Род (математика)

Количество «дырок» поверхности

Поверхность рода 2

В математике род ( мн. ч. : genera ) имеет несколько различных, но тесно связанных значений. Интуитивно род — это число «дырок» поверхности . [ ^1] Сфера имеет род 0, а тор — род 1.

Топология

Ориентируемые поверхности

Кофейная чашка и пончик, показанные в этой анимации, оба имеют первый род.

Род связной , ориентируемой поверхности — это целое число , представляющее максимальное количество разрезов вдоль непересекающихся замкнутых простых кривых без того, чтобы полученное многообразие стало несвязным. ^[2] Он равен количеству ручек на нем. В качестве альтернативы его можно определить в терминах эйлеровой характеристики χ через соотношение χ  = 2 − 2 g для замкнутых поверхностей , где g — род. Для поверхностей с b граничными компонентами уравнение имеет вид χ = 2 − 2 g  −  b .

Проще говоря, род — это количество «отверстий», которые имеет объект («отверстия» интерпретируются в смысле дырок от бублика; полая сфера в этом смысле будет считаться имеющей ноль отверстий). ^[3] У тора есть 1 такое отверстие, в то время как у сферы их 0. Зеленая поверхность, изображенная выше, имеет 2 отверстия соответствующего вида.

Например:

• Сфера S2 и диск имеют нулевой род ^.
• У тора род один, как и у поверхности кофейной кружки с ручкой. Отсюда и шутка: «Топологи — это люди, которые не могут отличить пончик от кофейной кружки».

Явное построение поверхностей рода g дано в статье о фундаментальном многоугольнике .

• Род ориентируемых поверхностей
• 
  Планарный граф : род 0
• 
  Тороидальный граф : род 1
• 
  Чайник : Двойной тороидальный граф: род 2
• 
  Граф кренделя: род 3

Неориентируемые поверхности

Неориентируемый род , полурод или род Эйлера связной неориентируемой замкнутой поверхности — это положительное целое число, представляющее количество поперечных колпачков, прикрепленных к сфере . В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ через соотношение χ = 2 − k , где k — неориентируемый род.

Например:

• Действительная проективная плоскость имеет неориентируемый род 1.
• Бутылка Клейна имеет неориентируемый род 2.

Узел

Род узла K определяется как минимальный род всех поверхностей Зейферта для K . ^[4] Поверхность Зейферта узла, однако, является многообразием с границей , причем граница является узлом, т.е. гомеоморфна единичной окружности. Род такой поверхности определяется как род двумерного многообразия, которое получается путем склеивания единичного круга вдоль границы.

Ручка

Род 3-мерного handlebody — это целое число, представляющее максимальное количество разрезов вдоль вложенных дисков без того , чтобы полученное многообразие стало несвязным. Он равен количеству handles на нем.

Например:

• Шар имеет род 0.
• Полноторий D2 ^× S1 имеет род ¹ .

Теория графов

Род графа — это минимальное целое число n, такое, что граф можно нарисовать без самопересечения на сфере с n ручками (т. е. ориентированной поверхности рода n ). Таким образом, планарный граф имеет род 0, потому что его можно нарисовать на сфере без самопересечения.

Неориентируемый род графа — это минимальное целое число n, такое, что граф можно нарисовать без пересечения с самим собой на сфере с n крестообразными шапками (т. е. неориентируемой поверхностью (неориентируемого) рода n ). (Это число также называется полуродом .)

Род Эйлера — это минимальное целое число n, такое, что граф можно нарисовать без пересечения с самим собой на сфере с n крестообразными колпачками или на сфере с n/2 ручками. ^[5]

В топологической теории графов существует несколько определений рода группы . Артур Т. Уайт ввел следующее понятие. Род группы G — это минимальный род (связного, неориентированного) графа Кэли для G.

Задача определения рода графа является NP-полной . ^[6]

Алгебраическая геометрия

Существует два связанных определения рода любой проективной алгебраической схемы X : арифметический род и геометрический род . ^[7] Когда X является алгебраической кривой с полем определения комплексных чисел , и если X не имеет особых точек , то эти определения согласуются и совпадают с топологическим определением, примененным к римановой поверхности X (ее многообразию комплексных точек). Например, определение эллиптической кривой из алгебраической геометрии связывает неособую проективную кривую рода 1 с заданной рациональной точкой на ней .

По теореме Римана–Роха неприводимая плоская кривая степени, заданной нулевым геометрическим местом сечения, имеет геометрический род ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))}$

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

где — число сингулярностей при правильном подсчете. ${\displaystyle s}$

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии род ориентированного многообразия может быть определен как комплексное число, подчиняющееся условиям ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Phi (M)}$

• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})}$если и кобордантны .​ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$

Другими словами, — кольцевой гомоморфизм , где — ориентированное кольцо кобордизмов Тома . ^[8] ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$

Род мультипликативен для всех расслоений на спинорных многообразиях со связной компактной структурой, если — эллиптический интеграл, такой как для некоторого Этот род называется эллиптическим родом. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \log _{\Phi }}$ ${\displaystyle \log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt}$ ${\displaystyle \delta ,\varepsilon \in \mathbb {C} .}$

Эйлерова характеристика не является родом в этом смысле, поскольку она не инвариантна относительно кобордизмов. ${\displaystyle \chi (M)}$

Биология

Род также может быть вычислен для графа, охватывающего сеть химических взаимодействий в нуклеиновых кислотах или белках . В частности, можно изучать рост рода вдоль цепи. Такая функция (называемая следом рода) показывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул. ^[9]

Смотрите также

• Группа (математика)
• Арифметический род
• Геометрический род
• Род мультипликативной последовательности
• Род квадратичной формы
• Род Спинор

Цитаты

1. Попеску-Пампу 2016, с. xiii, Введение.
2. Попеску-Пампу 2016, с. xiv, Введение.
3. Вайсштейн, EW «Род». Математический мир . Проверено 4 июня 2021 г.
4. Адамс, Колин (2004), Книга узлов: Элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3678-1
5. Графики на поверхностях .
6. Томассен, Карстен (1989). «Задача о роде графов NP-полна». Журнал алгоритмов . 10 (4): 568–576. дои : 10.1016/0196-6774(89)90006-0. ISSN  0196-6774. Збл  0689.68071.
7. Хирцебрух, Фридрих (1995) [1978]. Топологические методы в алгебраической геометрии . Классика математики. Перевод с немецкого и приложение один Р. Л. Э. Шварценбергера. Приложение два А. Бореля (Переиздание 2-го, исправленного издания 3-го изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58663-0. Збл  0843.14009.
8. Чарльз Резк - Эллиптические когомологии и эллиптические кривые (лекции Феликса Клейна, Бонн 2015. Кафедра математики, Иллинойсский университет, Урбана, Иллинойс)
9. Sułkowski, Piotr; Sulkowska, Joanna I.; Dabrowski-Tumanski, Pawel; Andersen, Ebbe Sloth; Geary, Cody; Zając, Sebastian (2018-12-03). "Genus trace reveals the topological difficulty and domain structure of biomolecules". Scientific Reports . 8 (1): 17537. Bibcode :2018NatSR...817537Z. doi :10.1038/s41598-018-35557-3. ISSN  2045-2322. PMC 6277428 . PMID  30510290. 

Ссылки

• Попеску-Пампу, Патрик (2016). Что такое род?. Springer Verlag . ISBN 978-3-319-42312-8.