4-многогранник

Четырехмерный геометрический объект с плоскими сторонами

В геометрии 4-многогранник ( иногда также называемый полихороном , ^[1] полицелеткой или многогранником ) — это четырёхмерный многогранник . ^{[2] [3]} Это связная и замкнутая фигура, состоящая из многогранных элементов меньшей размерности: вершин , рёбер , граней ( полигонов ) и ячеек ( многогранников ). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам. 4-многогранники были открыты швейцарским математиком Людвигом Шлефли до 1853 года. ^[4]

Двумерным аналогом 4-мерного многогранника является многоугольник , а трехмерным аналогом — многогранник .

Топологически 4-многогранники тесно связаны с однородными сотами , такими как кубические соты , которые заполняют 3-пространство; аналогично 3D- куб связан с бесконечной 2D- квадратной мозаикой . Выпуклые 4-многогранники можно разрезать и разворачивать в виде сеток в 3-пространстве.

Определение

4-политоп — это замкнутая четырехмерная фигура. Она состоит из вершин (угловых точек), ребер , граней и ячеек . Ячейка — это трехмерный аналог грани, и, следовательно, является многогранником . Каждая грань должна соединять ровно две ячейки, аналогично тому, как каждое ребро многогранника соединяет всего две грани. Как и любой многогранник, элементы 4-политопа не могут быть разделены на два или более множеств, которые также являются 4-политопами, т. е. он не является соединением.

Геометрия

Выпуклые правильные 4-многогранники являются четырехмерными аналогами Платоновых тел . Наиболее известным 4-многогранником является тессеракт или гиперкуб, 4-мерный аналог куба.

Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как меру 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности круглее своего предшественника, заключая больше содержимого ^[5] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячейка) является предельным наименьшим случаем, а 120-ячейка — наибольшим. Сложность (измеренная путем сравнения матриц конфигурации или просто числа вершин) следует тому же порядку.

Визуализация

4-многогранники не могут быть видны в трехмерном пространстве из-за их дополнительного измерения. Для их визуализации используются несколько методов.

Ортогональная проекция

Ортогональные проекции могут использоваться для отображения различных ориентаций симметрии 4-многогранника. Они могут быть нарисованы в 2D как графы вершин-ребер, и могут быть показаны в 3D с твердыми гранями как видимыми проективными оболочками .

Перспективная проекция

Так же, как 3D-форму можно спроецировать на плоский лист, так и 4D-форму можно спроецировать на 3-пространство или даже на плоский лист. Одной из распространенных проекций является диаграмма Шлегеля , которая использует стереографическую проекцию точек на поверхности 3-сферы в три измерения, соединенных прямыми ребрами, гранями и ячейками, нарисованными в 3-пространстве.

Секционирование

Так же, как разрез через многогранник показывает поверхность разреза, разрез через 4-политоп показывает "гиперповерхность" разреза в трех измерениях. Последовательность таких разрезов может быть использована для построения понимания общей формы. Дополнительное измерение может быть приравнено ко времени, чтобы создать плавную анимацию этих поперечных сечений.

Сетки

Развертка 4-мерного многогранника состоит из многогранных ячеек , которые соединены своими гранями и занимают одно и то же трехмерное пространство, подобно тому, как многоугольные грани развертки многогранника соединены своими ребрами и занимают одну и ту же плоскость .

Топологические характеристики

Тессеракт как диаграмма Шлегеля

Топология любого заданного 4-мерного многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[6]

Значение характеристики Эйлера, используемое для характеристики многогранников, не обобщается полезным образом на более высокие измерения и равно нулю для всех 4-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[6]

Аналогично, понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных 4-многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[6]

Классификация

Критерии

Как и все многогранники, 4-мерные многогранники можно классифицировать на основе таких свойств, как « выпуклость » и « симметрия ».

• 4-многогранник является выпуклым, если его граница (включая его ячейки, грани и ребра) не пересекает саму себя, а отрезок прямой, соединяющий любые две точки 4-многогранника, содержится в 4-многограннике или его внутренней части; в противном случае он является невыпуклым . Самопересекающиеся 4-многогранники также известны как звездчатые 4-многогранники по аналогии со звездообразными формами невыпуклых звездчатых многоугольников и многогранников Кеплера–Пуансо .
• 4-многогранник является правильным, если он транзитивен на своих флагах . Это означает, что его ячейки являются конгруэнтными правильными многогранниками , и аналогично его вершинные фигуры являются конгруэнтными и другого вида правильными многогранниками.
• Выпуклый 4-мерный многогранник является полуправильным , если он имеет группу симметрии , в которой все вершины эквивалентны ( вершинно-транзитивны ), а его ячейки являются правильными многогранниками . Ячейки могут быть двух или более видов, при условии, что они имеют один и тот же вид грани. В 1900 году Торолдом Госсетом было выявлено всего 3 случая : выпрямленный 5-ячейник , выпрямленный 600-ячейник и вытянутый 24-ячейник .
• 4-многогранник является однородным, если он имеет группу симметрии , в которой все вершины эквивалентны, а его ячейки являются однородными многогранниками . Грани однородного 4-многогранника должны быть правильными .
• 4-многогранник является чешуйчатым, если он вершинно-транзитивен и имеет все ребра одинаковой длины. Это допускает ячейки, которые не являются однородными, такие как выпуклые тела Джонсона с правильными гранями .
• Правильный 4-мерный многогранник, который также является выпуклым, называется выпуклым правильным 4-мерным многогранником .
• 4-многогранник призматичен, если он является декартовым произведением двух или более многогранников меньшей размерности. Призматический 4-многогранник однороден, если его факторы однородны. Гиперкуб призматичен (произведение двух квадратов или куба и отрезка ) , но рассматривается отдельно, поскольку имеет симметрии, отличные от тех, которые унаследованы от его факторов.
• Плитка или соты 3-пространства — это разделение трехмерного евклидова пространства на повторяющуюся сетку многогранных ячеек. Такие плитки или тесселяции бесконечны и не ограничивают объем "4D", а также являются примерами бесконечных 4-многогранников. Однородная плитка 3-пространства — это плитка, вершины которой конгруэнтны и связаны пространственной группой , а ячейки — однородные многогранники .

Классы

Ниже перечислены различные категории 4-мерных многогранников, классифицированные в соответствии с указанными выше критериями:

Усеченный 120-ячейник является одним из 47 выпуклых непризматических однородных 4-мерных многогранников.

Однородный 4-мерный многогранник ( вершинно-транзитивный ):

• Выпуклые однородные 4-мерные многогранники (64, плюс два бесконечных семейства)
  • 47 непризматических выпуклых однородных 4-мерных многогранников, в том числе:
    • 6 Выпуклый правильный 4-мерный многогранник
  • Призматические однородные 4-мерные многогранники :
    • {} × {p,q} : 18 многогранных гиперпризм (включая кубическую гиперпризму, правильный гиперкуб )
    • Призмы, построенные на антипризмах (бесконечное семейство)
    • {p} × {q}: дуопризмы (бесконечное семейство)
• Невыпуклые однородные 4-мерные многогранники (10 + неизвестные)

  

  Большой звездчатый 120-ячейниковый многогранник является крупнейшим из 10 правильных звездчатых 4-мерных многогранников, имеющим 600 вершин.

  • 10 (правильных) многогранников Шлефли-Гесса
  • 57 гиперпризм, построенных на невыпуклых однородных многогранниках
  • Неизвестное общее число невыпуклых однородных 4-мерных многогранников: Норман Джонсон и другие коллеги выявили 2189 известных случаев (выпуклых и звездных, за исключением бесконечных семейств), все они построены с помощью вершинных фигур с помощью программного обеспечения Stella4D . ^[7]

Другие выпуклые 4-мерные многогранники :

• Многогранная пирамида
• Многогранная бипирамида
• Многогранная призма

Правильные кубические соты — единственный бесконечный правильный 4-мерный многогранник в евклидовом 3-мерном пространстве.

Бесконечные однородные 4-мерные многогранники евклидова 3-мерного пространства (однородные мозаики выпуклых однородных ячеек)

• 28 выпуклых однородных сот : однородные выпуклые многогранные мозаики, в том числе:
  • 1 правильная мозаика, кубические соты : {4,3,4}

Бесконечные однородные 4-мерные многогранники гиперболического 3-мерного пространства (однородные мозаики выпуклых однородных ячеек)

• 76 Витхоффовых выпуклых однородных сот в гиперболическом пространстве , в том числе:
  • 4 регулярное разбиение компактного гиперболического 3-пространства : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

Двойственный однородный 4-многогранник ( ячеечно-транзитивный ):

• 41 уникальный двойной выпуклый однородный 4-мерный многогранник
• 17 уникальных двойных выпуклых однородных многогранных призм
• бесконечное семейство двойных выпуклых однородных дуопризм (неправильные тетраэдрические ячейки)
• 27 уникальных выпуклых двойных однородных сот, в том числе:
  • Ромбические додекаэдрические соты
  • Дисфеноидные тетраэдрические соты

Другие:

• Структура Уэйра-Фелана , периодическая заполняющая пространство сотовая структура с нерегулярными ячейками

11-ячейка — абстрактный правильный 4-мерный многогранник, существующий в действительной проективной плоскости ; его можно увидеть, представив его 11 полуикосаэдрических вершин и ячеек индексом и цветом.

Абстрактные правильные 4-мерные многогранники :

• 11-ячеечный
• 57-ячеечный

Эти категории включают только 4-многогранники, которые демонстрируют высокую степень симметрии. Возможны и многие другие 4-многогранники, но они не были изучены так подробно, как те, которые включены в эти категории.

Смотрите также

• Правильный 4-мерный многогранник
• 3-сфера – аналог сферы в 4-мерном пространстве. Это не 4-многогранник, так как он не ограничен многогранными ячейками.
• Дуоцилиндр — это фигура в 4-мерном пространстве, связанная с дуопризмами . Он также не является 4-мерным многогранником, поскольку его ограничивающие объемы не являются многогранными.

Ссылки

Примечания

1. NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.1 Многогранники и соты , стр.224
2. Виалар, Т. (2009). Сложная и хаотическая нелинейная динамика: достижения в экономике и финансах. Springer. стр. 674. ISBN 978-3-540-85977-2.
3. Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. (2010). Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. стр. 598. doi :10.1007/978-90-481-8581-8. ISBN 978-90-481-8580-1.
4. Coxeter 1973, стр. 141, §7-x. Исторические замечания.
5. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях: [Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.]
6. Ричесон, Д.; Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии , Принстон, 2008.
7. Uniform Polychora, Норман У. Джонсон (Уитон-колледж), 1845 случаев в 2005 г.

Библиография

• HSM Коксетер :
  • Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер.
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins и JCP Miller : Однородные многогранники , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• JH Conway и MJT Guy : Четырехмерные архимедовы многогранники , Труды коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [2] Архивировано 22.03.2005 на Wayback Machine

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полихорон». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. "Формула многогранника". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Регулярные полихоронные характеристики Эйлера". MathWorld .
• Равномерная Полихора, Джонатан Бауэрс
• Uniform polychoron Viewer - Java3D Applet с исходниками
• Р. Клитцинг, полихора