Геометрическая инвариантная теория

В математике геометрическая инвариантная теория (или GIT ) — это метод построения частных по групповым действиям в алгебраической геометрии , используемый для построения пространств модулей . Он был разработан Дэвидом Мамфордом в 1965 году с использованием идей из статьи (Гильберт 1893) в классической инвариантной теории .

Геометрическая теория инвариантов изучает действие группы $G$ на алгебраическом многообразии (или схеме ) $X$ и предоставляет методы для формирования «фактора» $X$ по $G$ как схемы с разумными свойствами. Одной из мотиваций было построение пространств модулей в алгебраической геометрии как факторов схем, параметризующих отмеченные объекты. В 1970-х и 1980-х годах теория развивала взаимодействия с симплектической геометрией и эквивариантной топологией и использовалась для построения пространств модулей объектов в дифференциальной геометрии , таких как инстантоны и монополи .

Фон

Теория инвариантов занимается групповым действием группы G на алгебраическом многообразии (или схеме ) $X.$ Классическая теория инвариантов рассматривает ситуацию, когда $X$ $=$ $V$ — векторное пространство , а $G$ — либо конечная группа, либо одна из классических групп Ли , действующая линейно на $V. Это$ $действие$ индуцирует линейное действие $G$ на пространстве полиномиальных функций $R$ $($ $V$ $)$ на $V$ по формуле

g\cdot f(v)=f(g^{-1}v),\quad g\in G,v\in V.

Полиномиальные инварианты действия $G$ на $V$ — это те полиномиальные функции $f$ на $V$ , которые фиксируются при «замене переменных» из-за действия группы, так что $g \cdot f = f$ для всех $G$ в $G.$ Они образуют коммутативную алгебру $A = R (V) G$ , и эта алгебра интерпретируется как алгебра функций на « инвариантном теоретическом факторе » $V // G ,$ поскольку любая из этих функций дает одно и то же значение для всех точек, которые эквивалентны (то есть $f (v) = f (gv)$ для всех $g$ ). На языке современной алгебраической геометрии ,

V/\!\!/G=\operatorname {Спецификация} A=\operatorname {Спецификация} R(V)^{G}.

Из этого описания вытекает несколько трудностей. Первая, успешно решенная Гильбертом в случае общей линейной группы , состоит в доказательстве того, что алгебра $A$ конечно порождена. Это необходимо, если требуется, чтобы фактор был аффинным алгебраическим многообразием . Вопрос о том, имеет ли место аналогичный факт для произвольных групп $G,$ был предметом четырнадцатой проблемы Гильберта , и Нагата продемонстрировал, что ответ в общем случае отрицательный. С другой стороны, в ходе развития теории представлений в первой половине двадцатого века был выявлен большой класс групп, для которых ответ положителен; они называются редуктивными группами и включают все конечные группы и все классические группы .

Конечное порождение алгебры $A$ является лишь первым шагом к полному описанию $A$ , и прогресс в решении этого более деликатного вопроса был довольно скромным. Инварианты были классически описаны только в ограниченном диапазоне ситуаций, и сложность этого описания за пределами первых нескольких случаев давала мало надежды на полное понимание алгебр инвариантов в целом. Более того, может случиться, что любой полиномиальный инвариант $f$ принимает одно и то же значение на заданной паре точек $u$ и $v$ в $V$ , однако эти точки находятся на разных орбитах действия $G$ . Простой пример дает мультипликативная группа $C *$ ненулевых комплексных чисел, которая действует на $n$ -мерном комплексном векторном пространстве $C n$ скалярным умножением. В этом случае каждый полиномиальный инвариант является константой, но существует много различных орбит действия. Нулевой вектор сам по себе образует орбиту, а ненулевые кратные любого ненулевого вектора образуют орбиту, так что ненулевые орбиты параметризуются точками комплексного проективного пространства $CP n -1$ . Если это происходит (разные орбиты имеют одинаковые значения функции), говорят, что «инварианты не разделяют орбиты», и алгебра $A$ отражает топологическое фактор-пространство $X / G$ довольно несовершенно. Действительно, последнее пространство с фактор-топологией часто является неразделенным (нехаусдорфовым ) . (Это имеет место в нашем примере — нулевая орбита не открыта, потому что любая окрестность нулевого вектора содержит точки во всех других орбитах, поэтому в фактор-топологии любая окрестность нулевой орбиты содержит все другие орбиты.) В 1893 году Гильберт сформулировал и доказал критерий для определения тех орбит, которые не отделены от нулевой орбиты инвариантными многочленами. Довольно примечательно, что в отличие от его более ранних работ по теории инвариантов, которые привели к быстрому развитию абстрактной алгебры , этот результат Гильберта оставался малоизвестным и малоиспользуемым в течение следующих 70 лет. Большая часть развития теории инвариантов в первой половине двадцатого века касалась явных вычислений с инвариантами и, в любом случае, следовала логике алгебры, а не геометрии.

Книга Мамфорда

Геометрическая теория инвариантов была основана и развита Мамфордом в монографии, впервые опубликованной в 1965 году, в которой идеи теории инвариантов девятнадцатого века, включая некоторые результаты Гильберта , были применены к вопросам современной алгебраической геометрии. (Книга была значительно расширена в двух последующих изданиях дополнительными приложениями Фогарти и Мамфорда, а также главой о симплектических факторах Кирвана.) В книге используются как теория схем , так и вычислительные методы, доступные в примерах. Абстрактная используемая установка — это действие группы на схеме $X.$ Простая идея пространства орбит

G\setminus X

т. е. фактор $-$ пространство X по действию группы, сталкивается с трудностями в алгебраической геометрии по причинам, которые можно объяснить в абстрактных терминах. На самом деле нет общей причины, по которой отношения эквивалентности должны хорошо взаимодействовать с (довольно жесткими) регулярными функциями (полиномиальными функциями), которые лежат в основе алгебраической геометрии. Функции на пространстве орбит $G$ $\$ $X$ , которые следует рассматривать, — это те функции на $X$ , которые инвариантны относительно действия $G$ . Прямой подход может быть осуществлен с помощью поля функций многообразия (т. е. рациональных функций ): взять G -инвариантные рациональные функции на нем в качестве поля функций фактор-многообразия . К сожалению, это — точка зрения бирациональной геометрии — может дать только первое приближение к ответу. Как сказал Мамфорд в предисловии к книге:

Проблема заключается в том, что среди всех моделей результирующего бирационального класса существует одна модель, геометрические точки которой классифицируют множество орбит в некотором действии или множество алгебраических объектов в некоторой модульной задаче.

В главе 5 он далее выделяет конкретную техническую проблему, к которой он обращается, в задаче модулей вполне классического типа — классифицировать большой «набор» всех алгебраических многообразий, подчиняющихся только невырожденности (и необходимому условию поляризации). Предполагается, что модули описывают пространство параметров. Например, для алгебраических кривых со времен Римана было известно , что должны быть связные компоненты размерностей

0,1,3,6,9,\точки

в соответствии с родом $g = 0, 1, 2, 3, 4, \dots$ , а модули являются функциями на каждом компоненте. В задаче о грубых модулях Мамфорд рассматривает препятствия как:

неразделенная топология на пространстве модулей (т.е. недостаточно параметров в хорошем состоянии)
бесконечно много неприводимых компонентов (чего избежать невозможно, но локальная конечность может иметь место)
непредставимость компонентов в виде схем, хотя они и представимы топологически.

Это третий пункт, который мотивировал всю теорию. Как говорит Мамфорд, если первые две трудности будут разрешены

[третий вопрос] становится по сути эквивалентным вопросу о том, существует ли пространство орбит некоторого локально замкнутого подмножества схем Гильберта или Чжоу по проективной группе .

Чтобы справиться с этим, он ввел понятие (фактически три) устойчивости . Это позволило ему открыть ранее опасную область — было написано много, в частности, Франческо Севери , но методы литературы имели ограничения. Бирациональная точка зрения может позволить себе быть небрежной в отношении подмножеств коразмерности 1. Иметь пространство модулей как схему — это, с одной стороны, вопрос о характеристике схем как представимых функторов (как это видела бы школа Гротендика ); но геометрически это больше похоже на вопрос компактификации , как показали критерии устойчивости. Ограничение неособыми многообразиями не приведет к компактному пространству в каком-либо смысле как пространству модулей: многообразия могут вырождаться до наличия особенностей. С другой стороны, точки, которые соответствовали бы высокоособым многообразиям, определенно слишком «плохи», чтобы включать их в ответ. Правильная золотая середина, достаточно устойчивых точек, чтобы быть допущенными, была выделена работой Мамфорда. Эта концепция не была совершенно новой, поскольку некоторые ее аспекты можно было обнаружить в последних идеях Давида Гильберта по теории инвариантов, прежде чем он перешел к другим областям.

В предисловии к книге также была сформулирована гипотеза Мамфорда , позднее доказанная Уильямом Хабушем .

Стабильность

Если редуктивная группа $G$ действует линейно на векторном пространстве $V$ , то ненулевая точка $V$ называется

нестабильна, если 0 находится в замыкании своей орбиты,
полустабильный, если 0 не находится в замыкании своей орбиты,
устойчив, если его орбита замкнута, а его стабилизатор конечен.

Существуют эквивалентные способы их сформулировать (этот критерий известен как критерий Гильберта-Мамфорда ):

Ненулевая точка $x$ нестабильна тогда и только тогда, когда существует однопараметрическая подгруппа $G,$ все веса которой относительно $x$ положительны.
Ненулевая точка $x$ неустойчива тогда и только тогда, когда каждый инвариантный многочлен имеет одинаковое значение при 0 и $x$ .
Ненулевая точка $x$ является полустабильной тогда и только тогда, когда не существует 1-параметрической подгруппы $G,$ все веса которой относительно $x$ положительны.
Ненулевая точка $x$ является полустабильной тогда и только тогда, когда некоторый инвариантный многочлен имеет разные значения при 0 и $x$ .
Ненулевая точка $x$ устойчива тогда и только тогда, когда каждая 1-параметрическая подгруппа $G$ имеет положительные (и отрицательные) веса относительно $x$ .
Ненулевая точка $x$ устойчива тогда и только тогда, когда для каждого $y,$ не принадлежащего орбите $x,$ существует некоторый инвариантный многочлен, который имеет различные значения на $y$ и $x$ , а кольцо инвариантных многочленов имеет степень трансцендентности $dim(V) - dim(G)$ .

Точка соответствующего проективного пространства $V$ называется нестабильной, полустабильной или стабильной, если она является образом точки в $V$ с тем же свойством. «Нестабильная» противоположна «полустабильной» (не «стабильной»). Нестабильные точки образуют замкнутое по Зарисскому множество проективного пространства, в то время как полустабильные и стабильные точки образуют открытые по Зарисскому множества (возможно, пустые). Эти определения взяты из (Mumford 1977) и не эквивалентны определениям в первом издании книги Мамфорда.

Многие пространства модулей могут быть построены как факторы пространства стабильных точек некоторого подмножества проективного пространства по некоторому групповому действию. Эти пространства часто могут быть компактифицированы путем добавления определенных классов эквивалентности полустабильных точек. Различные стабильные орбиты соответствуют различным точкам в факторе, но две различные полустабильные орбиты могут соответствовать одной и той же точке в факторе, если их замыкания пересекаются.

Пример: (Deligne & Mumford 1969) Стабильная кривая — это приведенная связная кривая рода ≥2, такая, что ее единственными сингулярностями являются обычные двойные точки, и каждый несингулярный рациональный компонент встречается с другими компонентами по крайней мере в 3 точках. Пространство модулей стабильных кривых рода $G$ — это фактор подмножества схемы Гильберта кривых в $P 5 g -6$ с полиномом Гильберта $(6 n - 1)(g - 1)$ по группе $PGL 5 g -5$ .

Пример: векторное расслоение $W$ над алгебраической кривой (или над римановой поверхностью ) является стабильным векторным расслоением тогда и только тогда, когда

\displaystyle {\frac {\deg(V)}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\deg(W)}{{\hbox{rank}}(W)}}

для всех собственных ненулевых подрасслоений $V$ расслоения $W$ и является полустабильным, если это условие выполняется с заменой < на ≤.

Смотрите также

Ссылки

Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109, doi :10.1007/BF02684599, MR 0262240, S2CID 16482150
Гильберт, Д. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme", Math. Аннален , 42 (3): 313, doi :10.1007/BF01444162
Кирван, Фрэнсис, Когомологии факторов в симплектической и алгебраической геометрии . Математические заметки, 31. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1984. i+211 стр. MR 0766741 ISBN 0-691-08370-3
Крафт, Ханспетер, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie . (немецкий) (Геометрические методы в теории инвариантов) Аспекты математики, D1. Фридр. Vieweg & Sohn, Брауншвейг, 1984. x + 308 стр. MR 0768181 ISBN 3-528-08525-8
Mumford, David (1977), «Устойчивость проективных многообразий», L'Enseignement Mathématique , 2-я серия, 23 (1): 39–110, ISSN 0013-8584, MR 0450272, архивировано из оригинала 2011-07-07
Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты в математике и смежных областях (2)], vol. 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3, МР 1304906; MR 0214602 (1-е изд. 1965 г.); MR 0719371 (2-е изд.)
В. Л. Попов , Э. Б. Винберг , Теория инвариантов , в Алгебраическая геометрия . IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Берлин, 1994. vi+284 стр. ISBN 3-540-54682-0