stringtranslate.com

Кольцо-частное

В теории колец , раздела абстрактной алгебры , фактор-кольцо , также известное как фактор-кольцо , разностное кольцо [1] или кольцо классов вычетов , представляет собой конструкцию, весьма похожую на фактор-группу в теории групп и на фактор-пространство в линейной алгебре . [2] [3] Это конкретный пример фактора , рассматриваемый с точки зрения общей установки универсальной алгебры . Начиная с кольца и двустороннего идеала в , строится новое кольцо, фактор-кольцо , элементами которого являются смежные классы в с учетом специальных и операций. (Обозначение фактор-кольца всегда использует дробную косую черту "/".)

Кольца частных отличаются от так называемого «поля частных» или поля дробей целостной области , а также от более общих «колец частных», полученных путем локализации .

Формальное построение факторкольца

Для кольца и двустороннего идеала в можно определить отношение эквивалентности следующим образом:

тогда и только тогда, когда находится в .

Используя свойства идеала, нетрудно проверить, что является отношением конгруэнтности . В случае мы говорим, что и конгруэнтны по модулю (например, и конгруэнтны по модулю, поскольку их разность является элементом идеала , четных целых чисел ). Класс эквивалентности элемента в задается формулой:

Этот класс эквивалентности иногда также записывается как и называется «классом вычетов по модулю ».

Множество всех таких классов эквивалентности обозначается как ; оно становится кольцом, кольцом множителей или кольцом частных по модулю , если определить

(Здесь нужно проверить, что эти определения корректны . Сравните смежный класс и факторгруппу .) Нулевой элемент равен , а мультипликативное тождество равно .

Отображение из в , определяемое формулой, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом , иногда называемым естественным факторным отображением или каноническим гомоморфизмом .

Примеры

Вариации комплексных плоскостей

Частные , и все изоморфны и поначалу не вызывают особого интереса. Но заметьте, что в геометрической алгебре называется плоскостью двойственных чисел . Она состоит только из линейных двучленов как «остатков» после сокращения элемента на . Эта вариация комплексной плоскости возникает как подалгебра всякий раз, когда алгебра содержит действительную прямую и нильпотентный .

Более того, кольцевое частное расщепляется на и , поэтому это кольцо часто рассматривается как прямая сумма . Тем не менее, вариация комплексных чисел предлагается как корень из , по сравнению с как корень из . Эта плоскость расщепленных комплексных чисел нормализует прямую сумму , предоставляя основу для 2-пространства, где тождество алгебры находится на единичном расстоянии от нуля. С этой основой единичную гиперболу можно сравнить с единичной окружностью обычной комплексной плоскости .

Кватернионы и вариации

Предположим, что и являются двумя некоммутирующими неопределенностями и образуют свободную алгебру . Тогда кватернионы Гамильтона 1843 года можно представить как:

Если заменить на , то получим кольцо расщепленных кватернионов . Свойство антикоммутативности подразумевает, что имеет в качестве квадрата:

Замена минуса на плюс в обоих квадратных двучленах также приводит к раздельным кватернионам.

Три типа бикватернионов также можно записать в виде частных, используя свободную алгебру с тремя неизвестными и построив соответствующие идеалы.

Характеристики

Очевидно, если — коммутативное кольцо , то и ; обратное, однако, в общем случае неверно.

Естественное фактор-отображение имеет своим ядром ; поскольку ядром каждого кольцевого гомоморфизма является двусторонний идеал, мы можем утверждать, что двусторонние идеалы являются в точности ядрами кольцевых гомоморфизмов.

Тесную связь между гомоморфизмами колец, ядрами и фактор-кольцами можно резюмировать следующим образом: гомоморфизмы колец, определенные на , по сути, совпадают с гомоморфизмами колец, определенными на , которые обращаются в нуль (т.е. равны нулю) на . Точнее, если заданы двусторонний идеал в и гомоморфизм колец , ядро ​​которого содержит , то существует ровно один гомоморфизм колец с (где — естественное отображение фактор-кольца ). Отображение здесь задается хорошо определенным правилом для всех в . Действительно, это универсальное свойство можно использовать для определения фактор-колец и их естественных отображений фактор-кольца.

Как следствие вышесказанного, получаем фундаментальное утверждение: каждый гомоморфизм колец индуцирует изоморфизм колец между фактор-кольцом и образом . (См. также: Основная теорема о гомоморфизмах .)

Идеалы и тесно связаны: естественное факторное отображение обеспечивает биекцию между двусторонними идеалами , которые содержат , и двусторонними идеалами (то же самое верно для левых и правых идеалов). Эта связь между двусторонним идеалом распространяется на связь между соответствующими факторными кольцами: если — двусторонний идеал в , который содержит , и мы записываем для соответствующего идеала в (т.е. ), факторные кольца и естественно изоморфны посредством (хорошо определенного) отображения .

Следующие факты оказываются полезными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии : для коммутативности является полем тогда и только тогда, когда является максимальным идеалом , в то время как является областью целостности тогда и только тогда, когда является простым идеалом . Ряд подобных утверждений связывают свойства идеала со свойствами фактор-кольца .

Китайская теорема об остатках утверждает, что если идеал является пересечением (или, что эквивалентно, произведением) попарно взаимно простых идеалов , то фактор-кольцо изоморфно произведению фактор -колец .

Для алгебр над кольцом

Ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом сама является кольцом. Если — идеал в (замкнутый относительно -умножения), то наследует структуру алгебры над и является фактор-алгеброй .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Якобсон, Натан (1984). Структура колец (пересмотренное издание). Американское математическое общество. ISBN 0-821-87470-5.
  2. ^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
  3. ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

Дополнительные ссылки

Внешние ссылки