Уравнение с частными производными

Тип дифференциального уравнения

Визуализация решения двумерного уравнения теплопроводности , где температура представлена ​​вертикальным направлением и цветом.

В математике уравнение в частных производных ( УЧП ) — это уравнение, которое вычисляет функцию между различными частными производными многомерной функции .

Функция часто рассматривается как «неизвестное», которое должно быть решено, подобно тому, как x рассматривается как неизвестное число, которое должно быть решено в алгебраическом уравнении, таком как x ² − 3 x + 2 = 0 . Однако, как правило, невозможно записать явные формулы для решений уравнений с частными производными. Соответственно, существует огромное количество современных математических и научных исследований по методам численного приближения решений определенных уравнений с частными производными с использованием компьютеров. Уравнения с частными производными также занимают большой сектор чисто математических исследований , в которых обычные вопросы, в общем говоря, касаются идентификации общих качественных особенностей решений различных уравнений с частными производными, таких как существование, единственность, регулярность и устойчивость. ^[1] Среди многих открытых вопросов — существование и гладкость решений уравнений Навье–Стокса , названных одной из проблем Премии тысячелетия в 2000 году.

Уравнения с частными производными повсеместно встречаются в математически ориентированных научных областях, таких как физика и инженерия . Например, они являются основополагающими в современном научном понимании звука , тепла , диффузии , электростатики , электродинамики , термодинамики , гидродинамики , упругости , общей теории относительности и квантовой механики ( уравнение Шредингера , уравнение Паули и т. д.). Они также возникают из многих чисто математических соображений, таких как дифференциальная геометрия и вариационное исчисление ; среди других известных приложений они являются основным инструментом в доказательстве гипотезы Пуанкаре из геометрической топологии .

Частично из-за этого разнообразия источников существует широкий спектр различных типов уравнений с частными производными, и были разработаны методы для работы со многими из отдельных уравнений, которые возникают. Таким образом, обычно признается, что не существует «общей теории» уравнений с частными производными, а специальные знания в некоторой степени разделены между несколькими существенно различными подобластями. ^[2]

Обыкновенные дифференциальные уравнения можно рассматривать как подкласс уравнений с частными производными, соответствующих функциям одной переменной. Стохастические уравнения с частными производными и нелокальные уравнения , по состоянию на 2020 год, являются особенно широко изучаемыми расширениями понятия «PDE». Более классические темы, по которым все еще ведутся активные исследования, включают эллиптические и параболические уравнения с частными производными, механику жидкости , уравнения Больцмана и дисперсионные уравнения с частными производными . ^[3]

Введение

Функция u ( x , y , z ) трех переменных является « гармонической » или «решением уравнения Лапласа », если она удовлетворяет условию Такие функции широко изучались в 19 веке из-за их значимости для классической механики , например, равновесное распределение температуры однородного твердого тела является гармонической функцией. Если явно задана функция, обычно достаточно простого вычисления, чтобы проверить, является ли она гармонической. Например, и являются обеими гармоническими, а не является. Может показаться удивительным, что два приведенных примера гармонических функций имеют столь разительно отличающуюся друг от друга форму. Это является отражением того факта, что они не являются , каким-либо непосредственным образом, оба частными случаями «общей формулы решения» уравнения Лапласа. Это резко контрастирует со случаем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), примерно похожих на уравнение Лапласа, с целью многих вводных учебников, заключающихся в поиске алгоритмов, приводящих к общим формулам решения. Для уравнения Лапласа, как и для большого числа уравнений в частных производных, таких формул решения не существует. $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$ $${\displaystyle u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}}$$ $${\displaystyle u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$ $${\displaystyle u(x,y,z)=\sin(xy)+z}$$

Характер этой неудачи можно увидеть более конкретно в случае следующего уравнения в частных производных: для функции v ( x , y ) двух переменных рассмотрим уравнение Можно напрямую проверить, что любая функция v вида v ( x , y ) = f ( x ) + g ( y ) для любых функций одной переменной f и g будет удовлетворять этому условию. Это выходит далеко за рамки выбора, доступного в формулах решения ОДУ, которые обычно допускают свободный выбор некоторых чисел. При изучении уравнений в частных производных обычно имеется свободный выбор функций. $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}=0.}$$

Природа этого выбора варьируется от PDE к PDE. Чтобы понять это для любого заданного уравнения, теоремы существования и единственности обычно являются важными организационными принципами. Во многих вводных учебниках роль теорем существования и единственности для ODE может быть несколько непрозрачной; половина существования обычно не нужна, поскольку можно напрямую проверить любую предложенную формулу решения, в то время как половина единственности часто присутствует только на заднем плане, чтобы гарантировать, что предложенная формула решения является максимально общей. Напротив, для PDE теоремы существования и единственности часто являются единственным средством, с помощью которого можно перемещаться по множеству различных имеющихся решений. По этой причине они также являются основополагающими при выполнении чисто численного моделирования, поскольку необходимо иметь понимание того, какие данные должен предписывать пользователь, а что следует оставить для расчета компьютеру.

Для обсуждения таких теорем существования и единственности необходимо быть точным относительно области определения «неизвестной функции». В противном случае, говоря только в терминах типа «функция двух переменных», невозможно осмысленно сформулировать результаты. То есть, область определения неизвестной функции должна рассматриваться как часть структуры самого уравнения в частных производных.

Ниже приведены два классических примера таких теорем существования и единственности. Несмотря на то, что два рассматриваемых уравнения в частных производных настолько похожи, в поведении наблюдается поразительное различие: для первого уравнения в частных производных имеется свободное предписание одной функции, тогда как для второго уравнения в частных производных имеется свободное предписание двух функций.

• Пусть B обозначает круг единичного радиуса вокруг начала координат на плоскости. Для любой непрерывной функции U на единичной окружности существует ровно одна функция u на B такая, что и ограничение которой на единичную окружность задается U . $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$
• Для любых функций f и g на вещественной прямой R существует ровно одна функция u на R × (−1, 1) такая, что и при u ( x , 0) = f ( x ) и ⁠ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$∂ у/∂ у⁠ ( x , 0) = g ( x ) для всех значений x .

Возможны даже еще больше явлений. Например, следующее уравнение в частных производных , естественным образом возникающее в области дифференциальной геометрии , иллюстрирует пример, где существует простая и совершенно явная формула решения, но со свободным выбором только трех чисел и даже не одной функции.

• Если u — функция на R2 ^, то существуют числа a , b и c, такие что u ( x , y ) = ax + by + c . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial y}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}=0,}$$

В отличие от предыдущих примеров, это уравнение в частных производных нелинейно из-за квадратных корней и квадратов. Линейное уравнение в частных производных — это такое уравнение, что если оно однородно, то сумма любых двух решений также является решением, и любое постоянное кратное любого решения также является решением.

Хорошо поставленный

Well-posedness относится к общему схематическому пакету информации о PDE. Чтобы сказать, что PDE хорошо поставлен, нужно иметь:

• теорема существования и единственности, утверждающая, что с помощью задания некоторых свободно выбранных функций можно выделить одно конкретное решение уравнения в частных производных
• непрерывно изменяя свободный выбор, непрерывно изменяется и соответствующее решение

Это, в силу необходимости быть применимым к нескольким различным PDE, несколько неопределенно. Требование «непрерывности», в частности, неоднозначно, поскольку обычно существует много неэквивалентных средств, с помощью которых оно может быть строго определено. Однако несколько необычно изучать PDE без указания способа, которым оно корректно поставлено.

Энергетический метод

Энергетический метод — это математическая процедура, которая может быть использована для проверки корректности начальных краевых задач (IBVP). ^[4] В следующем примере энергетический метод используется для определения того, где и какие граничные условия должны быть наложены, чтобы результирующая IBVP была корректно поставлена. Рассмотрим одномерное гиперболическое уравнение в частных производных, заданное как $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad x\in [a,b],t>0,}$$

где — константа, а — неизвестная функция с начальным условием . Умножение на и интегрирование по области определения дает ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x=0.}$$

Используя это , где для первого отношения использовалось интегрирование по частям , получаем $${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\quad {\text{and}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}+\alpha u(b,t)^{2}-\alpha u(a,t)^{2}=0.}$$

Здесь обозначает стандартную норму . Для корректности мы требуем, чтобы энергия решения не возрастала, т.е. чтобы , что достигается указанием при , если и при , если . Это соответствует только наложению граничных условий на входящем потоке. Корректность допускает рост в терминах данных (начальных и граничных), и поэтому достаточно показать, что выполняется, когда все данные установлены в ноль. ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle \alpha <0}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$

Наличие локальных решений

Теорема Коши–Ковалевской для задач Коши с начальными значениями по сути утверждает, что если члены уравнения в частных производных все состоят из аналитических функций и выполняется определенное условие трансверсальности (гиперплоскость или, в более общем смысле, гиперповерхность, где задаются начальные данные, должна быть нехарактеристической по отношению к оператору частных производных), то в определенных областях обязательно существуют решения, которые также являются аналитическими функциями. Это фундаментальный результат в изучении аналитических уравнений в частных производных. Удивительно, но теорема не выполняется в случае гладких функций; пример, открытый Гансом Леви в 1957 году, состоит из линейного уравнения в частных производных, коэффициенты которого являются гладкими (т. е. имеют производные всех порядков), но не аналитическими, для которых не существует решения. Таким образом, теорема Коши–Ковалевской обязательно ограничена в своей области применения аналитическими функциями.

Классификация

Обозначение

При записи уравнений в частных производных принято обозначать частные производные с помощью нижних индексов. Например: в общей ситуации, когда u является функцией n переменных, то u _i обозначает первую частную производную относительно i -го входа, u _ij обозначает вторую частную производную относительно i -го и j -го входов и т. д. $${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).}$$

Греческая буква Δ обозначает оператор Лапласа ; если u является функцией n переменных, то В физической литературе оператор Лапласа часто обозначается как ∇ ² ; в математической литературе ∇ 2 ^u может также обозначать матрицу Гессе u . $${\displaystyle \Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.}$$

Уравнения первого порядка

Линейные и нелинейные уравнения

Линейные уравнения

PDE называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной переменной и ее производных. Например, для функции u от x и y линейное PDE второго порядка имеет вид , где a _i и f являются функциями только независимых переменных x и y . (Часто смешанные частные производные u _xy и u _yx будут приравниваться, но это не требуется для обсуждения линейности.) Если a _i являются константами (независимыми от x и y ), то PDE называется линейным с постоянными коэффициентами . Если f везде равно нулю, то линейное PDE является однородным , в противном случае оно является неоднородным . (Это отличается от асимптотической гомогенизации , которая изучает влияние высокочастотных колебаний коэффициентов на решения PDE.) $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$

Нелинейные уравнения

Три основных типа нелинейных уравнений в частных производных — это полулинейные уравнения в частных производных, квазилинейные уравнения в частных производных и полностью нелинейные уравнения в частных производных.

Ближайшими к линейным PDE являются полулинейные PDE, где только производные высшего порядка появляются как линейные члены с коэффициентами, которые являются функциями независимых переменных. Производные низшего порядка и неизвестная функция могут появляться произвольно. Например, общее полулинейное PDE второго порядка с двумя переменными имеет вид $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

В квазилинейном УЧП производные высшего порядка также появляются только как линейные члены, но с коэффициентами, которые, возможно, являются функциями неизвестных и производных низшего порядка: Многие из фундаментальных УЧП в физике являются квазилинейными, например, уравнения Эйнштейна общей теории относительности и уравнения Навье–Стокса, описывающие движение жидкости. $${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

PDE без каких-либо свойств линейности называется полностью нелинейным и обладает нелинейностями по одной или нескольким производным высшего порядка. Примером является уравнение Монжа-Ампера , которое возникает в дифференциальной геометрии . ^[5]

Линейные уравнения второго порядка

Эллиптическая/параболическая/гиперболическая классификация дает руководство по соответствующим начальным и граничным условиям и гладкости решений. Предполагая u _xy = u _yx , общее линейное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид , где коэффициенты A , B , C ... могут зависеть от x и y . Если A ² + B ² + C ² > 0 в области плоскости xy , уравнение в частных производных второго порядка в этой области. Эта форма аналогична уравнению для конического сечения: $${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,}$$ $${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$$

Точнее, замена ∂ _x на X , и аналогично для других переменных (формально это делается с помощью преобразования Фурье ), преобразует уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами в многочлен той же степени, причем члены высшей степени ( однородный многочлен , в данном случае квадратичная форма ) являются наиболее значимыми для классификации.

Так же, как конические сечения и квадратичные формы классифицируются на параболические, гиперболические и эллиптические на основе дискриминанта B ² − 4 AC , то же самое можно сделать для уравнения в частных производных второго порядка в заданной точке. Однако дискриминант в уравнении в частных производных задается как B ² − AC из-за соглашения о том, что член xy равен 2 B , а не B ; формально дискриминант (соответствующей квадратичной формы) равен (2 B ) ² − 4 AC = 4( B ² − AC ) , причем множитель 4 опущен для простоты.

1. B ² − AC < 0 ( эллиптическое уравнение в частных производных ): Решения эллиптических уравнений в частных производных настолько гладкие, насколько позволяют коэффициенты, внутри области, где определены уравнение и решения. Например, решения уравнения Лапласа являются аналитическими внутри области, где они определены, но решения могут принимать граничные значения, которые не являются гладкими. Движение жидкости на дозвуковых скоростях можно аппроксимировать с помощью эллиптических уравнений в частных производных, а уравнение Эйлера–Трикоми является эллиптическим, где x < 0. Заменой переменных уравнение всегда можно выразить в виде:где x и y соответствуют измененным переменным. Таким образом, уравнение Лапласа оправдывает себя как пример этого типа. ^[6] $${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0,}$$
2. B ² − AC = 0 ( параболическое уравнение в частных производных ): Уравнения, которые являются параболическими в каждой точке, могут быть преобразованы в форму, аналогичную уравнению теплопроводности, путем замены независимых переменных. Решения сглаживаются по мере увеличения преобразованной временной переменной. Уравнение Эйлера–Трикоми имеет параболический тип на линии, где x = 0. Заменой переменных уравнение всегда можно выразить в виде:где x соответствуют измененным переменным. Таким образом, оправдывает уравнение теплопроводности , которое имеет вид, как пример этого типа. ^[6] $${\displaystyle u_{xx}+\cdots =0,}$$ ${\textstyle u_{t}-u_{xx}+\cdots =0}$
3. B ² − AC > 0 ( гиперболическое уравнение в частных производных ): гиперболические уравнения сохраняют любые разрывы функций или производных в исходных данных. Примером является волновое уравнение . Движение жидкости со сверхзвуковой скоростью можно аппроксимировать гиперболическими уравнениями в частных производных, а уравнение Эйлера–Трикоми является гиперболическим, где x > 0. Заменой переменных уравнение всегда можно выразить в виде:где x и y соответствуют измененным переменным. Таким образом, волновое уравнение оправдывает себя как пример такого типа. ^[6] $${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0,}$$

Если имеется n независимых переменных x ₁ , x ₂ , …, x _n , то общее линейное уравнение в частных производных второго порядка имеет вид $${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.}$$

Классификация зависит от сигнатуры собственных значений матрицы коэффициентов a _{i , j} .

1. Эллиптический: все собственные значения положительные или все отрицательные.
2. Параболический: все собственные значения положительны или отрицательны, за исключением одного, равного нулю.
3. Гиперболический: имеется только одно отрицательное собственное значение, а все остальные положительные, или имеется только одно положительное собственное значение, а все остальные отрицательные.
4. Ультрагиперболический: имеется более одного положительного собственного значения и более одного отрицательного собственного значения, а нулевых собственных значений нет. ^[7]

Теория эллиптических, параболических и гиперболических уравнений изучалась на протяжении столетий, в основном вокруг или на основе стандартных примеров уравнения Лапласа , уравнения теплопроводности и волнового уравнения .

Однако классификация зависит только от линейности членов второго порядка и, следовательно, применима также к полу- и квазилинейным уравнениям в частных производных. Основные типы также распространяются на гибриды, такие как уравнение Эйлера–Трикоми ; варьирующееся от эллиптического до гиперболического для различных областей области, а также уравнения в частных производных более высокого порядка, но такие знания более специализированы.

Системы уравнений первого порядка и характеристические поверхности

Классификацию уравнений в частных производных можно распространить на системы уравнений первого порядка, где неизвестный u теперь является вектором с m компонентами, а матрицы коэффициентов A _ν являются матрицами размера m на m для ν = 1, 2, …, n . Уравнение в частных производных принимает вид где матрицы коэффициентов A _ν и вектор B могут зависеть от x и u . Если гиперповерхность S задана в неявной форме , где φ имеет ненулевой градиент, то S является характеристической поверхностью для оператора L в данной точке, если характеристическая форма обращается в нуль: $${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$$ $${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$$ $${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.}$$

Геометрическая интерпретация этого условия такова: если данные для u заданы на поверхности S , то может оказаться возможным определить нормальную производную u на S из дифференциального уравнения. Если данные на S и дифференциальное уравнение определяют нормальную производную u на S , то S является нехарактеристической. Если данные на S и дифференциальное уравнение не определяют нормальную производную u на S , то поверхность является характеристической , а дифференциальное уравнение ограничивает данные на S : дифференциальное уравнение является внутренним по отношению к S.

1. Система первого порядка Lu = 0 является эллиптической , если для L не существует характеристической поверхности : значения u на S и дифференциальное уравнение всегда определяют нормальную производную u на S.
2. Система первого порядка является гиперболической в ​​точке, если в этой точке существует пространственноподобная поверхность S с нормалью ξ . Это означает, что при заданном любом нетривиальном векторе η, ортогональном ξ , и скалярном множителе λ уравнение Q ( λξ + η ) = 0 имеет m действительных корней λ ₁ , λ ₂ , …, λ _m . Система является строго гиперболической , если эти корни всегда различны. Геометрическая интерпретация этого условия такова: характеристическая форма Q ( ζ ) = 0 определяет конус (нормальный конус) с однородными координатами ζ. В гиперболическом случае этот конус имеет m листов, а ось ζ = λξ проходит внутри этих листов: она не пересекает ни один из них. Но при смещении от начала координат на η эта ось пересекает каждый лист. В эллиптическом случае нормальный конус не имеет действительных плоскостей.

Аналитические решения

Разделение переменных

Линейные уравнения в частных производных можно свести к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью важного метода разделения переменных. Этот метод основан на свойстве решений дифференциальных уравнений: если можно найти любое решение, которое решает уравнение и удовлетворяет граничным условиям, то это решение (это также применимо к уравнениям в частных производных). Мы предполагаем в качестве анзаца , что зависимость решения от параметров пространства и времени может быть записана как произведение членов, каждый из которых зависит от одного параметра, а затем смотрим, можно ли это сделать для решения проблемы. ^[8]

Метод разделения переменных позволяет свести уравнение в частных производных к уравнению в частных производных с меньшим числом переменных, которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с одной переменной, — такие уравнения, в свою очередь, легче решать.

Это возможно для простых уравнений в частных производных, которые называются разделяемыми уравнениями в частных производных , а область определения обычно представляет собой прямоугольник (произведение интервалов). Разделяемые уравнения в частных производных соответствуют диагональным матрицам — думая о «значении для фиксированного x » как о координате, каждая координата может быть понята отдельно.

Это обобщает метод характеристик и используется также в интегральных преобразованиях .

Метод характеристик

В особых случаях можно найти характеристические кривые, на которых уравнение сводится к ОДУ – изменение координат в области для выпрямления этих кривых позволяет разделить переменные и называется методом характеристик .

В более общем смысле можно найти характеристические поверхности. Для решения уравнения в частных производных второго порядка см. метод Шарпи .

Интегральное преобразование

Интегральное преобразование может преобразовать уравнение в частных производных в более простое, в частности, в разделимое уравнение в частных производных. Это соответствует диагонализации оператора.

Важным примером этого является анализ Фурье , который диагонализирует уравнение теплопроводности, используя собственный базис синусоидальных волн.

Если область конечна или периодична, то бесконечная сумма решений, такая как ряд Фурье , подходит, но для бесконечных областей обычно требуется интеграл решений, такой как интеграл Фурье . Решение для точечного источника для уравнения теплопроводности, приведенное выше, является примером использования интеграла Фурье.

Изменение переменных

Часто PDE можно свести к более простой форме с известным решением с помощью подходящей замены переменных . Например, уравнение Блэка-Шоулза можно свести к уравнению теплопроводности с помощью замены переменных ^[9] $${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left(S\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}}$$

Фундаментальное решение

Неоднородные уравнения ^{[ требуется пояснение ]} часто можно решить (для уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами всегда можно решить) путем нахождения фундаментального решения (решения для точечного источника), а затем выполнения свертки с граничными условиями для получения решения.

В обработке сигналов это аналогично пониманию фильтра по его импульсной характеристике .

Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции применим к любой линейной системе, включая линейные системы уравнений в частных производных. Распространенной визуализацией этой концепции является взаимодействие двух волн в фазе, которые объединяются для получения большей амплитуды, например, sin x + sin x = 2 sin x . Тот же принцип можно наблюдать в уравнениях в частных производных, где решения могут быть действительными или комплексными и аддитивными. Если u ₁ и u ₂ являются решениями линейного уравнения в частных производных в некотором функциональном пространстве R , то u = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ с любыми константами c ₁ и c ₂ также являются решением этого уравнения в том же функциональном пространстве.

Методы нелинейных уравнений

Не существует общеприменимых методов решения нелинейных уравнений в частных производных. Тем не менее, результаты существования и единственности (такие как теорема Коши–Ковалевской ) часто возможны, как и доказательства важных качественных и количественных свойств решений (получение этих результатов является основной частью анализа ). Вычислительное решение нелинейных уравнений в частных производных, метод расщепления по шагам , существует для конкретных уравнений, таких как нелинейное уравнение Шредингера .

Тем не менее, некоторые методы могут быть использованы для нескольких типов уравнений. Принцип h является наиболее мощным методом решения недоопределенных уравнений. Теория Рикье–Жане является эффективным методом получения информации о многих аналитических переопределенных системах.

Метод характеристик может быть использован в некоторых очень частных случаях для решения нелинейных уравнений в частных производных. ^[10]

В некоторых случаях PDE может быть решено с помощью анализа возмущений , в котором решение рассматривается как поправка к уравнению с известным решением. Альтернативой являются методы численного анализа от простых схем конечных разностей до более зрелых многосеточных и конечноэлементных методов . Многие интересные проблемы в науке и технике решаются таким образом с использованием компьютеров , иногда высокопроизводительных суперкомпьютеров .

Метод группы Ли

Начиная с 1870 года работа Софуса Ли поставила теорию дифференциальных уравнений на более удовлетворительную основу. Он показал, что теории интегрирования старых математиков могут быть, путем введения того, что сейчас называется группами Ли , отнесены к общему источнику; и что обыкновенные дифференциальные уравнения, которые допускают те же самые бесконечно малые преобразования, представляют сопоставимые трудности интегрирования. Он также подчеркнул тему преобразований контакта .

Общий подход к решению уравнений с частными производными использует свойство симметрии дифференциальных уравнений, непрерывные бесконечно малые преобразования решений в решения ( теория Ли ). Непрерывная теория групп , алгебры Ли и дифференциальная геометрия используются для понимания структуры линейных и нелинейных уравнений в частных производных для генерации интегрируемых уравнений, для нахождения их пар Лакса , операторов рекурсии, преобразования Бэклунда и, наконец, для нахождения точных аналитических решений уравнений с частными производными.

Методы симметрии получили признание при изучении дифференциальных уравнений, возникающих в математике, физике, технике и многих других дисциплинах.

Полуаналитические методы

Метод разложения Адомиана , ^[11] метод искусственного малого параметра Ляпунова и его метод гомотопического возмущения являются частными случаями более общего метода гомотопического анализа . ^[12] Это методы разложения в ряд, и, за исключением метода Ляпунова, они не зависят от малых физических параметров по сравнению с хорошо известной теорией возмущений , что придает этим методам большую гибкость и общность решений.

Численные решения

Три наиболее широко используемых численных метода для решения PDE — это метод конечных элементов (FEM), методы конечных объемов (FVM) и методы конечных разностей (FDM), а также другие виды методов, называемые методами без сеток , которые были созданы для решения задач, где вышеупомянутые методы ограничены. FEM занимает видное место среди этих методов и особенно его исключительно эффективная версия более высокого порядка hp-FEM . Другие гибридные версии методов FEM и Meshfree включают обобщенный метод конечных элементов (GFEM), расширенный метод конечных элементов (XFEM), спектральный метод конечных элементов (SFEM), метод конечных элементов без сеток , разрывный метод конечных элементов Галеркина (DGFEM), метод Галеркина без элементов (EFGM), интерполирующий метод Галеркина без элементов (IEFGM) и т. д.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) (его практическое применение часто известно как анализ конечных элементов (МКЭ)) представляет собой численный метод нахождения приближенных решений уравнений с частными производными (УЧП), а также интегральных уравнений. ^{[13] [14]} Подход к решению основан либо на полном исключении дифференциального уравнения (задачи стационарного состояния), либо на преобразовании УЧП в аппроксимирующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые затем численно интегрируются с использованием стандартных методов, таких как метод Эйлера, метод Рунге–Кутты и т. д.

Метод конечных разностей

Конечно-разностные методы — это численные методы аппроксимации решений дифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных уравнений для аппроксимации производных.

Метод конечного объема

Подобно методу конечных разностей или методу конечных элементов, значения вычисляются в дискретных местах на сетчатой ​​геометрии. «Конечный объем» относится к малому объему, окружающему каждую узловую точку на сетке. В методе конечных объемов поверхностные интегралы в частном дифференциальном уравнении, которые содержат член расхождения, преобразуются в объемные интегралы с использованием теоремы о расхождении . Затем эти члены оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в заданный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы сохраняют массу по замыслу.

Нейронные сети

Нейронные сети с физической информацией использовались для решения уравнений с частными производными как в прямых, так и в обратных задачах на основе данных. ^[15] Одним из примеров является реконструкция потока жидкости, управляемого уравнениями Навье-Стокса . Использование нейронных сетей с физической информацией не требует часто дорогостоящей генерации сетки, на которой основаны традиционные методы вычислительной гидродинамики . ^{[16] [17]}

Метод нечеткого дифференциального включения

Метод нечеткого дифференциального включения использует нечеткую логику с преобразованием Лапласа для решения уравнений в частных производных.

Смотрите также

Некоторые общие уравнения в частных производных

• Уравнение акустической волны
• Уравнение Бюргерса
• Уравнение непрерывности
• Уравнение теплопроводности
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Клейна–Гордона
• Уравнение Якоби
• Уравнение Лагранжа
• Уравнение Лапласа
• Уравнения Максвелла
• Уравнение Навье-Стокса
• Уравнение Пуассона
• Система реакции-диффузии, используемая в ИИ и глубоком обучении.
• Уравнение Шредингера
• Волновое уравнение

Типы граничных условий

• граничное условие Дирихле
• граничное условие Неймана
• Граничное условие Робина
• проблема Коши

Разные темы

• Струйный пучок
• Преобразование Лапласа, применяемое к дифференциальным уравнениям
• Список тем по динамическим системам и дифференциальным уравнениям
• Матричное дифференциальное уравнение
• Численные уравнения в частных производных
• Алгебраическое уравнение с частными производными
• Рекуррентное соотношение
• Случайные процессы и краевые задачи

Ссылки

1. "Регулярность и сингулярности в эллиптических уравнениях в частных производных: за пределами формул монотонности | Проект EllipticPDE | Информационный листок | H2020". CORDIS | Европейская комиссия . Получено 2024-02-05 .
2. Klainerman, Sergiu (2010). "PDE как единый субъект". В Alon, N.; Bourgain, J.; Connes, A.; Gromov, M.; Milman, V. (ред.). Visions in Mathematics . Modern Birkhäuser Classics. Базель: Birkhäuser. стр. 279–315. doi :10.1007/978-3-0346-0422-2_10. ISBN 978-3-0346-0421-5.
3. Эрдоган, М. Бурак; Циракис, Николаос (2016). Дисперсионные уравнения в частных производных: корректность и приложения. Тексты для студентов Лондонского математического общества. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-14904-5.
4. Густафссон, Бертил (2008). Методы разностных уравнений высокого порядка для зависящих от времени уравнений в частных производных . Springer Series in Computational Mathematics. Том 38. Springer. doi :10.1007/978-3-540-74993-6. ISBN 978-3-540-74992-9.
5. Клейнерман, Серджиу (2008), «Уравнения с частными производными», в Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (ред.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 455–483
6. Левандоски, Джули. «Классификация уравнений второго порядка» (PDF) .
7. Курант и Гильберт (1962), стр.182.
8. Гершенфельд, Нил (2000). Природа математического моделирования (Переиздано (с корр.) ред.). Кембридж: Cambridge University Press. С. 27. ISBN 0521570956.
9. Уилмотт, Пол; Хоуисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995). Математика финансовых производных. Cambridge University Press. С. 76–81. ISBN 0-521-49789-2.
10. Логан, Дж. Дэвид (1994). «Уравнения и характеристики первого порядка». Введение в нелинейные уравнения с частными производными . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. С. 51–79. ISBN 0-471-59916-6.
11. Адомиан, Г. (1994). Решение пограничных проблем физики: метод декомпозиции. Kluwer Academic Publishers. ISBN 9789401582896.
12. Ляо, SJ (2003). Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-407-X.
13. Солин, П. (2005). Уравнения с частными производными и метод конечных элементов . Хобокен, Нью-Джерси: J. Wiley & Sons. ISBN 0-471-72070-4.
14. Солин, П.; Сегет, К. и Долезел, И. (2003). Методы конечных элементов высшего порядка . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-438-X.
15. Raissi, M.; Perdikaris, P.; Karniadakis, GE (2019-02-01). "Физически-информированные нейронные сети: структура глубокого обучения для решения прямых и обратных задач, связанных с нелинейными уравнениями в частных производных". Journal of Computational Physics . 378 : 686–707. Bibcode : 2019JCoPh.378..686R. doi : 10.1016/j.jcp.2018.10.045 . ISSN  0021-9991. OSTI  1595805. S2CID  57379996.
16. Мао, Чжипин; Джагтап, Амейя Д.; Карниадакис, Джордж Эм (2020-03-01). "Физически-информированные нейронные сети для высокоскоростных потоков". Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 360 : 112789. Bibcode : 2020CMAME.360k2789M. doi : 10.1016/j.cma.2019.112789 . ISSN  0045-7825. S2CID  212755458.
17. Raissi, Maziar; Yazdani, Alireza; Karniadakis, George Em (28.02.2020). «Скрытая механика жидкости: изучение полей скорости и давления с помощью визуализаций потока». Science . 367 (6481): 1026–1030. Bibcode :2020Sci...367.1026R. doi :10.1126/science.aaw4741. PMC 7219083 . PMID  32001523. 

Библиография

• Курант, Р. и Гильберт, Д. (1962), Методы математической физики, т. II, Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN 9783527617241.
• Драбек, Павел; Голубова, Габриэла (2007). Элементы уравнений в частных производных (Онлайн-изд.). Берлин: де Грюйтер. ISBN 9783110191240.
• Эванс, Л.К. (1998), Уравнения с частными производными , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2.
• Ибрагимов, Наиль Х. (1993), Справочник CRC по анализу групп Ли дифференциальных уравнений, том 1-3 , Провиденс: CRC-Press, ISBN 0-8493-4488-3.
• Джон, Ф. (1982), Уравнения с частными производными (4-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6.
• Йост, Дж. (2002), Уравнения с частными производными , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-95428-7.
• Olver, PJ (1995), Эквивалентность, инварианты и симметрия , Cambridge Press.
• Петровский, И.Г. (1967), Уравнения с частными производными , Филадельфия: WB Saunders Co..
• Пинчовер, Ю. и Рубинштейн, Дж. (2005), Введение в уравнения с частными производными , Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 0-521-84886-5.
• Полянин, АД (2002), Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9.
• Полянин, А.Д. и Зайцев, В.Ф. (2004), Справочник по нелинейным уравнениям в частных производных , Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3.
• Полянин, А.Д.; Зайцев, В.Ф. и Муссио, А. (2002), Справочник по уравнениям в частных производных первого порядка , Лондон: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X.
• Рубичек, Т. (2013), Нелинейные уравнения в частных производных с приложениями (PDF) , Международная серия численной математики, т. 153 (2-е изд.), Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-0348-0513-1, ISBN 978-3-0348-0512-4, MR  3014456
• Стефани, Х. (1989), Маккаллум, М. (ред.), Дифференциальные уравнения: их решение с использованием симметрий , Cambridge University Press.
• Вазваз, Абдул-Маджид (2009). Уравнения с частными производными и теория уединенных волн . Higher Education Press. ISBN 978-3-642-00251-9.
• Вазваз, Абдул-Маджид (2002). Методы и приложения уравнений с частными производными . AA Balkema. ISBN 90-5809-369-7.
• Цвиллингер, Д. (1997), Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е изд.), Бостон: Academic Press, ISBN 0-12-784395-7.
• Гершенфельд, Н. (1999), Природа математического моделирования (1-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, Нью-Йорк, США, ISBN 0-521-57095-6.
• Красильщик, И.С. и Виноградов, А.М., Ред. (1999), Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, США, ISBN 0-8218-0958-X{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
• Красильщик, И.С.; Лычагин, В.В. и Виноградов, А.М. (1986), Геометрия пространств струй и нелинейные уравнения в частных производных , Gordon and Breach Science Publishers, Нью-Йорк, Лондон, Париж, Монтрё, Токио, ISBN 2-88124-051-8.
• Виноградов, А.М. (2001), Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, США, ISBN 0-8218-2922-X.
• Густафссон, Бертил (2008). Методы разностных уравнений высокого порядка для зависящих от времени уравнений в частных производных . Ряды Springer в вычислительной математике. Том 38. Springer. doi :10.1007/978-3-540-74993-6. ISBN 978-3-540-74992-9.

Дальнейшее чтение

• Cajori, Florian (1928). "The Early History of Partial Differential Equations and of Partial Differentiation and Integration" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 35 (9): 459–467. doi :10.2307/2298771. JSTOR  2298771. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-11-23 . Получено 2016-05-15 .
• Ниренберг, Луи (1994). «Уравнения с частными производными в первой половине века». Развитие математики 1900–1950 (Люксембург, 1992), 479–515, Биркхойзер, Базель.
• Брезис, Хаим ; Браудер, Феликс (1998). «Уравнения с частными производными в 20 веке». Успехи математики . 135 (1): 76–144. doi : 10.1006/aima.1997.1713 .

Внешние ссылки

• «Дифференциальное уравнение в частных производных», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнения в частных производных: точные решения в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Уравнения с частными производными: Индекс в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Уравнения с частными производными: методы в EqWorld: мир математических уравнений.
• Примеры задач с решениями на exampleproblems.com
• Уравнения с частными производными на mathworld.wolfram.com
• Уравнения с частными производными в Mathematica
• Уравнения с частными производными в Клив Молере: численные вычисления с помощью MATLAB
• Уравнения с частными производными на nag.com
• Сандерсон, Грант (21 апреля 2019 г.). «Но что такое уравнение с частными производными?». 3Blue1Brown . Архивировано из оригинала 2021-11-02 – через YouTube .