Уравнения Френеля

Уравнения пропускания и отражения света

Частичная передача и отражение импульса, распространяющегося из среды с низким показателем преломления в среду с высоким.

При почти скользящем падении интерфейсы носителей кажутся зеркальными, особенно из-за отражения поляризации s , несмотря на то, что при нормальном падении они являются плохими отражателями. Поляризационные солнцезащитные очки блокируют поляризацию , значительно уменьшая блики от горизонтальных поверхностей.

Уравнения Френеля (или коэффициенты Френеля ) описывают отражение и передачу света (или электромагнитного излучения в целом) при попадании на границу раздела различных оптических сред . Их вывел французский инженер и физик Огюстен-Жан Френель ( / f r eɪ ˈ n ɛ l / ), который первым понял, что свет — это поперечная волна , когда никто не осознавал, что волны представляют собой электрическое и магнитное поля. Впервые поляризацию можно было понять количественно, поскольку уравнения Френеля правильно предсказали различное поведение волн s- и p - поляризаций, падающих на границу раздела материалов.

Обзор

Когда свет попадает на границу раздела между средой с показателем преломления n ₁ и второй средой с показателем преломления n ₂ ​​, может произойти как отражение , так и преломление света. Уравнения Френеля дают отношение электрического поля отраженной волны к электрическому полю падающей волны и отношение электрического поля прошедшей волны к электрическому полю падающей волны для каждого из двух компонентов поляризации. ( Магнитные поля также можно связать с помощью аналогичных коэффициентов.) Эти отношения, как правило, сложны и описывают не только относительные амплитуды, но и фазовые сдвиги на границе раздела.

Уравнения предполагают, что граница раздела сред плоская, а среды однородны и изотропны . ^[1] Предполагается, что падающий свет представляет собой плоскую волну , чего достаточно для решения любой проблемы, поскольку любое падающее световое поле можно разложить на плоские волны и поляризации.

S и P поляризации

Плоскость падения определяется вектором распространения падающего излучения и вектором нормали к поверхности.

Существует два набора коэффициентов Френеля для двух разных компонентов линейной поляризации падающей волны. Поскольку любое состояние поляризации можно разложить на комбинацию двух ортогональных линейных поляризаций, этого достаточно для любой задачи. Аналогично, неполяризованный (или «случайно поляризованный») свет имеет равную мощность в каждой из двух линейных поляризаций.

Поляризация s относится к поляризации электрического поля волны, перпендикулярной плоскости падения ( направление z в выводе ниже); тогда магнитное поле находится в плоскости падения. Поляризация p относится к поляризации электрического поля в плоскости падения ( плоскость xy в выводе ниже); тогда магнитное поле перпендикулярно плоскости падения.

Хотя отражение и пропускание зависят от поляризации, при нормальном падении ( θ = 0 ) между ними нет различия, поэтому все состояния поляризации управляются одним набором коэффициентов Френеля (ниже упоминается еще один частный случай, в котором это верно. ).

Конфигурация

Переменные, используемые в уравнениях Френеля

На диаграмме справа падающая плоская волна в направлении луча IO попадает на границу раздела двух сред с показателями преломления n ₁ и n ₂ в точке O . Часть волны отражается в направлении OR , а часть преломляется в направлении OT . Углы, которые падающие, отраженные и преломленные лучи образуют с нормалью границы раздела, задаются как θ _i , θ _r и θ _t соответственно. Связь между этими углами определяется законом отражения :

$${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r} },}$$

закон Снелла

$${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{\mathrm {i} }=n_{2}\sin \theta _{\mathrm {t} }.}$$

Поведение света, попадающего на границу раздела, объясняется с учетом электрических и магнитных полей, составляющих электромагнитную волну , и законов электромагнетизма , как показано ниже. Получаются отношения амплитуд электрического поля (или магнитного поля) волн, но на практике чаще интересуются формулами, определяющими коэффициенты мощности , поскольку мощность (или излучение ) - это то, что можно непосредственно измерить на оптических частотах. Мощность волны обычно пропорциональна квадрату амплитуды электрического (или магнитного) поля.

Коэффициенты отражения и передачи мощности (интенсивности)

Коэффициенты мощности: воздух-стекло

Коэффициенты мощности: стекло-воздух (полное внутреннее отражение начинается с 42°, что дает коэффициент отражения 1)

Доля падающей мощности , которая отражается от границы раздела, мы называем коэффициентом отражения (или коэффициентом отражения , или коэффициентом отражения мощности ) R , а долю, которая преломляется во вторую среду, называем коэффициентом пропускания (или коэффициентом пропускания , или коэффициентом передачи мощности ) Т. _ Обратите внимание, что это то, что будет измерено прямо на каждой стороне границы раздела, и не учитывает затухание волны в поглощающей среде после прохождения или отражения. ^[2]

Коэффициент отражения s-поляризованного света равен

$${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},}$$

p-поляризованного света

$${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2},}$$

Z ₁Z ₂волновые сопротивления

Мы предполагаем _, что среды немагнитны (т.е. 1 = 2 ₌ ), что обычно является хорошим приближением на оптических частотах (и для прозрачных сред на других частотах) . ^[3] Тогда волновые сопротивления определяются исключительно показателями преломления n ₁ и n ₂ :

$${\displaystyle Z_{i}={\frac {Z_{0}}{n_{i}}}\,,}$$

Z ₀импеданс свободного пространстваi = 1, 2

$${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}}\right|^{2}\!,}$$

$${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}\!.}$$

Вторая форма каждого уравнения получается из первой путем исключения θ _t с использованием закона Снелла и тригонометрических тождеств .

Вследствие сохранения энергии можно найти передаваемую мощность (или, точнее, излучение : мощность на единицу площади) просто как часть падающей мощности, которая не отражается:  ^[4]

$${\displaystyle T_{\mathrm {s} }=1-R_{\mathrm {s} }}$$

$${\displaystyle T_{\mathrm {p} }=1-R_{\mathrm {p} }}$$

Обратите внимание, что все такие интенсивности измеряются через интенсивность излучения волны в направлении, нормальном к границе раздела; это также то, что измеряется в типичных экспериментах. Это число можно получить из излучений в направлении падающей или отраженной волны (задаваемой величиной вектора Пойнтинга волны ), умноженной на cos  θ для волны под углом θ к нормальному направлению (или, что то же самое, взяв скалярное произведение вектора Пойнтинга с единичным вектором, нормальным к границе раздела). Это усложнение можно игнорировать в случае коэффициента отражения, поскольку cos  θ _i = cos  θ _r  , так что отношение отраженного и падающего излучения в направлении волны такое же, как и в направлении, нормальном к границе раздела.

Хотя эти соотношения описывают основы физики, во многих практических приложениях речь идет о «естественном свете», который можно описать как неполяризованный. Это означает, что в поляризациях s и p имеется одинаковая мощность , так что эффективная отражательная способность материала представляет собой просто среднее из двух коэффициентов отражения:

$${\displaystyle R_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{2}}\left(R_{\mathrm {s} }+R_{\mathrm {p} }\right).}$$

Для приложений с низкой точностью, включающих неполяризованный свет, таких как компьютерная графика , вместо строгого расчета эффективного коэффициента отражения для каждого угла часто используется приближение Шлика .

Особые случаи

Нормальная заболеваемость

В случае нормального падения θ _i = θ _t = 0 , и нет различия между s- и p-поляризацией. Таким образом, коэффициент отражения упрощается до

$${\displaystyle R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\,.}$$

Для обычного стекла ( n ₂ ≈ 1,5 ), окруженного воздухом ( n ₁ = 1 ), коэффициент отражения при нормальном падении составляет около 4% или 8%, учитывая обе стороны стеклянного стекла.

Угол Брюстера

На границе раздела диэлектриков от n ₁ до n ₂ существует определенный угол падения, при котором R _p обращается в ноль и падающая волна с p-поляризацией полностью преломляется, таким образом, весь отраженный свет является s-поляризованным. Этот угол известен как угол Брюстера и составляет около 56° для n ₁ = 1 и n ₂ = 1,5 (типичное стекло).

Полное внутреннее отражение

Когда свет, распространяющийся в более плотной среде, попадает на поверхность менее плотной среды (т. е. n ₁ > n ₂ ), за пределами определенного угла падения, известного как критический угол , весь свет отражается и R _s = R _p = 1 . Это явление, известное как полное внутреннее отражение , происходит при углах падения, для которых закон Снелла предсказывает, что синус угла преломления будет превышать единицу (тогда как на самом деле sin  θ ≤ 1 для всех действительных θ ). Для стекла с n = 1,5 , окруженного воздухом, критический угол составляет примерно 42°.

угол наклона 45°

Отражение при угле падения 45° очень часто используется для поворота на 90°. Для случая прохождения света из менее плотной среды в более плотную при падении под углом 45° ( _θ = 45° ) из приведенных выше уравнений алгебраически следует, что Rp _равно квадрату Rs :

$${\displaystyle R_{\text{p}}=R_{\text{s}}^{2}}$$

Это можно использовать либо для проверки согласованности измерений R _s и R _p , либо для получения одного из них, когда другой известен. Это соотношение справедливо только для простого случая одноплоскостной границы между двумя однородными материалами, но не для пленок на подложках, где требуется более сложный анализ.

Измерения R _s и R _p под углом 45° можно использовать для оценки отражательной способности при нормальном падении. ^{[ нужна цитата ]} «Среднее среднее значение», полученное путем вычисления сначала арифметического, а также среднего геометрического значений R _s и R _p , а затем повторного арифметического усреднения этих двух средних значений, дает значение для R ₀ с ошибкой менее около 3% для наиболее распространенных оптических материалов. ^{[ нужна ссылка ]} Это полезно, потому что измерения при нормальном падении могут быть затруднены в экспериментальной установке, поскольку входящий луч и детектор будут препятствовать друг другу. Однако, поскольку зависимость R _s и R _p от угла падения для углов менее 10° очень мала, измерение под углом около 5° обычно будет хорошим приближением для нормального падения, допуская при этом разделение входящего и отраженный луч.

Комплексные амплитудные коэффициенты отражения и передачи

Вышеупомянутые уравнения, связывающие мощности (которые можно измерить, например, с помощью фотометра ), выведены из уравнений Френеля, которые решают физическую проблему в терминах комплексных амплитуд электромагнитного поля , т. е. учитывая фазовые сдвиги в дополнение к их амплитудам . Эти основные уравнения обычно предоставляют комплексные соотношения этих электромагнитных полей и могут принимать несколько разных форм, в зависимости от используемого формализма. Комплексные амплитудные коэффициенты отражения и передачи обычно обозначаются строчными буквами r и t (тогда как коэффициенты мощности пишутся с заглавной буквы). Как и раньше, мы предполагаем, что магнитная проницаемость µ обеих сред равна проницаемости свободного пространства µ ₀ , что по существу справедливо для всех диэлектриков на оптических частотах.

Амплитудные коэффициенты: воздух-стекло

Амплитудные коэффициенты: стекло-воздух

В следующих уравнениях и графиках мы принимаем следующие соглашения. Для s- поляризации коэффициент отражения r определяется как отношение комплексной амплитуды электрического поля отраженной волны к амплитуде падающей волны, тогда как для p- поляризации r представляет собой отношение комплексных амплитуд магнитного поля волн (или, что то же самое, отрицательное значение отношение амплитуд их электрических полей). Коэффициент передачи t представляет собой отношение комплексной амплитуды электрического поля передаваемой волны к амплитуде падающей волны для любой поляризации. Коэффициенты r и t обычно различны для поляризаций s и p , и даже при нормальном падении (где обозначения s и p даже не применяются!) знак r меняется на противоположный в зависимости от того, считается ли волна s или p- поляризация, артефакт принятого соглашения о знаках (см. график границы раздела воздух-стекло при угле падения 0 °).

В уравнениях рассматривается плоская волна, падающая на плоскую границу раздела под углом падения , волна, отраженная под углом , и волна, прошедшая под углом . В случае границы раздела с поглощающим материалом (где n является комплексным) или полного внутреннего отражения угол пропускания обычно не оценивается как действительное число. Однако в этом случае значимые результаты можно получить, используя формулировки этих соотношений, в которых избегаются тригонометрические функции и геометрические углы; неоднородные волны, выпущенные во вторую среду, не могут быть описаны одним углом распространения. ${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {r} }=\theta _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {t} }}$

Используя это соглашение, ^{[5] [6]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}}$$

Видно, что t _s = r _s + 1 ^[7] и№ ₂/№ ₁т _{п знак} равно р _п + 1 . Очень похожие уравнения можно написать и для соотношения магнитных полей волн, но сравнение электрических полей более условно.

Поскольку отраженная и падающая волны распространяются в одной и той же среде и составляют одинаковый угол с нормалью к поверхности, коэффициент отражения мощности R представляет собой просто квадрат величины r :  ^[8]

$${\displaystyle R=|r|^{2}.}$$

С другой стороны, расчет коэффициента передачи мощности T менее прост, поскольку свет в двух средах распространяется в разных направлениях. Более того, волновые сопротивления в двух средах различаются; мощность ( излучение ) определяется как квадрат амплитуды электрического поля , разделенный на характеристическое сопротивление среды (или на квадрат магнитного поля, умноженный на характеристическое сопротивление). В результате: ^[9]

$${\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}|t|^{2}}$$

t№ ₂/№ ₁cos( θ )в направленииT = 1

В случае полного внутреннего отражения, когда передача мощности T равна нулю, t, тем не менее, описывает электрическое поле (включая его фазу) сразу за границей раздела. Это исчезающее поле , которое не распространяется как волна (таким образом, T = 0 ), но имеет ненулевые значения очень близко к границе раздела. Фазовый сдвиг отраженной волны при полном внутреннем отражении можно аналогичным образом получить из фазовых углов r _p и r _s (величины которых в данном случае равны единице). Эти фазовые сдвиги различны для s- и p- волн, что является хорошо известным принципом, согласно которому полное внутреннее отражение используется для осуществления преобразований поляризации .

Альтернативные формы

В приведенной выше формуле для r _s ‍, если мы поставим (закон Снелла) и умножим числитель и знаменатель на ${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$1/№ ₁ sin θ _t ‍ ,  получаем  ^{[10] [11]}

$${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Если мы поступим аналогичным образом с формулой для r _p ‍ , легко показать, что результат эквивалентен  ^{[12] [13]}

$${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Эти формулы  ^{[14] [15] [16]} известны соответственно как закон синуса Френеля и закон тангенса Френеля . ^[17] Хотя при нормальном падении эти выражения сводятся к 0/0, можно видеть, что они дают правильные результаты в пределе, когда ‍ θ i _→ 0 .

Несколько поверхностей

Когда свет многократно отражается между двумя или более параллельными поверхностями, несколько лучей света обычно интерферируют друг с другом, что приводит к суммарным амплитудам передачи и отражения, которые зависят от длины волны света. Однако интерференция видна только тогда, когда поверхности находятся на расстояниях, сравнимых или меньших длины когерентности света , которая для обычного белого света составляет несколько микрометров; для света лазера оно может быть намного больше .

Примером интерференции отражений являются радужные цвета, наблюдаемые в мыльном пузыре или тонких масляных пленках на воде. Приложения включают интерферометры Фабри-Перо , просветляющие покрытия и оптические фильтры . Количественный анализ этих эффектов основан на уравнениях Френеля, но с дополнительными расчетами для учета интерференции.

Метод трансфер-матрицы или рекурсивный метод Руара  ^[18] можно использовать для решения задач с несколькими поверхностями.

История

В 1808 году Этьен-Луи Малюс обнаружил, что когда луч света отражается от неметаллической поверхности под соответствующим углом, он ведет себя как один из двух лучей, выходящих из кристалла кальцита с двойным преломлением . ^[19] Позже он ввел термин «поляризация» для описания этого поведения. В 1815 году зависимость угла поляризации от показателя преломления была определена экспериментально Дэвидом Брюстером . ^[20] Но причина этой зависимости была настолько глубокой загадкой, что в конце 1817 года Томас Янг решил написать:

[T] Самая большая трудность, заключающаяся в том, чтобы найти достаточную причину для отражения или неотражения поляризованного луча, вероятно, еще долго будет сохраняться, чтобы умертвить тщеславие амбициозной философии, совершенно неразрешимой какой-либо теорией. ^[21]

Однако в 1821 году Огюстен-Жан Френель получил результаты, эквивалентные его законам синуса и тангенса (см. выше), моделируя световые волны как поперечные упругие волны с вибрациями, перпендикулярными тому, что ранее называлось плоскостью поляризации . Френель быстро подтвердил экспериментально, что уравнения правильно предсказывают направление поляризации отраженного луча, когда падающий луч был поляризован под углом 45 ° к плоскости падения, для света, падающего из воздуха на стекло или воду; в частности, уравнения дали правильную поляризацию под углом Брюстера. ^[22] Об экспериментальном подтверждении сообщалось в «постскриптуме» к работе, в которой Френель впервые изложил свою теорию о том, что световые волны, включая «неполяризованные» волны, являются чисто поперечными. ^[23]

Подробности вывода Френеля, включая современные формы закона синуса и закона тангенса, были изложены позже, в мемуарах, прочитанных Французской академии наук в январе 1823 года. ^[24] Этот вывод сочетал сохранение энергии с непрерывностью тангенциальной вибрации . на интерфейсе, но не смог учесть никаких условий нормальной составляющей вибрации. ^[25] Первый вывод из принципов электромагнетизма был сделан Хендриком Лоренцем в 1875 году. ^[26]

В том же мемуаре от января 1823 года _[ ^24] Френель обнаружил, что для углов падения, больших критического угла, его формулы для коэффициентов отражения ( _rs и rp ) дают комплексные значения с единичными величинами. Отметив, что величина, как обычно, представляет собой отношение пиковых амплитуд, он предположил, что аргумент представляет собой фазовый сдвиг, и проверил гипотезу экспериментально. ^[27] Проверка включала

• расчет угла падения, при котором общая разность фаз между компонентами s и p составит 90 °, для различного количества полных внутренних отражений под этим углом (обычно было два решения),
• подвергание света такому количеству полных внутренних отражений под этим углом падения с начальной линейной поляризацией под углом 45° к плоскости падения, и
• проверяя, была ли конечная поляризация круговой . ^[28]

Таким образом, у него наконец появилась количественная теория того, что мы теперь называем ромбом Френеля — устройства, которое он использовал в экспериментах в той или иной форме с 1817 года (см. Ромб Френеля §  История ).

Успех комплексного коэффициента отражения вдохновил Джеймса МакКаллаха и Огюстена-Луи Коши , начиная с 1836 года, анализировать отражение от металлов с помощью уравнений Френеля со сложным показателем преломления . ^[29]

За четыре недели до того, как он представил свою завершенную теорию полного внутреннего отражения и ромба, Френель представил мемуары  ^[30] , в которых он ввел необходимые термины линейная поляризация , круговая поляризация и эллиптическая поляризация , ^[31] и в которых он объяснил оптическое вращение. как разновидность двойного лучепреломления : линейно поляризованный свет можно разделить на две компоненты с круговой поляризацией, вращающиеся в противоположных направлениях, и если они распространяются с разными скоростями, разность фаз между ними - следовательно, ориентация их линейно поляризованной результирующей - будет меняться. непрерывно с расстоянием. ^[32]

Таким образом, интерпретация Френелем комплексных значений его коэффициентов отражения ознаменовала слияние нескольких направлений его исследований и, возможно, существенное завершение его реконструкции физической оптики на основе гипотезы поперечных волн (см. Огюстен-Жан Френель ).

Вывод

Здесь мы систематически выводим приведенные выше соотношения из электромагнитных предпосылок.

Параметры материала

Чтобы вычислить значимые коэффициенты Френеля, мы должны предположить, что среда (приблизительно) линейна и однородна . Если среда также изотропна , четыре вектора поля E ,  B ,  D ,  H связаны соотношением 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,\end{aligned}}}$$

ϵμдиэлектрическаяпроницаемостиϵ ₀µ ₀относительнуюдиэлектрическую проницаемостьϵ _rel = ϵ / ϵ ₀относительнуюµ _rel = µ / µ ₀

В оптике принято считать, что среда немагнитна, так что µ _rel = 1 . Для ферромагнитных материалов на радио/микроволновых частотах необходимо учитывать большие значения μ _{rel .} Но для оптически прозрачных сред и для всех других материалов на оптических частотах (за исключением возможных метаматериалов ) μ _rel действительно очень близок к 1; то есть µ ≈ µ0 _.

В оптике обычно знают показатель преломления среды n , который представляет собой отношение скорости света в вакууме ( с ) к скорости света в среде. При анализе частичного отражения и передачи также интересен импеданс электромагнитной волны Z , который представляет собой отношение амплитуды E к амплитуде H. Поэтому желательно выразить n и Z через ϵ и µ и, следовательно, связать Z с n . Последнее соотношение, однако, позволит удобно выводить коэффициенты отражения через волновой адмиттанс Y , который является обратной величиной волнового импеданса Z.

В случае однородных плоских синусоидальных волн волновой импеданс или адмиттанс известен как собственный импеданс или адмиттанс среды. Именно для этого случая необходимо вывести коэффициенты Френеля.

Электромагнитные плоские волны

В однородной плоской синусоидальной электромагнитной волне электрическое поле E имеет вид

где E _k — (постоянный) комплексный вектор амплитуды, i — мнимая единица измерения , k — волновой вектор (величина которого k — угловое волновое число ), r — вектор положения , ω — угловая частота , t — время, и подразумевается, что реальной частью выражения является физическое поле. ^{[Примечание 1]}   Значение выражения не меняется, если положение r изменяется в направлении, нормальном к k ; следовательно, k нормально к волновым фронтам .

Чтобы сдвинуть фазу на угол φ , мы заменяем ωt на ωt + φ  (т. е. заменяем − ωt на — ωt − φ ), в результате чего (комплексное) поле умножается на e ^−iφ . Таким образом, сдвиг фазы эквивалентен умножению на комплексную константу с отрицательным аргументом . Это становится более очевидным, когда поле ( 1 ) факторизуется как ‍ E _k e ^{i k ⋅ r} e ^−iωt , где последний фактор содержит зависимость от времени. Этот фактор также означает, что дифференцирование по времени соответствует умножению на −iω . ^{[Заметка 2]} 

Если ℓ является компонентом r в направлении k  , поле ( 1 ) можно записать ‍ E _k e ^{i ( kℓ − ωt )} . Если аргумент e ^{i (⋯)} должен быть постоянным,  ℓ  должен увеличиваться со скоростью , известной как фазовая скорость ( v _p ) . Это, в свою очередь, равно ‍. Решение для k дает  ${\displaystyle \omega /k\,,\,}$  ${\displaystyle c/n}$

Как обычно, мы опускаем зависящий от времени множитель e ^{− iωt} , под которым понимается умножение каждой комплексной величины поля. Тогда электрическое поле для однородной плоской синусоидальной волны будет представлено вектором, зависящим от местоположения .

Для полей такой формы закон Фарадея и закон Максвелла-Ампера соответственно сводятся к  ^[33]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

Полагая B = µ H и D = ϵ E ‍ , ‍, как указано выше, мы можем исключить B и D и получить уравнения только в E и H :         

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

ϵμk  , E  , H   правостороннюю ортогональную триаду2

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}}$$

HEHE.

Разделение (или перекрестное умножение) одних и тех же двух уравнений дает H = YE ‍ , где    

Это внутренний допуск .

Из ( 4 ) получаем фазовую скорость ‍. Для вакуума это уменьшается до ‍. Разделив второй результат на первый, получим ${\displaystyle c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}}$  ${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$ 

$${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,.}$$

немагнитной(5импеданс.‍, известноеимпеданс свободного пространства.немагнитной) ${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}}$ ${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ ${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$ ${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$  ${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$

Волновые векторы

Падающие, отраженные и прошедшие волновые векторы ( k _i ‍ , k _r ‍ и k _t  ) для падения из среды с показателем преломления n ₁ в среду с показателем преломления n ₂ ​​. Красные стрелки перпендикулярны волновым векторам.

В декартовых координатах ( x ,  y , ‍ z ) пусть область ‍ y < 0 ‍ имеет показатель преломления n ₁ , собственную проводимость Y ₁ и т. д., и пусть область ‍ y > 0 ‍ имеет показатель преломления n ₂ ​​, собственный проводимость Y ₂ и т. д. Тогда плоскость xz является границей раздела, а ось y перпендикулярна границе раздела (см. схему). Пусть i и j (жирным прямым шрифтом ) — единичные векторы в направлениях x и y соответственно. Пусть плоскостью падения будет плоскость xy (плоскость страницы) с углом падения θi _, измеренным от j к i . Пусть угол преломления, измеренный в том же смысле, равен θ _t , где индекс t обозначает проходящий (оставляя r для отраженного ).        

В отсутствие доплеровских сдвигов ω не меняется при отражении или преломлении . Следовательно, согласно ( 2 ), величина волнового вектора пропорциональна показателю преломления.

Итак, для данного ω , если мы переопределим k как величину волнового вектора в опорной среде (для которой n  = ‍ 1 ), то волновой вектор будет иметь величину n ₁ k в первой среде (область ‍ y < 0 ‍ на диаграмме) и величину n ₂ k во второй среде. Из величин и геометрии мы находим, что волновые векторы равны

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}}$$

скалярные произведения3

Следовательно:

S - компоненты

Для s- поляризации поле E параллельно оси z и поэтому может быть описано его составляющей в направлении z  . Пусть коэффициенты отражения и прохождения равны _rs и t s _{соответственно}  . Тогда, если принять, что падающее поле E имеет единичную амплитуду, векторная форма ( 3 ) его z -компоненты будет равна

а отраженное и прошедшее поля в одной и той же форме равны

Согласно соглашению о знаках, используемому в этой статье, положительный коэффициент отражения или передачи — это коэффициент, который сохраняет направление поперечного поля , то есть (в данном контексте) поле, нормальное к плоскости падения. Для s- поляризации это означает поле E. Если падающее, отраженное и прошедшее поля E (в приведенных выше уравнениях) находятся в направлении z («за пределами страницы»), то соответствующие поля H находятся в направлениях красных стрелок, поскольку k  , E  , H образуют правостороннюю ортогональную триаду. Таким образом, поля H могут быть описаны их компонентами в направлениях этих стрелок, обозначенных H _i  , H _r ‍ , H _t . Тогда, поскольку H = YE ‍ ,           

На границе раздела, по обычным условиям интерфейса для электромагнитных полей , тангенциальные компоненты полей E и H должны быть непрерывными; то есть,

Когда мы делаем замену из уравнений ( 8 ) в ( 10 ), а затем из ( 7 ), экспоненциальные множители сокращаются, так что условия интерфейса сводятся к одновременным уравнениям

которые легко решаются относительно r _s и t _s ‍ , что дает

и

При нормальном падении ‍ ( θ _i = θ _t = 0) , обозначенном дополнительным индексом 0, эти результаты становятся  

и

При скользящем падении ‍ ( θ _i → 90°) мы имеем cos θ _i → 0 ‍, следовательно, r _s → −1 и t _s → 0 .             

p - компоненты

Для p - поляризации падающее, отраженное и прошедшее E- поля параллельны красным стрелкам и поэтому могут быть описаны их компонентами в направлениях этих стрелок. _{Пусть этими} компонентами будут E _i  , Er ‍ , E _t (переопределяющие символы для нового контекста). Пусть коэффициенты отражения и прохождения равны r _p и t _p . Тогда, если принять, что падающее поле E имеет единичную амплитуду, мы имеем     

Если поля E расположены в направлениях красных стрелок, то для того, чтобы k  , E  , H образовали правостороннюю ортогональную триаду, соответствующие поля H должны быть в направлении -z  («на страницу»). и поэтому могут быть описаны их компонентами в этом направлении. Это согласуется с принятым соглашением о знаках, а именно с тем, что положительным коэффициентом отражения или прохождения является тот, который сохраняет направление поперечного поля ( поля H в случае p- поляризации ) . Согласование другого поля с красными стрелками показывает альтернативное определение соглашения о знаках: положительный коэффициент отражения или прохождения — это коэффициент, для которого вектор поля в плоскости падения указывает на одну и ту же среду до и после отражения или передачи. ^[34]     

Итак, для падающего, отраженного и прошедшего H -полей пусть соответствующие компоненты в направлении -z  будут H _i  , H _r ‍ , H _t . Тогда, поскольку H = YE ‍ ,         

На границе раздела тангенциальные компоненты полей E и H должны быть непрерывными; то есть,

Когда мы делаем замену из уравнений ( 17 ) и ( 18 ), а затем из ( 7 ), экспоненциальные множители снова сокращаются, так что условия интерфейса сводятся к

Решая относительно r _p и t _p ‍, находим

и

При нормальном падении ‍ ( θ _i = θ _t = 0) , обозначенном дополнительным индексом 0, эти результаты становятся  

и

При скользящем угле падения ( θi → 90°)  мы снова имеем cos _θi → 0 _‍, следовательно , rp _→ −1 и tp → ₀ .       

Сравнивая ( 23 ) и ( 24 ) с ( 15 ) и ( 16 ), видим, что при нормальном падении, согласно принятому соглашению о знаках, коэффициенты прохождения для двух поляризаций равны, тогда как коэффициенты отражения имеют равные величины, но противоположные знаки. . Хотя это противоречие знаков является недостатком конвенции, сопутствующим преимуществом является то, что знаки совпадают при выпасе .

Коэффициенты мощности (отражательная способность и пропускающая способность)

Вектор Пойнтинга для волны — это вектор, компонентом которого в любом направлении является интенсивность излучения (мощность на единицу площади) этой волны на поверхности, перпендикулярной этому направлению. Для плоской синусоидальной волны вектор Пойнтинга равен 1/2‍ Re { E  × H ^∗ }  , где E и H обусловлены только рассматриваемой волной, а звездочка обозначает комплексное сопряжение. Внутри диэлектрика без потерь (обычный случай) E и H находятся в фазе и под прямым углом друг к другу и к волновому вектору k  ; Итак, для s-поляризации, используякомпоненты z и xy E и H соответственно (или для p-поляризации, используякомпоненты xy и -z E и H ), излучение в направлении k определяется просто EH /2  , ‍ что равно ‍ E ² / 2Z в среде с собственным сопротивлением Z  = 1/ Y . Чтобы вычислить интенсивность излучения в направлении, нормальном к границе раздела, как нам потребуется при определении коэффициента передачи мощности, мы могли бы использовать только компонент x (а не полный компонент xy ) H или E или, что то же самое, просто умножить EH /2 с помощью соответствующего геометрического фактора, получая ( E ² / 2Z )  cos  θ .  

Из уравнений ( 13 ) и ( 21 ), взяв квадраты величин, мы находим, что отражательная способность (отношение отраженной мощности к падающей мощности) равна

для s-поляризации и

для p-поляризации. Заметим, что при сравнении мощностей двух таких волн в одной и той же среде и с одним и тем же  cos θ упомянутые выше импедансный и геометрический факторы одинаковы и взаимно компенсируются. Но при расчете передачи мощности (ниже) эти факторы необходимо учитывать. 

Самый простой способ получить коэффициент передачи мощности ( коэффициент пропускания , отношение передаваемой мощности к падающей мощности в направлении, нормальном к интерфейсу , т.е. направлении y ) — использовать R  +  T  = 1 ‍ ( сохранение энергии). Таким образом мы находим

для s-поляризации и

для p-поляризации.

В случае интерфейса между двумя средами без потерь (для которых ϵ и µ действительны и положительны) эти результаты можно получить непосредственно, используя квадраты величин амплитудных коэффициентов передачи, которые мы нашли ранее в уравнениях ( 14 ) и ( 22 ) . Но для заданной амплитуды (как отмечалось выше) составляющая вектора Пойнтинга в направлении y пропорциональна геометрическому коэффициенту cos  θ ‍ и обратно пропорциональна волновому сопротивлению Z . Применяя эти поправки к каждой волне, получаем два коэффициента, умножающих квадрат амплитудного коэффициента передачи:

для s-поляризации и

для p-поляризации. Последние два уравнения применимы только к диэлектрикам без потерь и только при углах падения, меньших критического угла (за пределами которого, конечно, T  = 0  ).

Для неполяризованного света:

$${\displaystyle T={1 \over 2}(T_{s}+T_{p})}$$

$${\displaystyle R={1 \over 2}(R_{s}+R_{p})}$$

${\displaystyle R+T=1}$

Равные показатели преломления

Из уравнений ( 4 ) и ( 5 ) мы видим, что две разнородные среды будут иметь одинаковый показатель преломления, но разные адмиттансы, если отношение их проницаемостей обратно пропорционально отношению их диэлектрических проницаемостей. В этой необычной ситуации мы имеем θ _t = θ _i ‍ ( то есть прошедший луч не отклонен), так что косинусы в уравнениях ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) и ( 25 ) ( 28 ) сокращаются, и все коэффициенты отражения и прохождения становятся независимыми от угла падения; другими словами, соотношения нормального падения становятся применимыми ко всем углам падения. ^[35] При распространении на сферическое отражение или рассеяние это приводит к эффекту Керкера для рассеяния Ми .   

Немагнитные носители

Поскольку уравнения Френеля разрабатывались для оптики, они обычно приводятся для немагнитных материалов. Разделив ( 4 ) на ( 5 )) получим

$${\displaystyle Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,.}$$

проницаемость вакуума ц ₀ц

$${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,;}$$

13162126cμ ₀^{[5] [6]}

В случае нормальной заболеваемости они уменьшаются до:

Коэффициенты отражения мощности становятся:

Тогда передачи мощности можно найти из T  = 1 -  R .

Угол Брюстера

Для равных проницаемостей (например, немагнитных сред), если θ _i и θ _t дополняют друг друга , мы можем заменить ‍ sin θ _t ‍ на ‍ cos θ _i ‍ и ‍ sin θ _i ‍ на ‍ cos θ _t ‍ , так что числитель в уравнении ( 31 ) принимает вид ‍ n ₂ ‍ sin θ _t − n ₁ ‍ sin θ _i ‍ , что равно нулю (по закону Снелла). Следовательно, r _p = 0 и отражается только s-поляризованная компонента. Вот что происходит под углом Брюстера . Заменив ‍ cos θ _i ‍ на ‍ sin θ _t ‍ в законе Снелла, мы легко получаем                    

для угла Брюстера.

Равные диэлектрические проницаемости

Хотя на практике это не встречается, уравнения могут быть применимы и к случаю двух сред с общей диэлектрической проницаемостью, но разными показателями преломления из-за разных проницаемостей. Согласно уравнениям ( 4 ) и ( 5 ), если ϵ фиксировано вместо µ , то Y становится обратно пропорциональным n , в результате чего индексы 1 и 2 в уравнениях ( 29 ) – ( 38 ) меняются местами (из-за дополнительный шаг умножения числителя и знаменателя на n ₁ n ₂ ). Следовательно, в ( 29 ) и ( 31 ₎ выражения для r _s и rp через показатели преломления поменяются местами, так что угол Брюстера ( 39 ) будет давать r _s = 0 вместо r _p = 0 ‍ , и любой луч, отраженный под этим углом, будет иметь p-поляризацию, а не s-поляризацию. ^[36] Точно так же синусоидальный закон Френеля будет применяться к p-поляризации вместо s-поляризации, а его закон касательной - к s-поляризации вместо p-поляризации.     

Этот переключатель поляризаций имеет аналог в старой механической теории световых волн (см. § Историю выше). Можно было предсказать коэффициенты отражения, которые согласовывались с наблюдениями, предполагая (как Френель), что разные показатели преломления обусловлены разной плотностью и что вибрации были нормальны к тому, что тогда называлось плоскостью поляризации , или предполагая (как МакКуллах и Нейман ), что разные показатели преломления были обусловлены разной упругостью и тем, что колебания были параллельны этой плоскости. ^[37] Таким образом, условие равных диэлектрических и неравных проницаемостей, хотя и не реалистично, представляет некоторый исторический интерес.

Смотрите также

• Исчисление Джонса
• Поляризационное смешивание
• Соответствующий индексу материал
• Величины поля и мощности
• Ромб Френеля — аппарат Френеля для получения света с круговой поляризацией.
• Потеря отражения
• Зеркальное отражение
• Приближение Шлика
• окно Снелла
• Отражательная способность рентгеновских лучей
• Плоскость падения
• Отражения сигналов на проводящих линиях

Примечания

1. Вышеуказанная форма ( 1 ) обычно используется физиками. Инженеры-электрики обычно предпочитают форму  E _k  e ^{j ( ωt − k⋅r )} ; т. е. они не только используют j вместо i для мнимой единицы, но и меняют знак показателя степени, в результате чего все выражение заменяется комплексно-сопряженным к нему , оставляя действительную часть неизменной [Ср. (например) Коллин, 1966, с. 41, экв. ‍ ( 2.81)]. Форма инженеров-электриков и выведенные из нее формулы могут быть преобразованы в соглашения физиков, заменив -i вместо j .
2. В соответствии с электротехническим соглашением коэффициент, зависящий от времени, равен e ^{‍ jωt} , так что сдвиг фазы соответствует умножению на комплексную константу с положительным аргументом, а дифференцирование по времени соответствует умножению на + jω . Однако в этой статье используется физическое соглашение, коэффициент которого зависит от времени e ^{− iωt} . Хотя мнимая единица не фигурирует явно в приведенных здесь результатах, фактор, зависящий от времени, влияет на интерпретацию любых результатов, которые оказываются сложными.

Рекомендации

1. Борн и Вольф, 1970, с. 38.
2. Хехт, 1987, с. 100.
3. Дриггерс, Рональд Г.; Хоффман, Крейг; Дриггерс, Рональд (2011). Энциклопедия оптической техники . дои : 10.1081/E-EOE. ISBN 978-0-8247-0940-2.
4. Хехт, 1987, с. 102.
5. Конспекты лекций Бо Сернелиуса, основной сайт. Архивировано 22 февраля 2012 г. в Wayback Machine , см. особенно Лекцию 12.
6. Born & Wolf, 1970, с. 40, экв.  (20), (21).
7. Хехт, 2002, с. 116, экв.  (4,49), (4,50).
8. Хехт, 2002, с. 120, экв. (4.56).
9. Хехт, 2002, с. 120, экв. (4,57).
10. Френель, 1866, с. 773.
11. Хехт, 2002, с. 115, экв. (4.42).
12. Френель, 1866, с. 757.
13. Хехт, 2002, с. 115, экв. (4.43).
14. Э. Верде, во Френеле, 1866, с. 789н.
15. Борн и Вольф, 1970, с. 40, экв. (21а).
16. Дженкинс и Уайт, 1976, с. 524, экв. (25а).
17. Уиттакер, 1910, с. 134; Дарригол, 2012, с. ‍ 213 .
18. Небеса, ОС (1955). Оптические свойства тонких пленок . Академическая пресса.гл. 4.
19. Дарригол, 2012, стр.  191–2.
20. Д. Брюстер, «О законах, регулирующих поляризацию света при отражении от прозрачных тел», Philosophical Transactions of the Royal Society , vol.  105, стр.  125–59, прочитано 16 марта 1815 г.
21. Т. Янг, «Хроматика» (написано в сентябре – октябре 1817 г. ), Дополнение к четвертому, пятому и шестому изданиям Британской энциклопедии , том.  3 (первая половина, выпущено в феврале 1818 г.), стр.  141–63, заключительное предложение.
22. Бухвальд, 1989, стр.  390–91; Френель, 1866, стр.  646–8.
23. А. Френель, «Примечание к расчётам teintes que la поляризации, развивающейся в кристаллических пластинках» и далее, Annales de Chimie et de Physique , vol.  17, стр.  102–11 (май 1821 г.), 167–96 (июнь 1821 г.), 312–15 («Постскриптум», июль 1821 г.); перепечатано Френелем, 1866 г., стр.  609–48; переведено как «О расчете оттенков, возникающих в кристаллических пластинках, и  постскриптум», Zenodo :  4058004 / doi : 10.5281/zenodo.4058004, 2021.
24. А. Френель, «Mémoire sur la loi des модификаций que la réflexion imprime à la lumière Polarisée» («Мемуары о законе модификаций, которые отражение производит в поляризованном свете»), прочитано 7 января 1823 года; переиздано Френелем, 1866 г., стр.  767–99 (полный текст, опубликован в 1831 г.), стр.  753–62 (отрывок, опубликован в 1823 г.). См. особенно стр.  773 (синусоидальный закон), 757 (тангенциальный закон), 760–61 и 792–6 (углы полного внутреннего отражения для заданных разностей фаз).
25. Бухвальд, 1989, стр.  391–3; Уиттакер, 1910, стр.  133–5.
26. Бухвальд, 1989, с. 392.
27. Ллойд, 1834, стр.  369–70; Бухвальд, 1989, стр.  393–4,  453; Френель, 1866, стр.  781–96.
28. Френель, 1866, стр.  760–61,  792–6; Уэвелл, 1857, с. 359.
29. Уиттакер, 1910, стр.  177–9.
30. А. Френель, «Mémoire sur la double refraction que les rayons lumineux éprouvent en traversant les aiguilles de cristal de roche suivant les Directions parallèles à l'axe» («Мемуары о двойном преломлении, которому подвергаются световые лучи при прохождении кварцевых игл в направлениях, параллельных оси»), прочитано 9 декабря 1822 г.; напечатано во Френеле, 1866 г., стр.  731–51 (полный текст), стр.  719–29 ( дополнительно , впервые опубликовано в Bulletin de la Société philomathique за 1822 г., стр. 191–8).
31. Бухвальд, 1989, стр.  230–31; Френель, 1866, с. 744.
32. Бухвальд, 1989, с. 442; Fresnel, 1866, стр.  737–9,  749. Ср. Уэвелл, 1857, стр.  356–8; Дженкинс и Уайт, 1976, стр.  589–90.
33. Сравните М. В. Берри и М. Р. Джеффри, «Коническая дифракция: дьявольская точка Гамильтона в сердце кристаллооптики», в Э. Вольфе (ред.), Progress in Optics , vol.  50, Амстердам: Elsevier, 2007, стр.  13–50, doi :10.1016/S0079-6638(07)50002-8, стр. 18, экв. ‍ ( 2.2).
34. Это согласуется с Born & Wolf, 1970, стр. 38, рис. 1.10.
35. Джайлз, CL; Уайлд, WJ (1982). «Френелевское отражение и пропускание на плоской границе из сред с равными показателями преломления». Письма по прикладной физике . 40 (3): 210–212. Бибкод : 1982ApPhL..40..210G. дои : 10.1063/1.93043. S2CID  118838757.
36. Более общие углы Брюстера, для которых углы падения и преломления не обязательно дополняют друг друга, обсуждаются в CL Giles и WJ Wild, «Углы Брюстера для магнитных сред», International Journal of Infrared and Millimeter Waves , vol.  6, нет. ‍ 3 (март 1985 г.), стр.  187–97.
37. Уиттакер, 1910, стр. 133, 148–9; Дарригол, 2012, стр. 212, 229–31.

Источники

• М. Борн и Э. Вольф, 1970, Принципы оптики , 4-е изд., Оксфорд: Pergamon Press.
• Дж. З. Бухвальд, 1989, Развитие волновой теории света: оптическая теория и эксперимент в начале девятнадцатого века , University of Chicago Press, ISBN 0-226-07886-8 . 
• Р.Э. Коллин, 1966, Основы микроволновой техники , Токио: McGraw-Hill.
• О. Дарригол, 2012, История оптики: от греческой древности до девятнадцатого века , Оксфорд, ISBN 978-0-19-964437-7 . 
• А. Френель, 1866 (изд.  Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , Париж: Imprimerie Impériale (3 тома, 1866–70), том. 1 (1866 г.).
• Э. Хехт, 1987, Оптика , 2-е изд., Аддисон Уэсли, ISBN 0-201-11609-X . 
• Э. Хехт, 2002, Оптика , 4-е изд., Аддисон Уэсли, ISBN 0-321-18878-0 . 
• Ф.А. Дженкинс и Х.Э. Уайт, 1976, Основы оптики , 4-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 . 
• Х. Ллойд, 1834 г., «Отчет о прогрессе и современном состоянии физической оптики», Отчет четвертого собрания Британской ассоциации содействия развитию науки (состоявшегося в Эдинбурге в 1834 г.), Лондон: Дж. Мюррей, 1835 г., стр.  295–413 .
• У. Уэвелл, 1857, История индуктивных наук: от древнейших времен до наших дней , 3-е изд., Лондон: JW Parker & Son, vol. 2.
• Э. Т. Уиттакер , 1910, История теорий эфира и электричества: от эпохи Декарта до конца девятнадцатого века , Лондон: Longmans, Green, & Co.

дальнейшее чтение

• Воан, Г. (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). «Глава 9.3: Электромагнитные волны в материи». Введение в электродинамику (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-42041-9.
• Группа, ЮБ (2010). Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-89931-0.
• Кеньон, ИК (2008). Свет Фантастик – Введение в классическую и квантовую оптику . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-856646-5.
• Энциклопедия физики (2-е издание) , Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 

Внешние ссылки

• Уравнения Френеля – Вольфрам.
• Калькулятор уравнений Френеля
• FreeSnell – Бесплатное программное обеспечение для расчета оптических свойств многослойных материалов.
• Thinfilm – веб-интерфейс для расчета оптических свойств тонких пленок и многослойных материалов (коэффициенты отражения и пропускания, эллипсометрические параметры Psi и Delta).
• Простой веб-интерфейс для расчета углов и сил отражения и преломления с помощью одного интерфейса.
• Отражение и пропускание для двух диэлектриков ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} - интерактивная веб-страница Mathematica, показывающая взаимосвязь между показателем преломления и отражения.
• Автономный вывод вероятностей прохождения и отражения из многослойного слоя с комплексными показателями преломления на основе первых принципов.