В геометрии система координат — это система, которая использует одно или несколько чисел или координат для однозначного определения положения точек или других геометрических элементов на многообразии , таком как евклидово пространство . [1] [2] Порядок координат имеет значение, и иногда они идентифицируются по их положению в упорядоченном кортеже , а иногда — по букве, как в « координате x ». Координаты считаются действительными числами в элементарной математике , но могут быть комплексными числами или элементами более абстрактной системы, такой как коммутативное кольцо . Использование системы координат позволяет переводить задачи в геометрии в задачи о числах и наоборот ; это основа аналитической геометрии . [3]
Простейшим примером системы координат является идентификация точек на прямой с действительными числами с помощью числовой прямой . В этой системе произвольная точка O ( начало координат ) выбирается на данной прямой. Координата точки P определяется как знаковое расстояние от O до P , где знаковое расстояние — это расстояние, принимаемое как положительное или отрицательное в зависимости от того, с какой стороны лежит прямая P. Каждой точке присваивается уникальная координата, а каждое действительное число — это координата уникальной точки. [4]
Прототипическим примером системы координат является декартова система координат . На плоскости выбираются две перпендикулярные прямые, а координаты точки берутся в качестве расстояний до этих прямых со знаком. [5] В трех измерениях выбираются три взаимно ортогональные плоскости, а три координаты точки являются расстояниями до каждой из плоскостей со знаком. [6] Это можно обобщить для создания n координат для любой точки в n -мерном евклидовом пространстве.
В зависимости от направления и порядка осей координат трехмерная система может быть правосторонней или левосторонней.
Другой распространенной системой координат для плоскости является полярная система координат . [7] Точка выбирается в качестве полюса , а луч из этой точки принимается в качестве полярной оси . Для заданного угла θ существует единственная прямая, проходящая через полюс, угол с полярной осью которой равен θ (измеряется против часовой стрелки от оси до прямой). Тогда на этой прямой существует единственная точка, знаковое расстояние от начала координат которой равно r для заданного числа r . Для заданной пары координат ( r , θ ) существует единственная точка, но любая точка представлена многими парами координат. Например, ( r , θ ), ( r , θ +2 π ) и (− r , θ + π ) — все это полярные координаты для одной и той же точки. Полюс представлен как (0, θ ) для любого значения θ .
Существует два распространенных метода расширения полярной системы координат до трех измерений. В цилиндрической системе координат z - координата с тем же значением, что и в декартовых координатах, добавляется к полярным координатам r и θ, давая тройку ( r , θ , z ). [8] Сферические координаты делают еще один шаг вперед, преобразуя пару цилиндрических координат ( r , z ) в полярные координаты ( ρ , φ ), давая тройку ( ρ , θ , φ ). [9]
Точка на плоскости может быть представлена в однородных координатах тройкой ( x , y , z ), где x / z и y / z — декартовы координаты точки. [10] Это вводит «дополнительную» координату, поскольку для указания точки на плоскости нужны только две, но эта система полезна тем, что она представляет любую точку на проективной плоскости без использования бесконечности . В общем, однородная система координат — это система, в которой важны только отношения координат, а не фактические значения.
Вот некоторые другие распространённые системы координат:
Существуют способы описания кривых без координат, используя внутренние уравнения , которые используют инвариантные величины, такие как кривизна и длина дуги . К ним относятся:
Системы координат часто используются для указания положения точки, но они также могут использоваться для указания положения более сложных фигур, таких как линии, плоскости, окружности или сферы . Например, координаты Плюккера используются для определения положения линии в пространстве. [11] При необходимости тип описываемой фигуры используется для различения типа системы координат, например, термин « координаты линии» используется для любой системы координат, которая определяет положение линии.
Может случиться, что системы координат для двух различных наборов геометрических фигур эквивалентны с точки зрения их анализа. Примером этого являются системы однородных координат для точек и прямых в проективной плоскости. Две системы в таком случае называются дуалистическими . Дуалистические системы обладают свойством, что результаты одной системы могут быть перенесены в другую, поскольку эти результаты являются лишь различными интерпретациями одного и того же аналитического результата; это известно как принцип двойственности . [ 12]
Часто существует много различных возможных систем координат для описания геометрических фигур. Связь между различными системами описывается преобразованиями координат , которые дают формулы для координат в одной системе через координаты в другой системе. Например, на плоскости, если декартовы координаты ( x , y ) и полярные координаты ( r , θ ) имеют одно и то же начало, а полярная ось является положительной осью x , то преобразование координат из полярных в декартовы координаты задается как x = r cos θ и y = r sin θ .
С каждой биекцией из пространства в себя можно связать два преобразования координат:
Например, в 1D , если отображение представляет собой перенос на 3 вправо, то первое смещает начало координат от 0 до 3, так что координата каждой точки становится на 3 меньше, а второе смещает начало координат от 0 до −3, так что координата каждой точки становится на 3 больше.
Если задана система координат, то если одна из координат точки изменяется, а другие координаты остаются постоянными, то полученная кривая называется координатной кривой . Если координатная кривая представляет собой прямую линию , она называется координатной линией . Система координат, в которой некоторые координатные кривые не являются линиями, называется криволинейной системой координат . [13] Ортогональные координаты являются особым, но чрезвычайно распространенным случаем криволинейных координат.
Координатная линия, все остальные постоянные координаты которой равны нулю, называется координатной осью , ориентированной линией, используемой для задания координат. В декартовой системе координат все кривые координат являются прямыми, и, следовательно, существует столько же координатных осей, сколько и координат. Более того, координатные оси попарно ортогональны .
Полярная система координат — это криволинейная система, в которой координатные кривые являются прямыми или окружностями . Однако одна из координатных кривых сводится к одной точке, началу координат, которое часто рассматривается как окружность с радиусом ноль. Аналогично, сферические и цилиндрические системы координат имеют координатные кривые, которые являются прямыми, окружностями или окружностями с радиусом ноль.
Многие кривые могут встречаться как координатные кривые. Например, координатные кривые параболических координат являются параболами .
В трехмерном пространстве, если одна координата сохраняется постоянной, а две другие могут изменяться, то полученная поверхность называется координатной поверхностью . Например, координатные поверхности, полученные при сохранении ρ постоянной в сферической системе координат, являются сферами с центром в начале координат. В трехмерном пространстве пересечение двух координатных поверхностей является координатной кривой. В декартовой системе координат мы можем говорить о координатных плоскостях . Аналогично, координатные гиперповерхности являются ( n − 1) -мерными пространствами, полученными в результате фиксации одной координаты n -мерной системы координат. [14]
Понятие координатной карты или координатной карты является центральным в теории многообразий. Координатная карта по сути является системой координат для подмножества данного пространства со свойством, что каждая точка имеет ровно один набор координат. Точнее, координатная карта является гомеоморфизмом из открытого подмножества пространства X в открытое подмножество R n . [15] Часто невозможно предоставить одну непротиворечивую систему координат для всего пространства. В этом случае набор координатных карт объединяется, чтобы сформировать атлас, покрывающий пространство. Пространство, снабженное таким атласом, называется многообразием , и на многообразии может быть определена дополнительная структура, если структура является непротиворечивой там, где координатные карты перекрываются. Например, дифференцируемое многообразие — это многообразие, где изменение координат от одной координатной карты к другой всегда является дифференцируемой функцией.
В геометрии и кинематике системы координат используются для описания (линейного) положения точек и углового положения осей, плоскостей и твердых тел . [16] В последнем случае ориентация второй (обычно называемой «локальной») системы координат, закрепленной на узле, определяется на основе первой (обычно называемой «глобальной» или «мировой» системой координат). Например, ориентация твердого тела может быть представлена матрицей ориентации , которая включает в свои три столбца декартовы координаты трех точек. Эти точки используются для определения ориентации осей локальной системы; они являются кончиками трех единичных векторов, выровненных с этими осями.
Земля в целом является одним из наиболее распространенных геометрических пространств, требующих точного измерения местоположения, и, следовательно, систем координат. Начиная с греков эллинистического периода , были разработаны различные системы координат на основе типов, указанных выше, включая:
