Коэффициент ЖКТ

В алгебраической геометрии аффинный фактор GIT или фактор аффинной геометрической теории инвариантов аффинной схемы с действием групповой схемы G — это аффинная схема , простой спектр кольца инвариантов A , и обозначается как . Фактор GIT является категорическим фактором : любой инвариантный морфизм однозначно пропускается через него. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$ ${\displaystyle X/\!/G}$

Взяв Proj ( градуированного кольца ) вместо , получаем проективное частное GIT (которое является частным множества полустабильных точек ). ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

Фактор GIT — это категориальный фактор локуса полустабильных точек; т. е. «тот» фактор полустабильного локуса. Поскольку категориальный фактор уникален, если существует геометрический фактор , то эти два понятия совпадают: например, один имеет

${\displaystyle G/H=G/\!/H=\operatorname {Spec} \!{\big (}k[G]^{H}{\big )}}$

для алгебраической группы G над полем k ^и замкнутой подгруппы H. ^{[ необходимо разъяснение} ]

Если X — комплексное гладкое проективное многообразие , а G — редуктивная комплексная группа Ли , то факторпространство GIT группы X по группе G гомеоморфно симплектическому факторпространству группы X по максимальной компактной подгруппе группы G ( теорема Кемпфа–Несс ).

Построение коэффициента GIT

Пусть G — редуктивная группа, действующая на квазипроективной схеме X над полем, а L — линеаризованное обильное линейное расслоение на X. Пусть

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,L^{\otimes n})}$

быть кольцом секций. По определению, полустабильный локус является дополнением нулевого множества в X ; другими словами, это объединение всех открытых подмножеств для глобальных секций s из , n больших. По обильности, каждое из них аффинно; скажем , и поэтому мы можем сформировать аффинный фактор GIT ${\displaystyle X^{ss}}$ ${\displaystyle V(R_{+}^{G})}$ ${\displaystyle U_{s}=\{s\neq 0\}}$ ${\displaystyle (L^{\otimes n})^{G}}$ ${\displaystyle U_{s}}$ ${\displaystyle U_{s}=\operatorname {Spec} (A_{s})}$

${\displaystyle \pi _{s}\colon U_{s}\to U_{s}/\!/G=\operatorname {Spec} (A_{s}^{G}).}$

Обратите внимание, что имеет конечный тип по теореме Гильберта о кольце инвариантов . По универсальному свойству категорических частных эти аффинные частные склеиваются и дают результат в ${\displaystyle U_{s}/\!/G}$

${\displaystyle \pi \colon X^{ss}\to X/\!/_{L}G,}$

что является фактором GIT X по отношению к L. Обратите внимание, что если X проективен, т. е. является Proj R , то фактор задается просто как Proj кольца инвариантов . ${\displaystyle X/\!/_{L}G}$ ${\displaystyle R^{G}}$

Наиболее интересен случай, когда устойчивое множество ^[1] непусто; это открытое множество полуустойчивых точек, имеющих конечные стабилизаторы и замкнутые в орбиты . В таком случае фактор GIT ограничивается до ${\displaystyle X^{s}}$ ${\displaystyle X^{s}}$ ${\displaystyle X^{ss}}$

${\displaystyle \pi ^{s}\colon X^{s}\to X^{s}/\!/G,}$

который имеет свойство: каждое волокно является орбитой. То есть, является подлинным фактором (т.е. геометрическим фактором ) и пишется . Из-за этого, когда непусто, фактор GIT часто называют «компактизацией» геометрического фактора открытого подмножества X . ${\displaystyle \pi ^{s}}$ ${\displaystyle X^{s}/G=X^{s}/\!/G}$ ${\displaystyle X^{s}}$ ${\displaystyle \pi }$

Сложный и, по-видимому, открытый вопрос: какой геометрический фактор возникает в вышеуказанном способе GIT? Вопрос представляет большой интерес, поскольку подход GIT производит явный фактор, в отличие от абстрактного фактора, который трудно вычислить. Один известный частичный ответ на этот вопрос следующий: ^[2] пусть будет локально факториальным алгебраическим многообразием (например, гладким многообразием) с действием . Предположим, что существуют открытое подмножество , а также геометрический фактор, такие, что (1) является аффинным морфизмом и (2) является квазипроективным. Тогда для некоторого линеаризованного линейного расслоения L на X . (Аналогичный вопрос заключается в том, чтобы определить, какое подкольцо является кольцом инвариантов некоторым образом.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \pi \colon U\to U/G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U/G}$ ${\displaystyle U\subset X^{s}(L)}$

Примеры

Конечная группа действий З / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2}

Простой пример фактора GIT — действие при отправке ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto (-x)&&y\mapsto (-y)\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что мономы порождают кольцо . Следовательно, мы можем записать кольцо инвариантов как ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}=\mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]={\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Схема теоретически, мы получаем морфизм

${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\to {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\right)=:\mathbb {A} ^{2}/(\mathbb {Z} /2)}$

которое является сингулярным подмногообразием с изолированной особенностью в . Это можно проверить с помощью дифференциалов, которые ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}c&-2b&a\end{bmatrix}}}$

следовательно, единственная точка, где дифференциал и полином оба обращаются в нуль, находится в начале координат. Полученное частное представляет собой коническую поверхность с обычной двойной точкой в ​​начале координат. ${\displaystyle f}$

Действие тора на плоскости

Рассмотрим действие тора на с помощью . Обратите внимание, что это действие имеет несколько орбит: начало координат , проколотые оси, , и аффинные коники, заданные для некоторых . Тогда фактор GIT имеет структуру пучка , которая является подкольцом многочленов , следовательно, он изоморфен . Это дает фактор GIT ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle t\cdot (x,y)=(tx,t^{-1}y)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$ ${\displaystyle xy=a}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X//\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{2}}^{\mathbb {G} _{m}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [xy]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \pi \colon \mathbb {A} ^{2}\to \mathbb {A} ^{2}//\mathbb {G} _{m}}$

Обратите внимание, что обратное изображение точки дано орбитами , показывая, что фактор GIT не обязательно является пространством орбит. Если бы это было так, было бы три начала, неразделенное пространство. ^[3] ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle (0,0),\{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$

Смотрите также

• стек частного
• разнообразие персонажей
• Коэффициент потребления пищи

Примечания

1. Примечание: В (Mumford, Fogarty & Kirwan 1994) это было названо множеством правильно устойчивых точек.
2. Mumford, Fogarty & Kirwan 1994, Converse 1.13. Примечание: хотя результат и сформулирован для гладкого многообразия, доказательство там справедливо и для локально факториального.
3. Томас, Ричард П. (2006). «Заметки о GIT и симплектической редукции для расслоений и многообразий». Обзоры по дифференциальной геометрии . 10 (1). International Press of Boston: 221–273. arXiv : math/0512411 . doi :10.4310/sdg.2005.v10.n1.a7. ISSN  1052-9233. MR  2408226. S2CID  16294331.

Ссылки

Педагогический

• Мукаи, Сигеру (2002). Введение в инварианты и модули. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 81. ISBN 978-0-521-80906-1.
• Брион, Мишель. «Введение в действия алгебраических групп» (PDF) .
• Лаза, Раду (15 марта 2012 г.). «GIT и модули с изюминкой». arXiv : 1111.3032 [math.AG].
• Thomas, Richard P. (2006). «Заметки о GIT и симплектической редукции для расслоений и многообразий». Дань уважения профессору С.-С. Черну . Обзоры по дифференциальной геометрии. Том 10. С. 221–273. arXiv : math/0512411 . doi :10.4310/SDG.2005.v10.n1.a7. MR  2408226. S2CID  16294331.

Ссылки

• Альпер, Джарод (14.04.2008). "Хорошие модульные пространства для стеков Артина". arXiv : 0804.2242 [math.AG].
• Доран, Брент; Кирван, Фрэнсис (2007). «К нередуктивной геометрической инвариантной теории». Pure and Applied Mathematics Quarterly . 3 (1, Специальный выпуск: В честь Роберта Д. Макферсона. Часть 3): 61–105. arXiv : math/0703131 . Bibcode :2007math......3131D. doi :10.4310/PAMQ.2007.v3.n1.a3. MR  2330155. S2CID  3190064.
• Хоскинс, Виктория. «Частные в алгебраической и симплектической геометрии».
• Кирван, Фрэнсис К. (1984). Когомологии частных в комплексной и алгебраической геометрии . Математические заметки. Т. 31. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press .
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том. 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. МР  1304906.