Спинор

Нетензорное представление спиновой группы

Спинор, визуализируемый как вектор, направленный вдоль ленты Мёбиуса , демонстрирующий инверсию знака, когда круг («физическая система») непрерывно вращается на полный оборот в 360°. ^[a]

В геометрии и физике спиноры (произносится как «спиннер» IPA / s p ɪ n ər / ) являются элементами векторного пространства на основе комплексных чисел , которые могут быть связаны с евклидовым пространством . ^[b] Спинор преобразуется линейно, когда евклидово пространство подвергается небольшому ( бесконечно малому ) вращению, ^[c] но в отличие от геометрических векторов и тензоров , спинор преобразуется в свой отрицательный знак, когда пространство вращается на 360° (см. рисунок). Требуется поворот на 720°, чтобы спинор вернулся в исходное состояние. Это свойство характеризует спиноры: спиноры можно рассматривать как «квадратные корни» векторов (хотя это неточно и может вводить в заблуждение; их лучше рассматривать как «квадратные корни» сечений векторных расслоений — в случае внешнего алгебраического расслоения кокасательного расслоения они, таким образом, становятся «квадратными корнями» дифференциальных форм ).

Также возможно связать существенно похожее понятие спинора с пространством Минковского , в этом случае преобразования Лоренца специальной теории относительности играют роль вращений. Спиноры были введены в геометрию Эли Картаном в 1913 году. ^{[1] [d]} В 1920-х годах физики обнаружили, что спиноры необходимы для описания собственного углового момента , или «спина», электрона и других субатомных частиц. ^[e]

Спиноры характеризуются определенным способом, которым они ведут себя при вращениях. Они изменяются по-разному в зависимости не только от общего конечного вращения, но и от деталей того, как это вращение было достигнуто (непрерывным путем в группе вращений ). Существует два топологически различимых класса ( гомотопических класса ) путей через вращения, которые приводят к одному и тому же общему вращению, как показано в головоломке с трюком с поясом . Эти два неэквивалентных класса дают спинорные преобразования противоположного знака. Спиновая группа — это группа всех вращений, отслеживающая класс. ^[f] Она дважды покрывает группу вращений, поскольку каждое вращение может быть получено двумя неэквивалентными способами как конечная точка пути. Пространство спиноров по определению снабжено (комплексным) линейным представлением спиновой группы, что означает, что элементы спиновой группы действуют как линейные преобразования в пространстве спиноров, таким образом, который действительно зависит от гомотопического класса. ^[g] В математических терминах спиноры описываются двузначным проективным представлением группы вращений SO(3) .

Хотя спиноры могут быть определены исключительно как элементы пространства представления группы спинов (или ее алгебры Ли бесконечно малых вращений), они обычно определяются как элементы векторного пространства, которое несет линейное представление алгебры Клиффорда . Алгебра Клиффорда является ассоциативной алгеброй , которая может быть построена из евклидова пространства и его скалярного произведения базисно-независимым способом. И группа спинов, и ее алгебра Ли встроены в алгебру Клиффорда естественным образом, и в приложениях алгебра Клиффорда часто оказывается наиболее простой для работы. ^[h] Пространство Клиффорда работает на спинорном пространстве, а элементами спинорного пространства являются спиноры. ^[3] После выбора ортонормированного базиса евклидова пространства представление алгебры Клиффорда генерируется гамма-матрицами , матрицами, которые удовлетворяют набору канонических антикоммутационных соотношений. Спиноры — это векторы-столбцы , на которые действуют эти матрицы. Например, в трех евклидовых измерениях матрицы спина Паули представляют собой набор гамма-матриц, ^[i] а двухкомпонентные комплексные векторы-столбцы, на которые действуют эти матрицы, являются спинорами. Однако конкретное матричное представление алгебры Клиффорда, следовательно, то, что именно составляет «вектор-столбец» (или спинор), включает в себя выбор базиса и гамма-матриц существенным образом. Как представление группы спинов, эта реализация спиноров как (комплексных ^[j] ) векторов-столбцов будет либо неприводимой, если размерность нечетная, либо она разложится на пару так называемых «полуспиновых» или представлений Вейля, если размерность четная. ^[k]

Введение

Постепенное вращение можно визуализировать как ленту в пространстве. ^[l] Два постепенных вращения с различными классами, одно через 360° и одно через 720°, проиллюстрированы здесь в головоломке с трюком с поясом . Решение головоломки — это непрерывная манипуляция поясом, фиксирующая конечные точки, которая раскручивает его. Это невозможно при вращении на 360°, но возможно при вращении на 720°. Решение, показанное во второй анимации, дает явную гомотопию в группе вращений между вращением на 720° и тождественным вращением на 0°.

Объект, прикрепленный к ремням или веревкам, может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после того, как куб завершает вращение на 360°, спираль возвращается к своей первоначальной конфигурации. Ремни возвращаются к своей первоначальной конфигурации после вращения на полные 720°.

Более экстремальный пример, демонстрирующий, что это работает с любым количеством строк. В пределе кусок твердого непрерывного пространства может вращаться на месте, как это, не разрываясь и не пересекая себя

То, что характеризует спиноры и отличает их от геометрических векторов и других тензоров, тонко. Рассмотрим применение вращения к координатам системы. Ни один объект в самой системе не сдвинулся, сдвинулись только координаты, поэтому всегда будет компенсирующее изменение в этих значениях координат при применении к любому объекту системы. Например, геометрические векторы имеют компоненты, которые будут подвергаться тому же вращению, что и координаты. В более широком смысле, любой тензор, связанный с системой (например, напряжение некоторой среды), также имеет описания координат, которые корректируются для компенсации изменений в самой системе координат.

Спиноры не появляются на этом уровне описания физической системы, когда речь идет только о свойствах одного изолированного вращения координат. Скорее, спиноры появляются, когда мы представляем, что вместо одного вращения система координат постепенно ( непрерывно ) вращается между некоторой начальной и конечной конфигурацией. Для любой из знакомых и интуитивных («тензорных») величин, связанных с системой, закон преобразования не зависит от точных деталей того, как координаты пришли к своей конечной конфигурации. Спиноры, с другой стороны, построены таким образом, что делают их чувствительными к тому, как постепенное вращение координат достигло их: они демонстрируют зависимость от пути. Оказывается, что для любой конечной конфигурации координат на самом деле существуют два (« топологически ») неэквивалентных постепенных (непрерывных) вращения системы координат, которые приводят к этой же конфигурации. Эта неоднозначность называется гомотопическим классом постепенного вращения. Трюк с поясом (показанный, в котором оба конца вращаемого объекта физически привязаны к внешней точке отсчета) демонстрирует два разных вращения, одно на угол 2 π , а другое на угол 4 π , имеющие одинаковые конечные конфигурации, но разные классы. Спиноры на самом деле демонстрируют смену знака, которая действительно зависит от этого гомотопического класса. Это отличает их от векторов и других тензоров, ни один из которых не может чувствовать класс.

Спиноры могут быть представлены как конкретные объекты с использованием выбора декартовых координат . Например, в трех евклидовых измерениях спиноры могут быть построены путем выбора матриц спина Паули, соответствующих ( угловым моментам вокруг) трех осей координат. Это матрицы 2×2 с комплексными элементами, а двухкомпонентные комплексные векторы-столбцы, на которые эти матрицы действуют путем умножения матриц, являются спинорами. В этом случае группа спинов изоморфна группе унитарных матриц 2×2 с детерминантом один, которая естественным образом находится внутри матричной алгебры. Эта группа действует путем сопряжения на действительном векторном пространстве, охватываемом самими матрицами Паули, ^[m] реализуя его как группу вращений между ними, ^[n], но она также действует на векторы-столбцы (то есть спиноры).

В более общем смысле, алгебра Клиффорда может быть построена из любого векторного пространства V, снабженного (невырожденной) квадратичной формой , например, евклидово пространство с его стандартным скалярным произведением или пространство Минковского с его стандартной метрикой Лоренца. Пространство спиноров — это пространство векторов-столбцов с компонентами. Ортогональная алгебра Ли (т. е. бесконечно малые «вращения») и группа спинов, связанная с квадратичной формой, оба (канонически) содержатся в алгебре Клиффорда, поэтому каждое представление алгебры Клиффорда также определяет представление алгебры Ли и группы спинов. ^[o] В зависимости от размерности и метрической сигнатуры эта реализация спиноров как векторов-столбцов может быть неприводимой или может разлагаться на пару так называемых «полуспиновых» или представлений Вейля. ^[p] Когда векторное пространство V является четырехмерным, алгебра описывается гамма -матрицами . ${\displaystyle 2^{\lfloor \dim V/2\rfloor }}$

Математическое определение

Пространство спиноров формально определяется как фундаментальное представление алгебры Клиффорда . (Оно может распадаться на неприводимые представления, а может и не распадаться.) Пространство спиноров также может быть определено как спиновое представление ортогональной алгебры Ли . Эти спиновые представления также характеризуются как конечномерные проективные представления специальной ортогональной группы, которые не факторизуются линейными представлениями. Эквивалентно, спинор является элементом конечномерного группового представления спиновой группы , на которую центр действует нетривиально.

Обзор

По сути, существуют две точки зрения на понятие спинора: точка зрения теории представлений и геометрическая точка зрения .

Теоретическая точка зрения на представление

С точки зрения теории представлений заранее известно, что существуют некоторые представления алгебры Ли ортогональной группы , которые не могут быть образованы обычными тензорными конструкциями. Эти недостающие представления затем называются спиновыми представлениями , а их составляющие — спинорами . С этой точки зрения спинор должен принадлежать представлению двойного покрытия группы вращений SO ( n , ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или, в более общем смысле, двойного покрытия обобщенной специальной ортогональной группы SO ⁺ ( p ,  q , ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ на пространствах с метрической сигнатурой ( p ,  q ) . Эти двойные покрытия являются группами Ли , называемыми спиновыми группами Spin( n ) или Spin( p ,  q ) . Все свойства спиноров, а также их приложения и производные объекты проявляются сначала в спиновой группе. Представления двойных покрытий этих групп дают двузначные проективные представления самих групп. (Это означает, что действие конкретного вращения на векторы в квантовом гильбертовом пространстве определено только с точностью до знака.)

Подводя итог, можно сказать, что если задано представление, заданное данными , где — векторное пространство над или , а — гомоморфизм , то спинор является элементом векторного пространства . ${\displaystyle (V,{\text{Spin}}(p,q),\rho )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :{\text{Spin}}(p,q)\rightarrow {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle V}$

Геометрическая точка зрения

С геометрической точки зрения можно явно построить спиноры, а затем исследовать, как они ведут себя под действием соответствующих групп Ли. Этот последний подход имеет преимущество предоставления конкретного и элементарного описания того, что такое спинор. Однако такое описание становится громоздким, когда требуются сложные свойства спиноров, такие как тождества Фирца .

Алгебры Клиффорда

Язык алгебр Клиффорда ^[5] (иногда называемый геометрическими алгебрами ) обеспечивает полную картину спиновых представлений всех спиновых групп и различных отношений между этими представлениями посредством классификации алгебр Клиффорда . Это в значительной степени устраняет необходимость в конструкциях ad hoc .

Подробно, пусть V будет конечномерным комплексным векторным пространством с невырожденной симметричной билинейной формой g . Алгебра Клиффорда Cℓ( V ,  g ) является алгеброй, порожденной V вместе с антикоммутационным соотношением xy + yx = 2 g ( x ,  y ) . Это абстрактная версия алгебры, порожденной гамма- матрицами или матрицами Паули . Если V = , со стандартной формой g ( x ,  y ) = x ^T y = x ₁ y ₁ + ... + x _n y _{n ,} мы обозначаем алгебру Клиффорда через Cℓ _n ( ). Поскольку по выбору ортонормированного базиса каждое комплексное векторное пространство с невырожденной формой изоморфно этому стандартному примеру, это обозначение в более общем случае злоупотребляется, если dim ( V ) = n . Если n = 2 k четно, Cℓ _n ( ) изоморфна как алгебра (не единственным образом) алгебре Mat(2 ^k ,  ) комплексных матриц 2 ^k  × 2 ^k (по теореме Артина–Веддерберна и легко доказуемому факту, что алгебра Клиффорда является центральной простой ). Если n = 2 k  + 1 нечетно, Cℓ _{2 k +1} ( ) изоморфна алгебре Mat(2 ^k ,  ) ⊕ Mat(2 ^k ,  ) двух копий комплексных матриц 2 ^k  × 2 ^k . Следовательно, в любом случае Cℓ( V ,  g ) имеет единственное (с точностью до изоморфизма) неприводимое представление (также называемое простым модулем Клиффорда ), обычно обозначаемое Δ, размерности 2 ^{[ n /2]} . Так как алгебра Ли so ( V ,  g ) вложена как подалгебра Ли в Cℓ( V ,  g ), снабженная алгеброй Клиффорда ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ _{${\displaystyle \mathbb {C} }$} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$Коммутатор как скобка Ли, пространство Δ также является представлением алгебры Ли so ( V ,  g ), называемым спиновым представлением . Если n нечетно, это представление алгебры Ли неприводимо. Если n четно, оно распадается далее ^{[ требуется разъяснение ]} на два неприводимых представления Δ = Δ ₊  ⊕ Δ _−, называемых представлениями Вейля или полуспиновыми представлениями .

Неприводимые представления над действительными числами в случае, когда V — действительное векторное пространство, гораздо более сложны, и читатель может обратиться к статье по алгебре Клиффорда за более подробной информацией.

Спиновые группы

Представление спина Δ — это векторное пространство, снабженное представлением группы спина, которое не факторизуется представлением (специальной) ортогональной группы. Вертикальные стрелки изображают короткую точную последовательность .

Спиноры образуют векторное пространство , обычно над комплексными числами , снабженное линейным групповым представлением группы спинов , которая не факторизуется через представление группы вращений (см. диаграмму). Группа спинов — это группа вращений , отслеживающая гомотопический класс. Спиноры необходимы для кодирования базовой информации о топологии группы вращений, поскольку эта группа не является односвязной , но односвязная группа спинов является ее двойным покрытием . Таким образом, для каждого вращения есть два элемента группы спинов, которые его представляют. Геометрические векторы и другие тензоры не могут почувствовать разницу между этими двумя элементами, но они производят противоположные знаки, когда они влияют на любой спинор в представлении. Думая об элементах группы спинов как о гомотопических классах однопараметрических семейств вращений, каждое вращение представлено двумя различными гомотопическими классами путей к тождеству. Если однопараметрическое семейство вращений визуализировать как ленту в пространстве, причем параметром является длина дуги этой ленты (ее касательная, нормальная, бинормальная рамка фактически дает вращение), то эти два различных гомотопических класса визуализируются в двух состояниях головоломки с поясным трюком (выше). Пространство спиноров является вспомогательным векторным пространством, которое может быть построено явно в координатах, но в конечном счете существует только до изоморфизма в том смысле, что не существует «естественной» их конструкции, которая не опирается на произвольный выбор, такой как системы координат. Понятие спиноров может быть связано, как такой вспомогательный математический объект, с любым векторным пространством, снабженным квадратичной формой, таким как евклидово пространство с его стандартным скалярным произведением или пространство Минковского с его метрикой Лоренца . В последнем случае «вращения» включают усиления Лоренца , но в остальном теория по существу похожа. ^{[ необходима цитата ]}

Спинорные поля в физике

Конструкции, приведенные выше, в терминах алгебры Клиффорда или теории представлений, можно рассматривать как определение спиноров как геометрических объектов в нульмерном пространстве-времени . Чтобы получить спиноры физики, такие как спинор Дирака , нужно расширить конструкцию, чтобы получить спиновую структуру на 4-мерном пространстве-времени ( пространстве Минковского ). Фактически, нужно начать с касательного многообразия пространства-времени, каждая точка которого является 4-мерным векторным пространством с симметрией SO(3,1), а затем построить группу спинов в каждой точке. Окрестности точек наделены понятиями гладкости и дифференцируемости: стандартная конструкция — это одна из конструкций расслоения волокон , волокна которой являются аффинными пространствами, преобразующимися под действием группы спинов. После построения расслоения волокон можно рассмотреть дифференциальные уравнения, такие как уравнение Дирака или уравнение Вейля на расслоении волокон. Эти уравнения (Дирака или Вейля) имеют решения, которые являются плоскими волнами , имеющими симметрии, характерные для волокон, т. е. имеющие симметрии спиноров, как получено из (нульмерной) алгебры Клиффорда/теории спинового представления, описанной выше. Такие плосковолновые решения (или другие решения) дифференциальных уравнений могут быть затем правильно названы фермионами ; фермионы обладают алгебраическими качествами спиноров. По общему соглашению термины «фермион» и «спинор» часто используются взаимозаменяемо в физике, как синонимы друг друга. ^{[ необходима цитата ]}

Похоже, что все фундаментальные частицы в природе, имеющие спин 1/2, описываются уравнением Дирака, за возможным исключением нейтрино . Кажется, нет никаких априорных причин, по которым это было бы так. Совершенно допустимым выбором для спиноров была бы некомплексифицированная версия Cℓ _2,2 ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , спинор Майораны . ^[6] Кажется, также нет никаких особых запретов на то, чтобы спиноры Вейля появлялись в природе как фундаментальные частицы.

Спиноры Дирака, Вейля и Майораны взаимосвязаны, и их связь может быть выяснена на основе действительной геометрической алгебры. ^[7] Спиноры Дирака и Вейля являются комплексными представлениями, тогда как спиноры Майораны являются действительными представлениями.

Спиноров Вейля недостаточно для описания массивных частиц, таких как электроны , поскольку решения Вейля для плоских волн обязательно движутся со скоростью света; для массивных частиц необходимо уравнение Дирака . Первоначальное построение Стандартной модели физики элементарных частиц начинается с электрона и нейтрино как безмассовых спиноров Вейля; механизм Хиггса дает электронам массу; классическое нейтрино оставалось безмассовым и, таким образом, было примером спинора Вейля. ^[q] Однако из-за наблюдаемых осцилляций нейтрино теперь считается, что они не являются спинорами Вейля, а, возможно, спинорами Майораны. ^[8] Неизвестно, существуют ли в природе фундаментальные частицы спинора Вейля.

Ситуация для физики конденсированного состояния иная: можно построить двух- и трехмерные «пространства-времена» в большом разнообразии различных физических материалов, от полупроводников до гораздо более экзотических материалов. В 2015 году международная группа под руководством ученых Принстонского университета объявила, что они нашли квазичастицу , которая ведет себя как фермион Вейля. ^[9]

Спиноры в теории представлений

Одним из основных математических применений построения спиноров является возможность явного построения линейных представлений алгебр Ли специальных ортогональных групп , и, следовательно, спинорных представлений самих групп. На более глубоком уровне было обнаружено, что спиноры находятся в центре подходов к теореме Атьи–Зингера об индексе и обеспечивают конструкции, в частности, для дискретных серийных представлений полупростых групп .

Спиновые представления специальных ортогональных алгебр Ли отличаются от тензорных представлений, заданных конструкцией Вейля , весами . В то время как веса тензорных представлений являются целочисленными линейными комбинациями корней алгебры Ли, веса спиновых представлений являются их полуцелочисленными линейными комбинациями. Подробные сведения можно найти в статье о спиновых представлениях .

Попытки интуитивного понимания

Спинор можно описать простыми словами как «векторы пространства, преобразования которых связаны определенным образом с вращениями в физическом пространстве». ^[10] Иначе говоря:

Спиноры ... обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым числом измерений, причем каждый спинор имеет компоненты, где или . ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{\nu }}$ ${\displaystyle n=2\nu +1}$ ${\displaystyle 2\nu }$

Было сформулировано несколько способов иллюстрации повседневных аналогий в терминах трюка с тарелкой , танглоидов и других примеров запутанности ориентации .

Тем не менее, эта концепция, как правило, считается крайне трудной для понимания, как это иллюстрируется высказыванием Майкла Атьи , которое пересказал биограф Дирака Грэм Фармелло:

Никто не понимает спиноры полностью. Их алгебра формально понятна, но их общее значение загадочно. В некотором смысле они описывают «квадратный корень» геометрии и, как понимание квадратного корня из −1 заняло столетия, то же самое может быть верно и для спиноров. ^[11]

История

Наиболее общая математическая форма спиноров была открыта Эли Картаном в 1913 году. ^[12] Слово «спинор» было придумано Паулем Эренфестом в его работе по квантовой физике . ^[13]

Спиноры были впервые применены в математической физике Вольфгангом Паули в 1927 году, когда он представил свои спиновые матрицы . ^[14] В следующем году Поль Дирак открыл полностью релятивистскую теорию электронного спина , показав связь между спинорами и группой Лоренца . ^[15] К 1930-м годам Дирак, Пит Хайн и другие в Институте Нильса Бора (тогда известном как Институт теоретической физики Копенгагенского университета) создали игрушки, такие как Танглоиды, для обучения и моделирования исчисления спиноров.

Спинорные пространства были представлены как левые идеалы матричной алгебры в 1930 году Гюставом Жюветтом ^[16] и Фрицем Заутером . ^{[17] [18]} Более конкретно, вместо представления спиноров как комплекснозначных 2D-столбцовых векторов, как это делал Паули, они представляли их как комплекснозначные матрицы 2 × 2, в которых только элементы левого столбца отличны от нуля. Таким образом, спинорное пространство стало минимальным левым идеалом в Mat(2,  ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . ^{[r] [20]}

В 1947 году Марсель Рисс построил спинорные пространства как элементы минимального левого идеала алгебр Клиффорда . В 1966/1967 годах Дэвид Хестенес ^{[21] [22]} заменил спинорные пространства четной подалгеброй Cℓ ⁰ _1,3 ( ) алгебры пространства-времени Cℓ _1,3 ( ). ^{[18] [20]} Начиная с 1980-х годов группа теоретической физики в Биркбек-колледже под руководством Дэвида Бома и Бэзила Хайли разрабатывала алгебраические подходы к квантовой теории , основанные на идентификации спиноров с минимальными левыми идеалами, предложенной Заутером и Риссом. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Примеры

Некоторые простые примеры спиноров в низких размерностях возникают при рассмотрении четно-градуированных подалгебр алгебры Клиффорда Cℓ _{p ,  q} ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Это алгебра, построенная из ортонормированного базиса из n = p  +  q взаимно ортогональных векторов относительно сложения и умножения, p из которых имеют норму +1, а q из которых имеют норму −1, с правилом произведения для базисных векторов $${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots ,p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{cases}}}$$

Два измерения

Алгебра Клиффорда Cℓ _2,0 ( ) построена на основе одного единичного скаляра 1, двух ортогональных единичных векторов σ ₁ и σ ₂ и одного единичного псевдоскаляра i = σ ₁ σ ₂ . Из приведенных выше определений очевидно, что ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1 и ( σ ₁ σ ₂ )( σ ₁ σ ₂ ) = - σ ₁ σ ₁ σ ₂ σ ₂ = -1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Четная подалгебра Cℓ ⁰ _2,0 ( ), охватываемая четно-градуированными базисными элементами Cℓ _2,0 ( ), определяет пространство спиноров через свои представления. Оно состоит из действительных линейных комбинаций 1 и σ ₁ σ ₂ . Как действительная алгебра, Cℓ ⁰ _2,0 ( ) изоморфна полю комплексных чисел . В результате она допускает операцию сопряжения (аналогичную комплексному сопряжению ), иногда называемую обратной операцией элемента Клиффорда, определяемой с помощью которой, с помощью соотношений Клиффорда, можно записать ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$   ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.}$$ $${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.}$$

Действие четного элемента Клиффорда γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ на векторы, рассматриваемые как 1-градуированные элементы Cℓ _2,0 ( ), определяется отображением общего вектора u = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ на вектор , где является сопряженным к , а произведение является умножением Клиффорда. В этой ситуации спинор ^[s] является обычным комплексным числом. Действие на спинор задается обычным комплексным умножением: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi .}$$

Важной особенностью этого определения является различие между обычными векторами и спинорами, проявляющееся в том, как четно-градуированные элементы действуют на каждый из них по-разному. В общем, быстрая проверка соотношений Клиффорда показывает, что четно-градуированные элементы сопряжены-коммутируют с обычными векторами: $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$$

С другой стороны, по сравнению с его действием на спиноры , действие на обычные векторы выглядит как квадрат его действия на спиноры. ${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$ ${\displaystyle \gamma }$

Рассмотрим, например, какое значение это имеет для поворотов плоскости. Поворот вектора на угол θ соответствует γ ² = exp( θ σ ₁ σ ₂ ) , так что соответствующее действие на спиноры осуществляется через γ = ± exp( θ σ ₁ σ ₂ /2) . В общем случае из-за логарифмического ветвления невозможно выбрать знак согласованным образом. Таким образом, представление поворотов плоскости на спинорах является двузначным.

В приложениях спиноров в двух измерениях обычно используют тот факт, что алгебра четно-градуированных элементов (то есть просто кольцо комплексных чисел) идентична пространству спиноров. Поэтому, злоупотребляя языком , их часто смешивают. Тогда можно говорить о «действии спинора на вектор». В общей постановке такие утверждения бессмысленны. Но в измерениях 2 и 3 (применительно, например, к компьютерной графике ) они имеют смысл.

Примеры

• Элемент с четным градиентом соответствует вращению вектора на 90° от σ ₁ вокруг в направлении σ ₂ , что можно проверить, подтвердив, что Он соответствует вращению спинора всего на 45°, однако: $${\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• Аналогично четно-градуированный элемент γ  = − σ ₁ σ ₂ соответствует векторному повороту на 180°: но спинорному повороту только на 90°: $${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}}$$ $${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• Продолжая далее, четно-градуированный элемент γ  = −1 соответствует векторному вращению на 360°: но спинорному вращению на 180°. $${\displaystyle (-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}}$$

Три измерения

Алгебра Клиффорда Cℓ _3,0 ( ) построена на основе одного единичного скаляра 1, трех ортогональных единичных векторов σ 1 , σ 2 и σ 3 , трех единичных бивекторов σ ₁ σ ₂ , σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ и псевдоскаляр i знак равно σ ₁ σ ₂ σ ₃ . Несложно показать, что ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = ( σ ₃ ) ² = 1 и ( σ ₁ σ ₂ ) ² = ( σ ₂ σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ² знак равно ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ^{2 знак} равно -1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Подалгебра четно-градуированных элементов состоит из скалярных дилатаций и векторных вращений , где $${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$$ $${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$$

соответствует повороту вектора на угол θ вокруг оси, определяемой единичным вектором v = a ₁ σ ₁  +  a ₂ σ ₂  +  a ₃ σ ₃ .

В качестве частного случая легко видеть, что если v = σ ₃ , то это воспроизводит вращение σ ₁ σ _{2 ,} рассмотренное в предыдущем разделе; и что такое вращение оставляет коэффициенты векторов в направлении σ ₃ инвариантными, поскольку

$${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$$

Бивекторы σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ и σ ₁ σ ₂ на самом деле являются кватернионами Гамильтона i , j и k , открытыми в 1843 году:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$$

При отождествлении четно-градуированных элементов с алгеброй кватернионов, как и в случае двух измерений, единственным представлением алгебры четно-градуированных элементов является представление ее самой на себе. ^[t] Таким образом, (действительные ^[u] ) спиноры в трех измерениях являются кватернионами, а действие четно-градуированного элемента на спинор задается обычным кватернионным умножением. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Обратите внимание, что выражение (1) для вращения вектора на угол θ , угол, появляющийся в γ, был уменьшен вдвое . Таким образом, вращение спинора γ ( ψ ) =  γψ (обычное кватернионное умножение) повернет спинор ψ на угол, равный половине угла соответствующего вращения вектора. Еще раз, задача подъема вращения вектора до вращения спинора является двузначной: выражение (1) с (180° +  θ /2) вместо θ /2 даст то же самое вращение вектора, но отрицательное вращение спинора.

Спинорно-кватернионное представление вращений в трехмерном пространстве становится все более распространенным в компьютерной геометрии и других приложениях из-за заметной краткости соответствующей спиновой матрицы и простоты, с которой их можно перемножать для вычисления совокупного эффекта последовательных вращений вокруг различных осей.

Явные конструкции

Пространство спиноров может быть построено явно с помощью конкретных и абстрактных конструкций. Эквивалентность этих конструкций является следствием уникальности спинорного представления комплексной алгебры Клиффорда. Для полного примера в размерности 3 см. спиноры в трех измерениях .

Компонентные спиноры

Учитывая векторное пространство V и квадратичную форму g, явное матричное представление алгебры Клиффорда Cℓ( V ,  g ) можно определить следующим образом. Выберите ортонормированный базис e ¹ ... e ⁿ для V , т.е. g ( e ^µ e ^ν ) = η ^µν , где η ^µµ = ±1 и η ^µν = 0 для µ ≠ ν . Пусть k = ⌊ n /2⌋ . Зафиксируем набор матриц γ ¹ ... γ ⁿ размером 2 ^k  × 2 ^k такой, что γ ^γ γ ^ν + γ ^ν γ ^µ = 2 η ^µν 1 (т. е. зафиксируем соглашение для гамма-матриц ). Тогда присвоение e ^μ → γ ^μ единственным образом продолжается до гомоморфизма алгебр Cℓ( V ,  g ) → Mat(2 ^k ,  ) путем преобразования монома e ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ e ^{μ _k} в алгебре Клиффорда в произведение γ ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ γ ^{μ _k} матриц и расширяется линейно. Пространство , на котором действуют гамма-матрицы, теперь является пространством спиноров. Однако такие матрицы нужно строить явно. В размерности 3, определяя гамма-матрицы как сигму Паули матрицы приводят к появлению знакомых двухкомпонентных спиноров, используемых в нерелятивистской квантовой механике . Аналогично использование 4 × 4 матриц гамма Дирака приводит к 4-компонентным спинорам Дирака, используемым в 3+1-мерной релятивистской квантовой теории поля . В общем случае для определения гамма-матриц требуемого вида можно использовать матрицы Вейля–Брауэра . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}}$

В этой конструкции представление алгебры Клиффорда Cℓ( V ,  g ) , алгебры Ли so ( V ,  g ) и группы Spin Spin( V ,  g ) зависят от выбора ортонормированного базиса и выбора гамма-матриц. Это может вызвать путаницу из-за соглашений, но инварианты, такие как следы, не зависят от выбора. В частности, все физически наблюдаемые величины должны быть независимыми от такого выбора. В этой конструкции спинор может быть представлен как вектор из 2 ^k комплексных чисел и обозначается спинорными индексами (обычно α ,  β ,  γ ). В физической литературе такие индексы часто используются для обозначения спиноров, даже когда используется абстрактная спинорная конструкция.

Абстрактные спиноры

Существует по крайней мере два различных, но по сути эквивалентных способа абстрактного определения спиноров. Один подход стремится определить минимальные идеалы для левого действия Cℓ( V ,  g ) на себя. Это подпространства алгебры Клиффорда вида Cℓ( V ,  g ) ω , допускающие очевидное действие Cℓ( V ,  g ) левым умножением: c  : xω → cxω . Есть две вариации на эту тему: можно либо найти примитивный элемент ω , который является нильпотентным элементом алгебры Клиффорда, либо тот, который является идемпотентом . Конструкция через нильпотентные элементы более фундаментальна в том смысле, что затем из нее может быть получен идемпотент. ^[23] Таким образом, спинорные представления отождествляются с определенными подпространствами самой алгебры Клиффорда. Второй подход заключается в построении векторного пространства с использованием выделенного подпространства V , а затем указании действия алгебры Клиффорда внешне по отношению к этому векторному пространству.

В любом подходе фундаментальным понятием является изотропное подпространство W . Каждая конструкция зависит от изначальной свободы в выборе этого подпространства. В физических терминах это соответствует тому факту, что не существует протокола измерения, который мог бы указать базис спинового пространства, даже если задан предпочтительный базис V .

Как и выше, пусть ( V ,  g ) будет n -мерным комплексным векторным пространством, снабженным невырожденной билинейной формой. Если V является вещественным векторным пространством, то мы заменяем V его комплексификацией и пусть g обозначает индуцированную билинейную форму на . Пусть W будет максимальным изотропным подпространством, т. е. максимальным подпространством V таким, что g | _W = 0 . Если n = 2 k четно, то пусть W ′ будет изотропным подпространством, дополнительным к W . Если n = 2 k + 1 нечетно, то пусть W ′ будет максимальным изотропным подпространством с W ∩  W ′ = 0 , и пусть U будет ортогональным дополнением к W  ⊕  W ′ . Как в четно-, так и в нечетно-мерном случае W и W ′ имеют размерность k . В нечетно-мерном случае U является одномерным, натянутым на единичный вектор u . ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

Минимальные идеалы

Так как W ′ изотропен, умножение элементов W ′ внутри Cℓ( V ,  g ) является косым . Следовательно, векторы в W ′ антикоммутируют, и Cℓ( W ′ ,  g | _{W ′} ) = Cℓ( W ′ , 0) — это просто внешняя алгебра Λ ^∗ W ′ . Следовательно, k -кратное произведение W ′ с самим собой, W ′ ^k , одномерно. Пусть ω — генератор W ′ ^k . В терминах базиса w ′ ₁ , ..., w ′ _k в W ′ одна возможность состоит в том, чтобы положить $${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$$

Обратите внимание, что ω ² = 0 (т.е. ω нильпотентна порядка 2), и, более того, w ′ ω = 0 для всех w ′ ∈ W ′ . Следующие факты легко доказать:

1. Если n = 2 k , то левый идеал Δ = Cℓ( V ,  g ) ω является минимальным левым идеалом. Более того, это распадается на два спиновых пространства Δ ₊ = Cℓ ^even ω и Δ ₋ = Cℓ ^odd ω при ограничении на действие четной алгебры Клиффорда.
2. Если n = 2k + 1 , то действие единичного вектора u на левый идеал Cℓ( V ,  g ) ω разбивает пространство на пару изоморфных неприводимых собственных подпространств (оба обозначаются Δ), отвечающих собственным значениям +1 и −1.

В деталях, предположим, например, что n четно. Предположим, что I — ненулевой левый идеал, содержащийся в Cℓ( V ,  g ) ω . Мы покажем, что I должен быть равен Cℓ( V ,  g ) ω , доказав, что он содержит ненулевое скалярное кратное ω .

Зафиксируем базис w _i матрицы W и дополнительный базис w _i ′ матрицы W ′ так, чтобы

w _i w _j ′ + w _j ′ w _i = δ _ij , и

( ш _я ) ^{2 знак} равно 0, ( ш _я ′) ^{2 знак} равно 0.

Обратите внимание, что любой элемент I должен иметь вид αω , в силу нашего предположения, что I ⊂ Cℓ( V ,  g )  ω . Пусть αω ∈ I — любой такой элемент. Используя выбранный базис, мы можем записать , где a _{i 1 ... i p} — скаляры, а B _j — вспомогательные элементы алгебры Клиффорда. Заметим теперь, что произведение Pick любого ненулевого монома a в разложении α с максимальной однородной степенью по элементам w _i : (суммирование не подразумевается), то есть ненулевое скалярное кратное ω , что и требуется. $${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$$ $${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$$ $${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$$ $${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$$

Обратите внимание, что для четных n это вычисление также показывает, что как векторное пространство. В последнем равенстве мы снова использовали, что W изотропно. С точки зрения физики это показывает, что Δ строится как пространство Фока путем создания спиноров с использованием антикоммутирующих операторов создания в W, действующих на вакуум ω . $${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$$

Внешняя алгебраическая конструкция

Вычисления с минимальной идеальной конструкцией предполагают, что спинорное представление также может быть определено напрямую с использованием внешней алгебры Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^j W изотропного подпространства W . Пусть Δ = Λ ^∗ W обозначает внешнюю алгебру W, рассматриваемую только как векторное пространство. Это будет спиновое представление, и его элементы будут называться спинорами. ^{[24] [25]}

Действие алгебры Клиффорда на Δ определяется сначала заданием действия элемента V на Δ, а затем демонстрацией того, что это действие соблюдает отношение Клиффорда и, таким образом, распространяется до гомоморфизма полной алгебры Клиффорда в кольцо эндоморфизмов End(Δ) по универсальному свойству алгебр Клиффорда . Детали немного различаются в зависимости от того, является ли размерность V четной или нечетной.

Когда dim( V ) четно, V = W ⊕ W ′, где W ′ — выбранное изотропное дополнение. Следовательно, любой v ∈ V однозначно разлагается как v = w + w ′ с w ∈ W и w ′ ∈ W ′ . Действие v на спинор задается как , где i ( w ′ ) — внутреннее произведение с w ′ с использованием невырожденной квадратичной формы для отождествления V с V ^∗ , а ε ( w ) обозначает внешнее произведение . Это действие иногда называют произведением Клиффорда . Можно проверить, что и поэтому c соблюдает соотношения Клиффорда и продолжается до гомоморфизма из алгебры Клиффорда в End(Δ). $${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$$ $${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$$

Спиновое представление Δ далее разлагается на пару неприводимых комплексных представлений группы спина ^[26] (представления полуспиновые, или спиноры Вейля) посредством $${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.}$$

Если dim( V ) нечетно, то V = W ⊕ U ⊕ W ′ , где U натянуто на единичный вектор u, ортогональный W . Действие Клиффорда c определяется, как и прежде, на W ⊕ W ′ , в то время как действие Клиффорда (кратных) u определяется как Как и прежде, проверяется, что c соблюдает соотношения Клиффорда, и, таким образом, индуцирует гомоморфизм. $${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$$

Эрмитовы векторные пространства и спиноры

Если векторное пространство V имеет дополнительную структуру, обеспечивающую разложение его комплексификации на два максимальных изотропных подпространства, то определение спиноров (любым из способов) становится естественным.

Основным примером является случай, когда действительное векторное пространство V является эрмитовым векторным пространством ( V ,  h ) , т. е. V снабжено комплексной структурой J , которая является ортогональным преобразованием относительно скалярного произведения g на V . Затем разбивается на ± i собственных подпространств J . Эти собственные подпространства изотропны для комплексификации g и могут быть отождествлены с комплексным векторным пространством ( V ,  J ) и его комплексно сопряженным ( V , − J ) . Следовательно, для эрмитова векторного пространства ( V ,  h ) векторное пространство (а также его комплексно сопряженное является спинорным пространством для лежащего в основе действительного евклидова векторного пространства. ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V}$

С действием Клиффорда, как и выше, но с контракцией с использованием эрмитовой формы, эта конструкция дает спинорное пространство в каждой точке почти эрмитова многообразия и является причиной того, что каждое почти комплексное многообразие (в частности, каждое симплектическое многообразие ) имеет структуру Spin ^c . Аналогично, каждое комплексное векторное расслоение на многообразии несет структуру Spin ^c . ^[27]

Разложение Клебша–Гордана

Возможен ряд разложений Клебша–Гордана на тензорном произведении одного спинового представления на другое. ^[28] Эти разложения выражают тензорное произведение в терминах чередующихся представлений ортогональной группы.

Для действительного или комплексного случая чередующиеся представления следующие:

• Γ _r = Λ ^r V , представление ортогональной группы на косых тензорах ранга r .

Кроме того, для действительных ортогональных групп существуют три символа (одномерные представления)

• σ ₊  : O( p ,  q ) → {−1, +1}, заданное формулой σ ₊ (R) = −1 , если R меняет пространственную ориентацию V , +1, если R сохраняет пространственную ориентацию V . ( Пространственный характер .)
• σ ₋  : O( p ,  q ) → {−1, +1}, заданное формулой σ ₋ (R) = −1 , если R меняет временную ориентацию V , +1, если R сохраняет временную ориентацию V . ( Временной характер .)
• σ знак равно σ ₊ σ _-  . ( Ориентирующий характер .)

Разложение Клебша–Гордана позволяет определить, среди прочего:

• Действие спиноров на векторы.
• Эрмитова метрика на комплексных представлениях действительных спиновых групп.
• Оператор Дирака на каждом спиновом представлении.

Даже размеры

Если n  = 2 k четно, то тензорное произведение Δ с контрагредиентным представлением разлагается как , что можно явно увидеть, рассмотрев (в явной конструкции) действие алгебры Клиффорда на разложимые элементы αω  ⊗  βω ′ . Самая правая формулировка следует из свойств преобразования оператора звезды Ходжа . Отметим, что при ограничении на четную алгебру Клиффорда парные слагаемые Γ _p ⊕ σ Γ _p изоморфны, но относительно полной алгебры Клиффорда они таковыми не являются. $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}}$$

Существует естественное отождествление Δ с его контрагредиентным представлением через сопряжение в алгебре Клиффорда: Так что Δ ⊗ Δ также разлагается указанным выше образом. Более того, в четной алгебре Клиффорда полуспиновые представления разлагаются $${\displaystyle (\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}}$$

Для комплексных представлений вещественных алгебр Клиффорда ассоциированная структура реальности на комплексной алгебре Клиффорда спускается в пространство спиноров (например, посредством явного построения в терминах минимальных идеалов). Таким образом, мы получаем комплексно сопряженное Δ представления Δ, и, как видно, выполняется следующий изоморфизм: $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}}$$

В частности, отметим, что представление Δ ортохронной спиновой группы является унитарным представлением . В общем случае существуют разложения Клебша–Гордана $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).}$$

В метрической сигнатуре ( p ,  q ) для сопряженных полуспиновых представлений справедливы следующие изоморфизмы:

• Если q четное, то и ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.}$
• Если q нечетно, то и ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.}$

Используя эти изоморфизмы, можно вывести аналогичные разложения для тензорных произведений полуспиновых представлений Δ _± ⊗ Δ _± .

Нечетные размеры

Если n  = 2k + 1 нечетно, то В действительном случае изоморфизм снова имеет место. Следовательно, существует разложение Клебша–Гордана (снова использующее звезду Ходжа для дуализации), заданное формулой $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.}$$ $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.}$$ $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}}$$

Последствия

Существует много далеко идущих следствий разложений Клебша–Гордана спинорных пространств. Наиболее фундаментальные из них относятся к теории электрона Дирака, среди основных требований которой

• Способ рассмотрения произведения двух спиноров ϕ ψ как скаляра. В физических терминах спинор должен определять амплитуду вероятности для квантового состояния .
• Способ рассмотрения произведения ψ ϕ как вектора. Это существенная черта теории Дирака, которая связывает спинорный формализм с геометрией физического пространства.
• Способ рассмотрения спинора как действующего на вектор, посредством выражения, например, ψv ψ . В физических терминах это представляет электрический ток электромагнитной теории Максвелла или, в более общем смысле, ток вероятности .

Резюме в низких размерах

• В 1 измерении (тривиальный пример) односпинорное представление формально является представлением Майораны, действительным одномерным представлением, которое не преобразуется.
• В двух евклидовых измерениях левый и правый спинор Вейля являются однокомпонентными комплексными представлениями , т.е. комплексными числами, которые умножаются на e ^{± iφ /2} при повороте на угол φ .
• В 3 евклидовых измерениях единственное спинорное представление является 2-мерным и кватернионным . Существование спиноров в 3 измерениях следует из изоморфизма групп SU (2) ≅ Spin(3) , что позволяет нам определить действие Spin(3) на комплексный 2-компонентный столбец (спинор); генераторы SU(2) можно записать в виде матриц Паули .
• В 4 евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм — Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2) . Существует два неэквивалентных кватернионных 2-компонентных спинора Вейля, и каждый из них преобразуется только под действием одного из факторов SU(2).
• В 5 евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм имеет вид Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2), что подразумевает, что единственное спинорное представление является 4-мерным и кватернионным.
• В 6 евклидовых измерениях изоморфизм Spin(6) ≅ SU(4) гарантирует, что существуют два 4-мерных комплексных представления Вейля, которые являются комплексно сопряженными друг другу.
• В 7 евклидовых измерениях единственное спинорное представление является 8-мерным и действительным; начиная с этого измерения не существует изоморфизмов с алгеброй Ли из другой серии (A или C).
• В 8 евклидовых измерениях существуют два действительных 8-мерных представления Вейля–Майораны, которые связаны с 8-мерным действительным векторным представлением особым свойством Spin(8), называемым триальностью .
• В d  + 8 измерениях число различных неприводимых спинорных представлений и их реальность (являются ли они реальными, псевдореальными или комплексными) имитирует структуру в d измерениях, но их размерности в 16 раз больше; это позволяет понять все оставшиеся случаи. См. периодичность Ботта .
• В пространстве-времени с p пространственными и q времениподобными направлениями измерения, рассматриваемые как измерения над комплексными числами, совпадают со случаем ( p  +  q ) -мерного евклидова пространства, но проекции реальности имитируют структуру в | p  −  q | евклидовых измерениях. Например, в 3 + 1 измерениях существуют два неэквивалентных вейлевских комплексных (как в 2 измерениях) 2-компонентных (как в 4 измерениях) спинора, что следует из изоморфизма SL(2,  ) ≅ Spin(3,1) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Смотрите также

• Энион
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства
• Собственный спинор
• Теория Эйнштейна–Картана
• Проективное представление
• Чистый спинор
• Спин-1/2
• Спинорный пучок
• Суперзаряд
• Теория твисторов
• Алгебра пространства-времени

Примечания

1. Спиноры в трех измерениях являются точками линейного расслоения над коникой в ​​проективной плоскости . На этой картинке, которая связана со спинорами трехмерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (1,2), коника является обычной действительной коникой (здесь окружность), линейное расслоение является расслоением Мёбиуса, а группа спинов — SL ₂ ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . В евклидовой сигнатуре проективная плоскость, коника и линейное расслоение находятся над комплексом, а эта картинка — просто действительный срез.
2. Спиноры всегда можно определить над комплексными числами. Однако в некоторых сигнатурах существуют реальные спиноры. Подробности можно найти в представлении спина .
3. Формальное определение спиноров на этом уровне состоит в том, что пространство спиноров является линейным представлением алгебры Ли бесконечно малых вращений определенного вида .
4. "Спиноры были впервые использованы под этим названием физиками в области квантовой механики. В наиболее общей форме спиноры были открыты в 1913 году автором этой работы в его исследованиях линейных представлений простых групп*; они обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым числом измерений, причем каждый спинор имеет компоненты, где или ." ^[2] Звездочка (*) относится к Картану (1913). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{\nu }}$ ${\displaystyle n=2\nu +1}$ ${\displaystyle 2\nu }$
5. Точнее, спинорами описываются фермионы спина 1/2 , что справедливо как в релятивистской, так и в нерелятивистской теории. Волновая функция нерелятивистского электрона имеет значения в 2-компонентных спинорах, преобразующихся при 3-мерных бесконечно малых вращениях. Релятивистское уравнение Дирака для электрона представляет собой уравнение для 4-компонентных спиноров, преобразующихся при бесконечно малых преобразованиях Лоренца, для которых существует существенно похожая теория спиноров.
6. Формально группа спинов — это группа относительных гомотопических классов с фиксированными конечными точками в группе вращений.
7. Более формально пространство спиноров можно определить как ( неприводимое ) представление группы спинов, которое не факторизуется представлением группы вращений (в общем случае, связной компонентой тождества ортогональной группы ).
8. Геометрическая алгебра — название алгебры Клиффорда в прикладном контексте.
9. Матрицы Паули соответствуют операторам угловых моментов относительно трех координатных осей. Это делает их немного нетипичными гамма-матрицами, поскольку в дополнение к их антикоммутационному соотношению они также удовлетворяют коммутационным соотношениям.
10. Метрическая сигнатура также важна, если мы имеем дело с реальными спинорами. См. спиновое представление .
11. Расщепляется ли представление, зависит от того, рассматриваются ли они как представления спиновой группы (или ее алгебры Ли), в этом случае она расщепляется в четных, но не нечетных измерениях, или алгебры Клиффорда, когда все наоборот. Могут существовать и другие структуры, отличные от этого разложения; точные критерии рассматриваются в спиновом представлении и алгебре Клиффорда .
12. Рамка TNB ленты непрерывно определяет вращение для каждого значения параметра длины дуги.
13. Это набор 2×2 комплексных бесследовых эрмитовых матриц .
14. За исключением ядра , соответствующего двум различным элементам спиновой группы, которые совершают одно и то же вращение. ^[4] ${\displaystyle \{\pm 1\}}$
15. Таким образом, неоднозначность в определении самих спиноров сохраняется с точки зрения теории групп и по-прежнему зависит от выбора.
16. Алгебре Клиффорда можно задать четную/нечетную градуировку из четности степени в гаммах, а группа спинов и ее алгебра Ли обе лежат в четной части. Независимо от того, подразумеваем ли мы под «представлением» представления группы спинов или алгебры Клиффорда, это повлияет на определение их приводимости. Могут существовать и другие структуры, отличные от этого расщепления; точные критерии рассматриваются в представлении спинов и алгебре Клиффорда .
17. Точнее, электрон начинается как два безмассовых спинора Вейля, левый и правый. После нарушения симметрии оба приобретают массу и объединяются, образуя спинор Дирака.
18. Матрицы размерности N  ×  N, в которых только элементы левого столбца отличны от нуля, образуют левый идеал в алгебре матриц N  ×  N Mat( N ,  ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ – умножение такой матрицы M слева на любую матрицу A размера N  ×  N дает результат AM , который снова является матрицей N  ×  N , в которой только элементы левого столбца отличны от нуля. Более того, можно показать, что это минимальный левый идеал . ^[19]
19. Это правые спиноры Вейля в двух измерениях. Для левых спиноров Вейля представление осуществляется через γ ( ϕ ) =  γ ϕ . Спиноры Майораны являются общим базовым вещественным представлением для представлений Вейля.
20. Поскольку для тела ядро ​​представления должно быть тривиальным. Поэтому неэквивалентные представления могут возникнуть только через автоморфизм тела . В этом случае имеется пара эквивалентных представлений: γ ( ϕ ) = γϕ , и его кватернионное сопряжение γ ( ϕ ) =  ϕ γ .
21. Комплексные спиноры получаются как представления тензорного произведения = Mat ₂ ( ) . Они рассматриваются более подробно в спинорах в трех измерениях . ${\displaystyle \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ссылки

1. 1913.
2. Цитата из книги Эли Картана « Теория спиноров» , Герман, Париж, 1966, первое предложение раздела «Введение» в начале книги, до начала нумерации страниц.
3. Руксан-Уль-Хак (декабрь 2016 г.). «Геометрия спина: алгебраический подход Клиффорда». Resonance . 21 (12): 1105–1117. doi :10.1007/s12045-016-0422-5. S2CID  126053475.
4. Подробнее см. Eberlein, WF (1962). «Спиновая модель евклидова трехмерного пространства». The American Mathematical Monthly . 69 (7): 587–598. doi :10.2307/2310821.
5. Назван в честь Уильяма Кингдона Клиффорда ,
6. Назван в честь Этторе Майорана .
7. Фрэнсис, Мэтью Р.; Косовски, Артур (2005) [20 марта 2004 г.]. «Построение спиноров в геометрической алгебре». Annals of Physics . 317 (2): 383–409. arXiv : math-ph/0403040 . Bibcode : 2005AnPhy.317..383F. doi : 10.1016/j.aop.2004.11.008. S2CID  119632876.
8. Вильчек, Фрэнк (2009). «Majorana returns». Nature Physics . 5 (9). Macmillan Publishers : 614–618. Bibcode : 2009NatPh...5..614W. doi : 10.1038/nphys1380. ISSN  1745-2473.
9. Сюй, Ян-Су и др. (2015). «Открытие полуметалла Вейля-Фермиона и топологических дуг Ферми». Science Magazine . 349 (6248). AAAS : 613–617. arXiv : 1502.03807 . Bibcode :2015Sci...349..613X. doi :10.1126/science.aaa9297. ISSN  0036-8075. PMID  26184916. S2CID  206636457.
10. Жан Хладик: Спиноры в физике , перевод Дж. М. Коула, Springer 1999, ISBN 978-0-387-98647-0 , стр. 3 
11. Фармелло, Грэм (2009). Самый странный человек: скрытая жизнь Поля Дирака, квантового гения . Faber & Faber. стр. 430. ISBN 978-0-571-22286-5.
12. Картан 1913
13. Томонага 1998, стр. 129
14. Паули 1927.
15. Дирак 1928.
16. Жюве, Г. (1930). «Операторы Дирака и уравнения Максвелла». Commentarii Mathematici Helvetici (на французском языке). 2 : 225–235. дои : 10.1007/BF01214461. S2CID  121226923.
17. Заутер, Ф. (1930). «Lösung der Diracschen Gleichungen ohne Spezialisierung der Diracschen Операторен». Zeitschrift für Physik . 63 (11–12): 803–814. Бибкод : 1930ZPhy...63..803S. дои : 10.1007/BF01339277. S2CID  122940202.
18. Pertti Lounesto: Бивекторы и спиноры Крумейроля , стр. 137–166, в: Rafał Abłamowicz, Pertti Lounesto (ред.): Алгебры Клиффорда и спинорные структуры: Специальный том, посвященный памяти Альберта Крумейроля (1919–1992) , ISBN 0-7923-3366-7 , 1995, стр. 151 
19. См. также: Pertti Lounesto: Clifford algebras and spinors , London Mathematical Society Lecture Notes Series 286, Cambridge University Press, второе издание 2001 г., ISBN 978-0-521-00551-7 , стр. 52 
20. Pertti Lounesto: Clifford algebras and spinors , London Mathematical Society Lecture Notes Series 286, Cambridge University Press, второе издание 2001 г., ISBN 978-0-521-00551-7 , стр. 148 и далее и стр. 327 и далее. 
21. D. Hestenes: Пространственно-временная алгебра , Gordon and Breach, Нью-Йорк, 1966, 1987, 1992
22. Хестенес, Д. (1967). "Действительные спинорные поля" (PDF) . J. Math. Phys. 8 (4): 798–808. Bibcode :1967JMP.....8..798H. doi : 10.1063/1.1705279 . S2CID  13371668.
23. Эта конструкция принадлежит Картану (1913). Обработка здесь основана на Шевалле (1996).
24. Одним из источников этого подраздела является Fulton & Harris (1991).
25. Юрген Йост, «Риманова геометрия и геометрический анализ» (2002) Springer-Verlag Univeritext ISBN 3-540-42627-2 . См. главу 1. 
26. С помощью четноградуированной алгебры Клиффорда.
27. Лоусон и Михельсон 1989, Приложение D.
28. Брауэр и Вейль 1935.

Цитируемые работы

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935). «Спиноры в n измерениях». Американский журнал математики . 57 (2). Издательство Университета Джона Хопкинса: 425–449. doi :10.2307/2371218. JSTOR  2371218.
• Картан, Эли (1913). «Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane» (PDF) . Бык. Соц. Математика. о . 41 : 53–96. дои : 10.24033/bsmf.916 .
• Шевалли, Клод (1996) [1954]. Алгебраическая теория спиноров и алгебры Клиффорда (переиздание). Columbia University Press (1954); Springer (1996). ISBN 978-3-540-57063-9.
• Дирак, Поль М. (1928). «Квантовая теория электрона». Труды Лондонского королевского общества A. 117 ( 778): 610–624. Bibcode : 1928RSPSA.117..610D. doi : 10.1098/rspa.1928.0023 . JSTOR  94981.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 0-387-97495-4. МР  1153249.
• Лоусон, Х. Блейн ; Михельсон, Мари-Луиза (1989). Геометрия спина . Princeton University Press. ISBN 0-691-08542-0.
• Паули, Вольфганг (1927). «Квантовая механика магнитных электронов». Zeitschrift für Physik . 43 (9–10): 601–632. Бибкод : 1927ZPhy...43..601P. дои : 10.1007/BF01397326. S2CID  128228729.
• Томонага, Син-Итиро (1998). "Лекция 7: Величина, которая не является ни вектором, ни тензором". История спина . Издательство Чикагского университета. стр. 129. ISBN 0-226-80794-0.

Дальнейшее чтение

• Картан, Эли (1981) [1966]. Теория спиноров (переиздание). Париж, Франция: Hermann (1966); Dover Publications (1981). ISBN 978-0-486-64070-9.
• Джилки, Питер Б. (1984). Теория инвариантности: уравнение теплопроводности и теорема об индексе Атьи–Зингера. Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-20-9.
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Academic Press. ISBN 978-0-12-329650-4.
• Хитчин, Найджел Дж. (1974). «Гармонические спиноры». Успехи математики . 14 : 1–55. doi : 10.1016/0001-8708(74)90021-8 . MR  0358873.
• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, В. (1988). Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени . Спиноры и пространство-время. Том 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-34786-6.