Иметь в виду

Числовая величина, представляющая центр набора чисел

Среднее значение — это числовая величина, представляющая центр набора чисел и промежуточная по отношению к крайним значениям набора чисел. ^{[1] В} математике , особенно в статистике , существует несколько видов средств (или «мер центральной тенденции ») . Каждый из них пытается суммировать или типизировать данную группу данных , иллюстрируя величину и знак набора данных . Какой из этих показателей является наиболее информативным, зависит от того, что измеряется, а также от контекста и цели.

Среднее арифметическое , также известное как «среднее арифметическое», представляет собой сумму значений, разделенную на количество значений. Среднее арифметическое набора чисел x ₁ , x ₂ , ..., x _n обычно обозначается с помощью верхней черты , . ^{[примечание 1]} Если числа взяты из наблюдения за выборкой из более крупной группы , среднее арифметическое называется выборочным средним ( ), чтобы отличить его от группового среднего (или ожидаемого значения ) основного распределения, обозначаемого или . ^{[примечание 2] [2]} ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{x}}$

Помимо вероятности и статистики, в геометрии и математическом анализе часто используется широкий спектр других понятий среднего значения ; примеры приведены ниже.

Виды средств

Пифагорейские средства

Среднее арифметическое (AM)

Среднее арифметическое ( или просто среднее или среднее ) списка чисел — это сумма всех чисел, деленная на количество чисел. Аналогичным образом, среднее значение выборки , обычно обозначаемое , представляет собой сумму выборочных значений, деленную на количество элементов в выборке. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

Например, среднее арифметическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

Среднее геометрическое (GM)

Среднее геометрическое — это среднее значение, которое полезно для наборов положительных чисел, которые интерпретируются в соответствии с их произведением (как в случае с темпами роста), а не их суммой (как в случае со средним арифметическим):

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$ ^[1]

Например, среднее геометрическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

Среднее гармоническое (HM)

Среднее гармоническое — это среднее значение, которое полезно для наборов чисел, определенных относительно некоторой единицы , как в случае скорости (т. е. расстояния в единицу времени):

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

Например, среднее гармоническое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

Если у нас есть пять насосов, которые могут опорожнить резервуар определенного размера соответственно за 4, 36, 45, 50 и 75 минут, то среднее гармоническое говорит нам, что эти пять разных насосов, работающих вместе, будут перекачивать с той же скоростью, что и как пять насосов, каждый из которых может опорожнить резервуар за считанные минуты. ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 15}$

Отношения между AM, GM и HM

Доказательство без слов неравенства AM–GM :
PR — диаметр круга с центром в O; его радиус AO — среднее арифметическое a и b . Используя теорему о среднем геометрическом , высота GQ треугольника PGR является средним геометрическим . Для любого соотношения a : b AO ≥ GQ.

AM, GM и HM удовлетворяют этим неравенствам:

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}$

Равенство имеет место, если все элементы данной выборки равны.

Статистическое местоположение

Сравнение среднего арифметического , медианы и моды двух асимметричных ( логарифмически нормальных ) распределений.

Геометрическая визуализация моды, медианы и среднего значения произвольной функции плотности вероятности. ^[3]

В описательной статистике среднее значение можно спутать с медианой , модой или средним диапазоном , поскольку любое из них может быть неправильно названо «средним» (более формально, мерой центральной тенденции ). Среднее значение набора наблюдений представляет собой среднее арифметическое значений; однако для асимметричных распределений среднее значение не обязательно совпадает со средним значением (медианой) или наиболее вероятным значением (режимом). Например, средний доход обычно искажается вверх из-за небольшого числа людей с очень высокими доходами, так что у большинства доход ниже среднего. Напротив, медианный доход — это уровень, на котором половина населения находится ниже, а половина — выше. Режим дохода является наиболее вероятным доходом и благоприятствует большему числу людей с более низкими доходами. Хотя медиана и мода часто являются более интуитивными мерами для таких асимметричных данных, многие асимметричные распределения на самом деле лучше всего описываются их средним значением, включая экспоненциальное распределение и распределение Пуассона .

Среднее значение распределения вероятностей

Среднее значение распределения вероятностей — это долгосрочное среднее арифметическое значение случайной величины, имеющей это распределение. Если случайная величина обозначена , то среднее значение также известно как ожидаемое значение ( обозначается ). Для дискретного распределения вероятностей среднее значение определяется как , где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины и представляет собой функцию массы вероятности . Для непрерывного распределения среднее значение равно , где – функция плотности вероятности . ^[4] Во всех случаях, включая те, в которых распределение не является ни дискретным, ни непрерывным, среднее значение представляет собой интеграл Лебега случайной величины относительно ее вероятностной меры . Среднее значение не обязательно должно существовать или быть конечным; для некоторых распределений вероятностей среднее значение бесконечно ( +∞ или −∞ ), а для других среднее значение не определено . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$ ${\displaystyle f(x)}$

Обобщенные средства

Мощность означает

Обобщенное среднее , также известное как среднее степенное или среднее Гельдера, представляет собой абстракцию квадратичных , арифметических, геометрических и гармонических средних. Он определяется для набора из n положительных чисел x _i формулой

${\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}}$ ^[1]

Путем выбора различных значений параметра m получаются следующие типы средних:

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }}$

максимум​ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \lim _{m\to 2}}$

квадратичное среднее

${\displaystyle \lim _{m\to 1}}$

среднее арифметическое

${\displaystyle \lim _{m\to 0}}$

среднее геометрическое

${\displaystyle \lim _{m\to -1}}$

гармоническое среднее

${\displaystyle \lim _{m\to -\infty }}$

минимум​ ${\displaystyle x_{i}}$

f -среднее

Это можно обобщить дальше как обобщенное f -среднее

${\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right)}$

и снова подходящий выбор обратимого f даст

Средневзвешенное арифметическое

Средневзвешенное арифметическое (или средневзвешенное) используется, если нужно объединить средние значения из выборок разного размера одной и той же совокупности:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.}$ ^[1]

Где и — среднее значение и размер выборки соответственно. В других приложениях они представляют собой меру надежности влияния соответствующих значений на среднее значение. ${\displaystyle {\bar {x_{i}}}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Усеченное среднее значение

Иногда набор чисел может содержать выбросы (т. е. значения данных, которые намного ниже или намного выше, чем другие). Часто выбросы представляют собой ошибочные данные, вызванные артефактами . В этом случае можно использовать усеченное среднее . Он включает в себя отбрасывание заданных частей данных на верхнем или нижнем конце, обычно равное количество на каждом конце, а затем взятие среднего арифметического оставшихся данных. Количество удаленных значений указывается в процентах от общего количества значений.

Межквартильное среднее

Интерквартильное среднее является конкретным примером усеченного среднего. Это просто среднее арифметическое после удаления самой низкой и самой высокой четверти значений.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}}$

Предполагая, что значения упорядочены, это просто конкретный пример взвешенного среднего для определенного набора весов.

Среднее значение функции

В некоторых случаях математики могут вычислить среднее значение бесконечного (или даже неисчислимого ) набора значений. Это может произойти при вычислении среднего значения функции . Интуитивно среднее значение функции можно представить как вычисление площади под участком кривой и затем деление на длину этого участка. Это можно сделать грубо, посчитав квадраты на миллиметровой бумаге или, точнее, проинтегрировав . Формула интегрирования записывается как: ${\displaystyle y_{\text{avg}}}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx}$

При этом необходимо позаботиться о том, чтобы интеграл сходился. Но среднее значение может быть конечным, даже если сама функция в некоторых точках стремится к бесконечности.

Среднее значение углов и циклических величин

Углы , время суток и другие циклические величины требуют модульной арифметики для сложения и иного объединения чисел. Во всех этих ситуациях не будет единственного средства. Например, время за час до и после полуночи равноудалено как от полуночи, так и от полудня. Также возможно, что никакого среднего не существует. Рассмотрим цветовой круг : набор всех цветов не имеет значения. В таких ситуациях вы должны решить, какое среднее значение является наиболее полезным. Вы можете сделать это, корректируя значения перед усреднением или используя специальный подход для среднего значения круговых величин .

Фреше означает

Среднее значение Фреше дает способ определить «центр» распределения массы на поверхности или, в более общем смысле, на римановом многообразии . В отличие от многих других средств, среднее значение Фреше определяется в пространстве, элементы которого не обязательно складываются или умножаются на скаляры. Иногда его также называют средним Керхером (в честь Германа Керхера).

Треугольные наборы

В геометрии существуют тысячи различных определений центра треугольника , которые все можно интерпретировать как среднее значение треугольного набора точек на плоскости. ^[5]

Правило Свонсона

Это приближение к среднему значению для умеренно асимметричного распределения. ^[6] Он используется при разведке углеводородов и определяется как:

${\displaystyle m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}$

где и – 10-й, 50-й и 90-й процентили распределения соответственно. ${\textstyle P_{10}}$ ${\textstyle P_{50}}$ ${\textstyle P_{90}}$

Другие средства

• Среднее арифметико-геометрическое
• Среднее арифметико-гармоническое
• Чезаро означает
• Кизини означает
• Контрагармоническое среднее
• Элементарное симметричное среднее
• Среднее геометрическо-гармоническое
• среднее значение
• Хайнц имеет в виду
• Героново среднее
• Идентичное среднее
• Лемер означает
• Среднее логарифмическое
• Скользящее среднее
• Среднее значение Ноймана – Шандора
• Среднее квазиарифметическое
• Среднеквадратичное (среднее квадратичное)
• Энтропия Реньи ( обобщенное f-среднее )
• Сферическое среднее
• Столарский средний
• Средневзвешенное геометрическое
• Взвешенное гармоническое среднее

Смотрите также

• Математический портал

• Статистическая дисперсия
• Главная тенденция
  • медиана
  • Режим
• Описательная статистика
• Куртозис
• Закон средних чисел
• Теорема о среднем значении
• Момент (математика)
• Сводные статистические данные
• Закон Тейлора

Примечания

1. Произносится как « x bar».
2. Греческая буква μ , означающая «средний», произносится /'mjuː/.

Рекомендации

1. «Среднее | математика». Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.
2. Андерхилл, LG; Брэдфилд Д. (1998) Introstat , Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X стр. 181 
3. «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальное распределение» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 г.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Среднее население». mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.
5. Нарбу, Жюльен; Браун, Дэвид (2016). «К сертифицированной версии энциклопедии центров треугольников». Математика в информатике . 10 (1): 57–73. дои : 10.1007/s11786-016-0254-4. МР  3483261. под руководством Кларка Кимберлинга разработана электронная энциклопедия центров треугольников (ЭТЦ), в ней содержится более 7000 центров и многие свойства этих точек.
6. Херст А., Браун Г.К., Суонсон Р.И. (2000) Правило Суонсона 30-40-30. Бюллетень Американской ассоциации геологов-нефтяников 84 (12) 1883–1891 гг.