stringtranslate.com

Ориентируемость

Тор – это ориентируемая поверхность .
Анимация плоского диска, движущегося по поверхности ленты Мёбиуса и переворачивающегося при каждом обороте.
Лента Мёбиуса — неориентируемая поверхность. Обратите внимание, как диск переворачивается с каждым витком.
Римская поверхность неориентируема.

В математике ориентируемость — это свойство некоторых топологических пространств , таких как вещественные векторные пространства , евклидовы пространства , поверхности и, в более общем смысле, многообразия , которое допускает непротиворечивое определение «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». [1] Пространство ориентируемо, если существует такое непротиворечивое определение. В этом случае существует два возможных определения, и выбор между ними является ориентацией пространства . Вещественные векторные пространства, евклидовы пространства и сферы ориентируемы. Пространство неориентируемо, если «по часовой стрелке» меняется на «против часовой стрелки» после прохождения в нем некоторых циклов и возвращения в исходную точку. Это означает, что геометрическая фигура , такая как, который непрерывно движется по такой петле, превращается в свое собственное зеркальное отражение . Лента Мёбиуса — пример неориентируемого пространства.

Могут быть даны различные эквивалентные формулировки ориентируемости в зависимости от желаемого применения и уровня общности. Формулировки, применимые к общим топологическим многообразиям, часто используют методы теории гомологии , тогда как для дифференцируемых многообразий присутствует больше структуры, что позволяет формулировать в терминах дифференциальных форм . Обобщением понятия ориентируемости пространства является ориентируемость семейства пространств, параметризованных некоторым другим пространством ( расслоением волокон ), для которого в каждом из пространств должна быть выбрана ориентация, которая непрерывно меняется относительно изменений значений параметров.

Ориентируемые поверхности

В этой анимации простая аналогия сделана с использованием шестеренки, которая вращается по правилу правой руки на векторе нормали поверхности. Ориентация кривых, заданных границами, задается направлением, в котором движутся точки, когда их толкает движущаяся шестерня. На неориентируемой поверхности, такой как лента Мёбиуса, граница должна была бы двигаться в обоих направлениях одновременно, что невозможно.

Поверхность S в евклидовом пространстве R3 является ориентируемой , если киральная двумерная фигура (например,) нельзя перемещать по поверхности и возвращаться в исходное положение, чтобы оно выглядело как его собственное зеркальное отражение (). В противном случае поверхность неориентируема . Абстрактная поверхность (т. е. двумерное многообразие ) ориентируема, если на поверхности можно определить непротиворечивую концепцию вращения по часовой стрелке непрерывным образом. То есть петля, проходящая по поверхности в одну сторону, никогда не может быть непрерывно деформирована (без перекрытия самой себя) в петлю, проходящую в противоположную сторону. Это оказывается эквивалентным вопросу о том, содержит ли поверхность подмножество, гомеоморфное ленте Мёбиуса . Таким образом, для поверхностей ленту Мёбиуса можно считать источником всей неориентируемости.

Для ориентируемой поверхности последовательный выбор «по часовой стрелке» (в отличие от против часовой стрелки) называется ориентацией , а поверхность называется ориентированной . Для поверхностей, вложенных в евклидово пространство, ориентация задается выбором непрерывно изменяющейся нормали поверхности n в каждой точке. Если такая нормаль вообще существует, то всегда есть два способа ее выбрать: n или − n . В более общем смысле, ориентируемая поверхность допускает ровно две ориентации, и различие между ориентированной поверхностью и ориентируемой поверхностью тонкое и часто размытое. Ориентируемая поверхность — это абстрактная поверхность, которая допускает ориентацию, в то время как ориентированная поверхность — это поверхность, которая абстрактно ориентируема и имеет дополнительную датум выбора одной из двух возможных ориентаций.

Примеры

Большинство поверхностей, встречающихся в физическом мире, являются ориентируемыми. Например, сферы , плоскости и торы являются ориентируемыми. Но ленты Мёбиуса , реальные проективные плоскости и бутылки Клейна неориентируемы. Они, как визуализируется в 3-х измерениях, все имеют только одну сторону. Реальная проективная плоскость и бутылка Клейна не могут быть вложены в R 3 , а только погружены с хорошими пересечениями.

Обратите внимание, что локально у вложенной поверхности всегда есть две стороны, поэтому близорукий муравей, ползущий по односторонней поверхности, будет думать, что есть «другая сторона». Суть односторонности в том, что муравей может переползти с одной стороны поверхности на «другую», не проходя сквозь поверхность и не переворачиваясь через край, а просто проползая достаточно далеко.

В общем случае свойство быть ориентируемым не эквивалентно свойству быть двусторонним; однако это имеет место, когда окружающее пространство (такое как R 3 выше) является ориентируемым. Например, тор, вложенный в

может быть односторонней, а бутылка Клейна в том же пространстве может быть двусторонней; здесь имеется в виду бутылка Клейна.

Ориентация по триангуляции

Любая поверхность имеет триангуляцию : разложение на треугольники, при котором каждое ребро треугольника склеивается не более чем с одним другим ребром. Каждый треугольник ориентируется выбором направления по периметру треугольника, связывая направление с каждым ребром треугольника. Если это делается таким образом, что при склеивании соседние ребра указывают в противоположном направлении, то это определяет ориентацию поверхности. Такой выбор возможен только в том случае, если поверхность является ориентируемой, и в этом случае существует ровно две различные ориентации.

Если цифраможно последовательно расположить во всех точках поверхности, не превращаясь в ее зеркальное отражение, то это вызовет ориентацию в указанном выше смысле на каждом из треугольников триангуляции путем выбора направления каждого из треугольников на основе порядка красный-зеленый-синий цветов любой из фигур внутри треугольника.

Этот подход обобщается на любое n -многообразие, имеющее триангуляцию. Однако некоторые 4-многообразия не имеют триангуляции, и в общем случае для n > 4 некоторые n -многообразия имеют неэквивалентные триангуляции.

Ориентируемость и гомология

Если H 1 ( S ) обозначает первую группу гомологий замкнутой поверхности S , то S ориентируема тогда и только тогда, когда H 1 ( S ) имеет тривиальную подгруппу кручения . Точнее, если S ориентируема, то H 1 ( S ) является свободной абелевой группой , а если нет, то H 1 ( S ) = F + Z /2 Z , где F является свободной абелевой группой, а фактор Z /2 Z порождается средней кривой в ленте Мёбиуса , вложенной в S .

Ориентируемость многообразий

Пусть M — связное топологическое n - многообразие . Существует несколько возможных определений того, что означает для M быть ориентируемым. Некоторые из этих определений требуют, чтобы M имело дополнительную структуру, например, дифференцируемость. Иногда n = 0 должно быть превращено в особый случай. Когда к M применимо более одного из этих определений , то M ориентируемо при одном определении тогда и только тогда, когда оно ориентируемо при других. [2] [3]

Ориентируемость дифференцируемых многообразий

Наиболее интуитивные определения требуют, чтобы M было дифференцируемым многообразием. Это означает, что функции перехода в атласе M являются C 1 -функциями. Такая функция допускает определитель Якоби . Когда определитель Якоби положителен, говорят, что функция перехода сохраняет ориентацию . Ориентированный атлас на M — это атлас, для которого все функции перехода сохраняют ориентацию. M является ориентируемым, если он допускает ориентированный атлас. Когда n > 0 , ориентация M является максимальным ориентированным атласом. (Когда n = 0 , ориентация M является функцией M → {±1} .)

Ориентируемость и ориентации также могут быть выражены в терминах касательного расслоения. Касательное расслоение является векторным расслоением , поэтому оно является расслоением со структурной группой GL( n , R ) . То есть, функции перехода многообразия индуцируют функции перехода на касательном расслоении, которые являются послойными линейными преобразованиями. Если структурную группу можно свести к группе GL + ( n , R ) положительно детерминантных матриц или, что эквивалентно, если существует атлас, функции перехода которого определяют линейное преобразование, сохраняющее ориентацию, на каждом касательном пространстве, то многообразие M является ориентируемым. Наоборот, M является ориентируемым тогда и только тогда, когда структурная группа касательного расслоения может быть сведена таким образом. Аналогичные наблюдения можно сделать для расслоения рамок.

Другой способ определения ориентаций на дифференцируемом многообразии — через формы объема . Форма объема — это нигде не исчезающее сечение ω многообразия n T M , верхняя внешняя степень кокасательного расслоения M . Например, R n имеет стандартную форму объема, заданную как dx 1 ∧ ⋯ ∧ dx n . Если задана форма объема на M , то совокупность всех карт UR n , для которых стандартная форма объема возвращается к положительному кратному ω, является ориентированным атласом. Следовательно, существование формы объема эквивалентно ориентируемости многообразия.

Формы объема и касательные векторы можно объединить, чтобы дать еще одно описание ориентируемости. Если X 1 , …, X n является базисом касательных векторов в точке p , то базис называется правым, если ω( X 1 , …, X n ) > 0 . Функция перехода сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда она переводит правые базисы в правые базисы. Существование формы объема подразумевает редукцию структурной группы касательного расслоения или расслоения фрейма к GL + ( n , R ) . Как и прежде, это подразумевает ориентируемость M . И наоборот, если M ориентируемо, то локальные формы объема можно склеить вместе, чтобы создать глобальную форму объема, причем ориентируемость необходима для того, чтобы глобальная форма нигде не обращалась в нуль.

Гомологии и ориентируемость общих многообразий

В основе всех приведенных выше определений ориентируемости дифференцируемого многообразия лежит понятие функции перехода, сохраняющей ориентацию. Это поднимает вопрос о том, что именно сохраняют такие функции перехода. Они не могут сохранять ориентацию многообразия, поскольку ориентация многообразия является атласом, и нет смысла говорить, что функция перехода сохраняет или не сохраняет атлас, членом которого она является.

Этот вопрос можно решить, определив локальные ориентации. На одномерном многообразии локальная ориентация вокруг точки p соответствует выбору левого и правого направления вблизи этой точки. На двумерном многообразии она соответствует выбору направления по часовой стрелке и против часовой стрелки. Эти две ситуации имеют общую черту: они описываются в терминах поведения верхнего измерения вблизи p, но не в p . В общем случае пусть M будет топологическим n -многообразием. Локальная ориентация M вокруг точки p является выбором генератора группы

Чтобы увидеть геометрическое значение этой группы, выберите карту вокруг p . На этой карте есть окрестность p , которая является открытым шаром B вокруг начала координат O . По теореме об вырезании , изоморфно . Шар B стягиваем, поэтому его группы гомологии исчезают, за исключением степени ноль, а пространство B \ O является ( n − 1) -сферой, поэтому его группы гомологии исчезают, за исключением степеней n − 1 и 0 . Вычисление с длинной точной последовательностью в относительной гомологии показывает, что указанная выше группа гомологии изоморфна . Поэтому выбор генератора соответствует решению о том, является ли в данной карте сфера вокруг p положительной или отрицательной. Отражение R n относительно начала координат действует отрицанием на , поэтому геометрическое значение выбора генератора состоит в том, что он отличает карты от их отражений.

На топологическом многообразии функция перехода сохраняет ориентацию , если в каждой точке p своей области она фиксирует генераторы . Отсюда соответствующие определения те же, что и в дифференцируемом случае. Ориентированный атлас — это атлас, для которого все функции перехода сохраняют ориентацию, M ориентируем , если он допускает ориентированный атлас, и когда n > 0 , ориентация M является максимальным ориентированным атласом.

Интуитивно, ориентация M должна определять уникальную локальную ориентацию M в каждой точке. Это уточняется, если отметить, что любая карта в ориентированном атласе вокруг p может быть использована для определения сферы вокруг p , и эта сфера определяет генератор . Более того, любая другая карта вокруг p связана с первой картой функцией перехода, сохраняющей ориентацию, и это подразумевает, что две карты дают один и тот же генератор, откуда следует, что генератор уникален.

Чисто гомологические определения также возможны. Предполагая, что M замкнуто и связно, M ориентируемо тогда и только тогда, когда n -я группа гомологии изоморфна целым числам Z. Ориентация M — это выбор генератора α этой группы. Этот генератор определяет ориентированный атлас, фиксируя генератор бесконечной циклической группы и принимая ориентированные карты за те, для которых α продвигается вперед к фиксированному генератору. Наоборот, ориентированный атлас определяет такой генератор, поскольку совместимые локальные ориентации могут быть склеены вместе, чтобы дать генератор для группы гомологии . [4]

Ориентация и когомологии

Многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда первый класс Штифеля–Уитни равен нулю. В частности, если первая группа когомологий с коэффициентами Z /2 равна нулю, то многообразие ориентируемо. Более того, если M ориентируемо и w 1 равен нулю, то параметризует выбор ориентаций. [5] Эта характеристика ориентируемости распространяется на ориентируемость общих векторных расслоений над M , а не только касательного расслоения.

Двойная ориентация крышки

Вокруг каждой точки M есть две локальные ориентации. Интуитивно, есть способ перейти от локальной ориентации в точке p к локальной ориентации в близлежащей точке p : когда две точки лежат в одной и той же координатной карте UR n , эта координатная карта определяет совместимые локальные ориентации в p и p . Таким образом, набору локальных ориентаций можно задать топологию, и эта топология превращает его в многообразие.

Точнее, пусть O будет множеством всех локальных ориентаций M . Чтобы топологизировать O , мы укажем предбазу для его топологии. Пусть U будет открытым подмножеством M , выбранным таким образом, что оно изоморфно Z . Предположим, что α является генератором этой группы. Для каждого p в U существует функция pushforward . Область значений этой группы имеет два генератора, и α отображается на один из них. Топология на O определяется так, что

открыто.

Существует каноническое отображение π : OM , которое переводит локальную ориентацию в точке p в точку p . Ясно, что каждая точка M имеет ровно два прообраза относительно π . Фактически, π даже является локальным гомеоморфизмом, поскольку прообразы открытых множеств U , упомянутых выше, гомеоморфны несвязному объединению двух копий U . Если M ориентируемо, то само M является одним из этих открытых множеств, поэтому O является несвязным объединением двух копий M . Однако если M неориентируемо, то O связно и ориентируемо. Многообразие O называется ориентационным двойным покрытием .

Многообразия с границей

Если M — многообразие с границей, то ориентация M определяется как ориентация его внутренней части. Такая ориентация индуцирует ориентацию ∂ M . Действительно, предположим, что ориентация M фиксирована. Пусть UR n + — карта в граничной точке M , которая при ограничении внутренней частью M , находится в выбранном ориентированном атласе. Ограничение этой карты на ∂ M является картой ∂ M . Такие карты образуют ориентированный атлас для ∂ M .

Когда M является гладким, в каждой точке p из ∂ M ограничение касательного расслоения M на ∂ M изоморфно T pMR , где фактор R описывается вектором внутренней нормали. Ориентация T pM определяется условием, что базис T pM положительно ориентирован тогда и только тогда, когда он, в сочетании с вектором внутренней нормали, определяет положительно ориентированный базис T p M .

Двойная крышка с возможностью ориентации

Анимация ориентируемой двойной оболочки ленты Мёбиуса .

Близкое понятие использует идею покрывающего пространства . Для связного многообразия возьмем , множество пар , где является точкой , а является ориентацией в ; здесь мы предполагаем либо гладкое , поэтому мы можем выбрать ориентацию на касательном пространстве в точке , либо мы используем сингулярную гомологию для определения ориентации. Затем для каждого открытого ориентированного подмножества мы рассматриваем соответствующее множество пар и определяем его как открытое множество . Это дает топологию, а проекция, отправляющая в , тогда является 2-в-1 покрывающим отображением. Это покрывающее пространство называется ориентируемым двойным покрытием , поскольку оно ориентируемо. связно тогда и только тогда, когда не ориентируемо.

Другой способ построения этого покрытия — разделить петли, основанные на базовой точке, на петли, сохраняющие ориентацию, или петли, меняющие ориентацию. Петли, сохраняющие ориентацию, порождают подгруппу фундаментальной группы, которая является либо всей группой, либо имеет индекс два. В последнем случае (что означает, что существует путь, меняющий ориентацию), подгруппа соответствует связному двойному покрытию; это покрытие ориентируемо по построению. В первом случае можно просто взять две копии , каждая из которых соответствует другой ориентации.

Ориентация векторных пучков

Действительное векторное расслоение , которое априори имеет структурную группу GL(n) , называется ориентируемым , когда структурная группа может быть сведена к , группе матриц с положительным определителем . Для касательного расслоения это сведение всегда возможно, если базовое многообразие является ориентируемым, и фактически это обеспечивает удобный способ определения ориентируемости гладкого действительного многообразия : гладкое многообразие определяется как ориентируемое, если его касательное расслоение является ориентируемым (как векторное расслоение). Обратите внимание, что как многообразие само по себе, касательное расслоение всегда ориентируемо, даже над неориентируемыми многообразиями.

Связанные концепции

Геометрия Лоренца

В лоренцевой геометрии существует два вида ориентируемости: пространственная ориентируемость и временная ориентируемость. Они играют роль в причинной структуре пространства-времени. [6] В контексте общей теории относительности пространственно-временное многообразие является пространственно-ориентируемым, если, когда два правых наблюдателя отправляются в ракетных кораблях, стартуя из одной и той же точки пространства-времени, а затем встречаются снова в другой точке, они остаются правыми по отношению друг к другу. Если пространство-время является ориентируемым во времени, то два наблюдателя всегда будут соглашаться относительно направления времени в обеих точках их встречи. Фактически, пространство-время является ориентируемым во времени тогда и только тогда, когда любые два наблюдателя могут договориться, какая из двух встреч предшествовала другой. [7]

Формально псевдоортогональная группа O( p , q ) имеет пару символов : символ пространственной ориентации σ + и символ временной ориентации σ ,

Их произведение σ = σ + σ является определителем, который дает характер ориентации. Пространственная ориентация псевдориманова многообразия отождествляется с сечением ассоциированного расслоения

где O( M ) — это пучок псевдоортогональных фреймов. Аналогично, временная ориентация — это сечение соответствующего пучка

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Манро, Маршалл Эванс (1963). Современное многомерное исчисление. Эддисон-Уэсли. стр. 263.
  2. ^ Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях . HarperCollins . ISBN 978-0-8053-9021-6.
  3. ^ Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология . Cambridge University Press . ISBN 978-0521795401.
  4. ^ Хэтчер 2001, стр. 236 Теорема 3.26(a)
  5. ^ Лоусон, Х. Блейн ; Михельсон, Мари-Луиз (1989). Геометрия спина . Princeton University Press . стр. 79 Теорема 1.2. ISBN 0-691-08542-0.
  6. ^ Хокинг, SW ; Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.
  7. ^ Хэдли, Марк Дж. (2002). «Ориентируемость пространства-времени» (PDF) . Классическая и квантовая гравитация . 19 (17): 4565–71. arXiv : gr-qc/0202031v4 . CiteSeerX 10.1.1.340.8125 . doi :10.1088/0264-9381/19/17/308. 

Внешние ссылки