stringtranslate.com

Число Эрдёша

Пауль Эрдёш в 1992 году

Число Эрдёша ( венгерское: [ˈɛrdøːʃ] ) описывает «дистанцию ​​сотрудничества» между математиком Полом Эрдёшем и другим человеком, измеряемую авторством математических работ . Тот же принцип применялся и в других областях, где конкретный человек сотрудничал с большим и широким кругом коллег.

Обзор

Пауль Эрдёш (1913–1996) был влиятельным венгерским математиком, который в конце своей жизни проводил много времени за написанием статей с большим количеством коллег — более 500 — работая над решениями выдающихся математических проблем. [1] Он опубликовал больше статей за свою жизнь (не менее 1525 [2] ), чем любой другой математик в истории. [1] ( Леонард Эйлер опубликовал больше страниц математических работ, но меньше отдельных статей: около 800.) [3] Эрдёш провел большую часть своей карьеры, не имея постоянного дома или работы. Он путешествовал со всем своим имуществом в двух чемоданах и навещал математиков, с которыми хотел сотрудничать, часто неожиданно, и рассчитывал остаться у них. [4] [5] [6]

Идея числа Эрдёша была изначально создана друзьями математика как дань его колоссальному вкладу. Позже оно приобрело известность как инструмент для изучения того, как математики сотрудничают, чтобы найти ответы на нерешенные проблемы. Несколько проектов посвящены изучению связей между исследователями, используя число Эрдёша в качестве прокси. [7] Например, графики сотрудничества Эрдёша могут рассказать нам, как авторы группируются, как со временем меняется количество соавторов на статью или как распространяются новые теории. [8]

Несколько исследований показали, что ведущие математики, как правило, имеют особенно низкие числа Эрдёша (т. е. высокую близость). [9] Медианное число Эрдёша обладателей медали Филдса равно 3. Только 7097 (около 5% математиков с сотрудничающим путем) имеют число Эрдёша 2 или ниже. [10] С течением времени наименьшее число Эрдёша, которого все еще можно достичь, обязательно увеличится, поскольку математики с низкими числами Эрдёша умирают и становятся недоступными для сотрудничества. Тем не менее, исторические личности могут иметь низкие числа Эрдёша. Например, известный индийский математик Шриниваса Рамануджан имел число Эрдёша всего 3 (через GH Hardy , число Эрдёша 2), хотя Полу Эрдёшу было всего 7 лет, когда Рамануджан умер. [11]

Определение и применение в математике

Если Алиса сотрудничает с Полом Эрдёшем над одной статьей, а с Бобом — над другой, но Боб никогда не сотрудничает с самим Эрдёшем, то Алисе дается число Эрдёша 1, а Бобу дается число Эрдёша 2, так как он находится на два шага от Эрдёша.

Чтобы получить число Эрдёша, кто-то должен быть соавтором исследовательской работы с другим человеком, у которого конечное число Эрдёша. Самому Полу Эрдёшу присвоено число Эрдёша, равное нулю. Число Эрдёша определенного автора на единицу больше наименьшего числа Эрдёша любого из его соавторов; например, автор, который был соавтором публикации с Эрдёшем, будет иметь число Эрдёша, равное 1. Американское математическое общество предоставляет бесплатный онлайн-инструмент для определения расстояния сотрудничества между двумя авторами-математиками, указанными в каталоге Mathematical Reviews . [11]

Эрдёш написал около 1500 математических статей за свою жизнь, в основном в соавторстве. У него было 509 прямых соавторов; [7] это люди с числом Эрдёша 1. Люди, которые сотрудничали с ними (но не с самим Эрдёшем), имеют число Эрдёша 2 (12 600 человек по состоянию на 7 августа 2020 года [12] ), те, кто сотрудничал с людьми, у которых число Эрдёша 2 (но не с Эрдёшем или кем-либо с числом Эрдёша 1), имеют число Эрдёша 3 и так далее. Человек, у которого нет такой цепочки соавторства, соединяющей с Эрдёшем, имеет число Эрдёша, равное бесконечности (или неопределенное ). После смерти Пола Эрдёша наименьшее число Эрдёша, которое может получить новый исследователь, равно 2.

Существует место для двусмысленности относительно того, что представляет собой связь между двумя авторами. Калькулятор расстояния сотрудничества Американского математического общества использует данные из Mathematical Reviews , который включает большинство математических журналов, но охватывает другие предметы лишь ограниченно, и который также включает некоторые неисследовательские публикации. На веб-сайте Erdős Number Project говорится:

... Одним из недостатков системы MR является то, что она рассматривает все совместно написанные работы как предоставляющие законные ссылки, даже такие статьи, как некрологи, которые на самом деле не являются совместными исследованиями. ... [13]

Там также говорится:

... Наш критерий для включения ребра между вершинами u и v — это некоторое исследовательское сотрудничество между ними, приводящее к опубликованной работе. Разрешается любое количество дополнительных соавторов,...

но исключает неисследовательские публикации, такие как элементарные учебники, совместные редакции, некрологи и т. п. «Число Эрдёша второго рода» ограничивает присвоение чисел Эрдёша статьям только с двумя соавторами. [14]

Число Эрдёша, скорее всего, впервые было определено в печати Каспером Гоффманом, аналитиком , чьё собственное число Эрдёша равно 2. [12] Гоффман опубликовал свои наблюдения о плодотворном сотрудничестве Эрдёша в статье 1969 года под названием « А какое у вас число Эрдёша? » [15] См. также некоторые комментарии в некрологе Михаэля Голомба. [16]

Медианное число Эрдёша среди обладателей медалей Филдса составляет всего 3. [10] Среди обладателей медалей Филдса с числом Эрдёша 2: Атле Сельберг , Кунихико Кодайра , Клаус Рот , Алан Бейкер , Энрико Бомбьери , Дэвид Мамфорд , Чарльз Фефферман , Уильям Терстон , Шинг-Тунг Яу , Жан Бургейн , Ричард Борчердс , Манджул Бхаргава , Жан-Пьер Серр и Теренс Тао . Среди обладателей медалей Филдса с числом Эрдёша 1 нет; [17] однако Эндре Семереди является лауреатом Абелевской премии с числом Эрдёша 1. [9]

Наиболее частые сотрудники Эрдеша

Хотя Эрдёш сотрудничал с сотнями соавторов, были некоторые люди, с которыми он был соавтором десятков статей. Это список десяти человек, которые чаще всего были соавторами Эрдёша, и количество их статей, написанных в соавторстве с Эрдёшем (т.е. количество их совместных работ). [18]

Связанные поля

По состоянию на 2022 год все лауреаты премии Филдса имеют конечное число Эрдёша со значениями от 2 до 6 и медианой 3. Напротив, медианное число Эрдёша среди всех математиков (с конечным числом Эрдёша) равно 5 с экстремальным значением 13. [19] В таблице ниже обобщена статистика чисел Эрдёша для лауреатов Нобелевской премии по физике, химии, медицине и экономике. [20] В первом столбце указано количество лауреатов. Во втором столбце указано количество победителей с конечным числом Эрдёша. В третьем столбце указан процент победителей с конечным числом Эрдёша. В остальных столбцах указаны минимальное, максимальное, среднее и медианное числа Эрдёша среди этих лауреатов.

Физика

Среди лауреатов Нобелевской премии по физике Альберт Эйнштейн и Шелдон Глэшоу имеют число Эрдёша 2. Лауреатами Нобелевской премии с числом Эрдёша 3 являются Энрико Ферми , Отто Штерн , Вольфганг Паули , Макс Борн , Уиллис Э. Лэмб , Юджин Вигнер , Ричард П. Фейнман , Ганс А. Бете , Мюррей Гелл-Манн , Абдус Салам , Стивен Вайнберг , Норман Ф. Рэмси , Фрэнк Вильчек , Дэвид Уайнленд и Джорджио Паризи . Лауреат премии Филдса физик Эд Виттен имеет число Эрдёша 3. [10]

Биология

У биолога-вычислителя Лиора Пахтера число Эрдёша равно 2. [21] У биолога-эволюциониста Ричарда Ленски число Эрдёша равно 3, так как он был соавтором публикации с Лиором Пахтером и математиком Берндом Штурмфельсом , у каждого из которых число Эрдёша равно 2. [22]

Финансы и экономика

Есть по крайней мере два лауреата Нобелевской премии по экономике с числом Эрдёша 2: Гарри М. Марковиц (1990) и Леонид Канторович (1975). Другие финансовые математики с числом Эрдёша 2 включают Дэвида Донохо , Марка Йора , Генри Маккина , Дэниела Струк и Джозефа Келлера .

Лауреатами Нобелевской премии по экономике с числом Эрдёша 3 являются Кеннет Дж. Эрроу (1972), Милтон Фридман (1976), Герберт А. Саймон (1978), Жерар Дебре (1983), Джон Форбс Нэш-младший (1994), Джеймс Миррлис (1996), Дэниел Макфадден (2000), Дэниел Канеман (2002), Роберт Дж. Ауманн (2005), Леонид Гурвич (2007), Роджер Майерсон (2007), Элвин Э. Рот (2012), а также Ллойд С. Шепли (2012) и Жан Тироль (2014). [23]

Некоторые инвестиционные компании были основаны математиками с низким числом Эрдёша, среди них Джеймс Б. Акс из Axcom Technologies и Джеймс Х. Саймонс из Renaissance Technologies , оба с числом Эрдёша 3. [24] [25]

Философия

Поскольку более формальные версии философии разделяют рассуждения с основами математики, эти области в значительной степени пересекаются, и числа Эрдёша доступны для многих философов. [26] Философы Джон П. Берджесс и Брайан Скирмс имеют число Эрдёша 2. [12] Джон Барвайз и Джоэл Дэвид Хэмкинс , оба с числом Эрдёша 2, также внесли большой вклад в философию, но в первую очередь их называют математиками.

Закон

Число Эрдёша судьи Ричарда Познера , работавшего в соавторстве с Элвином Э. Ротом , не превышает 4. Число Эрдёша Роберто Мангабейры Унгера , политика, философа и теоретика права, преподающего в Гарвардской школе права, не превышает 4, работавшего в соавторстве с Ли Смолином .

Политика

У Ангелы Меркель , канцлера Германии с 2005 по 2021 год, число Эрдёша не превышает 5. [17]

Инженерное дело

Некоторые области техники, в частности, теория связи и криптография , напрямую используют дискретную математику, отстаиваемую Эрдёшем. Поэтому неудивительно, что у практиков в этих областях низкие числа Эрдёша. Например, у Роберта МакЭлиса , профессора электротехники в Калтехе , число Эрдёша было равно 1, так как он сотрудничал с самим Эрдёшем. [27] Криптографы Рон Ривест , Ади Шамир и Леонард Адлеман , изобретатели криптосистемы RSA , все имеют число Эрдёша 2. [21]

Лингвистика

Румынский математик и специалист по вычислительной лингвистике Соломон Маркус имел число Эрдёша 1 за статью в Acta Mathematica Hungarica , которую он написал в соавторстве с Эрдёшем в 1957 году. [28]

Влияние

Пол Эрдёш в 1985 году в Университете Аделаиды обучает Теренса Тао , которому тогда было 10 лет. Тао стал профессором математики в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе , получил медаль Филдса в 2006 году и был избран членом Королевского общества в 2007 году. Его число Эрдёша — 2.

Числа Эрдёша были частью фольклора математиков по всему миру в течение многих лет. Среди всех работающих математиков на рубеже тысячелетий, имеющих конечное число Эрдёша, числа варьируются до 15, медиана равна 5, а среднее значение равно 4,65; [7] почти у всех, у кого конечное число Эрдёша, число меньше 8. Из-за очень высокой частоты междисциплинарного сотрудничества в науке сегодня, очень большое количество нематематиков во многих других областях науки также имеют конечные числа Эрдёша. [29] Например, у политолога Стивена Брамса число Эрдёша равно 2. В биомедицинских исследованиях статистики часто оказываются среди авторов публикаций, и многих статистиков можно связать с Эрдёшем через Джона Тьюки , у которого число Эрдёша равно 2. Аналогичным образом, выдающийся генетик Эрик Ландер и математик Дэниел Клейтман сотрудничали в написании статей, [30] [31] и поскольку у Клейтмана число Эрдёша равно 1, [32] большая часть сообщества генетиков и геномиков может быть связана через Ландера и его многочисленных коллег. Аналогичным образом, сотрудничество с Густавусом Симмонсом открыло двери для чисел Эрдёша в криптографическом исследовательском сообществе, и многие лингвисты имеют конечные числа Эрдёша, многие из которых являются результатом цепочек сотрудничества с такими известными учёными, как Ноам Хомский (число Эрдёша 4), [33] Уильям Лабов (3), [34] Марк Либерман (3), [35] Джеффри Пуллум (3), [36] или Иван Саг (4). [37] Также есть связи с областями искусства . [38]

По словам Алекса Лопеса-Ортиса, все лауреаты премий Филдса и Неванлинны за три цикла с 1986 по 1994 год имеют число Эрдёша не более 9.

Ранние математики публиковали меньше статей, чем современные, и реже публиковали совместно написанные статьи. Самым ранним человеком, у которого, как известно, было конечное число Эрдёша, был Антуан Лавуазье (родился в 1743 году, число Эрдёша 13), Рихард Дедекинд (родился в 1831 году, число Эрдёша 7) или Фердинанд Георг Фробениус (родился в 1849 году, число Эрдёша 3), в зависимости от стандарта соответствия публикации. [39]

Мартин Томпа [40] предложил версию проблемы числа Эрдёша в виде направленного графа , ориентируя ребра графа сотрудничества от автора, стоящего в алфавитном порядке раньше, к автору, стоящему в алфавитном порядке позже, и определяя монотонное число Эрдёша автора как длину самого длинного пути от Эрдёша до автора в этом направленном графе. Он находит путь такого типа длиной 12.

Также Майкл Барр предлагает «рациональные числа Эрдёша», обобщая идею о том, что человеку, написавшему p совместных работ с Эрдёшем, следует присвоить число Эрдёша 1/ p . [41] Из мультиграфа сотрудничества второго рода (хотя у него также есть способ справиться со случаем первого рода) — с одним ребром между двумя математиками для каждой совместной работы, которую они создали — образуется электрическая сеть с резистором в один Ом на каждом ребре. Общее сопротивление между двумя узлами говорит о том, насколько «близки» эти два узла.

Утверждалось, что «для отдельного исследователя такая мера, как число Эрдёша, отражает структурные свойства сети, тогда как индекс Хирша отражает цитируемость публикаций», и что «можно легко убедиться, что ранжирование в сетях соавторства должно учитывать оба показателя для создания реалистичного и приемлемого ранжирования». [42]

В 2004 году Уильям Тозиер, математик с числом Эрдёша 4, выставил на аукцион eBay соавторство , тем самым предоставив покупателю число Эрдёша 5. Победившая ставка в размере 1031 доллара была размещена испанским математиком, который отказался платить и сделал ставку только для того, чтобы остановить то, что он посчитал издевательством. [43] [44]

Вариации

Было предложено несколько вариаций этой концепции для применения в других областях, в частности, число Бэйкона (как в игре Six Degrees of Kevin Bacon ), связывающее актеров с актером Кевином Бэконом цепочкой совместных появлений в фильмах. Оно было создано в 1994 году, через 25 лет после статьи Гоффмана о числе Эрдёша.

Небольшое количество людей связаны как с Эрдёшем, так и с Бэконом и, таким образом, имеют число Эрдёша–Бэкона , которое объединяет два числа, взяв их сумму. Одним из примеров является актриса-математик Даника Маккеллар , наиболее известная по роли Винни Купер в сериале «Чудесные годы» . Её число Эрдёша равно 4, [45] , а число Бэкона равно 2. [46]

Возможно дальнейшее расширение. Например, «число Эрдёша–Бэкона–Саббата» представляет собой сумму числа Эрдёша–Бэкона и расстояния сотрудничества с группой Black Sabbath с точки зрения пения на публике. У физика Стивена Хокинга число Эрдёша–Бэкона–Саббата было равно 8, [47], а у актрисы Натали Портман — 11 (её число Эрдёша равно 5). [48]

В шахматах число Морфи описывает связь игрока с Полом Морфи , которого широко считают величайшим шахматистом своего времени и неофициальным чемпионом мира по шахматам . [49]

В го число Сюсаку описывает связь игрока с Хонинбо Сюсаку, сильнейшим игроком своего времени. [ 50] [51]

В видеоиграх номер Рю описывает связь персонажа видеоигры с персонажем Street Fighter Рю. [52] [53]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Newman, Mark EJ (2001). «Структура сетей научного сотрудничества». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 98 (2): 404–409. doi : 10.1073/pnas.021544898 . PMC  14598. PMID  11149952 .
  2. ^ Гроссман, Джерри. "Публикации Пола Эрдёша" . Получено 1 февраля 2011 г.
  3. ^ "Часто задаваемые вопросы". Архив Эйлера . Дартмутский колледж.
  4. ↑ Кофилд, Калла (26 марта 2013 г.). «Произвольное число лет со дня рождения математика Пола Эрдёша». Scientific American .
  5. ↑ Краутхаммер, Чарльз (27 сентября 1996 г.). «Пол Эрдос» ( файл PostScript ) . The Washington Post . стр. A25.Файл доступен в формате HTML через Solipsys
  6. ^ Бруно, Леонард К. (2003) [1999]. Математика и математики: история математических открытий по всему миру . Бейкер, Лоуренс В. Детройт, Мичиган: UX L. ISBN 978-0787638139. OCLC  41497065.
  7. ^ abc «Факты о числах Эрдёша и графе сотрудничества». Оклендский университет.
  8. ^ "Факты о числах Эрдёша и графе сотрудничества". Проект чисел Эрдёша . Оклендский университет.
  9. ^ ab De Castro, Rodrigo; Grossman, Jerrold W. (1999). "Знаменитые тропы к Полу Эрдёшу" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 21 (3): 51–63. doi :10.1007/BF03025416. MR  1709679. S2CID  120046886. Архивировано из оригинала (PDF) 24.09.2015.Оригинальная испанская версия в преп. акад. Колумбиана Сиенс. Точный. Фис. Природа. 23 (89) 563–582, 1999, МР 1744115.
  10. ^ abc "Некоторые известные люди с конечными числами Эрдёша". oakland.edu . Получено 4 апреля 2014 г.
  11. ^ ab "Расстояние сотрудничества". MathSciNet . Американское математическое общество.
  12. ^ abc Erdos2, Версия 2020, 7 августа 2020 г.
  13. ^ "Вычислите число Эрдёша - Проект по числу Эрдёша". Оклендский университет . 1999-02-22 . Получено 2022-10-15 .
  14. ^ Гроссман и др. «Числа Эрдёша второго рода» в книге « Факты о числах Эрдёша и графе сотрудничества» . Проект по числам Эрдёша, Оклендский университет , США. Получено 25 июля 2009 г.
  15. ^ Гоффман, Каспер (1969). «А каково ваше число Эрдёша?». American Mathematical Monthly . 76 (7): 791. doi :10.2307/2317868. JSTOR  2317868.
  16. ^ "Пол Эрдеш в Purdue". www.math.purdue.edu .
  17. ^ ab "Пути к Эрдёшу". Проект по числу Эрдёша . Оклендский университет.
  18. ^ Гроссман, Джерри, Erdos0p, Версия 2010, Проект чисел Эрдёша , Оклендский университет , США, 20 октября 2010 г.
  19. ^ «Факты о числах Эрдёша и графе сотрудничества — Проект чисел Эрдёша — Оклендский университет». wwwp.oakland.edu . Получено 27 октября 2016 г.
  20. ^ Лопес де Прадо, Маркос (2016). «Математика и экономика: проверка реальности». Журнал управления портфелем . 43 (1): 5–8. дои : 10.3905/jpm.2016.43.1.005. S2CID  219231926.
  21. ^ ab "Список всех людей с числом Эрдёша меньше или равно 2". Проект "Число Эрдёша " . Оклендский университет. 14 июля 2015 г. Получено 25 августа 2015 г.
  22. ↑ Ричард Ленски (28 мая 2015 г.). «Эрдёш с некошерной стороной бекона».
  23. ^ Гроссман, Дж. (2015): «Проект чисел Эрдеша». http://wwwp.oakland.edu/enp/erdpaths/
  24. ^ Кишан, Сайджел (11.11.2016). «Шесть степеней кванта: Кевин Бэкон и тайна числа Эрдёша». Bloomberg.com . Получено 12.11.2016 .
  25. ^ Бейли, Дэвид Х. (2016-11-06). «Числа Эрдёша: Правдивая история «Принца и нищего»». The Mathematical Investor . Получено 2016-11-12 .
  26. ^ Тоби Хэндфилд. "Философские исследовательские сети" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-02-21.
  27. ^ Эрдёш, Пол; МакЭлис, Роберт Джеймс; Тейлор, Герберт (1971). «Границы Рамсея для графовых произведений» (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 37 (1): 45–46. doi : 10.2140/pjm.1971.37.45 .
  28. ^ Эрдеш, Пол ; Маркус, Соломон (1957). «Sur la decomposition de l'espace euclidien ensembles homogenes» [О разложении евклидова пространства на однородные множества]. Acta Mathematica Hungarica . 8 (3–4): 443–452. дои : 10.1007/BF02020326. MR  0095456. S2CID  121671198.
  29. ^ Гроссман, Джерри. "Некоторые известные люди с конечными числами Эрдёша" . Получено 1 февраля 2011 г.
  30. ^ Pachter, L; Batzoglou, S; Spitkovsky, VI; Banks, E; Lander, ES; Kleitman, DJ; Berger, B (1999). «Подход на основе словаря для аннотации генов». J Comput Biol . 6 (3–4): 419–30. doi :10.1089/106652799318364. PMID  10582576.
  31. ^ Клейтман, Дэниел . «Публикации с 1980 года более или менее». Массачусетский технологический институт .
  32. ^ Эрдёш, Пол ; Клейтман, Дэниел (апрель 1971 г.). «О коллекциях подмножеств, не содержащих 4-членную булеву алгебру» (PDF) . Труды Американского математического общества . 28 (1): 87–90. doi :10.2307/2037762. JSTOR  2037762.
  33. ^ фон Финтель, Кай (2004). «Мое число Эрдёша — 8». Semantics, Inc. Архивировано из оригинала 23 августа 2006 г.
  34. ^ "У Аарона Динкина есть веб-сайт?". Ling.upenn.edu . Получено 29-08-2010 .
  35. ^ "Домашняя страница Марка Либермана". Ling.upenn.edu . Получено 29-08-2010 .
  36. ^ "Кристофер Поттс: Разное". Stanford.edu . Получено 29-08-2010 .
  37. ^ "Bob's Erdős Number". Lingo.stanford.edu. Архивировано из оригинала 2016-04-05 . Получено 2010-08-29 .
  38. ^ Боуэн, Джонатан П .; Уилсон, Робин Дж. (10–12 июля 2012 г.). «Визуализация виртуальных сообществ: от Эрдёша до искусств». В Данн, Стюарт; Боуэн, Джонатан П.; Нг, Киа (ред.). EVA London 2012: Электронная визуализация и искусство . Электронные семинары по вычислениям. Британское компьютерное общество . стр. 238–244.
  39. ^ «Пути к Эрдёшу — Проект по числам Эрдёша — Оклендский университет». oakland.edu .
  40. ^ Томпа, Мартин (1989). «Фигура заслуг». ACM SIGACT News . 20 (1): 62–71. doi :10.1145/65780.65782. S2CID  34277380. Томпа, Мартин (1990). «Показатели заслуг: продолжение». ACM SIGACT News . 21 (4): 78–81. doi :10.1145/101371.101376. S2CID  14144008.
  41. ^ Барр, Майкл. «Рациональные числа Эрдеша».
  42. ^ Кашьяп Диксит, С. Камешваран, Самип Мехта, Винаяка Пандит, Н. Вишванадхам, На пути к одновременному использованию структуры и результатов в сетях взаимодействия для ранжирования узлов Архивировано 10 ноября 2011 г. в Wayback Machine , IBM Research Report R109002, февраль 2009 г.; также опубликовано как Камешваран, С.; Пандит, В.; Мехта, С.; Вишванадхам, Н.; Диксит, К. (2010). "Ранжирование с учетом результатов в сетях взаимодействия". Труды 19-й международной конференции ACM по управлению информацией и знаниями . стр. 229–238. doi :10.1145/1871437.1871470. ISBN 978-1-4503-0099-5. S2CID  16370569.
  43. ^ Клиффорд А. Пиковер: Страсть к математике: числа, головоломки, безумие, религия и поиски реальности . Wiley, 2011, ISBN 9781118046074 , S. 33 ( отрывок , стр. 33, в Google Books ) 
  44. ^ Кларрайх, Эрика (2004). «Теорема на продажу». Science News . 165 (24): 376–377. doi :10.2307/4015267. JSTOR  4015267.
  45. ↑ Соавтор Маккеллара Линкольн Чейес опубликовал статью совместно с Эллиоттом Х. Либом , который, в свою очередь, был соавтором статьи с Дэниелом Клейтманом , соавтором Пола Эрдёша.
  46. ↑ Даника Маккеллар снималась в фильме «Год, который дрожал» (2002) с Джеймсом Кисицки, который снимался в фильме «Рассказывая ложь в Америке » (1997) с Кевином Бейконом.
  47. ^ Фишер, Лен (2016-02-17). «Каково ваше число Эрдёша–Бэкона–Саббата?». Times Higher Education . Получено 29-07-2018 .
  48. ^ Сир, Ричард (2012-09-15). «Числа Эрдёша–Бэкона–Саббата». Физический факультет, Университет Суррея . Получено 29 июля 2018 г.
  49. ^ Кингстон, Тейлор. «Your Morphy Number Is Up» (PDF) . Chesscafe . Архивировано (PDF) из оригинала 13 июня 2006 г. . Получено 9 декабря 2020 г. .
  50. ^ "Число Сюсаку" . Получено 2023-04-07 .
  51. ^ "Числа Сюсаку" . Получено 2023-04-07 .
  52. ↑ МакВертор, Майкл (22 ноября 2021 г.). «Рю и Чун-Ли из Street Fighter присоединяются к игре Ubisoft Smash Bros., Brawlhalla». Polygon . Получено 3 декабря 2022 г.
  53. ↑ Уокер, Ян (22 июня 2021 г.). «Рю из Street Fighter — это Кевин Бэйкон видеоигр». Kotaku . Получено 3 декабря 2022 г.

Внешние ссылки