В математике топология порядка — это конкретная топология , которая может быть определена на любом полностью упорядоченном множестве . Она является естественным обобщением топологии действительных чисел на произвольные полностью упорядоченные множества.
Если X — полностью упорядоченное множество, то топология порядка на X генерируется подбазой « открытых лучей»
для всех a, b в X. При условии, что X имеет по крайней мере два элемента, это эквивалентно утверждению, что открытые интервалы
Вместе с указанными выше лучами они образуют базу для топологии порядка. Открытые множества в X — это множества, которые являются объединением (возможно, бесконечного числа) таких открытых интервалов и лучей.
Топологическое пространство X называется упорядочиваемым или линейно упорядочиваемым [1] , если существует полный порядок его элементов, такой что топология порядка, индуцированная этим порядком, и заданная топология на X совпадают. Топология порядка превращает X в совершенно нормальное хаусдорфово пространство .
Стандартные топологии на R , Q , Z и N являются топологиями порядка.
Если Y является подмножеством X , X — полностью упорядоченное множество, то Y наследует полный порядок от X. Таким образом, множество Y имеет топологию порядка, индуцированную топологию порядка . Как подмножество X , Y также имеет топологию подпространства . Топология подпространства всегда по крайней мере так же хороша , как индуцированная топология порядка, но в общем случае они не одинаковы.
Например, рассмотрим подмножество Y = {−1} ∪ {1/ n } n ∈ N рациональных чисел . В топологии подпространства одноэлементное множество {−1} открыто в Y , но в топологии индуцированного порядка любое открытое множество, содержащее −1, должно содержать все элементы пространства, кроме конечного числа.
Хотя в разделе выше показано, что топология подпространства Y = {−1} ∪ {1/ n } n ∈ N не порождается индуцированным порядком на Y , она, тем не менее, является топологией порядка на Y ; действительно, в топологии подпространства каждая точка изолирована (т. е. синглтон { y } открыт в Y для каждого y из Y ), поэтому топология подпространства является дискретной топологией на Y (топология, в которой каждое подмножество Y открыто), а дискретная топология на любом множестве является топологией порядка. Чтобы определить полный порядок на Y , который порождает дискретную топологию на Y , просто измените индуцированный порядок на Y , определив −1 как наибольший элемент Y и в остальном сохранив тот же порядок для других точек, так что в этом новом порядке (назовем его, скажем, < 1 ) мы имеем 1/ n < 1 −1 для всех n ∈ N . Тогда в топологии порядка на Y, порожденной < 1 , каждая точка Y изолирована в Y .
Мы хотим здесь определить подмножество Z линейно упорядоченного топологического пространства X, такое, что никакой полный порядок на Z не порождает топологию подпространства на Z , так что топология подпространства не будет топологией порядка, даже если она является топологией подпространства пространства, топология которого является топологией порядка.
Пусть в вещественной прямой . Тот же аргумент, что и раньше, показывает, что топология подпространства на Z не равна индуцированной топологии порядка на Z , но можно показать, что топология подпространства на Z не может быть равна никакой топологии порядка на Z .
Далее следует аргумент. Предположим от противного, что существует некоторый строгий полный порядок < на Z, такой что топология порядка, порожденная <, равна топологии подпространства на Z (обратите внимание, что мы не предполагаем, что < является индуцированным порядком на Z , а скорее произвольно заданным полным порядком на Z , который порождает топологию подпространства).
Пусть M = Z \ {−1} = (0,1), тогда M связно , поэтому M плотно на себе и не имеет пробелов относительно <. Если −1 не является наименьшим или наибольшим элементом Z , то и разделяют M , противоречие. Предположим без потери общности, что −1 является наименьшим элементом Z . Поскольку {−1} открыто в Z , существует некоторая точка p в M такая, что интервал (−1, p ) пуст , поэтому p является минимумом M . Тогда M \ { p } = (0, p ) ∪ ( p ,1) не связно относительно топологии подпространства, унаследованной от R . С другой стороны, топология подпространства M \ { p }, унаследованная от топологии порядка Z , совпадает с топологией порядка M \ { p }, индуцированной <, которая связна, поскольку в M \ { p } нет пробелов, и она плотна. Это противоречие.
Можно привести несколько вариантов топологии заказа:
Топологии левого и правого порядка могут быть использованы для приведения контрпримеров в общей топологии. Например, топология левого или правого порядка на ограниченном множестве дает пример компактного пространства , которое не является хаусдорфовым.
Топология левого порядка — это стандартная топология, используемая для многих теоретико-множественных целей в булевой алгебре . [ необходимо разъяснение ]
Для любого порядкового числа λ можно рассмотреть пространства порядковых чисел
вместе с топологией естественного порядка. Эти пространства называются ординальными пространствами . (Заметим, что в обычной теоретико-множественной конструкции ординальных чисел мы имеем λ = [0, λ ) и λ + 1 = [0, λ ]). Очевидно, что эти пространства представляют наибольший интерес, когда λ — бесконечный ординал; для конечных ординалов топология порядка — это просто дискретная топология .
Когда λ = ω (первый бесконечный ординал), пространство [0,ω) — это просто N с обычной (все еще дискретной) топологией, тогда как [0,ω] — это одноточечная компактификация N .
Особый интерес представляет случай, когда λ = ω 1 , множество всех счетных ординалов и первый несчетный ординал . Элемент ω 1 является предельной точкой подмножества [0,ω 1 ) даже если никакая последовательность элементов в [0,ω 1 ) не имеет элемент ω 1 в качестве своего предела. В частности, [0,ω 1 ] не является счётно-первым . Однако подпространство [0,ω 1 ) является счётно-первым, поскольку единственная точка в [0,ω 1 ] без счётной локальной базы — это ω 1 . Некоторые дополнительные свойства включают
Любое порядковое число можно превратить в топологическое пространство , наделив его топологией порядка (поскольку, будучи вполне упорядоченным , порядковое число, в частности, полностью упорядочено ): при отсутствии указаний на обратное, именно эта топология порядка всегда подразумевается, когда порядковое число рассматривается как топологическое пространство. (Заметим, что если мы готовы принять надлежащий класс в качестве топологического пространства, то класс всех порядковых чисел также является топологическим пространством для топологии порядка.)
Множество предельных точек ординала α — это в точности множество предельных ординалов, меньших α . Последующие ординалы (и нуль), меньшие α, являются изолированными точками в α . В частности, конечные ординалы и ω являются дискретными топологическими пространствами, и никакой ординал за их пределами не является дискретным. Ординал α компактен как топологическое пространство тогда и только тогда, когда α является либо последующим ординалом, либо нулем.
Замкнутые множества предельного ординала α — это просто замкнутые множества в том смысле, который мы уже определили, а именно те, которые содержат предельный ординал всякий раз, когда они содержат все достаточно большие ординалы ниже него.
Любой ординал, конечно, является открытым подмножеством любого большего ординала. Мы также можем определить топологию на ординалах следующим индуктивным способом: 0 — пустое топологическое пространство, α +1 получается взятием одноточечной компактификации α , а для δ — предельного ординала, δ снабжается топологией индуктивного предела . Обратите внимание, что если α — последовавший ординал, то α компактен, и в этом случае его одноточечная компактификация α +1 является дизъюнктным объединением α и точки.
Как топологические пространства, все ординалы являются хаусдорфовыми и даже нормальными . Они также полностью несвязны (связные компоненты являются точками), рассеяны (каждое непустое подпространство имеет изолированную точку; в этом случае просто берем наименьший элемент), нульмерны (топология имеет открыто-замкнутый базис : здесь запишем открытый интервал ( β , γ ) как объединение открыто-замкнутых интервалов ( β , γ '+1) = [ β +1, γ '] для γ '< γ ). Однако, в общем случае, они не являются экстремально несвязными (существуют открытые множества, например, четные числа из ω, замыкание которых не открыто).
Топологические пространства ω 1 и его последовательные ω 1 +1 часто используются в качестве хрестоматийных примеров несчетных топологических пространств. Например, в топологическом пространстве ω 1 +1 элемент ω 1 находится в замыкании подмножества ω 1 , даже если никакая последовательность элементов в ω 1 не имеет элемента ω 1 в качестве своего предела: элемент в ω 1 является счетным множеством; для любой последовательности таких множеств объединение этих множеств является объединением счетного числа счетных множеств, поэтому все еще счетно; это объединение является верхней границей элементов последовательности и, следовательно, предела последовательности, если он у нее есть.
Пространство ω 1 является счётным по первой, но не по второй схеме , и ω 1 +1 не обладает ни одним из этих двух свойств, несмотря на компактность . Также стоит отметить, что любая непрерывная функция от ω 1 до R ( действительная прямая ) в конечном счёте постоянна: поэтому компактификация Стоуна–Чеха для ω 1 есть ω 1 +1, как и её одноточечная компактификация (в резком контрасте с ω, чья компактификация Стоуна–Чеха намного больше ω).
Если α — предельный ординал, а X — множество, то α -индексированная последовательность элементов X означает просто функцию от α до X. Это понятие, трансфинитная последовательность или ординально-индексированная последовательность , является обобщением понятия последовательности . Обычная последовательность соответствует случаю α = ω.
Если X является топологическим пространством, мы говорим, что α -индексированная последовательность элементов X сходится к пределу x , когда она сходится как сеть , другими словами, если для любой данной окрестности U точки x существует ординал β < α такой, что x ι принадлежит U для всех ι ≥ β .
Порядковые последовательности более эффективны, чем обычные (ω-индексированные) последовательности, для определения пределов в топологии: например, ω 1 является предельной точкой ω 1 +1 (потому что это предельный ординал), и, действительно, это предел ω 1 -индексированной последовательности, которая отображает любой ординал, меньший ω 1 , в себя: однако, это не предел любой обычной (ω-индексированной) последовательности в ω 1 , поскольку любой такой предел меньше или равен объединению ее элементов, которое является счетным объединением счетных множеств, следовательно, само счетно.
Однако порядково-индексированные последовательности недостаточно мощны, чтобы заменить сети (или фильтры ) в общем случае: например, на доске Тихонова (пространстве произведений ) угловая точка является предельной точкой (она находится в замыкании) открытого подмножества , но она не является пределом порядково-индексированной последовательности.
В данной статье использованы материалы из Order topology на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
![{\displaystyle [0,\lambda ]=\{\альфа \mid \альфа \leq \lambda \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e469e57aa87041df20c6275a3b21c0795321ce7)
