Дробь

Соотношение двух чисел

Торт с удаленной одной четвертью (одной четвертью). Оставшиеся три четверти показаны пунктирными линиями и обозначены дробью ⁠1/4⁠

Дробь (от лат . fractus , «сломанный») представляет собой часть целого или, в более общем смысле, любое количество равных частей. В повседневной речи дробь описывает, сколько частей определенного размера есть, например, половина, восемь пятых, три четверти. Обыкновенная , вульгарная или простая дробь ( примеры: и ) состоит из числителя целого числа , отображаемого над линией (или перед косой чертой, например, 1 ⁄ 2 ), и знаменателя ненулевого целого числа , отображаемого под (или после) этой линией. Если эти целые числа положительны, то числитель представляет собой количество равных частей, а знаменатель указывает, сколько из этих частей составляют единицу или целое. Например, в дроби ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {17}{3}}}$3/4⁠ , числитель 3 указывает, что дробь представляет собой 3 равные части, а знаменатель 4 указывает, что 4 части составляют целое. Картинка справа иллюстрирует ⁠3/4⁠ торта.

Дроби можно использовать для представления отношений и деления . ^[1] Таким образом, дробь ⁠3/4⁠ можно использовать для представления соотношения 3:4 (отношение части к целому) и деления 3 ÷ 4 (три разделить на четыре).

Мы также можем записать отрицательные дроби, которые представляют собой противоположность положительной дроби. Например, если ⁠1/2⁠ представляет собой прибыль в полдоллара, тогда − ⁠1/2⁠ представляет собой потерю в полдоллара. Из-за правил деления знаковых чисел (которые частично гласят, что отрицательное число, деленное на положительное, является отрицательным), − ⁠1/2⁠ , ⁠−1/2⁠ и ⁠1/−2⁠ все представляют одну и ту же дробь – отрицательную половину. И поскольку отрицательное деленное на отрицательное дает положительное, ⁠−1/−2⁠ представляет собой положительную половину.

В математике рациональное число — это число, которое можно представить дробью вида ⁠а/б⁠ , где a и b — целые числа, а b не равно нулю; множество всех рациональных чисел обычно обозначается символом Q или ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , что означает частное . Термин дробь и обозначение ⁠а/б⁠ также может использоваться для математических выражений, которые не представляют собой рациональное число (например, ), и даже не представляют собой никакого числа (например, рациональная дробь ). ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$

Словарный запас

В дроби число равных частей, которые описываются, является числителем ( от лат . numerātor , «счетчик» или «исчислитель»), а тип или разновидность частей является знаменателем ( от лат . dēnōminātor , «то, что называет или обозначает»). ^{[2] [3]} Например, дробь ⁠8/5⁠ составляет восемь частей, каждая из которых относится к типу «пятая». В терминах деления числитель соответствует делимому , а знаменатель — делителю .

Неформально числитель и знаменатель можно различать только по размещению, но в формальном контексте они обычно разделяются чертой дроби . Черта дроби может быть горизонтальной (как в ⁠1/3⁠ ), наклонный (как в 2/5) или диагональный (как в 4 ⁄ 9 ). ^[4] Эти знаки соответственно известны как горизонтальная черта; косая черта, косая черта ( США ) или штрих ( Великобритания ); и черта дроби, солидус, ^[5] или косая черта дроби . ^{[n 1]} В типографике дроби, расположенные вертикально, также известны как « en » или « дроби ореха », а диагональные — как « em » или «дроби барана», в зависимости от того, занимает ли дробь с числителем и знаменателем, состоящими из одной цифры, пропорцию узкого квадрата en или более широкого квадрата em . ^[4] В традиционном словолитном деле часть шрифта, несущая полную дробь (например , ⁠1/2⁠ ) ​​была известна как «частная дробь», в то время как те, которые представляли только часть дроби, назывались «частичными дробями».

Знаменатели английских дробей обычно выражаются порядковыми числительными , во множественном числе, если числитель не равен 1. (Например, ⁠2/5⁠ и ⁠3/5⁠ оба читаются как количество «пятых».) Исключения включают знаменатель 2, который всегда читается как «половина» или «половины», знаменатель 4, который может быть альтернативно выражен как «четверть»/«четверти» или как «четверть»/«четвертые», и знаменатель 100, который может быть альтернативно выражен как «сотая»/«сотые» или « проценты ».

Когда знаменатель равен 1, его можно выразить в терминах «целых», но чаще игнорируют, а числитель читают как целое число. Например, ⁠3/1⁠ может быть описано как «три целых» или просто как «три». Когда числитель равен 1, он может быть опущен (например, «десятая часть» или «каждая четверть»).

Вся дробь может быть выражена как единое целое, в этом случае она пишется через дефис, или как ряд дробей с числителем, равным единице, в этом случае они не пишутся через дефис. (Например, «две пятых» — это дробь ⁠2/5⁠ и «две пятых» — это та же дробь, понимаемая как 2 случая ⁠1/5⁠ .) Дроби всегда следует писать через дефис, когда они используются в качестве прилагательных. В качестве альтернативы дробь можно описать, прочитав ее как числитель «над» знаменателем, причем знаменатель выражается как количественное числительное . (Например, ⁠3/1⁠ также может быть выражено как «три над одним».) Термин «над» используется даже в случае дробей с косой чертой, где числа располагаются слева и справа от косой черты . (Например, 1/2 может читаться как «половина», «одна половина» или «один над двумя».) Дроби с большими знаменателями, которые не являются степенями десяти, часто представляются таким образом (например, ⁠1/117⁠ как «один больше ста семнадцати»), в то время как дроби со знаменателем, делящимся на десять, обычно читаются в обычном порядковом порядке (например, ⁠6/1000000⁠ как «шесть миллионов», «шесть миллионных» или «шесть миллионных»).

Формы дробей

Простые, обыкновенные или вульгарные дроби

Простая дробь ( также известная как обыкновенная дробь или вульгарная дробь , где vulgar на латыни означает «обыкновенный») — это рациональное число, записанное как a / b или ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ , где a и b — целые числа . ^[9] Как и в случае с другими дробями, знаменатель ( b ) не может быть равен нулю. Вот примеры: ⁠1/2⁠ , − ⁠8/5⁠ , ⁠−8/5⁠ , и ⁠8/−5⁠ . Первоначально этот термин использовался для отличия этого типа дроби от шестидесятеричной дроби, используемой в астрономии. ^[10]

Обыкновенные дроби могут быть положительными или отрицательными, а также правильными или неправильными (см. ниже). Составные дроби, сложные дроби, смешанные числа и десятичные дроби (см. ниже) не являются обыкновенными дробями ; хотя, если они не иррациональны, их можно вычислить как обыкновенную дробь.

• Единичная дробь — это обыкновенная дробь с числителем 1 (например, ⁠1/7⁠ ). Единичные дроби также можно выразить с помощью отрицательных показателей степени, например, 2 ⁻¹ , что представляет 1/2, и 2 ⁻² , что представляет 1/(2 ² ) или 1/4.
• Двоичная дробь — это обыкновенная дробь, в которой знаменатель является степенью двойки , например ⁠1/8⁠ = ⁠1/2 ³⁠ .

В Unicode символы составных дробей находятся в блоке «Числовые формы» .

Правильные и неправильные дроби

Обыкновенные дроби можно классифицировать как правильные и неправильные. Когда числитель и знаменатель оба положительные, дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. ^[11] Понятие «неправильная дробь» является поздним развитием, терминология которого вытекает из того факта, что «дробь» означает «часть», поэтому правильная дробь должна быть меньше 1. ^[10] Это было объяснено в учебнике 17-го века «Основы искусств» . ^{[12] [13]}

В общем случае обыкновенная дробь называется правильной дробью , если абсолютное значение дроби строго меньше единицы, то есть если дробь больше −1 и меньше 1. ^{[14] [15]} Она называется неправильной дробью , или иногда дробью с перегруженным верхним знаком , ^[16], если абсолютное значение дроби больше или равно 1. Примерами правильных дробей являются 2/3, −3/4 и 4/9, тогда как примерами неправильных дробей являются 9/4, −4/3 и 3/3.

Обратные величины и «невидимый знаменатель»

Обратная дробь — это другая дробь, в которой числитель и знаменатель поменяны местами. Обратная дробь ⁠3/7⁠ , например, это ⁠7/3⁠ . Произведение дроби, отличной от нуля, и ее обратной дроби равно 1, поэтому обратная дробь является мультипликативной обратной дробью. Обратная дробь правильной дроби является неправильной, а обратная дробь неправильной дроби, не равная 1 (то есть числитель и знаменатель не равны), является правильной дробью.

Когда числитель и знаменатель дроби равны (например, ⁠7/7⁠ ), ее значение равно 1, и дробь, следовательно, неправильная. Ее обратная величина идентична и, следовательно, также равна 1 и неправильная.

Любое целое число можно записать в виде дроби с числом 1 в качестве знаменателя. Например, 17 можно записать как ⁠17/1⁠ , где 1 иногда называют невидимым знаменателем . ^[17] Поэтому каждая дробь или целое число, за исключением нуля, имеет обратную величину. Например, обратная величина 17 — это ⁠1/17⁠ .

Коэффициенты

Соотношение — это отношение между двумя или более числами, которое иногда может быть выражено дробью. Обычно ряд элементов группируется и сравнивается в отношении, определяющем численно отношение между каждой группой. Соотношения выражаются как «группа 1 к группе 2 ... к группе n ». Например, если в партии автомобилей было 12 транспортных средств, из которых

• 2 белых,
• 6 красных, и
• 4 желтых,

тогда соотношение красных автомобилей к белым и желтым составляет 6 к 2 к 4. Соотношение желтых автомобилей к белым составляет 4 к 2 и может быть выражено как 4:2 или 2:1.

Соотношение часто преобразуется в дробь, когда оно выражается как отношение к целому. В приведенном выше примере отношение желтых автомобилей ко всем автомобилям на парковке составляет 4:12 или 1:3. Мы можем преобразовать эти отношения в дробь и сказать, что ⁠4/12⁠ автомобилей или ⁠1/3⁠ автомобилей на стоянке — желтые. Поэтому, если человек наугад выбрал одну машину на стоянке, то есть один шанс из трех или вероятность , что она будет желтой.

Десятичные дроби и проценты

Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой явно не указан, но подразумевается как целая степень числа десять. Десятичные дроби обычно выражаются с помощью десятичной записи, в которой подразумеваемый знаменатель определяется количеством цифр справа от десятичного разделителя , внешний вид которого (например, точка, интерпункт (·), запятая) зависит от локали (примеры см. в разделе Десятичный разделитель ). Таким образом, для числа 0,75 числитель равен 75, а подразумеваемый знаменатель равен 10 во второй степени, а именно 100, поскольку справа от десятичного разделителя находятся две цифры. В десятичных числах больше 1 (например, 3,75) дробная часть числа выражается цифрами справа от десятичной (со значением 0,75 в данном случае). 3,75 можно записать либо в виде неправильной дроби, 375/100, либо в виде смешанного числа, ⁠3+75/100⁠ .

Десятичные дроби также можно выразить с помощью научной записи с отрицательными показателями степени, например:6,023 × 10 ⁻⁷ , что составляет 0,0000006023.10 ⁻⁷ представляет собой знаменатель10 ^7. Деление на10 ⁷ перемещает десятичную точку на 7 позиций влево.

Десятичные дроби с бесконечным количеством цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд . Например, ⁠1/3⁠ = 0,333... представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

Другой вид дроби — процент ( от латинского per centum , что означает «на сто», представленный символом %), в котором подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51% означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311% равно 311/100, а −27% равно −27/100.

Связанное с этим понятие промилле или частей на тысячу (ppt) имеет подразумеваемый знаменатель 1000, в то время как более общее обозначение частей на миллион , например, 75 частей на миллион (ppm), означает, что пропорция составляет 75/1 000 000.

Использование обыкновенных или десятичных дробей часто является вопросом вкуса и контекста. Обыкновенные дроби используются чаще всего, когда знаменатель относительно мал. При устном подсчете проще умножить 16 на 3/16, чем сделать тот же расчет, используя десятичный эквивалент дроби (0,1875). И точнее умножить 15 на 1/3, например, чем умножить 15 на любое десятичное приближение одной трети. Денежные значения обычно выражаются в виде десятичных дробей со знаменателем 100, т. е. с двумя десятичными знаками, например, 3,75 доллара. Однако, как отмечалось выше, в додесятичной британской валюте шиллингам и пенсам часто придавалась форма (но не значение) дроби, как, например, «3/6» (читается «три и шесть»), что означает 3 шиллинга и 6 пенсов и не имеет никакого отношения к дроби 3/6.

Смешанные числа

Смешанное число (также называемое смешанной дробью или смешанным числительным ) — это сумма ненулевого целого числа и правильной дроби, обычно записываемая путем сопоставления (или конкатенации ) двух частей без использования промежуточного знака плюс (+) или минус (−). Когда дробь пишется горизонтально, между целым числом и дробью добавляется пробел, чтобы разделить их.

В качестве простого примера, два целых торта и три четверти другого торта можно записать как cakes или cakes, с цифрой, представляющей целые торты, и дробью, представляющей дополнительный частичный торт, наложенный друг на друга; это более кратко, чем более явная нотация cakes. Смешанное число ⁠2 ${\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 2\ \,3/4}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}}$+3/4⁠ произносится как «два и три четверти», при этом целая и дробная части соединены словом и . ^[18] Вычитание или отрицание применяется ко всему смешанному числительному, поэтому означает ${\displaystyle -2{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle -{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}$

Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь, применив правила сложения разнородных величин. Например, Наоборот, неправильную дробь можно преобразовать в смешанное число, используя деление с остатком , при этом правильная дробь будет состоять из остатка, деленного на делитель. Например, поскольку 4 входит в 11 дважды, и остается 3, ${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.}$

В начальной школе учителя часто настаивают на том, что каждый дробный результат должен быть выражен в виде смешанного числа. ^[19] За пределами школы смешанные числа обычно используются для описания измерений, например ⁠2+1/2⁠ часов или 5 3/16 дюймов , и остаются широко распространенными в повседневной жизни и в торговле, особенно в регионах, где не используется десятичная метрическая система . Однако научные измерения обычно используют метрическую систему, которая основана на десятичных дробях, и, начиная со средней школы, педагогика математики рассматривает каждую дробь единообразно как рациональное число , частное ⁠п/д⁠ целых чисел, оставив позади понятия «неправильная дробь» и «смешанное число». ^[20] Студенты колледжей с многолетней математической подготовкой иногда приходят в замешательство, когда снова сталкиваются со смешанными числами, поскольку они привыкли к условности, что сопоставление в алгебраических выражениях означает умножение. ^[21]

Исторические понятия

Египетская фракция

Египетская дробь — это сумма различных положительных дробей, например . Это определение вытекает из того факта, что древние египтяне выражали все дроби, кроме , и таким образом. Каждое положительное рациональное число можно разложить в египетскую дробь. Например, можно записать как Любое положительное рациональное число можно записать в виде суммы дробей, состоящих из единиц, бесконечным числом способов. Два способа записи — и . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {13}{17}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}}$

Сложные и составные дроби

В сложной дроби числитель, знаменатель или оба являются дробью или смешанным числом, ^{[22] [23]} что соответствует делению дробей. Например, и являются сложными дробями. Чтобы интерпретировать вложенные дроби, записанные «сложенными» с горизонтальными чертами дроби, считайте более короткие черты вложенными внутри более длинных черт. Сложные дроби можно упростить, используя умножение на обратную величину, как описано ниже в § Деление. Например: ${\displaystyle {\tfrac {1/2}{1/3}}}$ ${\displaystyle {\bigl (}12{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}{\big /}26}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\;\!{\tfrac {1}{2}}\;\!}{\tfrac {1}{3}}}&={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}},\qquad {\frac {\;\!{\tfrac {3}{2}}\;\!}{5}}={\frac {3}{2}}\div 5={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{5}}={\frac {3}{10}},\\[10mu]{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}&={\frac {12\times 4+3}{4}}\div 26={\frac {12\times 4+3}{4}}\times {\frac {1}{26}}={\frac {51}{104}}.\end{aligned}}}$

Сложная дробь никогда не должна быть записана без очевидного маркера, показывающего, какая дробь вложена в другую, поскольку такие выражения неоднозначны. Например, выражение может быть правдоподобно интерпретировано как или как Значение может быть сделано явным путем записи дробей с использованием отдельных разделителей или путем добавления явных скобок, в этом случае или ${\displaystyle 5/10/20}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{10}}{\big /}20={\tfrac {1}{40}}}$ ${\displaystyle 5{\big /}{\tfrac {10}{20}}=10.}$ ${\displaystyle (5/10){\big /}20}$ ${\displaystyle 5{\big /}(10/20).}$

Составная дробь — это дробь дроби или любого количества дробей, связанных со словом of , ^{[22] [23]} соответствующее умножению дробей. Чтобы свести составную дробь к простой дроби, просто выполните умножение (см. § Умножение ). Например, of — это составная дробь, соответствующая . Термины составная дробь и сложная дробь тесно связаны, и иногда один из них используется как синоним другого. (Например, составная дробь эквивалентна сложной дроби ⁠ ⁠ .) ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3/4}{7/5}}}$

Тем не менее, «сложная дробь» и «составная дробь» можно считать устаревшими ^[24] и теперь они используются не совсем определённым образом, частично даже как синонимы друг для друга ^[25] или для смешанных числительных. ^[26] Они утратили своё значение как технические термины, а атрибуты «сложный» и «составной» имеют тенденцию использоваться в их повседневном значении «состоящий из частей».

Арифметика с дробями

Как и целые числа, дроби подчиняются законам коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности , а также правилу против деления на ноль .

Арифметические действия со смешанными числами можно выполнить либо путем преобразования каждого смешанного числа в неправильную дробь, либо путем рассмотрения каждого числа как суммы целой и дробной частей.

Эквивалентные дроби

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же (ненулевое) число дает дробь, эквивалентную исходной дроби. Это верно, потому что для любого ненулевого числа дробь равна 1. Следовательно, умножение на равнозначно умножению на единицу, и любое число, умноженное на единицу, имеет то же значение, что и исходное число. В качестве примера начнем с дроби ⁠ ⁠ . Когда числитель и знаменатель умножаются на 2, результат равен ⁠ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$2/4⁠ , который имеет то же значение (0,5), что и ⁠1/2⁠ . Чтобы наглядно представить это, представьте, что вы разрезаете торт на четыре части; две из них вместе ( ⁠2/4⁠ ) ​​составляют половину торта ( ⁠1/2⁠ ).

Упрощение (сокращение) дробей

Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число дает эквивалентную дробь: если числитель и знаменатель дроби оба делятся на число (называемое множителем), большее 1, то дробь можно сократить до эквивалентной дроби с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Например, если и числитель, и знаменатель дроби делятся на ⁠ ⁠ , то их можно записать как , , и дробь станет ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a=cd}$ ${\displaystyle b=ce}$компакт-диск/се⁠ , которую можно сократить, разделив числитель и знаменатель на c, чтобы получить сокращенную дробь ⁠г/е⁠ .

Если взять за c наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получится эквивалентная дробь, числитель и знаменатель которой имеют наименьшие абсолютные значения . Говорят, что дробь была сокращена до ее наименьших членов .

Если числитель и знаменатель не имеют общих множителей больше 1, дробь уже сокращена до самых низких членов, и говорят, что она несократима , сокращена или в простейших терминах . Например, не является в самых низких членах, потому что и 3, и 9 можно разделить на 3. Напротив, является в самых низких членах — единственное положительное целое число, которое входит в 3 и 8 нацело, это 1. ${\displaystyle {\tfrac {3}{9}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

Используя эти правила, мы можем показать, что ⁠5/10⁠ = ⁠1/2⁠ = ⁠10/20⁠ = ⁠50/100⁠ , например.

В качестве другого примера, поскольку наибольший общий делитель чисел 63 и 462 равен 21, дробь ⁠63/462⁠ можно сократить до наименьших членов, разделив числитель и знаменатель на 21:

${\displaystyle {\frac {63}{462}}={\frac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\frac {3}{22}}.}$

Алгоритм Евклида дает метод нахождения наибольшего общего делителя любых двух целых чисел.

Сравнение дробей

Сравнение дробей с одинаковым положительным знаменателем дает тот же результат, что и сравнение числителей:

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}}$так как 3 > 2 , а одинаковые знаменатели положительны. ${\displaystyle 4}$

Если знаменатели равны, то для дробей имеет место обратный результат сравнения числителей:

${\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.}$

Если две положительные дроби имеют одинаковый числитель, то дробь с меньшим знаменателем является большим числом. Когда целое делится на равные части, если для составления целого требуется меньше равных частей, то каждая часть должна быть больше. Когда две положительные дроби имеют одинаковый числитель, они представляют одинаковое количество частей, но в дроби с меньшим знаменателем части больше.

Один из способов сравнения дробей с разными числителями и знаменателями — найти общий знаменатель. Чтобы сравнить и , они преобразуются в и (где точка означает умножение и является альтернативным символом ×). Тогда bd является общим знаменателем, а числители ad и bc можно сравнивать. Для сравнения дробей не обязательно определять значение общего знаменателя — можно просто сравнить ad и bc , не оценивая bd , например, сравнение  ? дает . ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}$

Для более трудоемкого вопроса  ? умножьте верхнюю и нижнюю часть каждой дроби на знаменатель другой дроби, чтобы получить общий знаменатель, что даст  ? . Вычислять не нужно — нужно только сравнить числители. Поскольку 5×17 (= 85) больше, чем 4×18 (= 72), результат сравнения будет ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{17}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}}$ ${\displaystyle 18\times 17}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}}$

Поскольку каждое отрицательное число, включая отрицательные дроби, меньше нуля, а каждое положительное число, включая положительные дроби, больше нуля, то отсюда следует, что любая отрицательная дробь меньше любой положительной дроби. Это позволяет, вместе с приведенными выше правилами, сравнивать все возможные дроби.

Добавление

Первое правило сложения заключается в том, что можно складывать только подобные количества; например, различные количества четвертаков. Разные количества, такие как добавление третей к четвертакам, должны быть сначала преобразованы в подобные количества, как описано ниже: Представьте себе карман, содержащий два четвертака, и другой карман, содержащий три четвертака; всего получается пять четвертаков. Поскольку четыре четвертака эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}}$.

Если требуется добавить один кусок торта к другому, то части необходимо преобразовать в сопоставимые количества, например, в восьмушки торта или четвертушки торта. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

Сложение разнородных величин

Чтобы сложить дроби, содержащие разнородные величины (например, четверти и трети), необходимо преобразовать все величины в подобные величины. Легко определить выбранный тип дроби для преобразования; просто перемножьте два знаменателя (нижнее число) каждой дроби. В случае целого числа примените невидимый знаменатель 1.

Для сложения четвертей и третей оба типа дробей преобразуются в двенадцатые, таким образом:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.}$

Рассмотрите возможность сложения следующих двух величин:

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}.}$

Сначала преобразуем в пятнадцатые, умножив числитель и знаменатель на три: ⁠ ⁠ . Так как ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}}$3/3⁠ равно 1, умножение на ⁠3/3⁠ не изменяет значение дроби.

Во-вторых, конвертируйте ⁠2/3⁠ на пятнадцатые, умножив числитель и знаменатель на пять: ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}}$ .

Теперь видно, что

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

эквивалентно

${\displaystyle {\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}.}$

Этот метод можно выразить алгебраически:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}.}$

Этот алгебраический метод всегда работает, тем самым гарантируя, что сумма простых дробей всегда снова будет простой дробью. Однако, если отдельные знаменатели содержат общий множитель, можно использовать меньший знаменатель, чем их произведение. Например, при сложении и отдельные знаменатели имеют общий множитель 2, и поэтому вместо знаменателя 24 (4 × 6) можно использовать половинный знаменатель 12, не только уменьшая знаменатель в результате, но и множители в числителе. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&&={\frac {19}{12}}\\[10mu]&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&&={\frac {19}{12}}.\end{alignedat}}}$

Наименьший возможный знаменатель дается наименьшим общим кратным отдельных знаменателей, который получается путем деления кратного на все общие множители отдельных знаменателей. Это называется наименьшим общим знаменателем.

Вычитание

Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и их сложение: найдите общий знаменатель и замените каждую дробь эквивалентной дробью с выбранным общим знаменателем. Результирующая дробь будет иметь этот знаменатель, а ее числитель будет результатом вычитания числителей исходных дробей. Например,

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}.}$

Чтобы вычесть смешанное число, можно взять дополнительную единицу из уменьшаемого, например:

${\displaystyle 4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.}$

Умножение

Умножение дроби на другую дробь

Чтобы умножить дроби, умножьте числители и знаменатели. Таким образом:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}.}$

Чтобы объяснить этот процесс, рассмотрим одну треть одной четверти. Используя пример торта, если три маленьких ломтика одинакового размера составляют четверть, а четыре четверти составляют целое, то двенадцать таких маленьких, равных ломтиков составляют целое. Следовательно, треть четверти — это двенадцатая часть. Теперь рассмотрим числители. Первая дробь, две трети, в два раза больше одной трети. Поскольку одна треть четверти — это одна двенадцатая, две трети четверти — это две двенадцатые. Вторая дробь, три четверти, в три раза больше одной четверти, поэтому две трети трех четвертей в три раза больше двух третей одной четверти. Таким образом, две трети, умноженные на три четверти, дают шесть двенадцатых.

Сокращенный способ умножения дробей называется «сокращение». Фактически ответ сокращается до наименьших членов во время умножения. Например:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}2}}}^{~1}}{{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}}\times {\frac {{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}{{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}4}}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.}$

Двойка является общим множителем как числителя левой дроби, так и знаменателя правой и делится на обе. Три является общим множителем левого знаменателя и правого числителя и делится на обе.

Умножение дроби на целое число

Так как целое число можно переписать как само деленное на 1, обычные правила умножения дробей все еще могут применяться. Например,

${\displaystyle 6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}.}$

Этот метод работает, потому что дробь 6/1 означает шесть равных частей, каждая из которых является целым.

Умножение смешанных чисел

Произведение смешанных чисел можно вычислить, преобразовав каждое из них в неправильную дробь. ^[27] Например:

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}={\frac {3}{1}}\times {\frac {2\times 4+3}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

С другой стороны, смешанные числа можно рассматривать как суммы и умножать как биномы . В этом примере,

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

Разделение

Чтобы разделить дробь на целое число, вы можете либо разделить числитель на число, если оно входит в числитель без остатка, либо умножить знаменатель на число. Например, равно и также равно , что сокращается до . Чтобы разделить число на дробь, умножьте это число на обратную дробь. Таким образом, . ${\displaystyle {\tfrac {10}{3}}\div 5}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}}$

Преобразование между десятичными и обыкновенными дробями

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, выполните длинное деление десятичных представлений числителя на знаменатель (это также идиоматически называется «разделить знаменатель на числитель») и округлите ответ до желаемой точности. Например, чтобы преобразовать ⁠1/4⁠ в десятичную дробь, разделить1.00 по4 ("4 в1.00 "), чтобы получить0.25 . Чтобы изменить ⁠1/3⁠ в десятичную дробь, разделить1.000... по3 ("3 в1.000... ") и остановиться, когда будет достигнута желаемая точность, например, при4 десятичных знака с0,3333 . Дробь ⁠1/4⁠ можно записать точно с двумя десятичными цифрами, в то время как дробь ⁠1/3⁠ нельзя записать точно как десятичную дробь с конечным числом цифр. Чтобы превратить десятичную дробь в обыкновенную, напишите в знаменателе a1, за которым следует столько нулей, сколько цифр находится справа от десятичной точки, и в числителе запишите все цифры исходной десятичной дроби, опуская только десятичную точку. Таким образом ${\displaystyle 12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.}$

Преобразование повторяющихся десятичных дробей в обыкновенные дроби

Десятичные числа, хотя и, возможно, более полезны для работы при выполнении вычислений, иногда не обладают точностью, которой обладают обычные дроби. Иногда для достижения той же точности требуется бесконечная повторяющаяся десятичная дробь . Таким образом, часто бывает полезно преобразовать повторяющиеся десятичные дроби в обыкновенные дроби.

Обычный способ обозначения повторяющейся десятичной дроби — это размещение черты (известной как винкулум ) над повторяющимися цифрами, например 0. 789 = 0.789789789... Для повторяющихся шаблонов, начинающихся сразу после десятичной точки, результатом преобразования является дробь с шаблоном в качестве числителя и тем же количеством девяток в качестве знаменателя. Например:

0. 5 = 5/9

0. 62 = 62/99

0. 264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

Если перед шаблоном стоят начальные нули , то к девяткам добавляется такое же количество конечных нулей :

0,0 5 = 5/90

0,000 392 = 392/999000

0,00 12 = 12/9900

Если шаблону предшествует неповторяющийся набор десятичных знаков (например, 0,1523 987 ), то можно записать число как сумму неповторяющихся и повторяющихся частей соответственно:

0,1523 + 0,0000 987

Затем преобразуйте обе части в дроби и сложите их, используя описанные выше методы:

1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

В качестве альтернативы можно использовать алгебру, например, как показано ниже:

1. Пусть x = периодическая десятичная дробь:

   х = 0,1523 987

2. Умножим обе части на степень числа 10, достаточную для того, чтобы переместить десятичную точку непосредственно перед повторяющейся частью десятичного числа (в данном случае 10 ^{4 ):}

   10 000 х = 1 523,987

3. Умножьте обе части на степень числа 10 (в данном случае 10 ³ ), которая равна количеству повторяющихся знаков:

   10 000 000 х = 1 523 987. 987

4. Вычтите два уравнения друг из друга (если a = b и c = d , то a − c = b − d ):

   10 000 000 х − 10 000 х = 1 523 987,987 − 1 523,987

5. Продолжайте операцию вычитания, чтобы очистить повторяющуюся десятичную дробь:

   9 990 000 х = 1 523 987 − 1 523

   9 990 000 х = 1 522 464

6. Разделите обе части на 9 990 000, чтобы представить x в виде дроби.

   х = ⁠1522464/9990000⁠

Дроби в абстрактной математике

Помимо того, что они имеют большое практическое значение, дроби также изучаются математиками, которые проверяют, что приведенные выше правила для дробей являются последовательными и надежными . Математики определяют дробь как упорядоченную пару целых чисел , для которой операции сложения , вычитания , умножения и деления определяются следующим образом: ^[28] ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\neq 0,}$

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)}$

${\displaystyle (a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)}$

Эти определения в каждом случае согласуются с определениями, данными выше; отличается только обозначение. В качестве альтернативы, вместо определения вычитания и деления как операций, «обратные» дроби относительно сложения и умножения можно определить как:

${\displaystyle {\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, отношение , указанное как

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,}$

является отношением эквивалентности дробей. Каждая дробь из одного класса эквивалентности может рассматриваться как представитель целого класса, а каждый целый класс может рассматриваться как одна абстрактная дробь. Эта эквивалентность сохраняется определенными выше операциями, т. е. результаты операций с дробями не зависят от выбора представителей из их класса эквивалентности. Формально, для сложения дробей

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\quad }$и подразумевают ${\displaystyle \quad (c,d)\sim (c',d')\quad }$

${\displaystyle ((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))}$

и аналогично для других операций.

В случае дробей целых чисел дроби ⁠а/б⁠ с a и b взаимно простыми и b > 0 часто берутся как однозначно определенные представители для их эквивалентных дробей, которые считаются тем же самым рациональным числом. Таким образом, дроби целых чисел составляют поле рациональных чисел.

В более общем случае a и b могут быть элементами любой целостной области R , и в этом случае дробь является элементом поля дробей R . Например, многочлены от одной неизвестной с коэффициентами из некоторой целостной области D сами являются целостной областью, назовем ее P . Таким образом, для элементов a и b из P сгенерированное поле дробей является полем рациональных дробей ( также известным как поле рациональных функций ) .

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь — это указанное частное двух алгебраических выражений . Как и в случае с дробями целых чисел, знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю. Два примера алгебраических дробей — и ⁠ ⁠ . Алгебраические дроби подчиняются тем же свойствам поля , что и арифметические дроби. ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Если числитель и знаменатель являются многочленами , как в ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ , алгебраическая дробь называется рациональной дробью (или рациональным выражением ). Иррациональная дробь — это дробь, которая не является рациональной, например, содержащая переменную под дробным показателем или корнем, как в ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$ .

Терминология, используемая для описания алгебраических дробей, похожа на ту, что используется для обычных дробей. Например, алгебраическая дробь находится в наименьших членах, если единственными общими множителями числителя и знаменателя являются 1 и −1. Алгебраическая дробь, числитель или знаменатель которой, или оба, содержат дробь, например ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}$ , называется сложной дробью .

Поле рациональных чисел — это поле дробей целых чисел, в то время как сами целые числа являются не полем, а областью целостности . Аналогично, рациональные дроби с коэффициентами в поле образуют поле дробей многочленов с коэффициентами в этом поле. Рассматривая рациональные дроби с действительными коэффициентами, радикальные выражения, представляющие числа, такие как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}/2}$ , также являются рациональными дробями, как и трансцендентные числа , такие как , поскольку все из и являются действительными числами , и, таким образом, рассматриваются как коэффициенты. Эти же числа, однако, не являются рациональными дробями с целыми коэффициентами. ${\textstyle \pi /2,}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},\pi ,}$ ${\displaystyle 2}$

Термин «простейшая дробь» используется при разложении рациональных дробей на суммы более простых дробей. Например, рациональную дробь можно разложить как сумму двух дробей: ⁠ ⁠ . Это полезно для вычисления первообразных рациональных функций ( подробнее см. в разделе «разложение простейшей дроби »). ${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}}$

Радикальные выражения

Дробь также может содержать радикалы в числителе или знаменателе. Если знаменатель содержит радикалы, может быть полезно рационализировать его (сравните Упрощенная форма радикального выражения ), особенно если должны быть выполнены дальнейшие операции, такие как сложение или сравнение этой дроби с другой. Это также более удобно, если деление выполняется вручную. Когда знаменатель является одночленным квадратным корнем, его можно рационализировать, умножив как верхнюю, так и нижнюю часть дроби на знаменатель:

${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}.}$

Процесс рационализации биномиальных знаменателей включает в себя умножение верхней и нижней части дроби на сопряженное знаменателю число, так что знаменатель становится рациональным числом. Например:

${\displaystyle {\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}},}$

${\displaystyle {\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}.}$

Даже если в результате этого процесса числитель становится иррациональным, как в приведенных выше примерах, этот процесс все равно может облегчить последующие манипуляции, уменьшив количество иррациональных чисел, с которыми приходится работать в знаменателе.

Типографские вариации

В компьютерных дисплеях и типографике простые дроби иногда печатаются как один символ, например, ½ ( одна половина ). Информацию о том, как это сделать в Unicode , см. в статье о числовых формах .

В научных публикациях различают четыре способа задания дробей, а также рекомендации по их использованию: ^[29]

• Специальные дроби : дроби, представленные в виде одного символа с наклонной чертой, примерно той же высоты и ширины, что и другие символы в тексте. Обычно используются для простых дробей, таких как: ½, ⅓, ⅔, ¼ и ¾. Поскольку цифры меньше, разборчивость может быть проблемой, особенно для шрифтов небольшого размера. Они не используются в современной математической нотации, но в других контекстах.
• Регистр дробей : подобно специальным дробям, они отображаются как один типографский символ, но с горизонтальной чертой, что делает их вертикальными . Примером может служить ⁠1/2⁠ , но отображается с той же высотой, что и другие символы. Некоторые источники включают все отображения дробей как регистровые дроби, если они занимают только один типографский пробел, независимо от направления штриха. ^[30]
• Дроби шиллинга или солидуса : 1/2, так называемые, потому что эта нотация использовалась для додесятичной британской валюты ( £sd ), как в "2/6" для половины кроны , что означает два шиллинга и шесть пенсов. Хотя запись "два шиллинга и шесть пенсов" не представляла дробь, косая черта теперь используется в дробях, особенно для дробей, встроенных в текст (а не отображаемых), чтобы избежать неровных строк. Она также используется для дробей внутри дробей (сложных дробей) или внутри показателей степени для повышения разборчивости. Дроби, записанные таким образом, также известные как дроби частей ^[31] , пишутся все на одной типографской строке, но занимают 3 или более типографских пробелов.
• Составные дроби : . Эта нотация использует две или более строк обычного текста и приводит к изменению интервала между строками при включении в другой текст. Хотя они большие и разборчивые, они могут быть деструктивными, особенно для простых дробей или внутри сложных дробей. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

История

Самые ранние дроби были обратными целым числам : древние символы, представляющие одну часть двух, одну часть трех, одну часть четырех и так далее. ^[32] Египтяне использовали египетские дроби около  1000  г. до н. э. Около 4000 лет назад египтяне делили дробями, используя немного другие методы. Они использовали наименьшие общие кратные с единичными дробями . Их методы давали тот же ответ, что и современные методы. ^[33] У египтян также была другая нотация для двоичных дробей , используемых для определенных систем весов и мер. ^[34]

Греки использовали единичные дроби и (позже) простые цепные дроби . Последователи греческого философа Пифагора ( ок.  530 г. до н  . э.) обнаружили, что квадратный корень из двух не может быть выражен в виде дроби целых чисел . (Это обычно, хотя, вероятно, ошибочно, приписывают Гиппасу из Метапонта , который, как говорят, был казнен за раскрытие этого факта.) В 150 г. до н. э. джайнские математики в Индии написали « Стхананга-сутру », которая содержит труды по теории чисел, арифметическим операциям и операциям с дробями.

Современное выражение дробей, известное как бхиннараси , по-видимому, возникло в Индии в работах Арьябхатты ( ок.  500 г. н. э .), ^{[ требуется цитата ]} Брахмагупты ( ок.  628 г. ) и Бхаскары ( ок.  1150 г. ). ^[35] Их работы образуют дроби, помещая числители ( санскрит : амса ) над знаменателями ( чеда ), но без черты между ними. ^[35] В санскритской литературе дроби всегда выражались как сложение или вычитание из целого числа. ^{[ требуется цитата ]} Целое число писалось на одной строке, а дробь в двух его частях — на следующей строке. Если дробь была отмечена маленьким кружком ⟨०⟩ или крестиком ⟨+⟩ , она вычитается из целого числа; если такой знак не появляется, подразумевается, что она добавляется. Например, Бхаскара I пишет: ^[36]

६ १ २

१ १ १ _०

४ ५ ९

что эквивалентно

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

и будет записано в современной нотации как 6 ⁠1/4⁠ , 1 ⁠1/5⁠ , и 2 −  ⁠1/9⁠ (т.е. 1 ⁠8/9⁠ ).

Горизонтальная черта дроби впервые засвидетельствована в работе Аль-Хассара (  1200 г. ), ^[35] мусульманского математика из Феса , Марокко , который специализировался на исламском наследственном праве . В своем обсуждении он пишет: «например, если вам говорят написать три пятых и треть пятой, напишите так, «. ^[37] Та же самая дробная запись — с дробью, указанной перед целым числом ^[35] — появляется вскоре после этого в работе Леонардо Фибоначчи в 13 веке. ^[38] ${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

Обсуждая происхождение десятичных дробей , Дирк Ян Струик утверждает: ^[39]

Введение десятичных дробей в качестве общей вычислительной практики можно датировать фламандским памфлетом De Thiende , опубликованным в Лейдене в 1585 году, вместе с французским переводом La Disme фламандского математика Симона Стевина (1548–1620), тогда обосновавшегося в Северных Нидерландах . Верно, что десятичные дроби использовались китайцами за много веков до Стевина, и что персидский астроном Аль-Каши с большой легкостью использовал как десятичные, так и шестидесятеричные дроби в своем «Ключе к арифметике» ( Самарканд , начало пятнадцатого века). ^[40]

В то время как персидский математик Джамшид аль-Каши утверждал, что сам открыл десятичные дроби в 15 веке, Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что он ошибался, поскольку десятичные дроби впервые были использованы за пять столетий до него багдадским математиком Абу-ль-Хасаном аль-Уклидиси еще в 10 веке. ^{[41] [n 2]}

В формальном образовании

Начальные школы

В начальной школе дроби демонстрировались с помощью палочек Кюизенера , линеек дробей, полосок дробей, кружков дробей, бумаги (для складывания или разрезания), выкроек , фигур в форме пирога, пластиковых прямоугольников, клетчатой ​​бумаги, бумаги с точками, геобордов , счетчиков и компьютерного программного обеспечения.

Документы для учителей

Несколько штатов в Соединенных Штатах приняли учебные траектории из руководящих принципов Common Core State Standards Initiative для математического образования. Помимо последовательности изучения дробей и операций с дробями, документ дает следующее определение дроби: «Число, выражаемое в форме ⁠ ${\displaystyle a}$/ ${\displaystyle b}$⁠ где — целое число, а — положительное целое число. (Слово дробь в этих стандартах всегда относится к неотрицательному числу.)» ^[43] В самом документе также упоминаются отрицательные дроби. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Смотрите также

• Перекрестное умножение
• 0,999...
• Несколько
• ФРАКТРАН

Примечания

1. Некоторые типографы, такие как Брингхерст, ошибочно различают косую черту ⟨ / ⟩ как косую черту , а дробную косую черту ⟨ ⁄ ⟩ как косую черту , ^[6] хотя на самом деле обе являются синонимами стандартной косой черты. ^{[7] [8]}
2. Хотя среди историков математики существуют некоторые разногласия относительно первичности вклада аль-Уклидиси, нет никаких сомнений относительно его основного вклада в концепцию десятичных дробей. ^[42]

Ссылки

Weisstein, Eric (2003). "CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition". CRC Concise Encyclopedia of Mathematics . Chapman & Hall/CRC. стр. 1925. ISBN 1-58488-347-2.

1. H. Wu, «Неправильное образование учителей математики», Notices of the American Mathematical Society , том 58, выпуск 03 (март 2011 г.), стр. 374. Архивировано 20 августа 2017 г. на Wayback Machine .
2. Шварцман, Стивен (1994). Слова математики: Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-511-9.
3. "Дроби". www.mathsisfun.com . Получено 2020-08-27 .
4. Ambrose, Gavin; et al. (2006). Основы типографики (2-е изд.). Лозанна: AVA Publishing. стр. 74. ISBN 978-2-940411-76-4. Архивировано из оригинала 2016-03-04 . Получено 2016-02-20 ..
5. Cajori (1928), "275. Солидус", стр. 312–314
6. Bringhurst, Robert (2002). "5.2.5: Используйте косую черту со словами и датами, солидус с дробями разного уровня". Элементы типографского стиля (3-е изд.). Point Roberts : Hartley & Marks. стр. 81–82. ISBN 978-0-88179-206-5.
7. "virgule, сущ. ". Оксфордский словарь английского языка (1-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. 1917.
8. "solidus, n. ¹ ". Оксфордский словарь английского языка (1-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. 1913.
9. Истердей, Кеннет Э. (зима 1982 г.). «Сто пятьдесят лет вульгарных дробей». Contemporary Education . 53 (2): 83–88. ProQuest  1291644250.
10. Дэвид Э. Смит (1 июня 1958 г.). История математики. Courier Corporation. стр. 219. ISBN 978-0-486-20430-7.
11. Перри, Оуэн; Перри, Джойс (1981). «Глава 2: Обыкновенные дроби». Математика I. Palgrave Macmillan UK. стр. 13–25. doi :10.1007/978-1-349-05230-1_2.
12. Джек Уильямс (19 ноября 2011 г.). Роберт Рекорд: полимат Тюдоров, толкователь и практик вычислений. Springer Science & Business Media. стр. 87–. ISBN 978-0-85729-862-1.
13. Record, Robert (1654). Record's Arithmetick: Or, the Ground of Arts: Teaching the Perfect Work and Practise of Arithmetick ... Создано г-ном Робертом Record ... Впоследствии дополнено г-ном Джоном Ди. И с тех пор расширено третьей частью правил практики ... Джоном Меллисом. И теперь тщательно прочитано, исправлено ... и расширено; с приложением фигуративных чисел ... с таблицами мер доски и бревна ... первая рассчитана RC, но исправлена, а последняя ... рассчитана Ro. Hartwell ... James Flesher, и продается Эдвардом Додом. стр. 266–.
14. Лорел Бреннер; Петерсон (31 марта 2004 г.). «Спросите доктора Математики: Могут ли отрицательные дроби быть правильными или неправильными?». Форум по математике . Архивировано из оригинала 9 ноября 2014 г. Получено 2014-10-30 .
15. "Правильная дробь". New England Compact Math Resources . Архивировано из оригинала 2012-04-15 . Получено 2011-12-31 .
16. Грир, А. (1986). Новая всеобъемлющая математика для уровня «О» (2-е изд., переиздание). Cheltenham: Thornes. стр. 5. ISBN 978-0-85950-159-0. Архивировано из оригинала 2019-01-19 . Получено 2014-07-29 .
17. Келли, В. Майкл (2004). Полный идиотский путеводитель по алгебре. Penguin. стр. 25. ISBN 9781592571611.
18. Вингард-Нельсон, Ребекка (2014). Ready for Fractions and Decimals . Enslow. стр. 14. ISBN 978-0-7660-4247-6. Когда вы читаете смешанное число вслух, вы произносите целое число, слово и , затем дробь. Смешанное число ⁠2+1/4⁠ читается как два и одна четвертая .
19. Wu, Hung-Hsi (2011). Понимание чисел в математике начальной школы . Американское математическое общество. §14.3 Смешанные числа, стр. 225–227. ISBN 978-0-8218-5260-6.
20. Гардинер, Тони (2016). Преподавание математики на среднем уровне . Серия OBP по математике. Open Book Publishers. стр. 89. doi : 10.11647/OBP.0071 . ISBN 9781783741373.
21. Ли, Мэри А.; Месснер, Шелли Дж. (2000). «Анализ конкатенаций и порядок операций в письменной математике». Школьная наука и математика . 100 (4): 173–180. doi :10.1111/j.1949-8594.2000.tb17254.x. ProQuest  195210281. Студенты колледжей имеют многолетний опыт обучения в средней школе и, возможно, в колледже, в котором умножение было подразумеваемой операцией в конкатенациях, таких как 4 x , с небольшим опытом работы в классе со смешанными числами, так что для них, возвращаясь к смешанным формам чисел, они применяют свои последние знания об умножении как подразумеваемой операции в конкатенации к «новой» ситуации смешанных чисел.
22. Троттер, Джеймс (1853). Полная система арифметики. стр. 65.
23. Барлоу, Питер (1814). Новый математический и философский словарь.
24. "complex Fraction". Collins English Dictionary . Архивировано из оригинала 2017-12-01 . Получено 29 августа 2022 .
25. "Определение и значение сложной дроби". Collins English Dictionary . 2018-03-09. Архивировано из оригинала 2017-12-01 . Получено 2018-03-13 .
26. "Compound Fractions". Sosmath.com. 1996-02-05. Архивировано из оригинала 2018-03-14 . Получено 2018-03-13 .
27. Шенборн, Барри; Симкинс, Брэдли (2010). "8. Забавы с дробями". Техническая математика для чайников . Хобокен: Wiley Publishing Inc. стр. 120. ISBN 978-0-470-59874-0. OCLC  719886424 . Получено 28 сентября 2020 г. .
28. "Дробь". Энциклопедия математики. 2012-04-06. Архивировано из оригинала 2014-10-21 . Получено 2012-08-15 .
29. Гален, Лесли Блэквелл (март 2004 г.). «Putting Fractions in Their Place» (PDF) . American Mathematical Monthly . 111 (3): 238–242. doi :10.2307/4145131. JSTOR  4145131. Архивировано (PDF) из оригинала 2011-07-13 . Получено 2010-01-27 .
30. "built manufacturing equity". глоссарий allbusiness.com. Архивировано из оригинала 2013-05-26 . Получено 2013-06-18 .
31. "piece equity". Глоссарий allbusiness.com. Архивировано из оригинала 2013-05-21 . Получено 2013-06-18 .
32. Ивс, Говард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Филадельфия: Saunders College Pub. ISBN 978-0-03-029558-4.
33. Винклер, Питер (2004). «Использование предохранителей». Математические головоломки: Коллекция знатока . AK Peters. стр. 2, 6. ISBN 1-56881-201-9.
34. Кертис, Лоренцо Дж. (1978). «Концепция экспоненциального закона до 1900 года». American Journal of Physics . 46 (9): 896–906. Bibcode : 1978AmJPh..46..896C. doi : 10.1119/1.11512.
35. Миллер, Джефф (22 декабря 2014 г.). «Самые ранние применения различных математических символов». Архивировано из оригинала 20 февраля 2016 г. Получено 15 февраля 2016 г.
36. Filliozat, Pierre-Sylvain (2004). "Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature". В Chemla, Karine ; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen; et al. (ред.). History of Science, History of Text . Boston Series in the Philosophy of Science. Vol. 238. Dordrecht: Springer Netherlands . p. 152. doi :10.1007/1-4020-2321-9_7. ISBN 978-1-4020-2320-0.
37. Каджори, Флориан (1928). История математических обозначений. Том 1. Ла-Саль, Иллинойс: Open Court Publishing Company. стр. 269. Архивировано из оригинала 14.04.2014 . Получено 30.08.2017 .
38. Каджори (1928), стр. 89
39. A Source Book in Mathematics 1200–1800 . Нью-Джерси: Princeton University Press. 1986. ISBN 978-0-691-02397-7.
40. Die Rechenkunst bei Ğamsīd b. Масуд аль-Каши . Висбаден: Штайнер. 1951.
41. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Princeton University Press. стр. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
42. "Биография аль-Уклидиси Мактьютора". Архивировано 15 ноября 2011 г. на Wayback Machine . Получено 22 ноября 2011 г.
43. "Общие государственные стандарты по математике" (PDF) . Инициатива общих государственных стандартов. 2010. стр. 85. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-10-19 . Получено 2013-10-10 .

Внешние ссылки

• «Дробь арифметическая». Онлайн-энциклопедия математики .
• «Дробь». Энциклопедия Британника . 5 января 2024 г.