутники слишком малы, чтобы оказывать заметное приливное воздействие на планеты, вокруг которых они вращаются, но несколько спутников Солнечной системы подвергаются орбитальному распаду по этому механизму. Самый внутренний спутник Марса Фобос является ярким примером и, как ожидается, либо столкнется с поверхностью Марса, либо распадется на кольцо в течение 50 миллионов лет.

Орбиты могут распадаться из-за излучения гравитационных волн . Этот механизм чрезвычайно слаб для большинства звездных объектов и становится значимым только в тех случаях, когда наблюдается сочетание экстремальной массы и экстремального ускорения, например, в случае с черными дырами или нейтронными звездами , которые вращаются близко друг к другу.

Сплющенность

Стандартный анализ вращающихся тел предполагает, что все тела состоят из однородных сфер или, в более общем плане, концентрических оболочек, каждая из которых имеет одинаковую плотность. Можно показать, что такие тела гравитационно эквивалентны точечным источникам.

Однако в реальном мире многие тела вращаются, и это вносит сжатие и искажает гравитационное поле, а также придает гравитационному полю квадрупольный момент, который значителен на расстояниях, сравнимых с радиусом тела. В общем случае гравитационный потенциал вращающегося тела, такого как, например, планета, обычно разлагается в мультиполи, что связано с отклонениями его от сферической симметрии. С точки зрения динамики спутников особое значение имеют так называемые коэффициенты четных зональных гармоник, или даже зональные, поскольку они вызывают вековые орбитальные возмущения, которые накапливаются в течение промежутков времени, превышающих орбитальный период. ^{[12] [13] [14]} Они зависят от ориентации оси симметрии тела в пространстве, влияя, в общем, на всю орбиту, за исключением большой полуоси.

Множественные гравитирующие тела

Воздействие других гравитирующих тел может быть значительным. Например, орбиту Луны невозможно точно описать без учета действия гравитации Солнца и Земли. Одним из приблизительных результатов является то, что тела обычно будут иметь достаточно стабильные орбиты вокруг более тяжелой планеты или луны, несмотря на эти возмущения, при условии, что они вращаются в пределах сферы Хилла более тяжелого тела .

Когда имеется более двух гравитирующих тел, это называется проблемой n тел . Большинство задач n тел не имеют решения в замкнутой форме , хотя были сформулированы некоторые частные случаи.

Световое излучение и звездный ветер

В частности, для меньших тел свет и звездный ветер могут вызывать значительные возмущения в положении и направлении движения тела, и со временем могут быть значительными. Из планетных тел особенно сильно страдает движение астероидов в течение больших периодов времени, когда астероиды вращаются относительно Солнца.

Странные орбиты

Математики обнаружили, что в принципе возможно иметь несколько тел на неэллиптических орбитах, которые периодически повторяются, хотя большинство таких орбит не стабильны относительно небольших возмущений массы, положения или скорости. Однако были идентифицированы некоторые особые стабильные случаи, в том числе плоская орбита в форме восьмерки, занятая тремя движущимися телами . ^[15] Дальнейшие исследования показали, что также возможны неплоские орбиты, в том числе одна, включающая 12 масс, движущихся по 4 примерно круговым, взаимосвязанным орбитам, топологически эквивалентным ребрам кубооктаэдра . ^[16]

Обнаружение таких орбит, естественно встречающихся во Вселенной, считается крайне маловероятным из-за маловероятности того, что необходимые условия возникнут случайно. ^[16]

Астродинамика

Орбитальная механика или астродинамика — это применение баллистики и небесной механики к практическим проблемам движения ракет и других космических аппаратов . Движение этих объектов обычно рассчитывается на основе законов движения Ньютона и закона всемирного тяготения Ньютона . Это основная дисциплина проектирования и управления космическими полетами. Небесная механика в более широком смысле рассматривает орбитальную динамику систем, находящихся под влиянием гравитации , включая космические корабли и естественные астрономические тела, такие как звездные системы, планеты , луны и кометы . Орбитальная механика фокусируется на траекториях космических кораблей , включая орбитальные маневры , изменения орбитальной плоскости и межпланетные перемещения, и используется планировщиками миссий для прогнозирования результатов двигательных маневров . Общая теория относительности является более точной теорией для расчета орбит, чем законы Ньютона, и иногда необходима для большей точности или в ситуациях с высокой гравитацией (например, на орбитах, близких к Солнцу).

Земные орбиты

• Низкая околоземная орбита (НОО): геоцентрические орбиты с высотой до 2000 км (0–1240 миль ). ^[17]
• Средняя околоземная орбита (MEO): геоцентрические орбиты высотой от 2000 км (1240 миль ) до чуть ниже геосинхронной орбиты на высоте 35 786 километров (22 236 миль). Также известна как промежуточная круговая орбита . «Чаще всего это 20 200 километров (12 600 миль) или 20 650 километров (12 830 миль) с орбитальным периодом 12 часов». ^[18]
• И геосинхронная орбита (ГСО), и геостационарная орбита (GEO) представляют собой орбиты вокруг Земли, соответствующие сидерическому периоду вращения Земли . Все геосинхронные и геостационарные орбиты имеют большую полуось 42 164 км (26 199 миль). ^[19] Все геостационарные орбиты также являются геосинхронными, но не все геостационарные орбиты являются геостационарными. Геостационарная орбита остается точно над экватором, тогда как геостационарная орбита может поворачиваться на север и юг, чтобы покрыть большую часть поверхности Земли. Оба совершают один полный оборот вокруг Земли за сидерический день (относительно звезд, а не Солнца).
• Высокая околоземная орбита : геоцентрические орбиты выше высоты геостационарной орбиты 35 786 км (22 240 миль ). ^[18]

Масштабирование в гравитации

Гравитационная постоянная G рассчитывается как:

• (6,6742 ± 0,001) × 10 ^-11 (кг/м ³ ) ^-1 с ^-2 .

Таким образом, константа имеет размерную плотность ⁻¹ раз ⁻² . Это соответствует следующим свойствам.

Масштабирование расстояний (включая размеры тел при сохранении плотности) дает аналогичные орбиты без масштабирования времени: если, например, расстояния уменьшаются вдвое, массы делятся на 8, гравитационные силы на 16 и гравитационные ускорения на 2. Следовательно, скорости равны половинные и орбитальные периоды, а также другое время путешествия, связанное с гравитацией, остаются прежними. Например, когда объект падает с башни, время, необходимое для падения на землю, остается таким же, как у масштабной модели башни на масштабной модели Земли.

Масштабирование расстояний при сохранении одинаковых масс (в случае точечных масс или путем регулировки плотности) дает аналогичные орбиты; если расстояния умножить на 4, гравитационные силы и ускорения разделить на 16, скорости уменьшить вдвое, а периоды обращения умножить на 8.

Когда все плотности умножаются на 4, орбиты становятся одинаковыми; гравитационные силы умножаются в 16, а ускорения в 4, скорости удваиваются, а периоды обращения уменьшаются вдвое.

Когда все плотности умножаются на 4 и все размеры уменьшаются вдвое, орбиты становятся одинаковыми; массы делятся на 2, силы тяжести одинаковы, ускорения свободного падения удваиваются. Следовательно, скорости одинаковы, а орбитальные периоды уменьшаются вдвое.

Во всех этих случаях масштабирование. если плотности умножить на 4, время уменьшится вдвое; если скорости удваиваются, силы умножаются на 16.

Эти свойства иллюстрируются формулой (полученной из формулы для орбитального периода )

${\displaystyle GT^{2}\rho =3\pi \left({\frac {a}{r}}\right)^{3},}$

для эллиптической орбиты с большой полуосью a малого тела вокруг сферического тела радиусом r и средней плотностью ρ , где T — период обращения. См. также третий закон Кеплера .

Патенты

Применение определенных орбит или орбитальных маневров для конкретных полезных целей было предметом патентов. ^[20]

Приливная блокировка

Некоторые тела приливно связаны с другими телами, а это означает, что одна сторона небесного тела постоянно обращена к своему объекту-хозяину. Так обстоит дело с системой Земля- Луна и Плутон-Харон.

Смотрите также

• Эфемериды — это подборка положений естественных астрономических объектов, а также искусственных спутников на небе в определенное время или моменты времени.
• Свободный дрифт
• Клемперер розетка
• Список орбит
• Орбита Молнии
• Определение орбиты
• Орбитальный космический полет
• Перифокальная система координат
• Полярная орбита
• Радиальная траектория
• Орбита Розетты
• Модель ВСОП

Рекомендации

1. «орбита (астрономия)» . Британская энциклопедия (онлайн-изд.). Архивировано из оригинала 5 мая 2015 года . Проверено 28 июля 2008 г.
2. "Космическое место :: Что такое барицентр" . НАСА. Архивировано из оригинала 8 января 2013 года . Проверено 26 ноября 2012 г.
3. Кун, Коперниканская революция , стр. 238, 246–252.
4. Британская энциклопедия , 1968, том. 2, с. 645
5. М. Каспар, Кеплер (1959, Абеляр-Шуман), стр. 131–140; А Койре, Астрономическая революция: Коперник, Кеплер, Борелли (1973, Метуэн), стр. 277–279.
6. Джонс, Эндрю. «Законы движения планет Кеплера». о.com . Архивировано из оригинала 18 ноября 2016 года . Проверено 1 июня 2008 г.
7. Оригинальную версию см. на страницах 6–8 «Трактата о системе мира» Ньютона. Архивировано 30 декабря 2016 года в Wayback Machine (написано в 1685 году, переведено на английский в 1728 году, см. «Principia» Ньютона – предварительная версия ). этот мысленный эксперимент «пушечное ядро».
8. Карлтон, Тимоти; Го, Ичэн; Мунши, Фера; Треммель, Майкл; Райт, Анна (2021). «Избыток шаровых скоплений в ультрадиффузных галактиках, образовавшийся в результате приливного нагрева». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 502 : 398–406. arXiv : 2008.11205 . дои : 10.1093/mnras/stab031.
9. Фитцпатрик, Ричард (2 февраля 2006 г.). «Планетарные орбиты». Классическая механика – вводный курс . Техасский университет в Остине. Архивировано из оригинала 3 марта 2001 года.
10. Ло, Сивэй (22 июня 2020 г.). «Задача Штурма-Лиувилля о системе двух тел». Журнал физических коммуникаций . 4 (6): 061001. Бибкод : 2020JPhCo...4f1001L. дои : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
11. Погге, Ричард В.; «Реальная теория относительности: система GPS-навигации». Архивировано 14 ноября 2015 года в Wayback Machine . Проверено 25 января 2008 г.
12. Иорио, Л. (2011). «Возмущенные звездные движения вокруг вращающейся черной дыры в Стрельца А * для типичной ориентации ее оси вращения». Физический обзор D . 84 (12): 124001. arXiv : 1107.2916 . Бибкод : 2011PhRvD..84l4001I. doi : 10.1103/PhysRevD.84.124001. S2CID  118305813.
13. Ренцетти, Г. (2013). «Прецессии орбит спутника, вызванные октуполярным моментом массы несферического тела, произвольно ориентированного в пространстве». Журнал астрофизики и астрономии . 34 (4): 341–348. Бибкод : 2013JApA...34..341R. дои : 10.1007/s12036-013-9186-4. S2CID  120030309.
14. Ренцетти, Г. (2014). «Прецессии орбит спутника, вызванные первым нечетным зональным мультиполем J3 несферического тела, произвольно ориентированного в пространстве». Астрофизика и космическая наука . 352 (2): 493–496. Бибкод : 2014Ap&SS.352..493R. дои : 10.1007/s10509-014-1915-x. S2CID  119537102.
15. Ченсинер, Ален; Монтгомери, Ричард (31 октября 2000 г.). «Замечательное периодическое решение задачи трех тел в случае равных масс». arXiv : math/0011268 .
16. Петерсон, Иварс (23 сентября 2013 г.). «Странные орбиты». Новости науки . Архивировано из оригинала 22 ноября 2015 года . Проверено 21 июля 2017 г.
17. «Стандарт безопасности НАСА 1740.14, Рекомендации и процедуры оценки по ограничению орбитального мусора» (PDF) . Управление безопасности и обеспечения миссий. 1 августа 1995 г. Архивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2013 г., стр. 37–38 (6-1,6-2); рисунок 6-1.
18. «Орбита: Определение». Дополнительное описание Руководство для писателя, 2013 . Главный каталог глобальных изменений Национального управления по аэронавтике и исследованию космического пространства (НАСА). Архивировано из оригинала 11 мая 2013 года . Проверено 29 апреля 2013 г.
19. Валладо, Дэвид А. (2007). Основы астродинамики и приложения . Хоторн, Калифорния: Microcosm Press. п. 31.
20. Феррейра, Бекки (19 февраля 2015 г.). «Как спутниковые компании патентуют свои орбиты». Материнская плата . Вице-ньюс. Архивировано из оригинала 18 января 2017 года . Проверено 20 сентября 2018 г.

дальнейшее чтение

• Абелл, Джордж О.; Моррисон, Дэвид и Вольф, Сидни К. (1987). Исследование Вселенной (Пятое изд.). Издательство Колледжа Сондерса. ISBN 9780030051432.
• Линтон, Кристофер (2004). От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-45379-0.
• Милани, Андреа; Гронки, Джованни Ф. (2010). Теория определения орбиты . Издательство Кембриджского университета.Обсуждаются новые алгоритмы определения орбит как естественных, так и искусственных небесных тел.
• Свец, Фрэнк; Фовель, Джон; Йоханссон, Бенгт; Кац, Виктор; Беккен, Отто (1995). Учитесь у Мастеров. МАА. ISBN 978-0-88385-703-8.

Внешние ссылки

• CalcTool: Калькулятор орбитального периода планеты. Имеет широкий выбор агрегатов. Требуется JavaScript.
• Java-симуляция орбитального движения. Требуется Java.
• Страница NOAA, посвященная данным о влиянии на климат, включает (расчетные) данные об изменениях околоземной орбиты за последние 50 миллионов лет и на ближайшие 20 миллионов лет.
• Онлайн-построитель орбит. Требуется JavaScript.
• Орбитальная механика (ракетная и космическая техника)
• Орбитальное моделирование, проведенное Варади, Гилом и Раннегаром (2003), дает еще один, немного отличающийся ряд данных по эксцентриситету околоземной орбиты, а также ряд по наклонению орбиты. Орбиты других планет также были рассчитаны Ф. Варади; Б. Раннегар; М. Гил (2003). «Последовательные усовершенствования в долгосрочной интеграции планетарных орбит». Астрофизический журнал . 592 (1): 620–630. Бибкод : 2003ApJ...592..620В. дои : 10.1086/375560 ., но в Интернете доступны только данные об эксцентриситете Земли и Меркурия.
• Понимание орбит с помощью прямых манипуляций. Архивировано 8 ноября 2017 года на Wayback Machine . Требуется JavaScript и Macromedia.
• Меррифилд, Майкл. «Орбиты (включая первую пилотируемую орбиту)». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .