Основной разрыв

Разница между двумя последовательными простыми числами

Распределение частот простых чисел до 1,6 млрд. Пики возникают при кратности 6. ^[1]

Промежуток между простыми числами — это разница между двумя последовательными простыми числами . Промежуток между n -м простым числом, обозначаемый g _n или g ( p _n ), — это разница между ( n  + 1)-м и n -м простым числом, т.е.

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }$

Имеем g ₁ = 1, g ₂ = g ₃ = 2 и g ₄ = 4. Последовательность ( g _n ) простых промежутков была тщательно изучена; однако многие вопросы и гипотезы остаются без ответа.

Первые 60 основных пробелов:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (последовательность A001223 в OEIS ).

По определению g _n каждое простое число можно записать как

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}$

Простые наблюдения

Первый, наименьший и единственный нечетный простой промежуток — это промежуток размером 1 между 2, единственным четным простым числом, и 3, первым нечетным простым числом. Все остальные простые промежутки четные. Существует только одна пара последовательных промежутков, имеющих длину 2: промежутки g ₂ и g ₃ между простыми числами 3, 5 и 7.

Для любого целого числа n факториал n ! является произведением всех положительных целых чисел до n включительно . Тогда в последовательности

${\displaystyle n!+2,\;n!+3,\;\ldots ,\;n!+n}$

первый член делится на 2, второй член делится на 3 и т. д. Таким образом, это последовательность из n − 1 последовательных составных целых чисел, и она должна принадлежать промежутку между простыми числами, имеющему длину не менее n . Из этого следует, что существуют промежутки между простыми числами, которые являются произвольно большими, то есть для любого целого числа N существует целое число m с g _m ≥ N .

Однако простые промежутки из n чисел могут возникать при числах, намного меньших, чем n !. Например, первый простой промежуток размером больше 14 возникает между простыми числами 523 и 541, в то время как 15! — это гораздо большее число 1307674368000.

Средний разрыв между простыми числами увеличивается как натуральный логарифм этих простых чисел, и, следовательно, отношение разрыва между простыми числами к вовлеченным простым числам уменьшается (и асимптотически равно нулю). Это следствие теоремы о простых числах . С эвристической точки зрения мы ожидаем, что вероятность того, что отношение длины разрыва к натуральному логарифму больше или равно фиксированному положительному числу k, будет равна e ^{− k} ; следовательно, отношение может быть сколь угодно большим. Действительно, отношение разрыва к количеству цифр вовлеченных целых чисел увеличивается без ограничений. Это следствие результата Вестзинтиуса. ^[2]

В противоположном направлении гипотеза о простых числах-близнецах утверждает, что g _n = 2 для бесконечного множества целых чисел n .

Числовые результаты

Обычно отношение называется достоинством зазора g _n . Неформально достоинство зазора g _n можно рассматривать как отношение размера зазора к средним размерам простых зазоров в окрестности p _n . ${\textstyle {\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}}$

Самый большой известный простой промежуток с идентифицированными вероятными концами простого промежутка имеет длину 16 045 848 с 385 713-значными вероятными простыми числами и достоинством M  = 18,067, найденный Андреасом Хёглундом в марте 2024 года. ^[3] Самый большой известный простой промежуток с идентифицированными доказанными простыми числами в качестве концов промежутка имеет длину 1 113 106 и достоинством 25,90 с 18 662-значными простыми числами, найденными П. Ками, М. Янсеном и Дж. К. Андерсеном. ^{[4] [5]}

По состоянию на сентябрь 2022 года ^[update], наибольшее известное значение Merity и первое с Merity более 40, обнаруженное сетью Gapcoin, составляет 41,93878373 с 87-значным простым числом 2​9​3​7​0​3​2​3​4​0​6​8​0​2​2​5​9​0​1​5​8​7​2​3​7​6​6​1​0​4​4​1​9​4​6​3​4​2​5​7​0​9​0​7 55574811762098588798217899572888586767672881443227. Разрыв между ним и следующим простым числом составляет 8350. ^{[6] [7]}

Отношение Крамера–Шенкса–Гренвиля — это отношение g _n / (ln( p _n )) ² . ^[6] Если отбросить аномально высокие значения отношения для простых чисел 2, 3, 7, то наибольшее известное значение этого отношения равно 0,9206386 для простого числа 1693182318746371. Другие рекордные термины можно найти в OEIS : A111943 .

Мы говорим, что g _n является максимальным промежутком , если g _m < g _n для всех m < n . По состоянию на май 2024 года ^[update], наибольший известный максимальный простой промежуток имеет длину 1572, найденный Крейгом Лоизидесом. Это 82-й максимальный простой промежуток, и он следует за простым числом 18571673432051830099. ^[11] Другие рекордные (максимальные) размеры промежутков можно найти в OEIS : A005250 , с соответствующими простыми числами p _n в OEIS : A002386 , и значениями n в OEIS : A005669 . Последовательность максимальных промежутков до n-го простого числа предположительно имеет около членов ^[12] (см. таблицу ниже). ${\displaystyle 2\ln n}$

Дальнейшие результаты

Верхние границы

Постулат Бертрана , доказанный в 1852  году , утверждает _, что между k и 2k всегда существует простое число , _{поэтому} , в частности, pn ₊₁  < 2pn , что означает gn  <  _{pn .}

Теорема о простых числах , доказанная в 1896 году, гласит, что средняя длина промежутка между простым числом p и следующим простым числом будет асимптотически приближаться к ln( p ), натуральному логарифму p , для достаточно больших простых чисел. Фактическая длина промежутка может быть намного больше или меньше этой. Однако из теоремы о простых числах можно вывести верхнюю границу длины простых промежутков:

Для каждого существует число такое, что для всех ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon }$.

Можно также сделать вывод, что промежутки произвольно уменьшаются пропорционально простым числам: частное

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

Хохайзель (1930) был первым, кто показал ^[13] , что существует константа θ < 1 такая, что

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,}$

следовательно, показывая, что

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },\,}$

для достаточно большого  n .

Хохайзель получил возможное значение 32999/33000 для θ . Это значение было улучшено до 249/250 Хейльбронном [ ^14] и до θ = 3/4 + ε для любого ε > 0 Чудаковым [ ^15] .

Значительное улучшение было достигнуто благодаря Ингаму ^[16], который показал, что для некоторой положительной константы c ,

если тогда для любого ${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$ ${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}}$ ${\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}$

Здесь O относится к большой нотации O , ζ обозначает дзета-функцию Римана , а π — функцию подсчета простых чисел . Зная, что любое c > 1/6 допустимо, получаем, что θ может быть любым числом больше 5/8.

Непосредственным следствием результата Ингама является то, что всегда существует простое число между n ³ и ( n  + 1) ³ , если n достаточно велико. ^[17] Гипотеза Линделёфа подразумевает, что формула Ингама верна для c любого положительного числа: но даже этого было бы недостаточно, чтобы подразумевать, что существует простое число между n ² и ( n  + 1) ² для достаточно большого n (см. гипотезу Лежандра ). Чтобы проверить это, нужен более сильный результат, такой как гипотеза Крамера .

Хаксли в 1972 году показал, что можно выбрать θ = 7/12 = 0,58(3). ^[18]

Результат, полученный Бейкером, Харманом и Пинцем в 2001 году, показывает, что θ можно принять равным 0,525. ^[19]

В 2005 году Дэниел Голдстон , Янош Пинц и Джем Йылдырым доказали, что

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

и 2 года спустя улучшил это ^[20] до

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$

В 2013 году Итан Чжан доказал, что

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}$

Это означает, что существует бесконечно много пробелов, которые не превышают 70 миллионов. ^[21] Совместные усилия проекта Polymath по оптимизации границы Чжана позволили снизить границу до 4680 20 июля 2013 года. ^[22] В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард представил новое уточнение решета GPY , что позволило ему снизить границу до 600 и показать, что для любого m существует ограниченный интервал с бесконечным числом переводов, каждый из которых содержит m простых чисел. ^[23] Используя идеи Мейнарда, проект Polymath улучшил границу до 246; ^{[22] [24]} предполагая гипотезу Эллиотта–Халберстама и ее обобщенную форму, граница была снижена до 12 и 6 соответственно. ^[22]

Нижние границы

В 1931 году Эрик Вестзинтиус доказал, что максимальные промежутки между простыми числами растут более чем логарифмически. То есть, ^[2]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

В 1938 году Роберт Рэнкин доказал существование константы c  > 0 такой, что неравенство

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

справедливо для бесконечного числа значений n , улучшая результаты Вестзинтиуса и Пола Эрдёша . Позднее он показал, что можно взять любую константу c  <  e ^γ , где γ — константа Эйлера–Маскерони . Значение константы c было улучшено в 1997 году до любого значения, меньшего 2 e ^γ . ^[25]

Пол Эрдёш предложил премию в размере 10 000 долларов за доказательство или опровержение того, что константа c в приведенном выше неравенстве может быть взята произвольно большой. ^[26] Это было доказано в 2014 году Фордом–Грином–Конягиным–Тао и, независимо, Джеймсом Мейнардом. ^{[27] [28]}

Результат был улучшен еще больше

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

для бесконечного числа значений n по Форду–Грину–Конягину–Мейнарду–Тао. ^[29]

В духе первоначальной премии Эрдёша Теренс Тао предложил 10 000 долларов США за доказательство того, что c может быть взято произвольно большим в этом неравенстве. ^[30]

Также были определены нижние границы для цепочек простых чисел. ^[31]

Предположения о пробелах между простыми числами

Функция простого разрыва

Еще лучшие результаты возможны при гипотезе Римана . Харальд Крамер доказал ^[32] , что гипотеза Римана подразумевает, что зазор g _n удовлетворяет

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}$

используя большую нотацию O. (На самом деле этот результат нуждается только в более слабой гипотезе Линделёфа , если можно допустить бесконечно большую экспоненту. ^[33] ) Позже он предположил, что промежутки еще меньше. Грубо говоря, гипотеза Крамера утверждает, что

${\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right)\!.}$

Гипотеза Фирузбахта утверждает, что (где n- е простое число) является строго убывающей функцией n , т.е. ${\displaystyle p_{n}^{1/n}\!}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}\!<p_{n}^{1/n}{\text{ for all }}n\geq 1.}$

Если эта гипотеза верна, то функция удовлетворяет ^[34] Это подразумевает сильную форму гипотезы Крамера, но не согласуется с эвристикой Гранвиля и Пинца ^{[35] [36] [37]} , которые предполагают, что бесконечно часто для любого , где обозначает постоянную Эйлера–Маскерони . ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ for all }}n>4.}$ ${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \gamma }$

Между тем, гипотеза Оппермана слабее гипотезы Крамера. Ожидаемый размер разрыва с гипотезой Оппермана составляет порядка

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

В результате, согласно гипотезе Оппермана, существует (вероятно ), для которого каждое натуральное число удовлетворяет ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=30}$ ${\displaystyle n>m}$ ${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

Гипотеза Андрицы , которая является более слабой, чем гипотеза Оппермана, утверждает, что ^[38]

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Это небольшое усиление гипотезы Лежандра о том, что среди последовательныx квадратных чисел всегда есть простое число.

Гипотеза Полиньяка утверждает, что каждое положительное четное число k встречается как простой промежуток бесконечно часто. Случай k  = 2 — это гипотеза о близнецах простых чисел . Гипотеза пока не доказана и не опровергнута ни для одного конкретного значения  k , но улучшения результата Чжана, обсуждаемые выше, доказывают, что она верна по крайней мере для одного (в настоящее время неизвестного) значения k  ≤ 246.

Как арифметическая функция

Разрыв g _n между n -м и ( n  + 1)-м простыми числами является примером арифметической функции . В этом контексте он обычно обозначается d _n и называется функцией разности простых чисел. ^[38] Функция не является ни мультипликативной , ни аддитивной .

Смотрите также

• Математический портал

• Неравенство Бонса
• Гауссовский ров
• Твин-прайм

Ссылки

1. Арес, Саул; Кастро, Марио (1 февраля 2006 г.). «Скрытая структура в случайности последовательности простых чисел?». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 360 (2): 285–296. arXiv : cond-mat/0310148 . Bibcode :2006PhyA..360..285A. doi :10.1016/j.physa.2005.06.066. S2CID  16678116.
2. Westzynthius, E. (1931), «Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind», Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (на немецком языке), 5 : 1–37, JFM  57.0186.02, Zbl  0003.24601.
3. ATH (11 марта 2024 г.). "Объявление на Mersenneforum.org". Mersenneforum.org . Архивировано из оригинала 12 марта 2024 г.
4. Андерсен, Йенс Крузе. «Топ-20 Prime Gaps». Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 г. Получено 13 июня 2014 г.
5. Андерсен, Йенс Крузе (8 марта 2013 г.). «Мегаразрыв с достоинством 25,9». primerecords.dk . Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 г. . Получено 29 сентября 2022 г. .
6. Nicely, Thomas R. (2019). "NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT". Faculty.lynchburg.edu . Архивировано из оригинала 30 апреля 2021 г. . Получено 29 сентября 2022 г. .
7. "Prime Gap Records". GitHub . 11 июня 2022 г.
8. "Record prime gap info". ntheory.org . Архивировано из оригинала 13 октября 2016 г. Получено 29 сентября 2022 г.
9. Nicely, Thomas R. (2019). "ТАБЛИЦЫ ПЕРВИЧНЫХ ПРОБЕЛОВ". Faculty.lynchburg.edu . Архивировано из оригинала 27 ноября 2020 г. . Получено 29 сентября 2022 г. .
10. "Top 20 general virtues". Prime gap list . Архивировано из оригинала 27 июля 2022 г. Получено 29 сентября 2022 г.
11. Андерсен, Йенс Крузе. "Record prime gaps" . Получено 9 мая 2024 г. .
12. Курбатов, А.; Вольф, М. (2020). «О первых появлениях пробелов между простыми числами в классе остатков». Журнал целочисленных последовательностей . 23 (статья 20.9.3). arXiv : 2002.02115 . MR  4167933. S2CID  211043720. Zbl  1444.11191. Архивировано из оригинала 12 апреля 2021 г. Получено 3 декабря 2020 г.
13. Хохайзель, Г. (1930). «Основная проблема анализа». Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . 33 : 3–11. ЖФМ  56.0172.02.
14. Хайльбронн, HA (1933). «Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel». Mathematische Zeitschrift . 36 (1): 394–423. дои : 10.1007/BF01188631. ЯФМ  59.0947.01. S2CID  123216472.
15. Чудаков, Н.Г. (1936). «О разнице между двумя соседними простыми числами». Мат. сб . 1 : 799–814. Zbl  0016.15502.
16. Ингхэм, AE (1937). «О различии между последовательными простыми числами». Quarterly Journal of Mathematics . Oxford Series. 8 (1): 255–266. Bibcode : 1937QJMat...8..255I. doi : 10.1093/qmath/os-8.1.255.
17. Чэн, Юань-Ю Фу-Руй (2010). «Явная оценка простых чисел между последовательными кубами». Rocky Mt. J. Math . 40 : 117–153. arXiv : 0810.2113 . doi : 10.1216/rmj-2010-40-1-117. S2CID  15502941. Zbl  1201.11111.
18. Хаксли, МН (1972). «О различии между последовательными простыми числами». Inventiones Mathematicae . 15 (2): 164–170. Bibcode : 1971InMat..15..164H. doi : 10.1007/BF01418933. S2CID  121217000.
19. Бейкер, RC; Харман, G.; Пинц, J. (2001). «Разница между последовательными простыми числами, II». Труды Лондонского математического общества . 83 (3): 532–562. CiteSeerX 10.1.1.360.3671 . doi :10.1112/plms/83.3.532. S2CID  8964027. 
20. Голдстон, Дэниел А.; Пинц, Янош; Йылдырым, Джем Ялчин (2010). «Простые числа в кортежах II». Акта Математика . 204 (1): 1–47. arXiv : 0710.2728 . дои : 10.1007/s11511-010-0044-9. S2CID  7993099.
21. Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Annals of Mathematics . 179 (3): 1121–1174. doi : 10.4007/annals.2014.179.3.7 . MR  3171761.
22. "Ограниченные промежутки между простыми числами". Polymath. Архивировано из оригинала 28 февраля 2020 г. Получено 21 июля 2013 г.
23. Мейнард, Джеймс (2015). «Маленькие промежутки между простыми числами». Annals of Mathematics . 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . doi : 10.4007/annals.2015.181.1.7. MR  3272929. S2CID  55175056.
24. DHJ Polymath (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие много простых чисел». Исследования в области математических наук . 1 (12). arXiv : 1407.4897 . doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . MR  3373710. S2CID  119699189.
25. Pintz, J. (1997). «Очень большие промежутки между последовательными простыми числами». J. Number Theory . 63 (2): 286–301. doi : 10.1006/jnth.1997.2081 .
26. Эрдеш, Пол; Боллобас, Бела; Томасон, Эндрю, ред. (1997). Комбинаторика, геометрия и вероятность: дань уважения Полу Эрдешу. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 9780521584722. Архивировано из оригинала 29 сентября 2022 г. . Получено 29 сентября 2022 г. .
27. Форд, Кевин; Грин, Бен; Конягин, Сергей; Тао, Теренс (2016). «Большие промежутки между последовательными простыми числами». Ann. of Math. 183 (3): 935–974. arXiv : 1408.4505 . doi :10.4007/annals.2016.183.3.4. MR  3488740. S2CID  16336889.
28. Мейнард, Джеймс (2016). «Большие промежутки между простыми числами». Ann. of Math. 183 (3): 915–933. arXiv : 1408.5110 . doi :10.4007/annals.2016.183.3.3. MR  3488739. S2CID  119247836.
29. Форд, Кевин; Грин, Бен; Конягин, Сергей; Мейнард, Джеймс; Тао, Теренс (2018). «Длинные промежутки между простыми числами». J. Amer. Math. Soc. 31 (1): 65–105. arXiv : 1412.5029 . doi :10.1090/jams/876. MR  3718451. S2CID  14487001.
30. Тао, Теренс (16 декабря 2014 г.). «Длинные промежутки между простыми числами / Что нового». Архивировано из оригинала 9 июня 2019 г. Получено 29 августа 2019 г.
31. Форд, Кевин; Мейнард, Джеймс; Тао, Теренс (13 октября 2015 г.). «Цепочки больших промежутков между простыми числами». arXiv : 1511.04468 [math.NT].
32. Крамер, Харальд (1936). «О порядке величины разности между последовательными простыми числами». Acta Arithmetica . 2 : 23–46. doi : 10.4064/aa-2-1-23-46 .
33. Ингам, Альберт Э. (1937). «О различии между последовательными простыми числами» (PDF) . Quart. J. Math . 8 (1). Oxford: 255–266. Bibcode :1937QJMat...8..255I. doi :10.1093/qmath/os-8.1.255. Архивировано (PDF) из оригинала 5 декабря 2022 г.
34. Синха, Нилотпал Канти (2010). «О новом свойстве простых чисел, которое приводит к обобщению гипотезы Крамера». arXiv : 1010.1399 [math.NT]..
35. Гранвиль, Эндрю (1995). "Харальд Крамер и распределение простых чисел" (PDF) . Scandinavian Actuarial Journal . 1 : 12–28. CiteSeerX 10.1.1.129.6847 . doi :10.1080/03461238.1995.10413946. Архивировано (PDF) из оригинала 23 сентября 2015 г. . Получено 2 марта 2016 г. . .
36. Грэнвилл, Эндрю (1995). «Неожиданные нерегулярности в распределении простых чисел» (PDF) . Труды Международного конгресса математиков . Том 1. стр. 388–399. doi :10.1007/978-3-0348-9078-6_32. ISBN 978-3-0348-9897-3. Архивировано (PDF) из оригинала 7 мая 2016 г. . Получено 2 марта 2016 г. ..
37. Пинц, Янош (сентябрь 2007 г.). «Крамер против Крамера: о вероятностной модели Крамера для простых чисел». Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 37 (2): 232–471. дои : 10.7169/facm/1229619660 .
38. Гай (2004) §A8

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.

Дальнейшее чтение

• Soundararajan, Kannan (2007). «Маленькие промежутки между простыми числами: работа Голдстона-Пинца-Йылдырыма». Bull. Am. Math. Soc . New Series. 44 (1): 1–18. arXiv : math/0605696 . doi :10.1090/s0273-0979-06-01142-6. S2CID  119611838. Zbl  1193.11086.
• Михайлеску, Преда (июнь 2014 г.). «О некоторых гипотезах в теории аддитивных чисел» (PDF) . EMS Newsletter (92): 13–16. doi :10.4171/NEWS. hdl : 2117/17085 . ISSN  1027-488X.

Внешние ссылки

• Томас Р. Найсли, Некоторые результаты вычислительных исследований простых чисел — Вычислительная теория чисел. Этот справочный веб-сайт содержит список всех первых известных вхождений простых промежутков.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция разности простых чисел». MathWorld .
• «Функция разности простых чисел». PlanetMath .
• Армин Шамс, переосмысливая теорему Чебышева относительно гипотезы Бертрана, не использует «произвольно большую» константу, как в некоторых других сообщенных результатах.
• Крис Колдуэлл , Промежутки между простыми числами; элементарное введение
• Эндрю Грэнвилл , Простые числа в интервалах ограниченной длины; обзор результатов, полученных до настоящего момента вплоть до работы Джеймса Мейнарда от ноября 2013 года.
• Бирке Херен, [1] Здесь вы найдете большие пробелы между простыми числами и статью о том, как вычислить такие большие пробелы.