Натуральное число

В математике натуральными числами являются числа 1, 2, 3 и т. д., возможно, включая и 0. В некоторых определениях, включая стандарт ISO 80000-2 , ^[1] натуральные числа начинаются с $0$ , что соответствует неотрицательным целым числам $0, 1, 2, 3, ...$ , тогда как другие начинаются с $1$ , что соответствует положительному числу. целые числа $1, 2, 3, ...$ ^[2]^[a] Тексты, которые исключают ноль из натуральных чисел, иногда называют натуральные числа вместе с нулем целыми числами , в то время как в других произведениях этот термин используется вместо этого для обозначения целых чисел. целые числа (включая отрицательные целые числа). ^{[4] В обычном языке, особенно в}начальной школе, натуральные числа можно назвать счетными числами ^[5], чтобы интуитивно исключить целые отрицательные числа и ноль, а также противопоставить дискретность счета непрерывности измерения — отличительной характеристике вещественные числа .

Натуральные числа можно использовать для подсчета (например, « на столе шесть монет»), и в этом случае они служат количественными числами . Их также можно использовать для упорядочивания (например, «это третий по величине город в стране»), и в этом случае они служат порядковыми числами . Натуральные числа иногда используются в качестве меток, также известных как номинальные числа (например, номера на футболках в спорте), которые не обладают свойствами чисел в математическом смысле. ^[3]^[6]

Натуральные числа образуют набор , часто обозначаемый как . Многие другие наборы чисел создаются путем последовательного расширения набора натуральных чисел: целые числа за счет включения аддитивного тождества 0 (если оно еще не введено) и аддитивного обратного значения $-$ $n$ для каждого ненулевого натурального числа $n$ ; рациональные числа , включая мультипликативное обратное для каждого ненулевого целого числа $n$ (а также произведение этих обратных чисел на целые числа); действительные числа путем включения пределов последовательностей Коши ^[b] рациональных чисел; комплексные числа путем присоединения к действительным числам квадратного корня из −1 (а также их сумм и произведений); и так далее. ^[c]^[d] Эта цепочка расширений канонически встраивает натуральные числа в другие системы счисления. ${\ textstyle \ mathbb {N} }$ $1/n$

Свойства натуральных чисел, такие как делимость и распределение простых чисел , изучаются в теории чисел . Проблемы, связанные со счетом и упорядочиванием, такие как разбиение и перечисления , изучаются в комбинаторике .

История

Древние корни

Самый примитивный метод представления натурального числа — использование пальцев, например, при счете пальцев . Еще одним примитивным методом является проставление метки для каждого объекта. Позже набор объектов можно было проверить на равенство, избыток или недостаток — вычеркнув отметку и удалив объект из набора.

Первым крупным достижением в области абстракции стало использование цифр для обозначения чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали мощную систему цифр с отдельными иероглифами для 1, 10 и всех степеней от 10 до более чем 1 миллиона. Резьба по камню из Карнака , датируемая примерно 1500 годом до нашей эры и ныне находящаяся в Лувре в Париже, изображает 276 как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622. У вавилонян была система разрядов , основанная в основном на цифрах 1 и 10 с основанием шестьдесят, так что символ шестидесяти был таким же, как и символ единицы, — его значение определялось из контекста. ^[10]

Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что можно рассматривать как число со своей собственной цифрой. Использование цифры 0 в позиционной записи (внутри других чисел) восходит к 700 г. до н. э. вавилонянами, которые опускали такую цифру, когда она должна была быть последним символом в числе. ^[e] Цивилизации ольмеков и майя использовали 0 как отдельное число еще в I веке до нашей эры , но это использование не распространилось за пределы Мезоамерики . ^[12]^[13] Использование цифры 0 в наше время возникло благодаря индийскому математику Брахмагупте в 628 году нашей эры. Однако 0 использовался как число в средневековых вычислениях (вычислении даты Пасхи), начиная с Дионисия Эксигууса в 525 году нашей эры, без обозначения цифры. Стандартные римские цифры не имеют символа 0; вместо этого для обозначения значения 0 использовалось nulla (или форма родительного падежа nullae ) от nullus , латинского слова, означающего «нет». ^[14]

Первое систематическое исследование чисел как абстракций обычно приписывают греческим философам Пифагору и Архимеду . Некоторые греческие математики трактовали число 1 иначе, чем большие числа, а иногда даже вообще не как число. ^[f] Евклид , например, определил сначала единицу, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению, единица не является числом и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного числа единиц являются а 2). ^[16] Однако в определении совершенного числа , которое появляется вскоре после этого, Евклид рассматривает 1 как число, подобное любому другому. ^[17]

Независимые исследования численности также проводились примерно в то же время в Индии , Китае и Мезоамерике . ^[18]

Современные определения

В Европе XIX века велись математические и философские дискуссии о точной природе натуральных чисел. Анри Пуанкаре заявил, что аксиомы можно продемонстрировать только в их конечном применении, и пришел к выводу, что именно «сила разума» позволяет представить себе бесконечное повторение одного и того же действия. ^[19] Леопольд Кронекер резюмировал свою веру так: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека». ^[г]

Конструктивисты видели необходимость улучшить логическую строгость оснований математики . ^[h] В 1860-х годах Герман Грассманн предложил рекурсивное определение натуральных чисел, тем самым заявив, что они на самом деле не естественны, а являются следствием определений. Позднее были построены два класса таких формальных определений; еще позже было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге . Первоначально он определил натуральное число как класс всех множеств, находящихся во взаимно однозначном соответствии с определенным набором. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе к парадоксу Рассела . Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как определенный набор, и говорят, что любой набор, который можно привести во взаимно однозначное соответствие с этим набором, имеет такое количество элементов. ^[22]

Второй класс определений был введен Чарльзом Сандерсом Пирсом , уточнен Ричардом Дедекиндом и дополнительно исследован Джузеппе Пеано ; этот подход теперь называется арифметикой Пеано . Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел : каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равносовместима с несколькими слабыми системами теории множеств . Одной из таких систем является ZFC , в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. ^{[ нужна цитата ]} Теоремы, которые могут быть доказаны в ZFC, но не могут быть доказаны с использованием аксиом Пеано, включают теорему Гудштейна . ^[23]

Учитывая все эти определения, удобно включить 0 (соответствующий пустому множеству ) как натуральное число. Включение 0 теперь является общепринятым соглашением среди теоретиков множеств ^[24] и логиков. ^[25] Другие математики также включают 0, ^[i] и компьютерные языки часто начинают с нуля при перечислении таких элементов, как счетчики циклов и элементы строк или массивов . ^[26]^[27] С другой стороны, многие математики сохранили старую традицию считать 1 первым натуральным числом. ^[28]

Обозначения

Набор всех натуральных чисел обычно обозначается $N$ или ^[3]^[29]. В старых текстах иногда использовался $J$ в качестве символа этого набора. ^[30] $\mathbb {N} .$

Поскольку натуральные числа могут содержать $0$ или нет, может быть важно знать, о какой версии идет речь. Это часто определяется контекстом, но также может быть сделано с использованием нижнего или верхнего индекса в обозначениях, например: ^[1]^[31]

Натуральные без нуля: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\ }=\mathbb {N} _{1}$
Натуральные с нулем: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

В качестве альтернативы, поскольку натуральные числа естественным образом образуют подмножество целых чисел (часто обозначаемых ), $\mathbb {Z}$ их можно называть положительными или неотрицательными целыми числами соответственно. ^[32] Чтобы однозначно определить, включен ли 0 или нет, иногда в первом случае добавляется верхний индекс « » или «+», а во втором случае добавляется нижний индекс (или верхний индекс) «0»: ^[1] $*$

\{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0}

\{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}

Характеристики

В этом разделе используется соглашение . $\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Добавление

Учитывая набор натуральных чисел и функцию-преемник , отправляющую каждое натуральное число к следующему, можно рекурсивно определить сложение натуральных чисел, установив $a$ $+ 0 =$ $a$ и $a$ $+$ $S$ $($ $b$ $) =$ $S$ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ для всех $а$ , $б$ . Таким образом, $а$ $+ 1 =$ $а$ $+ S(0) = S($ $а$ $+0) = S($ $а$ $)$ , $а$ $+ 2 =$ $а$ $+ S(1) = S($ $а$ $+1) = S(S($ $а$ $))$ , и так далее. Алгебраическая структура представляет собой коммутативный моноид с единицей 0. Это свободный моноид с одним образующим. Этот коммутативный моноид удовлетворяет свойству отмены , поэтому его можно вложить в группу . Наименьшая группа, содержащая натуральные числа, — это целые числа . $\mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $(\mathbb {N} ,+)$

Если 1 определяется как $S (0)$ , то $b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b)$ . То есть $b + 1$ является просто преемником $b$ .

Умножение

Аналогично, учитывая, что сложение определено, оператор умножения можно определить через $a$ $\times 0 = 0$ и $a$ $\times S($ $b$ $) = ($ $a$ $\times$ $b$ $) +$ $a$ . Это превращается в свободный коммутативный моноид с единичным элементом 1; генераторным набором этого моноида является набор простых чисел . $\times$ $(\mathbb {N} ^{*},\times )$

Связь между сложением и умножением

Сложение и умножение совместимы, что выражается в законе распределения : $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ . Эти свойства сложения и умножения делают натуральные числа экземпляром коммутативного полукольца . Полукольца — это алгебраическое обобщение натуральных чисел, в котором умножение не обязательно коммутативно. Отсутствие аддитивных обратных, что эквивалентно тому, что оно не замкнуто при вычитании (т. е. вычитание одного натурального числа из другого не всегда приводит к другому натуральному), означает, что оно не является кольцом ; вместо этого это полукольцо (также известное как буровая установка ). $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$

Если натуральные числа взяты как «исключая 0» и «начиная с 1», определения + и × такие же, как выше, за исключением того, что они начинаются с $a + 1 = S (a)$ и $a \times 1 = a$ . Более того, не имеет элемента идентичности. $(\mathbb {N^{*}} ,+)$

Заказ

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как $ab$ , обозначают произведение $a \times b$ , ^[33] и предполагается стандартный порядок операций .

Полный порядок натуральных чисел определяется условием $a \leq b$ тогда и только тогда, когда существует другое натуральное число $c$ , где $a + c = b$ . Этот порядок совместим с арифметическими операциями в следующем смысле: если $a$ , $b$ и $c$ — натуральные числа и $a \leq b$ , то $a + c \leq b + c$ и $ac \leq bc$ .

Важным свойством натуральных чисел является то, что они хорошо упорядочены : каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент. Ранг среди хорошо упорядоченных множеств выражается порядковым числом ; для натуральных чисел это обозначается как $ω$ (омега).

Разделение

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как $ab$ , обозначают произведение $a \times b$ , и предполагается стандартный порядок операций .

Хотя, как правило, невозможно разделить одно натуральное число на другое и получить в результате натуральное число, в качестве замены доступна процедура деления с остатком или евклидово деление : для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ с $b \neq 0$ существует — натуральные числа $q$ и $r$ такие, что

a=bq+r{\text{ and }}r<b.

Число $q$ называется частным , а $r$ — остатком от деления $a$ на $b$ . Числа $q$ и $r$ однозначно определяются значениями $a$ и $b$ . Это евклидово деление является ключом к нескольким другим свойствам ( делимости ), алгоритмам (таким как алгоритм Евклида ) и идеям теории чисел.

Алгебраические свойства, которым удовлетворяют натуральные числа

Операции сложения (+) и умножения (×) натуральных чисел, определенные выше, имеют несколько алгебраических свойств:

Замыкание при сложении и умножении: для всех натуральных чисел $a$ и $b$ оба $a + b$ и $a \times b$ являются натуральными числами. ^[34]
Ассоциативность : для всех натуральных чисел $a$ , $b$ и $c$ $a + (b + c$ ) $= ($ $a$ $+$ $b$ $) +$ $c$ и $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ . ^[35]
Коммутативность $:$ для всех натуральных чисел $a$ и $b$ a $+$ $b$ $=$ $b$ $+$ $a$ и $a$ $\times$ $b$ $=$ $b$ $\times$ $a$ . ^[36]
Существование единичных элементов : для каждого натурального числа a , a + 0 = a и a × 1 = a .
- Если натуральные числа взять «исключая 0» и «начиная с 1», то для каждого натурального числа a $a$ $\times 1 = a$ . Однако свойство «наличие аддитивного единичного элемента» не выполняется.
Распределенность умножения на сложение для всех натуральных чисел $a$ , $b$ и $c$ , $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ .
Никаких ненулевых делителей нуля : если a и b — натуральные числа такие, что a × b = 0 , то a = 0 или b = 0 (или оба).
- Если натуральные числа взяты как «исключая 0» и «начиная с 1», свойство «отсутствие ненулевых делителей нуля» не выполняется.

Обобщения

Два важных обобщения натуральных чисел возникают из двух применений счета и упорядочивания: кардинальные числа и порядковые числа .

Натуральное число можно использовать для выражения размера конечного множества; точнее, кардинальное число — это мера размера множества, которая подходит даже для бесконечных множеств. Эта концепция «размера» основана на сопоставлениях между множествами, так что два множества имеют одинаковый размер , точно в том случае, если между ними существует взаимно однозначное соответствие . Сам набор натуральных чисел и любой его биективный образ считаются счетно бесконечными и имеют мощность алеф-ноль ( $ℵ 0$ ).
Натуральные числа также используются в качестве лингвистических порядковых числительных : «первый», «второй», «третий» и так далее. Таким образом, их можно сопоставить элементам вполне упорядоченного конечного множества, а также элементам любого вполне упорядоченного счетно-бесконечного множества. Это присвоение можно обобщить на общие упорядочения с несчетной мощностью, чтобы получить порядковые числа. Порядковое число также может использоваться для описания понятия «размера» хорошо упорядоченного набора в смысле, отличном от мощности: если между двумя хорошо упорядоченными множествами существует порядковый изоморфизм (более чем биекция), они имеют тот же порядковый номер. Первое порядковое число, не являющееся натуральным числом, выражается как $ω$ ; это также порядковый номер самого набора натуральных чисел.

Наименьший порядковый номер мощности $ℵ 0$ (то есть начальный ординал ℵ $0$ ) равен $ω$ $,$ но многие упорядоченные множества с кардинальным числом $ℵ$ $0$ имеют порядковый номер больше $ω$ .

Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует взаимно однозначное соответствие между порядковыми и кардинальными числами; следовательно, они оба могут быть выражены одним и тем же натуральным числом — количеством элементов множества. Это число также можно использовать для описания положения элемента в более крупной конечной или бесконечной последовательности .

Счетная нестандартная модель арифметики, удовлетворяющая арифметике Пеано (то есть аксиомам Пеано первого порядка), была разработана Сколемом в 1933 году. Сверхнатуральные числа представляют собой несчетную модель, которая может быть построена из обычных натуральных чисел с помощью сверхстепенной конструкции . .

Жорж Риб провокационно заявлял, что «наивные целые числа не заполняются» . Другие обобщения обсуждаются в статье о числах. $\mathbb {N}$

Формальные определения

Существует два стандартных метода формального определения натуральных чисел. Первая, названная в честь Джузеппе Пеано , состоит из автономной аксиоматической теории , называемой арифметикой Пеано , основанной на нескольких аксиомах, называемых аксиомами Пеано .

Второе определение основано на теории множеств . Он определяет натуральные числа как определенные множества . Точнее, каждое натуральное число $n$ определяется как явно определенное множество, элементы которого позволяют подсчитывать элементы других множеств, в том смысле, что предложение «множество $S$ имеет $n$ элементов» означает, что существует однозначное соответствие между два набора $n$ и $S.$

Множества, используемые для определения натуральных чисел, удовлетворяют аксиомам Пеано. Отсюда следует, что каждая теорема , которую можно сформулировать и доказать в арифметике Пеано, можно также доказать и в теории множеств. Однако эти два определения не эквивалентны, поскольку существуют теоремы, которые можно сформулировать в терминах арифметики Пеано и доказать в теории множеств, но которые невозможно доказать внутри арифметики Пеано. Вероятный пример — Великая теорема Ферма .

Определение целых чисел как множеств, удовлетворяющих аксиомам Пеано, обеспечивает модель арифметики Пеано внутри теории множеств. Важным следствием является то, что если теория множеств непротиворечива (как это обычно предполагается), то и арифметика Пеано непротиворечива. Другими словами, если бы в арифметике Пеано можно было доказать противоречие, то теория множеств была бы противоречивой, и каждая теорема теории множеств была бы одновременно истинной и неверной.

Аксиомы Пеано

Пять аксиом Пеано таковы: ^[37]^[j]

0 – натуральное число.
Каждое натуральное число имеет последователя, который также является натуральным числом.
0 не является преемником какого-либо натурального числа.
Если преемник равен преемнику , то равен . $x$ $y$ $x$ $y$
Аксиома индукции : если утверждение истинно для 0 и если истинность этого утверждения для числа подразумевает его истинность для последователя этого числа, то это утверждение верно для любого натурального числа.

Это не оригинальные аксиомы, опубликованные Пеано, но названные в его честь. Некоторые формы аксиом Пеано имеют 1 вместо 0. В обычной арифметике преемником является . $x$ $x+1$

Теоретико-множественное определение

Интуитивно понятно, что натуральное число $n$ является общим свойством всех множеств , состоящих из $n$ элементов. Итак, кажется естественным определить $n$ как класс эквивалентности по отношению «может быть выполнено во взаимно однозначном соответствии ». Это не работает в теории множеств , поскольку такой класс эквивалентности не будет множеством (из-за парадокса Рассела ). Стандартное решение — определить конкретный набор из $n$ элементов, который будет называться натуральным числом $n$ .

Следующее определение было впервые опубликовано Джоном фон Нейманом ^[38] , хотя Леви приписывает эту идею неопубликованной работе Цермело в 1916 году. ^[39] Поскольку это определение распространяется на бесконечное множество как определение порядкового числа , множества, рассматриваемые ниже, иногда называются ординалами фон Неймана .

Определение происходит следующим образом:

Вызовите $0 = {}$ , пустой набор .
Определим преемника $S (a)$ любого множества $a$ формулой $S (a) = a \cup {a}$ .
По аксиоме бесконечности существуют множества, содержащие 0 и замкнутые относительно функции-последователя. Такие множества называются индуктивными . Пересечение всех индуктивных множеств по-прежнему остается индуктивным множеством.
Это пересечение представляет собой множество натуральных чисел .

Отсюда следует, что натуральные числа определяются итеративно следующим образом:

$0 = { }$ ,
$1 = 0 \cup {0} = {0} = {{ }}$ ,
$2 = 1 \cup {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}}$ ,
$3 = 2 \cup {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}$ ,
$n = n -1 \cup {n -1} = {0, 1, ..., n -1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, .. .}}$ ,
и т. д.

Можно проверить, что натуральные числа удовлетворяют аксиомам Пеано .

С помощью этого определения, учитывая натуральное число $n$ , предложение «множество $S$ имеет $n$ элементов» может быть формально определено как «существует биекция от $n$ до $S$ ». Это формализует операцию подсчета элементов $S.$ Кроме того, $n \leq m$ тогда и только тогда, когда $n$ является подмножеством m $.$ Другими словами, включение множества определяет обычный общий порядок натуральных чисел. Этот порядок является хорошим порядком .

Из определения следует, что каждое натуральное число равно множеству всех натуральных чисел, меньших его. Это определение можно расширить до определения ординалов фон Неймана для определения всех порядковых чисел , включая бесконечные: «каждый ординал представляет собой хорошо упорядоченный набор всех меньших ординалов».

Если не принять аксиому бесконечности , натуральные числа не могут образовывать множество. Тем не менее, натуральные числа по-прежнему могут быть определены индивидуально, как указано выше, и они по-прежнему удовлетворяют аксиомам Пеано.

Существуют и другие теоретические конструкции. В частности, Эрнст Цермело представил конструкцию, которая в настоящее время представляет лишь исторический интерес и которую иногда называютПорядковые номера Цермело . ^[39]Он состоит в определении $0$ как пустого множества и $S (a) = {a}$ .

Согласно этому определению каждое натуральное число представляет собой одноэлементное множество . Итак, свойство натуральных чисел представлять мощности напрямую недоступно; только порядковое свойство (являющееся $n-$ м элементом последовательности) является непосредственным. В отличие от конструкции фон Неймана, ординалы Цермело не распространяются на бесконечные ординалы.

Смотрите также

Каноническое представление целого положительного числа . Представление числа в виде произведения простых чисел.
Счетное множество - математическое множество, которое можно перечислить.
Последовательность – функция натуральных чисел из другого набора.
Порядковое число - обобщение «n-го» на бесконечное число случаев.
Кардинальное число - размер возможно бесконечного множества.
Теоретико-множественное определение натуральных чисел - аксиомы теории множеств

Примечания

^ Каротерс (2000, стр. 3) говорит: « Это набор натуральных чисел (положительных целых чисел)». Оба определения признаются всякий раз, когда это удобно, и не существует общего согласия относительно того, следует ли включать ноль в натуральные числа. ^[3] $\mathbb {N}$
^ Любая последовательность Коши в действительных числах сходится,
^ Мендельсон (2008, стр. x) говорит: «Вся фантастическая иерархия систем счисления построена чисто теоретико-множественными средствами из нескольких простых предположений о натуральных числах».
^ Блюман (2010, стр. 1): «Числа составляют основу математики».
^ Табличка, найденная в Кише ... предположительно датируемая примерно 700 г. до н. э., использует три крючка для обозначения пустого места в позиционных обозначениях. На других табличках примерно того же времени вместо пустого места используется одинарный крючок. ^[11]
^ Это соглашение используется, например, в «Элементах» Евклида , см. веб-издание Книги VII Д. Джойса. ^[15]
^ Английский перевод сделан Греем. В сноске Грей приписывает немецкую цитату: «Вебер 1891–1892, 19, цитата из лекции Кронекера 1886 года». ^[20]^[21]
^ «Большая часть математических работ двадцатого века была посвящена исследованию логических основ и структуры предмета». (Ивс 1990, стр. 606)
^ Mac Lane & Birkhoff (1999, стр. 15) включают ноль в натуральные числа: «Интуитивно, набор всех натуральных чисел можно описать следующим образом: содержит «начальное» число $0$ ; ...'. Они следуют этому со своей версией аксиом Пеано . $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ $\mathbb {N}$
^ Гамильтон (1988, стр. 117 и далее) называет их «постулатами Пеано» и начинается со слов «1,0 — натуральное число».
Халмош (1960, стр. 46) использует язык теории множеств вместо языка арифметики для своих пяти аксиом. Он начинает с «(I) $0 \in ω$ (где, конечно, $0 = \emptyset$ » ( $ω$ — множество всех натуральных чисел). Мораш (1991) дает «аксиому, состоящую из двух частей», в которой натуральные числа начинаются с 1. (Раздел 10.1: Аксиоматизация системы положительных целых чисел )

Библиография

Блюман, Аллан (2010). Предварительная алгебра DeMYSTiFieD (второе изд.). МакГроу-Хилл Профессионал. ISBN 978-0-07-174251-1– через Google Книги.
Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-49756-5– через Google Книги.
Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014). Краткий Оксфордский математический словарь (Пятое изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-967959-1– через Google Книги.
Дедекинд, Ричард (1963) [1901]. Очерки по теории чисел. Перевод Бемана, Вустера Вудраффа (переиздание). Дуврские книги. ISBN 978-0-486-21010-0– через Archive.org.
- Дедекинд, Ричард (1901). Очерки по теории чисел. Перевод Бемана, Вустера Вудраффа. Чикаго, Иллинойс: Издательская компания Open Court . Проверено 13 августа 2020 г. - через Project Gutenberg.
- Дедекинд, Ричард (2007) [1901]. Очерки по теории чисел . Кессинджер Паблишинг, ООО. ISBN 978-0-548-08985-9.
Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Томсон. ISBN 978-0-03-029558-4– через Google Книги.
Халмос, Пол (1960). Наивная теория множеств. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90092-6– через Google Книги.
Гамильтон, АГ (1988). Логика для математиков (переработанная ред.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-36865-0– через Google Книги.
Джеймс, Роберт С .; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое изд.). Чепмен и Холл. ISBN 978-0-412-99041-0– через Google Книги.
Ландау, Эдмунд (1966). Основы анализа (Третье изд.). Издательство Челси. ISBN 978-0-8218-2693-5– через Google Книги.
Леви, Азриэль (1979). Базовая теория множеств . Шпрингер-Верлаг Берлин Гейдельберг. ISBN 978-3-662-02310-5.
Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1646-2– через Google Книги.
Мендельсон, Эллиотт (2008) [1973]. Системы счисления и основы анализа. Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-45792-5– через Google Книги.
Мораш, Рональд П. (1991). Мост к абстрактной математике: математические доказательства и структуры (второе изд.). Колледж Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-043043-3– через Google Книги.
Массер, Гэри Л.; Петерсон, Блейк Э.; Бургер, Уильям Ф. (2013). Математика для учителей начальных классов: современный подход (10-е изд.). Глобальное образование Wiley . ISBN 978-1-118-45744-3– через Google Книги.
Щепански, Эми Ф.; Косицкий, Эндрю П. (2008). Полное руководство идиота по предалгебре. Группа Пингвин. ISBN 978-1-59257-772-9– через Google Книги.
Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2008). Элементарный реальный анализ (второе изд.). КлассическийRealAnaанализ.com. ISBN 978-1-4348-4367-8– через Google Книги.
фон Нейман, Джон (1923). «Zur Einführung der transfiniten Zahlen» [О введении трансфинитных чисел]. Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum . 1 : 199–208. Архивировано из оригинала 18 декабря 2014 года . Проверено 15 сентября 2013 г.
фон Нейман, Джон (январь 2002 г.) [1923]. «О введении трансфинитных чисел». Ван Хейеноорт, Жан (ред.). От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 (3-е изд.). Издательство Гарвардского университета. стр. 346–354. ISBN 978-0-674-32449-7.- Английский перевод фон Неймана 1923 г.

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с натуральными числами .

«Натуральное число», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«Аксиомы и построение натуральных чисел». apronus.com .